16 จำนวนจริง ตอนที่3_ทฤษฎีบทตัวประกอบ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

จ านวนจรง (เนอหาตอนท 3)

ทฤษฎบทตวประกอบ

โดย

ศาสตราจารย ดร.กฤษณะ เนยมมณ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ


1

สอการสอน เรอง จ านวนจรง สอการสอน เรอง จ านวนจรง มจ านวนตอนทงหมดรวม 17 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง จ านวนจรง 2. เนอหาตอนท 1 สมบตของจ านวนจรง

- ระบบจ านวนจรง - สมบตพนฐานของระบบจ านวนจรง

3. เนอหาตอนท 2 การแยกตวประกอบ - การแยกตวประกอบ

4. เนอหาตอนท 3 ทฤษฎบทตวประกอบ - ทฤษฎบทเศษเหลอ - ทฤษฎบทตวประกอบ

5. เนอหาตอนท 4 สมการพหนาม - สมการพหนามก าลงหนง - สมการพหนามก าลงสอง - สมการพหนามก าลงสง - การประยกตสมการพหนาม

6. เนอหาตอนท 5 อสมการ - เสนจ านวนและชวง - อสมการทเกยวของกบพหนามก าลงหนง - อสมการทเกยวของกบพหนามก าลงสง

7. เนอหาตอนท 6 เทคนคการแกอสมการ - อสมการในรปเศษสวน - การแกอสมการโดยวธการยกก าลงสอง - การแกอสมการโดยการแทนคาตวแปร - การประยกตโจทยการแกอสมการ

8. เนอหาตอนท 7 คาสมบรณ - คาสมบรณ - สมการคาสมบรณ

9. เนอหาตอนท 8 การแกอสมการคาสมบรณ - อสมการคาสมบรณ


2

- โจทยประยกตอสมการคาสมบรณ 10. เนอหาตอนท 9 กราฟคาสมบรณ

- กราฟคาสมบรณ 11. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 12. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 13. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 14. แบบฝกหด (ขนสง) 15. สอปฏสมพนธ เรอง ชวงบนเสนจ านวน 16. สอปฏสมพนธ เรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส) 17. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟคาสมบรณ

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง จ านวนจรง นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง จ านวนจรง (ทฤษฎบทตวประกอบ) หมวด เนอหา ตอนท 3 (3/9) หวขอยอย 1. ทฤษฎบทเศษเหลอ 2. ทฤษฎบทตวประกอบ จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน 1. ไดทบทวนการหารพหนาม 2. สามารถหาเศษเหลอจากการหารพหนาม โดยใชทฤษฎบทเศษเหลอ 3. สามารถแยกตวประกอบของพหนาม โดยใชทฤษฎบทตวประกอบ และทฤษฎบทตวประกอบตรรกยะ ผลการเรยนรทคาดหวง ผเรยนสามารถ 1. หาผลหารและเศษเหลอจากการหารพหนามโดยวธตงหารได 2. อธบายทฤษฎบทเศษเหลอ และน าไปใชในการหาเศษเหลอจากการหารพหนามได 3. อธบายทฤษฎบทตวประกอบ และทฤษฎบทตวประกอบตรรกยะได 4. น าทฤษฎบทตวประกอบ และทฤษฎบทตวประกอบตรรกยะไปใชในการแยกตวประกอบของพหนามได


4

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด


5

1. ทฤษฎบทเศษเหลอ


6

1. ทฤษฎบทเศษเหลอ ในสอตอนนผเรยนจะไดศกษาวธการแยกตวประกอบโดยใชทฤษฎบทตวประกอบ และทฤษฎบทตว

ประกอบตรรกยะ โดยในหวขอนเราจะเรมตนศกษาทฤษฎบทเศษเหลอกอน กอนทจะหาเศษเหลอจากการหารพหนาม โดยใชทฤษฎบทเศษเหลอ เราจะทบทวนการหารพหนาม

กอน ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง จงหาผลลพธและเศษเหลอจากการหาร 4 33 2 5 1x x x ดวย 2x


7

วธท า เนองจาก

จะไดวา ผลลพธจากการหาร 4 33 2 5 1x x x ดวย 2x คอ 3 23 4 8 21x x x และเศษเหลอ คอ 43 #

ตวอยาง จงหาเศษเหลอจากการหาร 3 23 5 1x x x ดวย 1

2x

วธท า เนองจาก

จะไดวา เศษเหลอจากการหาร 3 23 5 1x x x ดวย 1

2x คอ 5

8 #

3 2

4 3

4 3

3

3 2

2

2

3 4 8 21

2 3 2 5 1

3 6

4 5 1

4 8

8 5 1

8 16

21 1

21 42

43

x x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

2

3 2

3 2

2

2

7 13

2 41

3 5 12

1

2

75 1

2

7 7

2 4

131

4

13 13

4 8

5

8

x x

x x x x

x x

x x

x x

x

x


8


2x

วธท า โดยทฤษฎบทเศษเหลอจะไดวา ถาเราหาร 3 22 3 5p x x x x ดวย 1

2x จะเหลอเศษเทากบ

3 2

1 1 1 1 132 3 5

2 2 2 2 2p

#


9

ตวอยาง จงหาคา a b ทท าให 3 2 2x ax x b หารดวย 1x และ 2x ลงตว วธท า ให 3 2 2p x x ax x b

เพราะวา 1x หาร p x ลงตว จะไดวา 1 0p

นนคอ 1 2 0a b 3 ............... 1a b

และเพราะวา 2x หาร p x ลงตว จะไดวา

2 0

8 4 4 0

4 12 ...............(2)

2 1 3 15

5

p

a b

a b

a

a

ดงนน 3 8b a ดงนน 5 8 3a b #

แบบฝกหดเพมเตม เรองทฤษฎบทเศษเหลอ

1. จงหาเศษเหลอจากการหาร 3 24 5 1x x x ดวย 1x 2. จงหาเศษเหลอจากการหาร 3 24 5 1x x x ดวย 2x

3. จงหาเศษเหลอจากการหาร 4 22 3 1x x x ดวย 1

2x

4. จงหาเศษเหลอจากการหาร 3 2 5x x x ดวย 1

3x

5. จงหา c ทท าให 1x หาร 2 3 2x x c เหลอเศษ 6 6. จงหา k ทท าให 3x หาร 4 23 6x x kx ลงตว 7. ถา 1x และ 2x เปนตวประกอบของ 4 2p x x x bx a แลวเศษจากการหาร p x ดวย

x a มคาเทากบเทาไร 8. ถา 1x หาร 3 23 5 1p x ax x x ลงตว แลวเศษจากการหาร p x ดวย 1x มคาเทากบเทาไร 9. ถา x a หาร 4 1x ลงตวแลว แลว a มคาเทากบเทาไร

10. ถา 1x หาร 3 2 5 3p x x ax x ลงตว แลวเศษจากการหาร p x ดวย x a มคาเทากบเทาไร


10

2. ทฤษฎบทตวประกอบ


11

2. ทฤษฎบทตวประกอบ

ในหวขอน เราจะแยกตวประกอบพหนาม โดยใชทฤษฎบทตวประกอบและทฤษฎบทตวประกอบตรรกยะ

ตวอยาง จงตรวจสอบวา 5 43 5 1x x x หารดวย 1x ลงตวหรอไม วธท า ให 5 43 5 1p x x x x

เนองจาก 5 4

1 3 1 1 5 1 1 8p ซงไมเทากบ 0 โดยทฤษฎบทตวประกอบ จะไดวา 1x หาร

5 43 5 1x x x ไมลงตว #


12

ตวอยาง จงแยกตวประกอบ 3 26 11 6x x x วธท า ให 3 26 11 6p x x x x เลอก c จาก 1, 2, 3, 6 จะไดวา

3 21 1 6 1 11 1 6 0p

ดงนน 1 1x x เปนตวประกอบของ 3 26 11 6x x x เนองจาก

2

3 2

3 2

2

2

5 6

1 6 11 6

5 11 6

5 5

6 6

6 6

x x

x x x x

x x

x x

x x

x

x

จงไดวา 3 2 26 11 6 1 5 6x x x x x x

1 2 3x x x # ตวอยาง จงแยกตวประกอบ 4 3 27 6x x x x วธท า ให 4 3 27 6p x x x x x ทดลองเลอก c จาก 1, 2, 3, 6 จะไดวา

24 31 1 1 7 1 1 6 0p


13

ดงนน 1x เปนตวประกอบของ 4 3 27 6x x x x และจาก

3 2

4 3 2

4 3

3 2

3 2

2

2

2 5 6

1 7 6

2 7 6

2 2

5 6

5 5

6 6

6 6

x x x

x x x x x

x x

x x x

x x

x x

x x

x

x

ดงนน 4 3 2 3 27 6 1 2 5 6 ...............(1)x x x x x x x x ให 3 22 5 6h x x x x

ทดลองเลอก c จาก 1, 2, 3, 6 จะไดวา

3 21 1 2 1 5 1 6 0h

ดงนน 1x หาร 3 22 5 6x x x ลงตว เนองจาก

2

3 2

3 2

2

2

6

1 2 5 6

5 6

6 6

6 6

x x

x x x x

x x

x x

x x

x

x

ดงนน 3 2 22 5 6 1 6x x x x x x 1 3 2 ...............(2)x x x จาก 1 และ 2 จะไดวา 4 3 27 6 1 1 3 2x x x x x x x x #


14


15

ในบางครงการแยกตวประกอบพหนามดกรทมากกวาสาม อาจตองใชทฤษฎบทตวประกอบหลายครง

ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง จงแยกตวประกอบของพหนาม 4 3 22 5 5 5 3x x x x วธท า ให 4 3 22 5 5 5 3p x x x x x โดยทฤษฎบทตวประกอบตรรกยะ เราจะทดลองเลอก c ทจะท าให 0p c

จาก 1 31, , 3,

2 2

เนองจาก 1 2 5 5 5 3 0p ดงนน 1x หาร p x ลงตว และจาก

3 2

4 3 2

4 3

3 2

3 2

2

2

2 3 8 3

1 2 5 5 5 3

2 2

3 5 5 3

3 3

8 5 3

8 8

3 3

3 3

x x x

x x x x x

x x

x x x

x x

x x

x x

x

x

ดงนน 4 3 2 3 22 5 5 5 3 1 2 3 8 3 ...............(1)x x x x x x x x


16

ตอไปเราจะแยกตวประกอบ 3 22 3 8 3h x x x x โดยทฤษฎบท แยกตวประกอบอกครง โดยจะทดลองเลอกคา c ทคาดวาจะท าให 0h c จาก

1 31, , 3,

2 2 จากการทดลอง เราไดวา 1 2 3 8 3 0h

ดงนน 1x เปนตวประกอบของ h x เพราะวา

2

3 2

3 2

2

2

2 5 3

1 2 3 8 3

2 2

5 8 3

5 5

3 3

3 3

x x

x x x x

x x

x x

x x

x

x

จะไดวา 3 2 22 3 8 3 1 2 5 3x x x x x x

1 2 1 3 ...............(2)x x x จาก 1 และ 2 จะไดวา 4 3 22 5 5 5 3 1 1 2 1 3x x x x x x x x #

ตวอยาง จงแกสมการ 4 3 22 5 5 5 3 0x x x x วธท า 4 3 22 5 5 5 3 0x x x x

1 1 2 1 3 0x x x x

11, 1, , 3

2x #


17

แบบฝกหดเพมเตม เรองทฤษฎบทแยกตวประกอบ

1-4 จงแยกตวประกอบของ

1. 3 23 10 24a a a 2. 3 23 4 12x x x 3. 3 22 9 18a a a 4. 3 25 8 4x x x

5-9 จงแยกตวประกอบของ 5. 4 33 3x x x 6. 4 3 22 9 2 8x x x x 7. 5 4 24 5x x x 8. 4 3 23 3 3 2x x x x 9. 4 3 210 2 24x x x x

10-14 จงแยกตวประกอบของ 10. 3 22 3 17 30x x x 11. 3 26 5 3 2x x x 12. 3 22 5 4 3x x x 13. 4 3 22 5 5 5 3x x x x 14. 4 3 22 3 3 1x x x x


18

สรปสาระส าคญประจ าตอน


19


20

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม


21

แบบฝกหดระคน

1. ให p เปนจ านวนเฉพาะบวก และ ,m n เปนจ านวนเตม ถา 3x หาร 3 2x mx nx p ลงตว และ 1x หาร 3 2x mx nx p เหลอเศษ 4 แลว 2m n มคาเทาไร 1. 2 2. 4 3. 6 4. 8

2. ให a เปนจ านวนเตม ถา x a หาร 3 22 4 1x x x เหลอเศษ 1 แลวคาของ a คอขอใด 1. 0 2. 2 3. 2 2 5 4. 2

3. ขอใดตอไปนถกตอง ก. 2x หาร 2ax bx c ลงตว กตอเมอ 2 หาร c ลงตว ข. ถา 5p a แลว x a จะเปนตวประกอบของ 5p x 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด

4. ถา a และ b เปนจ านวนจรง ทท าให 2x ax b หาร 3 2 2x x x เหลอเศษ 3 แลว a b มคาเทากบเทาใด 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

5. ให 3 2 10f x x ax bx เมอหาร f x ดวย 2x จะเหลอเศษเทากบหาร f x ดวย 1x จงหาคา

3a b 1. 0 2. 5 3. 7 4. 7

6. ให เปนเอกภพสมพทธ และ 4 3 2| 2 5 5 5 3 0x x xS x x ขอใดตอไปนเปนจรง 1. S S 2. 3 2| 1 0S x x x x 3. S S 4. S S

7. ก าหนดให 6 4 2p x x ax x b ถา 1x หาร p x เหลอเศษ 1 และ 2x หาร p x เหลอเศษ 1 แลว 2x จะหาร p x เหลอเศษเทาไร 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

8. หาร 3 2 3 1p x ax bx x ดวย 1x เหลอเศษ 5 และเมอหารดวย 1x จะหารลงตว จงหาเศษ เหลอจากการหาร p x ดวย 1 1x x

1. 0 2. 10 3. 2

x 4. 5 5

2 2

x


22

9. ถา 1x และ 2x เปนตวประกอบของ 4 3 2p x x x x ax b แลวเศษจากการหาร p x ดวย x ab มคาเทากบเทาไร

1. 0 2. 10 3. 20 4. 30 10. ขอใดตอไปนถกตอง ก. ถา 2 1x หาร p x ลงตว แลว 1x จะหาร p x ลงตวดวย ข. ถา x a หาร 3 2p x bx cx dx e ลงตว แลว a ตองหาร e ลงตว 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด


23

ภาคผนวกท 2 การหารสงเคราะห


24

การหารสงเคราะห

โดยปกตเมอเราตองการหารพหนาม เราจะท าวธการหารดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง จงหาร 4 3 23 2 5x x x x ดวย 2x วธท า เนองจาก

3 2

4 3 2

4 3

3 2

3 2

2

2

5 8 17

2 3 2 5

2

5 2 5

5 10

8 5

8 16

17 5

17 34

29

x x x

x x x x x

x x

x x x

x x

x x

x x

x

x

เราจงสรปไดวา ผลลพธและเศษเหลอจากการหาร 4 3 23 2 5x x x x ดวย 2x คอ 3 25 8 17x x x และ 29 ตามล าดบ #

เราจะสงเกตไดวา วธการหารตามตวอยางขางตน คอนขางจะใชเวลา จงมผนยมใชวธการหารทสนลง ท

เรยกกนวา “การหารสงเคราะห” ดงกระบวนการตอไปน พจารณา ขนตอนของการหารสงเคราะห จากตวอยางตอไปน

ตวอยางท 1 จงหาผลลพธและเศษเหลอจากการหารพหนาม 4 3 23 2 5x x x x ดวย 2x วธท า แบงเปนล าดบขน ดงน ขนท 1 ให 4 3 23 2 5p x x x x x จากนน เขยนสมประสทธของพจนตางๆ ของ p x โดยเขยน

เรยงล าดบดกรของ x จากมากไปหานอย ถาพจนใดไมมใหถอวาสมประสทธพจนนนเปนศนย ดงนน จาก 4 3 23 2 5p x x x x x จะได


25

ดกร ส สาม สอง หนง ศนย

สมประสทธ 1 3 2 1 5

ขนท 2 การหารเรมตนจาก เขยนจ านวนแรกในแถวท 3 ซงเทากบจ านวนแรกในแถวท 1 (ซงมาจากสมประสทธ

ของตวตง) โดยตวหารคอ 2 (มาจากตว 2x ซงเปนตวหาร)

ขนท 3 น า c (คอ 2) ไปคณกบจ านวนแรกในแถวท 3 (คอ 1) เขยนผลคณในต าแหนงท 2 ของแถวท 2 ขนท 4 น าต าแหนงท 2 ของแถวท 1 (คอ 3) บวกกบต าแหนงท 2 ของแถวท 2 (คอ 2) เขยนผลบวกไวต าแหนงท 2

ของแถวท 3 ดงน ขนท 5 น า c (คอ 2) ไปคณกบจ านวนท 2 ของแถวท 3 เขยนผลคณไวต าแหนงท 3 ของแถวท 2 ดงน

2 1 3 2 1 5

............................................

1..........................................

แถวท 1 แถวท 2ท 2 แถวท 3

2 1 3 2 1 5

.........2..................................

1...........................................

แถวท 2ท 1

แถวท 1ท 1

แถวท 3ท 1

2 1 3 2 1 5

.........2.........10.....................

1.......5..................................

แถวท 2ท 1

แถวท 1ท 1 แถวท 3ท 1

2 1 3 2 1 5

.........2..................................

1.......5..................................

แถวท 2ท 1

แถวท 1ท 1

แถวท 3ท 1


26

ขนท 6 น าต าแหนงท 3 ของแถวท 1 บวกกบต าแหนงท 3 ของแถวท 2 เขยนผลบวกไวต าแหนงท 3 ของแถวท 3 ดงน ท าเชนนไปเรอยๆ จนถงจ านวนทอยต าแหนงสดทายของแถวท 3 จะไดผลเปนดงน หลกการตอบ จากขนตอนท 1 ถงขนตอนท 6 เรามหลกการตอบ ดงน 1. จ านวนทอยในแถวท 3 ยกเวน จ านวนสดทาย คอสมประสทธของผลลพธจากการหาร ซงจะเปนพหนามดกร

ทมดกรนอยกวาดกรของตวตง p x อย 1 เสมอ จาก 4 3 23 2 5p x x x x x ซงมดกรเปน 4 ดงนน พหนามผลลพธ เปนพหนามทมดกรเปน 3 โดยมสมประสทธเปนแถวท 3 ไมรวมจ านวนสดทาย

2 1 3 2 1 5

.........2.........10.......16.......34

1.......5..........8........17 ......29

นนคอ 3 25 8 17q x x x x

2. จ านวนสดทายในแถวท 3 คอ r x เปนเศษเหลอจากการหารนนเอง ในทนคอ 29

โดยหลกการหาร เราจงสรปไดวา ผลลพธและเศษเหลอ จากการหาร 4 3 23 2 5x x x x ดวย 2x คอ 3 25 8 17x x x และ 29 ตามล าดบ #

ตวอยาง จงหาผลลพธและเศษเหลอจากการหาร 3 22 4 2x x x ดวย 1x โดยวธหารสงเคราะห

2 1 3 2 1 5

.........2.........10.....................

1.......5..........8......................

แถวท 2ท 1

แถวท 1ท 1

แถวท 3ท 1

2 1 3 2 1 5

.........2.........10.......16.......34

1.......5..........8........17.......29

แถวท 2ท 1

แถวท 1ท 1

แถวท 3ท 1

แถวท 2

แถวท 1ท 1

แถวท 3ท 1


27

วธท า

ผลลพธคอ 21 3 1x x และเศษเหลอคอ 1 #

ตวอยาง จงหาผลลพธและเศษเหลอจากการหาร 4 3 27 6x x x x ดวย 2x วธท า

ผลลพธคอ 3 2 5 9x x x เศษเหลอคอ 12 #


2x

วธท า

ดงนนเศษเหลอจากการหารคอ 49

8 #

ตวอยาง จงหาผลหารและเศษเหลอจากการหาร 4 3 22 1p x x x x x ดวย 2 1x

1 1 2 4 2

1 3 1

1 3 1 1

2 1 1 7 1 6

2 2 10 18

1 1 5 9 12

11 3 4 5

2

1 7 9

2 4 8

7 9 491

2 4 8


28

วธท า เราจะเรมโดยการหาร p x ดวย 1

2x ซงจะไดผลลพธและเศษเหลอ ดงตอไปน

ดงนน 4 3 2 3 21 5 9 17 332 1

2 2 4 8 16x x x x x x x x

3 21 5 9 17 332 1

2 4 8 16 16x x x x

ดงนนผลลพธและเศษเหลอจากการหาร p x ดวย 2 1x คอ 3 21 5 9 17

2 4 8 16x x x และ 33

16

ตามล าดบ #

ขอควรระวง 1. พหนามทเปนตวตง ตองเรยงก าลงจากมากไปนอย และในกรณทก าลงมการกระโดดขาม เชน 4 23 2 5x x x เราจะเหนวา ไมมพจน 3x เราตองเขยนพหนาม 4 23 2 5x x x ในรป 4 3 20 3 2 5x x x x ดงตวอยางตอไปน ตวอยาง จงหาผลลพธและเศษเหลอจากการหาร 4 23 5x x x ดวย 1x วธท า เนองจาก 4 2 4 3 23 5 0 3 5x x x x x x x โดยวธการหารสงเคราะห จะไดวา

ดงนนผลลพธจากการหารคอ 3 2 2 1x x x และเศษเหลอคอ 6 #

11 2 1 1 1

2

1 5 9 17

2 4 8 16

5 9 17 331

2 4 8 16

1 1 0 1 3 5

1 1 2 1

1 1 2 1 6


29

แบบฝกหดเพมเตม เรอง การหารสงเคราะห

1. จงหาเศษเหลอจากการหาร 3 24 5 1x x x ดวย 1x 2. จงหาเศษเหลอจากการหาร 3 24 5 1x x x ดวย 2x

3. จงหาเศษเหลอจากการหาร 4 22 3 1x x x ดวย 1

2x

4. จงหาเศษเหลอจากการหาร 3 2 5x x x ดวย 1

3x


30

ภาคผนวกท 3 เฉลยแบบฝกหด


31

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรอง ทฤษฎบทเศษเหลอ

1. 9 2. 3 3. 33

16 4. 124

27 5. 1

6. 20 7. 4200 8. 8 9. 1 10. 8

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรอง ทฤษฎบทตวประกอบ

1. 2 4 3a a a 2. 2 3 2x x x 3. 2 3 3a a a 4.

21 2x x

5. 21 3 1x x x x 6. 1 1 2 4x x x x 7. 2 21 5 5x x x x 8. 21 2 1x x x 9. 23 4 2x x x 10. 2 2 5 3x x x 11. 2 1 3 2 1x x x 12. 2 1 3 1x x x 13. 1 1 2 1 3x x x x 14.

21 2 1 1x x x

เฉลยแบบฝกหดระคน

1. 3 2. 1 3. 3 4. 2 5. 4 6. 2 7. 1 8. 4 9. 3 10. 2

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรอง การหารสงเคราะห

1. 9 2. 3 3. 33

16 4. 124

27


32

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


33

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


34


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


35


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

Documents

16 จำนวนจริง ตอนที่3_ทฤษฎีบทตัวประกอบ