24 จำนวนจริง สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง จ านวนจรง

ตอน สอปฏสมพนธ เรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส)

โดย

ผชวยศาสตราจารย ทพวลย สนตวภานนท

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง จ านวนจรง สอการสอน เรอง จ านวนจรง มจ านวนตอนทงหมดรวม 17 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง จ านวนจรง 2. เนอหาตอนท 1 สมบตของจ านวนจรง

- ระบบจ านวนจรง - สมบตพนฐานของระบบจ านวนจรง

3. เนอหาตอนท 2 การแยกตวประกอบ - การแยกตวประกอบ

4. เนอหาตอนท 3 ทฤษฎบทตวประกอบ - ทฤษฎบทเศษเหลอ - ทฤษฎบทตวประกอบ

5. เนอหาตอนท 4 สมการพหนาม - สมการพหนามก าลงหนง - สมการพหนามก าลงสอง - สมการพหนามก าลงสง - การประยกตสมการพหนาม

6. เนอหาตอนท 5 อสมการ - เสนจ านวนและชวง - อสมการทเกยวของกบพหนามก าลงหนง - อสมการทเกยวของกบพหนามก าลงสง

7. เนอหาตอนท 6 เทคนคการแกอสมการ - อสมการในรปเศษสวน - การแกอสมการโดยวธการยกก าลงสอง - การแกอสมการโดยการแทนคาตวแปร - การประยกตโจทยการแกอสมการ

8. เนอหาตอนท 7 คาสมบรณ - คาสมบรณ - สมการคาสมบรณ


2

9. เนอหาตอนท 8 การแกอสมการคาสมบรณ - อสมการคาสมบรณ - โจทยประยกตอสมการคาสมบรณ

10. เนอหาตอนท 9 กราฟคาสมบรณ - กราฟคาสมบรณ

11. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 12. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 13. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 14. แบบฝกหด (ขนสง) 15. สอปฏสมพนธ เรอง ชวงบนเสนจ านวน 16. สอปฏสมพนธ เรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส) 17. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟคาสมบรณ

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง จ านวนจรง นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง จ านวนจรง (สอปฏสมพนธ เรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส)) หมวด สอปฏสมพนธ ตอนท 2 (2/3) หวขอยอย 1. รากของพหนาม 2. สมการก าลงสอง 3. สมการก าลงสาม 4. สมการก าลงส 5. แบบฝกหด จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยนไดใชสอปฏสมพนธในการศกษา เรอง จ านวนจรง ดงน 1. รจกรปแบบของพหนามและความหมายของรากของพหนาม 2. เขาใจวธทางพชคณตทใชในการหารากทเปนจ านวนจรงของพหนามดกรสอง สาม และส

พรอมทงเบองหลงโดยสงเขปของวธดงกลาว 3. เหนความสมพนธระหวางคาสมประสทธของพหนามดกรไมเกนส และลกษณะการขนลง

ของกราฟ 4. เขาใจความสมพนธระหวางคาสมประสทธของพหนามดกรไมเกนสกบต าแหนงและจ านวน

รากทเปนจ านวนจรง 5. เหนความสมพนธระหวางชดของจด n 1 จด ทก าหนดให กบพหนามดกรไมเกน n ท

ผานทกจดนน 6. สามารถน าความรเกยวกบคารากของสมการ (ก าลงไมเกนส) มาใชในการหาค าตอบของ

อสมการของพหนามได ผลการเรยนร ผเรยนสามารถใชสอปฏสมพนธเรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส) เพอ 1. น าความความรทางพชคณตมาหารากทเปนจ านวนจรงของพหนามก าลง สอง สาม และสได 2. บอกความสมพนธระหวางชดของจด n 1 จด ทก าหนดให กบพหนามดกรไมเกน n ท

ผานทกจดได 3. หาค าตอบของอสมการของพหนามดกรไมเกนสได


4

เนอหาในสอการสอน สอปฏสมพนธ เรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส)

การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad รากของพหนาม สมการก าลงสอง สมการก าลงสาม สมการก าลงส แบบฝกหด


5

การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad


6

การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad สอการสอนชดนพฒนาดวยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad คอซอฟตแวรส ารวจเชง

คณตศาสตร เรขาคณตพลวต รน 4.06 ภาษาไทย ผใชโปรแกรมจะเรยกใชโปรแกรมไดจากเมนค าสง เมอคลกเลอกโปรแกรม หรอ ดบเบลคลก บนเดสกทอป

จะปรากฏหนาตางดงรปท 1

ใหคลกทปม เพอเขาสการใชงานโปรแกรม จะปรากฏหนาตางดงรปท 2 จากรปท 2 จะกลาวถงเครองมอทใชส าหรบการท างานกบโปรแกรมน คอเมนแฟม และ

กลองเครองมอ เมนแฟม ใชท างานเกยวกบแฟมขอมล ในการใชงานสอชดนใชเพยงการเปด/ปด

แฟมขอมล

กลองเครองมอ แบงเครองมอออกเปนหกประเภท ใน

ทนจะใชเฉพาะเครองมอลกศร ส าหรบเลอกหรอเคลอนยาย (หรอลาก) ออบเจกต

ในโปรแกรม ผใชโปรแกรมนจะตองเลอกเครองมอลกศร นในการท างานตลอดทงโปรแกรม

รปท 1. หนาตางแรกของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad


7

รปท 3. หนาตางเลอกแฟมขอมลทตองการ

o การเปด/ปด แฟมขอมล

ถาตองการเรยกโปรแกรมแฟมขอมลขนมาใชงาน ใหคลกทเมน เลอกค าสง

จะปรากฏหนาตางดงรปท 3 ใหเลอกแฟมขอมลทตองการ โดยแฟมขอมลทพฒนาจากโปรแกรม

The Geometer’s Sketchpad จะมนามสกลเปน gsp เลอกแฟมขอมลทตองการ แลวคลกท

แลวจะปรากฏหนาตางของโปรแกรมแฟมขอมล ทไดเลอกไวดงรปท 5

ถาตองการปดแฟมขอมล ใหคลกทเมน เลอกค าสง จะปรากฏหนาตางดงรปท 4 คอโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad จะถามวา

รายการเมน กลองเครองมอ

รปท 2. หนาตางหลกของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad


8

ตองการบนทกการเปลยนแปลงของแฟมขอมลหรอไม ในทนไมแนะน าใหบนทกแฟมขอมล เพราะอาจท าใหโปรแกรมทพฒนาไวมขอผดพลาดได ใหเลอกคลกทปม

เพอจะไดไมมการเปลยนแปลงโปรแกรมทพฒนาไว

เมอเรยกโปรแกรม “สอปฏสมพนธเรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส)” จะปรากฏหนาตางสองหนาตางนสลบกน

รปท 5. หนาตางแรกของโปรแกรม

จากหนาตางนจะสงเกตไดวาทดานลางของหนาตางมรายการเมนค าสงสองระดบ ดงรป

รปท 6. ดานลางหนาตางแรกของโปรแกรม

ระดบแรก

ระดบทสอง

รปท 4. หนาตางเมอเรยกค าสงปดแฟมขอมล


9

ระดบแรกอยดานลางตดกบหนาตางทเลอกไว คอรายการเมน ดงน

ส าหรบเลอกก าหนดต าแหนงของหนาตางภายในหนาจอของเรา การท างานของปมตางๆ

เลอนหนาตางไปมมบนซายของจอภาพ ดภาพการเคลอนไหวของหนานน

เรยกหนาสารบญขนมาแสดงบนหนาตางจอภาพ เรยกหนาสดทายของหวขอขนมาแสดงบนหนาตาง

เลอนหนาตางสอไปกลางหนาตาง ระดบทสองอยดานลางตดกบหนาตางของโปรแกรม ดงน

ส าหรบแสดงรายชอหนาตางในโปรแกรม เพอใหผใชเลอก/เปลยนการท างานไปยงหนาตางนนๆ ไดเลย เปรยบเสมอนเปนเมนลดส าหรบเลอกดหวขอ/หนาตางทตองการ การท างานของปมตางๆ

เลอนไปหนาแรกของหวขอนน เรยกหนาสารบญขนมาแสดงบนจอภาพ

แถบตอมาเปนรายการหวขอยอยในหวขอ “รากของพหนาม” เชน

ผใชสามารถคลกทแถบนเพอเลอนไปทหนานนๆ ไดทนท

แถบเลอนหนาตาง ใชส าหรบเลอนเพอเลอกดรายการหวขอยอยดานลาง แถบเลอน ใชส าหรบเลอนดขอมลในหนาตางไปทางดานซาย/ขวา หรอ

ถาอยในแนวตงกใชส าหรบเลอนขอมลในหนาตางขน/ลง


10

การเรมตนใชงานสอปฏสมพนธ เรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส) ผใชตองคลกท เพอเปลยนการท างานไปทหนาสารบญ หนาตางสารบญจะแสดงดงน

ผใชสามารถเลอกโปรแกรมสอปฏสมพนธ เรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส) จากหนาตางสารบญทแสดงรายการบทเรยน ซงแบงออกเปน 5 หวขอ คอ

1. รากของพหนาม 2. สมการก าลงสอง 3. สมการก าลงสาม 4. สมการก าลงส 5. แบบฝกหด

ขอสงเกต ผใชจะตองคลกเลอกหวขอทลอมรอบดวยกรอบสเหลยม เพอเขาดรายละเอยดของหวขอนนได ในกรณทผใชตองการเปลยนหวขอใหม ผใชตองออกจากหวขอเดมกอน แลวเลอกแฟมขอมลทตองการใหม จากนนใหเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมลทเลอกใหม


11

1. รากของพหนาม


12

1. รากของพหนาม ในหวขอนจะกลาวถงพหนามและการหารากของพหนาม รวมถงกราฟของพหนาม ซงสตรหารากของสมการพหนามก าลงสามและก าลงสถกคนพบโดย เจโรนโม คารดาโน (Geronimo Cardano) และ โลโดวโก เฟรราร (Lodovico Ferrari) ในครสตศตวรรษท 16 นกคณตศาสตรชาวอตาเลยนทงสองทานนถอวาเปนผบกเบกความรเกยวกบพหนามในโลกใหม ส าหรบการเขาศกษาในหวขอ รากของพหนาม น ผ เ รยนสามารถเขาชมสอโดยคลกท

ทหนาตางสารบญ

ซงจะปรากฏหนาจอเนอหาจ านวน 5 หนาตามล าดบดงน

1.1 พหนาม

ในสวนนจะใหรปแบบทวไปของพหนามก าลง n ของตวแปร x รวมถงตวอยางของพหนามก าลง 1, 2 และ 3


13

1.2 รากของพหนาม

แสดงการใหความหมาย “รากของพหนาม” ทมคาเปนจ านวนจรง c ซงท าใหพหนาม P c 0 เมอ P x เปนพหนามก าลง n พรอมใหตวอยาง

1.3 การหารากของพหนาม


14

1.4 ผบกเบก

ในสองหนาตางขางตน (1.3 และ 1.4) นน ไดใหขอมลและประวตโดยสงเขปของการหารากของ พหนามก าลงตาง ๆ และในหนาตางสดทายของหวขอน แสดงกราฟของพหนามซงจะมประโยชนตอการประมาณคารากของพหนาม

1.5 กราฟของพหนาม


15

2. สมการก าลงสอง


16

2. สมการก าลงสอง ในหวขอนผเรยนจะไดใชสอปฏสมพนธศกษาสมการพหนามก าลงสองในเรองตาง ๆ ตอไปน 2.1 สมการก าลงสอง 2.2 ความสมพนธระหวางรากกบสมประสทธ 2.3 กราฟพาราโบลา 2.4 จ านวนรากทเปนจ านวนจรง 2.5 กรณตาง ๆ ของราก 2.6 พาราโบลาจากจดผาน 2.7 กราฟพาราโบลาจากจดผาน การเขาศกษาในหวขอนผเรยนตองเลอกแฟมขอมลเรอง สมการก าลงสอง แลวเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมลน ซงหนาจอจะแสดงดงน

เมอคลกท จะปรากฏหนาจอเนอหาจ านวน 7 หนาตามล าดบดงน


17

2.1 สมการก าลงสอง

แสดงรปแบบสมการพหนามก าลงสอง 2ax bx c 0 เมอ a 0 และการหารากของสมการ

โดยจดรปก าลงสองสมบรณไดรากของสมการเปน 2b b 4ac

x 2a

เฉพาะในกรณท 2b 4ac 0

2.2 ความสมพนธระหวางรากกบสมประสทธ

เราไดเหนสตรหาคารากของสมการก าลงสองในรปของสมประสทธ a, b และ c ในกรณท

2b 4ac 0 จะสามารถแสดงไดจากสตรนวา

1 2

bx x

a

และ

1 2

cx , x

a


18

2.3 กราฟพาราโบลา

ในหนาตางนผเรยนสามารถฝกฝนสงเกตความสมพนธระหวางเซตค าตอบของสมการกบกราฟพาราโบลา 2y ax bx c โดยผเรยนดบเบลคลกทตวแปร a, b และ c เพอก าหนดคาสมประสทธ ในสมการทตองการได และสงเกตกรอบส เหลยมทางดานลางซายของหนาตางจะเหนสมการในรป

2ax bx c 0 และสมการทมการแยกตวประกอบแลวในรป 1 2a x x x x 0 รวมถงเซตค าตอบของสมการก าลงสองทก าหนดขน ผเรยนสามารถใชปมทางดานขวาของกราฟในการชวยสงเกตกราฟของพาราโบลาไดดงตอไปน : ขยายภาพกราฟบรเวณทตองการ วธใช 1. คลกเพอเรมใชงาน

2. สงเกตเหน * สเขยวพรอมกรอบเสนประ กลางจอภาพ ดบเบลคลกท * คางไวพรอมลากเพอขยายในทศทางทตองการ

3. ดบเบลคลกนอกกรอบเสนประเพอเลอนกราฟไปยงต าแหนงของกราฟทตองการ ขยายภาพ

4. คลกอกครงเมอก าหนดต าแหนงและขนาดทตองการขยายเรยบรอยแลว กรอบสเหลยมเสนประจะหายไป

: ก าหนดเสนกรด วธใช ใหคลกเพอใหแสดงเสนกรด และคลกอกครงเพอลบเสนกรด : ตงพกดเรมตน


19

: แสดงคาพกด x, y บนเสนกราฟพาราโบลา วธใช 1. คลกเพอเรมใชงาน

2. เมอปรากฏจดสแดง ดบเบลคลกทจดคางพรอมลากไปยงเสนกราฟจะปรากฏพกด x, y ทสอดคลองสมการ 2y ax bx c

: แสดงแถบชวงค าตอบของอสมการพหนามก าลงสอง วธใช ใหคลกเพอแสดงแถบสเขยวบนแกน X ซงเปนชวงค าตอบของอสมการทก าหนด

หมายเหต การดบเบลคลกระนาบกราฟคางแลวลากเปนการเลอนเปลยนมมมองกราฟ

ตวอยางท 2.1 : จงหารากของสมการพหนามก าลงสอง 23x 2x 1 0

เมอก าหนดคา a 3, b 2 และ c 1 แลวจะไดผลลพธดงภาพขางบน แสดงกราฟพาราโบลา 2y 3x 2x 1 ซงมจดยอดคอ 1 4

, 3 3

และรากของสมการ 23x 2x 1 0 คอ 1 และ 0.33

ซงถาผ เ รยนทดลองแยกตวประกอบเองจะไดวา 20 3x 2x 1 3x 1 x 1 เพราะฉะนน 1

x , 13

หมายเหต คารากทค านวณไดในโปรแกรมเปนคาทปดเศษเหลอทศนยม 2 ต าแหนงเทานน

ผเรยนสามารถฝกฝนสงเกตกราฟพาราโบลาในรปแบบอนไดโดยการก าหนดคา a, b และ c ทแตกตางไป นอกเหนอจากนผเรยนยงสามารถศกษาหาคาชวงค าตอบของอสมการพหนามก าลงสองไดโดยการเลอนแถบทางดานลางซายจาก ไปยง ส าหรบอสมการ 23x 2x 1 0 ส าหรบอสมการ 23x 2x 1 0 ส าหรบอสมการ 23x 2x 1 0 ส าหรบอสมการ 23x 2x 1 0


20

ทงนผเรยนจะสงเกตเหนแถบชวงสเขยวปรากฏขนเพอแสดงชวงค าตอบของอสมการเมอคลกปม ทางดานขวาของกราฟ

ตวอยางท 2.2 : จงหาชวงค าตอบของอสมการพหนามก าลงสอง 21.5x x 7 0 วธท า 1. ก าหนดคา a 1.5 b 1 และ c 7

2. เลอนแถบทางดานซายลางไปยง 3. คลกปม ทางดานขวาของกราฟ 4. ผลลพธเซตค าตอบของอสมการคอ 1.85, 2.52 แสดงชวงค าตอบของอสมการดวยแถบส

เขยวดงภาพ

ผเรยนสามารถหารากของสมการ 21.5x x 7 0 โดยใชสตร 2b b 4ac

x2a

เพอเปนจด

แบงชวงบนเสนจ านวน จากนนพจารณาชวงทสอดคลองกบอสมการ 21.5x x 7 0 ดงทแสดงไวในคมอสอปฏสมพนธเรอง ชวงบนเสนจ านวน และเปรยบเทยบกบค าตอบทไดจากหนาตางขางบน ในเรองตอไปจะกลาวถงจ านวนรากของสมการพหนามก าลงสองทเปนจ านวนจรง


21

2.4 จ านวนรากทเปนจ านวนจรง

2.5 กรณตาง ๆ ของราก

ในเรองนผเรยนจะไดฝกฝนสงเกตความสมพนธระหวางคา 2 b 4ac กบกรณตาง ๆ ของรากของสมการพหนามก าลงสอง 2ax bx c 0 โดยการเปลยนคาสมประสทธ a, b และ c ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 2.3 จงหารากของสมการ 2x 2x 3 0 วธท า จากสมการ a 1 b 2 และ c 3 จะไดวา

2 2 4 1 3 16

เพราะฉะนน รากของสมการจะเปนจ านวนจรงทตางกน 2 คา แสดงดงภาพ


22

ตวอยางท 2.4 จงหารากของสมการ 2x

2x 2 02

วธท า จากสมการ a 0.5 b 2 และ c 2 จะไดวา

2 2 4 0.5 2 0

เพราะฉะนน รากของสมการจะเปนจ านวนจรงทมคาซ ากนแสดงดงภาพ

ตวอยางท 2.5 จงหารากของสมการ 2 73x 5x 0

2

วธท า จากสมการ a 3 b 5 และ c 3.5 จะไดวา

2 5 4 3 3.5 17

เพราะฉะนน ไมมรากทเปนจ านวนจรง

นอกจากนผเรยนควรจะฝกใชสอปฏสมพนธในเรองนส าหรบกรณตาง ๆ เพมเตมโดยการปรบคาสมประสทธของสมการก าลงสอง


23

2.6 พาราโบราจากจดผาน

หนาตางนแสดงสมการพาราโบลาทสรางขนจากการก าหนดจด 3 จดทไมไดเรยงอยบนแนวเสนตรงเดยวกน และไมม 2 จดใดอยในแนวตงเดยวกน 2.7 กราฟพาราโบลาจากจดผาน

ผเรยนสามารถฝกฝนการสรางสมการพหนามก าลงสองจากจดผานไดโดยการลากจดสน า เงนในกราฟ เพอเปนการก าหนดจดผานทตองการ สอจะสรางเสนกราฟสแดงซงไดจากสมการในหวขอ 2.6 พรอมทงแสดงเซตค าตอบของสมการ ดงตวอยาง

ตวอยางท 2.6 จงหาสมการพหนามก าลงสองทลากผานจด 4, 2 , 0, 6 และ 6, 1.5 วธท า 1. เลอนแถบเครองหมายดานลางซายไปยง และเลอกพกดจดผานเปน 2. ลากจดสน าเงนไปยงพกดทตองการคอ 4, 2 , 0, 6 และ 6, 1.5 3. สมการพหนามก าลงสองทไดคอ 20.28x 0.91x 6.01 0

เซตค าตอบคอ 3.30, 6.59


24

ตวอยางท 2.7 จงหาสมการพหนามก าลงสองทลากผานจด 4, 0 , 0, 8 และ 2, 4

สมการพหนามก าลงสองทไดคอ 21.31x 3.22x 7.90 0 เซตค าตอบคอ 3.97, 1.52

ในตวอยางท 2.7 หากผเรยนเลอกพกดของจดผานเปน จะไดสมการและเซตค าตอบ ดงตอไปน

สมการ 21.33x 3.33x 8 0 เซตค าตอบ 4, 1.5

หมายเหต


25

ผเรยนสามารถเปลยนเลอกจากเครองหมาย ไปยงอสมการอน ๆ เพอหาเซตค าตอบในรปชวงได ดงตวอยางขางลาง

พรอมทงคลก แสดงแถบสเขยวเปนชวงค าตอบของอสมการไดอกดวย


26

3. สมการก าลงสาม


27

3. สมการก าลงสาม เราจะศกษาสมการพหนามก าลงสามในท านองเดยวกบหวขอทผานมาเรอง สมการก าลงสอง ซงในหวขอนประกอบดวยเรองดงตอไปน 3.1 สมการก าลงสาม 3.2 วธของคารดาโนโดยสงเขป 3.3 กราฟพหนามก าลงสาม 3.4 จ านวนรากทเปนจ านวนจรง 3.5 กรณตาง ๆ ของราก 3.6 พหนามก าลงสามจากจดผาน 3.7 กราฟพหนามก าลงสามจากจดผาน การเขาศกษาในหวขอน ผเรยนตองเลอกแฟมขอมลเรอง สมการก าลงสาม แลวเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมลน ซงหนาจอแสดงดงน

เมอคลกท จะปรากฏหนาจอเนอหาจ านวน 7 หนา ตามล าดบดงน


28

3.1 สมการก าลงสาม

แสดงรปแบบสมการพหนามก าลงสาม 3 2ax bx cx d 0 เมอ a 0 และการหารากของสมการโดยวธของคารดาโนโดยสงเขปดงหนาตางถดไป 3.2 วธของคารดาโนโดยสงเขป


29

3.3 กราฟของพหนามก าลงสาม

รปแสดงกราฟ 3 2y 2x 2x 8x 1

ในหนาตางนผเรยนสามารถฝกฝนสงเกตความสมพนธระหวางเซตค าตอบของสมการกบกราฟ พหนามก าลงสาม 3 2ax bx cx d 0 โดย

ผเรยนดบเบลคลกทตวแปร a, b, c และ d เพอก าหนดคาสมประสทธในสมการทตองการ และสงเกตกรอบส เหลยมทางดานลางซายของหนาตางจะเหนสมการกราฟพหนามก าลงสามในรป

3 2ax bx cx d 0 และสมการทมการแยกตวประกอบแลวในรป 1 2a x x x x 3x x 0 รวมถงเซตค าตอบของสมการทก าหนดขน

ผเรยนสามารถใชปมเครองมอทางขวาของกราฟในการชวยใหเหนภาพกราฟไดชดเจนขนตามทไดแนะน าแลวในเรองกราฟพาราโบลา

ตอไปจะขอยกตวอยางในการใชสอปฏสมพนธในหวขอกราฟพหนามก าลงสาม ตวอยางท 3.1 จงหารากของสมการพหนามก าลงสาม 3 22x 2x 8x 1 0


30

ผลลพธทไดคอเสนกราฟสแดงแสดงกราฟพหนามก าลงสาม 3 2y 2x 2x 8x 1

และไดรากของสมการ y 0 คอ 1.63, 0.12 และ 2.51 นอกจากนนกเรยนยงสามารถเลอนแถบทางดานลางซายของหนาตางไปยงเครองหมายอสมการตาง ๆ เชน หรอ จะไดผลลพธดงภาพ

กราฟแสดงชวงค าตอบของอสมการ กราฟแสดงชวงค าตอบของอสมการ

3 22x 2x 8x 1 0 3 22x 2x 8x 1 0

ในเรองถดไปจะกลาวถงจ านวนรากทเปนจ านวนจรงของสมการพหนามก าลงสาม และกรณตาง ๆ ของรากของสมการพหนามก าลงสามทมสมประสทธตาง ๆ ซงนกเรยนสามารถทดลองฝกฝน เพอสงเกตผลลพธทเกดขนไดเองโดยการเปลยนคาสมประสทธ a, b, c และ d ในหนาตาง “กรณตาง ๆ ของราก”

3.4 จ านวนรากทเปนจ านวนจรง


31

3.5 กรณตาง ๆ ของราก ผเรยนสามารถฝกฝนสงเกตความสมพนธระหวางคา 3 2 2 3 2 218abcd 4b d b c 4ac 27a d กบกรณตาง ๆ ของรากและกราฟพหนามก าลงสาม 3 2y ax bx cx d โดยการเปลยน คาสมประสทธ a, b, c และ d ดงตวอยางตอไปน ตวอยางท 3.2 จงหารากของสมการ 3 2x 2x x 2 0 วธท า จากสมการจะได a 1 b 2

c 1 d 2 จะไดวา

3 2 2 3 2 218 4 4 2 2 2 1 4 1 1 27 1 2

36 เพราะฉะนน รากของสมการจะเปนจ านวนจรงทตางกน 3 คา แสดงดงภาพ

ตวอยางท 3.3 จงหารากของสมการ 3 2x x 0 วธท า จากสมการ 3 2 2x x x x 1 0

x 0, 1 ก าหนด a 1 b 1

c 0 d 0 จะได 0

เพราะฉะนนรากเปนจ านวนจรงทง 3 ตวแตมรากซ ากน 2 ตว


32

ตวอยางท 3.4 จงหารากของสมการ 3

2xx 3x 1 0

10

วธท า จากสมการจะได a 0.1 b 1


3 2 2 3 2 218 0.3 4 1 1 1 3 4 0.1 3 27 0.1 1

3.47 เพราะฉะนนรากของสมการเปนจ านวนจรงเพยง 1 ตว อกสองรากเปนจ านวนเชงซอน


33

ตวอยางท 3.5 จงหารากของสมการ 3 2x 3x 3x 1 0 วธท า จากสมการจะได a 1 b 3


3 2 2 3 2 218 9 4 3 1 3 3 4 1 3 27 1 1

0 เพราะฉะนน รากของสมการเปนจ านวนจรงทมคาซ ากนทง 3 ตว

3.6 พหนามก าลงสามจากจดผาน

ในสวนนไดใหสมการพหนามก าลงสามทสรางขนจากการก าหนดจด 4 จด ทไมอยในแนวตงเดยวกนเลย สมการพหนามทสรางขนอาจลดรปเปนพหนามทมก าลงต ากวา 3 ในบางกรณได


34

3.7 กราฟพหนามก าลงสามจากจดผาน

การฝกฝนสรางสมการพหนามก าลงสามจากจดผานในหนาตางน สามารถท าไดในท านองเดยวกนกบเรองกราฟพาราโบลาจากจดผาน โดยการลากก าหนดจดผาน 4 จดตามตองการ สอปฏสมพนธจะแสดงกราฟพหนามก าลงสามทผานทง 4 จดพรอมแสดงสมการพหนามก าลงสามและเซตค าตอบของสมการ ตวอยางท 3.6 จงหาสมการพหนามก าลงสามทลากผานจด 8, 0 , 3, 2 , 2, 2 , และ 5, 4

สมการพหนามก าลงสามคอ 3 20.04x 0.2x 0.86x 1.41 0 เซตค าตอบคอ 7.94, 1.33, 3.70

ตวอยางท 3.7 จงหาสมการพหนามก าลงสามทลากผานจด 6, 10 , 3, 2 , 4, 2 , และ 6, 8

สมการพหนามก าลงสามคอ 3 20.04x 0.02x 0.1x 0.53 0 เซตค าตอบคอ 2.17


35

หมายเหต ผเรยนสามารถหาเซตค าตอบของอสมการแทนการหาเซตค าตอบของสมการในตวอยางท 3.6 โดยการเลอนแถบดานลางซายไปยง หรอ ตามตองการได ตวอยางเชน ตองการหาเซตค าตอบของอสมการ 3 20.04x 0.02x 0.1x 0.53 0

เซตค าตอบคอ , 2.17


36

4. สมการก าลงส


37

4. สมการก าลงส ในหวขอนผเรยนจะไดศกษาสมการพหนามก าลงสในรปแบบเดยวกบหวขอท 2 สมการก าลงสอง และหวขอท 3 สมการก าลงสามทผานมา เรองตาง ๆ ในหวขอนมดงน 4.1 สมการก าลงส 4.2 วธของเฟรรารโดยสงเขป 4.3 กราฟพหนามก าลงส 4.4 พหนามก าลงสจากจดผาน 4.5 กราฟพหนามก าลงสจากจดผาน การเขาศกษาในหวขอนผเรยนตองเลอกแฟมขอมลเรอง สมการก าลงส แลวเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมลน ซงหนาจอจะแสดงดงน

เมอคลกท จะปรากฏหนาจอเนอหาจ านวน 5 หนาตามล าดบดงน 4.1 สมการก าลงส

จอภาพแสดงรปแบบสมการพหนามก าลงส 4 3 2ax bx cx dx e 0 เมอ a 0 และรปแบบ

สมการทอยในรปลดก าลงของสมการก าลงส 4 2y py qy r 0 เมอ by x

4a ผเรยนสามารถทดลอง

จดรปดวยตนเองดวาไดผลลพธตามสอหรอไม


38

หลงจากทผเรยนไดสมการลดก าลงแลว กสามารถหารากของสมการพหนามก าลงสโดยวธของ เฟรราร ดงหนาตางถดไป 4.2 วธของเฟรรารโดยสงเขป

ผเรยนสามารถแกสมการพหนามก าลงสทถกจดรปดงสมการสดทาย

2 2y y y y 0

โดยการแกสมการก าลงสอง 2 สมการดงน 2y y 0 และ 2y y 0 ซงสามารถกลบไปใชหวขอท 2 ในสอปฏสมพนธตอนนนนเอง


39

4.3 กราฟพหนามก าลงส

ผเรยนสามารถใชสอปฏสมพนธหนาตางนในท านองเดยวกบหนาตาง “กราฟพาราโบลา” และ “กราฟพหนามก าลงสาม” เรมตนโดยการก าหนดคา a, b, c, d และ e ในสมการก าลงส 4 3ax bx 2 cx dx e 0 แลวสงเกตเซตค าตอบของสมการทได รวมถงเซตค าตอบของอสมการดวย จะขอยกตวอยางดงตอไปน

ตวอยางท 4.1 จงหารากของสมการพหนามก าลงส 4

3 2x2x 2x 8x 1 0

2

วธท า ก าหนดคา a 0.5 b 2 c 2 d 8 และ e 1

เซตค าตอบคอ 3.96, 2.12, 0.12, 1.96

ตวอยางท 4.2 จงหาชวงค าตอบของอสมการ 4

3 2x2x 2x 8x 1 0

2

เซตค าตอบคอ , 3.96 2.12, 0.12 1.96,


40

ตวอยางท 4.3 จงหาชวงค าตอบของอสมการ 4

3 2x2x 2x 8x 1 0

2

เซตค าตอบคอ 3.96, 2.12 0.12, 1.96 ในตวอยางตอไปนจะแสดงกราฟพหนามก าลงสทมจ านวนรากของสมการ y 0 นอยกวาส ตวอยางท 4.4 จงหารากของสมการ 4x 1 0 วธท า ก าหนดคา a 1 b 0 c 0 d 0 และ e 1

เซตค าตอบคอ


41

ตวอยางท 4.5 จงหารากของสมการ 4 2x x 0 วธท า ก าหนดคา a 1 b 0 c 1 d 0 และ e 0

เซตค าตอบคอ 0 ตวอยางท 4.6 จงหารากของสมการ 4x 1 0 วธท า ก าหนดคา a 1 b 0 c 0 d 0 และ e 1

เซตค าตอบคอ 1, 1


42

ตวอยางท 4.7 จงหารากของสมการ 4 2x x 0 วธท า ก าหนดคา a 1 b 0 c 1 d 0 และ e 0

เซตค าตอบคอ 1, 0, 1 ตวอยางท 4.8 จงหารากของสมการ 4 3 2x 2x x 2x 0 วธท า ก าหนดคา a 1 b 2 c 1 d 2 และ e 0

เซตค าตอบคอ 1, 0, 1, 2


43

4.4 พหนามก าลงสจากจดผาน

แสดงสมการพหนามก าลงสสรางขนจากการก าหนดจด 5 จด (ทไมมจดใดอยในแนวตงเดยวกน) 4.5 กราฟพหนามก าลงสจากจดผาน

สรางสมการพหนามก าลงสจากจดผานโดยการลากจดสน าเงนเพอก าหนดจดผานทตองการ 5 จด หนาตางนแสดงเสนกราฟพหนามก าลงส (ซงไดจากสมการในหวขอ 4.4 ขางตน) ลากผานจดทก าหนดทงหา พรอมทงเซตค าตอบของสมการ หรออสมการ ดงตวอยาง

ตวอยางท 4.9 จงหาสมการพหนามก าลงสทลากผานจด 5, 8 , 2, 5 , 2, 2 , 6, 4 และ 7, 0 วธท า 1. เลอนแถบเครองหมายไปยง และเลอกพกดจดผานเปน 2. ลากจดสน าเงนไปยงพกด 5, 8 , 2, 5 , 2, 2 , 6, 4 และ 7, 0 3. สมการพหนามก าลงสทไดคอ 4 3 20.02x 0.07x 0.72x 2.03x 1.12 0

เซตค าตอบคอ 6.01, 0.47, 3.18, 7.02


44

4. ผเรยนสามารถหาชวงค าตอบของอสมการพหนามก าลงสทลากผานจดทงหาขางตน โดยการเลอนแถบ ไปยง หรอ ดงตวอยางขางลาง

เซตค าตอบของอสมการ 4 3 20.02x 0.07x 0.72x 2.03x 1.12 0 คอ 6.01, 0.47 3.18, 7.02

เซตค าตอบของอสมการ 4 3 20.02x 0.07x 0.72x 2.03x 1.12 0 คอ 6.21, 0.47 3.18, 7.02


45

เซตค าตอบของอสมการ 4 3 20.02x 0.07x 0.72x 2.03x 1.12 0 คอ , 6.01 3.18, 7.02

เซตค าตอบของอสมการ 4 3 20.02x 0.07x 0.72x 2.03x 1.12 0 คอ , 6.01 0.47, 3.18 7.02,


46

5. แบบฝกหด


47

5. แบบฝกหด จากการศกษาสอปฏสมพนธเรอง สมการและอสมการพหนามทผานมา ผเรยนจะสามารถใชสอชดน เพอชวยในการหาเซตค าตอบของสมการและอสมการพหนาม(ก าลงไมเกนส) รวมถงรปแบบของกราฟทไดจากการก าหนดสมการและอสมการ หรอการก าหนดจดผานของกราฟ

ในหวขอนผเรยนจะไดฝกฝนแบบฝกหดเกยวกบสมการและอสมการพหนามก าลงสอง สาม และส ทงนผเรยนตองเลอกแฟมขอมลเรอง แบบฝกหด แลวเขาสหนาตางสารบญดงน

เมอคลกท กจะเขาสหนาตางแบบฝกหด 6 เรองตามล าดบดงตอไปน 5.1 แบบฝกหด (สมการและอสมการพหนาม)


48

ในขอ 1-12 นผเรยนสามารถใชกราฟสมการและอสมการพหนามในหนาตางถดไปในการฝกฝนโดยแบงออกเปน 3 กลมยอย

สมการพหนามก าลงสอง : ขอ 1-3 สมการพหนามก าลงสาม : ขอ 4-7 สมการพหนามก าลงส : ขอ 8-12

ซงในแตละกลมยอยจะมการใชสอในลกษณะคลายกน ดงนนจงขอแสดงเฉลยเปนบางขอของแตละกลมเทานน ส าหรบขออน ๆ ขอใหผเรยนฝกฝนตามทไดศกษามาขางตน ขอ 2.

22y 4x 12x 9 2x 3 เปนสมหารพหนามก าลงสอง เลอนแถบดกรไปยง

จะได 2

2 1 0p x a x a x a ก าหนดคา 0 1a 9 a 12 และ 2a 4 เซตค าตอบของสมการและอสมการรปแบบตาง ๆ แสดงดงน

y 0 y 0


49

y 0 y 0

y 0

ขอ 6. 3 2y 8x 12x 6x 1

32y 2x 1 4x 4x 1 2x 1 เปนสมการพหนามก าลงสาม

เลอนแถบดกรไปยง จะได 3 2

3 2 1 0p x a x a x a x a ก าหนดคา 0 1 2a 1 a 6 a 12 และ 3a 8 เซตค าตอบของสมการและอสมการรปแบบตาง ๆ แสดงดงน


50

y 0 y 0

y 0 y 0

y 0


51

ขอ 11. 4 3 2y x 3x 3x 11x 6

2y x 2 x 1 x 3 เปนสมการพหนามก าลงส

เลอนแถบดกรไปยง 4 3 2

4 3 2 1 0p x a x a x a x a x a ก าหนดคา 0 1 2 3a 6 a 11 a 3 a 3 และ 4a 1 เซตค าตอบของสมการและอสมการรปแบบตาง ๆ แสดงดงน

y 0 y 0

y 0 y 0


52

y 0

5.2 แบบฝกหด (กราฟพหนาม)

การหาค าตอบของแบบฝกหดน ผเรยนสามารถหาโดยอาศยความรจากเนอหาเรอง รากของสมการพหนามทไดศกษามาแลว ในทนจงขอใหแนวคดและค าตอบของแบบฝกหดโดยสงเขป

ถา P x เปนพหนามก าลง n

n n 1

n n 1 1 0P x a x a x ... a x a

n 1 2 na x x x x ... x x

แลวจะไดวารากของสมการพหนาม P x 0 ทงหมดคอ 1 2 nx ,x ..., x (มรากซ ากนได) นนคอ รากของสมการ P x 0 หรอ จดตดแกน X ของกราฟพหนาม P x จะมไดไมเกน n จด เพราะฉะนนจ านวนจดตดแกน X สงสดของกราฟพหนามก าลงสอง สาม และส คอ 2, 3 และ 4 ตามล าดบ

แนวคด :


53

จากหนาตาง “จ านวนรากทเปนจ านวนจรง” ของสมการพหนามก าลงสองและสามในหวขอ 2.4 และ 3.4 ตามล าดบ เราจะสรปไดวา

2P x ax bx c 3P x ax bx cx d

เราทราบวาพหนามก าลง n มจ านวนราก (ทเปนจ านวนจรง) ไปเกน n ราก อยางไรกตามจ านวนรากหรอจ านนจดตดแกน X อาจเปนไปไดเพยงบางคา จ านวนจดตดแกน X ทเปนไปไดของกราฟพหนามก าลง

- สอง คอ 0, 1 หรอ 2 เชน ตวอยางท 2.5, 2.4 และ 2.3 ตามล าดบ - สาม คอ 1, 2 หรอ 3 เชน ตวอยางท 3.4, 3.3 และ 3.2 ตามล าดบ - ส คอ 0, 1, 2, 3 หรอ 4 เชน ตวอยางท 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, และ 4.8 ตามล าดบ

สงเกตวากราฟของพหนามก าลงสามจะตองมจดตดแกน X เสมอทงนเพราะเมอ x ลเขาสบวกและลบอนนต กราฟของพหนามก าลงสามจะมคาไปส สวนทางกน ดวยความตอเนองของพหนามจงท าใหกราฟจ าเปนตองตดแกน X อยางนอย 1 จด

การพจารณาจดสดขดสมพทธของสมการพหนามนนจะตองน าเรองอนพนธของฟงกชนซงอยในเนอหาของแคลคลสมาชวยในการพจารณาซงจะกลาวถงในสอตอนนน ๆ อยางไรกตามผเรยนสามารถใชสอปฏสมพนธตอนนชวยในการสงเกตกราฟพหนาม(ก าลงไมเกนส) ลกษณะตาง ๆ วามจดสดขดสมพทธจ านวนเทาใดบาง

ค าตอบแบบฝกหด (กราฟพหนาม) 1. 0 หรอ 2 2. 1, 2 หรอ 3 3. 1 หรอ 3 4. 0, 1, 2, 3 หรอ 4


54

5.3 แบบฝกหด (กราฟพหนามก าลงสอง)

ในแบบฝกหดชดน ผเรยนจะไดฝกก าหนดจดพกดจากกราฟทแสดงไวในหนาตางสอขางตนเพอหาพหนามก าลงสอง ลองดวาผเร ยนจะไดค าตอบดงเฉลยขางลางนหรอไม

2x

y 3

2y x x 6

2x x

y 64 2

2x

y 4x2

1

2

3

4

1

2

3

4


55

5.4 แบบฝกหด (กราฟพหนามก าลงสาม)

ท านองเดยวกนกบแบบฝกหดในหวขอ 5.4 ผเรยนสามารถก าหนดจดพกดจากกราฟแสดงขางตน เพอหาพหนามก าลงสามและตรวจสอบกบค าตอบตอไปน 3y 2x 8x

3x

y 3x 44

3 2y x 2x 4x 8

3

2x 3y x 6x 8

8 2

2

3

4

1

1

2

3

4


56

5.5 แบบฝกหด (กราฟพหนามก าลงส)

ค าตอบพหนามก าลงสของกราฟแสดงดงภาพขางตนคอ

4

3 2x 3 7 9y x x x 9

16 16 4 4

4 3

2x xy 3x 2x 8

4 2

4 3

2x x 3y x 2x 4

16 4 4

4 3 2y x x 3x 5x 2

1

2

3

4

1

2

3

4


57

5.6 แบบฝกหด (พหนามจากจดผาน)

หลงจากผเรยนฝกฝนใชสอปฏสมพนธเรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส) ตอนนแลว ผจดท าสอปฏสมพนธกอยากจะใหค าถามชวนคดไวใหผเรยนไดสงเกตวาในกรณใดทสมการพหนามทไดจากการก าหนดจด n 1 จดในระนาบ XY และไมมจดใดอยในแนวตงเดยวกน จะลดรปเปนพหนามดกรต ากวา n


58

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


59

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


60


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


61


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

Documents

24 จำนวนจริง สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม