1.6 三角函数模型的简单应用

1.6 三角函数模型的简单应用

例 1 如图 , 某地一天从 6 ～ 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+φ)+b A>0 (1) 求这一天的最大温差 ; (2) 写出这段曲线的函数解析式 .

6 10 14

y T/℃

xt/h

10

20

30

O

解 :(1) 最大温差是 20℃(2)从 6 ～ 14 时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象

6 10 14

y T/℃

xt/h

10

20

30

O

，1

A = 30-10 =102

1b = 30 +10 = 20

2

1 1 2T= 14 6

2 2

8 所以

将 x=6,y=10 代入上式 , 解得3π

φ =4

π 3π

y=10sin x+ +20,x∈ 6,148 4

所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段温度变化 , 因此应当特别注意

自变量的变化范围

所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段温度变化 , 因此应当特别注意

自变量的变化范围

所以

法国圣米切尔山【Mount Archangel Michae】

海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。

涨潮 落潮

宁波港地处我国大陆海岸线中部，南北和长江“ T ” 型结构的交汇点上，地理位置适中，是中国大陆著名的深水良港，分成宁波老港区、镇海港区、北仑港区，宁波港水深流顺风浪小。进港航道水深在 18.2 米 以上， 20 万吨以下船舶自由进港， 25 万吨 30 万吨船舶可候潮进出港。

事例二

例 海水受日月的引力 , 在一定的时候发生涨落的现象叫潮 . 一般地 , 早潮叫潮 , 晚潮叫汐 . 在通常情况下 , 船在涨潮时驶进航道 , 靠近码头 ; 卸货后 , 在落潮时返回海洋 . 下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表 :

时刻 水深 /米 时刻 水深 /

米 时刻 水深 /米

0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0

3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5

6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0

(1) 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数生态系统 , 给出整点时的水深的近似数值 ( 精确到0.001).(2) 一条货船的吃小深度 ( 船底与水面的距离 ) 为 4米 , 安全例规定至少要有 1.5 米的安全间隙 ( 船底与洋底的距离 ), 该船何时能进入港口 ? 在港口能呆多久 ?(3) 若某船的吃水深度为 4 米 . 安全间隙为 1.5米 ,该船在 2:00 开始卸货 , 吃水深度以每小时 0.3 米的速度减少 , 那么该船在什么时间必须停止卸货 , 将船驶向较深的水域 ?

解 :(1) 以时间为横坐标 , 水深为纵坐标 , 在直角坐标系中画出散点图

3 6 9 12 15 18 21 24O x

y

6

4

2

根据图象 , 可以考虑用函数y=Asin(x+)+h 刻画水深与题意之间的对应关系 .

A=2.5,h=5,T=12,=02π π

T = = 12, ω = .ω 6

由 得

所以 , 港口的水深与时间的关系可用 近似描述 .πy = 2.5sin x + 5

6

时刻 0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00

水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754

时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00

水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754

πy = 2.5sin x + 5

6由 得到港口在整点时水深的近似值 :

(2) 货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5(米 ), 所以当y≥5.5 时就可以进港 . 5.55

6sin5.2 x

2.06

sin x

由计算器可得

SHIFT sin-1

MODE MODE 2

0.2=0.20135792≈0.2014

A B C Dy=5.5

y

O x5 10 15

2

4

6

8

2.5sin 56

y x

π0,12 , y = 2.5sin x + 5

6y = 5.5 A,B,

在区间 内函数 的图象、

与直线 有两个交点 因此2014.0

6-,2014.0

6

或x

0.3848,

5.6152A

B

x

x

6152.176152.512

,3848.123848.012

:

D

C

x

x

由函数的周期性易得

因此 , 货船可以在 0 时 30 分左右进港 , 早晨 5 时30 分左右出港 ; 或在中午 12时 30 分左右进港 ,下午 17时 30 分左右出港 . 每次可以在港口停留 5小时左右 .

O 2 4 6 8 10 x

y

8

6

4

2

2.5sin 56

y x

5.5 0.3 2y x

P

(3) 设在时刻 x 货船的安全水深为 y, 那么 y=5.5-0.3(x-2)(x≥2). 在同一坐标系内作出这两个函数 , 可以看到在 6～ 7时之间两个函数图象有一个交点 .

通过计算 .在 6 时的水深约为 5 米 , 此时货船的安全小深约为 4.3米 .6.5 时的水深约为 4.2米 , 此时货船的安全小深约为 4.1米 ;7 时的小深约为 3.8米 , 而货船的安全小深约为 4 米 . 因此为了安全 ,货船最好在 6.5 时之前停止卸货 , 将船驶向较深的水域 .

小结 :1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型 , 可以用来研究很多问题 , 我们可以通过建立三角函数模型来解决实际问题 , 如天气预报 , 地震预测 ,等等 .2.建立三角函数模型的一般步聚 :

现实问题

现实模型

改造

三角函数模型 抽象 概括

解析式

图 形

三角函数模型的解

数学 方法

还原 说明

现实模型的解是否符合实际

修改

体验探究1 、你能一刀削出一条正弦曲线吗？

提示：把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈，用刀斜着将纸筒削断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线。

你知道吗？

这条曲线就是正弦曲线！

2 、你能试着针对周围一些呈周期性变化的现象编拟一道能用三角函数模型解决它的题吗？

例 3 如图 , 设地球表面某地正午太阳高度角为 θ,δ为此时太阳直射纬度 ,φ 为该地的纬度值 , 那么这三个量之间的关系是 θ=90°-|φ-δ|. 当地夏半年δ 取正值 ,冬半年δ 负值 .

太阳光

90

地心

北半球

南半球

如果在北京地区 ( 纬度数约为北纬 40°)的一幢高为 h0 的楼房北面盖一新楼 , 要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡 ,两楼的距离不应小于多少 ?

太阳高度角的定义• 如图，设地球表面某地纬度值为 ，

• 正午太阳高度角为 ，此时太阳直射纬度为

• 那么这三个量之间的关系是

• 当地夏半年 取正值，冬半年 取负值。

||90

90

||90 ||90

太阳光

90

地心

北半球

南半球

分析：太阳高度角、楼高 h0 与此时楼房在地面的投影长 h 之间的有如下关系： h0=htan

23 26 23 260 40M

h

CBA

根据地理知识，在北京地区，太阳直身北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长 .

考虑太阳直射南回归线

课件演示

解 :取太阳直射南回归线的情况考虑 , 此时太阳直射纬度为 -23°26′,依题意两楼的间距应不小于MC.

根据太阳高度角的定义 , 有 ,432662234090 C

000 000.2

4326tantan h

h

C

hMC

所以

即在盖楼时 , 为使后楼不被前楼遮挡 , 要留出相当于楼高两倍的间距

A B C

h0

P

小结 :1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型 , 可以用来研究很多问题 , 我们可以通过建立三角函数模型来解决实际问题 , 如天气预报 , 地震预测 ,等等 .2.建立三角函数模型的一般步聚 :

现实问题

现实模型

改造

三角函数模型 抽象 概括

解析式

图 形

三角函数模型的解

数学 方法

还原 说明

现实模型的解是否符合实际

修改

课堂练习课本 65页练习 1, 2， 3