§15 §15 三角函数及其应用三角函数及其应用

3.23.2 正弦型函数的图象正弦型函数的图象

一般地，形如 siny A x ， x R 的函数(其中

0A ， 0 ， A、、都是常数)，叫做正弦型函数，

其图象叫做正弦型曲线．

其中 A叫做振幅， 叫做角速度(或角频率)，

叫做初相位， 2T

是函数的周期．

已知正弦型函数 3sin( )2 6

xy

，求该正弦型函数的振

幅、角频率、初相位、周期、最大值和最小值．

用五点法作下列正弦型函数在一个周期内的简图：x

siny x 0

0

00

2

3

2

2

1 10 0 0222siny x

1sin

2y x 0

1

20

1

2 0

y

0 xπ 2π

1

2

-1

-2

y

0 xπ 2π

1

2

-1

-2

A 对函数图象的影响 y=Asinx (A>0) 的图象是由 y=sinx 的图象沿 y 轴方向伸长 ( 当 A>1 时 ) 或压缩 ( 当 0<A<1 时 )A 倍而成 . 函数 y=Asinx (A>0) 的值域是 [–A ， A].

A 对函数图象的影响

如何由正弦函数 siny x 的图象，通过振幅变换的

方法得到正弦型函数 3siny x 的图象？

y

0 xπ 2π 3π 4π

1

-1

用五点法作下列正弦型函数在一个周期内的简图：x

0 2

3

2

2

0 0 011sin 2y x

2x

0 4

2

3

4

siny xsin 2y x

y

0 xπ 2π 3π 4π

1

-1

用五点法作下列正弦型函数在一个周期内的简图：x

0 2

3

2

2

0 0 011sin2

xy

2

x0 2 3 4

siny xsin 2y x sin2

xy

y

0 xπ 2π 3π 4π

1

-1 siny xsin 2y x sin2

xy

ω 对函数图象的影响

y=sinωx (ω>0) 的图象是由 y=sinx 的图象沿 x

轴压缩 ( 当 ω>1 时 ) 或伸长 ( 当 0<ω<1 时 ) 倍而成 .

1

周期变为原来的 ，即 .

1

2

ω 对函数图象的影响

如何由正弦函数 siny x 的图象，通过振幅变换、周

期变换的方法得到正弦型函数 2sin 4y x 的图象？

用五点法作下列正弦型函数在一个周期内的简图：x

0 2

3

2

2

0 0 011sin( )3

y x

3

x

3

6

2

3

7

6

5

3

y

0 xπ 2π

1

-1siny xsin( )

3y x

2

3

3

6

7

6

5

3

y

0 xπ 2π

1

-1

y=sin(x+)(0) 的图象是由 y=sinx 的图象沿 x

轴向左 ( ＞ 0) 或向右 ( ＜ 0) 平行移动 || 个单位而得到 .

siny xsin( )3

y x

sin( )3

y x

对函数图象的影响

值域和周期保持不变 .

对函数图象的影响

将函数 y＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，求所得图象的函数解析式.

y

0 x

π 2π1

-1

y = sin(x ＋ ) y = sin(x– ) y=sinx

2

2

y

0 xπ 2π

1

2

-1

-2

y=2sinx y= sinx y=sinx2

1

A变最值

y

0 xπ 2π 3π 4π

1

-1

y=sin2x y=sin x y=sinx2

1

ω变周期

变左右

用五点法作下列正弦型函数在一个周期内的简图：x

0 2

3

2

2

0 0 0444sin(2 )3

y x

23

x

6

12

3

7

12

5

6

y

0 x

4

-43

6

12

7

12

5

6

用五点法作正弦型函数 在一个周期内的简图 .

13sin( )

2 2y x

已知正弦型函数 sin( )y A x ( 0A 、 0 、

2

)在一个周期内的函数图象的最高点为 ( , 2)12

，

最低点为 7( , 2)12

，求函数的表达式.

解：由题意 2A ， 7

2 12 12 2

T ， 所以T ，

所以函数的表达式为 2sin(2 )y x

因为函数图象经过点 ( , 2)12

， 所以 2sin(2 ) 212

，

sin( ) 16

， 26 2

k ， 即 2

3k

， k Z ，

又因为2

， 所以3

.

故函数表达式为 2sin(2 )3

y x

2 .

如图所示为某正弦型函数的图象，请写出其函数表达式．

y

0 x

6

-6

5

12

6

11

12

7

6

2

3

学到了哪些知识？

掌握了哪些方法？

本节课

何处还需要注意？

讲义 P018 习题 Q2 、 4