Upload
others
View
8
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Merna nesigurnost
19.10.2017.
Merna nesigurnost
• Rezultat merenja je „samo“ procena vrednosti veličine
koja se meri, pa je potpun samo ako se navede i
podatak o mernoj nesigurnosti
• Merna nesigurnost karakteriše „rasipanje“ vrednosti
• Po pravilu, merna nesigurnost uključuje više različitih
komponenti koje se procenjuju statističkim metodama i
na osnovu drugih pretpostavki proisteklih iz poznavanja
fizičkih zakonitosti, merne procedure, karakteristika
komponenti sistema…
Merna nesigurnost
• Rezultat merenja je slučajna promenljiva
• Slučajna promenljiva je broj pridružen
svakom ishodu nekog eksperimenta
(Papoulis)
• Ova definicija, zapravo „lepo opisuje“
proces merenja
• Koriste se različiti modeli koji počivaju na
teoriji slučajnih promenljivih i slučajnih
procesa
Merna nesigurnost
• Rezultat merenja može da se dobije na
osnovu ponavljanja merenja ili na osnovu
jednog merenja
• U oba slučaja, međutim, rezultat merenja
se „tumači“ imajući u vidu da je rezultat
merenja slučajna promenljiva
Merna nesigurnost
• Kao broj pridružen rezultatu merenja - merna
nesigurnost je interval u okviru koga se nalazi
merna veličina sa određenom verovatnoćom
• Procena merne nesigurnosti:
– Tip A procene merne nesigurnosti – metod procene
koji se zasnivana statističkoj analizi serije ponovljenih
merenja
– Tip B procene merne nesigurnosti – metod procene
koji se zasniva na svemu ostalom osim direktne
statističke analize serije ponovljenih merenja
Slučajne promenljive
• Kontinulane
• Diskretne
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
x
f(x)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X: 20
Y: 0.9707
x
F(x
)
X: 15
Y: 0.8679
Gustina raspodele verovatnoća
i funkcija raspodele verovatnoća
gustina
raspodele
verovatnoća
funkcija
raspodele
verovatnoća
1221
21
2
1
xFxFxXxP
dxxfxXxP
x
x
X – slučajna
promenljvia
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
x
f(x)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
F(x
)
Gustina raspodele verovatnoće
i funkcija raspodele verovatnoće
1
1
x
dxxfxF
gustina
raspodele
verovatnoća
funkcija
raspodele
verovatnoća
1
0
dxxf
xf
F(x1) monotono neopadajuća funkcija
Matematičko očekivanje
slučajne veličine
dxxxfXE
Ako je X neprekidna slučajna
promenljiva sa gustinom raspodele
f(x), njena matematičko očekivanje
(srednja vrednost) definisano je kao:
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
x
f(x)
x*f(x)
E(X)=10
Varijansa
slučajne veličine
22
222
22
2
2
2
XEXE
XEXEXE
XEXEEXEXE
XEXEXD
Ako je X neprekidna slučajna
promenljiva sa gustinom raspodele
f(x), njena varijansa definisana je
kao:
D(X)=20
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
f(x)
x*f(x)
x2*f(x)
Standardna devijacija:
XD
Normalna (Gausova) gustina
raspodele verovatnoća
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
x
pdf(x)
=10
P=99%
P=95%
P=68%
2
2 2
2
2
1
XD
XE
exf
x
Normalna (Gausova) gustina
raspodele verovatnoće
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
x
pdf(x)
=-2,=5
=0,=5
=5,=5
Kriva je
simetrična
oko µ
Sa grafika se
može odrediti
µ kao
vrednost za
koju funkcija
dostiže
maksimum
Normalna (Gausova) gustina
raspodele verovatnoće
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
x
pdf(x)
=2,=2
=2,=5
=2,=10Posmatrano iz
„meračke“
perspektive, σ je
mera „rasipanja“
rezultata merenja
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Normalna (Gausova) gustina
raspodele verovatnoća
2
20
1
2
x
f x e
Ako slučajna promenljiva X ima
Gausovu raspodelu sa parametrima µ
i σ, slučajna promenljiva Z ima
„normalizovanu“ Gausovu raspodelu
srednje vrednosti 0 i varijanse 1.
XZ
yerfcyerf
dxeyerf
yerfdxey
y
x
y x
1
2
22
1
2
1
0
0
2
2
2
2
221
2
x
f x e
Uniformna gustina raspodele
verovatnoće
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
2
4
6
8
10
12
14
x
f(x)
x*f(x)
x2*f(x)
2
22
3 2 22
2
1,
0,
1
2 2
1
3 3
12
12
b
a
b
a
a x bf x b a
inače
x b aE X
b a
D X E X E X
x b ba aE X
b a
b aD X
b a
a=3, b=7
Uniformna gustina raspodele
verovatnoće
1
,2
0,
3
x x xf x x
inače
x
a b
x xx2
1
Uniformna gustina raspodele
verovatnoće
a b
1
2 x
U intevalu (-, +) je približno 58% ishoda
Diskretne slučajne promenljive
1 2 3 4 5
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1 2 3 4 5
0.2
pi
F(x)
n
i
ii
n
i
ii
pxExXD
xpXE
1
2
1
Procena merne nesigurnosti
• U opštem slučaju, merenje nije direktno nego se
rezultat dobija na osnovu više veličina
• Kombinovana (standardna) merna nesigurnost –
dobija se na osnovu pojedinih komponenti
merne nesigurnosti* (biće objašnjeno u daljem
toku kursa)
Nxxxfy ,...,, 21
*Standardne merne nesigurnosti dobijene na osnovu procene tipa A i procene
tipa B se, takođe posmatraju na ovaj način
Ponovljena merenja
• Ponavlja se merenje iste velične više puta
• Pretpostavka je da su zadovoljeni uslovi
koji se odnose na ponovljivost uslova
merenja*
*Repeatability conditions include the same measurement procedure, same
operators, same measuring system, same operating conditions and same
location, and replicate measurements on the same or similar objects over a
short period of time
Prikaz rezultata ponovljenih
merenja
• Ukoliko se merenje sprovodi tako da se
veliki broj puta ponavlja isto merenje
dobija se veliki broj podataka koje treba na
pogodan način prikazati i obraditi
• Uobičajeno je da se rezultati prikazuju u
formi histograma
Histogram
1 nm
n broj ponovljenih merenja
m broj intervala
u opsegu (xmin, xmax)
ni broj ishoda u intervalu
opsega i
nnm
i
i 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
5
10
15
20
25
Bin Count: 23
Bin Center: 4.74
Bin Edges: [4.38, 5.09]
x
bro
j is
hoda u
svakom
inte
rvalu
Histogram
1 nm
n broj ponovljenih merenja
m broj intervala
u opsegu (xmin, xmax)
pi relativan broj ishoda u
intervalu opsega i, pi=ni/n
11
m
i
ip0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
X = 4.74
Y = 0.23
x
rela
tivan b
roj is
hoda u
svakom
inte
rvalu
Histogram
• Broj ishoda u intervalu ni naziva se i
učestanost intervala
• Relativna učestanost intervala može da se
tumači kao verovatnoća intervala
• Veličina koja odgovara gustini verovatnoće
intervala dobija se kada se relativna
učestanost podeli sa širinom intervala što
je normalizovan histogram
test2
Statistički test kojim se proverava hipoteza o poklapanju
gustine raspodele (rezultata merenja) sa nekom
unapred pretpostavljenom gustinom raspodele.
Parametri gustine raspodele mogu da se odrede na
osnovu rezultata merenja (ili ne moraju).
Testira se i prihvata ili odbacuje hipoteza H0 – “gustina
raspodele odgovara...”
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
x
pdf(x)
df=3
df=5
df=10
df=20
df=50
raspodela2
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
x
pdf(x)
df=10
df=20
Osenčene površine
odgovaraju
verovatnoćama od po 2.5%
test - primer2
Hipoteza – gustina
raspodele je uniformna
raspodela na intervalu 3 - 7
3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 70
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
mereno
teorija
0.0920
1
2
2
K
k frt
frtfrm
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
test - primer
0.0920
1
2
2
K
k frt
frtfrm
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
dvostrani
jednostrani
2 Raspodela, df=9
Procena parametara raspodele
rezultata merenja
• Ukoliko se vrši veliki broj ponovljenih merenja,
mogu se, na osnovu dobijenih rezultata, proceniti
(estimirati) parametri raspodele rezultata
merenja
• Svaki od rezultata merenja xi je uzorak slučajne
promenljive X. Srednja vrednost svih rezultata
merenja je procena matematičkog očekivanja
slučajne promenjive X.
Procena parametara raspodele
rezultata merenja
n
i
ixn
x1
1̂
n
i
i xxn 1
22
1
1̂
(Nepristrasna) procena varijanse
Procena matematičkog
očekivanja (srednje
vrednosti)
xi – pojedinačni
rezultati merenja
Procena parametara raspodele
rezultata merenja – sednja vrednost
• Ako zamislimo da se ponavlja cela
sekvenca od n merenja, nećemo svaki put
dobiti istu srednju vrednost na osnovu n
merenja
• Srednje vrednosti rezultata merenja je
slučajna promenljiva
• Da bismo je pravilno „tumačili“ potrebno je
da na neki način „opišemo“ tu slučajnu
promenljivu Xsv
Procena parametara raspodele
rezultata merenja – sednja vrednost
• Xsv je (normalizovan sa n) zbir slučajnih
promenljivih Xi koje imaju istu srednju
vrednost i varijansu
• U skladu sa centralnom graničnom
teoremom*, slučajna promenljiva koja je
zbir n „istih“ slučajnih promenljivih (srednje
vrednosti µ i varijanse σ2) teži Gausovoj
raspodeli srednje vrednosti nµ i varijanse
nσ2
*tačan iskaz prevazilazi obim ovog kursa
Procena parametara raspodele
rezultata merenja – sednja vrednost
• Matematičko očekivanje slučajne
promenljive Xsv je µ
• Varijansa slučajne promenljive je σ2/n
• Raspodela slučajne promenljive Xsv je
Gausova N(µ,σ2/n)
Procena parametara raspodele
rezultata merenja – sednja vrednost
Ponavljamo eksperiment „mnogo“
puta* i na taj način „simuliramo“
proračun matematičkog očekivanja
Isprekidane linije su granice +/-
3σSV, gde je σSV standardna
devijacija procene srednje
vrednosti
*Monte Carlo simulacija
Procena parametara raspodele
rezultata merenja – varijansa
• Nepristrasna procena varijanse
• Naravno, isto je slučajna promenljiva
• Matematičko očekivanje nepristrasne
procene varijanse jednako je varijansi
n
i
i xxn 1
22
1
1̂
Procena parametara raspodele
rezultata merenja – varijansa
n
i
i xxn 1
22
1
1̂
22
1
1ˆ
n
i
i
x xn
nepristrasna
pristrasna
Procena parametara raspodele
rezultata merenja – varijansa
Ponavljamo eksperiment „mnogo“
puta i na taj način „simuliramo“
proračun matematičkog očekivanja
Procena parametara raspodele
rezultata merenja
• Ukoliko su rezultati prikazani u formi histograma,
srednja vrednost može da se proceni i kao:
gde je xi sredina intervala i
m
i
ii pxx1
Procena merne nesigurnosti –
tip A• Tip A procene merne nesigurnosti zasniva
se na statističkoj obradi rezultata
ponovljenih merenja (treba da budu
zadovoljene pretpostavke o ponovljivosti)
• Standardna nesigurnos dobijena na
osnovu procene tipa A naziva se merna
nesigurnost tipa A
• Oznaka uA
Standardna merna nesigurnost -
Tip A• Najčešća je pretpostavka da je raspodela
rezultata merenja Gausova (ne mora da bude)
• Na osnovu rezultata merenja određuje se srednja vrednost koja predstavlja procenu merene veličine
• Srednja vrednost je, takođe, slučajna veličina
• Varijansa srednje vrednosti (kao slučajne veličine) je
n
MSV
22
Procenjena
varijansa
merenjaBroj
merenja
Standardna merna nesigurnost -
Tip A• Standardna devijacija srednje vrednosti merenja
je procena standardne merne nesigurnosti
11
2
nn
xx
u
n
i
i
A
Merna nesigurnost tipa A
• Ovako definisanoj mernoj nesigurnosti –
standardnoj mernoj nesigurnosti, odgovara
verovatnoća od 68%
• Ukoliko se zahteva verovatnoća od 95% (što
odgovara 2) računa se proširena merna
nesigurnost s faktorom proširenja 2
• Rezultat merenja se iskazuje kao:
• Uz napomenu o verovatnoći (ili faktoru proširenja)
Aux
Primer
• Meri se relativno mali napon u prisustvu
šuma
• Digitalnim osciloskopom vrši se akvizicija
signala tako što se snima segment od
2500 odbiraka (bez obrade,
usrednjavanja, na samom osciloskopu)
• Odbirci se statistički obrađuju i procenjuje
se merena nesigurnost tipa A
Primer
Gruba procena:
Oko 4.5 mV
Primer (lab. vežba)
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
4.05
E-0
3
4.17
E-0
3
4.29
E-0
3
4.41
E-0
3
4.53
E-0
3
4.65
E-0
3
4.77
E-0
3
4.89
E-0
3
5.01
E-0
3
5.12
E-0
3
5.24
E-0
3
5.36
E-0
3
Mereno
Teorija
Normalizovan histogram rezultata merenja (crveno) i teorijska gustina raspodele
za iste vrednosti srednje vrednosti i standardne devijacije
Primer
mV005.02500
000238.0
_
n
umerenja
vrednostisrednjeA
mV0.014.71
U
uUU Asr
S faktorom proširenja 2 (s
verovatnoćom od 95% rezultat
se nalazi u naznačenom
intervalu)
Primer –
merna nesigurnost tipa A• Na je prikazan histogram dobijen pri
ponovljenom merenju nepoznatog napona.
• Proceniti mernu nesigurnost tipa A. Pri
proračunu smatrati da je srednja vrednost
svakog intervala reprezentativna vrednost za
ceo interval.
• Odrediti rezultat merenja pod pretpostavkom da
je faktor proširenja k=2 i da se merna
nesigurnost tipa B može zanemariti.
Primer –
merna nesigurnost tipa A
4.7
5
4.8
4.8
5
4.9
4.9
5
5
5.0
5
5.1
5.1
5
5.2
5.2
5
0
5
10
15
20
25
Napon [V]
Bro
j is
ho
da
Primer – merna nesigurnost
tipa A - rešenje
Interval 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi 4.775 4.825 4.875 4.925 4.975 5.025 5.075 5.125 5.175 5.225
ni 1 4 7 19 20 23 18 5 2 1
10
101
1
14.994 Vi i
ii
i
x x n
n
10
2
101
1
10.0843V
1
x i i
i
i
i
x x n
n
10
1
0.00843VxA
i
i
u
n
2 4.99 0.02 VAU x u