1975 Dafalias Y.F. Popov E.P. Acta Mech(1)

5/26/2018 1975 Dafalias Y.F. Popov E.P. Acta Mech(1)

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Acta Mechanica 21, 173--192 1975)| by Springer-Verlag 1975

M od el of Non linearly Hard ening M aterialsfor Com plex Loading

ByY. F. Da~alias and E. P. Popov, Berkeley, California

With 10 FiguresReceived Janu ary 2, 197d)

Su mm ar y- ZusammenfassungA Model o f Nonl inear lF Hardening Mater ia l s for Com plex Loadings . A number ofobservations are made on the macroscopic behavior of materials subjected to uniaxial randomcyclic loadings. These observations are then generalized to construct a model describing thematerial behavior for complex multiaxial loadings, in particular for cyclic loadings. Thisgeneralization introduces the concept of a bounding surface in the stress space which always

encloses the loading surface. A parameter defined by the relative position of the loadingand the bounding surface, and the plastic work done during the most recent loading, de-termine the value of the plastic modulus.E i n i o d e l l flit Werkstoffe mit n iehf l inearer Ver~est igung unter zusammengesetz terB e l a s t u n g . Zahlreiche Beobachtungen des makroskopischen Verhaltens yon Werkstoffenunter beliebiger zyklischer einachsiger Belastung werden gemacht. Diese Beobachtungenwerden dann verallgemeinert, um ein Mode]l des Werkstoffverhaltens ffir zusammengesetzte,insbesondere zyklische Belastung zu entwickeln. Diese Verallgemeinerung ffihrt zum Konzeptder die Belastungsfli~che ste~s einhfillenden Grenzfl~che im Spannungsraum. Ein durch dierelative Lage der Belastungsfl~iche zur Grenzfl~che definierter Parameter und die plastischeArbeit w~hrcnd der letzten Belastung bestimmen den Weft des Plastizit~tsmoduls.

1 . I n ~ o d u e f i o nIt is becoming increasingly importa nt to describe the material behavior in the

plastic range as accurately as possible. The needed refinements of the existingtheories are moti vated by the practical necessity of achieving a better agreementwith the experimental results for complex loading histories, such as occur undercyclic loading. For simple histories, the widely used models of isotropic or kine-matic hardening materials are reasonably good, and are simple enough to allowanalytical solutions of some boundary values problems. On the other hand, forcomplex loading histories in the plastic range, the constitutive relations mustinclude a more realistic dependence on the loading history. The basic step inconsidering this history dependence, is the formulation of constitutive laws indifferential or incremental form. The material response for a given loading ordeformation is then obtained by integrating the incremental relations. Withconventional models, although the incremental form of the constitutive relations

A c t a 5 l e c h X X I / 3 i 3


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17 4 Y .F . DAFALIASand E . P . P o l ov :i s u s e d , t h e h a r d e n i n g o r s o f t e n i n g m a t e r i a l p r o p e r t i e s a r e n o t a d e q u a t e l y d e -s c r ib e d . A s a c o n s e q u e n c e , n o t o n l y a r e d i s e re p e n c i e s o b s e r v e d b e t w e e n t h e t h e o -r e t ic a l p r e d ic t i o n s a n d t h e e x p e r i m e n t a l r es u lt s , b u t t h e m o d e l s u s e d a r e i n c a p a b l eo f de s c ri b in g e v e n q u a l i t a ti v e l y s o m e o f t h e o b s e r v e d p h e n o m e n a : f o r e x a m p l e ,d a m a g e a c c u m u l a t i o n d u e t o c y c li c c r e e p a n d c y c li c s o f t e n i n g , o r s t a b il i z a t io n o fh y s t e r e s i s l o o p s a f t e r a c e r t a i n n u m b e r o f c y c l es o f l o a d in g . T h i s n e c e s s it a t e s t h ed e v e l o p m e n t o f a m o r e a c c u r a t e m o d e l f o r r e p r e s e n ti n g t h e m a t e r i a l b e h a v i o r .

T h e u s e o f m a t h e m a t i c a l l y c o m p l e x m o d e l s f o r c o m p l e x lo a d i n g p r o c e ss e st e n d s t o m a k e t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n s e x t r e m e l y d i f fi c u l t, i f n o t i m p o s si b le .H o w e v e r , w i t h t h e u s e o f a d v a n c e d n u m e r i c a l m e t h o d s a n d c o m p u t e r s , s o m e o f t h ep r a c t i c a l d i f fi c u l ti e s c a n b e o v e r c o m e , a n d t h e d e v e l o p m e n t o f r e f i n e d m o d e l s i sj u s t if i e d . O f c o u r s e t h e m a x i m u m p o s s ib l e s i m p l i c i t y i n t h e f o r m u l a t i o n o f t h ea p p r o p r i a t e r u l e s o r l a w s o f p l a s t i c i t y r e m a i n s e s s e n ti a l.A n y m o d e l d e s c r i b i n g p l a s t i c b e h a v i o r s h o u l d c o n t a i n t w o b a s i c f e a t u r e s . O n eo f t h e s e i s t h e f l o w r u l e , w h i c h i s a n i n c r e m e n t a l p l a s t i c s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n . I t i sc o n s t r u c t e d w i t h t h e a s s u m p t i o n o f r a t e i n d e p e n d e n c e a n d t h e e x i s t e n c e o f ap l a s t ic p o t e n t i a l w h i c h u s u a l l y c o i n c i d es w i t h t h e y i e l d o r lo a d i n g s u r f ac e . T h es e c o n d e s se n t i a l f e a t u r e i s t h e h a r d e n i n g r u l e , w h i c h d e f i n e s t h e c h a n g e o f t h el o a d i n g s u r f a c e d u r i n g t h e c o u r s e o f p l a s t ic f l o w a s w e l l a s t h e c h a n g e o f th eh a r d e n i n g ( s o ft e n in g ) p r o p e r t i e s o f t h e m a t e r i a l . T h i s p a r a m e t e r i s u s u a l l ye x p r e s s e d i n g er m s o f t h e p l a s t i c m o d u l u s e n t e r i n g t h e f l o w r u l e . T h e p a r t o f t h eh a r d e n i n g r u l e c o n c e r n e d w i t h t h e c h a n g e o f t h e p l a s t ic m o d u l u s , i s t h e m a i ns u b j e c t o f t h i s p a p e r .

2 I I i s to r i e a l R e m a r k s

I n t h e l a s t t w e n t y y e a r s m a n y m o d e l s h a v e b e e n p r o p o s e d t o d e f i n e t h ec h a n g e s w h i ch m a y t a k e p l a c e in t h e l o a d i n g s u r fa c e . S o m e c o m m e n t s o n t h e m o s ti m p o r t a n t o n e s o f t h e s e f o l l o w s . H IrL L a n d I-Io D G E [ 1] , [ 2] p r o p o s e d t h e s o - c a l l e di s o t ro p i e h a r d e n i n g r u l e , a c c o r d i n g t o w h i c h t h e y i e l d s u r f a c e e x p a n d s u n i f o r m l y .T h i s m o d e l c o n t r a d i c t s t h e B a u s c h i n g e r e f f e c t. T o o v e r c o m e t h i s d i f f i c u l ty ,IS H LI~ SK I [3 ] a n d P g A G ~R [ 4] i n t r o d u c e d t h e i d e a t h a t t h e y i e l d s u r f a c e t r a n s l a t e sw i t h o u t r o t a t i o n i n t h e s t r es s s p a c e i n th e d i r e c t i o n o f t h e s t r a i n i n c r e m e n t . T h i sm o d e l , k n o w n a s t h e k i n e m a t i c h a r d e n i n g m o d e l , w a s i m p r o v e d u p o n b y Z I~C~LERa n d S m E L D [ 5] , a n d Z I E G L ~ [ 6]. A c o m p r e h e n s i v e p r e s e n t a t i o n o f s e v e r a l m o d e l sw a s a ls o p r e s e n t e d v e r y e a r l y b y E D EL MA ~ a n d D g u c ~ g [7 ]. A m o r e c o m p l e xw o r k - h a r d e n i n g m o d e l i n t ro d u c i n g d e f o r m a t i o n a n d r o t a t i o n o f t h e i n i ti al y i e l ds u r f a c e w a s d i s c u ss e d b y B ~ T O V a n d S A w c z ~ : [ 8 ]. I n a s er ie s o f p a p e r s , t h ec o n c e p t o f a f a m i l y o f l o a d i n g s u r f a c e s t h a t a r e d i s t i n c t f r o m a n d e n c l o se t h ey i e l d su r f a c e w a s d e v e l o p e d f o r a r b i t r a r y h a r d e n i n g r u l e s a n d a p p l i e d f o r is o t r o p i eh a r d e n i n g b y P g I L L r e S a n d S I ~ g a ~ o w s ~ I [ 9] , J tr sT ~ zs so ~ a n d P m L L r e s [ 10 ],a n d E I s ~ N ~ G a n d PH r LL Ir S [1 1].

I n t h e a b o v e m o d e l s , e m p h a s i s i s p l a c e d o n h o w t o d e s c r ib e t h e c h a n g e o f t h ey i e l d - l o a d i n g s u r f a c e s , a n d l i t t l e h a s b e e n d o n e a s t o h o w t h e w o r k - h a r d e n i n gp l a s t i c m o d u l i c h a n g e . T o c l a r i f y t h is , K A D A S g EW C I ~ a n d N o v o z ~ I L O V [ 1 2 ]p r o p o s e d a f u n c t i o n / f o r k i n e m a t i c h a r d e n i n g o f t h e f o r m [ [ a ~ - - C e)~ ) e )~] ~ Ko,w h e r e a ~r~ i s t h e s t r e s s, e ~ z i s t h e p l a s t i c s t r a i n , a n d K 0 i s a c o n s t a n t . T h e t e r m C ,


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A Mo del of No nl inear ly Harde ning Material s 175a f u n c t i o n o f p l a s t ic s t r a in , a p p e a r s a s t h e w o r k h a r d e n i n g p l a s ti c m o d u l u s i n t h ef lo w ru l e . EI SE ~ B E ~G a n d P m L L I P S [1 3] d e m o n s t r a t e d t h a t t h i s r u l e c a n n o tr e p r e s e n t a r e a li s ti c m a t e r i a l b e h a v i o r , b e c a u s e o f t h e f u n c t i o n a l d e p e n d e n c e o f Co n e~ z. T h e y s u g g e s t e d a m o d i f i e d f o r m / [C rK Z- C K 0 S~KZ] = Ko , w h e r efi21 /~p zp u /2 w i t h t h e d o t s o v e r t h e q u a n t i t i e s h a v i n g t h e u s u a l m e a n i n g o fd e r i v a t i v e s w i t h r e s p e c t t o t im e . A p p l y i n g t h i s m o d e l t o a u n i a x i a l r e v e r s e l o a d in g ,t h e y o b t a i n e d a m o r e a c c e p t a b l e d e s c r ip t i o n o f t h e m a t e r i a l b e h a v i o r . H o w e v e r ,i n t h e ir p r o c e d u r e , t h e s a m e v a l u e o f t h e p l a s t ic t a n g e n t m o d u l u s i s p r e d i c t e d a tt h e t e r m i n a t i o n o f p l a s t i c lo a d i n g i n o n e s e n s e a s a t t h e i n i t i a t i o n o f p l a s t i cr e l o a d i n g i n t h e o p p o s i t e d i re c t io n . T h i s d e s c r i p t i o n o f t h e m a t e r i a l b e h a v i o r isn o t e n t i r e ly s a t i s f a c t o r y , a n d i t c a n n o t p r e d i c t c y c li c p h e n o m e n a in a r e a s o n -a b l e w a y .

I n d e v e l o p i n g a v e r y g e n e r a l t h e o r y f o r a n E l a s t i c - P la s t i c C o n t i n u u m ,G g E ~ a n d N a a g D i [1 4] o b t a i n e d a b a s i c r e l a t io n f o r t h e i s o t h e r m a l p r o c e s s~ I SM ~V , w h e r e 2 is a s c a l a r , SM 2V i s a a p p r o p r i a t e s t r e s s t e n s o r

a n d b K~ i s a s e c o n d o r d e r t e n s o r w i t h a ll q u a n t i t ie s a s w e ll a s / , b e i n g f u n c t i o n so f t h e s t a t e v a r i a b l e s . T h i s i n d e e d i s a f o r m o f a c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n w h i c h i sg e n e r a l e n o u g h f o r d e s c r i b i n g t h e p h e n o m e n a u n d e r d i s c u s s i o n . H o w e v e r , n os p e c if ic f o r m o f a m o d e l f o r i m m e d i a t e n u m e r i c a l a p p l i c a t i o n s is s u g g e s t e d .

B y e m p l o y i n g a d if f e re n t a p p r o a c h s o m e a u t h o r s u s e d t h e c o n c e p t o f a f a m i l yo f s u r f a c e s i n t h e s t r e s s s p a c e i n o r d e r t o d e s c r i b e n o n l i n e a r h a r d e n i n g b e h a v i o r .K o I ~ E ~ [ 15 ] s h o w e d t h a t t h e s l ip t h e o r y o f B AT DFO RD a n d B U DIA N SK Y [ 16 ] c o u l db e v i s u a l i z e d i n t e r m s o f a c o l l e c ti o n o f y i e l d s u r f a c e s in s u c h a s t r e s s s p a ce . T h i sw a s n o t e x t e n d e d t o i n c o r p o r a t e t h e c o n c e p t of k i n e m a t i c h a r d e n i n g a s a m e a n so f o b t a i n i n g a m o r e r e a s o n a b l e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e n o n l i n e a r b e h a v i o r . A l t e r -n a t i v e l y , I w A N [ i 7 ] , s t a r t i n g f r o m a o n e d i m e n s i o n a l m o d e l , g e n e r a l i z e d i t f o rm u l t i - d i m e n s i o n a l c a s e s i n t h e s t r e s s s p a c e b y a s s u m i n g a c o l l ec t io n o f y i e l ds u r f a c e s i n s t e a d o f t h e u s u a l s i n g le s u r fa c e . E a c h o n e o f t h e y i e l d s u r f a c e s o b e y sa li n e a r w o r k - h a r d e n i n g l a w o f t h e P r a g e r t y p e [4 ], b u t t h e c o m b i n e d e f f e c t g i v e sr i se to a n o n l i n e a r h a r d e n i n g l aw . T h e d i s t r i b u t i o n o f t h e s e s u r f a c e s i n t h e s t r e s ss p a c e c a n b e c o n t in u o u s o r p i e ce w i s e c o n s t a n t . I n d e p e n d e n t l y , i n tw o p a p e r s ,M g o z [ 18 ], [1 9] p r o p o s e d a s i m i l a r m o d e l i n t r o d u c i n g t h e c o n c e p t o f a f ie l d o fw o r k - h a r d e n i n g m o d u l i . T h i s fi e l d i s d e f i n e d b y a c o n f i g u r a t i o n o f s u r f a c e s o fc o n s t a n t w o r k - h a r d e n i n g m o d u l i i n t h e s t re s s s pa c e . H e a l s o p r o p o s e d a n e w r u leo f k i n e m a t i c h a r d e n i n g w h i c h i s d i f f e r e n t f r o m t h o s e o f P I~A G Eg , H o l o ]~ a n dZ IE GL ER . H o w e v e r , b e c a u s e o f t h e r e s u lt s o b t a i n e d i n s o m e r e c e n t e x p e r i m e n t s b yP n l ~ L r P s a n d TA N G [2 0 ], t h e a d e q u a c y o f th e d i f f e r e n t k i n e m a t i c h a r d e n i n g r u l e sp e r h a p s s h o u l d b e r e c o n s id e r e d .

I n t h is p a p e r a n o n l i n e a r w o r k - h a r d e n i n g m o d e l o f m a t e r i a l b e h a v i o r isp r o p o s e d w h i c h is s u i t a b l e fo r c o m p l e x l o a d i n g p a t h s i n c l u d i n g c y c li c l o a d i n g . T h eb a s ic p u r p o s e o f t h e p r o p o s e d m o d e l is s i m i la r t o t h a t o f t h e p a p e r s r e v i e w e d a b o v e ,e s p e c i a ll y th o s e o f I W a N a n d M R o z , b u t t h e c o n c e p t u a l s t r u c t u r e u n d e r l y i n g t h em o d e l i s b e l ie v e d t o b e n o v e l a n d a p p e a r s t o o f f e r s o m e f e a t u r e s o f si m p l ic i ty . T h ec h a n g e s i n th e p l a s t i c m o d u l u s i n t h e c o u r se o f p l a s t i c d e f o r m a t i o n a r e d i r e c t l yr e l a t e d t o t h e o b s e r v e d c y c li c p h e n o m e n a . F o r t h is r e a s o n t h e m a i n f e a t u r e o f t h em o d e l is t h e d e s c r ip t i o n o f t h e m a n n e r i n w h i c h t h e p l a s ti c m o d u l u s c h a n g e s i n

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17 6 Y .F . I)AI~ALIAS nd E. P. t)oP ov :m u l t i - d i m e n s i o n a l s t r e s s s p a c e , b y g e n e r a l iz i n g c o n c l u s i o n s d e r i v e d o n a q u a l i-t a t i v e b a s is f r o m u n i a x i a l lo a d i n g e x p e r i m e n t s . F o r a q u a n t i t a t i v e d e s c r ip t i o nm o r e e x p e r i m e n t a l i n f o r m a t i o n i s n e e d e d o f a k i n d n o t a v a i l a b le a t t h i s t i m e .

3 . G e n e r a l O b s e r v a t i o n s fo r U n i a x i a l L o a d i n gT h e a n a l y t i c a l d e s c r i p t i o n o f t h e s t r e s s - s t r a i n c u r v e f o r t h e u n i a x i a l l o a d i n g o f

a d u c t il e m a t e r i a l in t o t h e p l a s ti c ra n g e , h a s b e e n e x t e n s i v e l y s t u d i e d f o r c o m p l e xl o a d i n g h i s t o r i e s . V e r y g o o d r e s u l t s w e r e a c h i e v e d i n t h e f o r m o f a n a l y t i c a le x p r e s s i o n s o f v a r i o u s t y p e s , r a n g i n g f r o m a s i m p l e b i l i n e a r d e s c r i p t i o n t o m o r es o p h i s t i c a t e d o n e s a b l e t o d e s c r ib e t h e n o n - l i n e a r p a r t o f t h e s t r e s s - s t r a i n c u r v ew i t h g o o d a c c u r a c y . H o w e v e r , i t w a s n o t p o s s ib l e t o g e n e r a l iz e m o s t o f t h e s ed e s c r i p t i o n s fo r t h e u n i a x i a l c a s e i n o r d e r t o d e s c r ib e t h e c o r r e s p o n d i n g p h e n o -m e n a i n a h i g h e r d i m e n s i o n s t r e s s s p a c e. O n e o f t h e e x c e p t i o n s is P r a g e r ' s k i n e -m a t i c h a r d e n i n g r u l e w i t h a c o n s t a n t p l a s t i c m o d u l u s , w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h eb i l i n e a r d e s c r i p t i o n i n t h e u n i a x i a l e a se .

I n t h i s s e c ti o n t h e u n i a x i a l e a s e is s tu d i e d i n d e t a il . T h e p u r p o s e o f t h i s s t u d y isn o t t o d e r i v e a n o t h e r a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n f o r t h e d e s c r i p t i o n o f t h e s t r e s s - s t r a i nc u r v e ; r a t h e r s o m e g e n e ra l q u a l i t a t i v e f e a t u r e s o f t h e m a t e r i a l b e h a v i o r a r ee s t a b l is h e d , w h i c h c a n b e g e n e r a l i z e d f o r m u l t i a x i a l c a s e s.

F i r s t i t is h e l p f u l to c l a r if y a p o i n t w h i c h i s b a s i c fo r t h e u n d e r s t a n d i n g o ff u r t h e r d e v e l o p m e n t . I t c o n c e r n s t h e v a l u e o f t h e p l a s t ic m o d u l u s a t t h e i n i ti a t i o no f p l a s ti c d e f o r m a t i o n f r o m a n e l a s ti c s ta t e . A c c e p t i n g t h e b a s ic a s s u m p t i o n t h a tt h e t o t a l s t r a i n i n c r e m e n t d e c a n b e d e c o m p o s e d i n t o a p l a s t ic i n c r e m e n t d ep a n da n e l a s t i c o n e d e e

d e ~ - d e e + d e p (1)a n d s i n c e d e = d c ~ / E t , d e e ~ d ~ / E ~ , d e P = - d c ~ / E P , w h e r e d a i s t h e s t r e s s in c r e m e n t ,a n d E t , E e , E p a r e , r e s p e c t i v e l y , t h e t a n g e n t , t h e e l a s t i c , a n d t h e p l a s t i c m o d u l i ,f r o m ( i ) o n e h a s :

E7 = E7 + E-? (2)W h e n o n l y e l a st ic d e f o r m a t i o n t a k e s p l a c e , E t = E ~. T h e r e f o r e , a t t h e i n i t i a ti o no f p l a s t i c d e f o r m a t i o n a f t e r a n e l a st ic s t a t e , f o r a s m o o t h t r a n s i t i o n f r o m t h ee l a s t ic i n t o t h e e l a s t o - p l a s t i c r a n g e , t h e i n i t ia l v a l u e s o f E p m u s t b e i n f i n i t e .I m m e d i a t e l y t h e r e a f t e r , i n t h e n e i g h b o r h o o d o f t h e i n i t i a t i o n o f y i e ld i n g , E pa s s u m e s a f i n i t e v a l u e a n d c o n t i n u e s t o c h a n g e a s p l a s t i c d e f o r m a t i o n p r o g r e s s e s .W h a t i s t h e r e f o r e c h a r a c t e r i s t i c o f th e s t r e s s s t a t e a t w h i c h y i e l d i n g i n it i a te s , i se x a c t l y t h i s f i n i t e v a l u e t h a t E P a s s u m e s , a f t e r t h e i n f i n i t e v a l u e i t h a d a t t h ev e r y b e g i n n i n g o f t h e y i e ld i n g . U s u a l l y a v e r y g o o d a p p r o x i m a t i o n o f t h is c h a r a c -t e r i s ti c f i n i te v a l u e o f E p is u s e d a s t h e v a l u e o f E ' a t t h e i n i t ia t i o n o f y i e l d in g .A s t h is a p p r o a c h a p p e a r s t o b e r e a s o n a b l e , i t i s a d h e r e d t o i n t h i s p a p e r . T h i sc o n c e p t is i l l u s t r a t e d i n t h e s t r e s s - p l a s t i c s t r a i n p l o t s o f F i g . 1 .

A s c a n b e s ee n f r o m F i g . i a , a t p o i n t A p l a s t i c d e f o r m a t i o n s t a r t s w i t h a v a l u eo f E ~ = t a r t r 4= o e , w h e r e qb i s t h e a n g l e s h o w n i n t h e f i g u r e . A m o r e r e a l i s t icd e t a i l o f t h e m a t e r i a l b e h a v i o r i s s h o w n i n F i g . i b . A l t h o u g h t h e y i e l d i n g i s


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A mod el of No nl inear ly Ha rdening Material s 177a s s u m e d t o b e g i n a t A , w h i c h i s t h e t h e o r e t i c a l l i m i t o f t h e e l a s t ic r e g io n , t h ep l a s t i c b e h a v i o r b e g i n s a t A ' i n s i d e t h e y i e l d s u r f a c e . T h e a c t u a l c u r v e i s A ' A ,w h e r e a t A ' , i n d e e d , E p = t a n 9 0 ~ - = ~ a n d a t A , E P h a s a f i n i te v a l u e . U s u a l l yt h e c u r v e A ' A is a p p r o x i m a t e d b y t h e c u r v e A ' A A a s s u m i n g a r b i t ra r i ly t h a tat A, E ~ = t a n r T h i s is a c o n t r o l le d a p p r o x i m a t i o n , i n t h e s e n s e t h a t t h el o c a t i o n o f A a n d t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e o f E p a t A, c a n b e s e l e c t e d a s a c c u -r a t e l y a s w a n t e d t o a p p r o x i m a t e t h e c u r v e A ' A b y t h e c u r v e A ' A A . I n t h e

O O

~

A

~b

:F ig. 1 . Schem at ic explana t ion of the f inite value tha t EP assume s a t the ini tia t ionof the yielding

s e q u el , E p a t t h e i n i ti a t io n o f y i el d in g w i l l a l w a y s h a v e a v a l u e w h i c h a p p r o x i m a t e st h e t r a n s i t i o n f r o m E v = c o t o EP = f i n it e i n th e n e i g h b o r h o o d o f t h e i n i t ia t i o no f y i e ld i n g . T h e g e n e r a l o b s e r v a t i o n t h a t y i e ld i n g s t a r t s a t p o i n t A ' i n s t e a d o f A ,c o n s t i t u t e s t h e m a i n p o i n t o f th e t h e o r y d e v e l o p e d b y P m~nJIPS a n d c o l l a b o r a t o r s[9 ], [1 0 ], [ 11 ], w h i c h i n t r o d u c e s s e p a r a t e y i e l d a n d l o a d i n g s u r f a c e s. F o r s i m p l i c i ty ,t h e c o n c l u s i o n s o f t h i s t h e o r y w i ll n o t b e u s e d i n t h i s p a p e r .

I n F i g . 2 a t y p i c a l m a t e r i a l b e h a v i o r is s c h e m a t i c a l l y s h o w n f o r p l a st i c lo a d i n go f c o n s i d e r a b l e m a g n i t u d e a s w e l l a s f o r u n l o a d i n g i n th e o p p o s i t e s e n s e. T h i ss c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n , a s w e l l a s in o t h e r f i g u r e s t o fo l lo w , is b a s e d o n e x p e r i -m e n t a l r e su l t s a s t h e o n e s s h o w n i n F ig s . 3 a n d 4 . N o t e a l s o t h a t t h e t a n g e n tm o d u l u s E t c a n b e c o n s i d e re d t o b e a d i r e c t m e a s u r e o f t h e p l a s t i c m o d u l u s E P ,s i n c e 1/E t = lI E ~ -~ 1]EP, a n d E ~ is c o n s t a n t . T h e r e f o r e , a l t h o u g h t h e o b s e r -v a t i o n s a r e b e i n g m a d e i n t h e a - - e s p a c e ( F ig s . 2 , 3 a n d 4 ), w h e r e E t a p p e a r s , i nt h e f o l lo w i n g th e s t a t e m e n t s a r e m a d e d i r e c t l y w i t h r e s p e c t t o E p.

T h e s t r e s s v e r s u s s t r a i n i s p l o t t e d i n F i g . 2 . B e g i n n i n g a t 0 , t h e e l a s t i c p a r t o ft h e s t r e s s - s t r a i n c u r v e i s OA, a n d A B D is t h e p l a s t i c p a r t . A t D e l a s ti c u n l o a d i n gt a k e s p l a c e a l o n g DD' f o l l o w e d b y p l a s t i c r e l o a d i n g a l o n g D'D 2,. T h e l in e F 2 , 'r e p r e s e n t s a n e w e la s t ic u n l o a d i n g , a n d F'F X a p l a s t i c r e l o a d i n g . N o t e t h a tb e y o n d p o i n t B, F X c o i n c i d e s w i t h BD. I n F i g . 2 a t e a c h l o a d r e v e r s a l t h r e ep a r t s c a n b e d i s t in g u i s h e d , e a c h c h a r a c t e r iz e d b y t h e m a n n e r i n w h i c h E ~ c h a n g e sa l o n g i t. S t a r t i n g f o r e x a m p l e f r o m p o i n t 2 ,, t h e f ir s t p a r t F2 r e p r e s e n t s t h ee l as t i c b e h a v i o r d u r i n g w h i c h E p h a s a n i n f i n it e v a l u e . T h e s e c o n d p a r t 2,'2,r e p r e s e n t s p l a s t i c b e h a v i o r . T h i s p a r t i s s t r o n g l y n o n l i n e a r , a n d 2 /p v a r i e s a l o n g i tf r o m t h e v a l u e i t h a s a t 2 , ' t o t h e v a l u e i t a s s u m e s a t 2 , . I n t h e s e n s e m e n t i o n e de a r l i e r , a t 2 Ep a s s u m e s a fi n i t e v a l u e . F i n a l l y , i s t h e t h i r d p a r t o f t h e c u r v e


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178 Y .F . DA~ALIASand E . P . PoPov:F X , w h i c h s t il l r e p r e s e n t s p l a s t i c b e h a v i o r a n d E ~ c a n b e a s s u m e d t o h a v e ac o n s t a n t v a l u e. B a s e d o n m a n y e x p e r i m e n t s i t c an b e c o n c l u d e d t h a t t h e t h i r dp o r t i o n s o f t h e s t r e s s - s t r a i n c u r v e s l ie o n li n e s s u c h a s X X ' o r Y Y ' w h i c h p r o v i d eb o u n d s i n t h e s t r e s s - s t r a i n s p a c e . M o s t o f t e n t h e s e l in e s c a n b e v e r y w e l l a p p r o x i -m a t e d b y t w o p a r a l le l s t ra i g h t l in e s a s s h o w n i n F i g . 2 . I n t h e p r e s e n t a t i o n t h a t

o -

y

Fig. 2. Schematic i l lustrat ion of the l ine bounds in a--e space

f o ll ow s , t h e s t r a i g h t l in e a p p r o x i m a t i o n o f th e b o u n d s m e n t i o n e d a b o v e w i ll b ek e p t f o r s im p l i c it y , a l t h o u g h t h i s is n o t e s s e n t i a l f o r t h e g e n e r a l d e v e l o p m e n t o ft h e t h e o r y . T h e e s s e n t i a l p o i n t is t o d i s t i n g u i s h t h e s e c o n d p a r t o f t h e s t r e s ss t r a i n c u r v e f r o m t h e t h i r d b y t h e f a c t t h a t E p r a p i d l y c h a n g e s a l o n g th e f o r m e r ,a n d r e m a i n s e s s e n t ia l ly c o n s t a n t a l o n g t h e l a t t e r .

T h e s e c o n d p o r t i o n o f t h e s t r e s s - s t r a i n c u r v e , in w h i c h t h e l a r g e s t c h a n g e o f E ~o c c u r s , w i ll n o w b e c o n s i d e r e d i n g r e a t e r d e t a i l. T o a i d t h is , t h e e x p e r i m e n t a lr e s u l t s o f c y c li c t e s t s f o r m a c h i n e d s p e c i m e n s o f 60 g r a d e s t e e l a r e s h o w n i nF i g s . 3 a n d 4 . T h e s p e c i m e n s w e r e 0 .4 3 6 in . i n d i a m t e r , a n d t h e s m o o t h c y l i n d r ic a lp o r t i o n s w e r e 1 .9 0 in . l on g . O b s e r v a t i o n s m a d e o n t h is d a t a p r o v i d e t h e n e c e s s a r yi n f o r m a t i o n .

C o n s i d e r f i r s t F ig . 3 . A f t e r t h e i n i ti M y i e ld , t h e m a t e r i a l s t a r t s w o r k h a r d e n i n g .D u r i n g t h i s p h a s e o f l o a d i n g , a s e ri e s o f l o a d r e v e r s a l s a n d r e l o a d i n g s w a s a p p l i e d ,a n d t h e r e s u l t s c le a r l y m a n i f e s t t h e e x i s t e n c e o f t h e s t r a i g h t l in e s X X ' a n d Y Ym e n t i o n e d b e f o re , a n d s h o w n i n F ig . 3 w i th d a s h e d l i ne s. T h e r e v e r s e lo a d i n g a n dr e l o a d i n g p r o c e s s e s g a v e ri s e t o s i x d i s t i n c t l o o p s , i n d i c a t e d o n t h e d i a g r a m i nc i r c l e d n m n b e r s . T h e p o i n t s B ~ , C i , D i , E i , -F i, w h e r e i t a k e s t h e v a l u e s i = 1 , 2 ,. . . , 6 a c c o r d i n g t o w h i c h l o o p r e f e r e n c e i s m a d e , a r e c h a r a c t e r i s t i c f o r e a c h l o o p .B i d e n o t e s t h e p o i n t o f e la s t ic u n l o a d i n g , G i t h e p o i n t w h e r e r e v e r s e p l a s t i cl o a d i n g s t a r t s , i t h e p o i n t o f t h e n e w e l a s t i c u n l o a d i n g , E i t h e p o i n t o f p l a s t i cr e l o a d i n g , a n d F i t h e p o i n t w h e r e c u r v e s m e r g e i n t o t h e l in e s X X ' o r Y Y . F o rt h e f i f t h l o o p t h e p o i n t F 5 c o in c i d es w i t h t h e p o i n t B 6. I t is t o b e n o t e d t h a te v e r y w h e r e t h e e l as t i c re g i o n s r e m a i n a l m o s t c o n s t a n t i n m a g n i t u d e .

C o n s i d e r n o w t h e f i r s t f o u r l o o p s a n d a s s o c ia t e w i t h t h e m a l i n e s e g m e n t


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A M o d e l o f N o n l i n e a r l y H a r d e n i n g M a t e r i a l s 1 7 9GIG2G3G4 p a r a l l e l t o XX', i n t e r s e c t i n g E~Fi a t G i , w i t h i 1 , 2 , 3 , 4 . I f t h i sl in e s e g m e n t i s t r a n s l a t e d p a r a l l e l t o XX', i t i s o b s e r v e d t h a t i t s p a r t s GIG2, G2Gs,G3G4 r e m a i n c o n s t a n t i n l e n g t h . T h i s im p l i e s t h a t t h e c u r v e EiFi a r e p a r a l l e lt r a n s l a t i o n s o f e a c h o t h e r a l o n g t h e d i r e c t i o n XX'. T h e r e f o r e , a t c o r r e s p o n d i n gp o i n t s , l i k e Gi's, t h e E V s h a v e t h e s a m e v a l u e a n d a c o m m o n p a r a m e t e r m u s t

l O O n8o.o60.040.0

- ~ O.O

-40.0-60 08 0 . 0

A

/ ? o . :I i i : i oY l T ZD i _ _ ~ D si ~ - - - - - - Y

Y F B I I F

F i g . 3 . E x p e r i m e n t a l r e s u l t s f o r u n i a x i a l r a n d o m c y c li c l o a d i n g o n g r a d e 60 st e e l s p e c im e n

c h a r a c t e r i z e t h i s p r o p e r t y 1. T h e f a c t t h a t t h e s e p o i n t s l ie o n a l i n e p a r a l l e l t o XX's u g g e s t s a s s u c h a p a r a m e t e r t h e i r c o m m o n d i s t a n c e 6 f r o m t h e l i n e XX'. F o r t h ea n a l y t i c a l f o r m u l a t i o n i t w i ll b e n e c e s s a r y t o w o r k o n t h e s t re s s - p l a s t i c s t r a i n s p a c ei n s t e a d o f th e s t r e s s - s t r a i n s p a c e , a n d , t h e r e f o r e , t h e d i s t a n c e 6 i s m e a s u r e d i nF i g . 3 a l o n g t h e d i r e c t i o n o f t h e e l a s t i c s t r e s s - s t r a i n l i n e . T h e p r o j e c t i o n o f 6 o nt h e p l a s t i c s t r a i n a x i s is z e r o , a n d t h e r e f o r e t h i s p a r a m e t e r h a s t h e d i m e n s i o n s o fs t r e s s o n l y , S t a t e d q u a l i t a t i v e l y , E p i s a n a b s o l u t e l y i n c r e a s i n g f u n c t i o n o f 6 ,i .e . f o r a s m a l l e r 6, E p a s s u m e s s m a l l e r v a l u e s . F o r 6 ~ 0 , i .e . f o r p o i n t s o n t h eXX' o r Y Y l in e s , E p a s s u m e s a l i m i t i n g v a l u e d e n o t e d b y Eov. E x a c t l y t h e s a m eo b s e r v a t i o n s c a n b e m a d e f o r t h e CiDi c u r v e s , i = 1 , 2 , 3 , 4 , w i t h r e g a r d s t o t h e i rp a r a l l e l t r a n s l a t i o n . F o r t h e s e e a s e s t h e d i s t a n c e 6 m u s t b e m e a s u r e d f r o m t h eYY' l in e . S i n c e 6 a s s u m e s l a r g e r v a l u e s a l o n g CiD~ t h a n a l o n g EiF~, t h e c u r v e sCiDi a r e s t e e p e r t h a n t h e c u r v e s EiFi. T h e r e f o r e , t h e a b s o l u t e v a l u e s o f E p a r el a r g e r a l o n g CiDi t h a n a l o n g EIF~. T h i s c a u s e s t h e l o o p s n o t t o r e t u r n t o t h e s a m ep o i n t , a n d t h e F i s d o n o t c o i n c i d e w i t h t h e B i s b u t u n d e r s h o o t t h e i n i t i a lp o i n t s . T h e s a m e o b s e r v a t i o n s c a n b e m a d e f r o m F i g . 4 w h e r e t h e p a r a l l e l t r a n s -l a t i o n o f th e c u r v e s a g a i n i s s t r i k i n g l y m a n i f e s t e d .

H o w e v e r , i t i s n o t p o s s i b l e t o c o n c l u d e t h a t t h e p a r a m e t e r 6 a l o n e c a n d e f i n et h e v a l u e o f E p . T h i s i s e x e m p l i f i e d b y t h e 6 t h l o o p . T h e c u r v e C~D6,o r a n y p a r to f i t , c a n n o t b e c o n s i d e r e d a s a p a r a l l e l t r a n s l a t i o n o f t h e c u r v e s EiFi. T h e c u r v eC6D6 i s m u c h f l a t t e r t h a n t h e c u r v e s EiFi, a n d , f o r t h e s a m e v a l u e s o f 6 , E p

1 A d i f f e r e n t s tr e s s and p l a s t i c s t r a i n co r r e spo nds to eac h one o f t he se po i n t s . I f s t r e s sa n d p l a s t i c s t r a i n a r e u s e d a s p a r a m e t e r s o n w h i c h EP d e p e n d s , a s u p p l e m e n t a r y r e la t i o nm u s t a l s o b e g i v e n b e t w e e n t h e m e x p r e s s in g t h e f a c t t h a t f o r s t a t e s l y i n g o n li n es p a r a l le lto XX s u c h a s G1G4,Ep a s s u m e s t h e s a m e v a l u e , a s f a r a s i ts d e p e n d e n c e o n t h e s e t w o p a r a -m e t e r s i s c o nc e r n ed . I n t h i s c a s e t h e s u p p l e m e n t a r y r e l a t i o n is s i m p l y t h e e q u a t i o n o f t h el i ne G1G~.S u c h a r e l a t i o n r e d u ce s th e n u m b e r o f p a r a m e t e r s f ro m t w o t o o n e .


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1 8 0 Y . F . D ~ - ~ I A S a n d E . P . P o P o v :a s s u m e s s m a l l e r v a l u e s o n i t. T h e r e f o r e , a n a d d i t i o n a l p a r a m e t e r d e f i n in g E ~ i si n t ro d u c e d . T h i s p a r a m e t e r i s th e a m o u n t o f p l a s ti c w o r k Wp = f(~ dev a c c u m u l a t e dd u r i n g t h e p l a s t ic d e f o r m a t i o n p r i o r to t h e e l a st ic d e f o r m a t i o n p r e c e e d i n g t h ec u r r e n t p l a s t i c s t a t e . F o r s o f t e n i n g m a t e r i a l s , E p i s a d e c r e a s i n g f u n c t i o n o f W p .C o n v e r s e l y , f o r h a r d e n i n g m a t e r i a l s , E p i s a n i n c r e a s i n g f u n c t i o n o f W p . I n o t h e rw o r d s , it is a s s u m e d t h a t t h e m a t e r i a l e x h i b i ts f a d in g m e m o r y , r e m e m b e r i n g o n l yw h a t h a s h a p p e n e d d u r i n g t h e m o s t r e c e n t lo a d i n g h i st o r y .

T h e t w o p a r a m e t e r s d a n d W ~ a r e s u f fi c ie n t t o d e t e r m i n e t h e b e h a v i o r o f am a t e r i a l s u c h a s s h o w n i n F i g s . 3 a n d 4 . ] f o r e x a m p l e , c o n s i d e r t h e c u r v e s C6D6a n d E3F3 i n t h e 6 t h a n d 3 r d l o o p s o f :F ig . 3 . H e r e i t c a n b e s e e n t h a t t h e p l a s t i cm o d u l u s a l o n g t h e s e t w o c u r v e s is i n f lu e n c e d n o t o n l y b y t h e d i s t a n c e d , b u t a ls ob y t h e p l a s t i c w o r k d o n e i n t h e r e s p e c t i v e p r o c e e d i n g h a l f- c y c le s . F o r t h i s s o f t e n i n gm a t e r i a l , t h e p l a s ti c w o r k d o n e a l o n g EGB~ s c o n s i d e r a b l y g r e a t e r t h a n t h a t a l o n gCaD3. F o r t h is r e a s o n t h e c u r v e C6D6 is f l a t t e r t h a n t h e c u r v e E s F a . I n f a c t a t D e ,E p h a s a l r e a d y r e a c h e d t h e v a l u e E 0p d u e t o t h e i n fl u e n c e o f W , e v e n b e f o r e db e c o m e s z e r o . A t t h i s p o i n t f o r s e lf c o n s i s t e n c y o f t h e p r o p o s e d m o d e l it is n e c e s s a r yt o i n tr o d u c e t h e r e s tr i c t i o n t h a t E P c a n n e v e r b e c o m e s m a l l e r t h a n E 0 < T h e s a m el o o p s 3 a n d 6 a ls o s h o w t h a t i t i s n o t p o s s ib l e to d e f i n e E v u s in g t h e p a r a m e t e r W pa l o n e . T h e c u r v e EaF a w h i c h a t t h e b e g i n n i n g is l e ss f l a t t h a n C6D6 b e c o m e se q u a l l y f l a t m u c h f a s t e r a s i t a p p r o a c h e s t h e l i n e XX . T h i s c a n b e a t t r i b u t e d t ot h e f a c t t h a t t h e i n f lu e n c e o f d , a s i t t e n d s t o z e r o , b e c o m e s d o m i n a n t o n t h e v a l u eo f E < A n a l o g o u s c o n c lu s io n s c a n b e r e a c h e d b y c o n s id e r in g l o o ps 5 a n d 6 . A t t h eb e g i n n i n g t h e c u r v e EsF 5 is st e e p e r t h a n EGF6, s in c e th e p l a s t i c w o r k d o n e a l o n gCsD5 s m u c h l e ss t h a n t h e p l a s t ic w o r k d o n e a l o n g 06D6. A s th e s e c u r v e s a p p r o a c ht h e l i n e YY , t h e i n fl u e nc e o f t h e p a r a m e t e r ~ b e c o m e s d o m i n a n t a n d t h e c u r v e st e n d t o c o in c id e . A n e x a m i n a t i o n o f th e l o o p s in F i g . 4 r e i n f o rc e s t h e s e c o n c l u s i o ns .C o n s id e r in t h i s d i a g r a m t h e t w o g r o u p s o f th r e e l o o ps e a c h d e n o t e d b y e n c ir c le d

8O

40

LU 0m

--40

-80

J 3 4 5 1TRAiN {I0 IN/IN

~ ig. 4. Ex per im en tal results for unia xial cycl ic loading on gra de 60 stee l specimen


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A Model of No nlinear ly Harden ing Materials 181n u m b e r s 1 a n d 2 . l~ o r e a c h g r o u p , t h e t i p s o f t h e t h r e e l o o p s is m a r k e d c o n s e -c u t i v e l y 1 , 2 , 3 . I n e a c h g r o u p , t h e l o o p s h a v i n g t h e t i p n u m b e r 1 a r e c l e a r l yf l a t t e r t h a n t h e o t h e r t w o , a n d t h i s a g a i n c a n be a t t r i b u t e d t o t h e f a c t t h a t t h ep r i o r p l a s ti c w o r k i n t e n s i o n f o r th e s e l o o p s w a s g r e a t e r t h a n f o r t h e l a t e r o n e s .

C o n s i d e r l a s t l y t h e f i r s t f o u r l o o p s o f F i g . 3 . T h e c u r v e s E iF i , i ~ 1, 2 , 3 , 4 ,w h i c h a r e n e a r l y i d e n t i c a l , a r e p a r a l l e l t r a n s l a t i o n s o f e a c h o t h e r . T h e p l a s t i cw o r k d o n e i n t h e h a l f -c y c l e s p r e c e e d i n g t h e s e c u r v e s is n e a r l y e q u a l . T h e r e f o r e ,o n l y 6 b e c o m e s t h e p a r a m e t e r w h i c h d i f f e r e n t i a t e s t h e v a l u e o f E P a lo n g t h e s eE~Fi c u r v e s .

R e c a p i t u l a t i n g , i t is c o n s i s t e n t l y o b s e r v e d f r o m a s e r ie s o f u n i a x i a l c y c li c l o a de x p e r i m e n t s , t h a t t h e p l a s ti c m o d u l u s E p c a n b e d e t e r m i n e d b y t w o p a r a m e t e r s , as t r e s s p a r a m e t e r a n d a s t r a i n p a r a m e t e r . T h e d i s t a n c e 6 d e f i n e d e a r l i e r h a s t h em e a s u r e o f s tr e ss , a n d i s t h e s t r e s s p a r a m e t e r . T h e s t r a i n p a r a m e t e r i s a s s o c i a t e dw i t h t h e p l a s t ic w o r k d o n e d u r i n g t h e p l a s t i c d e f o r m a t i o n p r i o r t o t h e e l a s t icd e f o r m a t i o n p r e c e e d i n g t h e c u r r e n t p l a s t ic s t a te . A l t e r n a t i v e ly , t h e c o r r e sp o n d i n gp l a s t i c s t r a i n m a y b e u s e d i n s t e a d o f t h e p l a s t i c w o r k . A s a c lo s in g n o t e , i t m u s t b ea d d e d t h a t f o r g r e a t e r g e n e r a l i ty a c h a n g e o f t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e t w ob o u n d i n g l i n e s X X , Y Y m u s t b e a l l o w e d , if n e c e s s a r y .

4 . S o m e C y c li c L o a d i n g P h e n o m e n aB e f o r e p r o c e e d i n g w i t h t h e a n a l y t i c a l f o r m u l a t i o n o f th e m o d e l , i t is s h o w n i n

t h i s se c t i o n h o w s o m e p h e n o m e n a a s s o c i a t e d w i t h c y c l ic l o a d i n g a r e q u a l i t a t i v e l yp r e d i c t e d o n t h e b a s is o f th e o b s e r v a t i o n s m a d e e a rl ie r . A n e x t e n s i v e s t u d y o ft h e s e p h e n o m e n a i s g i v e n i n r e f e r e n c e s [2 1] a n d [2 2 ].

T h e p h e n o m e n o n o f c y cl ic c re e p i n u n i a x i a l l o a d i n g i s sh o w n s c h e m a t i c a l ly i nF i g . 5 . T h e s t r e s s v a r i e s b e t w e e n t h e b o u n d s ~1 a n d ~2 w i t h a m e a n s t r e ss o f(a2 r 0 . A s s u m e t h a t c y c l ic l o a d i n g s t a r t s a t p o i n t A x , a n d c o n s e c u t i v e l yp r o g r e s s e s t o p o i n t s A 2 , A 3 , A 4 e t c . k l i s t h e p o i n t i n s t r e s s s p a c e w h e r e y i e l d i n gi n i t i a t e s i n t h e c o u r s e o f a p p r o a c h i n g t h e b o u n d r a n d k2 i s t h e c o r r e s p o n d i n gp o i n t f o r t h e b o u n d r B e t w e e n k~ a n d ~ o r k2 a n d or2,E v c h a n g e s a c c o r d i n g t o t h ed i s t a n c e ~ o f t h e c o r r e s p o n d i n g p o i n t s f r o m Y Y o r X X , r e s p e c t i v e l y , a n d t h ep l a st ic w o r k d o n e d u r i n g t h e p r e v i o u s p l a s ti c d e f o r m a t i o n . I t is as s u m e d t h a t t h er e l a t i o n g i v i n g E v a s a f u n c t i o n o f t h e d i s t a n c e ~ i s t h e s a m e w h e t h e r t h e d i s t a n c eis m e a s u r e d f r o m Y Y f o r t h e r e g i o n kl(ri, o r fr o m X X f o r t h e r e g i o n k 2~ 2. I t h a sb e e n a l r e a d y n o t e d t h a t t h e c l o s er t h e p o i n t is t o t h e X X ( o r Y Y ) l i n e , t h e s m a l l e rt h e v a l u e o f E v . A s s u m e n o w t h a t a t t h e b e g i n n i n g , t h e s t r e s s s t a t e s l y i n g o n ] c2 o 2c o r r e s p o n d t o t h e p o i n t s i n t h e s t r e s s - st r a i n s p a c e w h i c h h a v e a s m a l l e r d i s t a n c ef r o m X X t h a n t h e c o r r e sp o n d i n g p o i n t s o f t h e s t r es s s t a te s o n k l al h a v e f r o m Y Y .O n t h e o t h e r h a n d , i n e a c h c a s e t h e p l a s t i c w o r k d o n e b e f o r e l o a d r e v e r s a l isa p p r o x i m a t e l y e q u a l. F o r t h e s e c o n d it io n s , E v w i ll b e g r e a t e r f o r t h e s t re s s s t a t e sl y i n g o n k1r t h a n f o r t h e o n e s o n k2~2, a n d f o r c y c l ic l o a d i n g t h e l o o p s w il l n o t b ec l o se d a n d w i ll p r o g r e s s t o t h e r i g h t a s s h o w n i n F i g . 5 . T h i s c l e a r l y ex e m p l i f i e s t h ep h e n o m e n o n o f c y c li c c r e e p . A s a r e s u l t o f t h i s p r o g r e s s to t h e r i g h t , t h e a b o v em e n t i o n e d d i s t a n c e s o f t h e s t r e s s s t a te s o n ] Q o 1 a n d ] C 2 o t e n d t o b e c o m e e q u a lw i t h t h e c o n s e q u e n c e t h a t E P ' s a ls o b e c o m e e q u a l a n d t h a t t h e l o o p s c o n v e r g e t o as t a b l e c l o s e d l o o p .


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182 Y .F . DAFALIASand E . P . PoPov:O-

k2

la

f XA A 3 A s A ~

~Y

Fig. 5. Schematic represen tation of cyclic creep

A n o t h e r c y cl ic p h e n o m e n o n is th t o f c y c l i c s o f t e n i n g . I n F i g . 6 t h i s p h e n o -m e n o n i s s h o w n s c h e m a t i c a l l y f o r t h e u n i a x i a l c a s e . F o r t h i s c a s e t h e s t r e s sb o u n d s a r e s y m m e t r i c r a n d - - a 0 w i t h r e s p e c t t o t h e o r ig i n . I n t h e c o u r s e o fc y c li c l o a d i n g t h e l o o p s b e c o m e l a r g e r a n d t h e s t r e s s - s tr a i n c u r v e s i n t h e p l a s t i cr a n g e b e c o m e f l a t t e r . I n t e r m s o f t h e p r e s e n t m o d e l t h is i s e x p l a i n e d a s fo l lo w s .T h e p l a s ti c w o r k W P d o n e d u r i n g t h e c o n s e c u t i v e h a lf - c y c le s t e n d s t o b e c o m ep r o g r e s s i v e l y l a rg e r . F o r s o f t e n i n g m a t e r i a l s t h i s m a k e s t h e s u b s e q u e n t p l a s t icr e s p o n s e c u r v e s fl a t t e r . O n t h e o t h e r h a n d t h i s m ~ k e s t h e d i s t a n c e c~ b e c o m el a rg e r t e n d i n g t o m a k e t h e c u r v e s s t ee p e r . F i n a l l y t h e p a r a m e t e r s 8 a n d W pc o u n t e r b a l a n c e r e s u l t in g i n ~ s t a b l e l o o p . I t m i g h t h a p p e n t h a t E s r e a c h e s t h el i m i t in g v a l u e E 0 p b e f o r e ~ ---- 0 b u t s in c e E s i s n o t p e r m i t t e d t o b e c o m e s m a l l e rt h a n E 0 p t h i s c a n a l s o s ta b i l i z e t h e p r o c e s s .

Fig. 6. Schematic represen tation of cyclic softening


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A Model of Nonlinearly Hardening Materials 183The phenomenon of cyclic hardening can also be explained on the basis of the

proposed model. I n Fig. 7 a cyclic loading diagram is shown for a hardenin gmaterial with strain bounds The increase on Wv makes the curves steeper,but on approaching the bound ing lines XX' , Y Y', the pa ramete r 6 becomes smaller,which tends to flatten the curves. When the two effects balance, the process isstabilized exhibiting a closed loop. For certain cases where hardening (softening)phen omena are stro ngly exhibited, an additional allowance of change of the dis-tance between the two bounding lines XX' , YY ' is necessary for a better de-scription of the above mentioned phenomena. However, for simplicity, this willnot be considered in the sequel.

:AX , A ,/ / ? . ,~ EO ~ ~ o ETy ' ~

Fig. 7. Schematic representation of cyclic hardening

5. Uniaxial L o a d i n gThe basic observations needed for the development of the model have been

stated already. However, they are not in an appropriate form for analyticalformulation and generalization for multiaxial loading. For this purpose it isnecessary to formulate the basic concepts in stress space, and not Jn the stress-strain space, as has been done hereto. This is accomplished by projecting thestress-plastic strain space onto the stress space, which in the uniaxial case is thea-axis, Fig. 8 3

Let ZZ' be the stress-plastic strain path which is followed during the plasticloading. Points A and A' are two neighboring states, both lying on ZZ'. In thesequel, reference to these points will be made as state A and state A'. Quantitiesassociated with state A are denoted by unp rimed symbols, and the correspondingquantities for state A' are primed.

If at A a complete unloading takes place, the unloading path would be AA,2 In this section the formulation takes place in a--sP space. The transformation froma e to a--eP is linear, and it introduces exactly the same concepts of the bounding linesXX', YY and the distance 6 in a~sP. However, dt is now vertical and equal to the projectionon a-axis of its representation in a--e space. In fact, if the value of this parameter is denotedby 6 for the a- -e space, and by 6 for the a--sp space, it is (~ = sine e, where tanq~e = E%


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18 4 Y .F . ])AFALIASand E . P . PoPov:w h i c h i s e l a st ic . T h e p r o j e c t i o n o f A , A o n t o t h e a - a x i s a r e t h e p o i n t s a , 5 , w h i c hp l a y t h e r o l e o f t h e l o a d i n g s u r f a c e a s s o c i a t e d w i t h s t a t e A f o r t h e u n i a x i a l e a se .T h e l in e A A c a n b e c o n s id e r e d a s p a r t o f t h e l a rg e r s e g m e n t B B , w h i c h is f o r m e db y e x t e n d i n g A A u n t i l i t i n t e rs e c t s t h e l in e s X X a n d Y Y . T h e p r o j e c t i o n o f B Bo n t o t h e a - a x i s g iv e s th e l i n e s e g m e n t b b w h i c h e n c l o s e s t h e e l a s ti c s e g m e n t a S .P o i n t s / c , r o n t h e a - a x i s a r e , r e s p e c t i v e l y , t h e c e n t e r s o f a 5 a n d b b , a n d a r e a l s ot h e p r o j e c t i o n s o f K , R o n t h e a - a x i s. A n a l o g o u s s t a t e m e n t s a p p l y f o r s t a t e A .A f t e r t h e t r a n s i t i o n f r o m s t a t e A t o s t a t e A d u e t o a s tr e s s i n c r e m e n t d a , th ee l a s ti c r e g i o n a 5 m o v e s t o a n e w p o s i t i o n a 5 a n d t h e e n c l o s i n g li n e s e g m e n t b bm o v e s t o b b .

0

b'Ob(84X ' a

d 'ko

y

B ~ an4~~

K . / . . , . Ep anY

- ~ w p

Fig. 8 . Project ion of the ~- -ep space onto the s~ress space for ~he uniaxia l case

D e n o t e b y d ~ t h e i n c r e m e n t a l d i s p l a c e m e n t k k o f t h e c e n t e r k of t h e i n n e rl in e s e g m e n t ( e la s ti c r e g io n ) , a n d b y dfi t h e c o r r e s p o n d i n g q u a n t i t y s t f o r t h ec e n t e r r o f t h e o u t e r l i n e s e g m e n t . L e t d a a n d d e s b e , r e s p e c t i v e l y , t h e s t r e s s a n dp l a s t i c s t r a i n i n c r e m e n t s , a n d S a n d c lS , t h e l e n g t h a n d t h e i n c r e m e n t o f l e n g t h o ft h e i n n e r l i n e s e g m e n t ( e l a s ti c r e g i o n ) . :F o r t h e e x p a n s i o n o f t h e e l a s t ic r e g i o nd S > 0 a n d f o r c o n t r a c t i o n d S < 0 . T h e n , if E P i s t h e v a l u e o f t h e p l a s t i c m o d u l u sa t s t a t e A , t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s h o l d

d (7 = E p d e P , (3)= d a - - ~ d S . (4:)~ 25


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A Model of No nl inear ly Ha rden ing l~'[ater ia ls 185T h e p o i n t R i s m o v i n g in a - - s P s p a c e a l o n g t h e li n e n n w h i c h i s f i x e d a n d

p a r a l le l t o t h e d i r e c t i o n o f t h e X X , Y Y l i n e s . T h e r e f o r e , s i n c e d f l = r r a n dtan qb0 = E o p , u s i n g ( 3 ) o n e h a s

a n d f r o m ( 4 ) a n d ( 5 ) ,~ dd f l ~ - E o ~ d s P = ~ a ( ~ )

A l l t h e a b o v e i n c r e m e n t a l r e la t io n s a r e w r i t t e n f o r s t a te A , a n d t h e r e f o r e t h ev a l u e o f E p i s d e t e r m i n e d b y t h e d i s t a n c e 6 ~ a b -= A B a n d t h e a p p r o p r i a t e v a l u eo f W p . A t s t a t e A ' t h e v a l u e o f E p i s d e t e r m i n e d b y 6 ' --~ a b ~ A B a n d t h e s a m ev a l u e o f W p . T h e r e f o r e , i t is d e s i r a b l e t o h a v e a n e x p r e s s i o n o f 6 ' i n t e r m s o f (w h i c h f o l l o w s f r o m

a b ~ a a d - a b ~ a b -4 - b b (7)w h e n c e w i t h t h e a i d o f ( 5 ) a n d a a ~ - d c r , a b ~ - 6 , a b = - (~ a n d b b ~ - d f i ,

6 - ~ = d ~ = \[ E~ - - 1 ) d a . 8 )E p i s g i v e n b y a r e l a t i o n o f t h e f o r l n

E p : ~ p ( ( ~ , Wp) , (9 )w i t h E 0 v ~ ~ P ( 0 , W P ) . T h e f u n c t i o n ~ P i s : ( i) a n a b s o l u t e l y i n c r e a s i n g f u n c t i o no f 6, (ii) a n a b s o l u t e l y d e c r e a s i n g f u n c t i o n o f W p i f t h e m a t e r i a l s o f t e n s , a n d(iii) a n a b s o l u t e l y i n c r e a s i n g f u n c t i o n o f W p i f t h e m a t e r i a l h a r d e n s . W p i s t h ep l a s t ic w o r k d u r i n g t h e h a l f - c y c le p r e c e e d i n g t h e c u r r e n d p l a s t ic s t a t e . T h er e s t r i c t i o n t h a t E n > E 0P f o r a n y (~ a n d W p i s a s s u m e d . S i n c e S is a f u n c t i o n o fa s c a la r q u a n t i t y , u s u a l l y t h e p l a s ti c w o r k , d S c a n b e d e t e r m i n e d . I f , d u r i n g ap r o c e s s, S is c o n s t a n t , a ll r e l a t i o n s a b o v e h o l d t r u e w i t h d S ~ 0 .

T h e i n c r e m e n t a l p r o c e s s f o r a u n i a x i a l c a s e is c o m p l e t e l y d e t e r m i n e d f r o mt h e a b o v e s e t o f e q u a t i o n s . I n d e e d , g i v e n d ~, W p a n d 6 , t h e d s p , d ~ , d f i a r e o b t a i n e df r o m ( 3 ) , ( 4 ) , ( 5 ) u s i n g t h e v a l u e o f E p f r o m (9 ), a n d t h e v a l u e o f d S f r o m a r e l a t i o nf o r S . F o r t h e n e x t i n c r e m e n t , 6 ' is o b t a i n e d f r o m (8 ) a n d a n e w v a l u e o f E p iso b t a i n e d f r o m (9 ). T h e n t h e p r o c e s s is r e p e a t e d . I f e l as t ic u n l o a d i n g t a k e s p l a c e ,t h e n , f o r t h e n e x t p l a s t i c l o a d i n g , a n e w v a l u e o f W p e n t e r s i n ( 9 ). T h i s d i s -c o n t i n u o u s c h a n g e f r o m o n e v a l u e o f W p t o a n o t h e r , m a y b e t h e c a u s e o f a d is -c o n t i n u i t y i n t h e v a l u e o f E p f o r t h e s a m e 6 ; t h i s is t h e c o n s e q u e n c e o f t h e s im p l i -f y i n g a s s u m p t i o n o f r e t a in i n g o n l y t h e m o s t r e c e n t p r e v i o u s W p i n t h e m a t e r ia lm e m o r y .

P i c t o r i a l ly , t h e i m a g e o b t a i n e d is t h a t o f t w o l in e s e g m e n t s o n t h e a - a x is , t h eo n e e n c lo s i n g th e o t h e r ; w h e n t h e i n n e r o n e m o v e s d u e t o a n i n c r e m e n t o f s t re s s d a ,t h e o u t e r o n e a l so m o v e s i n th e s a m e s e n s e b u t a t a s l o w e r r a te . S o e v e n t u a l l y , i ft h e m o t i o n c o n t i n u e s i n t h e s a m e s e ns e , th e i n n e r s e g m e n t r e a c h e s th e o u t e r ,w h e n c e t h e y c o n t i n u e t o m o v e t o g e t h e r . I n t h e c o u rs e o f t h e ir m o t i o n , t h e d i s t an c e( c h a n g e s c o n t i n u o u s l y , a n d E p c h a n g e s a c c o r d i n g l y a s a f u n c t i o n o f 6 , t e n d i n g t ot h e m i n i m u m v a lu e o f E 0v a t ~ ~ 0 . I t i s a l s o p o s s i b l e t h a t d u e t o t h e s t r a i n


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186 Y.F. DAt~ALIASand E. P. PoPov:parameter Wp, Ep assumes the value of Eop with c 4= 0. Then from (8) one has~' = d, and the two line segments move at the same rate witho ut being in contact.This corresponds to the possibility that the plastic stress-strain curve becomesparallel to the XX , YY lines before reaching them.

6. Multiaxial LoadingThe generalization of the model to higher dimensions is straightforward.

Although now the stress space is 6-dimensional, all the essential features can beshown in a 2-dimensional space as in Fig. 9 a. The elastic region is represen ted bythe in terior of the loading surface, shown for simplicity as a circle with the centerat k. This corresponds to the inner line segme nt on the ~-axis of the uniaxial case.The outer line segment is represented by another surface in the stress space,shown again as a circle with the center at r, enclosing the yield surface. Thissecond surface in the stress space will be called the bounding surface, from thefact that the yield surface is constrained to move always within this surface,which also moves in the stress space.

In the uniaxial ease the plastic state A was determined by two points on the~-axis. Point a represented the stress state, and point b defined d = ab, whichdetermined the value of Ep at state A thr oug h Ep =/~P(d, WP). Aecordingly, inFig. 9 a poin t a is tak en on the yie ld surfaee, and ~oint b on the bounding surface.

(1

131 2 ~

Fig. 9. Schematic representation of a loading and a bounding surface and ilIustrationof their motionsIn this manner the distance d = ab, which in turn determines the value of tilegeneralized plastic modulus at a for the multiaxial ease. However, there are nowtwo questions in connection with this generalization. The first is how to determinethe bounding surface in the multiaxial case. The second, with the position of theloading and bounding surfaces known, which point b on the bounding surfacecorresponds to point a on the loading surface, and how the distance d is defined ina 6-dimensional space. The answers to these questions are interrelated, since thedetermination of the distance b indirectly also defines the bounding surface. Atpresent no experimental evidence is available to answer this question. Therefore,


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A Mo del of No nl inear ly Harde ning Material s 187i t is n e c e s s a r y t o m a k e s o m e s im p l i f y i n g a s s u m p t i o n s , w h o s e r e l ia b i l i ty is b a s e d o nt h e f a c t t h a t t h e r e s u l t s r e d u c e t o t h e k n o w n u n i a x i a l e a s e . F o r t h i s p u r p o s e as u r f a c e e n c l o s i n g t h e l o a d i n g s u r f a c e i s c h o s e n a s t h e b o u n d i n g s u r f a c e . T h i ss u r f a ce c a n o r d i n a r i l y b e t a k e n c o n g r u e n t t o t h e l o a d i n g s u r fa c e .

:F or t h e s e c o n d q u e s t io n r a i s e d a b o v e m a n y a s s u m p t i o n s a r e p o ss ib l e. F o re x a m p l e , i f t h e t w o s u r f a c e s a r e c o n g r u e n t , b c a n b e t h e p o i n t c o r r e s p o n d i n g t o aw i t h r e s p e c t t o t h e c o n g r u e n c y ; o r b c a n b e o b t a i n e d b y t h e i n t e rs e c t io n o f t h en o r m a l t o t h e l o a d i n g s u r f a c e a t a w i t h t h e b o u n d i n g s u r f a ce ; o r s i m p l y b c a n b et h e i n t e r s e c t i o n o f / c a w i t h t h e b o u n d i n g s u r f a c e a s s h o w n i n F i g . 9 a . A s f o r th ed i s t a n c e 8 , i t m a y b e g i v e n b y t h e u s u a l E u c l i d i a n m e t r i c , i .e . i f a ij a r e t h e c o o r d i -n a t e s a t a a n d ~ j t h e c o o r d i n a t e s a t b, t h e n

~ o )I f n o w K is th e g e n e r a l i z e d p l a s t i c m o d u l u s f o r t h e m u l t i a x i a l c a se , a ss u m i n g

t h e a s s o c i a t e d f l o w r u le , a n d t h a t t h e p l a s t ic s t r a i n i n c r e m e n t d e ~ j i s p r o p o r t i o n a lt o t h e p r o j e c t io n d a o f t h e s t r e s s i n c r e m e n t d a q o n t h e u n i t n o r m a l n i j t o t h el o a d i n g s u r f a c e , o n e h a s 1d e ~ . ~ - - ~ d ~ n ~ j . 11)

T h e v a l u e o f K is g i v e n b y a r e la t i o n o l th e f o r mK = f : ~ , W ~ ) , 1 2 )

w h e r e t h e f u n c t i o n / ~ h a s t h e s a m e p r o p e r t i e s a s t h e f u n c t i o n i ~p f o r t h e u n i a x i a lc a s e . T h e p l a s t i c w o r k n o w i s d e f i n e d a s W ~ = d e , j , w h e r e t h e i n t e g r a t i o n i s

m a d e i n t h e s t r a in s p a c e a lo n g t h e lo a d i n g p a t h d u r i n g t h e p l a s t ic d e f o r m a t i o np r i o r t o t h e e la s t ic d e f o r m a t i o n p r e c e e d i n g t h e c u r r e n t p l a s t ic s t a t e .

T h e l o a d i n g s u r f a c e c a n t r a n s l a t e a n d p o s s i b l y d e f o r m i n th e s t re s s s p a c ea c c o r d in g t o a n y h a r d e n i n g r u l e c o n s i d e re d a p p r o p r i a t e . S i m u l t a n e o u s l y , t h eb o u n d i n g s u r f a c e t r a n s l a t e s i n t h e s t r e s s s p a c e a c c o r d i n g t o a r u l e W h i c h w i l l b es p e c if ie d l a te r . T h e b o u n d i n g s u r fa c e m a y a ls o d e f o r m ; a n e x p a n s i o n f o r e x a m p l eo f t h e b o u n d i n g s u r f a c e w o u l d c o r r e s p o n d t o a n i n c r e a s e in t h e d i s t a n c e b e t w e e nt h e t w o b o u n d i n g l i n e s X X , Y Y i n t h e u n i a x i a l e a se . T h e r u l e o f t r a n s l a t i o n o ft h e b o u n d i n g s u r f a c e s h o u l d a l l o w f o r t h e f o l l o w in g g e n e r a l f e a t u r e s . I t i s p o s s i b l ef o r t h e l o a d i n g s u r f ac e t o c o n t a c t t h e b o u n d i n g s u r fa c e , b u t n o t i n t e r s e c t it . I ng e n e r a l , t h e b o u n d i n g s u r f a c e t r a n s l a t e s a t a s l o w e r r a t e t h a n t h e l o a d i n g s u r f a ce .I f t h e p l a s t i c lo a d i n g c o n t i n u e s a f t e r t h e c o n t a c t o f t h e t w o s u r fa c e s, t h e y m o v et o g e t h e r b e i n g i n c o n t a c t . I f el a s ti c u n l o a d i n g t a k e s p l a c e a n d i s f o l lo w e d b y ap l a s t i c l o a d i n g i n a d i f fe r e n t d i r e c ti o n , t h e l o a d i n g s u r f a c e d e t a c h e s f r o m t h eb o u n d i n g s u r fa c e , a n d t h e t w o s u r fa c e s a g a i n m o v e a t d i f fe r e n t ra t e s a n d d i re c -t io n s , u n t il p e r h a p s t h e y j o i n a g a in a t a d i f f e re n t p o i n t . I t i s i m p o r t a n t t h a t t h ep o i n t o f c o n t a c t a l s o r e p r e s e n t s t h e s t re s s s ta t e . : Fo r t h is p o i n t i n c o m m o n t o t h et w o s u r fa c e s , ~ ~ 0 a n d K = / ~ 0 , W p ) = K 0 , in d i r e c t c o r r e s p o n d e n c e t oE p = ~ P 0 , W p) = E oP f o r t h e u n i a x i a l c a s e. I f t h e p o i n t o n t h e l o a d i n g s u r f a c er e p r e s e n t i n g t h e s t r e s s s t a t e i s n o t a l so t h e c o n t a c t p o i n t , t h e f o l l o w i n g i n c o n -s i s t e n c y w o u l d r e s u l t ; i t w o u l d b e p o s s ib l e to f o l lo w a s t re s s p a t h s u c h t h a t t h e


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18 8 Y .F . DAFALIASand E . P . PoPov:t w o s u r fa c e s m o v e t o g e t h e r j o i n e d a t t h e s a m e p o i n t , w i th t h e p o i n t r e p r e s e n t i n gt h e s t r e s s s t a t e o n t h e l o a d i n g s u r f a c e n e v e r re a c h i n g t h e b o u n d i n g s u rf a c e. F o rt h i s s t a t e p o i n t ~ ~= 0 , a n d t h e r e f o r e w i t h t h e v a l u e o f W P f r o m t h e p r e v i o u sl o a d in g , K c o u ld n e v e r a t t a i n t h e v a l u e K o w h i c h i t s h o u l d r e a c h . F i n a l l y , t h e r u l eo f t r a n s l a t io n o f t h e b o u n d i n g s u r fa c e s h o u l d a l w a y s y i e ld t h e k n o w n r e s u l ts f o rt h e u n i a x i a l c a s e. T h e r e f o r e , th e a n a l y t i c f o r m u l a t i o n o f t h i s r u l e w il l b e o b t a i n e db y a d i r e c t g e n e r a l i z a t i o n o f t h e c o r r e s p o n d i n g e x p r e s s i o n s i n th e u n i a x i a l c a se .

F o r t h e p u r p o s e s a t h a n d , (5 ) c a n b e r e c a s t i n t o t h e f o ll o w i n g fo r m ,d f l = E o v d s P ~ - E p d s P - - E P - - E o p ) d e P ~ - d ~ - - E ~ - - E o p ) d e p . (13)

I n t h is e q u a t i o n t h e s t re s s i n c r e m e n t d ~ is t h e i n c r e m e n t a l d i s p l a c e m e n t i n t h es t r e s s s p a c e o f t h e p o i n t o f t h e l o a d i n g s u r f a c e w h i c h r e p r e s e n t s t h e c u r r e n ts t re s s s t a te . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h i s q u a n t i t y h a s a d i f fe r e n t m e a n i n g t h a n d ai n (1 1), w h e r e i t a p p li e s to t h e m u l t i a x i a l c a se . F i g . 9 b i l lu s t r a t e s t h e q u a n t i t yc o r r e s p o n d i n g t o d a o f (1 3) in m u l t i d i m e n s i o n a l s t r e s s s p a c e . P o i n t a o f t h el o a d i n g s u r f a c e r e p r e s e n t s t h e c u r r e n t s t r e s s s t a te . I f t h e s t r e s s i n c r e m e n t i sd e n o t e d b y d 6 , t h e v e c t o r a a ~ r e p r e s e n t s i t ; t h e v e c t o r a a s r e p r e s e n t s t h e p r o -j e c t i o n o f d 6 i n t h e u n i t n o r m a l n ; a n d t h e v e c t o r a a s r e p r e s e n t s t h e in c r e m e n t a ld i s p l a c e m e n t o f a w h i c h i s i n th e d i r e c t i o n o f a u n i t v e c t o r v . N o t e t h a t t h e n e ws t re s s s t a t e i s r e p r e s e n t e d b y a s , w h i l e t h e p o i n t a o f t h e l o a d i n g s u r f a c e m o v e st o a s . T h e v e c t o r a a 3 c o r r e s p o n d s t o t h e q u a n t i t y d a o f (1 3) in t h e u n i a x i a l c a s e .W i t h i n a s e c o n d o r d e r a p p r o x i m a t i o n i t c a n b e a s s e r t e d [6] t h a t a a 2 ~- d ~ n i s t h ep r o j e c t i o n o n n o f b o t h a a ~ a n d a a 3 T h e r e f o r e , i f ~o i s t h e g e n e r a l i z e d a n g l e b e t w e e nn an d v , a n d s ince n 9 v - ---n~jv~j ---- co s ~o,

d yaa 3 = v 14 )Cos o)T h i s r e l a t i o n i s t h e g e n e r a l i z e d e x p r e s s i o n f o r d a o f ( 1 3 ) . F o r t h e g e n e r a l i z a t i o no f t h e s e c o n d p a r t o f (1 3) a m o d i f i c a t io n o f a n i d e a o r i g i n a l l y e m p l o y e d b y M R o z[1 8] i s u s e d . D e n o t e b y c i n F ig . 9 a t h e p o i n t o n t h e b o u n d i n g s u r f a c e w h e r e t h eo u t w a r d n o r m a l t o i t h a s th e s a m e d i re c t io n a s th e n o r m a l to t h e l o a d in g s u r f a c ea t a . T h e n d e n o t i n g b y / t t h e u n i t v e c t o r a l o n g a c , t h e i n c r e m e n t a l t r a n s l a t i o no f t h e b o u n d i n g s u r f ac e a l o n g ~ w o u l d e v e n t u a l l y s a t i sf y th e r e q u i r e m e n t t h a tt h e p o i n t o f c o n t a c t i s a t t h e s a m e t i m e t h e c u r r e n t s t r e s s s t a t e s T h e r e f o r e , i ng e n e r a l i z in g ( 13 ), a t r a n s l a t i o n a l o n g 9 i s a s s u m e d f o r th e s e c o n d p a r t . M o r ep r e c i s e ly , u s in g (1 1), (1 4) a n d t h e a b o v e a s s u m p t i o n

d f i i i = cosd(Ie9 i i - - K - - K o ) d s~ m n d sP m n)1/2 ~tii

= g ~ [ - ~ , ~ - 1 - - ~ ) ~ j ] .(15)

T h i s e q u a t i o n c o r r e s p o n d s t o ( 5) of t h e u n i a x i a l c a s e . A r e l a t i o n c o r r e s p o n d i n gt o (8 ) o f t h e u n i a x i a l c a s e r e q u i r e s a s p e c if ic f o r m u l a t i o n , a n d i s n o t g i v e n i n

3 lVI~ozuses this approach to define a kinematic rule for the loading surface; no specif ickinematic rule is assumed in the present development.


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A Mo del of Non l inear ly Ha rdening Material s 189t h i s g e n e r a l p r e s e n t a t i o n . O b s e r v e t h a t i f t h e l o a d i n g s u r f a c e m o v e s as a r i g idb o d y , t h e t e r m d a v i i/ co s co i s a l s o t h e i n c r e m e n t a l d i s p l a c e m e n t d a i j o f t h e c e n t e ro f t h e l o a d i n g s u r f a c e . T h i s w i ll b e d i s c u s se d f u r t h e r i n t h e f o l lo w i n g s e c t io n .I n s u c h a e a se , w h e n t h e t w o s u r f a c es c o m e in c o n t a c t , f o r th e p o i n t i n c o m m o n

= 0 a n d K = K o , a n d ( 1 5 ) y i e l d s d f l i j = d g i i , i . e . , t h e y m o v e t o g e t h e r a t t h es a m e r a t e 4. S i m i l a r l y t o t h e u n i a x i a l c a s e, i t i s a ls o p o s s i b l e t h a t K t a k e s t h ev a l u e K 0 b e fo r e t h e l o a d i n g s u r f a c e r e a c h e s t h e b o u n d i n g s u r fa c e , a n d t h e n t h et w o s u r f a c e s m o v e a t t h e s a m e r a t e a n d d i r ec t io n w i t h o u t b e i n g in c o n t a c t . C e r-t a i n l y , w i t h d a l i a n d dtS~i c o m p u t e d , i t is p o s s i b l e t o f i n d t h e n e w r e l a t i v e p o s i t i o no f t h e t w o s u r f a c e s . T a k i n g a l so i n to a c c o u n t t h e p o s s i b l e d e f o r m a t i o n o f t h et w o s u r f a c e s , t h e n e w d i s t a n c e (~ c a n b e f o u n d b e t w e e n t h e p o i n t o n t h e y i e l ds u r fa c e r e p r e s e n t i n g t h e n e w s t r e s s st a te , a n d t h e c o r r e s p o n d in g p o i n t o n t h eb o u n d i n g s u r f ac e . T h e n w i t h b a n d a n a p p r o p r i a t e v a l u e o f W~, t h e n e w v a l u ea t K is o b t a i n e d f r o m (1 2), a n d i s u s e d i n t h e n e x t s t e p .

7 A p p l i c a t io n t o S p e c if ic H a r d e n i n g L a w sI n o r d e r t o i l lu s t r a te t h e a b o v e fo r m u l a t io n , t h e k i n e m a t i c m o d e l s o f P l C A O ~

a n d Z IE OL ~I~ w i ll b e c o n s i d e r e d i n c o n n e c t i o n w i t h t h e p r o p o s e d m o d e l .(i) P r a g e r s M o d e l

T h e i n i ti a l l o a d i n g s u r f a c e i s g i v e n b yl o ~ i s ) = 0 a )

a n d t h e s u b s e q u e n t l o a d i n g s u r f a c e s b yl a ~ j , ~ x ij ) = / o a i j - - a i ~ ) : 0 (b)w h e r e

dccii = c ds~-. (c)T h e a s s o c i a t e d f lo w l a w i s g i v e n b y ( 1U .

T h e g r a d i e n t o f / ( a ~ i ) w i t h r e s p e c t t o a ij is w r i t t e n a s8- - = g n i j ( d )8ai

w h e r e n ~. is a u n i t o u t w a r d n o r m a l t o t h e l o a d i n g s u r f a c e , a n d g i s t h e n o r m o fth e g r ad i en t , i . e . g = [ (~ / /~ a i j ) (~ [ /~ a ij ) ] 1 /2 .

I t c a n a l s o b e s h o w n t h a t8 t 88~ij ~aij (e)

F r o m ( 1 1 ) , ( c ) , ( d ) , ( e ) , a n d t h e c o n s i s t e n c y c o n d i t i o n d / = O ,d/ ~ d~ j + 81 1: ~ i j ~ d ~ i ~ = g n i j d a ~ j - - g n i~ c - - ~ d a n i j ~ 0

a n d s i n c e da ~j n ~i = d ~ a n d n~in~i = 1 , i t f o l lo w s t h a t c = K .4 In general , after contact f i r s t occurred between the two sur faces , the point of c o n t a c tr emains on t he s t re s s pa th .A c t a M e c h X X I ] 3 1 4


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1 9 0 Y . F . D ~ A LIA S a n d E . P . P o P o v :T h e r e f o r e , w i t h t h e a i d o f ( 1 1 ) ,

d ~ j ~ d ~ j d ~ n ~ . ( f)I n t h i s c a s e ~ i = n ~ a n d c o s co = 1 , h e n c e ( 15 ) y i e l d s

d f li j : d c ~ j - - d a ( 1 - - - - ~ ) i , . (g )E q s . ( f ) a n d (g ) c o r r e s p o n d d i r e c t l y t o (4 ) a n d ( 6) o f t h e u n i a x i a l c a s e w i t hd S - -- - O .

( i i ) Z i e g l e r ' s m o d e lZ i e g l e r 's m o d i f i c a t i o n o f P r a g e r ' s m o d e l s u g g e s t i n s t e a d o f d ~ ij = c d e , j , t h e

r e l a t i o n d ~ i j = d ( a ~j - - ~ ) . ( h )

F i g . 1 0. S c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e l o a d i n g a n d b o u n d i n g s u r fa c e s f o r [Z i e g l e r s m o d e l

A l o a d i n g a n d a b o u n d i n g s u r f a c e a re s h o w n i n F i g . 10 , f r o m w h i c hk a = a i j - - a ~ j = ~ u i j (i)

w h e r e u i i is t h e u n i t n o r m a l a l o n g t h e r a d i u s k a , a n d ~o i s t h e n o r m o f t h e r a d i u s .W h e n c e ( h) y i e l d s

dcq j d ~u i~ . ( j )F r o m ( j) , ( d) , ( e) , a n d d / = 0 ,

~ Y O ~ 9 ~a n d

~ , a - -- ~ n i j d a ~ ] . ( k )~ n i i u i i


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A M odel Of Nonlinearly H arde ning Materials 191S in ce n~j da i j = d a , n i ~ u i j - = I n ] [u] cos 0 = cos O, w h e r e 0 is th e g e n e r a l i z e d a n g l eb e t w e e n t h e n o r m a l t o t h e l o a d i n g s u r f a c e a t a a n d t h e r a d i a l d i r e c t i o n k a a ss h o w n i n F i g . 1 0, t h e a b o v e r e l a t i o n f o r d b e c o m e s

a n d f r o m ( j ) a n d ( 1 ) ,d a@ - 1)~) co s 0

d~ i i = cos 0 u i j . (m)In th i s case v i i ~-- u i j a n d 0 ~ o . , h e n c e (1 5 ) y i e l d s ,

n )T h e r e l a t i o n s ( m ) a n d ( n) c o r r e s p o n d t o (4 ) a n d (6 ) f o r t h e u n i a x i a l c a s e , a n d t o (f )a n d (g ) o f P r a g e r ' s m o d e l .

8 . G e n e ra l C o n c l u s i o n sT h e p u r p o s e o f th i s p a p e r w a s t o p r e s e n t a t e c h n i q u e o f a c c o u n t i n g f o r t h e

d i f f e r e n t p h e n o m e n a m a i n l y a s s o c i at e d w i t h c y c l ic m u l t ia x i a l l o a d in g i n t h ep l a s t i c ra n g e . I t i s r e c o g n i z e d t h a t i n u n i a x i M l o a d i n g , t h e c h a n g e s i n t h e p l a s t icm o d u l u s d u r i n g t h e c o u r s e o f p l a s t i c d e f o r m a t i o n is t h e m a i n c a u s e o f t h e p h e -n o m e n a s u c h a s c y c li c c r e e p , s o f t e n i n g a n d h a r d e n i n g . F o l l o w i n g t h e s a m e l in eo f r e a s o n in g , b a s e d o n o b s e r v a ti o n s o f m a n y e x p e r i m e n t a l r e s u lt s f o r th e u n i a x i a lc a se , g e n e r a l i z a t i o n s fo r t h e m u l t i a x i a l c a s e w e r e m a d e . O n e o f t h e s e g e n e r a l -i z a t i o n s y i e l d e d t h e c o n c e p t o f t h e b o u n d i n g s u r f a c e in t h e s t r e ss s p a c e , w h i c he n c l o s e s t h e y i e l d s u r f a c e , a n d i n g e n e r a l m o v e s a n d d e f o r m s s i m u l t a n e o u s l yw i t h i t in a c o u p l e d m a n n e r . T h e r e l a t i v e p o s i t i o n o f t h e s e t w o s u r f a ce s a n d t h ep l a s t i c w o r k W p d e f i n e d e a r l ie r , d e t e r m i n e a t e a c h s t a g e t h e v a l u e o f t h e p l a s t icm o d u l u s a l o n g t h e y i e l d s u r fa c e . T h e d e p e n d e n c e o f t h e p l a s ti c m o d u l u s K , i nt h e m u l t i a x i a l c a s e, o n t h e d i s t a n c e ~ b e t w e e n c o r r e s p o n d i n g p o i n t s o n t h e l o a d i n ga n d t h e b o u n d i n g s u r fa c e n e e d s e x p e r i m e n t a l v e r if i ca t io n . T h e p l a s t ic m o d u l u sa s s u m e s a c o n s t a n t v a l u e f o r p o i n t s o n t h e b o u n d i n g s u r f a c e .

T h e p r o p o s e d m o d e l p o s e ss e s c o n si d e ra b l e g e n e r a li t y . F o r l a c k o f e x p e r i m e n t a le v i d e n c e i t h a s n o t b e e n s p e c i a l iz e d f o r a n y p a r t i c u l a r m a t e r i a l , i t i s b e l i e v e d ,h o w e v e r , t h a t t h e g e n e r a l i t y a n d f l e x i b i li t y o f t h e m o d e l is su c h t h a t i t c a n b ea d j u s t e d t o t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o n c e t h e y b e c o m e a v a i la b l e . :N o s p e c if ick i n e m a t i c a n d d e f o r m a t i o n la w f o r t h e l o a d in g s u r f a c e w a s a s s u m e d i n t h e g e n e r a ld e v e l o p m e n t . T h i s is d e l i b a r a t e , a s i t ]e a v e s f r e e t h e c h o i c e o f a h a r d e n i n g r u l ef o r s p e c i f i c c a s e s . F i n a l l y , t h e i n c r e m e n t a l a n a l y t i c a l f o r m u l a t i o n o f t h e m o d e li s v e r y s i m p l e , a n d a p p e a r s t o b e e s p e c i a l ly su i t a b l e f o r u se i n s o l v in g p r o b l e m sn u m e r i c a l l y , w i t h l i t t l e a d d i t i o n a l e f f o r t .

cknowledgementsT h e w o r k w a s s u p p o r t e d i n p a r t b y c o n t r a c t s D A A 2 1 -7 2 -C - 0 72 9 , N S F G I - 3 6 3 8 7 ,

a n d b y L o c k h e e d M i ss il es a n d S p a c e C o m p a n y . M r . M ~ S ~ A L L M A , a g r a d u a t es t u d e n t , p r o v i d e d t h e d a t a f o r F i g . 4 .

14


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