Вісник СНАУ, 1(23), 2011 85Серія “Механізація та автоматизація виробничих процесів”

1988.- 70 с.2. Яцик А.В. Водогосподарська екологія: у 4 т., 7 кн. / А.В. Яцик – К.: Генеза, 2004. – Т.3, кн. 5. – 496 с.3. Титана диоксид пигментный. ТУ У 24.1-05766356-054:20054. Жужиков В.А. Фильтрование. Теория и практика разделения суспензий. / В.А. Жужиков –М.:Высшая школа, 1990. - 400 с.

5. Захарко Я.М. Аналіз мікроструктури глинистих мінералів Сумської області / Я.М.Захарко,В.Д.Дудченко, С.Б.Большаніна // Вісник національного університету «Львівська політехніка», №609, 2008р., С.239-242.

Исследованы технологические условия фильтрации глинистой суспензии, применяемой приадсорбционной очистке водных ресурсов от общего железа. Приведены характеристики процессафильтрации, учитывающие природу твердой фазы, гидродинамические характеристики суспен-зии, влияние сопротивления фильтра и удельного сопротивления слоя осадка на скоростьфильтрации.

The technological terms of clay suspension filtration which is used in the absorptive purging ofwater of iron compounds have been examined. Filtration process characteristics, which are influencedby the nature of solid phase, hydrodynamic qualities of suspension, impact of filter resistance and specificresistance of sediment layer on filtration speed are described.

УДК 514.181.2+514.182.7

І.В.Павленко, асистент, Сумський державний університетВ.В.Павленко, викладач, машинобудівний коледж Сумського державного університетуВ.М.Петрівний, к.т.н., ст. викладач, Сумський НАУ

ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ ПОСЛІДОВНИХ НАБЛИЖЕНЬ ДЛЯ ВИЗНАЧЕННЯ ТОЧОК ПЕРЕТИНУПРОСТОРОВОЇ ЛІНІЇ З ПОВЕРХНЕЮ ТІЛА ОБЕРТАННЯ

Задачі на знаходження точок перетину просторової кривої з поверхнею займає особливе місцесеред задач проекційного креслення. Для їх розв’язання використовують методи перетвореннякомплексного креслення та метод поверхонь-посередників. У роботі запропоновано якісно новийспосіб розв’язана задач про визначення точок перетину просторової кривої з поверхнею тілаобертанняò Викладено алгоритм реалізації на ЕОМ.

Постановка проблеми у загальному ви-гляді. Високий рівень розвитку сучасногомашинобудування завдячує використаннюінноваційних технологій, у тому числі застосуван-ню систем автоматизованого проектування наоснові ЕОМ. Існуючі комп’ютерні програмибазуються на тривимірному моделюванніелементів конструкцій і створенню на їх основіпроектної документації.

Найбільш складними елементами конструкційз точки зору проекційного креслення є лініїперетину і переходу двох і більше тривимірнихгеометричних образів – поверхонь, їх твірних і

напрямних (рис. 1). Їх побудова відноситься допозиційних задач нарисної геометрії, якірозв’язуються шляхом знаходження геометрич-ного місця точок перетину ліній однієї поверхні зіншою поверхнею [1-3].

Задачі на знаходження точок перетину прос-торової кривої l з поверхнею Ф займає особливемісце серед задач проекційного креслення. Для їхрозв’язання використовують переважно методиперетворення комплексного креслення таметоди, пов’язані з введенням допоміжнихповерхонь-посередників Σ особливого абозагального положення (рис. 2) [1].

86 Вісник СНАУ, випуск 8 (23), 2011Серія “Механізація та автоматизація виробничих процесів”

Рисунок 1. Перетин геометричних образів тривимірної моделі

а бРисунок 2. Перетин кривої лінії з поверхнею тіла обертання:а – аксонометрична проекція; б – комплексне креслення

Головним недоліком існуючих способів єпряма залежність точності побудови контуру тперерізу поверхонь Ф і Σ від кількості точокконтуру. Унаслідок цього для побудови проекційлінії т необхідно вводити значну кількістьдопоміжних точок, що ускладнює поставленузадачу нагромадженням додатковими побудова-ми. Крім того, ділянки лінії т між допоміжнимиточками будуються наближено шляхом інтерпо-ляції (рис. 3).

Рисунок 3. Визначення точок перетину просторо-вої кривої з поверхнею тіла обертання методомдопоміжної циліндричної поверхні-посередника

Аналіз останніх досліджень і публікацій.Роботи В.Є. Михайленка [1], Є.А. Антоновича [2],В.О. Гордона [3] присвячені визначенню точок

перетину геометричних образів матодамиортогонального проекціювання і перетвореннякомплексного креслення. Ці методи не надаютьможливості створення універсальної процедурирозв’язання задачі, а містять лише сукупністьалгоритмів для розв’язання переважно тривіаль-них задач.

У роботі А.Д. Посвянського [4] викладенізасади методу косокутного проекціювання усистемі неортогональних площин проекцій. Йогоосновним недоліком є необґрунтована склад-ність, пов’язана із використанням, переважно,бісекторних площин у декартовій системікоординат.

Робота [5] присвячена створенню спрощенихметодик розв’язання позиційних задач. Їїнедоліком є вузьке коло застосування.

Недоліки зазначених методів вказують нанеобхідність пошуку і обґрунтуванню новогоефективного альтернативного методу, який бисуттєво спрощував геометричні побудови, непоступаючись при цьому точністю останніх.Зазначеній проблемі і присвячена ця стаття.

Формулювання цілей статті (постановказавдання). Метою роботи є створення, обґрунту-вання і чисельна реалізація якісно новогоспособу розв’язання позиційних задач нарисноїгеометрії, який би мав переваги порівняно з

Вісник СНАУ, 1(23), 2011 87Серія “Механізація та автоматизація виробничих процесів”

існуючими методами проекційного креслення.Для досягнення поставленої мети сформу-

льовані такі задачі: створити методику застосу-вання методу; запропонувати алгоритм йогочисельної реалізації на ЕОМ і визначенняперспектив подальшого розвитку.

Виклад основного матеріалу дослідження.I. Загальні засади методуРозглянемо загальний випадок задачі про

знаходження сімействаÒÓÓÓ ôòòòôô îï

точок

перетину кривої лінії l з поверхнею Ф тілаобертання (рис. 1 а). Кількість N точок перетинуобумовлена алгебраїчним порядком вказанихгеометричних образів. Оскільки методи визна-чення точок перетину інваріантні до кількостіостанніх, у подальшому будемо розглядатизадачу про визначення однієї з таких точок

Ф´Ó .

Для викладення суті методу послідовнихнаближень введемо ортогональну прямолінійнусистему координат Oxyz, у якій вісь z співпадає звіссю тіла обертання (рис. 4). На початкугеометричних побудов вважатимемо, що точка Мзнаходиться у площині Σ горизонтального рівня.Положення точки М визначається як ´Ó .Також точка М належить колу т: ³Ó . Заотриманою із застосуванням умови належностіточки М до кола т горизонтальною проекцією М1

[2] уточнюємо положення шуканої точки:Ф´Ó . Таким чином, довільно обравши

положення шуканої точки, шляхом простоїітераційної процедури уточнюємо це положення.

Рисунок 4. Комплексне креслення

Алгоритм методу послідовних наближень умежах однієї ітерації наведений на рис. 5

Рис. 5. Блок-схема алгоритму методу послідов-них наближень:

і – номер поточної ітерації; – кількіснийкритерій збіжності

Перевагами методу послідовних наближеньє:а) точність розв’язання задачі контролюється накожному ітераційному кроці;б) відносно невелика кількість геометричнихпобудов;в) достатньо простий алгоритм чисельноїреалізації на ЕОМ;г) інваріантність алгоритму до типу поверхні тілаобертання.

На рис. 6 а – в представлені задачі про пере-тин прямої з довільною поверхнею, сферою,тором. Як відомо, ці задачі розв’язуються задопомогою спеціальних методів, а саме заклю-чення прямої у площину особливого чи загально-го положень або заміни площин проекцій [1 – 2].На вказаних рисунках задача також розв’язана задопомогою методу послідовних наближень.

ІІ. Алгоритм чисельної реалізації методуна ЕОМ

Будь-яку поверхню Ф тіла обертання можнавизначити у циліндричній системі координат утакий спосіб:

ô®º¦ (1)

де ®º – функція, що визначає твірну поверхні

тіла обертання (рис. 7). У таблиці 1 наведеніфункції ®º для різних поверхонь.

Переведемо алгоритм, заданий блок-схемою,представленою на рис. 5, на мовуфункціонального аналізу. Вираз ·· ³Ф(рис. 4) задається рівнянням

ò·· ®º¦ (2)

Вираз ·· Ó´³ в проекції на горизонталь-ну площину проекцій запишемо у вигляді:

88 Вісник СНАУ, випуск 8 (23), 2011Серія “Механізація та автоматизація виробничих процесів”

ôðô

åïï

ï

îïîïîï

··

···

§¨

®§¨ (3)

де §¨ôï– функція, що описує горизонтальну

проекцію l1 просторової кривої l (рис. 4).

а б вРис. 6. Способи визначення точок перетину прямої з кривими поверхнями:

а – конусом; б – сферою; в – тором

Рисунок 7. Поверхня тіла обертання в циліндрич-ній системі координат

Таблиця 1Функції ®º для твірних поверхонь тіл обертання

ПоверхняВигляд і

геометричні розміриФункція ®º

Конусή

Ø ï

Сфера îî ®Î

Тор îð

î ήÎ

Уточнюємо значення координати z точки М задопомогою рівняння

ôðô ïïî

·· ¦¨ (4)

де ¦¨ôî– функція, що описує фронтальну

проекцію l2 просторової кривої l (рис. 4).Таким чином, реалізація методу послідовних

наближень на ЕОМ може бути здійснена задопомогою алгоритму, представленого на рис. 8,який містить два модулі, перший з яких залежитьлише від форми поверхні Ф тіла обертання,другий – обумовлений просторовою кривою l. Накожному ітераційному кроці перевіряється умовазбіжності

ô𦦠(5)

де – кількісний критерій збіжності.

Вісник СНАУ, 1(23), 2011 89Серія “Механізація та автоматизація виробничих процесів”

Рисунок 8. Блок-схема алгоритму чисельноїреалізації методу послідовних наближень

Висновки. Впровадження сучасних техноло-гій проектування потребує, передусім,розв’язання інженерних задач із застосуваннямЕОМ. Тому постає необхідність у складаннівідповідних алгоритмів чисельної реалізаціїзадач проекційного креслення, які б відрізнялися

простотою, швидкою збіжністю, здатністюконтролювати похибки побудов.

1. У роботі запропоновано якісно новий методрозв’язання позиційних задач нарисної геометрії.Він має ряд переваг порівняно з існуючимиметодами проекційного креслення.

2. Запропонований метод послідовних на-ближень при розв’язанні задач на перетинпросторової кривої з поверхнею тіла обертаннявідповідає вищезазначеним вимогам і має рядпереваг порівняно з існуючими методамиперетворення комплексного креслення і застосу-вання поверхонь-посередників. Його чисельнареалізація відрізняється простим алгоритмом звідносно швидкою збіжністю, а точність контро-люється на кожному ітераційному кроці геомет-ричних побудов.

3. Викладений матеріал дослідження у пода-льшому дозволить створити альтернативнуметодику визначення кривих ліній перетинубічних поверхонь просторових об’єктів.

Література1. Михайленко В.Є. Інженерна та комп’ютерна графіка: підручник для студентів ВЗО

/ В.Є. Михайленко, В.В. Ванін, С.М. Ковальов / За ред. В.Є Михайленка.– 3-є видання.– К.: Караве-ла, 2003.– 340 с.

2. Антонович Є.А. Нарисна геометрія: практикум / Є.А. Антонович, Я.В. Василишин, О.В. Фольта та ін./ За ред. Є.А. Антоновича.– Львів: Світ, 2004.– 528 с.

3. Гордон В.О. Курс начертательной геометри: учебное пособие / В.О. Гордон, М.А. Семенов-Огиевский / Под ред. Ю.Б. Иванова.– 23-е изд., перераб.– М.: Наука, 1988.– 272 с.

4. Посвянский А.Д. Краткий курс начертательной геометрии: учебник для втузов / А.Д. Посвянский.–М.: Высшая школа, 1970.– 240 с.

5. Павленко І.В. Альтернативні способи розв’язання задач нарисної геометрії / І.В.Павленко,В.В.Павленко // Матеріали науково-технічної конференції викладачів, співробітників, аспірантів істудентів факультету технічних систем та енергоефективних технологій.– Ч.2.– Суми: СумДУ.–2011.

Задачи на нахождение точек пересечения пространственной кривой с поверхностью занимаетособое место среди задач проекционного. Для их решения используют методы преобразованиякомплексного чертежа и метод поверхностей-посредников. В работе предложен качественноновый способ решения задач об определении точек пересечения пространственной кривой споверхностью тела вращенияò Изложен алгоритм реализации на ЭВМ.

Problem of finding of intersections a curve with a surface are occupied the special place among theproblems of descriptive geometry. For their decision the methods of transformation and surfaces-mediatorsare used. In this paper the new method for determination of the points of the space curve with the figure ofrevolution intersection is offered. The algorithm of the numeral realization of this method is stated.