1º de Bachillerato

1deBachillerato

MATEMTICAS I

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I.S.B.N.13:9788460690504

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Autor:JorgeMuozyPacoMoya

Revisora:RosaMaraHerrera

Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF

MATEMTICASI1Bachillerato

Captulo1:Nmerosrealesycomplejos

MatemticasI.BachilleratodeCiencias.Captulo1:Nmerosrealesycomplejos Autor:JorgeMuozyPacoMoyaLibrosMareaVerde.tk Revisora:RosaMaraHerrerawww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF

4 Nmerosrealesycomplejos

ndice

1.NMEROSREALES1.1.NMEROSRACIONALESEIRRACIONALES1.2.LARECTAREAL.1.3.VALORABSOLUTO1.4.DESIGUALDADES1.5.DISTANCIAENLARECTAREAL1.6.INTERVALOSYENTORNOS1.7.APROXIMACIONESYERRORES1.8.NOTACINCIENTFICA

2.NMEROSCOMPLEJOS2.1.NECESIDADDELOSNMEROSCOMPLEJOS.ELNMEROi.2.2.NMEROSCOMPLEJOSENFORMABINMICA.OPERACIONES2.3.FORMATRIGONOMTRICADELOSNMEROSCOMPLEJOS.OPERACIONES2.4.FRMULADEMOIVRE

ResumenLavariable complejapermite resolverproblemasmuydiferentesdentrodereas tanvariadas comopueden serhidrulica, aerodinmica,electricidad,electromagnetismo, yotros.Algunosdeellos solorequieren el conocimiento de los nmeros complejos, como sucede en el caso del clculo de losautovalores asociados a sistemasdeecuacionesdiferenciales lineales.Otrosen cambio requieren lautilizacin de la teora de funciones analticas complejas, como los problemas de contorno queaparecen,porejemplo,enelestudiodel flujode fluidos, la conduccindel calor, laelasticidadoelpotencialelectrosttico.Sabasque la formadelalade losaviones sediseamedianteoperacionesconnmeroscomplejos?Sepuededecirqueelserhumanoescapazdevolargraciasaellos.

Muchos problemas geomtricos pueden resolverse utilizando las transformaciones complejas. Pararesolvermuchosdeestosproblemasbastaconocer loquevasaestudiarenestecaptulo,peroparaotros(transformaciones,funcionesanalticas)habrqueesperarasaberms.

SinosquedamossolodentrodelasMatemticas,esinteresanteestudiarlavariablecomplejaporestarestrechamenterelacionadacondistintasreas,demaneraquesuestudiopuedahaceraccesiblepartedellgebra,delatrigonometraoproporcioneherramientasparaelclculointegral.

Losantiguosalgebristasoperaron conexpresionesen lasqueapareca 1 .Leibniz,enel sigloXVII,todava deca que 1 era una especie de anfibio entre el ser y la nada. En 1777 Euler le dio almonstruo 1 el nombre de i (por imaginario). Pero atencin, que no te equivoque el nombre,imaginario no significa ilusorio, inexistente o algo as. En la actualidad esta notacin se usa casiuniversalmente,exceptoeningenieraelctrica,dondeseutilizajenlugardei,yaquelaletraiseusaparaindicarlaintensidaddelacorriente.

Cuandosedesarrolllateoradelosnmeroscomplejos,laelectricidaderaunamateriadeinterssolode laboratorio. Pero antes del final del siglo XIX los descubrimientos sobre electricidad yelectromagnetismo transformaron elmundo, y en este proceso los nmeros complejos fueron unaherramientaquesimplificelclculocon lascorrientesalternas.Estopruebaqueconocimientosquesonmatemticapuraparaunageneracinseconviertenenaplicadosparalasiguiente.



1.NMEROSREALES

1.1.NmerosracionaleseirracionalesRecuerdaque:

Yaconoceslosdistintostiposdeconjuntosnumricos:

NaturalesN ={0,1,2,3,}

EnterosZ ={,3,2,1,0,1,2,3,}

RacionalesQ =

0,,; bZbZa

ba

.

Los nmeros racionales tambin contienen a los nmeros que tienen expresin decimal exacta(012345) y a los que tienen expresin decimal peridica (701252525). Si el denominador (de lafraccinirreducible)solotienecomofactoresprimospotenciasde2o5laexpresindecimalesexacta.Sieldenominador(de lafraccin irreducible)tienealgnfactorprimoquenoseani2ni5 lafraccintendrunaexpresindecimalperidica.

Todas las fracciones tienenexpresindecimalexactaoperidica;y todaexpresindecimalexactaoperidicasepuedeescribirenformadefraccin.

Peroyasabesqueexistennmerosquenosonracionales.Porejemplo: 2 nopuedeponersecomofraccin.Todosestosnmeros,porejemplo 2 , 7 ,juntoconlosnmerosracionalesformanelconjunto de los nmeros reales.A los nmeros reales que no son nmeros racionales se les llamanmerosirracionales.

Laexpresindecimaldelosnmerosirracionalesesdeinfinitascifrasnoperidicas.

Portanto

IrracionalesI=Q.

El conjunto de los nmeros reales estformado por la unin de los nmerosracionalesydelosnmerosirracionales.

Reales=QI.

Tenemosportantoque:N Z Q .

I

Actividadespropuestas1. Mentalmente decide cules de las

siguientes fracciones tienen unaexpresin decimal exacta y cules latienenperidica:

a)1/9 b)7/5 c)9/50 d)2/25 e)1/8 f)3/22

2. Hallalaexpresindecimaldelasfraccionesdelejercicio1ycompruebasitudeduccineracorrecta.



3. Calculalaexpresindecimaldelasfraccionessiguientes:a)1/5 b)1/3 c)5/9 d)2/25 e)11/400 1/11

4. Escribe en forma de fraccin las siguientes expresiones decimales exactas y redcelas, despuscompruebaconlacalculadorasiestbien:

a)835; b)791297835; c)047

5. Escribe en forma de fraccin las siguientes expresiones decimales peridicas, redcelas ycompruebaqueestbien:

a)9464646.. b)9102545454. c)09999.. d)3267123123123..

6. Puedesdemostrarque4,99999esiguala5?Calculacuntovale2,5999?Ayuda:Escrbelosenformadefraccinysimplifica.

7. Demuestraque 3 7 esirracional.

8. Cuntascifraspuedetenercomomximoelperiodode471

?

9. Cuntosdecimalestiene47 52

1

?,teatrevesadarunarazn?

10. Hazladivisin999999:7ydespushaz1:7,escasualidad?11. Ahoradivide999entre37ydespus1:37,escasualidad?

1.2.Larectareal

DensidaddelosnmerosrealesLosnmerosrealessondensos,esdecir,entrecadadosnmerosrealeshayinfinitosnmeros.

Esoesfcildededucir,sia, bsondosnmeroscona < bsabemosque bbaa 2

,esdecir,lamedia

est entre los dos nmeros. Como esto podemos hacerlo las veces que queramos, pues de ah elresultado.

Curiosamentelosracionalessontambindensos,ascomolosirracionales.

Actividadespropuestas

12. Escribe3nmerosrealesqueestnentre2

51y1.

13. Escribe5nmerosracionalesqueestnentre 2 y15.14. Escribe5nmerosirracionalesqueestnentre314y.

RepresentacinenlarectarealdelosnmerosrealesElegidoelorigendecoordenadasyeltamaode launidad(o loquees igual,sicolocamosel0yel1)todonmerorealocupaunaposicinenlarectanumricayalrevs,todopuntodelarectasepuedehacercorresponderconunnmeroreal.



Elcursopasadoestudiastecmorepresentarenlarectarealfraccionesyraces.

Actividadespropuestas15. Representaenlarectanumricalossiguientesnmeros:

a)59, b)

413

, c)1342, d)2555555.

16. Representaenlarectanumrica:

a) 10 , b) 6 , c) 27 , d)2

51

1.3.ValorabsolutoEl valor absolutoomdulodeunnmero,equivale al valordeesenmero ignorandoel signo.Porejemplo,elvalorabsolutode1es1,yelvalorabsolutode+1,tambines1.

Enlenguajeformal,elvalorabsolutosedefinedelasiguientemanera.

00

xsixxsix

x

Sirepresentamosestafuncinenunejedecoordenadas,resultaunagrficacomoladelmargen.

Como el valor absoluto es una funcin muy importante enmatemticas, tiene su propio smbolo. Para escribir el valorabsolutodeunnmero x,basta conencerrarelnmeroentredosbarras:|x|.

Elvalorabsolutodeunnmeroxseconsiguesuprimiendoelsigno,yseanotamedianteelsmbolo|x|.

Ejemplo:

Elvalorabsolutode32es32, igualqueelvalorabsolutode+32.Escritoen lenguaje formalsera:

|32|=32=|+32|.

Actividadespropuestas17. Hallaelvalorabsolutodelossiguientesnmeros: a)5 b)5 c)

Paraqusirve?Elvalorabsoluto seutilizaprincipalmenteparadefinir cantidadesydistanciasenelmundo real. Losnmerosnegativossonunaconstruccinmatemticaqueseutilizaenelclculo,peroenlarealidadnoexisten cantidades negativas. No podemos viajar una distancia de 100 kilmetros, o comer 3caramelos.Estosedebeaqueeltiemposolodiscurreenunadireccin(positivaporconvencin),peroesonoentraenelmbitodelasmatemticas,sinoeneldelafsica.

El valor absoluto se usa para expresar cantidades o longitudes vlidas en elmundo real, como ladistancia.



Ejemplo:

Hagounviajedeidayvueltahastaunaciudadqueseencuentraa40kmdemicasa.Despusdehacerelviaje,estoyenelmismopunto,asquemiposicinnohabrcambiado,estoes:

Posicin=40km40km=0

Estonoquieredecirquenohayarecorridounadistancia.Haydoscantidadesatenerencuenta,unadistanciadeidayotradevuelta,entotalser:

L=|40|km+|40|km=80km

Actividadesresueltas Demuestraqueelvalorabsolutonuncapuedesernegativo.

1Nonegatividad

Pordefinicin, lafuncinvalorabsolutosolocambiaelsignocuandoeloperandoesnegativo,asquenopuedeexistirunvalorabsolutonegativo.

Demuestra que el valor absoluto de unnmeroysunegativocoinciden.

2Simetra.

Sia>0|a| = a

Sia



1.4.DesigualdadesYasabesque:

Una desigualdad es una expresin numrica o algebraica unida por uno de los cuatro signos dedesigualdad: , , , .

Porejemplo:

4 < 2, 7 x + 1, x2 14 x, 2x + 3y 7.

Unainecuacinesunadesigualdadalgebraicaenlaqueaparecenunaomsincgnitas.

Elgradodeunainecuacineselmayordelosgradosalqueestnelevadassusincgnitas.

Porejemplo:

7x+1esunainecuacindeprimergrado,mientrasquex2 14 xesdesegundogrado.

Resolver una inecuacin consiste en encontrar los valores que la verifican. stos se denominansolucionesdelamisma.

Porejemplo:

7 x + 5 x 2 x(,2] Inecuacionesequivalentes:Dosinecuacionessonequivalentessitienenlamismasolucin.

A veces, para resolver una inecuacin, resulta conveniente encontrar otra equivalentems sencilla.Paraello,sepuedenrealizarlassiguientestransformaciones:

1. Sumar o restar la misma expresin a los dosmiembrosdelainecuacin.

2. Multiplicar o dividir ambos miembros por unnmeropositivo.

3. Multiplicar o dividir ambos miembros por unnmero negativo y cambiar la orientacin delsignodeladesigualdad.

Ejemplos

3x + 6 < 12 3x + 6 6 < 12 6 3x < 6 3x : 3 < 6 : 3 x < 2.

7 x + 1 7 1 x + 1 1 6 x.

x < 5 (x) (1) > 5 (1) x > 5

Actividadespropuestas19. Dada la siguiente inecuacin 3 + 2x < 5x2 + 1, determina cules de los siguientes valores son

solucindelamisma:

0,1,1,2,2,3,4,6,7,12,15

20. Escribeunadesigualdadqueseaciertaparax=5yfalsaparax=55.

Recuerdaque:

1. Paratodoc,sia < b a + c < b + c

2. Sic>0ya < b a c < b c

3. Sic b c



1.5.DistanciaenlarectarealUnadistanciaesunamedidaquetieneunasdeterminadaspropiedades:

1)Nonegatividad.

2)Simetra.

3)Propiedadtriangular.

Ladistanciaentredosnmerosrealesx eysedefinecomo:

Dist(x, y) = |x y|

Verificalaspropiedadesantesindicadaspues:

1) Alestardefinidaconelvalorabsolutoessiempreunnmerononegativo.Ladistanciaentredospuntostienevalorcero,solosilosdospuntossoncoincidentes:

0=Dist(x, y)=|xy|xy=0x = y.

2) Simetra:Dist(x, y)=|x y|=|yx|=Dist(y, x).3) Propiedadtriangular:Dist(x, y)Dist(x, z) + Dist(z, y).

Ejemplo:

Dist(3, 8) = |8 3| = 5

Dist(2, 9) = |9 (2)| = |9 + 2)| = |7| = 7

Dist(1, 5) = |5 (1)| = |5 + 1)| = |6| = 6

Dist(9, 5) = |5 (9)| = |5 + 9)| = |14| = 14

Ejemplo:

Siestamosenelstano9ysubimosalpiso5,Cuntospisoshemossubido?

Comohemosvistoenelejemploanterior,hemossubidoentotal14pisos.

Dist(9, 5) = |5 (9)| = |5 + 9)| = |14| = 14.

Sieltermmetromarca1Cyluegomarca5C,cuntosgradoshasubidolatemperatura?

Como hemos visto en el ejemplo anterior, la temperatura ha subido 6 C. Fjate que la escalatermomtricaquehemosusadoeslaCelsius,hayotras,peroestoloestudiarsenfsica.

Dist(1, 5) = |5 (1)| = |5 + 1)| = |6| = 6.

Actividadespropuestas21. Representaenlarectarealycalculaladistanciaentrelosnmerosrealessiguientes:

a) Dist(5, 9) b) Dist(23, 45)

c) Dist(1/5, 9/5) d) Dist(3272727. , 627272727.).



1.6.IntervalosyentornosRecuerdaque:

Un intervalodenmerosrealesesunconjuntodenmeroscorrespondientesaunapartede larectanumrica,enconsecuencia,unintervaloesunsubconjuntodelconjuntodelosnmerosreales.

TiposdeintervalosIntervalo abierto: es aquel en el que los extremos no forman parte delmismo, es decir, todos lospuntos de la recta comprendidos entre los extremos forman parte del intervalo, salvo los propiosextremos.

EnotraspalabrasI = (a, b)={xa < x < b},observaquesetratadedesigualdadesestrictas.

Grficamente,lorepresentamosenlarectarealdelmodosiguiente:

Intervalocerrado:esaquelenelquelosextremossiformanpartedelmismo,esdecir,todoslospuntosdelarectacomprendidosentrelosextremos,incluidosstos,formanpartedelintervalo.

EnotraspalabrasI = [a, b] = {xaxb},observaqueahoranosetratadedesigualdadesestrictas.

Grficamente:

Intervalosemiabierto:esaquelenelquesolounode losextremos formapartedelmismo,esdecir,todoslospuntosdelarectacomprendidosentrelosextremos,incluidounodeestos,formanpartedelintervalo.

Intervalo semiabierto por la izquierda, el extremo inferior no forma parte del intervalo, pero elsuperiorsi,enotraspalabras,

I = (a, b] = {x a < xb},

observa que el extremo que queda fuera delintervalovaasociadoaunadesigualdadestricta.

Intervalosemiabiertoporladerecha,elextremosuperiornoformapartedelintervalo,peroelinferiorsi, en otras palabras I = [a, b) = {x a x < b}, observa que el extremo que queda fuera delintervalovaasociadoaunadesigualdadestricta.

Grficamente:



SemirrectasrealesSemirrectadelosnmerospositivosS+=(0,),esdecir,desdecerohastainfinito.

SemirrectadelosnmerosnegativosS-=(,0),esdecir,desdeelmenosinfinito,elinfinitonegativo,hastacero.

Conloquetodalarectadelosnmerosrealeses=(,)=(S+)(S-){0}.

Aunasemirrectaselapuedeconsiderarcomounintervaloinfinito.

EntornosEsunaformaespecialdeexpresarlosintervalosabiertos.

Sedefineelentornode centroa y radio r y sedenotaE(a, r) (otra formausuales )(aEr ) comoelconjuntodenmerosqueestnaunadistanciadeamenorquer.

Conunejemploloentiendesmejor:

Ejemplo:

Elentornodecentro5yradio2sonlosnmerosqueestnde5unadistanciamenorque2.Silopensamosunpoco,sernlosnmerosentre52y5+2,esdecir,elintervalo(3,7).Escomocogerelcompsyconcentroen5marcarconabertura2.

Fjatequeel5estenelcentroyladistanciadel5al7yal3es2.

E(a, r) = (ar, a + r)

Ejemplo:

E(2,4)=(24,2+4)=(2,6)

Esmuyfcilpasardeunentornoaunintervalo.Vamosahacerloalrevs.

Ejemplo:

Sitengoelintervaloabierto(3,10),cmoseponeenformadeentorno?

Hallamoselpuntomedio3 10 13

2 2

=65queserelcentrodelentorno.Nosfaltahallarelradio:

(103):2=35eselradio(lamitaddelancho).Portanto(3,10)=E(65,35)



Engeneral:

Elintervalo(b, c)eselentorno

2,

2bccbE .

Ejemplo:

Elintervalo(8,1)= )5'4,5'3(2

)8(1,2

18

EE

Tambinexistenlosentornoscerradosperosondeusomenosfrecuente.

Actividadespropuestas22. Escribelossiguientesintervalosmedianteconjuntosyrepresntalosenlarectareal:

a)[1,7) b)(3,5) c)(2,8] d)(,6)

23. Representaenlarectarealyescribeenformadeintervalo:

a)2



1.7.AproximacionesyerroresRecuerdaque:

Enmuchasocasionesesnecesariohaceraproximacionespormotivosprcticosotrabajarconnmerosaproximadosporentreotrosmotivosnoconocer losvaloresexactos.Asporejemplo,sinospesamosesunabsculaymarca544Kg,cuntopesamosexactamente?Nosepuedesaber, lomximoquepodemosdeciresquenuestropesoestentre543y545Kgsielerrormximoesde100g.

ErrorAbsoluto

SedefineelErrorAbsoluto(EA)comoEA= valor real valor aproximado .

Ejemplo:

Siaproximamos31416tendremosqueelEA=31416=0000007300000073unas7millonsimas.Observaque sino se conoceel valor real,nopodemos calcularexactamenteelerrorabsoluto,perosiaproximarlocalculandounacotadelerror.

CotadelErrorAbsoluto:

Podemos conoceruna cotadel error absoluto teniendo en cuentaelordende aproximacin, as, sihemosredondeadoen lasdiezmilsimas(comoenelejemplo)siemprepodemosafirmarqueelEA 000005,esdecir,menoroigualquemediaunidaddelvalordelacifraderedondeoo5unidadesdelasiguiente(5cienmilsimas),queeslomismo.

Actividadesresueltas CalculalacotadelerrorabsolutodeN37EA005.YlacotadeerrordeN300es

EA50sisuponemosquehemosredondeadoenlascentenas.

ErrorRelativo.

ParacompararerroresdedistintasmagnitudesonmerossedefineelErrorRelativo(ER)como:

ER=EA

Valor real

quesuelemultiplicarsepor100parahablarde%deerrorrelativo.

Si no se conoce el valor real se sustituye por el valor aproximado (la diferencia normalmente espequea).

Actividadesresueltas Siaproximamosrazde3por173,elerrorrelativocometidoes:

3 173EA00021ER=73'1

0021'03

0021'0 =000121387012%



EnlasaproximacionesA=74conEA005yB=970conEA5,enculestamoscometiendoproporcionalmentemenorerror?

Calculamosloserroresrelativos:

AER 4'7

05'0000675ER 068%

BER 9705000515ER 052%

EsmejoraproximacinladeB.

ControldelerrorcometidoRecuerdaque:

Encadasumaorestaelerrorabsolutoeslasumadeloserroresabsolutos.Portantopuedeaumentarpeligrosamentesihacemosvariassumasyrestas.

Loserroresrelativossesumanalmultiplicardosnmeros.

Actividadesresueltas Medimoselradiodeunacircunferenciaconunareglamilimetradaymarca70cm.Queremoscalcularelreadelcrculo.Elerrormximoenelradioesde005cm luegopuedeestarentre695y705.Siaplicamoslafrmular2paraestosvaloresobtenemos1517y1561,quesonlosvaloresmnimoymximo.Ladiferenciaes44ysumitades22queeslacotadeerrorabsoluto.DecimosqueA=1539 22cm2.

AER 9'153

2'200143ER 143%

rER 705'0

000714ER 071%

Elradiotenaunacotade071%,luegohemosperdidoprecisin.

Sioperamosconnmerosaproximados,ypeoran,silohacemosenrepetidasocasiones,loserroressevanacumulandohastaelpuntodepoderhacerseintolerables.

Actividadespropuestas

28. Redondea1 5

2

hastalasdcimasyhallaloserroresabsolutoyrelativocometidos.

29. Hallaunacotadelerrorabsolutoenlassiguientesaproximaciones:a)58 b)417 c)41700

30. Unabalanzatieneunerrorinferioroiguala50gensusmedidas.Usamosesabalanzaparaelaborar5paquetesde cafdemedio kilogramo cadaunoque sonun lote.Determinaelpesomnimo ymximodellote.Culeslacotadelerrorabsolutoparaellote?



1.8.NotacincientficaRecuerdaque:

Lanotacincientficaseutilizaparaescribirnmerosmuygrandesomuypequeos.

UnnmeropuestoennotacincientficaN=abcd...10nconstade:

Unaparteenteraformadaporunasolacifraquenoeselcero(a).

Elrestodelascifrassignificativaspuestascomopartedecimal(bcd).

Unapotenciadebase10quedaelordendemagnituddelnmero(10n).

Sinespositivo,elnmeroNesgrande

Sinesnegativo,entoncesNespequeo

Ejemplos:

3451014(=346000000000000):Nmerogrande.

67891018(=0000000000000000006789):Nmeropequeo.

OperacionesconnotacincientficaRecuerdaque:

Paraoperarconnmerosdadosennotacincientficaseprocededeformanatural,teniendoencuentaquecadanmeroestformadopordosfactores:laexpresindecimalylapotenciadebase10.

Paramultiplicarnmerosennotacincientfica,semultiplicanlaspartesdecimalesysesumanlosexponentesdelapotenciadebase10.

Para dividir nmeros en notacin cientfica, se dividen las partes decimales y se restan losexponentesdelapotenciadebase10.

Sihace faltasemultiplicaosedivideelnmeroresultanteporunapotenciade10paradejarconunasolacifraenlaparteentera.

Ejemplos:

a)(37106)(42108)=(3742)106+8=15541014=15541015

b) 1314)8(68

610809'8108809'010

2'47'3

102'4107'3



Parasumarorestarnmerosennotacincientfica,hayqueponer losnmeroscon lamismapotenciadebase10,multiplicandoodividiendoporpotenciasdebase10.

Se saca factor comn la potencia de base 10 y despus se suman o restan los nmerosdecimalesquedandounnmerodecimalmultiplicadoporlapotenciade10.

Porltimosihace faltasemultiplicaosedivideelnmeroresultanteporunapotenciade10paradejarenlaparteenteraunasolacifra.

Ejemplos:

c)37109+421012=37109+4200109=(42037)109=420371012

Actividadespropuestas31. Calculayexpresaelresultadoennotacincientfica:

a)(891103)(3671011) b)(48105):(69108)

32. Calculayexpresaelresultadoennotacincientfica:a)(5811012)(479109)+723104 b)(544107):(25107)+311010

MATERIALESPARAELAULAENINTEF(BancodeImgenesysonidos) Anlisisgeomtricodeladivisinurea.Dadounsegmentoaseconstruyeconreglaycomps

elsegmentobtalquea/bestnenproporcinurea.

183241_am_1.swf

183241_aa_1.fla

Construccin, con escuadra y comps, de un rectngulo ureo. Dado un segmento a seconstruyeunrectnguloureoconunodesusladosigualaa.

183279_am_1.swf

183279_aa_1.fla

Construccin, con escuadra y comps, de una espiral urea. Dado un rectngulo ureo seconstruyenotrosrectngulosureosylaespiral.

183245_am_1.swf

183245_aa_1.fla

EstudioureodelaGiocondadeLeonardoDaVinci,deautorJosngelLpezMateos.SobreelrostrodelcuadrodelaGiocondaseconstruyenrectngulosureos

195440_am_1.swf

195440_aa_1.fla



2.NMEROSCOMPLEJOS

2.1.Necesidaddelosnmeroscomplejos.Elnmeroi.En el campo real la ecuacin x2 + 1 = 0 no tiene solucin. Elcuadradodeunnmerorealessiemprepositivoyalsumarle1esimposiblequenosde0.

Perosisedenominaialarazcuadradade1,entoncesi2=1,porloqueesunasolucindedichaecuacin.

i2=1i= 1

Pero no solo eso. Resulta que introduciendo nicamente eseelemento nuevo, se puede demostrar lo que se denomina elTeorema Fundamental dellgebra, que fue probado porGauss(1799),yenseaquetodaecuacinpolinmicadegradontieneexactamente n races (en el campo complejo). Vamos pues aestudiarestosnmeroscomplejos.

2.2.Nmeroscomplejosenformabinmica.OperacionesUnnmerocomplejosedefinecomounaexpresindelaforma:

z = x + iy dondexey sonnmerosreales.

Estetipodeexpresin,z=x+iy,sedenominaformabinmica.

Sellamaparterealdez = x + iyalnmerorealx,quesedenotaRe(z),yparteimaginariadez = x + iy,alnmerorealy,quesedenotaIm(z),porloquesetieneentoncesque:z = Re(z) + iIm(z).

Elconjuntodelosnmeroscomplejoses,portanto,

C = {z = x + iy; x, y};Re(z) = x; Im(z) = y.

Esta construccin permite considerar a los nmeros reales como un subconjunto de los nmeroscomplejos,siendorealaquelnmerocomplejodeparteimaginarianula.As,losnmeroscomplejosdelaformaz = x + i0sonnmerosrealesysedenominannmerosimaginariosalosdelaforma0+iy,esdecir,consuparterealnula.

Dosnmeroscomplejosz1 = x + iyyz2 = u + ivsonigualessiysolositienenigualessuspartesrealesysuspartesimaginarias:x = u,y = v.

Carl Friedrich Gauss (1 777 1 855)



OperacionesenformabinmicaLasoperacionesdesumayproductodefinidasenlosnmerosrealessepuedenextenderalosnmeroscomplejos.Paralasumayelproductodedosnmeroscomplejosescritosenlaformabinmica:x + iy,u + ivsetienenencuentalaspropiedadesusualesdellgebraconloquesedefinen:

Suma:(x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i (y + v)

Producto:(x + iy) (u + iv) = (x u y v) + i (x v + y u)

Secomprueba,denuevo,queelcuadradodelnmerocomplejoiesunnmerorealnegativo,1,pues:

(0+i)(0+i)=1+i(0)=1.

Si losnmeros complejos sonnmeros reales,esdecir,nmeros complejos con suparte imaginarianula,estasoperacionessereducenalasusualesentrelosnmerosrealesyaque:

(x + i0) + (u + i0) = (x + u) + i (0) (x + i0) (u + i0) = (x u) + i (0)

Esto permite considerar al cuerpo de los nmeros reales como un subconjunto de los nmeroscomplejos,C.Elconjuntodelosnmeroscomplejostambintieneestructuraalgebraicadecuerpo.

Elconjugadodelnmerocomplejoz = x + yi,sedefinecomo: iyxz .

Actividadesresueltas Calcula(2i)(1+2i)

Paracalcular(2i)(1+2i)seprocedeconlasreglasusualesdellgebrateniendoencuentaque

i2=1:

(2i)(1+2i)=2+4ii2i2=2+4ii+2=4+3i.

Elconjugadodelnmerocomplejoz = 3 + 5i,es z =3 5i.

Paradividirnmeroscomplejos semultiplica,numeradorydenominadorporelconjugadodeldenominador,yasseconsiguequeeldenominadorseaunnmeroreal:

iiiii

iii

i

1

2)1(2

)1(1)1(2

)(1)1(1

)1)(1()1(2

12

22 .

Paraelevarapotenciaslaunidadimaginaria,setieneencuentaquei2=1,yportanto:

i3 = i, i4 = 1: i6 = 1, i3 = .1))((

11123 i

iii

iii

ii

Calcula(1+i)4.

UtilizandoelbinomiodeNewtonseobtiene:

(1 + i)4 =

0

4 14 +

1

4 i +

2

4 i2 +

3

4 i3 +

4

4i4 = 1 + 4i 6 4i + 1 = 4.



Actividadespropuestas33. Compruebaque:

a) (1 i)4 = 4

b) 2i

i24i3

10i5

=++

c) (1 + i)5 = 4 4i

34. Realizalassiguientesoperacionesconnmeroscomplejos:

a) )()()( i3i2i1

68

b) (2 + i) i (1 2i)

c) 5i

i+3+3i4i+2

d) (3 2i) (3 + 2i)

35. Calcula:(Ayuda:sustituyezporx + iy)

a) Im zz

b) Re(z4)

c) (Re(z))4



RepresentacindelosnmeroscomplejosenelplanoEldesarrollomodernode losnmeroscomplejosempezconeldescubrimientodesu interpretacingeomtricaque fue indistintamente expuestapor JohnWallis (1685) y yade forma completamentesatisfactoria por Caspar Wessel (1799). El trabajo de Wessel no recibi ninguna atencin, y lainterpretacingeomtricadelosnmeroscomplejosfueredescubiertaporJeanRobertArgand(1806)ydenuevoporCarlFriedrichGauss(1831).

Elconjuntode losnmeroscomplejoscon lasoperacionesdesumayelproductoporunnmerorealtieneestructuradeespaciovectorialdedimensindos,yes,portanto,isomorfoa2.Unabasedeesteespacioestformadaporelconjunto{1, i}.

Aligualquelosnmerosrealesrepresentanlospuntosdeunarecta,losnmeroscomplejospuedenserpuestosencorrespondenciabiunvocaconlospuntosdeunplano.Losnmerosrealesserepresentanenelejedeabscisasoeje real,ya losmltiplosde i= 1 se les representa comopuntosdelejeimaginario,perpendicularalejerealenelorigen.AestarepresentacingeomtricaselaconocecomoelDiagramadeArgand.Elejey = 0sedenominaejerealyelx = 0,ejeimaginario.

Como la condicinnecesaria y suficienteparaque x + iy coincida con u + iv esque x =u, y = v, elconjunto de los nmeros complejos se identifica con 2, y los nmeros complejos se puedenrepresentarcomopuntosdelplanocomplejo.Elnmerocomplejoz = x + iysecorrespondecon laabscisaylaordenadadelpuntodelplanoasociadoalpar(x , y).Enunasocasionesserefiereelnmerocomplejozcomoelpuntozyenotrascomoelvectorz.

La sumadenmeroscomplejoscorrespondegrficamentecon la sumadevectores.Sinembargo,elproductodenmeroscomplejosnoesnielproductoescalardevectoresnielproductovectorial.

Elconjugadodez, z ,essimtricoaz respectodelejedeabscisas.

Actividadesresueltas Representa en el plano losnmeroscomplejos:a=2+ i,b=2iyc =22i.

Losnmeroscomplejosa=2+i,b=2iy

c=22iserepresentan:

i

x

z =x +iy

a=2+ib=2i

c=22i



Representaenelplanolosnmeroscomplejos:2+3i,1+2i,32i,5+iy43i.

Representaelnmerocomplejoconjugadodea=2+i.

Elconjugadodea=2+i,2 i,serepresenta:

Seobservaqueesel simtricodea respectodelejedeabscisas.

Representalasumadedosnmeroscomplejos.

Lasumaserepresentaigualquelasumavectorial.Observalasdosgrficasinferiores,enlacuadrculalasumadenmeroscomplejos,juntoaellaunasumavectorial.

2+i

2i



Representaelproductodelnmerocomplejo2 + i porlaunidadimaginaria:i.

El producto de 2 + i por i es igual a 1 + 2i, y al representarlo se observa quemultiplicar por la

unidadimaginariaesgirar90.

ActividadespropuestasParalossiguientesnmeroscomplejos:

a = 3i; b = 2i; c = 5; d = 1 + i; e = 1 i

36. Represntalosgrficamente.37. Representagrficamenteelconjugadodecadaunodeellos.38. Representagrficamentelassumas:

a + b a + c b + d d + e

39. Representagrficamentelosproductos:a i b i c i d i e i

Analizaelresultado.Compruebaquemultiplicarporisuponegirar90elnmerocomplejo.

i



2.3.Formatrigonomtricadelosnmeroscomplejos.Operaciones

Mdulo

Elmdulo de un nmero complejo se define como 22 yxz , y representa la distanciade z alorigen,esdecir,lalongituddelvectorlibre(x, y)de2.

Portantoelmdulonuncapuedeserunnmerorealnegativo.Elmdulodeunnmerorealcoincideconsuvalorabsoluto.

Recuerda,larazcuadrada(sinsignosdelante)essiemprepositiva.

Aunquenotienesentidodecirsiz1



Propiedades delmdulo, del conjugado y del argumento de un nmerocomplejoAlgunaspropiedadesdelconjugadoydelmdulodeunnmerocomplejoson:

1. z, wC, w+z = z +w , wz = z w , wz = z w .

2. z C,Arg( z )=Arg(z),arg( z )=arg(z).

3. zz= z .

4. z, w C, 2zzz , z =z,zw=zw, wz=

wz

.

5. z=0z=0.

6. zC,Re(z)=2

z +z,Im (z) =

2izz .

zC,Re(z)z,Im(z)z,zRe(z)+Im(z)

z, wC,zwz + wz+w

Seobservaque lasdesigualdades7y8sonsiempreentrenmerosreales,noentrecomplejos,por loquestienesentidoescribirunadesigualdad.

Lasegundapartedelapropiedad8seconoceconelnombrededesigualdadtriangular.

LaspropiedadesdelmdulopruebanquesteesunadistanciaenelespaciovectorialC.

FormapolaryformatrigonomtricaSiesigualalmdulodelnmerocomplejononulozyesunargumentodez,entonces(,)sonlascoordenadaspolaresdelpuntoz.

Laconversindecoordenadaspolaresencartesianasyviceversasehacemediantelasexpresiones:

x=cos,y=sen,porloquez = x + iy =(cos+isen).

Estaltimaexpresinesvlidainclusosiz =0,puesentonces=0,porloqueseverificaparatodo.



Actividadesresueltas Calculaelmdulodelossiguientesnmeroscomplejos:2+3iy4+i.

Al calcular 133i2 =+ y 174 =i+ se sabe que el primero dista menos del origen que elsegundo.

Calculaelargumentodelossiguientesnmeroscomplejos:5i,7i,3y3.

Elargumentoprincipalde5iesiguala2

,elde7ies2

3,elde3vale0yel3es.

Escribeenformabinmicaelnmerocomplejodemdulo2yargumento3

.

Elnmerocomplejodemdulo2yargumentoprincipal3

es1+ 3 i,yaque:

x=2cos3

=1ey=2sen3

= 3 .

Calculaelmduloyelargumentode:1i.

Elnmerocomplejo1itienedemdulo= 22 11 )(+)( = 2 .

Unodesusargumentoses+4

=4

5,ysuargumentoprincipales

43

,portanto

arg(1i)=43

+2k.

CompruebasiseverificaqueArg(zw)=Arg(z) + Arg(w).

Severificaquearg(zw) = arg(z) + arg(w)considerandoestosargumentoscomoconjuntos,yengeneralnoseverificaqueArg(zw) = Arg(z) + Arg(w),puesporejemplo:

Arg((i)2)=Arg(1)=,mientrasArg(i)+Arg(i)=2

2

=.

Actividadespropuestas40. Calculaelmoduloyelargumentoprincipaldelossiguientesnmeroscomplejos:

a) i3 b)22ic)1 i3 d)4i

41. Expresaenformapolarlossiguientesnmeroscomplejos:a) i b)i c)4+4i d)4



2.4.FrmuladeMoivreAlaplicarlafrmulaobtenidadeunapotenciaalnmerocomplejodemdulouno,seobtieneque:

(cos+isen)n=cos(n)+isen(n),cualquieraqueseaelnmeroenteron.

Esta expresin, que permite conocer sen(nx) o cos(nx) en funcin de cosx y sen x desarrollando lapotenciamediante el binomio de Newton y separando partes real e imaginaria, se conoce comofrmuladeMoivre.

OperacionesentrenmeroscomplejosenformatrigonomtricaParamultiplicarnmeroscomplejosexpresadosenformatrigonomtricabastamultiplicarsusmdulosysumarsusargumentos:

La relacin entre nmeros complejos y transformaciones geomtricas, donde multiplicar por icorrespondeagirar90,ymultiplicarpora + biesgirarelargumentodedichonmeroyaplicarunahomoteciaderaznsumdulo,esmuytilenlaMecnicayenotraspartesdelaFsica.

Paradividirnmeroscomplejos,bastadividirsusmdulosyrestarsusargumentos:

Elinversodeunnmerocomplejodistintodecerotienecomomdulo,elinversodelmdulo,ycomoargumento,elopuestodelargumento:

Paraelevarunnmerocomplejoaunapotencia,seelevaelmduloadichapotencia,ysemultiplicaelargumentoporelexponente.

Paracalcularlaraznsimadeunnmerocomplejo, n z=w ,setieneencuentaelmdulordebeserigual a n =r , pero al tener un nmero complejomuchos argumentos, ahora el argumento no es

nico,sinoquesetienennargumentosdistintos,eigualesan

+n=

n+= 2k2k ,dondektomalos

valoresdesde0hastan1antesdequedichosvalorescomiencenarepetirse.

Por tanto, la funcin raz nsima es una funcin multivalorada, con n valores que se puedenrepresentargrficamenteen losvrticesdeunngonoregulardecentroelorigenyradio,elmdulo

n =r , pues todas las races estn situadas en la circunferencia de radio n =r uniformemente

espaciadascadan

2radianes.

Amododeejemplovamosademostrarlafrmuladelproductodenmeroscomplejos.

Demostracin:

z1z2=(cos+isen)r(cos+isen)

=(r)[coscossensen]+i[cossen+sencos]=(r)(cos(+)+isen(+)).



Actividadesresueltas Representagrficamente elproductode losnmeroscomplejos:2(cos(/6)+ isen(/6))yde3(cos(/4)+i sen(/4)).

Calcula:i+ 31

2

Paradividiri+ 31

2 sepuedenescribir losnmeros

complejosen formapolar ydividir losmdulos y restar los argumentos.Elmdulode2es2 y su

argumentoes.Elmdulode i+ 31 es2ysuargumentoes/3.Portantoelmdulodelcocientees1y suargumentoes /3=2/3.Elnmero complejodemdulo1yargumento2/3escritoenformabinmicaes:

i+23

21

Decirquesumduloes1esdecirqueestsobrelacircunferenciadecentroelorigenyradio1.

Calcula:60

312

i+

Paracalcularunapotencia,engeneralesmuchomssencilloutilizarlaformapolarenvezdeaplicarla

frmuladelbinomiodeNewton.Porejemplo,sisequierecalcular60

312

i+

,esmuchomsprctico

calcularelmduloyelargumentode60

312

i+

queyasabemosporlaactividadanteriorquees:1y

2/3,porloqueelevamos1alapotencia60yobtenemos1,ymultiplicamos2/3por60yobtenemos40.Escribimoselformabinmicaelnmerocomplejodemdulo1yunargumentoqueesmltiplode2,porloquelasolucines1.

Calculalarazcbicade1.Paracalcularunaraznsimasedeberecordarquesetienennracesdistintas:

i23

21=

i3

5

e=)i

32+

3

e1

1=e=)i

32+

3

e1

i23+

21=

i3

e1=3 e1=3 1

(

i(

i



Resuelvez3=1.

Estopermiteresolverecuaciones.As,lassolucionesdelaecuacincbicaz3=1sontres:

larazreal1,ylasracescomplejasconjugadas: i23

21 .

Representagrficamentelasracescbicasycuartasdelaunidad.

Actividadespropuestas42. Compruebalosresultadossiguientes:

a) (1+i)16=28=256.

69

e3

65

e3

6

e3=3 27i)b

i

i

i



43. Realiza las siguientes operaciones con nmeros complejos, expresndolos previamente en formaexponencial:

a) 2i2

i2

b) 30

2i3+

21

44. Resuelvelasecuaciones,obteniendolasracesrealesycomplejas:a) x2=1

b) x3=8

c) x4+16=0

45. Calculalasracesnsimasdelaunidad,paran=2,3y4.Representarlasgrficamente,ycomprobarqueestnsobrelacircunferenciaderadio1,yenlosvrticesdeunpolgonoregular.

MATERIALESPARAELAULAENINTEF(BancodeImgenesysonidos) Interpretacingeomtricadelasumadenmeroscomplejos,deautorJosngelLpezMateos.

Serepresentangrficamentealosnmeroscomplejos6+2iy1+4i,sesumangrficamenteysecompruebaquelascoordenadasdelnmerocomplejosumasonlasumadelascoordenadas.

183287_am_1.swf 183287_aa_1.fla

Interpretacingeomtricade ladiferenciadenmeros complejos,deautor Josngel LpezMateos. Se representan grficamente a los nmeros complejos 6 + 2i y 1 + 4i, se obtienegrficamente el opuesto del segundo y se suma con el primero. Se comprueba que lascoordenadasdelnmerocomplejodiferenciasonladiferenciadelascoordenadas.

183240_am_1.swf 183240_aa_1.fla

Interpretacin geomtrica de nmeros complejos, de autor Jos ngel Lpez Mateos. Serepresentagrficamentealnmerocomplejo4+3iyseobtienesumduloysuargumento.

183264_am_1.swf 183264_aa_1.fla

Producto de un nmero complejo por la unidad imaginaria i, de autor Jos ngel LpezMateos.Semultiplicaalnmero complejo4+2ipor ide formagrfica y se compruebaquesuponegiraralnmerocomplejo90.

185441_am_1.swf 185441_aa_1.fla

Productodevariosnmeros complejospor launidad imaginaria i,deautor Josngel LpezMateos.Semultiplicaalosnmeroscomplejos6+3i,3+3iy3+6iqueformanuntringulo,porideformagrficaysecompruebaquesuponegiraraesosnmeroscomplejos,90.

185437_am_1.swf 185437_aa_1.fla



CURIOSIDADES.REVISTA

Nmeroscomplejos

Gauss

Nmerosimaginarios

UnmilagrodelasMatemticas

StiillwellNmerosimposibles

Unaespeciedeanfibioentreelserylanada

UnchisteMedicenqueesenmerodetelfononoexiste,queesimaginario.

Intentagirar90eltelfono.

Lo has entendido? Los chistes no se explican, pero como es un chistematemtico

Piensa en un nmero imaginario, por ejemplo, 2i. Si lo giras 90 seconvierteen2,yyaesreal.

Resolverlaecuacinx2+1=0esimposible

Todas lasecuacionespolinmicasdegradontienenexactamentenracesenelcampocomplejo.

TeoremaFundamentaldellgebra

Laresolucindelaparadojade 1 fuemuypoderosa,inesperaday bella por lo que nicamente la palabra milagro pareceadecuadaparadescribirla.

Stillwel

UtilidadLosnmeroscomplejosy lavariablecomplejaseutilizaparaestudiarelectricidad,magnetismoyenlateoradelpotencial,entreotrosmuchoscampos

Monstruo

Euler



UnafrmulamaravillosaEnlaExposicinUniversaldeParsde1937,lamismaparalaquePicassopintelGuernica,enlaentradadelpabellndeMatemticashabaunenormertuloquedeca:

ei+1=0

Una igualdadquerelacionanmeroscomoel0yel1,connmeros irracionalescomoey,yconelnmerocomplejoi.

01ie

Quieressaberdedndesale?

Eulerexpres,mediantelafrmulaquellevasunombre,que:

cos + isen = ei.

Ya conoces que un nmero complejo demdulo m y argumento seescribe en forma trigonomtrica como: m(cos + isen), por lo queutilizandolafrmuladeEulerseobtienesuexpresinexponencial:

m(cos + isen) = mei.

Elnmero1tienedemdulo1ydeargumento,porloquesuexpresinexponenciales:

1=eiei+1=0



AlgodehistoriadelosnmeroscomplejosEldesarrollodelasMatemticasestntimamenterelacionadoconlahistoriadelnmero.Comoelproductodeunnmero realpor smismoes siemprepositivoes claroque senecesitaampliarelcamponumricoparadarsolucinadeterminadasecuaciones.

Los nmeros complejos se empiezan a utilizar para obtener soluciones de ecuacionesalgebraicasyculminan,enestesentido,cuandosedemuestraelteoremafundamentaldellgebra.

Usualmente se dice que los nmeros complejos nacen de la necesidad de resolver laecuacin cuadrtica x2 + 1 = 0, con ladificultaddeque carecede sentidogeomtricoelqueuncuadradotengaunreanegativa.Sinembargo,estonoesenteramentecierto.

Muchas ecuaciones cuadrticas, como crculos o parbolas, estn ya implcitas en lageometradelosgriegosyentoncesseanalizsitenanonosolucinreal,porejemplo,lainterseccindeunarectacondichasfiguras.

Losbabilonios,alrededordelao2000antesdeCristo,conocanesencialmenteelmtodo

para resolver ecuaciones cuadrticas, y Hern de Alejandra (100 a. C.) utiliz 63 ,aunquealgebraicamente,sinpreguntarseporsusignificado,puesporaquellostiemposnoseespeculabaacercadelanaturalezadelasracesimaginarias.

Sinembargocuandoen1545GirolamoCardanoescribi:

40=(5+ 15 )(5 15 )

estosnmerosfueronconsideradossinsentidoyselesapliceltrminodeimaginarios.

Incluso cuando aparecen las ecuaciones cuadrticas, conDiofantoo los rabes,nohayraznparaadmitirquenotengansolucin.

SenecesitancuandoDelFerro,TartagliayCardanointentanresolverlaecuacincbicax3 = p x + q en cuya frmula de solucin aparecen nmeros complejos (cuando (q/2)2(p/3)2



RESUMENNmerosreales Estformadoporlaunindelosnmerosracionalesy

losnmerosirracionales5,4,2/3,75,,e,

DensidaddelosNmerosReales

Elconjuntode losnmeros realesesdenso,esdecir,entrecadadosnmerosrealeshayinfinitosnmeros.

Entre 0 y 1 calculando elpunto medio obtenemosinfinitospuntos:

0,05,025,0125,00625,...,1

Valorabsoluto

00

xsixxsix

x |32|=32=|+32|

Distanciaenlarectareal

Dist(x,y)=|xy| Dist(3,8)=|83|=5.Dist(2, 9) = |9 (2)| =|9+2)|=|7|=7

Intervalos Abierto:(a,b)={xa



EJERCICIOSYPROBLEMAS.

Nmerosreales 1. Calculalosvaloresexactosdea + b, c a y acparalosnmeros:(pista:racionalizar)

a=27 b=3292929... c=001030303...

2. Descubreculdeestosnmerosesirracional:

a)31416 b) 4 c)

3. Podemos encontrar nmeros irracionales en lasmarcas de una regla graduada? Hayalgn punto de la regla (aunque no tengamarca) que se corresponda con un nmeroirracional?Justificaturespuesta.

4. Clasificalossiguientesnmerosenordendemayoramenorydespusrepresntalosenlarecta:

a) 7

b) 25/4

c) 45 d) 2

5. Escribeunasucesininfinitadenmerosrealesdentrodelintervalo(1,1).

6. Calculaelvalorabsolutodelossiguientesnmeros:

a)|5| b)|44| c)|32+9| d) 7 e) 27 7. Calculaxenlassiguientesecuaciones:(pista:x puedetenerdosvalores)

a) |x| = 5 b) |x 4| = 0 c) |3x + 9| = 21



8. Dibujalassiguientesfuncionesenungrfico:a) f(x) = |x| 5 b) f(x) = |x 4| c) f(x) = |3x + 9|

9. Eligeundaycalculaladistanciaquehasrecorridoentotal,ycompralaconladistanciaentrelospuntosinicial(alprincipiodelda)yfinal(alterminarelda).

10. Unartesanofabricadosproductos.Elprimero(a)lecuesta2horasy3eurosenmaterial,yelsegundo(b)lecuesta6horasy30eurosdematerial.Sivaloraen10euroscadahoradetrabajo, y los vende por (a) 30 y (b) 90 euros, averigua cul esms rentable para sunegocio.

11. EntreKrofliteyBeelinehayotrascincociudades.Lassieteseencuentranalolargodeunacarretera recta, separadas unas de otras por una distancia entera de kilmetros. Lasciudadesseencuentranespaciadasdetalmaneraquesiunoconoceladistanciaqueunapersonaharecorridoentredosdeellas,puedeidentificarlassinningunaduda.CulesladistanciamnimaentreKrofliteyBeelineparaqueestoseaposible?

12. Representaenlarectareallosnmerosqueverificanlassiguientesrelaciones: a) |x| < 1 b) |x| 1 c) |x| > 1 d) |x| 1

13. Halladosnmerosquedisten6unidadesde3,yotrosdosquedisten3,5unidadesde2,calculadespusladiferenciaentreelmayoryelmenordetodosestosnmeros.

14. Escribeelintervalo[3,5] (3,8).

15. Escribeelintervaloformadoporlosnmerosrealesxquecumplen|x8|3.

16. DeterminalosconjuntosA B,AUB,AByAenloscasossiguientes:

a)A=[11,9]; B=(1,6)

b)A=[5,5]; B=(3,4)



Nmeroscomplejos17. Compruebasi:

a)

zz=1.

b) isen+cos = 1=ei .

18. Calcula:a) (2+i)5

b) 3i213

c) 32

3i)+(22i)+(3

d) i( 3 i)(1+ 3 i)

e) (1+i)8

f) (1+i)1

g) ( 3 +i)9.

19. Demuestraquez esrealsiysolosi z =z .

20. Verificaqueelinversodez,z1,esiguala 2y+xyx

2i

=zz

z

.Calculaelinversode2+3i.

21. Calculaelmduloyelargumentoprincipaldelossiguientesnmeroscomplejos:a) 3+3i

b) 3

c) 3i

d) 33i.



22. Expresaenformapolarytrigonomtricalossiguientesnmeroscomplejos:a) 5i

b) 7i

c) 55i

d) 3 +i.

23. Expresaenformabinmicalossiguientesnmeroscomplejosenformapolar:a) Demdulo2yargumento/3

b) Demdulo3yargumento/4

c) Demdulo1yargumento/2

d) Demdulo5yargumento2/3

24. Realizalassiguientesoperacionesconnmeroscomplejos,expresndolospreviamenteenformatrigonomtrica:

a)( 3 +i)60

b)(44i)11

c)8

12

2i231

)(i)(

.

25. UtilizalafrmuladeMoivreparaexpresarenfuncindesenycos:

a) cos2

b) sen2

c) cos3

d) sen3.

26. Calculaelargumentoprincipaldelossiguientesnmeroscomplejos:

a) i+3

3 b)i

i

1 c)(1i 3 )7.



27. Calcula,representaenelplanocomplejoyescribeenformabinmica:

a) 3i

b) i+ 31

c) 3 27

d) 31 i

e) 4 81 .

28. Resuelvelasecuaciones:a) x3=27.

b) x4=81.

c) x532=0.

d) x38=0.

29. Calculatodoslosvaloresdezparalosque:a) z6+64=0.

b) (z2+3z2)2(2z2z +1)2=0.

c) z6 + z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0.

30. Calculalasracesquintasdelaunidadyrepresntalasenelplano.Calculatambinlasracesquintasde1,represntalastambin.Generalizaesteresultado.

31. Calcula las cuatro racesde z4 + 9 = 0 yutilzalaspara factorizar z4 + 9endospolinomioscuadrticosconcoeficientesreales.

32. Resuelvelaecuacin:z2 + 3z 1=0.

33. Calculaaparaqueelnmerocomplejoii+a

3tengasuparterealigualasuparteimaginaria.



AUTOEVALUACIN

1. Sealaculdelossiguientesnmerosesirracional:

a)63333333.. b)7/3 c)e d)598234234234.

2. Lasolucindelaecuacin|3x+9|=21es:

a) x = 10, x = 4 b) x = 10 c) x = 10, x = 4 d) x = 4

3. DeterminaelconjuntoABsiA=[11,9];B=(1,6):

a)[11,1)[6,9]b)[11,1)(6,9] c)[11,1](6,9] d)[11,1][6,9]

4. Calcula 33i)+(2

2i)(32i)+(3

a)46+9i b)62+63i c)46+63i d)Ningunadelasanteriores

5. Resuelvelaecuacinx4 = 1.

a) x = 1 b) x = 1, x = 1 c) x = i d) x = 1, x = i

6. Expresaenformabinmicaelsiguientenmerocomplejodemdulo2yargumento/3

a) 1 + 3 i b) 3 + i c) 1 3 i d) 1/2 + 3 /2i

7. Calcula(1 + i)6

a) i22 b) 8 c) 1 i d) 8i

8. Expresaenformatrigonomtricaelsiguientenmerocomplejo5i:

a) 5(cos(/2) + isen(/2)) b) (5, /2) c) 5(cos(3/2) + isen(3/2)) d) 5(sen(90)+icos(90))

9. Calculaelmduloyelargumentoprincipaldelsiguientenmerocomplejo3 + 3i:

a)18,135 b) 23 ,3/4 c) 23 ,7/4 d)3,5/4

10. Calcula:x= 1

a) x = i b) x = i c) x = i, x = i d) No tiene solucin

LibrosMareaVerde.tk


Autores:JosAntonioEncabodeLucasyEduardoCuchillo

Revisora:NievesZuasti

Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF

MATEMTICASI:1BACHILLERATOCaptulo2:lgebra

MatemticasI.BachilleratodeCiencias.Captulo2:lgebra Autores:JosAntonioEncabodeLucasyEduardoCuchilloLibrosMareaVerde.tk Revisora:NievesZuastiwww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF

lgebra42

ndice

1.POLINOMIOS1.1.DEFINICIN,TRMINOS,GRADO,VALORNUMRICO

1.2.OPERACIONESCONPOLINOMIOS

1.3.REGLADERUFFINI.TEOREMADELRESTO

1.4.RACESDEUNPOLINOMIO

1.5.FACTORIZACIONDEPOLINOMIOS

1.6.FRACCIONESALGEBRAICAS

2.ECUACIONESEINECUACIONESDEPRIMERYSEGUNDOGRADO.2.1.RESOLUCINDEECUACIONESDEPRIMERGRADO

2.2.RESOLUCINDEECUACIONESDESEGUNDOGRADO

2.3.RESOLUCIONDEINECUACIONESDEPRIMERGRADOYSUINTERPRETACINGRAFICA

2.4.RESOLUCIONDEINECUACIONESDESEGUNDOGRADO

3.SISTEMASDEECUACIONESLINEALES.3.1.RESOLUCIONPORELMTODODEGAUSS

3.2.DISCUSIONDESISTEMASAPLICANDOELMETODODEGAUSS

3.3.PROBLEMASDEECUACIONESLINEALES

3.4.SISTEMASDEINECUACIONESLINEALESYSUINTERPRETACINGRFICA

ResumenEn este captulo sobre lgebra repasaremos conceptosrelacionados con polinomios, ecuaciones e inecuaciones, paraadentrarnos en los sistemas de ecuaciones, su resolucin yrepresentacionesgrficas,basndonosenelmtododeresolucinde sistemas de ecuaciones, Mtodo deGaussmatemticomuyimportante en lgebra pues fue el primero en dar unademostracin del teorema fundamental del lgebra: Todaecuacinalgebraicadegradontienensoluciones.

Seguiremoscon las inecuacionesy sistemasde inecuaciones quetieneninteresantesaplicaciones.

KarlFriedrichGauss


lgebra43

1.POLINOMIOS

1.1.Definicin.Trminos.Grado.ValornumricoRecuerdaque:

Unmonomiovienedadoporelproductodenmerosrealeseindeterminadas.Llamaremoscoeficientedeunmonomioalnmerorealquemultiplicaalaindeterminada,oindeterminadas;laindeterminada,oindeterminadas,conformanlaparteliteraldelmonomio.

Unpolinomioesunaexpresinconstruidaapartirdelasumademonomios.Elgradodeunpolinomiovendrdadoporelmayorgradodesusmonomios.

Ejemplos:

83271 32 xx esunpolinomiodegrado3enlavariable x .

xxy 1165 24 esunpolinomiodegrado4enlasindeterminadas x ey.

232 523 yyx esunpolinomiodegrado5en x ey.

zyx 398 esunpolinomiodegrado1en x ,yy z.

Tantoenestaseccincomoenlasiguientenoslimitaremos,bsicamente,aconsiderarpolinomiosconunanicavariable.

Elaspectogenricodeunpolinomioenlavariable x es

012

21

1 ...... axaxaxaxan

nn

n

dondeloscoeficientes ka sonnmerosreales.

Decimosqueunpolinomioesmnicocuandoelcoeficientedesutrminodemayorgradoesiguala1.

Los trminos de un polinomio vienen determinados por el nmero de monomios que tenga esepolinomio.

Recuerdaque:

Monomio:mono:uno,nomio:trmino:1trmino

Binomio:bino:2dos,nomio:trmino:2trminos

Trinomio:trino:tres,nomio:trmino:3trminos.

Cuatrinomio:cuatri:cuatro,nomio:trmino:cuatrotrminos.

Apartirdecuatrinomioselesnombrapolinomios:Poli:varios,nomio:trminos.


lgebra44

Asporejemplo:

734 3 yy estformadopor3monomios4y3, 3y, 7porlotantotendrtrestrminos. xxy 583 24 estformadopor3monomios,3y4, 8x2y5x,porlotiene3trminos.

Sifijamos,oescogemos,unvalorconcretoparalavariabledeunpolinomioapareceunnmerorealelvalornumricodelpolinomioparaesevalordeterminadodelavariable.

Sihemosllamadopaunpolinomio,alaevaluacinde pen,porejemplo,elnmero5ladenotamospor )5(p ,y leemospdemenoscincoopenmenoscinco.Conestecriterio,si pesunpolinomiocuyaindeterminadaeslavariable x ,podemosreferirnosalcomopo )(xp indistintamente.

De esta forma apreciamos que un polinomio puede ser entendido como unamanera concreta deasignaracadanmerorealotronmeroreal.

Ejemplos:

Sievaluamoselpolinomio 2513 24 xxp en 5x nosencontramosconelnmero

186871875256253255153)5( 24 p

Elvalordelpolinomio 734)( 3 yyyq para 1y es

1410473)1(47)1(3)1(4)1( 3 q

1.2.OperacionesconpolinomiosYasabesque:

SumadepolinomiosComounpolinomioesunasumademonomios,lasumadedospolinomiosesotropolinomio.Alahoradesumardospolinomiosprocederemosasumarlosmonomiosdeigualparteliteral.

Ejemplos:

Lasumadelospolinomios 2513 24 xx y 654 24 xxx eselpolinomio

455214)62(54

51)13(

)62(5451)3()654(2

513

2424

22442424

)(

)()(

xxxxxx

xxxxxxxxxx

549)83()95()27()892()357( 22222 xxxxxxxxxx


lgebra45

Enelsiguienteejemplosumaremosdospolinomiosdisponindolos,adecuadamente,unosobreotro.

14767

791149

6511362

345

235

2345

xxxx

xxxx

xxxxx

PropiedadesdelasumadepolinomiosPropiedadconmutativa.Sip yqsondospolinomios,noimportaelordenenelqueloscoloquemosalahoradesumarlos:

pqqp

Ejemplo:

855)17()32()4()13()724(23223232 xxxxxxxxxxxxx

855)71()23()4()724()13( 23223223 xxxxxxxxxxxxx

Propiedad asociativa. Nos seala cmo se pueden sumar tres o ms polinomios. Basta hacerloagrupndolosdedosendos:

)()( rqprqp

Ejemplo:

8652)6()2552(

)6()257222()6()257()222(234234

24232423

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Tambin:

10652)867()222(

)6257()222()6()257()222(2342423

24232423

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Elemento neutro. Hay un polinomio con una propiedad particular: el resultado de sumarlo concualquierotrosiempreessteltimo.Setratadelpolinomiodadoporelnmero0,elpolinomiocero.

Ejemplo:

)1345()1345(00)1345( 232323 xxxxxxxxx 7370)737()737(0 333 xxxxxx


lgebra46

Elementoopuesto.Cadapolinomiotieneasociadootro,alque llamaremossupolinomioopuesto,talque la suma de ambos es igual al polinomio cero. Alcanzamos el polinomio opuesto de uno dado,simplemente,cambiandoelsignodecadamonomio.

Ejemplo:

El polinomio opuesto de 7253 34 xxxp es 7253 34 xxx , al que denotaremoscomo "" p .Ratifiquemosquesusumaeselpolinomiocero:

0)77()22()55()33()7253()7253( 33443434 xxxxxxxxxxxx

RestadepolinomiosRecordemosqueelpolinomioopuestodeotro seobtiene simplemente cambiandoel signode cadamonomio.Estaaccinsecorrespondeconmultiplicarporelnmero 1 elpolinomiooriginal.Deestaformaelpolinomioopuestode p es

pp )1( En estemomento aparece demanera natural la operacin diferencia, o resta, de polinomios. Ladefinimosconlaayudadelpolinomioopuestodeunodado:

qpqpqp )1()( Larestaconsisteensumaraunpolinomioelopuestodeotro.

Ejemplo:

Dadoelpolinomio: 632 24 xxp yelpolinomio: 767 24 xxq .

Vamosarestarp q:

Elprocesoeselmismoqueparalasuma,lonicoquecambiaesqueaplesumamoselopuestodeq:

Esdeciraqlecambiamosdesignoyselosumamosap:

159)767()632()767()632( 2424242424 xxxxxxxxxx .

Recordemosqueelopuestodeqesq, )767( 24 xx .Ejemplo:

4382)62(3)35(2

)632()235()632()235(2342234

23422342

xxxxxxxxxxxxxxxxxxx


lgebra47

Actividadespropuestas1. Realizalasumayrestadelossiguientespolinomios:a)x2 2 b)3x4 + x3 1

2. Realizalassiguientessumasdepolinomios:

a) )222()132()( 2322 xxxxxxx

b) )52()453()32( 3234 xxxxxxx 3. Escribeelpolinomioopuestodecadaunodelossiguientespolinomios:

a) 14462 234 xxxx

b) 567 3 xx c) 783 24 xxx

4. Considera los polinomios 263 xxp , 133 2 xxq , as como el polinomio sumaqps .Halla los valoresqueadopta cadaunodeellospara 2x ,esdecir, calcula )2(p ,

)2(q y )2(s .Estudiasiexistealgunarelacinentreesostresvalores.

5. Obtn el valor del polinomio 225 3 xxxp en 3x . Qu valor toma el polinomioopuestode p en 3x ?

6. Realizalassiguientesdiferenciasdepolinomios:

a) )3()24( 23 xxx

b) )43()2( 4 xxx

c) )2()3( 232 xxxxx

ProductodepolinomiosOtraoperacinquepodemosrealizarconpolinomioseslamultiplicacin.

El resultado del producto de polinomios siempre ser otro polinomio. Aunque en un polinomiotenemosuna indeterminada,ovariable,comoella tomavaloresen losnmeros reales,a lahorademultiplicarpolinomiosutilizaremoslaspropiedadesdelasumayelproductodelosnmerosreales,enparticular lapropiedaddistributivadelproductorespectode lasuma;as, todoquedaen funcindelproductodemonomios,cuestinqueresolvemosconfacilidad:

mnmn abxbxax


lgebra48

Ejemplos:

a) 64242 12)2(6)2(6 xxxx

b) 333 20)4(5)4(5 xxx

c) 234222222 18126)63()43()23()642(3 xxxxxxxxxxx

d) xxxxxxxxxxx 262)2()1()2()3()2()()2()13( 2433

e)

)1082()15123(

)54()2()54()3()54()23(223

222

xxxxx

xxxxxxxx

10714310)815()212(3 23223 xxxxxxxx

f)

Ejemplo:

Tambin podemosmaterializar el producto de polinomios tal y comomultiplicamos nmerosenteros:

41162

421236

42

1342

2345

235

24

3

2

3

xxxxx

xxxxxx

xx

xxxx

Actividadespropuestas7. Efectalossiguientesproductosdepolinomios:

a) )4()25( 33 xxx b) )43()2( 4 xxx

c) )3()2( 2235 xxxxx d) )1347()1(23 xxx

8. Multiplica cada uno de los siguientes polinomios por un nmero de tal forma que surjanpolinomiosmnicos:

a) 233 234 xxx b) 12 23 xx c) 72 xx

9. Calculaysimplificalossiguientesproductos:

a) )642(3 23 xxx b) )64()43( xx

c) )34()52( 22 abba d) )29()28()63( aaa

xxxxxxxxxxxxxxx 1226)122()6()2()6()6()2()6( 23322322


lgebra49

PropiedadesdelproductodepolinomiosPropiedadconmutativa.Sipyqsondospolinomios,noimportaelordenenelqueloscoloquemosalahorademultiplicarlos:

pqqp

Ejemplo:

236244624242242 7927722)(7)(2)()72( xxxxxxxxxxxxxxx

24624462224224 7927272)72()72()72()( xxxxxxxxxxxxxx

Propiedad asociativa.Nos seala cmo se puedenmultiplicar tres oms polinomios.Basta hacerloagrupndolosdedosendos:

)()( rqprqp

Ejemplo:

xxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxx266184122266441212

)()26412()()13()24(234563243546

32332

Tambin:

xxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxx266184122266441212

)33()24()()13()24(234563243546

324232

Elementoneutro.Hayunpolinomioconunapropiedadparticular:almultiplicarloporcualquierotrosiemprenosdasteltimo.Setratadelpolinomiodadoporelnmero1,elpolinomiounidad.

Ejemplo:

3281)328()328(1 222 xxxxxx


lgebra50

Propiedad distributiva de lamultiplicacin respecto de la suma. Cuando en unamultiplicacin depolinomiosunodelosfactoresvienedadocomolasumadedospolinomioscomo,porejemplo,

)4()72()8( 32 xxxxx tenemosdosopcionesparaconocerelresultado:

a)realizarlasumay,despus,multiplicar

xxxxxxxxxxx

xxxxxxxxx

119448811688488

116)8()4()112()8(234524235

3232

b)distribuir,aplicar,lamultiplicacinacadaunodelossumandosy,despus,sumar:

xxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

1194488)4328()1128816(

)4()8()112()8()4()112()8(23452435223

32232

Comprobamosqueobtenemoselmismoresultado.

Engeneral,lapropiedaddistributivadelamultiplicacinrespectodelasumanosdiceque

rpqprqp

Conviene comentar que la anterior propiedad distributiva leda en sentido contrario, de derecha aizquierda,esloquecomnmentesedenominasacarfactorcomn.

Ejemplo:

2242346 2)11153(222106 xxxxxxxx

Actividadespropuestas10. Realizalossiguientesproductosdepolinomios:

a) 3242 2)135( xxxx

b) )()453()32( 22 xxxx 11. Decadaunodelossiguientespolinomiosextraealgnfactorqueseacomnasusmonomios:

a) 234 102016 xxx

b) 24 3024 xx


lgebra51

ProductosnotablesdepolinomiosEn este apartado vamos a destacar una serie de productos concretos de polinomios que surgenfrecuentemente.Podemosexponerlosdemuydiversasformas.Talycomoloharemos,aparecermsdeuna indeterminada;hemosde ser capacesdeapreciarque si,enunalgn caso concreto,algunaindeterminadapasaaserunnmeroconcretoestonoharnadamsqueparticularizarunasituacinmsgeneral.

Potencias de un binomio. Las siguientes igualdades se obtienen, simplemente, tras efectuar losoportunosclculos:

222 2)( bababa El cuadradodeuna suma es igual al cuadradodelprimero,ms eldobleproductodelprimeroporelsegundo,mselcuadradodelsegundo.

Comprueba la igualdad a partir de los cuadrados y rectngulos de lailustracin.

222 2)( bababa Elcuadradodeunadiferenciaes igualalcuadradodelprimero,menoseldobleproductodelprimeroporelsegundo,mselcuadradodelsegundo.

Observalafigurayconctalaconlaigualdad.

32233 33)( babbaaba Ratificalaigualdadconloscubosyprismasdelafigura.

32233 33)( babbaaba

Podemosobservarque,encadaunode losdesarrollos,elexponentedelbinomiocoincideconelgradodecadaunodelosmonomios.

Ejemplos:

a) 44222)2( 2222 aaaaa

b) 2510552)5( 2222 xxxxx

c) 257049)5(572)7()57( 2222 xxxxx

d) 22222 96)3(32)3( yxyxyyxxyx

e) 12530606455)4(35)4(3)4()54( 2332233 xxxxxxx


lgebra52

Suma por diferencia. De nuevo la siguiente igualdad seobtienetrasefectuarelproductosealado:

22)()( bababa Sumapordiferenciaesigualadiferenciadecuadrados.

Observalasfigurasyconctalasconlaigualdad.

Ejemplos:

a) 255)5()5( 222 aaaa

b) 11)1()1( 222 xxxx

c) 1694)3()43()43( 222 xxxx

d) )35()35()1()53()53()1()53()53( xxxxxx

222 925))3(5()1( xx

Actividadespropuestas12. Realizalosclculos:

a) 2)32( a

b) 2)3( x

c) 2)23( x

d) 32 )1( x

e) 32 )24( x 13. Obtnlasfrmulasdeloscuadradosdelossiguientestrinomios:

a) 2)( cba b) 2)( cba 14. Desarrollalassiguientespotencias:

a)(2x5y)2 b)(3x+y/3)2 c)(5x25/x)2

d)(3ab)2 e)(a2+b2)2 f)(3/5y2/y)2

15. Expresacomocuadradodeunasumaodeunadiferencialassiguientesexpresionesalgebraicas:

a)a4+6a2+9 b)9x26x+1 c)b210b+25

d)4y2+12y+9 e)a42a2+1 f)y4+6y2+9

16. Efectaestosproductos:

a) )34()34( 22 yxyx b) )82()82(22 xx c) )3()3( 22 xxxx


lgebra53

DivisindepolinomiosYasabesque:

Analicemos con detenimiento la divisin de dos nmeros enteros positivos. Cuando dividimos dosnmeros,D(dividendo)entred(divisor,distintode0),surgenotrosdos,elcociente(c)yelresto(r).Ellosseencuentranligadosporlallamadapruebadeladivisin:

rcdD Alternativamente:

drc

dD

Adems,decimosqueladivisinesexactacuando 0r .Elconocidoalgoritmodeladivisinpersigueencontrarunnmeroentero,elcocientec,talqueelrestor seaunnmeromenorqueeldivisord,ymayoroigualquecero.Fijmonosenque,sinestaexigenciaparaelrestor,podemosescogerarbitrariamenteunvalorparaelcocientecelcualnossuministrasuvalorasociadocomorestor.

Enefecto,sitenemoscomodividendoD = 672ycomodivisord = 12,siqueremosqueelcocienteseac = 48surestoasociadoes

965766724812672 cdDr ylaconexinentreestoscuatronmeroses

964812672 Esta ltima lectura de la divisin de nmeros enteros va a guiarnos a la hora de dividir dospolinomios.

Dadosdospolinomios )(xp y )(xq , ladivisinde )(xp ,polinomiodividendo,entre )(xq ,polinomiodivisor,nosproporcionarotrosdospolinomios,elpolinomiocociente )( xc yelpolinomioresto )( xr .Tambinaqupesarunaexigenciasobreelpolinomioresto:sugradodebersermenorqueelgradodelpolinomiodivisor.Larelacinentreloscuatroser,naturalmente,

)()()()( xrxcxqxp

Tambinescribiremos

)()()(

)()(

xqxrxc

xqxp

Al igualqueocurre conel algoritmode ladivisinentera,el algoritmode ladivisindepolinomiosconstadevariasetapas,decarcter repetitivo,encadaunade lascualesaparecenunospolinomioscocienteyrestoprovisionalesdeformaqueelgradodeesospolinomiosrestovadescendiendohastaquenostopamosconunocuyogradoesinferioralgradodelpolinomiodivisor,loqueindicaquehemosconcluido.Veamosesteprocedimientoconunejemploconcreto


lgebra54

Ejemplo:

Vamosadividirelpolinomio 2356)( 234 xxxxxp entreelpolinomio 32)( 2 xxxq .Como el polinomio divisor, )(xq , es de grado 2, debemos encontrar dos polinomios, unpolinomiocociente )( xc ,yunpolinomioresto )( xr degrado1o0,talesque

)()()()( xrxcxqxp

Primeraetapa:

Parapoderlograrlaigualdad rcqp ,comoelgradode )( xr ser1o0,eltrminodemayorgradode )(xp , 46x ,surgir delproducto )()( xcxq .Asobtenemos laprimeraaproximacinde )( xc ,sumonomiodemayorgrado:

21 3)( xxc

y,demaneraautomtica,tambinunprimerresto )(1 xr :

23883936

32|2356

23

2234

2234

xxxxxxx

xxxxxx

Como este polinomio )(1 xr es de grado 3,mayor que 2, el grado del polinomio divisor )(xq , esepolinomiorestonoeseldefinitivo;debemoscontinuar.

Segundaetapa:

Estasegundaetapaconsisteendividirelpolinomio 2388)( 231 xxxxr ,surgidocomorestode laetapa anterior, entre el polinomio 32)( 2 xxxq , el divisor inicial. Es decir, repetimos lo hechoantesperoconsiderandounnuevopolinomiodividendo:elpolinomiorestodelpasoanterior.

Aligualqueantes,elgradode )( xr deberaser1o0.Comoeltrminodemayorgradode )(1 xr ,38 x ,

saledelproducto )()( 2 xcxq ,esnecesarioqueelpolinomiococientecontengaelmonomio

xxc 4)(2

Ellonosllevaaunsegundoresto )(2 xr :4x29x2

Comoestepolinomio )(2 xr esdegrado2,igualqueelgradodelpolinomiodivisor )(xq ,esepolinomiorestonoeseldefinitivo;debemoscontinuar.

Primeraysegundaetapas:

2941248

238843936

32|2356

2

23

23

2234

2234

xxxxx

xxxxxxxx

xxxxxx


lgebra55

Terceraetapa:

Estaterceraetapaconsisteendividirelpolinomio 294)( 22 xxxr ,elrestode laetapaanterior,entreelpolinomio 32)( 2 xxxq ,eldivisor inicial.Denuevorepetimoselalgoritmoperoconotropolinomiodividendo:elpolinomiorestodelpasoanterior.

Perseguimosque rcqr 32 .Comoencadapaso,elgradode )( xr deberaser1o0.Eltrminodemayorgradode )(2 xr ,

24 x ,surgedelproducto )()( 3 xcxq ,porloque

2)(3 xc

yeltercerresto )(3 xr es:11x+4

Como este polinomio )(3 xr es de grado 1, menor que 2, grado del polinomio divisor )(xq , esepolinomiorestoseseldefinitivo.Hemosconcluido:

Lastresetapas:

411624294

12482388

243936

32|2356

2

2

23

23

2234

2234

xxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxxxx

Conclusin:Aldividirelpolinomio 2356)( 234 xxxxxp entreelpolinomio 32)( 2 xxxq obtenemoscomopolinomiocociente 243)( 2 xxxc ycomopolinomioresto 411)( xxr .

Actividadespropuestas17. Dividelossiguientespolinomios:

a) 72 24 xxx entre 422 xx

b) 43210 23 xxx entre 3523 xxx

c) 73664 235 xxxx entre 323 xx

d) 5321028 2345 xxxxx entre 1423 xxx

e) 16 25 xx entre 13 x

18. Encuentra dos polinomios tales que al dividirlos aparezca 3)( 2 xxxq como polinomiococientey 13)( 2 xxr comoresto.


lgebra56

1.3.RegladeRuffini.TeoremadelrestoDebidoa la importanciaque tiene ladivisindepolinomioscuandoelpolinomiodivisoresdelaforma x ,esconvenienteagilizartalesdivisiones.

EstamosantelallamadaregladeRuffini,unalgoritmoquenosproporcionatantoel cociente comoel restoque resultandedividirunpolinomio cualquieraentreotrodelaforma x .

Vemosloconunejemplo:

Consideremoselpolinomio 343)( 23 xxxxp .Vamosadividirloentre 2x .

394221321

2010310

2110363

2|343

2

2

223

23

xxxx

xxxxxx

xxxx

Veamoscmohansurgidotantoelpolinomiococientecomoelresto.Elqueelgradodeldividendoseatresyqueeldivisorseadegradouno imponequeelcocientetengagradodosyqueelrestoseaunnmero real. El cociente consta de losmonomios 23x , x10 y 21, los cuales coinciden con losmonomios demayor gradode cadaunode losdividendosdespusdedisminuir sus grados enuna

unidad: 23x procedede 343 23 xxx (eldividendo inicial), x10 vienede 310 2 xx y,porltimo, 21 de 321 x . Este hecho, coincidencia en el coeficiente y disminucin del grado en unaunidad,sedebeaqueeldivisor, 2x ,esmnicoydegradouno.Seguidamente,vamosatenerencuentanicamenteloscoeficientesdeldividendo,porordendegrado,3, 4, 1 y 3; en cuanto al divisor, como esmnico y de grado uno, basta considerar su trminoindependiente, +2, pero como el resultado demultiplicar losmonomios que van conformando elcocienteporeldivisorhemosderestrseloacadaunodelosdividendos,atendiendoaestecambiodesigno,enlugardeltrminoindependiente,+2,operaremosconsuopuesto,2,nmeroque,alavez,eslarazdeldivisor 2x ysobreelquepesalapreguntadesiesonorazde )(xp .

Este ltimo concepto lo veremosms delante demanera detallada cuando definamos raz de unpolinomio.

Vamosacompararloconelprocesodeladivisinconvencionalyveremosqueesigual:

PaoloRuffini


lgebra57

Primerpasodeladivisin:

310363

2|343

2

223

23

xxxxx

xxxx

|10362

3143

|

Apareceenelcocienteelmonomio 23x (coeficiente 3 ),elcualprovocaladesaparicinde 33x eneldividendoylaaparicindelmonomio 26 x (coeficiente 3)2(6 ).Despusdeoperar(sumar)nosencontramoscon 210 x (coeficiente )6()4(10 )y,enelcociente x10 .

Segundopaso.Eldividendopasaaser 310 2 xx .

3212010

31010363

2|343

2

2

223

23

xxx

xxxxxx

xxxx

|211032062

3143

|

Lairrupcinenelcocientedelmonomio x10 (coeficiente 10 )provocaladesaparicinde 210 x en el dividendo y la aparicin delmonomio x20 (coeficiente )10()2(20 ).Despus de operar(sumar)nosencontramoscon x21 (coeficiente 20121 )y,enelcociente21.

Tercerpaso.Eldividendopasaaser 321 x .

394221321

2010310

2110363

2|343

2

2

223

23

xxxx

xxxxxx

xxxx

3921103

422062

3143

||

Tenemos en el cociente el trmino independiente 21. ste provoca la eliminacin de x21 en eldividendoylaaparicindeltrmino 21)2(42 .Despusdeoperar(sumar)nosencontramosconelresto 42339 .

En cada uno de los pasos figura, en la parte derecha, lomismo que se ha realizado en la divisinconvencional, pero con la ventaja de que todo esms gil debido a que nicamente semanejannmerosreales:loscoeficientesdelosdistintospolinomiosintervinientes.


lgebra58

Ejemplo:

Dividamoselpolinomio 452)( 34 xxxxp entre 3x :

146501551

150451533

45021

||

Actividadespropuestas19. UsalaregladeRuffinipararealizarlassiguientesdivisionesdepolinomios:

a) 13 2 xx entre 1x b) 122 34 xxx entre 2x c) 134 23 xx entre 1x d) 193 xx entre 3x

20. EstudiasiesposibleusarlaregladeRuffini,dealgunaforma,paradividir 752 23 xxx entre32 x .

TeoremadelrestoElteoremadelrestoesmuytilparahallar losvaloresnumricosde lospolinomiossinnecesidaddesustituir directamente en ellos la incgnita por el nmero de que se trate.Haciendo uso de dichoteorema, podemos hallar las races de los polinomios, proceso que habr que realizar conmuchafrecuenciaenlosucesivo.

Elenunciadodelteoremadelrestoeselsiguiente:

Teorema del resto. El valor numrico que adopta un polinomio )(xp al particularizarlo en x coincideconelrestoqueaparecealdividir )(xp entre x .


lgebra59

Deestaforma,podremossaberdeantemanosiunadivisinvaaserexactasinnecesidaddeefectuarla.

Demostracin:

Segnvimosenelapartadodeladivisindepolinomios,aldividirunpolinomioD(x)entreotro,d(x),larelacinqueseestablecees:

D(x) = d(x) c(x) + r(x)

donde c(x) y r(x) son respectivamente, el cociente y el resto de la divisin. En este caso estamosdividiendoporx a,esdecir,eldivisoresd(x) =x a.Portanto

D(x) = (x a) c(x) + r(x)

HallamoselvalornumricodelpolinomioD(x)parax = a,paraellosustituimoslaxpora:

D(a) = (a a) c(a) + r(a)

Y,portanto,D(a)=r(a) = r,queesprecisamenteloquequeramosdemostrar.

Ejemplo:

Dividamoselpolinomio 453)( 34 xxxxp entre 3x :

164561861

168511833

45031

||

Elcocientees 56186 23 xxx yelresto164

)164()56186()3(452)( 2334 xxxxxxxxp

Sievaluamos )(xp en 3x nopuededarcero,peroquvalorresulta?

164)164(0)164()56)3(18)3.(6)3()33()3( 23 p Naturalmente hemos obtenido el resto anterior, que vemos que coinciden, el valor numrico delpolinomioyelrestodeladivisin.

Actividadespropuestas21. UtilizalaregladeRuffiniparaconocerelvalordelpolinomio 4273 23 xxx en 5x .


lgebra60

1.4.Racesdeunpolinomio:Dadounpolinomio )(xp diremosqueunnmerorealconcreto esunaraz,ouncero,delpolinomiop,sialevaluarpen x obtenemoselnmero0,estoes,si

0)( p

Ejemplo:

Consideremoselpolinomio 8822)( 23 xxxxs .o Elnmero2esunarazde )( xs ,puestoque

081681681642828282222)2( 23 s

o Otrarazde )( xs eselnmero 1 :

0882288)1(2)1(28)1(8)1(2)1(2)1( 23 s

o Encambio,elnmero1noesunarazde )( xs :

01216488228181212)1( 23 s o Tampocoesrazde )( xs elnmero0:

0880008080202)0( 23 s

ClculodelasracesdeunpolinomioEjemplos:

Comprobemos,mediantelaregladeRuffini,que21

esrazdelpolinomio 132 2 xx :

022

112/1

132

||

Paraconocer lasracesdelpolinomio 22 x debemosestudiarsihayalgnnmeroreal talqueloanule,esdecir,paraelquesetenga

2

202

2

2

As, el polinomio de grado dos 22 x tiene dos races distintas, las cuales son nmerosirracionales.

Yasabemosquehaypolinomiosquecarecenderaces,comoporejemplo 42 x .


lgebra61

Parafacilitar lacomprensinde losconceptosyresultadosdeesteasunto lamayorade losnmerosquehanaparecidohastaahora,coeficientes,races,etc.,hansidonmerosenteros.Porsupuestoquepodemosencontrarnosconpolinomiosconcoeficientesracionales,oirracionales,oconpolinomiosconraces dadas por una fraccin o un nmero irracional. Tambin existen polinomios que carecen deraces.

Apreciamos que la regla de Ruffini nos informa sobre si un nmero concreto es o no raz de unpolinomio.Naturalmente,cuandoestamosanteunpolinomio,ynosinteresaconocersusraces,noesposibleefectuarunapruebaconcadanmerorealparadeterminarculessonrazdelpolinomio.Enelprximoprrafodestacaremosciertosnmeroscandidatosaserrazdeunpolinomio.

Alahoradebuscarlasracesenterasdeunpolinomiodisponemosdelsiguienteresultado:

Dadounpolinomiocualquiera

012

21

1 ...... axaxaxaxan

nn

n

cuyos coeficientes son todos nmeros enteros, sus races enteras, si las tuviera, se encuentran

necesariamenteentrelosdivisoresenterosdesutrminoindependiente 0a .

Procedamos a su demostracin. Supongamos que cierto nmero entero es una raz de esepolinomio.Talnmerodebeanularlo:

012

21

1

0122

11

012

21

1

012

21

1

......

)......(

......

0......

aaaaa

aaaaaaaaaa

aaaaa

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

En laltima igualdad,elnmerodel lado izquierdoesentero,porqueestexpresadocomounasuma

deproductosdenmerosenteros.Porello,elnmerodel ladoderecho,

0a ,tambinesentero.Al

sertambinenterostanto 0a como ,alcanzamosque esundivisorde 0a .

Ejemplos:

Determinemos, con arreglo al anterior resultado, qu nmeros enteros son candidatos a serracesdelpolinomio 62237 23 xxx :

Talesnmerosenteros candidatosdeben serdivisoresde 6 ,el trmino independientedelpolinomio.Porello,losnicosnmerosenterosquepuedenserrazdeesepolinomioson:

6,3,2,1

Lasnicasposiblesracesenterasdelpolinomio 61132 23 xxx tambinson:6,3,2,1

Enestecaso2y3sonracesenterasdelpolinomio.

Algomsgeneralpodemosafirmarsobreclasesdenmerosyracesdeunpolinomio:


lgebra62

Dadounpolinomiocualquiera

012

21

1 ...... axaxaxaxan

nn

n

cuyos coeficientes son todos nmeros enteros, sus races racionales, si las tuviera, necesariamente

tienenpornumeradoralgndivisordel trmino independiente, 0a ,ypordenominadoralgndivisordelcoeficientedeltrminodemayorgrado, na .

Ejemplos:

Enelpolinomio 61132 23 xxx losnmerosracionalescandidatosaserracessuyastienenpornumerador aundivisorde 6

ypordenominador aundivisorde 2 .Por lo tanto, los

nicosnmerosracionalesquepuedenserrazdeesepolinomioson:

326,

23,1

22,

21,6,3,2,1

Ademsde2 y 3 ,tambinesraz21;losdemsnoloson.

Lasnicasposiblesracesracionalesdelpolinomio 341172 234 xxxx son:

23,

21,3,1

Enestecasoningunodeesosnmerosesrazdelpolinomio.

Actividadespropuestas22. Emplea la regla de Ruffini para dictaminar si los siguientes nmeros son o no races de los

polinomioscitados:

a) 3 de 5423 xx

b) 2 de 2223 xxx

c) 1 de 124 xx

d) 1 de23 22 xx

23. Para cada uno de los siguientes polinomios seala, en primer lugar, qu nmeros enteros soncandidatosaserracessuyasy,despus,determinaculesloson:

a) 2223 xxx

b) 3444 234 xxxx

c) 9182 23 xxx

d) xxxx 632 234

24. Compruebaque21esrazdelpolinomio 61132 23 xxx .

25. Para cadaunode los siguientespolinomios indicaqunmeros racionales son candidatosa serracessuyasy,despus,determinaculesloson:

a) 543 2 xx b) 2129223 xxx

1.5.Factorizacindepolinomios


lgebra63

Todo polinomio de grado n tiene a lo sumo n races reales, alguna de las cuales puede aparecerrepetidaentreesosnomsde n nmerosreales.

Basndonosenelclculodelasracesdeunpolinomiovamosarealizarelprocesodedescomposicinde un polinomio en forma de producto de otros polinomios ms sencillos.(Factorizacin de unpolinomio):

Nosvamosabasarenelsiguienteenunciado:

LacondicinnecesariaysuficienteparaqueunpolinomioP(x)seadivisiblepor(x a)esqueaseaunarazdeP(x).

Podemosreescribiresteresultadodelasiguientemanera:

UnpolinomioP(x)esdivisiblepor(x a)aesunarazdeP(x).

Vamosademostrarlo:

SiP(x)esdivisiblepor(x a)aesunarazdeP(x):Condicinnecesaria

Enefecto:SiP(x)divisiblepor(x a) r = 0P(a)=0(porelteoremadelresto)aesrazdeP(x)

SiaesunarazdeP(x)(x a)divideaP(x):Condicinsuficiente

Enefecto:arazdeP(x)P(a)=0(porelteoremadelresto).

ElrestodeladivisindeP(x)entre(x a)es0(x a)divideaP(x)porladefinicinderaz.

Comoconsecuenciainmediatasetiene:siaesunarazdeP(x)P(x) =c(x)(x a)

Elpolinomiodadoquedadescompuestoen

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1º de Bachillerato