2． 3.4 　 　平面与平面垂直的性质

1．两个平面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内 的

直线垂直于另一个平面．用数学符号表示为.

2．重要结论： (1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，必在

．用数学符号表示为.

(2)如果两个平面互相垂直，第一个平面内一点在第二个平面内的射影一定落在 ．

垂直于交线

α⊥β， α∩β＝ b， a⊂β， a⊥b⇒a⊥α

第一个平面内A∈β， α⊥β， A∈a， a⊥α⇒a⊂β

两个平面的交线上

3． (1)△ABC所在平面外一点 P在平面 ABC内射影为 O，

①若 PA＝ PB＝ PC，则 O为△ ABC的 心*②若 P到△ ABC三边距离相等，则 O为△ ABC的

心或 心③若 PA、 PB、 PC两两垂直，则 O为△ ABC的

心(2)∠ACB所在平面外一点 P在平面 ACB内射影为 O，① 若∠ PCA ＝∠ PCB ，则 O 在

.

②若 P到∠ BCA两边距离相等，则 O在 .

外内

旁垂

∠BCA的平分线上

∠BCA的平分线上

4．已知 m、 n是两条不重合的直线， α、 β、 γ是三个互不重合的平面，给出下列四个命题，其中真命题是

( )

①若 m⊥α， m⊥β，则 α∥β ②若 α⊥γ， β⊥γ，则 α∥β ③若 m⊂α， n⊂β， m∥n，则 α∥β ④若 m、n是异面直线， m⊂α， m∥β， n⊂β， n∥α，则 α∥β

A ．①② B．①③C ．③④ D．①④

[ 答案 ] 　 D

[ 解析 ] 　命题①为真命题，垂直于同一条直线的两个不重合平面必平行．

命题②为假命题，例如正方体交于同一点的相邻三个面．

命题③为假命题，例如 ( 如图 ) ．

正四棱锥中， AB⊂面 SAB， CD⊂面 SCD， AB∥CD.

但面 SAB与面 SCD不平行，而是相交．命题④为真命题，因为过直线 n作平面 γ和平面 α相

交，设交线为 a，则 a∥n.∵m、 n为异面直线， m⊂α， n⊂β，∴ m、 a为相

交直线，∵m∥β， a∥β，∴ α∥β. 故选 D.

本节学习重点和难点：面面垂直性质定理的应用．

两个平面互相垂直并不能保证一个平面内的直线必垂直另一平面，只有在一个平面内，垂直于它们交线的直线才垂直于另一个平面．因此，当两平面垂直时，常添加的辅助线是在一个平面内作两面交线的垂线，或过一个平面

“内的一点作另一个平面的垂线．此定理可简化为 面面垂直，”则线面垂直 ．

[例 1] 如图平面 α⊥平面 β，在 α与 β的交线 l上取线段 AB＝ 4cm， AC、 BD分别在平面 α和平面 β内，AC⊥l， BD⊥l， AC＝ 3cm， BD＝ 12cm，求线段 CD

的长．

[ 分析 ] 　为求 CD的长，由 BD⊥l， α⊥β，易知△BCD为 Rt△， BD长已知，只要知道 BC长即可．由 AC

⊥l，知△ ABC为 Rt△可解．[ 解析 ] 　∵ AC⊥l， AC＝ 3 ， AB＝ 4 ，∴ BC＝ 5.

∵BD⊥l， l＝ α∩β， α⊥β， BD⊂β，∴ BD⊥α，又 BC⊂α

∴BD⊥BC，在 Rt△BDC中， DC＝ ＝ 13 ，∴ CD长为 13cm.

[ 点评 ] 　求线段 CD的长可以通过 Rt△BDC，也可以通过 Rt△ACD.一般求线段的长度问题，要归到三角形中求解．

如图，在四棱锥 P－ ABCD中， PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD， AC⊥CD，∠ ABC＝ 60°， PA＝ AB＝ BC，E是 PC的中点．

(1)证明： CD⊥AE；(2)证明： PD⊥平面 ABE.

[ 解析 ] 　 (1) 证明：在四棱锥 P－ ABCD中，∵PA⊥底面 ABCD， CD⊂平面 ABCD，故 PA⊥CD.

∵AC⊥CD， PA∩AC＝ A，∴ CD⊥平面 PAC.

而 AE⊂平面 PAC，∴ CD⊥AE.

(2) 证明：由 PA＝ AB＝ BC，∠ ABC＝ 60° ，可得AC＝ PA.

∵E是 PC的中点，∴ AE⊥PC.

由 (1) 知， AE⊥CD，且 PC∩CD＝ C，∴AE⊥平面 PCD.

而 PD⊂平面 PCD，∴ AE⊥PD.

PA⊥底面 ABCD，∴ AB⊥PA，又 AB⊥AD，∴ AB⊥平面 PAD，∴ AB⊥PD.

又∵ AB∩AE＝ A，∴ PD⊥平面 ABE.

[ 例 2] 　已知： α⊥γ， β⊥γ， α∩β＝ l

求证： l⊥γ

[ 解析 ] 　证法 1 ：在 γ内取一点 P，作 PA垂直 α与γ的交线于 A，作 PB垂直 β与 γ的交线于 B，则 PA⊥α，PB⊥β，∵ l＝ α∩β，∴ l⊥PA， l⊥PB，∵ PA与 PB相交，又 PA⊂γ， PB⊂γ，∴ l⊥γ.

证法 2 ：在 α内作直线 m垂直于 α与 γ的交线，在 β

内作直线 n垂直于 β与 γ的交线，∵ α⊥γ， β⊥γ，∴ m⊥γ， n⊥γ，∴ m∥n，又 n⊂β，∴ m∥β，又 m⊂α， α∩β

＝ l，∴ m∥l，∴ l⊥γ.

总结评述：证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”的这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线．这是证法一、证法二的关键．

证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了 l′ 这条辅助线，这是证法三的关键．

通过此例，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法．

又在原题条件下，添加条件 b∥α， b∥β，求证 b⊥γ.在 l上任取一点 B，过 b和 B的平面交 α于过 B的直线 a′ ，交 β于过 B的直线 a″ ，

∵b∥α，∴ a′∥b，同理 b∥a″ ，∵a′ 和 a″ 同时过 B且平行于 b.

∴a′ 和 a″ 重合于直线 l，由 l⊥γ可得 b⊥γ.

如下图，已知 V是△ ABC所在平面外一点， VB⊥平面 ABC，平面 VAB⊥平面 VAC，求证：△ ABC是直角三角形．

[ 分析 ] 　灵活运用线垂直于面与面垂直于面的转化．

[ 证明 ] 　过 B作 BD⊥VA于 D，∵平面 VAB⊥平面 VAC，∴ BD⊥平面 VAC，∴BD⊥AC，又∵ VB⊥平面 ABC，∴ VB⊥AC，∴AC⊥平面 VAB，∴ AC⊥BA，即△ ABC是直角三

角形 .

[ 例 3] 　如图，已知 SA⊥平面 ABC， AB⊥BC， SA

＝ AB， SB＝ BC， E是 SC的中点， DE⊥SC交 AC于 D.

求二面角 E－ BD－ C的大小．

[解析]

BS＝BC

SE＝EC⇒ SC⊥BE

SC⊥DE

⇒ SC⊥平面BED

⇒ SC⊥BD

SA⊥平面ABC

BD⊂ 平面ABC⇒ SA⊥BD

⇒ BD⊥平面SAC

⇒∠EDC为二面角 E－ BD－ C的平面角．设 SA＝ a，则 SB＝ BC＝ a，∵BC⊥AB， SA⊥平面 ABC，∴ BC⊥SB.

∴SC＝ 2a，∠ SCD＝ 30° ，∴∠ EDC＝ 60° ，即二面角 E－ BD－ C的大小是 60°.

[例 4] 直线 l∥平面 α，在 l上任取一点 A作 AB⊥α，垂足为 B，则 AB的长为直线 l与平面 α的距离．长方体 A

BCD－ A1B1C1D1中，棱 AA1＝ 5， AB＝ 12，则直线 B1C1

与平面 A1BCD1的距离等于 __________．

[ 解析 ] 　如图，作 B1E⊥A1B，∵ A1D1⊥平面 ABB1A1，

B1E⊂平面 ABB1A1，∴ A1D1⊥B1E，

又 A1B∩A1D1＝ A1，∴ B1E⊥平面 A1BCD1，∴ B1E为

直线 B1C1到平面 A1BCD1的距离，由 BB1＝ 5 ， A1B1＝ 12 ，

∠ A1B1B＝ 90° 知 B1E＝

*如图， P为矩形 ABCD所在平面外一点，且 PA⊥平面 ABCD， Q为线段 AP的中点，若 AB＝ AP＝ 2， B

C＝ 4，则点 P到平面 BQD的距离为 ________．

[ 解析 ] 　∵ Q为线段 PA的中点，∴P点到平面 QBD的距离等于 A点到平面 QBD的距

离．在平面 AC内过 A作 BD的垂线 AE交 BD于 E，连 Q

E，∵PA⊥平面 ABCD，∴ BD⊥PA，∴BD⊥平面 QAE.

在平面 QAE内过 A作 AH⊥QE交 QE于 H.∵BD⊥AH，∴ AH⊥平面 BQD.

∴A点到面 BQD的距离为 AH.

在Rt△ ABD中，AD＝4，AB＝2，BD＝2 5 .∴ AE＝45

5.

Rt△ QAE中，QE＝ AQ2＋AE2＝215 .

∴ AH＝AQ·AEQE ＝

1×45 5

215

＝4 21

21 .

即点P到平面BQD的距离为4 21

21 .

[ 例 5] 　已知：平面 α⊥平面 β， α∩β＝ AB， a⊂α，b⊂β， a⊥b.求证： a⊥β或 b⊥α.

[ 证明 ] 　若 a⊥AB则∵ α⊥β， α∩β＝ AB，∴ a⊥β若 a不垂直于 AB，则在直线 a上取一点 C作 CD⊥A

B于点 D，所以 CD⊥β，又 b⊂β，∴ CD⊥b，又 b⊥a， CD∩a＝ c，∴ b⊥α

(1)若将上题题干改为： α⊥β， α∩β＝ AB， a⊂α，b⊂β， a、 b都不与 AB垂直，求证： a与 b不垂直．

(2)已知平面 α⊥平面 β，直线 a∥α， α∩β＝ b， a

⊥b，试判断直线 a与平面 β的位置关系．

[ 解析 ] 　 (1) 证明： ( 反证法 ) 假设 a⊥b，∵a与 AB不垂直，过 a上一点 P作 PH⊥AB于 H，∵α⊥β，∴ PH⊥β，∵ b⊂β，∴ PH⊥b，又 a⊥b， a∩PH＝ P，∴ b⊥α.∵AB⊂α，∴b⊥AB，这与条件 b与 AB不垂直矛盾，故 a与 b

不垂直．

(2) 解：过 a作平面 γ∩α＝ a′ ，∵ a∥α，∴ a∥a′ ，又 a⊥b，∴ a′⊥b，又 α⊥β，∴ a′⊥β，∴ a⊥β.

[例 6] 已知 Rt△ABC中， AB＝ AC＝， AD是斜边BC上的高，以 AD为折痕，将△ ABD折起，使∠ BDC为直角．

(1)求证：平面 ABD⊥平面 BDC.

(2)求证：∠ BAC＝ 60°.

(3)求点 A到平面 BDC的距离．(4)求点 D到平面 ABC的距离．

[ 分析 ] 　抓住等腰 Rt△ABC中 AD⊥BC，及折叠前后位于折线同侧的点、线位置关系、数量关系都不变．则有 AD⊥BD， AD⊥CD，故 (1)、 (2)、 (3)问容易求解．

对于第 (4)问，因为△ BDC也是等腰直角三角形．取BC中点 E，易得 BC⊥平面 ADE，

∴平面 ABC⊥平面 ADE，交线为 AE，于是 D点到平面 ABC的距离就是 D点到直线 AE的距离，又△ ADE

为 Rt△，故距离易求．

[ 解析 ] 　 (1)∵AD⊥BD， AD⊥DC， BD∩DC＝ D，∴AD⊥平面 BDC

又 AD⊂平面 ABD.

∴平面 ABD⊥平面 BDC.

(2)在原Rt△ ABC中，AB＝AC＝ 2，∴ BC＝2，

∴ BD＝DC＝1.又折叠后∠BDC＝90°，

∴ △ BDC为等腰Rt△，∴ BC＝ 2，

∴ AB＝BC＝AC，∴ ∠BAC＝60°

(3)在△ ABC中，易得AD＝12 BC＝1，由(1)知AD⊥平

面BDC.

∴ AD的长就是点A到平面BDC的距离值为1.

(4) 取 BC的中点 E，∵ AB＝ AC， BD＝ DC，∴ D

E⊥BC， AE⊥BC，∴ BC⊥平面 ADE，∴平面 ABC⊥平面 ADE.

过 D作 DM⊥AE于 M，则 DM⊥平面 ABC，∴ DM

的长即为 D到平面 ABC的距离．

在Rt△ ADE中，AD＝1，DE＝2

2 ，∴ AE＝6

2

∴ 斜边AE上高DM＝AD·DEAE ＝

33 ，

∴ D点到平面ABC的距离为3

3 .

[ 点评 ] 　 1°第 (4)问也可以用等积转换法解决． VA－

BDC＝ VD－ ABC.

2°要证直线与平面垂直主要从以下角度考虑．①l为 α内任一直线， a⊥l⇒a⊥α②b⊂α， c⊂α， b∩c＝ A， a⊥b， a⊥c⇒a⊥α③a∥b， b⊥α⇒a⊥α④α⊥β， α∩β＝ b， a⊂β， a⊥b⇒a⊥α3°要证平面与平面垂直主要考虑．①平面 α与 β所成的二面角为直二面角⇒ α⊥β②a⊥β， a⊂α⇒α⊥β

[ 例 7] 　正三棱锥 A－ BCD中，∠ BAC＝ 30°， AB

＝ a，平行于 AD、 BC的截面 EFGH分别交 AB、 BD、DC、 CA于点 E， F， G， H.

(1)判定四边形 EFGH的形状，并说明理由；(2)设 P是棱 AD上的点，当 AP为何值时，平面 PBC

⊥平面 EFGH？请给出说明．

[ 解析 ] 　 (1)

同理 EF∥AD，∴HG∥EF，同理 EH∥FG，∴四边形 EFGH是平行四边形，∵A－ BCD是正三棱锥，∴A在底面上的正投影 O是△ BCD的中心，∴DO⊥BC，又 AO⊥BC，∴ BC⊥平面 AOD，∴AD⊥BC，∴ HG⊥EH，四边形 EFGH是矩形．

(2) 作 CP⊥AD于 P点，连结 BP，∵AD⊥BC，∴ AD⊥面 BCP，∵HG∥AD，∴ HG⊥面 BCP，又 HG⊂面 EFGH，∴面 BCP⊥面 EFGH，在 Rt△APC中，∠ CAP＝ 30° ， AC＝ a，∴ AP＝

如图，矩形 ABCD中， AB＝ 1， BC＝ a(a>0)， PA

⊥平面 ABCD，若 BC边上的点 Q满足 PQ⊥QD，当存在两个这样的点时， a的取值范围是 ________．

[ 答案 ] 　 0.72

[ 解析 ] 　解法 1 ：∵ PQ⊥QD，又 PA⊥平面 ABCD，∴AQ⊥QD.

设 BQ＝ x(0<x<a) ，则 CQ＝ a－ x，∴AD2＝ AQ2＋ DQ2＝ AB2＋ BQ2＋ CQ2＋ DC2.

∴a2 ＝ 1 ＋ x2 ＋ (a－ x)2 ＋ 1.∴x2 － ax＋ 1 ＝ 0( )※ ．当 Δ ＝ a2－ 4>0 时， ( )※ 式有两根，从而满足条件的

点有两个，且此时方程的两根

解法2：PA⊥平面ABCD

DQ⊂ 平面ABCD⇒ PA⊥DQ

PQ⊥DQ

PQ∩ PA＝P

⇒ DQ⊥平面PAQ

AQ⊂ 平面PAQ⇒ DQ⊥AQ⇒ ∠AQD为直角．

在矩形ABCD中，边BC上存在点Q，使DQ⊥QA⇔ 以AD

为直径的圆与BC相切或相交，故a2≥ 1，∴ a≥ 2，

要求这样的点有两个，∴ a>2.

[ 点评 ] 　解法 1从方程的角度研究 a具备什么条件，才能使 BC边上存在点 Q，满足 PQ⊥QD，而解法 2从数形结合的角度研究 a应具备的条件，在学习中要注意体会和总结，要善于展开联想．

一、选择题1 ．已知两个平面互相垂直，那么下列命题中正确命

题的个数是( 　　 )

① 一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线

② 一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线

③ 过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上

④过一个平面内的任意点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面．

A． 4 B． 3 C． 2 D．1

[ 答案 ] 　 B

[ 解析 ] 　①②③正确④错误，∵垂线与交线不一定相交，故选 B.

2．在空间中，用 x、 y、 z表示不同的直线或平面，“若命题 x⊥y， x⊥z，则 y∥z”成立，则 x、 y、 z分别表

示的元素是( )

A． x、 y、 z都是直线B． x、 y、 z都是平面C． x、 y是平面， z是直线D． x是直线， y、 z是平面[ 答案 ] 　 D

[ 解析 ] 　垂直于同一条直线的两直线不一定平行故 A

错；垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，故 B 错；一条直线与一个平面都和同一个平面垂直时，直线可能在平面内，故 C 错．由线面垂直的性质知， D 正确．

3． (2010·湖北文， 4)用 a， b， c表示三条不同的直线， γ表示平面，给出下列命题：

①若 a∥b， b∥c，则 a∥c；②若 a⊥b， b⊥c，则 a⊥c；③若 a∥γ， b∥γ，则 a∥b；④若 a⊥γ， b⊥γ，则 a∥b.其中真命题的序号是

( )

A ．①② B．②③C ．①④ D．③④

[ 答案 ] 　 C

[ 解析 ] 　①平行关系的传递性．

② 举反例： 在同一平面 α内， a⊥b， b⊥

c，有 a∥c.

③举反例： 如图的长方体中， a∥γ， b∥γ，

但 a与 b相交．

④垂直于同一平面的两直线互相平行．

故①，④正确．

二、填空题4 ．直角△ ABC 所在平面 α 外一点 P 到直角顶点的距

离为 24 ，到两直角边的距离都是 6 ，那么点 P 到平面 α的距离等于 __________ ．

[ 答案 ] 　 12

[解析] 作PO⊥平面α，作OE⊥AC，OF⊥AB，则

AC⊥平面POE，AB⊥平面POF，∴ PE＝PF＝6 10，

从而OE＝OF，∴ ∠EAO＝∠FAO＝45°，

在Rt△ PAE中，PA＝24，PE＝6 10，

∴ AE2＝PA2－PE2＝216，

又在Rt△ OEA中，OE＝AE，

∴ 在Rt△ POE中，PO＝ PE2－OE2

＝ PE2－AE2＝ (6 10)2－216＝12.

5．圆柱的底面半径为 20，高为 15，有一平行于轴且距离轴为 12的截面，则这个截面的面积等于 ________．

[ 答案 ] 　 480

[ 解析 ] 　如图截面 ACC1A1 与上底面相交于 AC，作

OB⊥AC，垂足为 B，则由母线与底面垂直知， OB⊥AA1 ，

∴OB⊥平面 ACC1A1 ，由题设 OB＝ 12 ， OA＝ 20 ，

∴ AB＝ 16 ，∴ AC＝ 32 ，又 AA1＝ 15 ，∴ S＝ AC·AA1

＝ 480.

三、解答题6 ．如图，如果两个平行平面中的一个平面垂直于第

三个平面，那么另一个平面也垂直于第三个平面．已知： α∥β， α⊥γ. 求证： β⊥γ.

[ 证明 ] 　设 α∩γ＝ a， β∩γ＝ b.∵α∥β，∴ a∥b.在平面 γ内作直线 c⊥a，∵ α⊥γ，∴ c⊥α.

又 α∥β，∴ c⊥β，∵ c⊂γ，∴ β⊥γ.