第2章符号运算

23/4/10 第二章符号运算 1

第二章符号运算

MATLAB 的数学计算＝数值计算＋符号计算　　其中符号计算是指使用未定义的符号变

量进行运算，而数值计算不允许使用未定义的变量。


1. 符号变量、符号表达式和符号方程的生成

使用 sym 函数定义符号变量和符号表达式使用 syms 函数定义符号变量和符号表达式


2 、用 syms 创建符号变量使用 syms 命令创建符号变量和符号表达式语法：

syms(‘arg1’, ‘arg2’, …, 参数 ) % 把字符变量定义为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 % 符号变量

syms arg1 arg2 …, 参数 % 把字符变量定义为符号变量的简洁形

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 % 式

说明： syms 用来创建多个符号变量，这两种方式创建的符号对象是相同的。参数设置和前面的 sym 命令相同，省略时符号表达式直接由各符号变量组成。


使用 syms 函数定义符号变量和符号表达式

>> syms a b c x

>> f = a*x^2 + b*x + c

f =

a*x^2 + b*x + c

>> g=f^2+4*f-2

g =

(a*x^2+b*x+c)^2+4*a*x^2+4*b*x+4*c-2

>>

ex0201


符号方程的生成>> % 符号方程的生成>> % 使用 sym 函数生成符号方程>> equation1='sin(x)+cos(x)=1'

equation1 =

sin(x)+cos(x)=1

>>


2.2 符号形式与数值形式的转换1 、将符号形式转换为数值形式： eval 与 numeric例： a1='2*sqrt(5)+pi'

　　 a1 =　　　　 2*sqrt(5)+pi 　　 b2=numeric(a2) % 转换为数值变量　　 b2 = 　　　 7.6137

　 b3=eval(a1)

　 b3 = 　 7.6137


2.2 符号形式与数值形式的转换2 、数值形式转换为符号形式p=3.1416;

q=sym(p)

执行后屏幕显示： q=3927/1250

numeric(q)

屏幕显示：　　 ans =

　　 3.1416


2.2 符号形式与数值形式的转换3 、多项式与系数向量之间的转换

3.1 　 sym2poly: 将多项式转化为对应的系数向量　　例： syms x p; p=x^3-4*x+5; sym2poly(p)执行后屏幕显示： ans= 1 0 -4 5


2.2 符号形式与数值形式的转换3 、多项式与系数向量之间的转换3.2 　 poly2sym: 将向量转化为对应的多项式例　　 a=[1 0 -4 5]; poly2sym(a)执行后屏幕显示 ans= x^3-4*x+5

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3. 符号表达式 ( 符号函数 ) 的操作 (1) 符号表达式的四则运算syms x

f=x^3-6*x^2+11*x-6;

g=(x-1)*(x-2)*(x-3);

h=x*(x*(x-6)+11)-6;

f+g-h

执行后输出：ans =

x^3-6*x^2+11*x+(x-1)*(x-2)*(x-3)-x*(x*(x-6)+11)

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(1) 符号表达式的四则运算 >> syms x y a b >> fun1=sin(x)+cos(y) fun1 =sin(x)+cos(y)>> fun2=a+bfun2 =a+b>> fun1+fun2ans =sin(x)+cos(y)+a+b>>fun1*fun2 ans =(sin(x)+cos(y))*(a+b)

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(1) 将表达式中的括号进行展开 :expand

(2) 将表达式进行因式分解： factor

(3) 将一般的表达式变换为嵌套的形式： horner

(4) 将表达式按某一个变量的幂进行集项： collect

(5) 化简表达式： simplify

(6) 化简表达式，使之成为书写长度最短的　　形式： simple

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同一个数学函数的符号表达式的可以表示成三种形式，例如以下的 f(x) 就可以分别表示为：

多项式形式的表达方式：f(x)=x^3+6x^2+11x-6

因式形式的表达方式 (factor) ：f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)

嵌套形式的表达方式 (horner) ：f(x)=x(x(x-6)+11)-6

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集项－合并符号表达式的同类项 >> syms x y

>> collect(x^2*y + y*x - x^2 - 2*x) ans = 　　 (y-1)*x^2+(y-2)*x

>> syms x y>> collect(x^2*y + y*x - x^2 - 2*x,y)ans = 　　 (x^2+x)*y-x^2-2*x

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符号多项式的嵌套 (horner )>> syms x >> fun1=2*x^3+2*x^2-32*x+40fun1 =2*x^3+2*x^2-32*x+40>> horner(fun1)ans =40+(-32+(2+2*x)*x)*x>> fun2=x^3-6*x^2+11*x-6 fun2 = x^3-6*x^2+11*x-6>> horner(fun2)ans = -6+(11+(-6+x)*x)*x>>

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符号表达式的化简 (simplify) >> syms x>> fun1=(1/x+7/x^2+12/x+8)^(1/3)fun1 =(13/x+7/x^2+8)^(1/3)>> sfy1=simplify(fun1)sfy1 =((13*x+7+8*x^2)/x^2)^(1/3)>> sfy2=simple(sfy1)sfy2 =(13/x+7/x^2+8)^(1/3)

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subs 函数用于替换求值

>> syms x y

f = x^2*y + 5*x*sqrt(y)

f =

x^2*y+5*x*y^(1/2)

>> subs(f, x, 3)

ans =

9*y+15*y^(1/2)

>> subs(f, y, 3)

ans =

3*x^2+5*x*3^(1/2)

>>subs(f,{x,y},{1,1})

ex0202

ex0203

ex0204

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4 、反函数的运算 (finverse )

>> syms x y

>> f = x^2+y

f =

x^2+y

>> finverse(f,y)

ans =

-x^2+y

使用格式：1 、 g=finverse(f):f,g 均为单变量 x 的符号函数；2 、 g=finverse(f,t) 返回值 g 的自变量取为 t ；

23/4/10 第二章符号运算 19

5 复合函数的运算 (compose)

>> syms x y z t u

>> f = 1/(1 + x^2);

>> g = sin(y);

>> h = x^t;

>> p = exp(-y/u) ;

>> compose(f,g)

ans =

1/(1+sin(y)^2)

>> compose(f,g,t)

ans =

1/(1+sin(t)^2)

使用格式：Compose(f,g) % 返回当 f=f(y) 和 g=g(x)时　　的复合函数 f(g(x))

Compose(f,g,t) 　 % 返回的复合函数以 t为自变量，即有 f(g(t))

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6 函数的极限、导数与积分

（ 1 ）函数极限－ limit 函数的使用（ 2 ）函数求导－ diff 函数的使用（ 3 ）符号积分－ int 函数的使用

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(1) 符号极限 (limit) 假定符号表达式的极限存在， Symbolic Math Toolbox提供了直

接求表达式极限的函数 limit，函数 limit的基本用法如下表所示。limit函数的用法

表达式函数格式说明

limt(f) 对 x求趋近于 0的极限 limt(f,’x’,a) 对 x求趋近于 a的极限，当左右

极限不相等时极限不存在。

limt(f,’x’,a, ‘left’)

对 x求左趋近于 a的极限

limt(f,’x’,a, ‘right’)

对 x求右趋近于 a的极限

f(x)lim0x－＞

f(x)limax－＞

f(x)lim-ax－＞

f(x)limax ＋－＞

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符号极限 (limit)

>> syms x a t h;>> limit(sin(x)/x)ans = 1>> limit((x-2)/(x^2-4),2)ans = 1/4 >> limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf)ans =exp(6*t)

如果左右极限不相等，则极限不存在， matlab 命令窗口中显示 Nan

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(2) 符号求导

调用格式 :

一阶导数： yx=diff(f,x)

二阶导数： yxx=diff(f,x,2) 或 yxx=diff(yx,x)

三阶导数： yxxx=diff(f,x,3) 或 yxxx=diff(yxx,x)

ex0205

一、一元函数符号求导求导函数： diffdiff(f) % 求 f 对自由变量的一阶微分diff(f,t) % 求 f 对符号变量 t 的一阶微分diff(f,n) % 求 f 对自由变量的 n 阶微分diff(f,t,n) % 求 f 对符号变量 t 的 n 阶微分

23/4/10 第二章符号运算 24

(2) 符号求导二、二元函数的符号求导syms x y z z=x^4+y^4-cos(2*x+3*y); zx=diff(z,x);zy=diff(z,y); zxx=diff(zx,x);zxy=diff(zx,y); zxyx=diff(zxy,x); zx,zy,zxy,zxyx 　　　　　　　　　　　 ex0206

23/4/10 第二章符号运算 25

3 、符号积分　积分有定积分和不定积分，运用函数 int 可以求得符号表

达式的积分。语法：

int(f,t) % 求符号变量 t 的不定积分int(f,t,a,b) % 求符号变量 t 的积分int(f,t,’m’,’n’) % 求符号变量 t 的积分

说明： t 为符号变量，当 t 省略则为默认自由变量； a 和 b为数值， [a,b] 为积分区间； m 和 n 为符号对象， [m,n]为积分区间；与符号微分相比，符号积分复杂得多。因为函数的积分有时可能不存在，即使存在，也可能限于很多条件， MATLAB 无法顺利得出。当 MATLAB 不能找到积分时，它将给出警告提示并返回该函数的原表达式。

Ex0207-0208

23/4/10 第二章符号运算 26

7 、符号求和：求和函数： symsum(fn,n,n1,n2)

其中 fn 为求和通项， n 为求和的自变量， n1为起始项， n2 终止项， n2 可为任意有限正整数，也可以取到无穷 ( 即 inf)

Ex0209-10

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8 、 Taylor 展开把函数 f(x)Taylor 展开的函数： taylor(f,n,x0)

其中 :

f 为被展开的函数表达式n 为展开时指定的项数x0 为指定的展开点

ex0211

23/4/10 第二章符号运算 28

9 　方程求根MATLAB 可以用 solve 命令给出方程的数值解。语法：

solve(‘eq’,x) 　　 % 求方程关于指定变量的解solve(‘eq1’, ’eq2’,x1,x2,…) % 求方程组关于指　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　定变量的解

说明： eq 可以是含等号的符号表达式的方程，也可以是不含等号的符号表达式，但所指的仍是令 eq=0 的方程；当参数 x 省略时，默认为方程中的自由变量；其输出结果为结构数组类型。　　另外，只能用 solve 求代数方程与超越方程（含方程

组）的解，而不能用来求微分方程和积分方程的解。

ex0213 － 14 ， 02142

23/4/10 第二章符号运算 29

方程组的求解求三元方程组x2+2x+1=0

x+3z=1

yz=-1

的解

f1=sym(‘x^2+2*x+1=0’);f2=sym(‘x+3*z=1’);f3=sym(‘y*z=-1’);[x,y,z]=solve(f1,f2,f3,’x’,’y’,’z’)

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10 常微分方程的符号解MATLAB 提供了 dsolve 命令可以用于对符号常微分方程进行求解。语法：

dsolve(‘eq’,’con’,’v’) % 求解微分方程dsolve(‘eq1,eq2…’,’con1,con2…’,’v1,v2…’)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 % 求解微分方程组说明：’ eq’ 为常微分方程；’ con’ 是常微分初始条件，可省略；’ v’

为指定自由变量，省略时则默认为 x 或 t 为自由变量；输出结果为结构数组类型。　　当 y 是因变量时，微分方程’ eq’ 的表述规定为：　　 y 的一阶导数或表示为 Dy ；　　 y 的 n 阶导数或表示为 Dny 。　　微分初始条件 'con' 应写成 'y(a)=b ， Dy(c)=d' 的格式；当初始条件

少于微分方程数时，在所得解中将出现任意常数符 C1 ， C2…… ，解中任意常数符的数目等于所缺少的初始条件数。

ex0216 － 18

23/4/10 第二章符号运算 31

11. 图示化符号函数计算器

单变量符号函数计算器 – 输入框的功能 – 控制按钮的功能

泰勒级数逼近计算器

23/4/10 第二章符号运算 32

（ 1 ）单变量符号函数计算器使用 funtool 函数来调用图示化单变量符号函数计算器

23/4/10 第二章符号运算 33

（ 2 ）泰勒级数逼近计算器

使用 taylortool 函数来调用图示化泰勒级数逼近计算器

23/4/10 第二章符号运算 34

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第2章符号运算