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复习. 1. 连续函数的三个等价定义 ;. 2. 间断 点的分类与判别 ;. 可去间断点. 第一类间断点. 跳跃间断点. 间断点. 第二类间断点 :. 无穷间断点 , 振荡间断点. 至少一个不存在. 基本初等函数 在 定义域内 连续. 连续函数的 四则运算 结果仍连续. 初等函数在定义区间内 连续. 单调连续函数 的 反函数单调 连续. 复合函数 的连续性 ( 两个定理 ). 利用函数的连续性求极限. 说明 : 分段函数在界点处是否连续需讨论 其左 、 右 连续性. 定义域与定义区间的区别. - PowerPoint PPT Presentation
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2. 间断点的分类与判别 ;
1. 连续函数的三个等价定义 ;
第一类间断点
第二类间断点 :
间断点
可去间断点
跳跃间断点
无穷间断点 , 振荡间断点 .
0 0( ), ( )f x f x ( 存在)
0 0( ) ( )f x f x ( )
0 0( ) ( )f x f x ( )
.0 0( ), ( )f x f x 至少一个不存在
复习
基本初等函数在定义域内连续
连续函数的四则运算结果仍连续
单调连续函数的反函数单调连续
复合函数的连续性 ( 两个定理 )
初等函数在定义区间内连续
说明 : 分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右 连续性 .
利用函数的连续性求极限
定义域与定义区间的区别
常用等价无穷小 : ( 0)x
1 ~xe 1 ~xa
ln(1 ) ~x log (1 ) ~a x
1
(1 ) 1 ~nx (1 ) 1 ~x
2
~ sin ~ tan ~ arcsin ~ arctan
11 cos ~ .
2
x x x x x
x x
,x ln ;x a
,x log ;ax e
,x
n.x
第十节闭区间上连续函数性质
一、有界性与最值定理
二、零点定理与介值定理
一、有界性与最值定理
定义
0( ) ( ),f x f x使得 都有 则称 为函数函数 在区间 I 上有定义,如果有( )f x 0x I
x I 0( )f x
在区间 I 上的
( )f x
最小值 .最大值 .
0( ) ( ),f x f x
函数 y=sgn x 在区间 (- +) 内,
( , ) , 在 上 min 1;y
(0, ) ,在 上 max min 1.y y
max 1,y
例如 ,
无最大值和最小值
xo
y
1
1
2
2
也无最大值和最小值
并非任何函数都有最大值和最小值应注意的问题 :
, ( 0, 1)y x x
1 , 0 1
( ) 1 , 1
3 , 1 2
x x
f x x
x x
xo
y1
1
注意 : 若函数在开区间上连续 ,
结论不一定成立 .
定理 1.
1 2
或在闭区间内有间断 点 ,
最大值和最小值 .
在闭区间上连续的函数在该区间上一定有
即 : 设 ( ) [ , ] ,f x C a b
使得
则
1 2, [ , ] ,a b
1( ) min ( )a x b
f f x
2( ) max ( )a x b
f f x
x
y
a b
( )y f x
O
m
M
由定理 1 可知有证:
推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界 .
b x
y
a
( )y f x
O
( ) [ , ] ,f x C a b设
[ , ]max ( ) ,x a b
M f x
[ , ]min ( )x a b
m f x
[ , ] ,x a b 故
( ) ,m f x M 有
上有界 .( ) [ , ]f x a b因此 在
二、零点定理与介值定理
定义:
( ) 0f ,如果 则称 为函数 的零点 .
( )f x
定理 2 ( 零点定理 )则至少有一点
且使得
( ) [ , ] ,f x C a b ( ) ( ) 0f a f b
) ,( ,a b ( ) 0 .f 若
x
y
a
b
)(xfy
O
b x
y
a
)(xfy
O
若连续曲线弧 的两个端点位于 轴的不同侧,x)(xf
x则曲线弧与 轴至少有一个交点。
x
y
ab
)(xfy
O
注意:若连续曲线弧的两个端点位于 轴的同侧, 则结论不一定成立。
x
例 1. 方程 在区间 内至少有一个根3 24 1 0x x (0,1)
证明 设 3 24 1,( )f x x x 则 [ , .) 1]( 0f Cx
由于 1 0, (1)(0) 2 0,ff
根据零点定理
( ) 0,f x 即 3 24 1 0.xx
从而方程 3 24 1 0xx 在区间 内至少有一个根(0,1)
在 内至少有一点 ,使得 (0,1) x
例 1. 方程 在区间 内至少有一个根3 24 1 0x x (0,1)
可用此法求近似根 .
0 1 x
二分法
34
12
取 的中点,[0,1]2
,1
x ( )1
20,
1
8f
1 0, (1)(0) 2 0,ff
内必有方程的根;
则 (1
2,1)
取 的中点,1[ ,1]2
,4
3x
( 03
4) ,f 内必有方程的
根;则 (
1
2,3
4) 如此继续
定理 3. ( 介值定理 )设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C ,有一点 使得
至少( ) .f C ( , ) ,a b
( ) , ,f b B A B
( ) [ , ] ,f x C a b ( ) ,f a A
C
x
A
b
y
a
( )y f x
B
O
证 : 作辅助函数
且
使得
即 ( ) .f C
故由零点定理知 , 至少有一点 ( , ) ,a b
( ) 0,
( ) ( )a b ( )( )A C B C 0
( ) ( )x f x C
则 ( ) [ , ] ,x C a b
推论 : 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与
最大值之间的任何值 .
C
x
A
b
y
a
( )y f x
B
O
定理 3. ( 介值定理 )设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C ,有一点 使得
至少( ) .f C ( , ) ,a b
( ) , ,f b B A B
( ) [ , ] ,f x C a b ( ) ,f a A
定理 2 ( 零点定理 )则至少有一点
且使得
( ) [ , ] ,f x C a b ( ) ( ) 0f a f b
) ,( ,a b ( ) 0 .f 若
证
由零点定理 ,
( , ),a b 使得 ( ) ( ) 0,F f
( ) .f 即
例 2 设函数 在区间 上连续,且
证明 使得
( )f x [ , ]a b ( ) ,f a a
( ) .f b b ( , ),a b ( ) .f
( ) ( ) ,F x f x x 令 则 在 上连续,( )F x [ , ]a b
( ) ( )F a f a a 而
( ) ( )F b f b b 0,
0,
必 使得1 2 1 2, ( , ) , ,x x a b x x 1 2[ , ],x x
1 2( ) ( ) ( ) .f f x f x
例 3. 设 在 [a, b] 上连续 , 且恒为正 , 试证明 :
证 令 21 2( ) ( ) ( ) ( ),F x f x f x f x 则 ( ) [ , ].F x C a b
1 2( ) ( )F x F x 1 2( ) ( )f x f x 21 2[ ( ) ( )]f x f x 0
1 2( ) ( )f x f x当 时 , 取 2 ,x 1x 或 则有
1 2( ) ( ) ( )f f x f x
当 时 ,1 2( ) ( )f x f x ( ) 0,f x 1 2( ) ( ) 0,F x F x
故由零点定理知 , 1 2[ , ],x x 使得 ( ) 0.F 即
1 2( ) ( ) ( ) .f f x f x
( )f x
提示 :
则
( ) [0, 2 ] ,f x C a (0) (2 ) ,f f a 证明至少存在[0, ],a 使
练习 .
一点 ( ) ( ).f f a
易证 (0) ( ) 0a
注意分析 的情况 . (0) ( )=0a
令 ( ) ( ) ( ) ,x f x a f x
( ) [0, ],x C a
至少有一个不超过 4 的正根。
证:
证明
且显然 ,
3 1xx e 例 4.
令 3( ) 1xf x x e
在闭区间 上连续,( )f x [0,4]
(0)f 3 1e 0
(4)f 4 34 1e 3 0e
根据零点定理 ,
原命题得证 .
内至少存在一点在开区间 (0 , 4)
(0 ,4) , ( ) 0,f 使得
例 5. 证明奇次多项式
证:
至少存在一个实根 .
2 1 20 1 2 1( ) n n
nP x a x a x a
( ) ( , )P x C
2 1 2 110 2 1
( ) ( )n nn
aaP x x a
x x
不妨设 0 0a
lim ( ) , lim ( )x x
P x P x
0, ( ) 0, ( ) 0r P r P r 使
( , ), ( ) 0.c r r P c 使根据零点定理
例 6.
证 : ( ) [ , ],f x C a b
( ) [ , ]f x a b M 在 上有最大值 ,m及最小值
( ) ( )mf c nf d ( )m n M
[ , ],a b 存在 使得 ( ) ( )( )
mf c nf df
m n
( ) ( ) ( ) ( ) .mf c nf d m n f
( )m n m 故
( ) ( )mf c nf dm M
m n
即
由介值定理 ,
( ) [ , ],f x C a b设 且 a c d b , 证明 :
必有一点 [ , ],a b 使得 ( ) ( ) ( ) ( ) .mf c nf d m n f
练习 . 设 且 至少有一点 使得证明 :
( ) [ , ],f x C a b1 2 na x x x b
[ , ],a b
1 2( ) ( ) ( )( ) nf x f x f x
fn
证 : 由于 在 上连续 , 故必在 上 ( )f x [ , ]a b [ , ]a b
取得最大值和最小值 .
( 3)n
1
[ , ] [ , ]
( ) ( ) min ( ) max ( )n
x a b x a b
f x f xf x f x
n
由介值定理知结论成立 .
由于
提示 : 建立坐标系如图 .
xO
y
因
故由介值定理可知 :
0 ( , ) , 0( ) .
2
AS 使
( )S
任给一张面积为 A 的纸片 ( 如图 ),
证明必可将它一刀剪为面积相等的两片 .
例 7.
则面积函数 ( ) [ , ]S C
( ) 0,S ( )S A
内容小结
4. 当 0)()( bfaf 时 , ,),( ba 使 .0)( f时必存在
在)(.1 xf ],[ ba 上有界 ;
上达到最大值与最小值 ;在)(.2 xf ],[ ba
上可取最大与最小值之间的任何值 ;
在)(.3 xf ],[ ba
( ) [ , ],f x C a b设 则
思考题 下述命题是否正确?
则 在 内必有零点 .
且( )f x
( ) ( ) 0.f a f b ( , )a b( )f x
若 在 上有定义, [ , ]a b 在 内连续, ( , )a b
思考题解答 不正确 .
例 函数, 0 1
( )2, 0
e xf x
x
在 内连续, (0,1)
(0) (1) 2 0.f e 但 在 内无零点 . (0, 1)( )f x
提高题 1. 设 且
至少有一点 使得
证明 :( ) [0,1],f x C (0) (1),f f
0 [0,1],x 0 0
1( ) ( ).
3f x f x
证 : 令 1( ) ( ) ( ),
3g x f x f x 则 2
( ) [0, ].3
g x C
0 0
2 [0, ], ( ) 0,
3x g x 若 使 则命题得证 .
否则,在 2[0, ] , ( ) 0 ( ) 0.
3g x g x 上 必有 或
2[0, ], ( ) 0.
3x g x 有不妨设
1( ) ( ) ( ),
3g x f x f x
2[0, ], ( ) 0.
3x g x 有
1(0) (0) ( ) 0
3g f f
1 1 2( ) ( ) ( ) 03 3 3
g f f
2 2( ) ( ) (1) 03 3
g f f
(0) (1)f f
与题设 矛盾!(0) (1)f f 0 0
2[0, ], ( ) 0.
3x g x 故 使
0 0 0
1[0, 1], ( ) ( ).
3x f x f x 即 使
2. 研究方程 的实根解:
3 9 1 0x x 3( ) 9 1f x x x 令
( 3) 1 0,f 试算: ( 2) 9 0f
从而方程在 内有一实根 1x( 3, 2)
( 1) 7 0,f (0) 1 0f
从而方程在 内有一实根 2x( 1,0)
(3) 1 0,f (4) 27 0f
从而方程在 内有一实根 3x(3,4)
根据代数基本定理三次多项式最多有三个实根 ,
故 为方程的全部实根 .1 2 3, ,x x x
3. 证明方程
证:
至少有两个实根 .
则 在开区间 内分别连续 .( )f x (1, 2) (2, 3)和
5 7 160
1 2 3x x x
5 7 16( )
1 2 3f x
x x x
令
1 1
5 7 16lim ( ) lim( )
1 2 3x xf x
x x x
2 2
5 7 16lim ( ) lim( )
1 2 3x xf x
x x x
利用无穷大量的定义可以证明,存在闭区间[ , ] (1, 2),a b ( ) 0, ( ) 0.f a f b 使得
根据零点定理, 1 1[ , ], ( ) 0.x a b f x 使得
5 7 16, : 0
1 2 3x x x
即 方程 在区间 [a, b] 上,
从而在区间 (1,2) 内至少有一个实根 .
同理可证 5 7 16: 0
1 2 3x x x
方程
在区间 (2,3) 内至少有一个实根 .
综上,方程至少有两个实根 .
作 业
• P74 : 2 , 3, 5.
作业提交时间: 2012 年 10 月 22 日上午8:00