2 dimensional bit vector approach

Mikio Kubo

TIGER/Line graph DC.tmp 　　 9559 nodes and 29818 arcs

Shortest Paths between all border nodes of 2 regions

Source regionborder nodes (red) and other nodes (yellow)

Target region

border nodes (red) and other nodes (yellow)

Connecting network

After concatenation of degree 2 nodes

After shrinking the nodes aroundthe source and target regions

By storing all shortest path length between transit (cut) nodes, the shortest path problem between 2 regions is reduced to the problem on the graph above.

TIGER/Line graph USA-road-d.NY264346 nodes and 733846 arcs

degree frequency histogram [0, 28, 440, 32]

Arcs on shortest paths between border nodes (red)

Connecting network and the graph after concatenation and shrinking the nodes in the regions

終点領域から遠い順に最短路を解き，最短路木内の点を削除する（ 59 回解くべきところを 25 回に削減）

始点付近の拡大図

Implementation

(Python +networkX)

Read data and construct graph

n=len(x_cord) for i in range(n): # 点集合の追加 G.add_node(i) G.position[i]=(x_cord[i], y_cord[i]) m=len(edge_info) for (i,j,length) in edge_info: # 枝集合の追加 G.add_edge(i,j,length)

from pylab import *from networkx import * # モジュールの読み込みG=XGraph() # グラフインスタンスの生成G.position={} # 座標保管用の辞書

点の座標のリスト x_cord[],y_cord[] 　枝情報 (i,j,length) のリスト edge_info[]

draw(G,G.position,node_size=1000/n,with_labels=None,width=1,node_color='b',edge_color='g')

グラフの表示（ position 指定，サイズ 1000/n, ラベルなし，線幅 1 ，点色 b ，枝色 g ）

最大の連結成分の抽出

# グラフ G の最大の連結成分（ 0 番目）を H に入れる H=connected_component_subgraphs(G) [0]

# 点の座標の更新 H.position={} for node in H.nodes_iter(): (x,y)=G.position[node] H.position[node]=(x,y)

connected_component_subgraphs(G) は networkX の関数

バケット（ 2 次元格子）に点を入れる

バケットの準備# 各バケットにおおよそ 100 の点を入れるようにバケット数を決めるn_bucket=int(sqrt(n/100))

# バケット (i,j) に所属する点のリストを準備bucket=[ [ [] for i in range(n_bucket) ] for j in range(n_bucket) ]

G.bucket={} # 点の所属するバケットを保管する辞書を準備

for node in G.nodes_iter(): (x,y)=G.position[node] i=int(x*n_bucket) j=int(y*n_bucket) bucket[i][j].append(node) # バケット (i,j) のリストに点を追加 G.bucket[node]=(i,j) # 辞書にバケット番号を保管

バケットの縁の点集合

# 縁の点集合を保管するリストの準備border=[[[] for i in range(n_bucket)] for j in range(n_bucket)]

for i in range(n_bucket): for j in range(n_bucket): if len(bucket[i][j])>0: # 空でないバケットに対して for node in bucket[i][j]: for n1 in G.neighbors(node): # 隣接点集合（ networkX ） if G.bucket[node] <> G.bucket[n1]: # 隣接点が異なるバケットに含まれているなら # 縁の点集合に追加

border[i][j].append(node)

点の重複の除去

startnodes=set(border[start_i][start_j])

開始バケット（ stgart_i,start_j) の縁の点集合の抽出

set() はリストから集合（重複がない要素の集まり）を抽出する関数

2 バケット間の最短路計算paths=[] # パスを保管するリストの準備for s in set(border[start_i][start_j]): #networkX の最短路は遅い ->BoostGraphLibrary(BGL) を利用 pred=BoostGraph.findAllShortestPath(s) for t in set(border[end_i][end_j]):

dst=t 　＃終点 t から最短路木を辿る sp = [dst] while s != dst: # 最短路木の前の点 pred へ移動 dst=BoostGraph.vertexesid[ pred[BoostGraph.vertexes[dst]] ] sp.append(dst) sp.reverse() # 終点からの点列を逆にする paths.append(sp) # パスリストに追加

G.clear() # グラフのクリアfor sp in paths: G.add_path(sp) # パスの追加

# ３倍の枝幅で描画 draw(G,G.position,node_size=1000/n,with_labels=None, width=3,node_color='b',edge_color='r')

点の次数のヒストグラム

degseq=G.degree() 　 # 次数を計算してリストを返す関数dmax=max(degseq)+1 # 最大の次数を計算（ max は python の関数）freq= [ 0 for d in range(dmax) ] # 頻度を保管するリストの準備for d in degseq: freq[d] += 1

print "degree frequency histgram",freq

結果 degree frequency histgram [0, 39, 648, 97, 18]