2. Funktiot

Keijo Ruotsalainen

Mathematics Division

Kompleksimuuttujan funktio

◮ Kompleksimuuttujan z kompleksiarvoinen funktio f (z) voi ollayksiarvoinen tai moniarvoinen, esimerkiksi

f (z) = ez yksiarvoinen

f (z) =√

z kaksiarvoinen

◮ käänteisfunktio: Jos w = f (z), niin merkitäänz = g(w) = f −1(w). Funktio f −1 on f :n käänteisfunktio (joka voiolla moniarvoinen).

Funktioiden kuvausominaisuuksia

Esim. 1

Funktio f (z) = z2.

Esim. 2

Miksi käyräksi funktio f (z) = z2 + z kuvaa suoran y = x?

Esim. 3

Analogisen systeemin, jonka Laplace-siirtofunktio onrationaalifunktio Ha(s), digitaalinen vaste (derivaatanapproksimointimenetelmällä) saadaan kun s korvataan lausekkeella1−z−1

Teli H(z) = Ha(s)

∣

∣

∣

s= 1−z−1

T

. Kuvaus s = 1−z−1

T, eli

z = 11−sT

, kuvaa vasemman puolitason (12, 0)-keskiseksi

12-säteiseksi kiekoksi.

Polynomit

◮ Polynomifunktio P(z) = a0zn + a1z

n−1 + · · ·+ an−1z + an,.Kertoimet ai ∈ C, a0 6= 0. Luonnollinen luku n on P(z):n aste.

◮ Polynomiyhtälöllä a0zn + a1z

n−1 + · · ·+ an−1z + an = 0 on n

juurta z1, z2, . . . , zn (joista jotkut voivat olla samoja). Lisäksi sevoidaan kirjoittaa muotoon

a0(z − z1)(z − z2) · · · (z − zn) = 0.

◮ Jos z on yhtälön ratkaisu ja kertoimet a0, . . . , an reaalilukuja, niinmyös z̄ on ratkaisu (osoita).

Rationaalifunktio

◮ Rationaalifunktio on R(z) = P(z)Q(z) , missä P ja Q ovat polynomeja.

◮ Möbius - muunnos l. bilineaarikuvaus on

w =az + b

cz + d, missä ad − bc 6= 0.

◮ Lineaaristen systeemien (suodattimien tms.) siirtofunktiot ovatuseimmiten rationaalifunktioita.

◮ Q:n nollakohdat ovat (yleensä) R :n napoja ja P :n nollakohdat R :nnollia.

Navan kertaluku

◮ Jos on olemassa positiivinen kokokaisluku n, jolle

limz→z0

(z − z0)nf (z) = A 6= 0,

niin z0 on f :n kertalukua n oleva napa.

◮ Jos n = 1, z0:aa sanotaan yksinkertaiseksi navaksi.

◮ Huom. Lineaarisen systeemin stabiilisuutta voidaan tutkiamääräämällä siirtofunktion (jos se on rationaalifunktio)napojen sijainti.

Esimerkki

Esim. 4

Etsi kuvaus, joka kuvaa vasemman puolitason {z |Re z ≤ 0}yksikkökiekoksi {z ||z | ≤ 1}.

Eksponenttifunktio

f (z) = ez = ex+jy = exe jy = ex(cos y + j sin y)

Ominaisuuksia:

ez1ez2 = ez1+z2 , |ez | = ex > 0

ez+k2πj = ez , 2πj - jaksollinen

|e jϕ| = 1, arg e jϕ = ϕ, ϕ ∈ R

ez +···+z ez ez ez

Kuvausominaisuuksia

z → ez merk= w , w = |w |e jϕ ⇔ exe jy = |w |e jϕ

⇔{

ex = |w | > 0

y = ϕ mod 2π⇔

{

x = ln |w |y = arg w = Arg w + k2π

eli arvo w = ez saavutetaan z:n arvoilla

z = ln |w |+ j arg w . (1)

lisää ominaisuuksia

1. Imaginaariakseli kuvautuu yksikköympyräksi |e jϕ| = 1.

2. Suora x = vakio kuvautuu ympyräksi |w | = ex

3. Suora y = c kuvautuu origosta alkavaksi puolisuoraksi, jokakulkee pisteen e jc kautta

4. Jokainen 2π:n levyinen vyöhyke {y0 ≤ Im z < y0 + 2π}täyttää kuvajoukon C \ {0} täsmälleen kerran.

Logaritmifunktio

◮ Jos w = ez , määritellään logaritmifunktio (moniarvoinen)

z = log w , w ∈ C, w 6= 0.

◮ Kaavan (1) mukaan

log w = ln |w |+ j arg w (2)

eli

log w = ln |w |+ j Argw + jk2π, k = 0,±1,±2, . . . . (3)

Logaritmin haarat

◮ Kiinteällä k :n arvolla saadaan yksiarvoinen funktio, jotasanotaan logaritmifunktion haaraksi.

◮ Päähaara (k = 0) on

Log w = ln |w |+ j Argw . (4)

◮ Logaritmin pääarvo = päähaaran arvo.

Logaritmin laskulait

Yleiselle logaritmifunktiolle log w pätevät normaalit laskulait:

log w1w2 = log w1 + log w2

ja

logw1

w2

= log w1 − log w2.

Näissä on kiinnitettävä oikeat haarat.

Esimerkkejä

Esimerkki 5

H(ω) = |H(ω)|e jθ(ω), log H(ω) = ln |H(ω)|+ jθ(ω), α(ω) = ln |H(ω)|on systeemin vahvistus (gain).

Esimerkki 6

Kirjoita a)log(−1 + j), b) log(j), c) log(−1) muotoon a + bj .

Esimerkki 7

Ratkaise yhtälö e4z + 4e2z + 8 = 0. Anna ratkaisut z muodossaz = x + jy .

Yleinen potenssi

Koskaz = e log z ja log z = ln |z|+ j arg z,

määritellään Yleinen potenssi:

zw = ew log z , w ∈ C, z 6= 0.

Esimerkki 8

Kirjoita (1 + j)(−1+j)

muotoon a + bj .

◮ zw (jopa |zw | jos Imw 6= 0) on moniarvoinen funktio

◮ Kukin haara saadaan kiinnittämällä logaritmin haara.

◮ Kun logaritmin haara on kiinnitetty, niin

zw1+w2 = e(w1+w2) log zew1 log z+w2 log z

= ew1 log zew2 log z = zw1zw2 .

Trigonometriset funktiot

Määritellään

sin z =e jz − e−jz

2j, cos z =

e jz + e−jz

2, z ∈ C,

tan z =sin z

cos z, z 6= π

2+ kπ, cot z =

cos z

sin z, z 6= kπ.

Ominaisuuksia

1. sin2 z + cos2 z = 1

2. e jz = cos z + j sin z , e−jz = cos z − j sin z

3. sin(z1 + z2) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2,cos(z1 + z2) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2

4. sin z :n ja cos z :n nollakohdat ovat reaalisia, z = kπ,z = (k + 1

2)π

5. sin z on pariton, cos z on parillinen

6. sin z ja cos z ovat 2π-jaksollisia

7. cos z = cos x cosh y − j sin x sinh y ,sin z = sin x cosh y + j cos x sinh y

8. sin z ja cos z eivät ole rajoitettuja!

9. sin z ja cos z saavuttavat jokaisen kompleksilukuarvon!

Esimerkki

Esimerkki 9

Sinin kuvausominaisuuksia: sin z kuvaa suorat y = y0 ellipseiksi.Miksi kuvautuvat suorat x = x0?

Arcus - funktiot

◮ Kun sin z = w , määritellään z = arcsin w , w ∈ C.

◮ Arcussini on moniarvoinen, z = arcsinw = −j log(jw +√

1 − w2).

◮ Arcuskosini z = arccosw = −j log(w +√

w2 − 1), w ∈ C.

◮ Tangentin ja kotangentin käänteisfunktiot määritellään:

arctanw =1

2jlog

1 + jw

1 − jw, arccotw =

1

2jlog

w + j

w − j, w 6= ±j .

Hyperboliset funktiot ja area - funktiot

Määritellään

sinh z =ez − e−z

2, cosh z =

ez + e−z

2,

tanh z =sinh z

cosh z=

ez − e−z

ez + e−z, z 6= j(

π

2+ kπ),

coth z =cosh z

sinh z=

ez + e−z

ez − e−z, z 6= jkπ.

Hyperpolisten ja trigonometristenfunktioiden yhteys

sin jz =e j ·jz − e−j ·jz

2j=

e−z − ez

2j= −j

e−z − ez

2= j sinh z

cos jz = cosh z tan jz = j tanh z

sinh jz = j sin z , cosh jz = cos z , tanh jz = j tan z

Ominaisuuksia

◮ cosh2 z − sinh2 z = 1, sinh(−z) = − sinh z , jne.

◮ Käänteisfunktiot eli area-funktiot ovat

sinh−1 z = log(z +√

z2 + 1), cosh−1 z = log(z +√

z2 − 1),

tanh−1 z =1

2log

1 + z

1 − z, coth−1 z =

1

2log

z + 1

z − 1.

Raja-arvo, jatkuvuus

Määritelmä

Olkoon f (z) yksiarvoinen funktio pisteen z = z0 ympäristössä,paitsi mahdollisesti pisteessä z = z0. Luku l ∈ C on f (z):nraja-arvo kun z → z0, jos jokaista ǫ > 0 kohti on olemassa δ > 0:

|f (z)− l | < ǫ, kun 0 < |z − z0| < δ.

Merkitään limz→z0

f (z) = l tai f (z) → l kun z → z0.

Kompleksifunktio f (z) voidaan hajoittaa reaaliosaan u jaimaginaariosaan v ;

u(x , y) = Re f (z), v(x , y) = Im f (z),

◮ Huom. Kompleksifunktiox + jy = z → f (z) = u + jv = u(x , y) + jv(x , y) ↔Vektorikenttä (x , y) → (u, v) = (u(x , y), v(x , y))

◮ Selvästi

limz→z0=x0+jy0

f (z) = l = a+jb ⇔

lim(x ,y)→(x0,y0)

u(x , y) = a

lim(x ,y)→(x0,y0)

v(x , y) = b,

joten kompleksifunktion raja-arvolle pätevät vastaavattulokset kuin kahden muuttujan reaalifunktion raja-arvolle.

Jatkuvuus

Määritelmä

Funktio f : A → C on jatkuva pisteessä z0 ∈ A, jos

limz→z0

f (z) = f (z0).

◮ f = u + jv jatkuva ⇔ u ja v jatkuvia.

◮ Kompleksilukujonon (zn) raja-arvo on z ∈ C, jos jokaistaǫ > 0 kohti on olemassa N:

|zn − z | < ǫ, kun n > N.

Merkitään z lim z tai z z n .

Hyödyllistä tietoa

Selvästi: Jos zn = xn + jyn ja z = x + jy , niin

zn → z ⇔{

xn → x

yn → y .

Lause

Olkoon zn 6= 0 ja z 6= 0. Tällöin

zn → z ⇔{

|zn| → |z|arg zn → arg z mod 2π