2 Inter 2010

8/8/2019 2 Inter 2010

http://slidepdf.com/reader/full/2-inter-2010 1/22

G A L E R K I N - W A V E L E T M E T H O D S

F O R T W O - P O I N T B O U N D A R Y V A L U E P R O B L E M S

J I N - C H A O X U

y

A N D W E I - C H A N G S H A N N

y y

A b s t r a c t . A n t i - d e r i v a t i v e s o f w a v e l e t s a r e u s e d f o r t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s . O p t i m a l e r r o r

e s t i m a t e s a r e o b t a i n e d i n t h e a p p l i c a t i o n s t o t w o - p o i n t b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s o f s e c o n d o r d e r . T h e o r t h o g o n a l p r o p e r t y

o f t h e w a v e l e t s i s u s e d t o c o n s t r u c t e c i e n t i t e r a t i v e m e t h o d s f o r t h e s o l u t i o n o f t h e r e s u l t a n t l i n e a r a l g e b r a i c s y s t e m s .

N u m e r i c a l e x a m p l e s a r e g i v e n .

K e y w o r d s . w a v e l e t s , n i t e e l e m e n t m e t h o d , t w o - p o i n t b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m , c o n j u g a t e g r a d i e n t m e t h o d , p r e -

c o n d i t i o n e r , p i e c e w i s e l i n e a r h i e r a r c h i c a l b a s i s

S u b j e c t c l a s s i c a t i o n s : A M S ( M O S ) : 6 5 N 3 0 , 6 5 N 1 3 , 6 5 F 1 0 ; C R : G 1 . 8 .

1 . I n t r o d u c t i o n . I n t h i s p a p e r , w e s h a l l s t u d y w a v e l e t f u n c t i o n s a p p l y i n g t o t h e n u m e r i c a l

s o l u t i o n o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s . W a v e l e t s i n o u r c o n s i d e r a t i o n s a r e t h o s e d i s c o v e r e d b y D a u b e c h i e s

i n 1 9 8 8 7 ] , w h i c h h a v e c o m p a c t s u p p o r t s a n d f o r m a n o r t h o n o r m a l b a s i s o f L

2

( R )

T h e i d e a o f w a v e l e t s m a y b e t r a c e d b a c k t o C a l d e r o n 2 ] a n d C o i f m a n a n d W e i s s 4 ] . M o d -

e r n i d e a s g r o w o u t o f a p p l i c a t i o n s i n s i g n a l p r o c e s s i n g , c f . L i e n a r d 1 9 ] , R o d e t 2 4 ] a n d G o u p i l -

l a u d , G r o s s m a n n a n d M o r l e t 1 2 ] . E a r l i e r m a t h e m a t i c a l a n a l y s i s o f w a v e l e t s c a n b e f o u n d i n

S t r o m b e r g 2 6 ] , G r o s s m a n n a n d M o r l e t 1 4 ] a n d M e y e r 2 2 ] . I n r e c e n t y e a r s , w a v e l e t s h a v e b e e n

s t u d i e d b y M e y e r a n d h i s g r o u p u s i n g t h e m u l t i r e s o l u t i o n f r a m e w o r k , c f . M a l l a t 2 0 ] a n d M e y e r 2 3 ] .

T h e m u l t i r e s o l u t i o n a p p r o a c h h a s l e a d t o t h e d i s c o v e r y o f a f a m i l y o f w a v e l e t s w i t h c o m p a c t s u p -

p o r t s b y D a u b e c h i e s i n 1 9 8 8 7 ] . F o r t h e a p p l i c a t i o n o f w a v e l e t s t o p r a c t i c a l p r o b l e m s , w e r e f e r t o

5 , 6 , 1 0 , 1 3 , 1 7 , 1 8 , 2 1 ] .

A p p l y i n g w a v e l e t s t o d i s c r e t i z e d i e r e n t i a l e q u a t i o n s a p p e a r s t o b e a v e r y a t t r a c t i v e i d e a . I n

n i t e e l e m e n t t y p e m e t h o d s , p i e c e w i s e p o l y n o m i a l t r i a l f u n c t i o n s m a y b e r e p l a c e d b y w a v e l e t s .

S u c h a n i d e a w a s e x p l o r e d b y G l o w i n s k i , L a w t o n , R a v a c h o l a n d T e n e n b a u m 1 0 ] ( s e e a l s o t h e

u n p u b l i s h e d t e c h n i c a l r e p o r t s c i t e d t h e r e i n ) . M a n y i n t e r e s t i n g n u m e r i c a l e x a m p l e s i n t h e i r p a p e r

s u g g e s t t h a t w a v e l e t s h a v e g r e a t p o t e n t i a l i n t h e a p p l i c a t i o n t o t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f d i e r e t i a l

e q u a t i o n s .

A t t h i s s t a g e o f r e s e a r c h , a t h o u r o u g h s t u d y o f o n e d i m e n s i o n a l p r o b l e m s i s s t i l l n e c e s s a r y

a n d t h e o r e t i c a l l y i m p o r t a n t . T h e s i m p l e s t c a s e w o u l d b e t h e t w o - p o i n t b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m

f o r t h e s e c o n d o r d e r e l l i p t i c e q u a t i o n , b u t h o w t h e w a v e l e t s c a n b e a p p r o p r i a t l y u s e d i n t h i s c a s e

i s s t i l l n o t c l e a r . I f t h e w a v e l e t s a r e u s e d d i r e c t l y a s t r i a l f u n c t i o n s , a s i s d o n e i n 1 0 ] , s e v e r a l

d i c u l t i e s w o u l d b e e n c o u n t e r e d . F i r s t , d u e t o t h e l a c k o f r e g u l a r i t y , \ l o w e r o r d e r " w a v e l e t s c a n

n o t b e e m p l o y e d . S e c o n d l y , D i r i c h l e t b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s c a n n o t b e a p p l i e d d i r e c t l y b e c a u s e

t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e h a r d t o i m p o s e o n s u b s p a c e s . T h i r d l y , t h e o r t h o g o n a l i t y , o n e o f t h e

m a i n f e a t u r e s o f w a v e l e t s , d o e s n o t p l a y a n y s i g n i c a n t r o l e s .

I n t h i s p a p e r , w e s h a l l t a k e a d i e r e n t a p p r o a c h . I n s t e a d o f u s i n g w a v e l e t s d i r e c t l y , w e t a k e t h e i r

a n t i - d e r i v a t i v e s a s t r i a l f u n c t i o n s . I n t h i s w a y , s i n g u l a r i t y i n t h e w a v e l e t s i s s m o o t h e d , t h e b o u n d a r y

c o n d i t i o n c a n b e t r e a t e d e a s i l y a n d t h e o r t h o g o n a l i t y i s u s e d t o c o n s t r u c t e c i e n t a l g o r i t h m s t o

s o l v e t h e u n d e r l y i n g a l g e b r a i c s y s t e m . M o r e o v e r , w e c a n d e v e l o p a r a t h e r c o m p l e t e t h e o r y i n m o s t

i m p o r t a n t a s p e c t s o f o u r a l g o r i t h m .

O u r a p p r o a c h w a s m o t i v a t e d b y t h e o b s e r v a t i o n t h a t t h e d i e r e n t i a t i o n o f t h e s o - c a l l e d h i e r -

a r c h i c a l b a s i s f u n c t i o n s ( c f . 2 7 , 2 8 ] ) i n o n e d i m e n s i o n a l p i e c e w i s e l i n e a r n i t e e l e m e n t s a r e e x a c t l y

y

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , T h e P e n n s y l v a n i a S t a t e U n i v e r s i t y , U n i v e r s i t y P a r k , P A 1 6 8 0 2 .

x u @ m a t h . p s u . e d u . T h i s w o r k w a s s u p p o r t e d b y N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n .

y y

N a t i o n a l C e n t r a l U n i v e r s i t y , C h u n g - L i , T a i w a n , R . O . C . t 2 1 0 0 0 1 @ s p a r c 2 0 . n c u . e d u . t w

8/8/2019 2 Inter 2010


2 J . - C . X u a n d W . - C . S h a n n

t h e w a v e l e t s o f o r d e r 1 , n a m e l y t h e H a a r b a s i s 1 5 ] . T a k i n g t h e a n t i - d e r i v a t i v e s o f h i g h e r o r d e r

w a v e l e t s t h e n l e a d s t o h i g h e r o r d e r t r i a l f u n c t i o n s .

T h i s w o r k i s o u r r s t a t t e m p t t o u s e w a v e l e t s f o r n u m e r i c a l s o l u t i o n o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s .

F o r o n e - d i m e n s i o n a l p r o b l e m s s t u d i e d i n t h i s p a p e r , t h e w a v e l e t s a p p r o a c h a p p e a r s t o b e a t t r a c t i v e

a n d o u r t h e o r y i s r a t h e r c o m p l e t e . A p p l i c a t i o n s t o h i g h e r d i m e n s i o n a l p r o b l e m s ( o n t h e d o m a i n s

o t h e r t h a n r e c t a n g l e s ) r e m a i n t o b e e x p l o r e d a n d t h e p r o s p e c t o f t h e m e t h o d i s y e t t o b e s e e n .

W e s h a l l u s e t h e s t a n d a r d n o t a t i o n L

2

( R ) t o d e n o t e t h e s p a c e o f s q u a r e i n t e g r a b l e f u n c t i o n s

T w o f u n c t i o n s u ; v 2 L

2

( R ) a r e o r t h o g o n a l i n L

2

( R ) i f ( u ; v ) = 0 . G i v e n = ( a ; b ) ( ? 1 a < b

1 ) , H

s

( ) d e n o t e s t h e s t a n d a r d S o b o l e v s p a c e w i t h t h e n o r m k k

s

a n d s e m i - n o r m

s

g i v e n

b y

k v k

2

s

=

s

X

i = 0

Z

b

a

v

( i )

( x )

2

d x a n d v

2

s

=

Z

b

a

v

( s )

( x )

2

d x

F o r ? 1 < a < b < 1 , w e d e n e

H

1

0

( ) = f v 2 H

1

( ) v ( a ) = v ( b ) = 0 g a n d H

1

?

( ) = f v 2 H

1

( ) v ( a ) = 0 g

I t i s w e l l - k n o w n t h a t t h e s e m i - n o r m

1

i s a n o r m ( e q u i v a l e n t t o k k

1

) i n t h e s e t w o s p a c e s .

W h e n = R , w e d e n o t e k v k

s

= k v k

s

a n d v

s

= v

s

T h r o u g h o u t t h i s p a p e r , w e s h a l l u s e t h e l e t t e r C t o d e n o t e a g e n e r i c p o s i t i v e c o n s t a n t w h i c h

m a y s t a n d f o r d i e r e n t v a l u e s a t i t s d i e r e n t a p p e a r a n c e s . W h e n i t i s n o t i m p o r t a n t t o k e e p t r a c k

o f t h e s e c o n s t a n t s , w e s h a l l c o n c e a l t h e l e t t e r C i n t o t h e n o t a t i o n . ,

=

, o r & . H e r e

( 1 1 ) x . y m e a n s x C y ;

x & y m e a n s ? x . ? y , a n d x

=

y m e a n s x . y a n d x & y

T h e r e s t o f t h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . S e c t i o n 2 g i v e s a b r i e f i n t r o d u c t i o n t o w a v e l e t

f u n c t i o n s . I n S e c t i o n 3 , a s i m p l e t e c h n i q u e b y m e a n s o f a n t i - d e r i v a t i v e s i s p r e s e n t e d t o c o n s t r u c t a

f r a m e i n t h e s p a c e H

1

f r o m a f r a m e i n t h e s p a c e L

2

; t h e o p t i m a l a p p r o x i m a t i o n p r o p e r t i e s o f t h e

f r a m e s i n H

1

0

( o r H

1

; H

1

) b a s e d o n w a v e l e t s a r e e s t a b l i s h e d . A p p l i c a t i o n s t o t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n

o f a s e c o n d o r d e r t w o - p o i n t b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m i s g i v e n i n S e c t i o n 4 . T h i s s e c t i o n c o n c e r n s

t h e o p t i m a l e r r o r e s t i m a t e s f o r t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n , t h e s e l e c t i o n o f b a s i s f u n c t i o n s , e e c t i v e

i t e r a t i v e t e c h n i q u e s f o r s o l v i n g t h e u n d e r l y i n g l i n e a r a l g e b r a i c s y s t e m a n d n a l l y s o m e c o m p a r i s o n s

w i t h t h e s t a n d a r d h i e r a r c h i c a l b a s i s m e t h o d . F i n a l l y , i n S e c t i o n 5 , a n u m b e r o f n u m e r i c a l e x a m p l e s

a r e g i v e n t o s u p p o r t o u r t h e o r y .

2 . B a s i c p r o p e r t i e s o f w a v e l e t s . I n t h i s s e c t i o n , w e s h a l l g i v e a b r i e f i n t r o d u c t i o n t o t h e

c o n s t r u c t i o n s a n d b a s i c p r o p e r t i e s o f w a v e l e t s . M o r e d e t a i l e d d i s c u s s i o n s c a n b e f o u n d i n 2 0 , 2 3 ,

2 5 ] .

G i v e n a p o s i t i v e i n t e g e r p , c o n s i d e r a s e t o f c o n s t a n t s c

k

t h a t s a t i s f y t h e f o l l o w i n g f o u r p r o p -

e r t i e s :

( 2 1 ) c

k

= 0 f o r k 62 f 0 ; 1 ; : : : ; 2 p ? 1 g ;

( 2 2 )

X

k

c

k

= 2 ;

( 2 3 )

X

k

( ? 1 )

k

k

m

c

k

= 0 ; f o r 0 m p ? 1 ;

8/8/2019 2 Inter 2010


G a l e r k i n - w a v e l e t s m e t h o d s 3

a n d

( 2 4 )

X

k

c

k

c

k ? 2 m

= 2

0 m

; f o r 1 ? p m p ? 1

S o l u t i o n s o f c

k

f o r 1 p 1 0 t h a t s a t i s f y ( 2 1 ) { ( 2 4 ) c a n b e f o u n d i n 7 ] ( t h e c o e c i e n t s h ( n )

a r e l i s t e d o n p . 9 8 0 , w h i l e c

n

=

p

2 h ( n ) ) . I n p a r t i c u l a r , f o r p = 1 ,

c

0

= 1 ; c

1

= 1 ;

a n d , f o r p = 2 ,

c

0

=

1 +

p

3

4

; c

1

=

3 +

p

3

4

; c

2

=

3 ?

p

3

4

; c

3

=

1 ?

p

3

4

F o r e a c h p 1 a n d t h e c o r r e s p o n d i n g c o e c i e n t s c

k

d e t e r m i n e d a b o v e , w e c o n s i d e r t h e s o

c a l l e d d i l a t i o n e q u a t i o n

( 2 5 ) ( x ) =

X

k

c

k

( 2 x ? k )

I t i s s h o w n i n 7 ] t h a t ( 2 5 ) h a s a u n i q u e s o l u t i o n s u c h t h a t s u p p = 0 ; R ] , w i t h R = 2 p ? 1 > 0

T h e r e a r e s e v e r a l w a y s t o c o n s t r u c t t h e s o l u t i o n ( x ) ( c f . 2 3 , 2 5 ] ) . F o r e x a m p l e , w e c a n t a k e t o

b e t h e l i m i t o f t h e i t e r a t i o n

( 2 6 )

n + 1

( x ) =

X

k

c

k

n

( 2 x ? k ) ; n = 0 ; 1 ; : : : ;

w h e r e

0

i s t h e u n i t i n d i c a t o r f u n c t i o n

0 1

. F o r p = 1 ,

0

i s i n v a r i a n t i n ( 2 6 ) a n d h e n c e ( x ) =

0 1

. F o r p = 2 , ( x ) 2 C

r

w h e r e r i s a b o u t 0 5 5 ( F i g u r e 1 ) . I n g e n e r a l , r = r ( p ) i s a n i n c r e a s i n g

f u n c t i o n 8 ] a n d r ( p ) ! 1 l i n e a r l y a s p ! 1 7 ] .

G i v e n ( x ) ( t h e s o l u t i o n o f ( 2 5 ) ) , w e d e n e

( 2 7 )

~

( x ) =

X

k

( ? 1 )

k

c

1 ? k

( 2 x ? k ) a n d ( x ) =

~

( x ? p + 1 )

N o t e t h a t s u p p

~

= 1 ? p ; p ] a n d s u p p = 0 ; R ] . U s u a l l y t h e f u n c t i o n

~

i s u s e d t o d e n e w a v e l e t s ,

b u t f o r o u r p u r p o s e w i l l b e u s e d i n s t e a d . F o r p = 1 , i s t h e H a a r f u n c t i o n 1 5 ] . P i c t u r e s o f

f o r t h e c a s e s p = 1 a n d 2 a r e s h o w n i n F i g u r e s 2 a n d 3 , r e s p e c t i v e l y .

W e a r e n o w i n a p o s i t i o n t o p r e s e n t t h e d e n i t i o n o f w a v e l e t s .

D e f i n i t i o n 2 . 1 . A s s u m e p 1 i s a g i v e n i n t e g e r . L e t c

k

b e d e t e r m i n e d b y ( 2 1 ) { ( 2 4 ) ,

s a t i s f y ( 2 5 ) a n d b e g i v e n i n ( 2 7 ) . D e n e

( 2 8 )

j k

( x ) =

(

( x ? k ) ; f o r j = ? 1 ,

p

2

j

( 2

j

x ? k ) ; f o r j 0

T h e f u n c t i o n s

j k

w i t h j ? 1 a n d ( j ; k ) 2 Z Z a r e c a l l e d w a v e l e t s o f o r d e r p

P r o p o s i t i o n 2 . 1 . ( 1 ) T h e s e t o f w a v e l e t s f o r m s a n o r t h o n o r m a l b a s i s o f L

2

( R ) . T h a t i s ,

( 2 9 ) (

j k

( x ) ;

` m

( x ) ) =

j ̀

k m

8/8/2019 2 Inter 2010


4 J . - C . X u a n d W . - C . S h a n n

0 1 2 3-0.5

0

0.5

1

1.5

F i g u r e 1 . ( x ) f o r p = 2

a n d

l i m

J ! 1

k u ?

J

X

j = ? 1

X

k

j k

j k

k = 0 ; f o r a l l u 2 L

2

( R ) ;

w h e r e

( 2 1 0 )

j k

= ( u ;

j k

)

( 2 ) F o r j 0 , t h e r s t p m o m e n t s o f

j k

e q u a l t o z e r o :

( 2 1 1 )

Z

1

? 1

x

m

j k

( x ) d x = 0 ; 0 m p ? 1

W e s h a l l n o w g i v e a b r i e f i l l u s t r a t i o n f o r t h e a s s e r t i o n s i n t h e a b o v e p r o p o s i t i o n . F o r d e t a i l e d

p r o o f s , w e r e f e r t o 7 , 2 3 ] .

B y ( 2 2 ) a n d ( 2 5 ) , w e h a v e

R

1

? 1

d x = 1 . B y ( 2 4 ) , ( 2 6 ) a n d i n d u c t i o n w e g e t ( ( x ) ; ( x ?

k ) ) =

0 k

, w h i c h t o g e t h e r w i t h ( 2 7 ) s h o w t h a t ( ( x ) ;

~

( x ? k ) ) = 0 . T h e n a n a p p l i c a t i o n o f ( 2 4 )

a n d ( 2 7 ) y i e l d s (

~

( x ) ;

~

( x ? k ) ) =

0 k

. T h u s ( 2 9 ) i s p r o v e d f o r f j ; ̀ g f ? 1 ; 0 g . T h e g e n e r a l c a s e

w i t h j = ̀ f o l l o w s f r o m a p r o p e r c h a n g e o f v a r i a b l e s o f x . F i n a l l y , b y ( 2 5 ) a n d i n d u c t i o n w e c a n

p r o v e g e n e r a l l y w i t h j < ̀

T o s e e ( 2 1 1 ) , l e t

̂

( ! ) b e t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f

~

( x ) , P ( ! ) =

1

2

P

c

k

e

i k !

a n d Q ( ! ) =

1

2

P

( ? 1 )

k

c

1 ? k

e

i k !

. S i n c e

̂

( 0 ) = 1 , w e h a v e f o r m a l l y

̂

( ! ) = Q (

!

2

)

1

Y

n = 2

P (

!

2

n

)

8/8/2019 2 Inter 2010



0 10.5

-1

1

F i g u r e 2 . ( x ) f o r p = 1

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

F i g u r e 3 . ( x ) f o r p = 2

N o t e t h a t P ( 0 ) = 1 a n d b y ( 2 3 ) Q

( m )

( 0 ) = 0 . T h u s

̂

( m )

( 0 ) = 0 , f o r 0 m p ? 1 , a n d ( 2 1 1 ) i s

p r o v e d f o r j = 0 a n d k = 1 ? p . T h e g e n e r a l c a s e f o l l o w s f r o m a p r o p e r c h a n g e o f v a r i a b l e s .

I t c a n b e s h o w n t h a t t h e p o l y n o m i a l s 1 , x , , x

p ? 1

a r e i n t h e s u b s p a c e s p a n n e d b y f

? 1 k

g

8/8/2019 2 Inter 2010


6 J . - C . X u a n d W . - C . S h a n n

F o r e x a m p l e , b y ( 2 3 ) , ( 2 6 ) a n d i n d u c t i o n , o n e c a n s h o w t h a t

( 2 1 2 )

X

k

( x ? k ) = 1

G i v e n a n y i n t e g e r J 0 , w e d e n e

V

J

= s p a n f

j k

? 1 j < J ; k 2 Z g

O b v i o u s l y V

J

V

J + 1

B y P r o p o s i t i o n 2 . 1

1

0

V

J

i s d e n s e i n L

2

( R ) . I t i s w o r t h n o t i n g t h a t t h e r e

i s a n o t h e r i n t e r e s t i n g o r t h o n o r m a l b a s i s f o r V

J

i n a d d i t i o n t o f

j k

g . T o s e e t h i s , l e t

j k

( x ) =

p

2

j

( 2

j

x ? k )

a n d

~

V

J

= s p a n f

J k

k 2 Z g

B y ( 2 7 ) ,

j k

2

~

V

j + 1

. B u t ( 2 5 ) i m p l i e s

~

V

j

~

V

j + 1

. T h u s w e c o n c l u d e V

J

~

V

J

. S i m i l a r l y

t h e r e v e r s e i n c l u s i o n h o l d s . T h e r e f o r e V

J

=

~

V

J

, f o r a l l J 0 . S i n c e ( ( x ) ; ( x ? k ) ) =

0 k

,

(

j ̀

;

j k

) =

` k

. C o n s e q u e n t l y f

J k

g i s a n o t h e r s e t o f o r t h o n o r m a l b a s i s o f V

J

. T h e s e q u e n c e

~

V

? 1

~

V

0

~

V

1

d e n e s t h e s o c a l l e d m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s o f L

2

( R ) 2 0 , 2 3 ] ; w h i l e

s p a n f

p

2

j

( 2

j

x ? k ) k 2 Z g i s t h e o r t h o g o n a l c o m p l e m e n t o f

~

V

j

i n

~

V

j + 1

F o r c o n v e n i e n c e o f e x p o s i t i o n , w e s h a l l u s e t h e t e r m \ f r a m e " f o r a \ b a s i s " o f a v e c t o r s p a c e i n

a w e a k s e n s e . S e e 9 , 1 6 ] .

D e f i n i t i o n 2 . 2 . L e t f

n

g

1

n = 1

b e a s u b s e t o f a B a n a c h s p a c e ( X ; k k

X

) . L e t

s p a n f

n

1 n < 1 g b e t h e s e t o f a l l e l e m e n t s

P

n

n

(

n

2 R ) w h i c h c o n v e r g e ( s t r o n g l y )

i n X . T h e n f

n

g i s s a i d t o b e a f r a m e o f X i f s p a n f

n

g = X

N o t e t h a t a f r a m e i s n o t n e c e s s a r i l y a n a l g e b r a i c b a s i s ; t h e l i n e a r i n d e p e n d e n c e i s n o t r e q u i r e d .

T h e m a i n p r o p e r t i e s o f w a v e l e t s u s e d i n t h i s p a p e r a r e s u m m a r i z e d i n t h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n .

I n t h e f o r t h c o m i n g s e c t i o n s , w e s h a l l b e c o n c e r n e d w i t h t h e s p a c e L

2

( ) , w h e r e i s a b o u n d e d

o p e n i n t e r v a l . I t i s c l e a r t h a t

j k

f o r m a f r a m e f o r L

2

( ) . I n f a c t , t h o s e w i t h s u p p

j k

\ 6= ;

w i l l b e s u c i e n t f o r a f r a m e . T h a t i s , f

j k

j ? 1 ; k 2 I

j

g , w h e r e

( 2 1 3 ) I

j

= f k 2 Z 1 ? R k 2

̂|

R ? 1 g ; w i t h ^ | = m a x f 0 ; j g

C o r r e s p o n d i n g l y , w e d e n e

( 2 1 4 )

V

J

( ) = s p a n f

j k

? 1 j < J ; k 2 I

j

g ; a n d

~

V

J

( ) = s p a n f

J k

k 2 I

J

g

I t i s e a s y t o s e e t h a t

~

V

J

( ) = V

J

( ) . A l s o , V

j

( ) V

j + 1

( ) a n d

1

0

V

J

( ) i s d e n s e i n L

2

( ) .

3 . A n t i - d e r i v a t i v e s o f w a v e l e t s a n d t h e i r a p p r o x i m a t i o n p r o p e r t i e s . I n t h i s s e c t i o n ,

t h e a n t i - d e r i v a t i v e s o f w a v e l e t s w i l l b e u s e d t o c o n s t r u c t f r a m e s f o r H

1

0

( a ; b ) , H

1

?

( a ; b ) a n d H

1

( a ; b )

r e s p e c t i v e l y . A p p r o x i m a t i o n p r o p e r t i e s o f t h e s e a n t i - d e r i v a t i v e s w i l l b e d i s c u s s e d .

G i v e n a n y f 2 L

1

( a ; b ) , w e s h a l l u s e t h e n o t a t i o n

f t o d e n o t e i t s m e a n v a l u e , i . e .

f =

1

b ? a

Z

b

a

f d x :

8/8/2019 2 Inter 2010



W e b e g i n o u r d i s c u s s i o n w i t h g e n e r a l f u n c t i o n s .

L e m m a 3 . 1 . L e t f

n

( x ) g

1

n = 1

b e a f r a m e o f L

2

( a ; b ) . T h e n

( 3 1 )

n

( x ) =

Z

x

a

n

d s ? ( x ? a )

n

a x b

H

1

0

( a ; b ) ;

( 3 2 )

n

( x ) =

Z

x

a

n

d s a x b

H

1

?

( a ; b ) ;

a n d , f o r a n y 2 ? 1 ; a ) ,

( 3 3 )

n

( x ) =

Z

x

n

d s a x b

H

1

( a ; b )

a r e f r a m e s o f H

1

0

( a ; b ) , H

1

?

( a ; b ) a n d H

1

( a ; b ) r e s p e c t i v e l y .

P r o o f . W e s h a l l o n l y p r e s e n t t h e p r o o f f o r H

1

0

( a ; b ) s i n c e t h e p r o o f s f o r o t h e r c a s e s a r e s i m i l a r .

L e t

n

b e d e n e d b y ( 3 1 ) , c l e a r l y

n

2 H

1

0

( a ; b ) . G i v e n a n y v 2 H

1

0

( a ; b ) , l e t w = v

0

. N o t e t h a t

R

b

a

w ( x ) d x = 0

S i n c e w 2 L

2

( a ; b ) , t h e r e a r e n u m b e r s f

n

g

1

n = 1

s u c h t h a t

l i m

N ! 1

Z

b

a

( w ? w

N

)

2

d x = 0 ;

w h e r e w

N

( x ) =

P

N

n = 1

n

n

. S i n c e w

N

=

P

N

n = 1

n

n

, w e h a v e

w

N

=

1

b ? a

Z

b

a

w

N

( x ) d x

=

1

b ? a

Z

b

a

w

N

( x ) ? w ( x ) d x

1

p

b ? a

k w ? w

N

k

0

H e n c e l i m

N ! 1

w

N

= 0 a n d

k v

0

?

N

X

n = 1

n

(

n

( x ) ?

n

) k

0

k v

0

? w

N

k

0

+

p

b ? a w

N

! 0

a s N ! 1 . T h u s i f w e t a k e v

N

=

P

N

n = 1

n

n

, t h e n v

N

2 H

1

0

( a ; b ) a n d

l i m

N ! 1

v ? v

N

H

1

( a b )

= 0

A s

H

1

( a b )

i s a n o r m o n H

1

0

( a ; b ) , t h e p r o o f i s t h e n c o m p l e t e d .

8/8/2019 2 Inter 2010


8 J . - C . X u a n d W . - C . S h a n n

R e c a l l t h a t t h e w a v e l e t s f

j k

j ? 1 a n d k 2 I

j

g f o r m a f r a m e o f L

2

( ) , h e n c e t h e f o r e g o i n g

l e m m a c a n b e a p p l i e d . F r o m h e r e o n , l e t p 1 , R = 2 p ? 1 , = ( 0 ; R ) a n d

j k

b e t h e w a v e l e t s o f

o r d e r p . T h e f o l l o w i n g l e m m a i s a d i r e c t c o n s e q u e n c e o f L e m m a 3 . 1 .

L e m m a 3 . 2 . F o r j ? 1 a n d k 2 I

j

, t h e f u n c t i o n s

( 3 4 )

j k

( x ) =

Z

x

0

j k

d s ? x

j k

; f o r 0 x R ;

f o r m a f r a m e o f H

1

0

( ) , a n d t h e f u n c t i o n s

( 3 5 )

j k

( x ) =

Z

x

0

j k

d s ; f o r 0 x R

f o r m a f r a m e o f H

1

?

( )

A p p l y L e m m a 3 . 1 w i t h = ? R , t h e f u n c t i o n s

j k

( x ) =

Z

x

? R

j k

d s ; j ? 1 ; 0 x R ;

w i t h s u p p

j k

\ ( ? R ; R ) 6= ; , f o r m a f r a m e o f H

1

( ) . W e f u r t h e r o b s e r v e t h a t , f o r 0 x R ,

8

<

:

j k

( x ) =

R

x

? 1

j k

d s ; f o r k 2 I

j

;

j k

( x ) =

R

1

? R

j k

d s = a c o n s t a n t ; o t h e r w i s e .

S o i f w e d e n e

( 3 6 ) ( x ) =

Z

x

? 1

( s ) d s ; ( x ) =

Z

x

? 1

( s ) d s ; f o r 0 x R

T h e n f o r j 0 ,

R

x

? 1

j k

( s ) d s = ( 1 =

p

2

j

) ( 2

j

x ? k ) . H e n c e w e h a v e a f r a m e f o r H

1

( ) c o n s i s t i n g

o f a n t i - d e r i v a t i v e s o f w a v e l e t s w i t h s u p p

j k

\ ( 0 ; R ) 6= ; , a s s e e n i n t h e n e x t l e m m a .

L e m m a 3 . 3 . f 1 ;

j k

j ? 1 ; k 2 I

j

g i s a f r a m e o f H

1

( ) w h e r e

( 3 7 )

j k

( x ) =

(

( x ? k ) ; f o r j = ? 1 ,

1

p

2

j

( 2

j

x ? k ) ; f o r j 0 ,

k 2 I

j

; 0 x R

N o t e t h a t 2 C

0

f o r p = 1 a n d 2 C

1

f o r p = 2 . T h e s u p p o r t o f ( x ) i s a l s o 0 ; R ] . B u t

( x ) = 1 f o r x 2 R ; 1 ) . P i c t u r e s o f a n d f o r p = 2 a r e s h o w n i n F i g u r e 4 .

T h u s , f r o m t h e a n t i - d e r i v a t i v e s o f w a v e l e t s , w e h a v e c o n s t r u c t e d a f r a m e f o r e a c h o f t h e s p a c e s

H

1

0

( ) , H

1

?

( ) a n d H

1

( ) . W e s h a l l n o w d i s c u s s t h e a p p r o x i m a t i o n p r o p e r t i e s o f t h e s e f r a m e s .

L e m m a 3 . 4 . F o r j 0 a n d p 1 , l e t f 2 H

p

a n d

j k

b e g i v e n b y ( 2 1 0 ) . T h e n

j k

. 2

? j s

f

s S

j k

; 0 s p ;

w h e r e S

j k

= s u p p

j k

8/8/2019 2 Inter 2010



0 1 2 3-0.5

0

0.5

1

1.5

F i g u r e 4 . - - - ( x ) ; ( x )

P r o o f . B y ( 2 1 0 ) a n d ( 2 1 1 ) , w e h a v e , f o r a n y p o l y n o m i a l q ( x ) o f d e g r e e s ? 1 ,

j k

=

Z

1

? 1

( f ? q )

j k

d x =

Z

S

j k

( f ? q )

j k

d x

k f ? q k

0 S

j k

k

j k

k = k f ? q k

0 S

j k

S i n c e S

j k

= 2

? j

R , a s t a n d a r d B r a m b l e - H i l b e r t s c a l i n g a r g u m e n t s h o w s t h a t

j k

i n f

q

k f ? q k

0 S

j k

. 2

? j s

f

s S

j k

A d i r e c t c o n s e q u e n c e o f L e m m a 3 . 4 i s

k u ?

J

X

j = ? 1

X

k

j k

j k

k . 2

? J s

u

s

; 0 s p

B u t t h i s e s t i m a t e w i l l n o t b e d i r e c t l y u s e d i n t h i s p a p e r .

S i n c e

1

0

V

J

( ) i s d e n s e i n L

2

( ) a n d e a c h V

J

( ) i s n i t e d i m e n s i o n a l , i t i s n a t u r a l t o c o n s t r u c t

n i t e d i m e n s i o n a l s u b s p a c e s o f H

1

0

( ) , e t c . , b y t h e f r a m e o f V

J

( ) . T h e f o l l o w i n g t h e o r e m s c o n c e r n

o f t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e s e s u b s p a c e s a n d H

1

0

( ) , e t c .

T h e o r e m 3 . 1 . G i v e n J 0 , d e n e

( 3 8 ) S

J

= s p a n

n

j k

? 1 j < J ; k 2 I

j

o

8/8/2019 2 Inter 2010


1 0 J . - C . X u a n d W . - C . S h a n n

T h e n S

J

i s a n i t e d i m e n s i o n a l s u b s p a c e o f H

1

0

( ) ( r e s p . H

1

?

( ) ) i f

j k

a r e c h o s e n f r o m ( 3 4 ) ( r e s p .

( 3 5 ) ) . F o r a n y v 2 H

1

0

( ) \ H

s + 1

( ) ( r e s p . v 2 H

1

?

( ) \ H

s + 1

( ) ) , w e h a v e

( 3 9 ) i n f

2 S

J

v ?

1

. h

s

v

s + 1

; 0 s p ;

w h e r e h = 2

? J

P r o o f . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , w e w i l l o n l y p r e s e n t t h e p r o o f f o r t h e c a s e t h a t s = p a n d

t h a t

j k

a r e g i v e n b y ( 3 4 ) . T h e p r o o f f o r t h e o t h e r c a s e s a r e s i m i l a r .

L e t v 2 H

1

0

( ) \ H

p + 1

( ) . B y t h e S o b o l e v e x t e n s i o n t h e o r e m , t h e r e i s a ~ v 2 H

p + 1

( R ) s u c h

t h a t ~ v ( x ) = v ( x ) f o r x 2 a n d

k ~ v k

p + 1

. k v k

p + 1

B y L e m m a 3 . 1 a n d ( 2 1 0 ) ,

l i m

̀ ! 1

v ?

̀

X

j = ? 1

X

k 2 I

j

j k

j k 1

= 0

w h e r e

j k

= ( ~ v

0

;

j k

) . L e t e

j

=

P

k 2 I

j

j k

j k

a n d =

P

J ? 1

j = ? 1

e

j

. T h e n 2 S

J

a n d

v ?

1

.

X

j J

k e

0

j

k

0

F o r e a c h j , l e t I

0

j

I

j

c o n s i s t o f t h e i n d i c e s k s u c h t h a t s u p p

j k

0 ; R ] . T h a t i s , 0 k

( 2

̂|

? 1 ) R . L e t I

0 0

j

= I

j

n I

0

j

. S i n c e j 0 , w e h a v e

Z

R

0

e

0

j

2

d x =

X

k 2 I

j

X

̀ 2 I

j

j k

j ̀

Z

(

j k

?

j k

) (

j ̀

?

j ̀

) d x

=

X

k 2 I

j

2

j k

+ 2

X

k 2 I

j

̀ 2 I

j

j k

j ̀

Z

j k

(

j ̀

?

j ̀

) d x

+

X

k ̀ 2 I

j

j k

j ̀

Z

(

j k

?

j k

) (

j ̀

?

j ̀

) d x

N o t e t h a t i f k 2 I

0

j

t h e n

R

d x =

R

1

? 1

d x a n d

j k

= 0 . A l s o n o t e t h a t i f k 2 I

0

j

a n d ̀ 2 I

0 0

j

, t h e n

k 6= ̀ a n d s u p p

j k

. T h u s i t f o l l o w s f r o m ( 2 9 ) a n d ( 2 1 1 ) t h a t

X

k 2 I

j

̀ 2 I

j

j k

j ̀

Z

j k

(

j ̀

?

j ̀

) d x =

X

k 2 I

j

̀ 2 I

j

j k

j ̀

Z

1

? 1

j k

j ̀

d x = 0

S i n c e

R

j k

d x

p

R k

j k

k

0

p

R , t h u s

k

j k

?

j k

k

0

k

j k

k +

p

R

j k

2

A l s o , s i n c e I

0 0

j

= 2 R ? 2 ,

4

X

k ̀ 2 I

j

j k

j ̀

2

X

k ̀ 2 I

j

(

2

j k

+

2

j ̀

) = ( 4 R ? 2 )

X

k 2 I

j

2

j k

8/8/2019 2 Inter 2010


G a l e r k i n - w a v e l e t s m e t h o d s 1 1

T h e r e f o r e

Z

R

0

e

0

j

2

d x

X

k 2 I

j

2

j k

+ 4

X

k ̀ 2 I

j

j k

j ̀

( 4 R ? 1 )

X

k 2 I

j

2

j k

B y L e m m a 3 . 4 ,

j k

. 2

? j p

~ v

0

p S

j k

T h u s

X

k 2 I

j

2

j k

. 2

? 2 j p

X

k 2 I

j

~ v

2

p + 1 S

j k

W e n o t e t h a t , f o r e a c h k 2 I

j

, t h e r e a r e a t m o s t R ? 1 i n d i c e s ` > k s u c h t h a t s u p p

j ̀

h a s a

n o n z e r o i n t e r s e c t i o n w i t h s u p p

j k

. T h e r e f o r e

X

k 2 I

j

2

j k

. 2

? 2 j p

~ v

2

p + 1

. 2

? 2 j p

k v k

2

p + 1

C o n s e q u e n t l y ,

( 3 1 0 ) v ?

1

. k v k

p + 1

X

j J

2

? j p

2 h

p

k v k

p + 1

N o w l e t v

p

b e t h e p o l y n o m i a l o f d e g r e e p s u c h t h a t

v

p

(

i

p

R ) = v (

i

p

R ) ; 0 i p

T h e n a s t a n d a r d B r a m b l e - H i l b e r t a r g u m e n t s h o w s t h a t k v ? v

p

k

p + 1

. v

p + 1

. A p p l y i n g ( 3 1 0 )

w i t h v ? v

p

i n p l a c e o f v , w e g e t

v ? ( v

p

+ )

1

. h

p

v

p + 1

B y ( 3 4 ) , i t c a n b e s h o w n t h a t v

p

2 S

J

, t h e d e s i r e d r e s u l t t h e n f o l l o w s .

T h e o r e m 3 . 2 . L e t

j k

b e g i v e n b y ( 3 7 ) a n d J 0 . D e n e

S

J

= s p a n

n

1 ;

j k

? 1 j < J ; k 2 I

j

o

T h e n S

J

i s a n i t e d i m e n s i o n a l s u b s p a c e o f H

1

( ) a n d , f o r a l l v 2 H

s + 1

( ) , t h e e s t i m a t e ( 3 9 )

h o l d s .

B e f o r e t h e e n d o f t h i s s e c t i o n , w e w o u l d l i k e t o r e m a r k t h a t w e c a n a l s o c o n s t r u c t f r a m e s o f S

J

b y t h e f r a m e o f

~

V

J

( ) . N a m e l y , f o r s u b s p a c e s o f H

1

0

( ) o r H

1

?

( ) , t a k e

( 3 1 1 )

j k

( x ) =

Z

x

0

j k

d s ? x

j k

; f o r 0 x R ;

o r

( 3 1 2 )

j k

( x ) =

Z

x

0

j k

d s ; f o r 0 x R ;

r e s p e c t i v e l y , t h e n S

J

= s p a n f

J k

k 2 I

J

g . F o r t h e s u b s p a c e S

J

o f H

1

( ) , t a k e

( 3 1 3 )

j k

( x ) =

1

p

2

j

( 2

j

x ? k )

a n d S

J

= s p a n f 1 ;

J k

k 2 I

J

g

8/8/2019 2 Inter 2010


1 2 J . - C . X u a n d W . - C . S h a n n

4 . A p p l i c a t i o n s t o t w o - p o i n t b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s . I n t h i s s e c t i o n , w e a p p l y t h e

w a v e l e t s o f o r d e r p t o n u m e r i c a l s o l u t i o n s o f a t w o - p o i n t b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m *

( 4 1 ) ? ( q ( x ) u

0

)

0

+ r ( x ) u = f ( x ) ; f o r x 2 ( 0 ; R ) ;

w i t h e i t h e r o n e o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s :

8

>

<

>

:

u ( 0 ) = u ( R ) = 0 ; ( D i r i c h l e t c o n d i t i o n )

u ( 0 ) = u

0

( R ) = 0 ; ( m i x e d c o n d i t i o n )

u

0

( 0 ) = u

0

( R ) = 0 ( N e u m a n n c o n d i t i o n )

W e a l s o l e t = ( 0 ; R ) , w h e r e R = 2 p ? 1 . W e a s s u m e t h a t f 2 L

2

( ) , t h e c o e c i e n t s q a n d r a r e

s m o o t h i n 0 ; R ] w i t h

( 4 2 ) 0 < q q ( x ) q a n d 0 r ( x ) r

W e n o w d e n e G a l e r k i n - w a v e l e t s m e t h o d s f o r s o l v i n g ( 4 1 ) . A c c o r d i n g t o t h e b o u n d a r y c o n d i -

t i o n , w e c o n s t r u c t a n i t e d i m e n s i o n a l s u b s p a c e S

J

o f t h e s o l u t i o n s p a c e a s d e n e d i n T h e o r e m 3 1

a n d 3 . 2 . T h e n w e s o l v e n u m e r i c a l l y t h e G a l e r k i n p r o j e c t i o n o f t h e s o l u t i o n i n S

J

. W e r s t g i v e a

g e n e r a l a c c o u n t o f t h e m e t h o d a n d t h e e r r o r e s t i m a t e s i n 4 . 1 , t h e n c o n s t r u c t t w o b a s e s f o r e a c h S

J

i n 4 . 2 . S o m e c o m p u t a t i o n a l a s p e c t s a r e c o n s i d e r e d i n 4 . 3 a n d 4 . 4 . F i n a l l y , w e d i s c u s s c o n n e c t i o n s

w i t h h i e r a r c h i c a l b a s e s i n t h e l a s t s u b s e c t i o n .

4 . 1 . E r r o r e s t i m a t e s . I n t h i s s u b s e c t i o n , w e s h a l l o n l y c o n s i d e r t h e D i r i c h l e t b o u n d a r y v a l u e

p r o b l e m . T h u s S

J

, J 0 , i s t h e s u b s p a c e o f H

1

0

( ) w i t h f r a m e s

j k

f r o m ( 3 4 ) o r

J k

f r o m ( 3 1 1 ) .

T h e o t h e r c a s e s a r e s i m i l a r w i t h a n a p p r o p r i a t e c h o i c e o f

j k

o r

J k

. T h e v a r i a t i o n a l f o r m o f ( 4 1 )

i s

( 4 3 ) a ( u ; v ) = ( f ; v ) ; f o r a l l v 2 H

1

0

( ) ;

w h e r e a ( ; ) i s t h e b i l i n e a r f o r m d e n e d b y

( 4 4 ) a ( u ; v ) =

Z

R

0

q u

0

v

0

+ r u v d x :

C l e a r l y a ( ; ) i s c o n t i n u o u s a n d c o e r c i v e o n H

1

0

( ) . I t i s w e l l - k n o w n t h a t , b y L a x - M i l g r a m l e m m a

( c f . 3 ] ) , t h e r e i s a u n i q u e w e a k s o l u t i o n u 2 H

1

0

( ) f o r ( 4 3 ) . L e t u

J

b e t h e G a l e r k i n p r o j e c t i o n

o f u o n S

J

d e n e d b y

( 4 5 ) a ( u

J

; ) = ( f ; ) ; f o r a l l 2 S

J

I t i s a l s o c l e a r t h a t ( 4 5 ) h a s a u n i q u e s o l u t i o n s u c h t h a t

k u ? u

J

k

1

. i n f

2 S

J

k u ? k

1

B y T h e o r e m 3 . 1 a n d a s t a n d a r d d u a l i t y a r g u m e n t ( c f . 3 ] ) , t h e e r r o r e s t i m a t e s f o r b o t h H

1

a n d

L

2

n o r m s c a n b e o b t a i n e d .

T h e o r e m 4 . 1 . L e t u a n d u

J

b e t h e s o l u t i o n s o f ( 4 3 ) a n d ( 4 5 ) r e s p e c t i v e l y . T h e n f o r a n y

u 2 H

1

0

( ) \ H

s + 1

( ) ,

( 4 6 ) k u ? u

J

k

0

+ h k u ? u

J

k

1

. h

s + 1

k u k

s + 1

; 0 s p ;

w h e r e h = 2

? J

* W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , a s p e c i a l i n t e r v a l ( 0 ; R ) i s u s e d i n t h i s m o d e l . M o r e g e n e r a l i n t e r v a l

( a ; b ) c a n b e r e d u c e d t o ( 0 ; R ) b y a s i m p l e c h a n g e o f v a r i a b l e .

8/8/2019 2 Inter 2010



4 . 2 . B a s i s f u n c t i o n s f r o m f r a m e s . I t i s w e l l - k n o w n t h a t t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n u

J

c a n

b e o b t a i n e d b y s o l v i n g a l i n e a r a l g e b r a i c s y s t e m b y m e a n s o f a b a s i s o f S

J

. B u t t h e f r a m e s o f S

J

d i s c u s s e d e a r l i e r a r e n o t b a s e s . I n o r d e r t o o b t a i n a b a s i s f r o m a f r a m e , w e n e e d t o e x c l u d e s o m e

l i n e a r l y d e p e n d e n t f u n c t i o n s . W e r s t s t u d y t h e b a s e s f o r V

J

( ) .

P r o p o s i t i o n 4 . 2 . F o r a n y J 0 , d i m V

J

( ) = 2

J

R + R ? 1 . D e n e t h e i n d e x s e t D

j

s u c h

t h a t

( 4 7 ) k 2 D

j

( )

8

<

:

1 ? R k R ? 1 ; i f j = ? 1 ;

p ? R k 2

j

R ? p ; i f j 0

T h e n

( 4 8 ) f

J k

1 ? R k 2

J

R ? 1 g

a n d

( 4 9 ) f

j k

? 1 j < J ; k 2 D

j

g

a r e b a s e s o f V

J

( )

P r o o f . F o r a n y J 0 , t h e f u n c t i o n s i n ( 4 8 ) f o r m a f r a m e o f V

J

( ) , a s d e n e d i n ( 2 1 4 ) . T o

s h o w t h e y a c t u a l l y f o r m a b a s i s , i t s u c e s t o s h o w t h a t t h e y a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t . N o w s u p p o s e

=

2

J

R ? 1

X

k = 1 ? R

k

J k

= 0 i n

N o t e t h a t f o r a n y 0 m 2

J

R ? R , t h e s u p p o r t o f

J m

l i e s e n t i r e l y i n 0 ; R ] , t h u s (

J m

;

J ̀

) =

m ̀

,

f o r a l l ̀ . T h u s

J m

= 0 . O b s e r v e t h a t t h e v a l u e o f ( x ) f o r R ? 2 2

j

x R ? 1 i s s o l e l y d e t e r m i n e d

b y

? 1

J ? 1

. B u t

J ? 1

6= 0 i n t h a t i n t e r v a l , s o

J ? 1

= 0 . T h e s a m e a r g u m e n t s h o w s t h a t

k

= 0

f o r a l l 1 ? R k 2

J

R ? 1 . C o n s e q u e n t l y t h e f u n c t i o n s i n ( 4 8 ) f o r m a b a s i s o f V

J

( ) . U s i n g t h i s

b a s i s , w e c o u n t t h a t t h e d i m e n s i o n o f V

J

( ) i s 2

J

R + R ? 1

N o w w e s h o w b y i n d u c t i o n t h a t t h e w a v e l e t s i n ( 4 9 ) a r e a l s o b a s i s f u n c t i o n s o f V

J

( ) . F o r

J = 0 , t h e f u n c t i o n s i n ( 4 9 ) a r e p r e c i s e l y t h o s e i n ( 4 8 ) , s o t h e y f o r m a b a s i s f o r V

0

( ) . S u p p o s e

t h a t

j k

, f o r 0 j J ? 1 a n d k 2 D

j

, f o r m a b a s i s o f V

J

( ) . W e s h a l l n o w p r o v e t h a t

j k

, f o r

0 j J a n d k 2 D

j

, f o r m a b a s i s o f V

J + 1

( ) . T o s e e t h i s , w e r s t p r o v e t h a t t h e y a r e l i n e a r l y

i n d e p e n d e n t . A s s u m e

=

J

X

j = 1

X

k 2 D

j

j k

j k

= 0 i n

T h e n t h e r e a r e u n i q u e l y d e t e r m i n e d n u m b e r s

k

s u c h t h a t

=

2

J

R ? 1

X

k = 1 ? R

k

J k

+

X

k 2 D

J

J k

J k

i n

F o r t h e s a m e r e a s o n a s w e p u t i n t h e r s t p a r a g r a p h , w e h a v e

J k

= 0 f o r a l l 0 k 2

J

R ? R

B y ( 2 7 ) ,

( 2

J

x ? k ) = ? c

0

( 2

J + 1

x ? ( R + 2 k ) ) + + c

R

( 2

J + 1

x ? 2 k )

H e n c e f o r a n y p ? R k < 0 a n d 2

J

R ? R < k 2

J

R ? p , w e h a v e 1 R + 2 k < R a n d

2

J + 1

R ? 2 R 2 k 2

J + 1

R ? R ? 1 r e s p e c t i v e l y . T h a t m e a n s e i t h e r ( 2

J + 1

x ? ( R + 2 k ) ) o r

( 2

J + 1

x ? 2 k ) h a s t h e s u p p o r t i n 0 ; R ] . T h e o r t h o g o n a l i t y o f ( x ) a n d ( 2 x ) i n L

2

( R ) i m p l i e s t h a t

e i t h e r

J k

c

0

= 0 o r

J k

c

R

= 0 . S i n c e c

0

6= 0 a n d c

R

6= 0 , w e c o n c l u d e

J k

= 0 . T h u s

J k

= 0 f o r

a l l k 2 D

J

. B y t h e i n d u c t i o n h y p o t h e s i s ,

j k

= 0 f o r a l l 0 j J a n d k 2 D

j

T h e r e f o r e w e h a v e s h o w n t h a t t h e s e t f

j k

? 1 j J ; k 2 D

j

g i s l i n e a r l y i n d e p e n d e n t

i n V

J + 1

( ) . C o u n t i n g t h e c a r d i n a l i t y , w e s e e i t i s a b a s i s f o r V

J + 1

( ) . T h e g e n e r a l r e s u l t f o l l o w s

8/8/2019 2 Inter 2010


1 4 J . - C . X u a n d W . - C . S h a n n

b y i n d u c t i o n .

I f ( 4 1 ) i s i m p o s e d w i t h t h e N e u m a n n b o u n d a r y c o n d i t i o n , a n d S

J

H

1

( ) i s t h e s p a c e d e n e d

i n T h e o r e m 3 . 2 , t h e n b y t h e l i n e a r i n d e p e n d e n c e o f ( 4 8 ) a n d ( 4 9 ) , i t i s e a s y t o s e e t h a t

( 4 1 0 ) f 1 ;

j k

? 1 j < J ; k 2 D

j

g ; w h e r e

j k

i s d e n e d i n ( 3 7 )

a n d

( 4 1 1 ) f 1 ;

J k

k 2 I

J

g ; w h e r e

j k

i s d e n e d i n ( 3 1 3 )

a r e b a s e s o f S

J

T h e b a s e s f o r S

J

H

1

?

( ) a r e a l s o e a s y t o c o n s t r u c t i f ( 4 1 ) i s i m p o s e d w i t h t h e m i x e d b o u n d a r y

c o n d i t i o n . B u t t h e r e i s a n o t h e r t w i s t f o r t h e s u b s p a c e S

J

H

1

0

( ) , b e c a u s e o f t h e e x t r a t e r m x

j k

L e t u s a p p l y ( 3 4 ) t o t h e f u n c t i o n s i n ( 4 9 ) , w i t h j = ? 1 . B y ( 2 1 2 ) , w e h a v e

( 4 1 2 )

R ? 1

X

k = 1 ? R

? 1 k

=

R ? 1

X

k = 1 ? R

Z

x

0

( s ? k ) d s ?

x

R

Z

R

0

( x ? k ) d x

=

Z

x

0

X

k

( s ? k ) d s ?

x

R

Z

R

0

X

k

( x ? k ) d x

=

x ?

x

R

R

= 0

T h u s

? 1 k

, f o r k 2 D

? 1

, a r e l i n e a r l y d e p e n d e n t . T h e r e a s o n i s t h a t 1 c a n b e s p a n n e d b y ( x ? k )

P r o p o s i t i o n 4 . 3 . L e t D

j

b e t h e i n d e x s e t d e n e d i n ( 4 7 ) . L e t

~

D

j

= D

j

f o r j 0 a n d

~

D

? 1

= D

? 1

n f 1 ? R g . T h e n

( 4 1 3 ) f

j k

? 1 j < J ; k 2

~

D

j

g ; w h e r e

j k

i s d e n e d i n ( 3 4 )

a n d

( 4 1 4 ) f

J k

2 ? R k 2

J

R ? 1 g ; w h e r e

j k

i s d e n e d i n ( 3 1 1 )

a r e b a s e s o f S

J

, w h e r e S

J

i s t h e s u b s p a c e o f H

1

0

( ) d e n e d i n T h e o r e m 3 1

P r o o f . L e t

j k

b e t h e f u n c t i o n s i n ( 4 1 3 ) . S u p p o s e

P

j k

j k

j k

= 0 , w h i c h c a n b e w r i t t e n a s

( 4 1 5 )

Z

x

0

d s = x i n ;

w h e r e

=

J ? 1

X

j = ? 1

X

k 2

~

D

j

j k

j k

O b v i o u s l y ( 4 1 5 ) i m p l i e s t h a t = i s a c o n s t a n t f u n c t i o n i n . B y ( 2 1 2 ) , w e h a v e

?

? 1 1 ? R

+

X

k 2

~

D

1

(

? 1 k

? )

? 1 k

+

J ? 1

X

j = 0

X

k 2 D

j

j k

j k

= 0

8/8/2019 2 Inter 2010



-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

F i g u r e 5 .

1 ? 1

;

1 k

, 0 k 3 ; - -

1 4

S i n c e

j k

i n ( 4 9 ) a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t , s o = 0 a n d

j k

= 0 . H e n c e t h e f u n c t i o n s i n ( 4 1 3 )

a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t .

W e h a v e a l r e a d y s e e n i n ( 4 1 2 ) t h a t

? 1 1 ? R

i s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f

? 1 k

, f o r k 2

~

D

? 1

B u t , a s d e n e d i n T h e o r e m 3 . 1 , S

J

i s s p a n n e d b y

j k

f o r ? 1 j < J a n d k 2 D

j

. T h e r e f o r e , t h e

w a v e l e t s i n ( 4 1 3 ) c a n s p a n S

J

, a n d t h u s f o r m a b a s i s .

S i m i l a r l y w e c a n s h o w t h a t t h e s e t o f f u n c t i o n s i n ( 4 1 4 ) i s l i n e a r l y i n d e p e n d e n t . S i n c e i t s

c a r d i n a l i t y i s e q u a l t o t h e d i m e n s i o n o f S

J

, i t i s a b a s i s .

P i c t u r e s o f

1 k

f o r k 2

~

D

1

a r e s h o w n i n F i g u r e 5 .

4 . 3 . S o l u t i o n o f l i n e a r a l g e b r a i c s y s t e m s . S u p p o s e t h a t ( 4 1 ) i s i m p o s e d w i t h D i r i c h l e t

b o u n d a r y c o n d i t i o n a n d t h e b a s i s o f S

J

i s g i v e n b y ( 4 1 3 ) . L e t u

J

=

P

u

j k

j k

b e t h e G a l e r k i n

p r o j e c t i o n o f u i n S

J

, t h e c o e c i e n t s u

j k

a r e t h e n d e t e r m i n e d b y t h e f o l l o w i n g l i n e a r s y s t e m o f

e q u a t i o n s .

X

j k

u

j k

a (

j k

;

` m

) = ( f ;

` m

) ; f o r a l l ? 1 ` < J ; m 2

~

D

̀

W e n o w l a b e l t h e d o u b l e i n d i c e s l i n e a r l y . L e t : ( j ; k ) ! i b e t h e l a b e l l i n g f u n c t i o n w h i c h e n u m e r a t e

( j ; k ) l e x i c o g r a p h i c a l l y . T h a t i s , ( j ; k ) ( ` ; m ) i f j ̀ o r j = ̀ a n d k m . W e t h e n g e t a l i n e a r

8/8/2019 2 Inter 2010


1 6 J . - C . X u a n d W . - C . S h a n n

s y s t e m o f t h e f o r m A u = f , w h e r e t h e m a t r i x A = ( a

i j

) a n d t h e v e c t o r f = ( f

j

) h a v e t h e e n t r i e s

( 4 1 6 ) a

i j

= a (

i

;

j

) ; f

j

= ( f ;

j

)

H e r e a ( ; ) i s t h e b i l i n e a r f o r m d e n e d i n ( 4 4 ) a n d A c o r r e s p o n d s t o t h e s t i n e s s m a t r i x i n t h e

u s u a l n i t e e l e m e n t m e t h o d . B e c a u s e

i

f o r m a b a s i s a n d a ( ; ) i s s y m m e t r i c a n d c o e r c i v e o n S

J

,

A i s s y m m e t r i c a n d p o s i t i v e d e n i t e .

I f r ( x ) = 0 a n d q ( x ) = 1 , t h e n A i s s p a r s e . I n f a c t , l e t P b e t h e p e r m u t a t i o n m a t r i x w h i c h

r e l a b e l s

j k

i n s u c h a w a y t h a t t h o s e w i t h 0 k 2

j

R ? R ( w h i c h s u p p o r t s l i e e n t i r e l y i n 0 ; R )

a r e i n d e x e d t o g e t h e r a f t e r t h e o t h e r s , o n e c a n s e e t h a t

( 4 1 7 ) A = P

B 0

0 I

P

t

L e t N = d i m S

J

, t h e n B i s a f u l l s q u a r e m a t r i x w i t h o r d e r O ( l o g N ) . A s a r e s u l t , t h e e i g e n v a l u e s

o f A a r e m o s t l y 1 ' s , w i t h a f e w e x c e p t i o n s c a u s e d b y t h e w a v e l e t s n e a r t h e b o u n d a r y . S i m i l a r r e s u l t s

a l s o h o l d i f q ( x ) a n d r ( x ) a r e n o t c o n s t a n t . I n f a c t , t h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n c a n b e p r o v e d b y a

s i m p l e a p p l i c a t i o n o f t h e C o u r a n t - F i s c h e r M i n i m a x T h e o r e m 1 1 ] .

P r o p o s i t i o n 4 . 4 . F o r g e n e r a l c o e c i e n t s q ( x ) a n d r ( x ) s a t i s f y i n g ( 4 2 ) , a l l b u t O ( l o g N ) o f

t h e e i g e n v a l u e s o f A a r e u n i f o r m l y b o u n d e d b e l o w a n d a b o v e .

I f t h e c o n j u g a t e g r a d i e n t m e t h o d i s u s e d t o s o l v e a l i n e a r s y s t e m , o n e n d s t h a t i f m o s t o f

t h e e i g e n v a l u e s a r e c l u s t e r e d i n o n e p l a c e , t h e c o n v e r g e n c e s p e e d c a n b e f a s t e v e n i f t h e c o n d i t i o n

n u m b e r i s b i g .

P r o p o s i t i o n 4 . 5 . ( 1 ] ) L e t u

k

b e t h e k - t h a p p r o x i m a t e d s o l u t i o n o f A u = f b y t h e c o n j u g a t e

g r a d i e n t m e t h o d . S u p p o s e t h e s p e c t r u m o f A =

0

1

I f ̀ =

1

a n d

= ( m a x

0

)

.

( m i n

0

)

T h e n

k u ? u

k

k

A

M

p

? 1

p

+ 1

k ? ̀

;

w h e r e k k

2

A

= ( A ; ) a n d M i s a c o n s t a n t d e p e n d i n g o n t h e s p e c t r u m o f A

B y P r o p o s i t i o n 4 . 4 a n d 4 . 5 , t h e c o n v e r g e n c e o f t h e c o n j u g a t e g r a d i e n t m e t h o d f o r s o l v i n g

A u = f w i l l b e u n i f o r m a f t e r O ( l o g N ) s t e p s . T h i s i s a l r e a d y v e r y a t t r a c t i v e s i n c e A i s a m a t r i x o f

o r d e r N

T o f u r t h e r i m p r o v e t h e p e r f o r m a n c e o f t h e c o n j u g a t e g r a d i e n t m e t h o d , w e h a v e a n a t u r a l c h o i c e

o f p r e c o n d i t i o n e r f o r t h e m a t r i x A . L e t B b e t h e m a t r i x i n ( 4 1 7 ) . S i n c e B i s s m a l l , i t i s e a s y

t o i n v e r t B b y a d i r e c t m e t h o d . E v i d e n t l y B a n d B

? 1

a r e s y m m e t r i c a n d p o s i t i v e d e n i t e , h e n c e

t h e r e e x i s t s t h e C h o l e s k y d e c o m p o s i t i o n , s a y B

? 1

= L L

t

. T h e n S S

t

i s a g o o d p r e c o n d i t i o n e r w h e r e

( 4 1 8 ) S = P

L 0

0 I

T h a t i s , i n s t e a d o f s o l v i n g A x = b , w e s o l v e t h e e q u i v a l e n t p r o b l e m

S

t

A S y = S

t

b ; x = S y ;

w h e r e S

t

A S i s a w e l l - c o n d i t i o n e d m a t r i x . T h e a c t i o n o f P c a n b e e a s i l y d e r i v e d d u r i n g t h e c o m p u -

t a t i o n , s o w e o n l y h a v e t o c o m p u t e a n d s t o r e t h e l o w e r t r i a n g u l a r m a t r i x L w h i c h h a s O ( l o g

2

N )

8/8/2019 2 Inter 2010



e n t r i e s . T h e o r e t i c a l l y t h e c o n d i t i o n n u m b e r o f S

t

A S i s o n e i f q = 1 a n d r = 0 ; i n g e n e r a l i t i s

b o u n d e d a b o v e b y q + r = q . T h e p r e c o n d i t i o n e r S i s m a d e p o s s i b l e b y t h e o r t h o g o n a l i t y p r o p e r t y

o f w a v e l e t s .

I f ( 4 1 ) i s i m p l o s e d w i t h m i x e d o r N e u m a n n b o u n d a r y c o n d i t i o n s , t h e n i t i s p r e f e r r e d t o

c o n s t r u c t S

J

b y

J k

i n ( 3 1 2 ) o r ( 3 1 3 ) . W e a l s o d e n o t e t h e c o r r e s p o n d i n g s t i n e s s m a t r i x b y A

S i n c e t h e r e a r e c o n s t a n t l y m a n y ( 2 R ? 2 ) b a s i s f u n c t i o n s w h i c h d o n o t l i e i n 0 ; R ] , a l l b u t O ( 1 ) o f

A ' s e i g e n v a l u e s a r e u n i f o r m l y b o u n d e d . F i n a l l y , w e r e m a r k t h a t ( 1 ) t h e m a t r i x A i s s p a r s e i f r = 0 ,

a n d ( 2 ) w e c a n c o n s t r u c t a p r e c o n d i t i o n e r i n t h e s a m e m a n n e r a s S i n ( 4 1 8 ) .

4 . 4 . R e d u c t i o n o f o p e r a t i o n s . L e t A b e t h e s t i n e s s m a t r i x b y m e a n s o f t h e b a s i s f

j k

g

i n ( 4 1 3 ) . I f q i s n o t a c o n s t a n t o r r 6= 0 , t h e n A i s a f u l l m a t r i x a n d i t s m u l t i p l i c a t i o n w i t h a v e c t o r

b e c o m e s e x p e n s i v e . W e c a n o v e r c o m e t h i s d r a w b a c k b y c h a n g i n g b a s i s ( a s i s d o n e i n h i e r a r c h i c a l

b a s i s , c f 2 8 ] ) . R e c a l l t h a t

J k

i n ( 4 1 4 ) a l s o f o r m a b a s i s f o r S

J

. W e l a b e l

J k

b y k a n d l e t

̂

A b e

t h e c o r r e s p o n d i n g s t i n e s s m a t r i x .

C o n s i d e r t h e b a s e s f

j k

g i n ( 4 9 ) a n d f

J k

g i n ( 4 8 ) f o r V

J

( ) . L e t Q b e t h e m a t r i x o f c h a n g i n g

b a s i s . T h a t i s ,

(

1

2

N

) = (

1

2

N

) Q

W e s h a l l s h o w t h a t Q h a s O ( N ) n o n z e r o e n t r i e s . S i n c e t h e c o n s t r u c t i o n f r o m

j k

t o

j k

i s l i n e a r ,

w i t h l i t t l e m o d i c a t i o n s w e c a n c h a n g e f r o m f

j k

g t o f

J k

g i n O ( N ) o p e r a t i o n s .

T o s i m p l i f y t h e p r e s e n t a t i o n a n d e x p l a i n m o r e c l e a r l y t h e m a i n i d e a , w e f u r t h e r i g n o r e t h e

c o e c i e n t s

p

2

j

. T h e n t h e p r o b l e m r e d u c e s t o n d i n g t h e m a t r i x Q s u c h t h a t

0

B

@

( x + R ? 1 )

( 2

J ? 1

x ? 2

J ? 1

R + p )

1

C

A

= Q

t

0

B

@

( 2

J

x ? R + 1 )

( 2

J

x ? 2

J

R + 1 )

1

C

A

P r o p o s i t i o n 4 . 6 . F o r a n y x 2 R

N

, O ( N ) o p e r a t i o n s a r e s u c i e n t f o r c o m p u t i n g t h e m u l t i -

p l i c a t i o n Q x

P r o o f . B y ( 2 5 ) a n d ( 2 7 ) , i t i s e a s y t o s e e t h a t

0

B

B

B

B

B

B

B

B

@

( x + R ? 1 )

( x ? R + 1 )

( x + R ? p )

( x ? R + p )

1

C

C

C

C

C

C

C

C

A

=

~

Q

t

1

0

B

B

B

B

B

B

B

B

@

( 2 x + R ? 1 )

( 2 x ? 2 R + 1 )

1

C

C

C

C

C

C

C

C

A

;

w h e r e

~

Q

1

i s a m a t r i x o f o r d e r d i m V

1

( ) a n d e a c h c o l u m n o f

~

Q

1

c o n s i s t s o f t h e c o e c i e n t s c

k

H e n c e t h e r e a r e a t m o s t 2 p n o n z e r o e l e m e n t s o n e a c h c o l u m n o f

~

Q

1

. I n d u c t i v e l y ,

Q = Q

J

Q

2

Q

1

H e r e , f o r a n y 1 j J ,

Q

j

=

~

Q

j

0

0 I

j

;

w h e r e

~

Q

j

i s a s p a r s e m a t r i x o f o r d e r d i m V

j

( ) a n d I

j

i s t h e i d e n t i t y m a t r i x o f o r d e r d i m V

J

( ) ?

d i m V

j

( ) . S i n c e

~

Q

j

h a s O ( 2

j

) n o n z e r o e n t r i e s , a m u l t i p l i c a t i o n Q x n e e d s

O ( 1 ) + O ( 2 ) + + O ( 2

J

) = O ( 2 2

J

) = O ( N )

o p e r a t i o n s .

8/8/2019 2 Inter 2010


1 8 J . - C . X u a n d W . - C . S h a n n

B e c a u s e o f t h e t e r m x

J k

,

J k

a r e f u l l y s u p p o r t e d i n 0 ; R ] a n d

̂

A i s s t i l l f u l l . T h i s c a n b e

m o d i e d b y a f u r t h e r c h a n g e o f b a s i s . C o n s i d e r t h e f u n c t i o n s

( 4 1 9 )

J k

=

J k ? 1

?

J k

; f o r 2 ? R k 2

J

R ? 1

I t i s e a s y t o s h o w t h a t s p a n f

J k

g S

J

a n d t h a t t h e y a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t . C o u n t i n g t h e

d i m e n s i o n , t h e y f o r m a n o t h e r b a s i s f o r S

J

. N o t e t h a t , f o r 0 k 2

J

R ? R ,

J k

a r e t h e s a m e

c o n s t a n t s a n d

s u p p

J k

= s u p p

0

J k

= s u p p

J k ? 1

s u p p

J k

S o a l l b u t 2 R ? 2 o f

J k

a n d

0

J k

a r e l o c a l l y s u p p o r t e d i n 0 ; R ] . L e t

~

A b e t h e s t i n e s s m a t r i x

c o r r e s p o n d i n g t o t h i s b a s i s , t h e n

~

A h a s O ( N ) n o n z e r o e n t r i e s .

T h e r e f o r e , t h e r e i s a l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n T s u c h t h a t

A = T

t

~

A T

F o r a n y x 2 R

N

, O ( N ) o p e r a t i o n s a r e s u c i e n t t o c o m p u t e a m u l t i p l i c a t i o n T x . S i n c e

~

A i s s p a r s e ,

w e c a n r e d u c e t h e n u m b e r o f o p e r a t i o n s f o r A x t o O ( N )

I f ( 4 1 ) i s i m p o s e d w i t h m i x e d o r N e u m a n n b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d S

J

i s c o n s t r u c t e d b y

f

J k

g . T h e n A i s a l r e a d y s p a r s e w h e n r = 0 . O t h e r w i s e A i s f u l l a n d w e c a n c h a n g e t h e b a s i s

t o

J k

i n t h e s a m e m a n n e r a s i n ( 4 1 9 ) .

4 . 5 . R e l a t i o n s w i t h h i e r a r c h i c a l b a s e s i n n i t e e l e m e n t s . A s w e h a v e m e n t i o n e d i n t h e

i n t r o d u c t i o n , w e n o w o b s e r v e t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e w a v e l e t b a s i s ( 4 1 3 ) o f t h e c a s e p = 1

a n d t h e h i e r a r c h i c a l b a s i s 2 7 ] i n o n e - d i m e n s i o n a l p i e c e w i s e l i n e a r n i t e e l e m e n t s p a c e s . L e t S

J

b e

t h e b a s i s o f H

1

0

( ) d e n e d i n T h e o r e m 3 . 1 , w h e r e

j k

a r e d e n e d i n ( 4 1 3 ) . S i n c e p = 1 , n o w

R = 2 p ? 1 = 1 a n d = ( 0 ; 1 ) ; s o

~

D

? 1

= ; . F o r a l l k 2 D

j

, j 0 , w e n d s u p p

j k

0 ; 1 ] , s o

j k

= 0 . I t i s e a s y t o s e e t h a t

j k

i s a h a t f u n c t i o n w i t h s u p p o r t k = 2

j

; ( k + 1 ) = 2

j

] a n d h e i g h t

1 = 2

p

2

j

. T h a t i s , t h e b a s i s f u n c t i o n s f

j k

g f o r S

J

a r e t h e p i e c e w i s e l i n e a r h i e r a r c h i c a l b a s i s f u n c t i o n s

w i t h t h e u n i f o r m m e s h s i z e h = 2

? J

O n t h e o t h e r h a n d , c o n s i d e r

J k

i n ( 4 1 9 ) . I n t h i s c a s e

J k ? 1

?

J k

= 0 . O b s e r v e t h a t

J k

,

f o r 1 k 2

J

? 1 , a r e t h e s c a l e d p i e c e w i s e l i n e a r n o d a l b a s i s w i t h t h e u n i f o r m m e s h s i z e h = 2

? J

5 . N u m e r i c a l e x a m p l e s . I n t h i s s e c t i o n , w e v e r i f y o u r c l a i m s o n s o m e t e s t p r o b l e m s o f t h e

f o r m ( 4 1 ) , w i t h D i r i c h l e t o r N e u m a n n b o u n d a r y c o n d i t i o n s . W e h a v e s e e n i n s e c t i o n 4 . 4 t h a t t h e

n i t e e l e m e n t s w i t h p = 1 a r e e x a c t l y t h e h i e r a r c h i c a l p i e c e w i s e l i n e a r n i t e e l e m e n t s . S o n o w w e

t e s t t h e m e t h o d s w i t h w a v e l e t s o f o r d e r 2 . T h a t i s , p = 2 a n d R = 3 . T h e p r o g r a m s a r e c o d e d i n

F O R T R A N . T h e t e s t s a r e d o n e o n a S U N S p a r k S t a t i o n 1

W e i m p l e m e n t t h e f u n c t i o n s a n d b y t h e i r v a l u e s a t d y a d i c p o i n t s i n 0 ; R ] ; t h a t i s , t h e

v a l u e s o f ( x ) a n d ( x ) a t x = k = 2

D

, f o r 0 k 2

D

R ( t h e f u n c t i o n s v a n i s h f o r k o u t o f t h i s r a n g e ) .

T h e d a t a a r e s t o r e d i n d i s k l e s . T h e n w e t e m p o r a r i l y g e n e r a t e a n d w i t h r e s o l u t i o n D + 1 ,

f r o m w h i c h w e c o m p u t e t h e f u n c t i o n s a n d . T h e i n t e g r a t i o n s a r e d o n e b y S i m p s o n ' s n u m e r i c a l

q u a d r a t u r e r u l e . S i m i l a r l y w e s t o r e t h e d y a d i c v a l u e s o f a n d i n 0 ; R ] w i t h t h e c o m m o n

d e n o m i n a t o r 2

D

. I n p r a c t i c e , t h e c h o i c e o f D w i l l a e c t t h e a c c u r a c y o f n u m e r i c a l q u a d r a t u r e s .

T h e h i g h e s t l e v e l J w h i c h c a n y i e l d a c c u r a t e s o l u t i o n i s a l s o r e l a t e d w i t h t h e r e s o l u t i o n D T o

c h o o s e D e m p i r i c a l l y , c o n s i d e r t h e p r o b l e m

( 5 1 )

? u

0 0

= 1 ; f o r x 2 ( 0 ; 3 ) ;

u ( 0 ) = u ( 3 ) = 0

8/8/2019 2 Inter 2010



T h e s o l u t i o n u = ?

1

2

x

2

+

3

2

x j u s t l i e s i n t h e s u b s p a c e S

0

, i f t h e w a v e l e t s a r e o f o r d e r p 2 . H e n c e

t h e e r r o r s a r e d u e t o t h e c o m p u t a t i o n s . T h e e r r o r k u ? u

J

k

0

i s a p p r o x i m a t e l y 1 0

? 8

f o r D = 8 ,

a n d 1 0

? 1 2

f o r D = 1 2 . I n m o s t o f t h e c o m p u t a t i o n s s h o w n b e l o w , w e s e t D = 8

T h e f u n c t i o n v a l u e s o f , e t c . , a r e r e p e a t e d l y u s e d d u r i n g t h e c o m p u t a t i o n , h e n c e t h e y a r e

r e a d b y t h e p r o g r a m t o s a v e s o m e r u n n i n g t i m e . N o t e t h a t ( x ) = 1 f o r x R . T h i s i s t h e o n l y

f u n c t i o n i n v o l v e d w h i c h d o e s n o t h a v e a c o m p a c t s u p p o r t . T h e p r o g r a m s m u s t t r e a t t h i s e x c e p t i o n

c a r e f u l l y .

W e n o w t e s t s o m e D i r i c h l e t b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s . L e t t h e n i t e e l e m e n t s p a c e s S

J

b e

s p a n n e d b y b a s i s

j k

c h o s e n f r o m ( 4 1 3 ) . A s a r s t e x a m p l e , w e m o d i f y ( 5 1 ) a l i t t l e i n o r d e r t o

o b s e r v e t h e c o n v e r g e n c e o r d e r :

( 5 2 )

? u

0 0

= 3 x ? 3 ; f o r x 2 ( 0 ; 3 ) ;

u ( 0 ) = u ( 3 ) = 0

T h e c o m p u t a t i o n a l r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e 1 .

( 5 2 ) h

? 3

k u ? u

J

k

0

h

? 2

u ? u

J 1

C G

J = 0 0 0 9 1 5 3 0 4 7 5 0 3

J = 1 0 0 8 9 6 4 0 5 3 0 7 5

J = 2 0 0 9 0 5 1 0 5 5 9 8 7

J = 3 0 0 9 1 1 4 0 5 7 6 6 8

J = 4 0 0 8 9 9 4 0 5 8 1 1 1 0

T a b l e 1 .

I n T a b l e 1 a n d a l l o f t h e f o l l o w i n g t a b l e s , h = 2

? J

a n d t h e c o l u m n s l a b e l l e d \ C G " a n d \ P C G "

l i s t r e s p e c t i v e l y t h e n u m b e r s o f i t e r a t i o n s n e e d e d f o r t h e c o n j u g a t e g r a d i e n t a n d p r e c o n d i t i o n e d

c o n j u g a t e g r a d i e n t m e t h o d s t o o b t a i n t h e d i s p l a y e d e r r o r . F o r p r o b l e m ( 5 2 ) , t h e p r e c o n d i t i o n e r

S S

t

i s e x a c t l y A

? 1

. T h u s w e g e t e x a c t s o l u t i o n s w i t h o n e i t e r a t i o n .

I n t h e s e c o n d e x a m p l e , w e m a d e u p a p r o b l e m w i t h t r a n s c e n d e n t a l c o e c i e n t s :

( 5 3 )

(

? ( e

? x

u

0

)

0

=

3

e

? x

c o s (

3

x ) +

3

s i n (

3

x )

; f o r x 2 ( 0 ; 3 ) ,

u ( 0 ) = u ( 3 ) = 0

T h e c o m p u t a t i o n a l r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e 2 . W e a l s o c o m p a r e t h e n u m b e r s o f i t e r a t i o n s

b y c o n j u g a t e g r a d i e n t m e t h o d w i t h o r w i t h o u t t h e p r e c o n d i t i o n e r .

( 5 3 ) h

? 3

k u ? u

J

k

0

h

? 2

u ? u

J 1

C G P C G

J = 0 0 0 2 5 4 6 0 0 9 8 0 3 3

J = 1 0 0 2 6 2 2 0 1 2 8 5 6 6

J = 2 0 0 2 5 0 2 0 1 4 3 6 1 2 9

J = 3 0 0 2 5 0 9 0 1 5 2 8 1 4 1 0

J = 4 0 0 2 4 5 7 0 1 6 5 1 1 6 1 0

T a b l e 2 .

I n o r d e r t o o b s e r v e t h e t r e n d o f c o n v e r g i n g i n a p i c t u r e , w e t r i e d a p r o b l e m w i t h h i g h e r f r e -

q u e n c y s o l u t i o n , s a y u ( x ) = s i n ( x ) , w h e r e = 4 = 3 . I t i s n o t n e c e s s a r y t o h a v e a c o m p l i c a t e d q ( x )

8/8/2019 2 Inter 2010


2 0 J . - C . X u a n d W . - C . S h a n n

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

F i g u r e 6 . u

0

; - - u

1

; - - - u

2

; u

f o r t h i s i s s u e , s o w e s i m p l y c o n s i d e r t h e p r o b l e m ? u

0 0

=

2

s i n ( x ) . G a l e r k i n p r o j e c t i o n s u

J

w i t h

0 J 2 a r e p l o t t e d i n F i g u r e 6 . V i s u a l l y t h e r e i s n o d i e r e n c e b e t w e e n u a n d u

3

a t t h i s s c a l e .

F i n a l l y , l e t u s t r y a N e u m a n n b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m :

( 5 4 )

? u

0 0

= x ?

3

2

; f o r x 2 ( 0 ; 3 ) ;

u

0

( 0 ) = u

0

( 3 ) = 0

N o w l e t S

J

b e c o n s t r u c t e d b y t h e b a s i s f u n c t i o n s

j k

d e n e d i n ( 4 1 0 ) . T h e c o n v e r g e n c e r a t e s a r e

a l s o a s p r e d i c t e d b y T h e o r e m 4 . 1 , a s s e e n i n T a b l e 3 .

( 5 4 ) h

? 3

k u ? u

J

k

0

h

? 2

u ? u

J 1

C G

J = 0 0 0 3 0 5 2 0 1 5 8 2 3

J = 1 0 0 2 9 8 9 0 1 7 6 8 5

J = 2 0 0 2 9 6 1 0 1 8 5 7 6

J = 3 0 0 2 9 7 7 0 1 9 1 1 7

J = 4 0 0 2 9 3 0 0 1 9 1 6 9

T a b l e 3 .

R E F E R E N C E S

8/8/2019 2 Inter 2010



1 O . A x e l s s o n a n d G . L i n d s k o g , O n t h e r a t e o f c o n v e r g e n c e o f t h e p r e c o n d i t i o n e d c o n j u g a t e

g r a d i e n t m e t h o d , N u m e r . M a t h . , 4 8 ( 1 9 8 6 ) , p p . 4 9 9 { 5 2 3 .

2 A . P . C a l d e r

o n , I n t e r m e d i a t e s p a c e s a n d i n t e r p o l a t i o n , t h e c o m p l e x m e t h o d , S t u d i a M a t h . ,

2 4 ( 1 9 6 4 ) , p p . 1 1 3 { 1 9 0 .

3 P . G . C i a r l e t , \ T h e n i t e e l e m e n t m e t h o d s f o r e l l i p t i c p r o b l e m s , " N o r t h - H o l l a n d , A m s t e r -

d a m , 1 9 7 8 .

4 R . C o i f m a n a n d G . W e i s s , \ A n a l y s e H a r m o n i q u e n o n c o m m u t a t i v e s u r c e r t a i n s e s p a c e s

h o m o g e n e s , " S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n , 1 9 7 1 .

5 J . M . C o m b e s , A . G r o s s m a n n a n d P h . T c h a m i t c h i a n , e d s . , \ W a v e l e t s , t i m e - f r e q u e n c y

m e t h o d s a n d p h a s e s p a c e , 2 n d e d . , " S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n , 1 9 9 0 .

6 E . C o r t i n a a n d S . M . G o m e s , A w a v e l e t b a s e d n u m e r i c a l m e t h o d a p p l i e d t o f r e e b o u n d a r y

p r o b l e m s , I P E T e c h n i c a l R e p o r t , S a o J o s e d o s C a m p o s , B r a s i l , 1 9 8 9 .

7 I . D a u b e c h i e s , O r t h o n o r m a l b a s e s o f c o m p a c t l y s u p p o r t e d w a v e l e t s , C o m m . P u r e A p p l . M a t h . ,

4 1 ( 1 9 8 8 ) , p p . 9 0 9 { 9 9 6 .

8 I . D a u b e c h i e s a n d J . L a g a r i a s , T w o - s c a l e d i e r e n c e e q u a t i o n s . I G l o b a l r e g u l a r i t y o f s o -

l u t i o n s , a n d { . I I I n n i t e m a t r i x p r o d u c t s , l o c a l r e g u l a r i t y a n d f r a c t a l s , A T & T B e l l L a b o -

r a t o r i e s , p r e p r i n t .

9 R . J . D u f f i n a n d A . C . S c h a e f f e r , A c l a s s o f n o n h a r m o n i c F o u r i e r s e r i e s , T r a n s . A m .

M a t h . S o c . , 7 2 ( 1 9 5 2 ) , p p . 3 4 1 { 3 6 6 .

1 0 ] R . G l o w i n s k i , W . M . L a w t o n , M . R a v a c h o l a n d E . T e n e n b a u m , W a v e l e t s s o l u t i o n

o f l i n e a r a n d n o n l i n e a r e l l i p t i c , p a r a b o l i c a n d h y p e r b o l i c p r o b l e m s i n o n e s p a c e d i m e n s i o n ,

p r e p r i n t , A W A R E I n c . , M a s s a c h u s e t t s , 1 9 8 9 .

1 1 ] G . H . G o l u b a n d C . F . V a n L o a n , \ M a t r i x c o m p u t a t i o n s , " 2 n d e d . , J o h n s H o p k i n s U n i -

v e r s i t y P r e s s , B a l t i m o r e , 1 9 8 8 .

1 2 ] P . G o u p i l l a u d , A . G r o s s m a n n a n d J . M o r l e t , C y c l e - o c t a v e a n d r e l a t e d t r a n s f o r m s i n

s e i s m i c s i g n a l a n a l y s i s , G e o e x p l o r a t i o n , 2 3 ( 1 9 8 4 / 8 5 ) , p p . 8 5 { 1 0 2 .

1 3 ] A . G r o s s m a n n , M . H o l s c h n e i d e r , R . K r o n l a n d - M a r t i n e t a n d J . M o r l e t , D e t e c t i o n

o f a b r u p t c h a n g e s i n s o u n d s i g n a l s w i t h t h e h e l p o f w a v e l e t t r a n s f o r m s , i n \ I n v e r s e p r o b l e m s :

a n i n t e r d i s c i p l i n a r y s t u d y , " A c a d e m i c P r e s s , L o n d o n - O r l a n d o , 1 9 8 7 , p p . 2 8 9 { 3 0 6 .

1 4 ] A . G r o s s m a n n a n d J . M o r l e t , D e c o m p o s i t i o n o f H a r d y f u n c t i o n s i n t o s q u a r e i n t e g r a b l e

w a v e l e t s o f c o n s t a n t s h a p e , S I A M J . M a t h . , 1 5 ( 1 9 8 4 ) , p p . 7 2 3 { 7 3 6 .

1 5 ] A . H a a r , Z u r T h e o r i e d e r o r t h o g o n a l e n F u n k t i o n e n s y s t e m e , M a t h . A n n . , 6 9 ( 1 9 1 0 ) , p p . 3 3 1 {

3 7 1 .

1 6 ] C . H e i l , W a v e l e t s a n d f r a m e s , i n \ S i g n a l p r o c e s s i n g , p t . 1 , 2 n d e d . , " S p r i n g - V e r l a g , N e w Y o r d ,

1 9 9 0 , p p . 1 4 7 { 1 6 0 .

1 7 ] R . K r o n l a n d - M a r t i n e t , J . M o r l e t a n d A . G r o s s m a n n , A n a l y s i s o f s o u n d p a t t e r n s

t h r o u g h w a v e l e t t r a n s f o r m s , t o a p p e a r .

1 8 ] A . L a t t o a n d E . T e n e n b a u m , L e s o n d e l e t t e s a s u p p o r t c o m p a c t e t l a s o l u t i o n n u m e r i q u e

d e l ' e q u a t i o n d e B u r g e r s , p r e p r i n t , A W A R E I n c . , M a s s a c h u s e t t s , 1 9 9 0 .

1 9 ] J . S . L i

e n a r d , \ S p e e c h a n a l y s i s a n d r e c o n s t r u c t i o n u s i n g s h o r t - t i m e , e l e m e n t a r y w a v e f o r m s , "

L I M S I - C N R S , O r s a y , F r a n c e .

2 0 ] S . M a l l a t , M u l t i r e s o l u t i o n a p p r o x i m a t i o n s a n d w a v e l e t o r t h o n o r m a l b a s e s o f L

2

( R ) , T r a n s .

A m e r . M a t h . S o c . , 3 1 5 ( 1 9 8 9 ) , p p . 6 9 { 8 7 .

2 1 ] S . M a l l a t , M u l t i f r e q u e n c y c h a n n e l d e c o m p o s i t i o n s o f i m a g e s a n d w a v e l e t m o d e l s , I E E E T r a n s .

A c o u s t . S p e e c h S i g n a l P r o c e s s , 3 7 ( 1 9 8 9 ) , p p . 2 0 9 1 { 2 1 1 0 .

2 2 ] Y . M e y e r , \ P r i n c i p e d ' i n c e r t i t u d e , b a s e s h i l b e r t i e n n e s e t a l g e b r e s d ' o p e r a t e u r s , " B o u r b a k i

S e m i n a r , n o . 6 6 2 , 1 9 8 5 .

2 3 ] Y . M e y e r , \ O n d e l e t t e s e t o p e r a t e u r s , I . O n d e l e t t e s , " H e r m a n n , P a r i s , 1 9 9 0 .

8/8/2019 2 Inter 2010


2 2 J . - C . X u a n d W . - C . S h a n n

2 4 ] X . R o d e t , T i m e - d o m a i n f o r m a n t - w a v e - f u n c t i o n s y n t h e s i s , C o m p u t e r M u s i c J . , 8 ( 1 9 8 5 ) ,

2 5 ] G . S t r a n g , W a v e l e t s a n d d i l a t i o n e q u a t i o n s : A b r i e f i n t r o d u c t i o n , S I A M R e v i e w , 3 1 ( 1 9 8 9 ) ,

p p . 6 1 4 { 6 2 7 .

2 6 ] J . S t r o m b e r g , A m o d i e d F r a n k l i n s y s t e m a n d h i g h e r - o r d e r s y s t e m s o f R

n

a s u n c o n d i t i o n a l

b a s e s f o r H a r d y s p a c e s , i n \ C o n f e r e n c e o n h a r m o n i c a n a l y s i s i n h o n o r o f A n t o n i Z y g m u n d , "

W a d s w o r t h , B e l m o n t , 1 9 8 3 , p p . 4 7 5 { 4 9 3 .

2 7 ] H . Y s e r e n t a n t , O n t h e m u l t i - l e v e l s p l i t t i n g o f n i t e e l e m e n t s p a c e s , N u m e r . M a t h . , 4 9 ( 1 9 8 6 ) ,

p p . 3 7 9 { 4 1 2 .

2 8 ] O . C . Z i e n c i e w i c z , D . W . K e l l y , J . G a g o a n d I . B a b u

s k a , H i e r a r c h i c a l n i t e e l e m e n t

a p p r o a c h e s , e r r o r e s t i m a t e s a n d a d a p t i v e r e n e m e n t , i n \ T h e m a t h e m a t i c s o f n i t e e l e m e n t s

a n d a p p l i c a t i o n s I V , " A c a d e m i c P r e s s , L o n d o n , 1 9 8 2 , p p . 3 1 3 { 3 4 6 .

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2 Inter 2010