1

11Jean Bernard Leon Foucault

(1819-1868)

FIZIKA I semestar 2010/11.

12 KINEMATIKA

2

MEHANIKA

KINEMATIKA STATIKA

DINAMIKA

osnovna

osnovna Složena gibanja

2

3

S obzirom na način proučavanja gibanja tijela, razlikujemo slijedeća područja ispitivanja u mehanici:

KINEMATIKA

DINAMIKA

STATIKA

MEHANIKA je dio fizike koji proučava zakone gibanja, te se primjenjuje na sisteme:

materijalne točkesustave materijalnih točakakruta tijelafluide (tekućine i plinovi)

4

KINEMATIKA: je dio fizike koji proučava gibanja, bez obzira na uzroke gibanja (sile) i svojstva tijela koja se gibaju (masa, gustoća, temperatura).

DINAMIKA: proučava uzroke gibanja tijela; utjecaj sile i mase na gibanja, te objašnjava fizikalnu bit gibanja.

STATIKA (poseban slučaj dinamike): proučava uvjete ravnoteže tijela, uz poznavanje uzroka gibanja.

KINEMATIKA…..

U ovom dijelu opisat ćemo karakteristike i najvažnije matematičke relacije (jednadžbe) osnovnih i sastavljenih gibanja.

Moramo naglasiti: tijelo koje promatramo je materijalna točka,koja je definirana kao tijelo čije se dimenzije zanemaruju tokom gibanja.

3

5

Još o materijalnoj točki u kinematici….

- zanemarujemo veličinu- zanemarujemo masu- zanemarujemo strukturu

- potrebno je poznavanje položaja u toku vremena, ilipoznavanje promjene položaja ovisne o vremenu.

položaj točkeodređujemo u odabranomkoordinatnom sustavu

točka tokom vremena opisuje krivulju (putanju)

Put…?Pomak…?

6

Gibanje:promjena međusobnog položaja dva tijela

Materijalna točka

4

7

KINEMATIKA MATERIJALNE TOČKE

• Tijelo se giba ako mijenja položaj prema nekom drugom tijelu (okolini), odnosno prema odabranom koordinatnom sustavu; referentnom sustavu. Gibanje je vremenska promjena položaja tijela u odnosu na referentni sustav.

• Svako gibanje je relativno gibanje prema određenom referentnom sustavu.

• Mirovanje je poseban oblik gibanja. Tijelo miruje ako ima nepromijenjene koordinate s obzirom na odabrani referentni sustav tokom vremena.

• U svemiru nema točke koja apsolutno miruje; gibanje je relativno.

8

Referentni sustav: Položaj tijela određen je odabranim referentnim sustavom

• x,y,z

• r r(t)

Opis gibanja materijalne točke:

VRIJEME 0 1 2 4

POLOŽAJ 5 7 9 13

t

x

x(t) = 3 t + 2Tablični

Algebarski

Grafički

5

9

Položaj tijela u koordinatnom sustavu

… u 1D koordinatnomsustavu

… u 2 D koordinatnomsustavu

10

Pomak i put

21

211

2 xxxxxl

−=

−+=Δ

1D:

2D:

Slika: promjena položaja lopte je manja u odnosu na pređeni put

6

11

Udaljenost može biti (ne nužno) jednaka veličini pomaka, te se odnos može prikazati relacijom:

Put, razlika puta, udaljenost; Δl, skalar

Pomak, razlika položaja, vektor,

Pomak i put…nastavak

xrΔ

xrΔΔl ≥

12

x

x2

x1

tt1 t2 vrijeme

polo

žaj

Δx

A

B

Δt

0

Položaj A određen u odnosu na “0”

Pređeni put, Δs, Δ l,od A→B (crvena linija)

pomak; promjena položaja (x2-x1)

Putanja; crvena linija

Važno: promjena položaja je vektor:

Važno: pređeni put je skalar:

Uz

defin

icije

:po

loža

ja, p

uta

i pom

aka

xrΔ

lΔ

7

13

Veličine koje opisuju gibanje

• PUTANJA– PRAVAC, KRIVULJA, KRUŽNICA

• BRZINA– KONSTANTNA, PROMJENLJIVA

• AKCELERACIJA– KONSTANTNA, PROMJENLJIVA

14

PUTANJA je skup položaja kojima prolazi materijalna točka

r(t)

r(t+Δt

)

Δr

Vektor pomaka:

Δr = r(t+Δt) - r(t)

r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k

8

15

BRZINA I AKCELERACIJASREDNJA BRZINA, promjena položaja u nekom vremenskom intervalu; vektor)…engl. velocity

PRAVA BRZINA - BRZINA

AKCELERACIJA - UBRZANJE

trtvΔΔ

=r

r )(

tltv

ΔΔ

=)(SREDNJA BRZINA, promjena pređenog puta u nekom vremenskom intervalu; skalar…engl. speed

dtrdtvr

r=)(

dtvdtar

r=)(

16

Da bismo definirali potpuno određena gibanja,

OSNOVNA GIBANJAiSLOŽENA GIBANJA

moramo ponoviti nastavni sadržaj o promjenama fizikalnih veličina (funkcija) ovisnih o vremenu koji nam je potreban za razumijevanje procesa u kinematici.

9

17

OPĆI PRIKAZ PROMJENE neke funkcije

na pr:

put = f (vremena) gustoća = f (visine) volumen = f (temperature)…ili općenito X = f (t), X (t)

t

x(t)

t0 tk

x(t0)

x(tk)

ΔtΔx

Δt = tk-t0

Promjena nezavisne varijable

Promjena zavisne varijable

Δx(t) = x(tk) – x(t0)

Promatramo promjenu funkcije X(t) u vremenskom razmaku Δt, od vremena t0 do tk

18

PROMJENE…nastavak

t0 → tk , ΔX(t) = ?

ΔX(t) = X(tk) – X(t0) = a tk – a t0

= a (tk – t0)

ΔX(t) = a Δt

X(t) = a tkonstanta

Ako je funkcija X(t) linearna s vremenom, kakva je promjena te funkcije, ΔX(t) ?

promjenu možemo naći:

t

x(t)

t0 tk

x(t0)

x(tk)

ΔtΔx

→ promjena funkcije je proporcionalnapromjeni nezavisne varijable; faktor proporcionalnosti je konstanta a

10

19

PROMJENE…nastavak

t0 → tk , ΔX(t) = ?

ΔX(t) = X(tk) – X(t0) = K(tk2 –t0

2) = K[(t0+Δt)2 – t0

2]=K [t02+2t0Δt+ Δt2-t0

2 ]= K[2t0 Δt+ Δt2 ]

X(t) = K t2konstanta

Ako funkcija X(t) raste s kvadratom vremena, kakva je promjena te funkcije, ΔX(t) ?

promjenu možemo naći:

→ promjena funkcije je kompleksnija nego za linearnu funkciju; ovaj oblik će nam koristiti za definiciju brzine promjene … u nastavku

t

x

20

BRZINA PROMJENE…je promjena funkcije, ΔX, promatrana u određenom intervalu vremena, Δt

Ovisno o veličini promatranog vremenskog intervala, Δt, u kojem pratimo promjenu funkcije, definiramo različite brzine:

1. SREDNJA BRZINA, ΔX/Δt

2. PRAVA BRZINA, ili BRZINA u nekoj točki, dx/dt

11

21

Napomena: SREDNJA BRZINA OVISI O INTERVALU Δt

1. SREDNJA BRZINA, ΔX/Δt definirana je promjenom funkcije u nekom promatranom, konačnom vremenskom intervalu Δt ok

k

ttxx

tx

−−

=ΔΔ 0

Srednje brzine iz grafa:

1-3s

3-5s 5,123

=ΔΔ

=ΔΔ

tx

tx

5,021

=ΔΔ

=ΔΔ

tx

tx

x

t0 1

x0

xk

tkt0

ali..x(t) – linearna funkcija (pravac): Δx/Δt ne ovisi o intervalu Δt

22

2. PRAVA BRZINA; trenutna brzina, brzina u jednoj točki, brzina

Brzina promjene R(t) u vrijednosti t0 funkcije X(t) jednaka je omjeru Δx/Δt kada je promjena Δt dovoljno mala (Δt →0)

Za dovoljno male promjene:

Δt → dt Δx → dx

Δt

Δx

t

x

t0

dttdx

ttxttxtR

t

)()()(lim)( 00

0=

Δ−Δ+

=→Δ

dttdxtR )()( =

Dakle, prava brzina je derivacije funkcije po vremenu:

12

23

ΔxΔt

x tp( ) x t0( )−

tp t0−:=

ΔxΔt

C C−Δt

:=

x(t) = C

Za x(t) = C dx/dt = 0

t

xx(t) = ax+b

x

t

ΔxΔt

a tp⋅ b+( ) a t0⋅ b+( )−

tp t0−:=

ΔxΔt

a Δt⋅Δt

:=ΔxΔt

a:=

Za x(t) = a x + b dx/dt = a

BRZINA PROMJENE za neke funkcije

24

x(t) = K t2

Brzina promjene u točki t0:

Δt tp t0−:= Δx K tp2⋅ K t0

2⋅−:=

tp t0 Δt+:=Δx K tp2 t0

2−( ):=

Δx K t0 Δt+( )2 t02−⎡

⎣⎤⎦:=

Δx K 2 t0⋅ Δt⋅ Δt( )2+⎡

⎣⎤⎦⋅:=

ΔxΔt

K 2t0 Δt+( )⋅:=

dxdt

t0( ) 2 K⋅ t0⋅:=

t

dx/dt

X(t) = K tn dx/dt = n K x n-1

Općenito, derivacija potencije :

13

25

OSNOVNA GIBANJA; pravocrtna: - jednoliko pravocrtno gibanje; v = konst- jednoliko ubrzano gibanje; a = konst

SLOŽENA GIBANJA; sastoje se od dva (ili više) osnovnih gibanja u određenom međusobnom odnosu, te se događaju se istovremeno:

- HICI: vertikalni, horizontalni, kosi- kružno gibanje

26

Vrste pravocrtnih gibanja

linearna funkcija od vremena –

jednoliko ubrzano gibanje

v(t) v(t)

Kod pravocrtnih gibanja često izostavljamo znak vektora budući da su sve kinematičke veličine u jednom pravcu…..

iznos brzine:

v(t) = v(t) v0(t)

smjer brzine - konstantan

promjenljiv – nejednoliko gibanje

konstantan –jednoliko gibanje

14

27

Gibanje duž pravca

v0(t) = konst PRAVOCRTNO GIBANJE

v(t) = v(t) v0(t)

iznos brzine smjer brzine

28

Osnovna gibanja

15

29

1. JEDNOLIKO GIBANJE DUŽ PRAVCA

Jednoliko gibanje duž pravca je takvo gibanje, kod kojeg je promjena puta u odabranoj jedinici vremena, pa i najmanjoj, uvijek konstantna (nepromijenjena); brzina je konstantna veličina tokom promatranog procesa gibanja, srednja i prava brzina imaju istu vrijednost.

konstvvvpr ===prava brzina srednja brzina

pk

pk

ttss

tsv

−

−=

ΔΔ

=dtds

tsv

tpr =ΔΔ

=→Δ 0

lim

Uz početne uvjete: sp = s0 i tp = 0 dobivamo kinematičke izraze za vremensku ovisnost brzine i položaja tijela (u ovom slučaju i puta):

tvstskonsttv

⋅+==

0)()(

30

Ovisnost puta o vremenu, x= f(t), i definicija brzine;uz definiciju brzine

16

31

Jednoliko gibanje duž pravca…nastavak

s(t)

t

s0

v(t)

t

v

pređeni put

Δt

Δs

tgα = v

0t1 x1

x

t2 x2

Prisjetimo se: položaj tijela je uvijek određen u odnosu na koordinatni sustav. Ako se tijelo tokom procesa gibanja kreće duž pozitivnog smjera pravca, x, tada je promjena položaja pozitivna, a apsolutna vrijednosti promjene položaja i pređenog puta su iste veličine; |Δr| =Δs

32

Jednoliko gibanje duž pravca..grafički prikaz

v – t dijagram

a – t dijagram

t

t

t

x

v

a

Vraste

x – t dijagram

s = v t

a dvdt

:= = 0

17

33

0 10 20 30 40 50 60 70 80-5

0

5

10

15

20

x(t),

m

t, s

I

II

III

I: v1 = 15/10 = 1,5 m/s

s1 = 15 m

II: v2 = 0 m/ss2 = 0 m

III: v3 = (5-15)/30 = -1/3 m/s

s3 = 5-15 =-10 m

JEDNOLIKO GIBANJE DUŽ PRAVCADijagram x(t) = f(t)…linearna funkcija od vremena, promatramo gibanje u intervalima I, II i III.

pređeni put:suk = sI+sII+sIII

= 15 +0 + |-10 | = 25m

pomak:Δr = rkonačno – rpočetno = 5 m

34

JEDNOLIKO GIBANJE DUŽ PRAVCADijagram v(t) = f(t)…konstanta tokom vremena, promatramo brzine u intervalima I, II i III.

0 10 20 30 40 50 60 70 80-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

brzi

na, v

(m/s

)

vrijeme, t(s)

v1

v2

v3

18

35

1. 12. Tijelo se giba brzinom od 50 km/h. za koje će vrijeme prevaliti put od 100 m.

R: t = 7,2 s

2. 12. Jeka od stijene se čuje za 2,5 sekundi. Koliko je stijena udaljena ako je brzina zvuka 340 m/s.

R: Vrijeme povratka jeke (zvuka) odgovara dvostrukoj udaljenosti stijene od čovjeka; zato za vrijeme uzimamo pola od zadanog vremena. Udaljenost stijene je d=425 m

ZADACI, jednoliko gibanje duž pravca

3. 12. Brzina pješaka je 100 koraka u minuti. Ako je dužina koraka 0,0007 km kolika je brzina pješaka u m/s i km /h.

R: vpj = 7/6 m/s =4,2 m/s

36

5. 12. Nacrtaj s-t i v-t dijagrame jednolikog gibanja sa brzinama 72 km/h i 10 m/s za prvih pola sata u razmaku od 10 min.

R: v1=20 m/s, v2=10 m/s; koristiti znanje o dijagramima jednolikog gibanja duž pravca. …v-t dijagrami će biti pravci paralelni sa vremenskom osi (os x), budući da je brzina konstantna

…s-t dijagrami bit će pravci određenih nagiba u odnosu na vremensku os (nagib ovisi o brzini), kojima je početna točka u ishodištu koordinatnog sustava

4. 12. Kolika je srednja brzina gibanja zemlje oko sunca. Udaljenost zemlje od sunca je RZS= 1,507 x 108 km, a jedna godina ima 365,25 dana.

v = Δs/Δt = 2Rπ/1 god = 1,08⋅105 km/h = 108.000 km/h

19

37

6. 12. Koliko vremena vlak opterećuje most dužine dm= 100m. Brzina vlaka je 72 km/h, a dužina vlaka je dv= 90 m.

sv

ddtR vm

uk 5,9: =+

=

dvlaka / zadnji dio vlaka, točka B, prelazi most

AA

B

A BB

MOST

dmosta / prednji dio vlaka, točka A, prelazi most

VLAK

duk = dm + dv

38

7. 12. Iz s-t dijagrama opisanog tablicom odredi v-t dijagram.

t(h) 0 0,3 0,5 1

s(km) 0 30 30 50

-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1

0

10

20

30

40

50

put,

s (km

)

vrijeme, t (h)

Uz razumijevanje s-t dijagrama izradite v-t dijagram.

20

39

9. 12. Automobil prevaljuje put od 200 km tako da prvih 100 km vozi brzinom 100 km/h, a drugih 100 km brzinom od 50 km/h. Odredi srednju brzinu automobila.

hkmtt

stsvR uk

uk

uk /7,663

20021

200:21

==+

=+

==

8. 12. Za koliko se sati napuni rezervoar volumena 314 m3

vodom koja utječe kroz cijev promjera 100 mm brzinom 4 m/s.

R: Čitavi volumen vode mora proteći kroz cijev oblika valjka čija baza je poznata a visinu (duljina valjka) dobijemo iz baze ivolumena. Duljina valjka se ostvaruje poznatom brzinom u nepoznatom vremenu. t = 2,78 h = 2 h 47´.

Ispravak: t = 2,20 h = 2 h 13´

40

10. 12. U vagonu, koji se giba jednolikom brzinom od 72 km/h, kreće se čovjek sa konstantnom brzinom od 2,5 m/s pod kutom od 300 u odnosu na smjer gibanja vagona. Odredi brzinu čovjeka u odnosu na zemlju.

R: U zadatku se zbrajaju vektori brzine vlaka i brzine čovjeka, koji su pod kutom 300; rezultantna brzina čovjeka u odnosu na Zemlju iznosi vč, rez = 79,9 km/h.

vč sin α

vč cos αα

vv

vč vč, rez

α

21

41

Jednoliko ubrzano gibanje duž pravca je takvo gibanje, kod kojeg je promjena brzine u odabranoj jedinici vremena konstantna (nepromijenjena) veličina.

Takva fizikalna veličina naziva se akceleracija ili ubrzanje. Akceleracija je konstantna veličina tokom promatranog procesa gibanja, srednja i prava brzina imaju istu vrijednost.

2. Jednoliko ubrzano gibanje duž pravca

dtdv

tva

tpr =ΔΔ

=→Δ 0

limtvv

ttvv

tva o

pk

pk −=

−

−=

ΔΔ

=

,konstaaapr ===

42

2. Jednoliko ubrzano gibanje duž pravca

a = a =a > 0 ubrzano

a < 0 usporenoa = konst

av2 v1−

t2 t1−:=

Uz početne uvjete: v0 = 0 dobivamo kinematičke izraze za vremensku ovisnost brzine:

t1 0:= t2 t:=

v1 = 0 v2 = v

v = a⋅t→

22

43

v a t⋅:=v

t

s 12

v⋅ t⋅:=

s 12

a⋅ t2⋅:=

a

a konst:=t

v

t

s

2. Jednoliko ubrzano gibanje duž pravca; grafički prikaz

44

t1 0:= t2 t:=

x1 0:= x2 s:=

v1 v0:= v2 v:=

v 0( ) v0 0≠:=

v v0 a t⋅+:=

s v0 t⋅ 12

a⋅ t2⋅+:=

v2 v02 2 a⋅ s⋅+:=

2. Jednoliko ubrzano gibanje duž pravca; jednadžbe

Uz početne uvjete: t0 = 0, s0 = 0 i v0 ≠ 0 dobivamo kinematičke izraze za vremensku ovisnost brzine i položaja

tijela (u ovom slučaju i puta):

23

45

0 10 20 30 40 50 60 70 80-5

0

5

10

15

20

v(t),

m/s

t, s

I

II

III

JEDNOLIKO UBRZANO GIBANJE DUŽ PRAVCA

Dijagram v(t) = f(t)…linearna funkcija od vremena, promatramo promjene brzina u intervalima I, II i III.

I: a1 = 15/10 =1,5 m/s2

s1 = a1/2⋅t12= 75 m

II: a2 = 0 m/s2

s2 = v0,2⋅t2=300 m

III: a3 = (5-15)/30 = -1/3 m/s2

s3 = 300 m

pređeni put:Suk = 675 mpomak:Δr = 675 m

46

JEDNOLIKO UBRZANO GIBANJE DUŽ PRAVCADijagram a(t) = f(t)…konstanta tokom vremena, promatramo akceleracije u intervalima I, II i III.

0 10 20 30 40 50 60 70 80-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

akce

lera

cija

, a (m

/s2 )

vrijeme, t(s)

a1

a2

a3

24

47

JEDNOLIKO GIBANJEDUŽ PRAVCA

JEDNOLIKO UBRZANO GIBANJE

DUŽ PRAVCA

JEDNADŽBE OSNOVNIH GIBANJA

tvxxtxxviz

vvvdtdx

txvv

txv

konstv

pr

tprprava

⋅+=

→−

=→

==

=ΔΔ

==

ΔΔ

=

=

→Δ

0

0

0

)1(

)2(lim

)1(

200

0

0

0

2

:

)1(

)2(lim

)1(

tatvxx

putzajednadžba

tavvtvvaiz

aaadtdv

tvaa

tva

konsta

pr

tprprava

⋅+⋅+=

⋅+=

→−

=→

==

=ΔΔ

==

ΔΔ

=

=

→Δ

48

Nejednoliko pravocrtno gibanje

t1 t2

x2

x1

x

t

αv

x2 x1−

t2 t1−:=

v t( ) dx t( )dt

:= = x = tan(α)

a t( ) dv t( )dt

:= a t( )2t

x t( )d

d

2:= = x

25

49

određivanje puta iz v-t dijagrama

t

v

vi

Δti

st1

t2tv t( )

⌠⎮⌡

d:=

v ΔsΔt

:= Δsi vi Δti⋅:=

s

i

vi Δti⋅∑≈

s lim

i

vi Δti⋅∑⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= Δti 0

t

v

50

11. 12. Prije polijetanja avion se giba jednoliko ubrzano sa akceleracijom 5m/s2 u vremenu 40 sekundi. Odredi brzinu aviona u trenutku polijetanja i put kojeg prijeđe avion prije dizanja.

R: v = a⋅t = 5⋅40 = 200 m/s,

s = x = 1/2⋅a⋅t2 =1/2⋅5⋅402 = 4 000 m = 4 km

12. 12. Nakon starta neko tijelo se giba prvih 100m jednoliko ubrzano i postigne brzinu od 200 km/h. Odredi ubrzanje i vrijeme.

R: zadano: s = 100 m, v = 200/3,6 m/s

v = a⋅t, s = 1/2⋅a⋅t2 su dvije jednadžbe s dvije nepoznanice; ako eliminiramo a, tj a=v/t, dobivamo izraz za put s=v⋅t/2 odakle slijedi→

vrijeme, t=2s/v = 3,6 s i akceleracija, a = v/t = 15,4 m/s2

ZADACI, jednoliko ubrzano gibanje duž pravca

26

51

13. 12. Kamen slobodno pada sa visine od 10m. a) za koliko vremena će kamen pasti na tlob) kolika je brzina pri udaru o tloc) nacrtaj s-t i v-t dijagrame tog gibanja

a)

c)

b) stgv ukuk 14,14414,110 =⋅=⋅=

sghttgh ukukuk 414,1

10202

21 2 ===→⋅=

tgtgvv ⋅−=⋅−= 0

Brzina ima smjer suprotan od +v osi u koordinatnom sustavu:

t

-14

-10

-5

-v

+v

0,5 1 1,4

52

13.12. nastavak…..

1,414

10

h (m)

t (s)

s-t dijagram je parabola također usmjerena prema “dolje” s pozicije položaja 10 m.

Jednadžba za položaj tijela tokom vremena u odnosu na tlo dana je izrazom, iz kojeg je vidljivo da se položaj tijela (visina) smanjuje tokom vremena ipostaje h=0 za tuk=1,414 s.2

2tgHh ⋅−=

27

53

14. 12. Iz v-t dijagrama danog tablicom

t(s) 0 2 6 9v(m/s) 0 6 6 0

a) Odredi akceleraciju na početku prve, četvrte i sedme sekunde. Nacrtaj a-t dijagram.

b) Odredi srednju brzinu tog gibanja

R: a) Nacrtati prvo v-t dijagram i iz njega izračunati akceleracije za svaki interval (I –III); dijagrami na slijedećem slide-u. tražene akceleracije se nalaze unutar pojedinih intervala kada je akceleracija konstantna;

na pr: nakon 1. sekunde a = aI = 3 m/s2 i dalje kako slijedi iz grafova.

54

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

2

3

4

5

6

III

II

I

v (m

/s)

t (s)

0 2 4 6 8 10

-2

-1

0

1

2

3

III

II

I

a (m

/s2 )

t (s)

aI = 3 m/s2

aIII = -2 m/s2

aII = 0 m/s2

smv

vrijednostsrednjav

tvstvstvsssss

tsv

uk

uk

uk

/3,49

39

,2

60

,,

1

333222111

321

==

+=

⋅=⋅=⋅=++=

=

28

55

15. 12. U vremenu od dvije sekunde automobilu se brzina poveća od 30km/h na 50km/h. Za koliko će se vremena brzina povećati od 50km/h na 55km/h.

R:

sttavvsmatavv

5,0/8,2

4,34,334

22,112

=→⋅+=

=→⋅+=

56

16. 12. Automobil, koji se giba jednoliko brzinom od 60km/h, zakoči i brzina mu se jednoliko smanjuje sa akceleracijom -1m/s2 .

a) Kolika je brzina deset sekundi nakon početka kočenjab) Koliki put prevali za devet sekundic) Za koje se vrijeme automobil zaustavid) Koliki put prijeđe tokom kočenja

R: a) v (10 s) = 6,7 m/sb) s (9 s) = 109,5 mc) tuk = 16,7 sd) suk = 138,9 m

29

57

SLOŽENA GIBANJA

Složena gibanja se sastoje od dva ili više osnovnih gibanja, koja se događaju:

istovremenoneovisno

To znači: tijelo se giba tako da se u svakom trenutku nalazi u točki do koje bi stiglo kad bi najprije izvršilo samo jedno gibanje u nekom vremenskom intervalu, a zatim nezavisno od tog gibanja drugo gibanje u istom vremenskom intervalu

58

Vertikalni hitac

kraj gibanja (C):v(tuk)= vuk= 0

bilo koja točka gibanja (B):v(t) = v0 - g⋅ts(t) = v0 ⋅t - (g/2)⋅t2

početna točka gibanja (A):t=0, v(0) = v0

v0

gt

C - - -

B - - -

A - - -

vuk= 0t uk= v0/g

v0

30

59

17. 12. Tijelo je bačeno vertikalno i vratilo se nakon 6 sekundi. Izračunajte: a) početnu brzinu tijela, i b) domet hica.

R: a) 2tuk= 6 s→tuk = 3 s, v0 = g⋅tuk=10⋅3 = 30 m/sb) hmax = H = v0⋅tuk-(g/2)⋅tuk

2 =30⋅3 - 5⋅9=45 m

18. 12. Tijelo je bačeno vertikalno i nakon dvije sekunde postigne brzinu 30m/s. Izračunajte: a) početnu brzinu tijela i b) najveću visinu do koje će tijelo stići.

a) v(2)= 30 = v0- g⋅2= v0 - 10⋅2→v0 = 50 m/sb) tuk=v0/g= 5 s, H = v0⋅tuk-(g/2)⋅tuk

2 = 250 – 125 = 125 m

ZADACI; Vertikalni hitac

60

Horizontalni hitac

v(t)

x

gt

y

Hv0

v0

xmax = D = v0· tuk

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

gHtuk

2

( )( )220)( tgvtv ⋅+=

31

61

19.12. Tijelo je bačeno horizontalno s visine 150m početnom brzinom 45m/s. Izračunajte: a) ukupno trajanje hica, b) domet hica i c) brzinu tijela prilikom pada na tlo.

R: a) tuk = 5.5 s, b) D = 247.5 m i c) vuk = 70.9 m/s = 255 km/h

20. 12. Tijelo je bačeno s visine 120m u horizontalnom smjeru i konačna brzina koju je tijelo postiglo prilikom pada na tlo iznosi 55 m/s. Izračunajte: a) početnu brzinu kojom je tijelo izbačeno, i b) domet tijela.

R: a) v0 = 25 m/s, b) D = 122.5 m

ZADACI; horizontalni hitac