Upload
riska-lidia
View
385
Download
36
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Mteri kulian gelombang semester IV Unnes.
Citation preview
BAB 2
KINEMATIKA GELOMBANG
Alam semesta ini dipenuhi berbagai jenis gelombang baik yang termasuk gelombang
mekanik maupun elektromgnetik. Contohnya, gelombang gempa (seismik), gelombang
permukaan air, gelombang bunyi, gelombang elektromagnetik diantaranya gelombang TV,
gelombang radio, gelombang mikro, cahaya tampak, ultra violet, dan sinar X. Selain itu
juga ada gelombang gempa bumi dan gelombang otak yang kesemuanya hanya sebagian
kecil dari contoh-contoh gelombang yang ada di permukaan bumi.
Perbedaan antara gelombang dan getaran adalah bahwa gelombang merupakan
getaran yang merambat melalui medium tertentu, atau gelombang bergerak dalam ruangan,
sedangkan getaran tidak merambat atau terlokalisasi. Sebagai contoh adalah gelombang
bunyi di udara yang berasal dari getaran pita suara manusia. Suara manusia terjadi karena
adanya getaran pita suara di tenggorokan. Tetapi gelombang bunyi dihasilkan oleh getaran
pita suara yang merambat melalui udara (merupakan medium bagi gelombang bunyi). Oleh
karena itu jika kita berbicara tentang gelombang harus membahas juga tentang medium
bagi gelombang tersebut.
Untuk getaran, variabel waktu (t) merupakan satu-satunya variabel bebas, artinya jika
ditetapkan suatu harga t, maka akan diperoleh nilai sesaat pada besaran getaran. Untuk
gelombang, selain variabel waktu (t), kita mempunyai variabel bebas lain, yaitu koordinat
x.
Dalam bab kinematika gelombang ini kita akan mempelajari tentang terjadinya
gelombang, persamaan gelombang, gelombang sinusoidal, dan nonsinusoidal serta
superposisi gelombang. Sebelum mempelajari bab ini sebaiknya kita sudah memahami
lebih dahulu segala sesuatu yang berkaitan dengan getaran.
2.1. Terjadinya Gelombang Transversal
Jika sebuah massa digantungkan pada suatu pegas kemudian pegas tersebut ditarik
atau ditekan dan kemudian dilepaskan, maka akan terjadi getaran. Apabila gesekan
diabaikan, maka sistem pegas massa ini akan terus bergetar. Jika sebuah tali yang ringan
36
diikatkan pada massa, maka tali akan ikut bergetar bersama massa. Pada saat yang
bersamaan terbentuk pola gelombang yang merambat sepanjang tali, dengan periode
tertentu.
Gambar 2.1 berikut menunjukkan keadaan tali pada saat t = 0 sampai dengan t = T
(satu periode), atau ketika getaran yang merambat tersebut difoto pada saat-saat tertentu,
sebuah titik bergerak naik turun pada tali walaupun gelombang tali bergerak dari kiri ke
kanan.
t = 0
a b c d e f g
t = T/4
t = T/2
t = 3T/4
t = T
Gambar 2.1. Gelombang mekanik pada tali oleh sistem pegas massa
37
Gelombang yang merambat pada tali yang disebabkan oleh getaran massa pada
Gambar 2.1 merupakan salah satu contoh dari gelombang mekanik. Pada Gambar 2.1.
tampak bahwa semua titik dalam medium tali bergerak naik turun, dan gelombang tali
merambat dari kiri ke kanan. Pada saat t = 0, semua titik masih dalam keadaan setimbang.
Pada saat t = T/4, titik a bergerak keatas, sedangkan titik yang lain masih diam. Pada t =
T/2, titik a sudah turun dan berada dalam posisi setimbang, titik b berada di posisi atas,
sedangkan titik yang lain masih diam. Pada t = 3T/4, titik a berada di posisi bawah, titik b
kembali pada posisi setimbang dan titik c berada di atas, sedangkan titik yang lain masih
diam. Pada saat t = T (satu periode), titik a kembali pada kedudukan setimbang, titik b
berada di bawah, titik c berada pada posisi setimbang dan titik d sedang berada pada posisi
atas, sedangkan titik yang lain masih diam. Demikian seterusnya, gerakan semua titik
dalam medium tali dari waktu ke waktu berikutnya.
Dapat kita lihat, bahwa pada saat t = T (satu periode), maka gelombang sudah
menempuh jarak sepanjang satu panjang gelombang ( ) atau sama dengan panjang satu
bukit gelombang ditambah satu lembah gelombang. Dengan kata lain, panjang gelombang
adalah jarak yang ditempuh oleh gelombang selama satu periode.
Jika cepat rambat gelombang atau jarak yang ditempuh oleh gelombang tiap satuan
waktu dinyatakan dengan cw , maka hubungan antara cw, dan T adalah
(2.1)
Frekuensi gelombang adalah jumlah gelombang yang melewati sebuah titik tiap
satuan waktu. Karena , maka
(2.2)
Contoh gelombang yang telah dibahas di depan adalah gelombang sinusoidal
(gelombang harmonis). Jika sumber getar berupa sinusoidal, maka gelombang yang
dihasilkan juga berbentuk sinusoidal. Seandainya kita memegang tali kemudian
menghentakkannya, maka bentuk gelombang yang terjadi adalah pulsa. Namun pulsa juga
merambat sama halnya dengan perambatan gelombang sinusoidal seperti Gambar 2.2
berikut ini.
cw
38
Gambar 2.2 Perambatan gelombang pulsa
Sesungguhnya yang kita saksikan dalam kehidupan sehari-hari jauh dari keadaan
gelombang sinusoidal sederhana. Gelombang-gelombang tersebut memiliki struktur yang
cukup rumit. Suara manusia dapat dengan mudah disaksikan di osiloskop dengan
mendekatkan mikrofon ke tenggorokan. Maka tampak pada osiloskop bentuk gelombang
yang cukup rumit yang hampir tidak mendekati gelombang sinusoidal.
Tidaklah penting seberapa rumit bentuk gelombang, tetapi tetap ada jalan keluar
untuk mendekati bentuk gelombang-gelombang tersebut ke dalam bentuk gelombang-
gelombang sinusoidal. Prosedur ini disebut dengan analisis fourier yang akan kita pelajari
dalam bab ini juga. Oleh karena itu kita dapat mendiskusikan gelombang dalam bentuk
fungsi sinusiodal sederhana, cosinus atau sinus.
2.2. Gelombang Sinusoidal atau Gelombang Harmonis
Jika sebuah gelombang sinusiodal dengan amplitudo A meter, frekuensi υ hertz,
dan panjang panjang gelombang meter merambat ke arah sumbu x positif dengan
kecepatan cw m/s, maka gerakan semua titik di sepanjang gelombang mempunyai
simpangan y yang dapat dinyatakan dengan
(t = 0) (2.3)
yang merupakan bentuk periodik dengan jarak tempuh . Hasil pemotretan selanjutnya saat
t = , yaitu saat seluruh bentuk gelombang telah berpindah ke arah x positif sejauh cw
meter. Jika fungsi f (x) berubah kedudukan ke arah sumbu x positif sejauh a diberikan oleh
persamaan f (x-a), maka persamaan yang menggambarkan bentuk gelombang saat t =
diberikan oleh :
39
(2.4)
Saat t = 2 (pemotretan ketiga), persamaan bentuk gelombangnya adalah :
(2.5)
dan seterusnya, sehingga kita dapat dengan mudah membuat persamaan untuk kasus
sembarang waktu t, dan sembarang posisi x dengan persamaan
(2.6)
Jadi dapat kita lihat, bahwa simpangan merupakan fungsi f (x,t) dan dapat ditulis:
f (x,t) = (2.7)
dengan dinamakan sudut phase gelombang. Untuk selanjutnya, kita
perkenalkan suatu besaran yang didefinisikan sebagai , yang disebut bilangan
gelombang, yang menyatakan banyaknya gelombang tiap satuan panjang. Satuan bilangan
gelombang adalah 1/m atau m-1. Dengan demikian persamaan (2.7) dapat ditulis sebagai
f(x,t) =
Pada umumnya persamaan gelombang sinus ditulis sebagai berikut
atau (2.8)
adalah konstanta phase, yaitu sudut phase gelombang pada x = 0 dan t = 0
40
cw
t = 0 x
t = x cw
t = 2 2 cw x
Gambar 2.3. Hasil pemotretan gelombang pada saat t = 0, dan pada saat gelombang sudah berpindah sejauh cw dan sejauh 2cw
Sampai pada persamaan (2.8) kita masih membatasai diri pada persoalan
gelombang tali. Gelombang semacam ini baik sekali digunakan sebagai contoh penjalaran
gelombang dan sifat gelombang satu dimensi, sebab medium yang digunakan, yaitu tali,
dapat dianggap mempunyai dimensi satu. Jadi tali dianggap hanya mempunyai panjang
saja dan gelombang hanya dapat menjalar disepanjang tali, sehingga hanya ada satu
dimensi arah penjalaran. Dengan mempelajari sifat gelombang pada tali, kita dapat
mempelajari banyak sifat gelombang yang lain.
Contoh 2.1
Cepat rambat gelombang dalam tali adalah 20 m/s. Penggetar yang mempunyai
frekuensi 15 hertz dikaitkan dengan ujung tali tersebut. Carilah dari gelombang
yang muncul dalam tali. Jika amplitudonya 2,0 cm tentukan persamaan gelombang
tali tersebut !
Penyelesaian
41
Persamaan gelombang secara umum adalah
y = A sin (kx - t)
Panjang gelombang dapat ditentukan
Sehingga persamaan gelombang yang merambat pada tali adalah
y = 0,02 sin (4,83 x – 94,25 t) meter
Gelombang dua dimensi
Gelombang pada permukaan air merupakan suatu contoh gelombang dua dimensi,
karena medium gelombang ini yaitu permukaan air, mempunyai dimensi dua, yaitu
panjang dan lebar. Gelombang periodik pada permukaan air dapat berupa gelombang
lingkaran atau gelombang lurus. Sebuah gelombang disebut gelombang lingkaran jika
muka gelombang berbentuk lingkaran dan disebut gelombang lurus jika muka gelombang
berbentuk garis lurus.
Gambar 2.4. Gelombang lurus sinus menjalar pada arah
Dalam medium berdimensi dua, vektor kecepatan gelombang dinyatakan dengan
vektor . Bilangan gelombang juga harus dinyatakan dengan vektor yang memenuhi
42
x
k
Y’
Muka gelombang
X’y
P
Q
x
hubungan , dengan sebagai frekuensi gelombang. Jadi
arah sinar gelombang dapat dinyatakan oleh vektor gelombang . Pada Gambar 2.4. sudut
phase gelombang di titik P sama dengan sudut phase gelombang di titik Q, karena kedua
titik ini terletak pada muka gelombang yang sama. Sudut phase di titik Q adalah
dan sudut phase di titik P adalah
Selanjutnya, suatu gelombang lurus atau gelombang datar dapat kita nyatakan dengan
fungsi gelombang
(2.9)
dengan adalah vektor bilangan gelombang yang mempunyai besar dan mempunyai
arah sama dengan arah rambat gelombang.
Contoh 2.2
Suatu gelombang yang menjalar pada permukaan air mempunyai persamaan
dengan dan . Tentukan
panjang gelombangnya. Tentukan pula besar sudut phase dan simpangannya pada
dan pada saat t = 10 detik
Penyelesaian
Panjang gelombang dapat ditentukan dengan persamaan
atau
= 20 cm
Sudut phase gelombang di dan pada saat t = 10 detik, adalah
43
rad
Simpangannya adalah
2.3. Persamaan Diferensial Gelombang
Sudah dijelaskan di awal bahwa gelombang merupakan gejala perambatan
gangguan dengan sumber gangguan berupa sistem getaran. Telah kita ketahui pula bahwa
sistem getaran mempunyai fungsi yang bergantung kepada waktu, yaitu f(t), dan
persamaan diferensial getaran mempunyai bentuk
Untuk persamaan gelombang haruslah ada tambahan variabel dari perambatan (dimensi
ruang), sehingga persamaan gelombang dapat dinyatakan seperti persamaan (2.8).
Untuk = 0, maka persamaan gelombang mempunyai bentuk
(2.10)
persamaan tersebut adalah periodik untuk koordinat ruang x dan waktu t, sehingga
persamaan diferensialnya berisi dan yang dapat dituliskan sebagai berikut
44
Jika (2.11)
Persamaan (2.11) berlaku secara umum untuk segala macam gelombang bebas satu
dimensi, baik gelombang transversal maupun longitudinal. Persamaan ini juga tidak
bergantung pada jenis medium.
Jika dinamakan diferensial parsial dan dapat dituliskan
sebagai , maka
Sehingga dapat disimpulkan bahwa untuk gelombang satu dimensi
(2.12)
atau (2.13)
Persamaan (2.12) disebut dengan persamaan gelombang dalam bentuk diferensial, yang
mempunyai solusi
tanda (-) artinya gelombang merambat ke kanan, dan (+) menyatakan arah rambatnya ke
kiri. Fungsi f(x - cwt) tidak selalu mempunyai bentuk sinusiodal, tetapi dapat mempunyai
beberapa bentuk, misalnya pulsa, segitiga, bujursangkar dan sebagainya, atau yang disebut
dengan gelombang nonsinusiodal. Sebagai contoh, marilah kita lihat persamaan gelombang
yang dinyatakan dengan
45
dengan A = amplitudo dan a = lebar pulsa. Pada t = 0
Fungsi ini mempunyai bentuk pulsa eksponensial yang merambat kearah positif dengan
cepat rambat cw, setelah t detik, pulsa menempuh jarak cw t seperti pada Gambar 2.5.
f(x,t)
A Cω t
t =0 Cω t t
Cω t
x
Gambar 2.5. Gelombang pulsa eksponensial dilihat pada saat yang berbeda
Meskipun persamaan (2.12) diturunkan untuk kasus khusus gelombang satu
dimensi yaitu f (x,t) yang merambat dalam arah x, tetapi bentuk persamaannya berlaku
secara umum. Untuk gelombang tiga dimensi f (r,t) dalam koordinat Cartesius, persamaan
gelombangnya adalah
(2.13a)
dengan operator del (nabla)
(2.13b)
Persamaan (2.13a) mengungkapkan persamaan gelombang datar, yaitu muka
gelombangnya (tempat kedudukan titik-titik yang berphase sama berupa bidang datar).
Untuk gelombang bola, dengan transformasi ke koordinat bola, persamaan (2.13a)
menjadi
(2.13c)
46
Untuk tempat yang jauh dari sumber r >>, gelombang bola dapat dipandang sebagai
gelombang datar, karena jari-jari muka gelombang mendekati tak hingga, sehingga muka
gelombangnya mendekati bidang datar.
Contoh 2.3
Jelaskan manakah di antara fungsi-fungsi berikut ini yang mengungkapkan secara
nyata sebuah gelombang merambat dan berapakah kecepatannya
a.
b.
Penyelesaian
Suatu fungsi akan merupakan fungsi gelombang merambat jika memenuhi
persamaan gelombang umum (Persamaan 2.12). Untuk itu marilah kita lihat apakah fungsi
yang tertulis dalam soal a dan b memenuhi persamaan (2.12)
a.
(2.14)
(2.15)
Dari persamaan (2.14) dan (2.15) maka dapat disimpulkan bahwa
47
, dengan mengingat persamaan (2.12), maka fungsi tersebut adalah
menyatakan persamaan gelombang merambat, dengan kecepatan rambatnya sebesar
.
b.
(2.16)
(2.17)
Dari persamaan (2.16) dan (2.17), dapat disimpulkan bahwa
sehingga fungsi bukan persamaan
gelombang merambat
2.4. Superposisi Gelombang
Kita telah mengetahui bahwa jika suatu gelombang merambat melalui suatu titik,
maka gelombang itu akan menimbulkan gangguan di titik tersebut. Gangguan ini dapat
berupa besaran vektor dan dapat pula berupa besaran skalar. Gangguan yang berupa
besaran vektor, misalnya kuat medan listrik dan magnet pada gelombang elektromagnetik
serta simpangan elemen dawai pada gelombang transversal dalam dawai tegang. Gangguan
skalar misalnya perubahan tekanan pada gelombang bunyi. Semua gangguan tersebut
bergantung kepada posisi titik yang kita tinjau dan juga tergantung pada waktu (saat
terjadinya gangguan).
Pada bagian ini kita akan membahas apa yang terjadi jika kita mempunyai dua atau
lebih gelombang yang sejenis melalui suatu titik atau melalui deretan titik-titik dalam
48
ruang atau yang melalui suatu daerah dalam ruang. Sebagai contoh dua gelombang bunyi
yang sama-sama berada di udara.
Prinsip superposisi yaitu sifat yang menyatakan bahwa resultan gangguan di setiap
titik dalam suatu medium adalah jumlah aljabar dari masing-masing gelombang yang
membentuknya. Untuk pembahasan berikut ini kita batasi pada gelombang sinus.
2.4.1. Superposisi dua gelombang sinus yang memiliki amplitudo sama tapi frekuensi
berbeda
Kita bahas terlebih dulu dua gelombang sinus yang mempunyai amplitudo sama,
tetapi mempunyai frekuensi berbeda yaitu dan ,yang keduanya merambat dalam arah
positif. Dua gelombang tersebut mempunyai bilangan gelombang yang berbeda yaitu k1
dan k2. Persamaan dua gelombang tersebut adalah
, dan
Hasil penjumlahan dua gelombang adalah
(2.18)
Ingat bahwa
(2.19)
maka
(2.20)
Jika dan mempunyai harga yang persis sama, demikian juga k1 dan k2, maka
persamaan gelombang resultan adalah
(2.21)
Dalam persamaan (2.21) tampak bahwa gelombang resultan mempunyai amplitudo dua
kali amplitudo gelombang asal.
Layangan
49
Jika dan mempunyai harga yang berselisih sedikit, demikian juga k1 dan k2,
sehingga dapat dinyatakan bahwa
dengan berharga kecil (2.22)
demikian juga
dengan berharga kecil (2.23)
maka persamaan gelombang resultan adalah
(2.24)
Karena
Dan
Dari persamaan (2.24) dapat dilihat bahwa gelombang resultan merupakan gelombang
harmonis, yang mempunyai amplitudo
(2.25)
Amplitudo ini juga berbentuk gelombang yang merambat dengan kecepatan
(2.26)
amplitudo gelombang berbentuk amplop atau group gelombang, sehingga disebut
gelombang group. Kecepatan gelombang group dinyatakan dengan
(2.27)
dengan panjang gelombangnya adalah
(2.28)
Dari persamaan (2.24) kecepatan gelombang harmonis disebut kecepatan phase
(2.29)
dan panjang gelombangnya adalah
(2.30)
50
Jika kita gambarkan masing-masing gelombang dan superposisinya ini, seperti
Gambar 2.6. Pada gambar tampak bahwa hasil superposisi kedua gelombang berupa
gelombang group (amplop) dengan kecepatan gelombangnya disebut kecepatan group.
Gambar 2.6. Hasil superposisi dua gelombang dengan perbedaan frekuensi yang kecil
Jika kita memotret gelombang resultan yang dinyatakan dalam persamaan (2.24)
atau kita potret gelombang tersebut pada saat t = 0, maka
(2.31)
Karena k<< k maka panjang gelombang yang berkaitan dengan adalah
, dengan demikian > karena dan adalah panjang gelombang
layangan.
Periode layangan = (2.32)
Dan frekuensi layangan adalah = (2.33)
Contoh terjadinya layangan adalah jika dua sumber gelombang bunyi yang masing-masing
mempunyai frekuensi dengan beda sedikit, misal 567 Hz dan 570 Hz yang dibunyikan
bersama-sama, maka akan kita dengar bunyi layangan dengan frekuensi 7 layangan per
detik.
Contoh 2.4
Dua buah gelombang sinusiodal mempunyai persamaan
dan . Tentukan
a. persamaan gelombang resultannya
51
b. frekuensi layangan
c. panjang gelombang layangan
Penyelesaian
a. Persamaan gelombang resultannya adalah
b, Frekuensi layangan adalah
c. Panjang gelombang layangan =
Gelombang dispersif dan nondispersif
Gelombang yang diungkapkan dengan persamaan (2.13) mempunyai cepat rambat
yang konstan. Grafik frekuensi sudut sebagai fungsi bilangan gelombang k
ditunjukkan pada Gambar 2.7. Hubungan antara dan k disebut dengan hubungan
dispersif. Gelombang dengan kecepatan konstan, tak bergantung frekuensi disebut dengan
gelombang nondispersif.
Gambar 2.7. Hubungan dan k untuk gelombang nondispersif
52
k
Slope =
Selama merambat, gelombang nondispersif mempunyai pola yang tetap. Bila gelombang
berupa pulsa, maka pulsa akan merambat tanpa mengalami deformasi, seperti ditunjukkan
pada Gambar 2.8.
Cw t
x
Gambar 2.8. Pola gelombang nondispersif
Jika kecepatan rambat gelombang tergantung pada frekuensi gelombang, maka
gelombang tersebut dinamakan gelombang dispersif. Pada gelombang dispersif, hubungan
antara frekuensi dengan panjang gelombang k tidak linier. Kecepatan gelombang
dispersif dinyatakan dengan . Gambar 2.9 menggambarkan hubungan antara
frekuensi dan panjang gelombang k dalam gelombang dispersif.
k
Gambar 2.9. Dalam gelombang dispersif, kecepatan group tidak sama
dengan kecepatan phase
Dalam medium dispersif, pulsa yang merambat mengalami perubahan bentuk,
semakin lama, tinggi pulsa makin pendek dan lebar pulsa makin besar, seperti ditunjukkan
pada Gambar 2.10. Untuk gelombang mekanik, hampir semua medium bersifat dispersif,
misal gelombang yang merambat pada tali, maka semakin lama, tinggi pulsa makin rendah
dan akhirnya hilang sama sekali. Sedangkan contoh untuk gelombang nondispersif adalah
gelombang elektromagnet yang merambat dalam hampa.
Hubungan kecepatan group dan kecepatan gelombang (kecepatan phase) adalah
maka
53
Q
groupkecepatandk
d
Sedangkan
(2.34)
Karena maka , sehingga persamaan (2.34) dapat dituliskan
(2.35)
Berarti kecepatan group tergantung pada panjang gelombang medium. Medium yang
mempunyai sifat seperti ini disebut medium dispersif. Pada gelombang dispersif, kecepatan
group tidak sama dengan kecepatan phase atau
(2.36)
CP t
P CP ≠ CA
CA t
P’
A A’
x
Gambar 2.10. Dalam medium dispersif, pulsa yang merambat mengalami perubahan bentuk.
Contoh 2.5.
Suatu gelombang mempunyai hubungan -k (hubungan dispersif) yang
dinyatakan dengan .
a. Selidikilah apakah gelombang tersebut dispersif atau nondispersif
b. Carilah kecepatan phase dan kecepatan group pada k = 100 rad/m
Penyelesaian
a. Kecepatan phase gelombang = = 1000 – 3x 10-2 k2
54
Kecepatan group =
Karena kecepatan phase kecepatan group, maka gelombang tersebut bersifat
dispersif.
b. Pada saat k = 100 rad/m, kecepatan phase gelombang adalah = 700 rad/m
kecepatan group gelombang adalah = 100 rad/m
2.4.2. Superposisi dua gelombang yang mempunyai frekuensi dan amplitudo sama,
tetapi phase berbeda
Misal dua gelombang tersebut mempunyai persamaan masing-masing adalah
dan
Hasil superposisi kedua gelombang tersebut adalah
(2.37)
Gelombang resultan adalah gelombang harmonis, yang mempunyai frekuensi sama dengan
frekuensi gelombang penyusun, tetapi mempunyai amplitudo sebesar
(2.38)
Jika << , maka besarnya amplitudo hampir sama dengan 2A, dan jika ,
maka besarnya amplitudo mendekati harga nol.
Jika = 0, maka besar amplitudo sama dengan 2A, dalam hal ini jika dua
gelombang yang bersuperposisi mempunyai phase sama, dikatakan bahwa dua
gelombang tersebut saling konstruktif.
Jika , maka besarnya amplitudo sama dengan nol, atau dalam hal ini dua
gelombang yang bersuperposisi mempunyai phase yang berlawanan dan hasilnya
adalah nol, dikatakan bahwa dua gelombang tersebut saling destruktif
55
Y = Y1 + Y2
Y2
Y1
(a)
Y2
Y = Y1 + Y2
(b)
Y1
Gambar 2.11. Superposisi dua gelombang a. Superposisi konstruktif, b. Superposisi destruktif
2.4.3. Superposisi dua gelombang harmonis dengan frekuensi sama, tetapi amplitudo
dan phase awal berbeda.
Jika kedua gelombang mempunyai amplitudo a1 dan a2, serta memiliki frekuensi
yang sama maka persamaan dua gelombang tersebut masing-masing dapat dituliskan
y1 = a1 sin (kx - t - 1)
y2 = a2 sin (kx - t - 2 )
Hasil superposisi dari dua gelombang dapat ditentukan dengan dua cara :
Cara aljabar
Dengan penjumlahan aljabar, gelombang resultan dapat dituliskan
y = a1 sin (kx - t - 1) + a2 sin (kx - t - 2) (2.39)
= a1 sin (X - 1) + a2 sin (X - 2)
= a1 sin X cos 1 – a1 cos X sin 1 + a2 sin X cos 2 – a2 cos X sin 2
= ( a1 cos 1 + a2 cos 2 ) sin X - ( a1 sin 1 + a2 sin 2 ) cos X
............(2.40)
Karena a1, a2, 1 dan 2 konstan, sehingga dapat dituliskan bahwa
56
a1 cos 1 + a2 cos 2 = A cos (2.41)
a1 sin 1 + a2 sin 2 = A sin (2.42)
Jika persamaan (2.41) dan (2.42) dikuadratkan kemudian dijumlahkan, maka hasilnya
dapat dituliskan
A2 ( cos2 + sin2 ) = a12 ( cos2 1 + sin2 1 ) + a2
2 ( cos2 2 + sin2 2 )
+ 2 a1 a2 ( cos 1 cos 2 + sin 1 sin 2 ) (2.43)
Atau A2 = a12 + a2
2 + 2 a1 a2 cos ( 1 - 2 ) (2.44)
dengan 1 - 2 adalah beda phase kedua gelombang.
Jika persamaan (2.42) dibagi dengan persamaan (2.41), maka diperoleh
tn = (2.45)
Sehingga persamaan gelombang resultan dapat dituliskan
y = A cos sin X – A sin cos X
y = A sin ( X - )
atau y = A sin (kx - t - ) (2.46)
Cara fasor
Misal kita mempunyai dua fungsi gelombang yang dinyatakan dengan
dan
Hasil superposisi kedua gelombang ini dapat dinyatakan dengan fungsi gelombang
(2.47)
Untuk menyelesaikan hal ini, tiap suku pada persamaan (2.47) kita pandang sebagai suatu
vektor. Untuk gelombang pertama
, kita pandang sebagai vektor
yaitu suatu vektor yang panjangnya sama dengan amplitudo gelombang dan membuat
sudut dengan sumbu x. Jadi arah vektor ini dinyatakan oleh sudut
phasenya, terutama tetapan phasenya, oleh karena itu disebut fasor.
571
y
x
1y
Arah acuan
a1
Gambar 2.13. vektor
Dengan menggunakan fasor, superposisi kedua gelombang pada persamaan (2.47)
merupakan jumlah fasor
a1
a2
1 2
xGambar 2.14. penjumlahan fasor
Dari diagram pada Gambar 2.14 dapat dilihat bahwa
AR2 = a1
2 + a22 + 2 a1 a2 cos ( 1 - 2 ) (2.49)
Dengan 1 - 2 adalah beda phase kedua gelombang
= (2.50)
Sehingga persamaan gelombang resultan dapat dituliskan
(2.51)
Contoh 2.6
Dua buah gelombang, masing-masing dinyatakan dengan fungsi gelombang
dan
Tentukan fungsi gelombang superposisinya !
Penyelesaian
58
AR
R0
Fungsi gelombang superposisi adalah
Amplitudo gelombang resultan dapat ditentukan dengan :
Tetapan phasenya dapat ditentukan dengan
Jadi fungsi gelombang superposisi adalah
2.4.4. Analisis Fourier
Telah diketahui bahwa getaran garpu tala adalah contoh dari getaran harmonis
tunggal sederhana. Jika kita mendengar suatu nada, kita katakan bahwa gelombang bunyi
yang berasal dari garpu tala masuk ke telinga kita. Seperti halnya garpu tala, udara yang
dilewati gelombang bunyi bergetar secara harmonis, yaitu dengan naik turunnya tekanan
udara yang dilewati gelombang bunyi tersebut. Gelombang bunyi yang berasal dari garpu
tala tersebut adalah gelombang sinusoidal murni dengan frekuensi tertentu.
Bila beberapa nada murni kita dengar secara serentak, gelombang resultan tidak
lagi merupakan fungsi sinus tunggal, tetapi jumlah dari fungsi-fungsi sinus. Misal
gelombang radio yang dipancarkan oleh statsion pemancar bukan gelombang sinus murni,
tetapi merupakan gabungan dari beberapa gelombang sinus. Metode untuk mempelajari hal
ini dikenal dengan analisis Fourier. Contoh penjumlahan fungsi-fungsi harmonis
(2.52)
59
1 sin x
0 π 2π x
- 1
1 sin x + 1/3 sin 3x
0 π 2π x
- 1
1 sin x + 1/3 sin 3x + 1/5 sin 5x
0 π 2π x
- 1
1 sin x + 1/3 sin 3x + 1/5 sin 5x + 1/7 sin 7x
0 π 2π x
- 1
Gambar 2.16. penjumlahan fungsi-fungsi harmonis menghasilkan fungsi nonharmonis (tetapi masih periodik)
Bila f(t) suatu fungsi periodik sembarang dengan periode T, maka
(2.53)
t (waktu)
60
T T T
Gambar 2.17. Fungsi periodik bentuk sembarang dengan periode T
Karena dan dengan n bilangan bulat merupakan fungsi periodik,
maka suatu fungsi periodik dapat kita tuliskan
(2.54)
an dan bn adalah koefisien yang belum diketahui yang besarnya harus dicari untuk
menentukan fungsi f(t). Selanjutnya dengan menganggap , maka persamaan (2.54)
dapat ditulis sebagai
(2.55)
dan periode fungsi menjadi 2 . Untuk menentukan an dan bn, marilah kita ingat kembali
bahwa
Hal ini dapat dibuktikan dengan mudah, jika kita mengingat
.
61
Persamaan (2.55) dikalikan dengan cos nx, kemudian diintegralkan dengan interval 0
sampai 2 , maka diperoleh
(n = 1, 2, 3, ……..) (2.56)
Untuk menentukan bn, Persamaan (2.55) kita kalikan dengan sin nx, dan
mengintegralkannya, sehingga kita peroleh
(n = 1, 2, 3, ……..) (2.57)
Sedangkan koefisien ao dapat ditentukan dengan
(2.58)
Jadi ao adalah harga rata-rata dari fungsi f(x)…
Contoh 2.7
Tentukan deret Fourier untuk gelombang bujursangkar yang tampak seperti gambar
di bawah ini.
f (x)
+1
0 π 2π 3π 4π 5π x
- 1
Penyelesaian
Fungsi f(x) pada persoalan ini berbentuk fungsi ganjil (tidak simetri disekitar titik
nol), sehingga ao = 0, dan juga an = 0
62
untuk n ganjil
= 0, untuk n genap
Dengan demikian : , , ,……….
Maka rentetan gelombang bujursangkar dapat dituliskan dalam ekspansi Fourier, sebagai
SOAL-SOAL
2.1. Jelaskan mana di antara fungsi-fungsi berikut ini yang menyatakan sebuah gelombang
berjalan dan berapakah kecepatannya
a. Y = A sin (x2 -2xt + t2)
b. Y = A exp (x – 3t)
c. Y = A sin2(x – 2t)
2.2. Gelombang pada seutas tali dinyatakan oleh (x,t) = 10 sin (10x - 4t) dalam SI.
Tentukan:
a. Kecepatan rambat gelombang v, , k, , T
b. Kecepatan berosilasi maksimum
c. Pergeseran kedudukan titik x = 0 dan x = 1/5 m pada t = nT/8, n = 0.1,2,..8 detik
dan beda phase osilasi tersebut
d. Bentuk gelombang pada t = 0 dan t = 0,5 s (gambarkan pergeseran phasenya)
63
2.3. Sebuah titik A yang bergetar harmonis menghasilkan gelombang transversal berjalan
dengan cepat rambat 60 m/s. Frekuensi getaran 10 Hz dan amplitudo 2 cm. Jika titik
A memulai gerakannya ke arah atas, hitunglah phase, simpangan, arah gerak titik B
pada gelombang itu. Titik B berada 5 m dari A, pada saat A telah bergetar ¾ s.
2.4. Sepotong tali AB yang sangat panjang ditegangkan. Ujung A digetarkan transversal
dengan frekuensi 5 Hz dan amplitudo 5 cm. Cepat rambat gelombang yang terjadi 1,8
m/s. Berapakah simpangan titik P yang berjarak 1 m dari A, setelah A digetarkan
selama 2 s.
2.5. Suatu gelombang pada permukaan air diketahui mempunyai persamaan
dengan
sedangkan . Tentukan simpangan gelombang pada
dan pada saat t=10 s. Tentukan berapa panjang gelombangnya.
2.6. Suatu gelombang lurus pada permukaan air menjalar dengan arah membuat sudut
sebesar 30 o terhadap sumbu x. Bila diketahui frekuensi getar sumber 60 Hz dan
panjang gelombangnya 2 cm, sedang pada posisi dan pada saat t =0, simpangan
gelombang sama dengan nol, saat itu medium sedang bergerak ke bawah. Bila
amplitudo gelombang 0,5 cm. Tentukan fungsi gelombang tersebut, dan tentukan pula
simpangan gelombang pada posisi pada saat t = 2 s.
2.7. Suatu gelombang mempunyai hubungan dispersif -k yang diberikan oleh persamaan
= 103k – 3 . 10-5 k3 rad/s
a. Plot grafik terhadap k untuk 0 k 3 . 103 rad/m
b. Tunjukkan apakah gelombang tersebut terdispersi atau tidak
c. Tentukan kecepatan grup dan kecepatan phase pada k = 103 rad/m
2.8. Dua gelombang merambat dalam satu garis yang sama dengan persamaan
y1 = 25 sin (kx - t - /4) dan y2 = 15 sin (kx - t - /6) dalam SI. Tentukan
a. Superposisi antara y1 dan y2
b. Amplitudo resultannya
c. Sudut phase awal
2.9. Tentukan persamaan gelombang resultan dari perpaduan 2 gelombang yang
mempunyai persamaan y1 = 6 sin (kx - t-45o) dan y2 = 6 cos (kx - t+60o)
64
2.10. Tentukan deret Fourier untuk fungsi yang mempunyai bentuk gigi gergaji seperti
gambar berikut ini
f (x)
+ 1
- 3π - 2π - π 0 π 2π 3π 4π x
DAFTAR PUSTAKA
Crawford,F.S.,1968. Waves. New York:McGraw-hill Book Comp[any
Hirose, K and K.E Longren , 1985. Introduction to Wave Phenomena. Singapore: John
Wiley and Sons.
Jenkins and White. 1988. Fundamentals of Optics. Tokyo : McGraw-Hill International
Book Company
M.O. Tjia, 1994. Gelombang. Jakarta: Dabara Publisher
Pain, H.J. 1989 . The Physics of Vibrations and Waves.. Singapore: McGraw-Hill
Publishing Company.
Sutrisno. 1984. Fisika Dasar : Gelombang Dan Optik. Bandung : Penerbit ITB
Zahara Muslim. 1998. Gelombang dan Optika. Jakarta : Departemen Pendidikan Dan Kebudayaan Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi Proyek Pembinaan Tenaga Kependidikan Pendidikan Tinggi
65