2 - Matematička Obrada v5 - Crna

21

2. SLUĈAJNE PROMENLJIVE I NJIHOVE RASPODELE

Posmatrajmo eksperiment bacanja kocke sa stranicama obojenim različitim bojama. Svakoj boji moţemo

pridruţujemo neki broj. Na primer:

bela → 1, ţuta → 2, crvena → 3, narandţasta → 4, zelena → 5, plava → 6

Na ovaj način smo izvršili preslikavanje boja u brojeve, pri čemu moţemo definisati jednu promenljivu

koja upravo poprima ove numeričke vrednosti.

Definicija II - 1 Slučajna promenljiva X je preslikavanje skupa elementarnih dogaĎaja Ω nekog

eksperimenta u skup realnih brojeva

:X (II-1)

Označimo sa D skup svih mogućih vrednosti slučajne X. Tada vaţi D .

Na sledećoj slici prikazano je preslikavanje pet elemenata iz skupa Ω na brojnoj pravoj.

Preslikavanje koje se pominje u prethodnoj definiciji ne mora biti bijektivno. Na primer, u eksperimentu

bacanja kocke, moţemo definisati promenljivu X tako da je 0X ako je dobijen paran broj i 1X ako

je dobijen neparan broj. Ovde se po tri elementarna dogaĎaja preslikavaju u jedan isti realan broj.

Slučajne promenljive označavamo velikim slovima X, Y, Z, …, a njihove vrednosti odgovarajućim malim

slovima x, y, z, …

Primer II - 1

1) Bacamo obojenu kocku. Skup elementarnih dogaĎaja je = {bela, ţuta, crvena, narandţasta, zelena,

plava}. Pridruţimo svakoj boji iz skupa redom sledeće vrednosti iz skupa D = {1,2,3,4,5,6}. Na taj

način dolazimo do sledećeg preslikavanja: X(bela)=1, X(ţuta)=2, X(crvena)=3, X(narandţasta)=4,

X(zelena)=5, X(plava)=6.

2) Bacamo dve kocke, crvenu i zelenu, čije su stranice označene tačkicama od 1 do 6. Prostor

elementarnih dogaĎaja je = {(1,1),(1,2),(1,3),...,(6,5),(6,6)} = {(a,b): a,b{1,2,3,4,5,6}}.

Definišemo tri različite slučajne promenljive

a) X = broj tačkica na kockama, D = {2,3,4,...12}; npr. X((1,3)) = 4

b) Y = razlika broja tačkica na crvenoj i zelenoj kocki, D = {-5,-4,-3,...5}; npr. Y((1,3)) = -2

c) Z = proizvod broja tačkica na crvenoj i zelenoj kocki, D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16,

18, 20, 24, 25, 30, 36}; npr. Z((5,3)) = 15

3) Studentima u učionici moţemo npr. pridruţiti slučajne promenljive

a) X = mesec roĎenja

b) Y = visina zaokruţena na centimetre

22 Slučajne promenljive i njihove raspodele

4) Bacanje novčića jednom

Ω={P,G}; D={0, 1}, X(P)=1, X(G)=0

5) Bacamo novčić dok ne padne pismo. Prostor elementarnih dogaĎaja je Ω = {(P),(GP),(GGP),....};

Slučajna promenljiva je Y = broj bacanja dok ne padne pismo. Skup D svih mogućih vrednosti

slučajne promenljive X je D = = {1,2,3,...}. Preslikavanje je definisano sa Y((P))=1, Y((GP))=2,

Y((GGP))=3, ....

6) Pad cena odreĎenog artikla u % u Srbiji na dan 1.12.2009. Skup Ω = {skup svih padova cena datog

proizvoda u Srbiji na dan 1.12.2009.}; D=[0,100%]

Napomena II - 1

Slučajevi 1-4: Definisane slučajne promenljive su diskretne i konačne.

Slučaj 5: Slučajna promenljiva je diskretna sa beskonačno mnogo prebrojivih vrednosti.

Slučaj 6: Slučajna promenljiva je kontinualna. Ona na konačnom intervalu moţe da poprimi

beskonačno mnogo neprebrojivih vrednosti.

Funkcija definisana sa (II-2) zove se raspodela sluĉajne promenljive X.

Definicija II - 2 Diskretna sluĉajna promenljiva je ona slučajna promenljiva za koju je skup mogućih

vrednosti konačan ili prebrojiv.

Definicija II - 3 Neprekidna (kontinualna) sluĉajna promenljiva je ona slučajna promenljiva za koju

je skup mogućih vrednosti neprebrojiv skup.

Slučajna promenljiva X je neprekidna (kontinualna) ako je skup njenih mogućih vrednosti interval na

brojnoj pravoj, skup intervala realnih brojeva ili cela realna brojna osa.

Slučajnoj promenljivoj X moţe se pridruţiti verovatnoća PX, definisana na skupovima realnih brojeva, na

sledeći način

XP B P X B (II-2)

gde je B podskup skupa svih mogućih vrednosti slučajne promenljive X B D . Funkcija definisana sa

(II-2) naziva se raspodela sluĉajne promenljive X.

Funkcija XP B definisana je na skupu podskupova od , što predstavlja izvesno ograničenje u primeni

mnogih metoda matematičke analize u . Zbog toga se uvodi jedan nov pojam, funkcija raspodele F

slučajne promenljive X, koja u sebi sadrţi sve potrebne informacije o raspodeli verovatnoće, ali ima

pogodniji oblik jer predstavlja realnu funkciju realne promenljive.

MeĎutim, pre nego što definišemo funkciju raspodele (za diskretne i neprekidne slučajne promenljive),

posmatrajmo sledeći problem. Umesto podskupa B, posmatrajmo pojedinačne vrednosti x slučajne

promenljive X i odredimo verovatnoće njihovog pojavljivanja. Na taj način dolazimo do definicije

zakona raspodele.

2.1 ZAKON RASPODELE DISKRETNE SLUĈAJNE PROMENLJIVE

Definicija II - 4 Zakon raspodele (ili kraće raspodela) slučajne promenljive X definisana je za svaki

broj x relacijom:

( )p x P X x (II-3)

Ovdje se P X x čita “verovatnoća da slučajna promenljiva X poprimi vrijednost x ”.

Kada se radi o diskretnoj slučajnoj promenljivoj, zakon raspodele se moţe preformulisati na sledeći

način.

Slučajne promenljive i njihove raspodele 23

Definicija II - 5 Skup vrednosti diskretne slučajne promenljive 1 2, ,x x , zajedno sa odgovarajućim

verovatnoćama 1 2, ,p p predstavlja zakon raspodele verovatnoće slučajne promenljive.

Zakon raspodele obično se predstavlja u obliku šeme

1 2

1 2

~x x

Xp p

(II-4)

Zakon raspodele diskretne slučajne promenljive moţemo prikazati tabliĉno, analitiĉki i grafiĉki.

Primer II - 2 Uz pretpostavku jednako verovatnih ishoda, raspodele verovatnoće za diskretne slučajne

promenljive iz Primera II - 1 (slučajevi 1,2,4,5) iznose

Slučaj 1. 1/ 6 , 1,2,3,4,5,6

( )0 ,

x Dp x

x D

Slučaj 2.a)

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

p(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

1

6 7 , 2,3,4,...,12( ) 36

0 ,

x x Dp x

x D

Slučaj 2.b)

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

p(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

1

6 , 5, 4,...,0,...,5( ) 36

0 ,

y y Dp y

y D

Slučaj 2.c)

z 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 16 18 20 24 25 30 36

p(z) 1/36 2/36 2/36 3/36 2/36 4/36 2/36 1/36 2/36 4/36 2/36 1/36 2/36 3/36 2/36 1/36 2/36 1/36

Slučaj 4) 1/ 2 , 0,1

( )0 ,

x Dp x

x D


Slučaj 5) 1/ 2 , 1,2,3,4,.....

( )0 ,

y yp y

y

Odgovarajući grafici raspodela verovatnoće prikazani su na sledećim slikama.

0 1 2 3 4 5 6 70.0

0.1

0.2

p(x

)

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 130.0

0.1

0.2

p(x

)x

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60.0

0.1

0.2

p(x

)

x

0 5 10 15 20 25 30 350.0

0.1

0.2

p(x

)

x

0 10.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

p(x

)

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

p(x

)

x

Napomena II - 2 Uvidom u analitičke izraze i odgovarajuće grafike za zakon raspodele diskretne

slučajne promenljive zaključujemo da je po pravilu 0P X osim u konačnom broju tačaka, kada je

0P X .

Vaţno:

( ) 1s D

p x

Slučaj 1 Slučaj 2a

Slučaj 2b Slučaj 2c

Slučaj 4 Slučaj 5


Kada se radi o neprekidnoj slučajnoj promenljivoj zakon raspodele nema smisla definisati, na šta

ukazuje sledeći primer.

Primer II - 3 Posmatrajmo neprekidnu slučajnu promenljivu koja predstavlja duţinu rada sijalice. Neka

ova slučajna promenljiva moţe uzeti bilo koju vrednost izmeĎu 0 i 1000 sati. Kako u intervalu 0,1000

ima neprebrojivo mnogo tačaka, ne postoji način da definišemo verovatnoću za svaku od pojedinačnih

vrednosti, što je bilo moguće u slučaju diskretne slučajne promenljive. Dakle, kod neprekidne slučajne

promenljive, zakon raspodele teţi nuli.

Na osnovu iskustva znamo da verovatnoća pregorevanja sijalice u baš tačno odreĎenom trenutku vremena

0,1000x iznosi 0, dok verovatnoća pregorevanja sijalice u nekom vremenskom intervalu

, 0,1000a b svakako se razlikuje od nule.

Da bi se prevazišao problem definisanja raspodele neprekidne slučajne promenljive, uvodi se funkcija

raspodele sluĉajne promenljive. Ova funkcija raspodele se sasvim ravnopravno moţe koristiti za

opisivanje kako diskretnih, tako i kontinualnih slučajnih promenljivih.

2.2 FUNKCIJA RASPODELE

Definicija II - 6 Neka je X slučajna promenljiva. Realna funkcija x F x definisana sa

( ) ,F x P X x x (II-5)

naziva se funkcijom raspodele sluĉajne promenljive X.

U literaturi se moţe naći i naziv kumulativna funkcija raspodele.

Za svaki x , ( )F x predstavlja verovatnoću da X ne poprimi vrednost veću od x .

Teorema II - 1 Osobine funkcije raspodele. Neka je F funkcija raspodele slučajne promenljive X. Tada

vaţi sledeće:

1. 0 1F x za svako x ,

2. F je monotono neopadajuća funkcija

3. ( ) 0F , ( ) 1F

Teorema II - 2 Neka je X slučajna promenljiva i neka je F njena funkcija raspodele, ( )F x P X x .

Ako su a i b realni brojevi takvi da je a b , tada je

1. ( ) ( ) ( )P a X b F b F a ,

2. ( ) ( ) ( )P a X b F b F a ,

3. ( ) ( ) ( )P a X b F b F a ,

4. ( ) ( ) ( )P a X b F b F a ,

5. ( ) ( ) ( )P X b F b F b ,

6. ( ) ( )P X b F b ,

7. ( ) 1 ( )P X a F a , ( ) 1 ( )P X a F a .

Sa a ( b ) označena je najveća vrednost promenljive X koja je strogo manja od a ( b ).

Na osnovu 5. tačke prethodne teoreme zaključujemo da je ( ) 0P X x ako i samo ako funkcija F ima

prekid prve vrste u tački x.

Napomena II - 3 Za diskretnu slučajnu promenljivu X funkcija raspodele se računa prema sledećem

izrazu

:

( )k

k

k x x

F x P X x P X x

(II-6)


Primer II - 4 Funkcije raspodele za disketne slučajne promenljive iz Primera II - 1 iznose

Slučaj 1.

Slučaj 2.a)

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

F(x) 1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 21/36 26/36 30/36 33/36 35/36 1

Slučaj 2.b)

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

F(x) 1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 21/36 26/36 30/36 33/36 35/36 1

Slučaj 2.c)

x 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 16 18 20 24 25 30 36

F(x) 1/36 2/36 2/36 3/36 2/36 4/36 2/36 1/36 2/36 4/36 2/36 1/36 2/36 3/36 2/36 1/36 2/36 1/36

Slučaj 4)

Odgovarajući grafici su prikazani na sledećoj slici.

Napomena II - 4 Kod svake diskretne slučajne promenljive, funkcija raspodele ima onoliko skokova

koliko ima mogućih vrednosti slučajne promenljive.

Primer II - 5 Posmatrajmo slučaj 5. iz Primera II - 1. DogaĎaj je Y = „broj bacanja novčića dok ne

padne pismo“. Kolika je verovatnoća da se padne pismo iz najmanje dva a najviše pet pokušaja bacanja

novčića?

Rešenje:

(2 5) ( ) ( ) (5) (1)P Y F b F a F F

1

1

1 1(1)

2 2ii

F

,

5

1

1 1 1 1 1 1 31(5)

2 2 4 8 16 32 32ii

F

31 1 15

(2 5)32 2 32

P Y

Pre nego što damo izraz za izračunavanje funkcije raspodele za neprekidnu slučajnu promenljivu,

definisaćemo još jednu funkciju vezanu za ovaj tip slučajne promenljive – funkciju gustine verovatnoće.

Ova funkcija predstavlja analogiju zakonu raspodele koji, kao što znamo u potpunosti definiše samo

diskretnu slučajnu promenljivu.

x 1 2 3 4 5 6

F(x) 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 1

x 0 1

F(x) 1/2 1


0 1 2 3 4 5 6 70,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0F

(x)

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 130,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

F(x

)

x

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

F(x

)

x

0 5 10 15 20 25 30 35 400,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

F(x

)

x

0 10,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

F(x

)

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

F(x

)

x

2.3 FUNKCIJA GUSTINE VEROVATNOĆE NEPREKIDNE SLUĈAJNE

PROMENLJIVE

Definicija II - 7 Neka je F funkcija raspodele slučajne promenljive X. Ako postoji nenegativna funkcija

0f x definisana na i takva da za svako x vaţi da

x

F x f t dt

(II-7)

kaţemo da je X neprekidna slučajna promenljiva. Funkcija f se naziva funkcijom gustine verovatnoće

slučajne promenljive X.

Napomena II - 5 Funkcija raspodele F neprekidne slučajne promenljive je neprekidna. Ako je i funkcija

gustine neprekidna na nekom intervalu, tada na tom intervalu vaţi da je

dF x

f xdx

(II-8)


U tačkama prekida, ako ih ima konačno ili prebrojivo mnogo, gustina verovatnoće se moţe definisati

proizvoljno.

Teorema II - 3 Neka je X neprekidna slučajna promenljiva sa funkcijom raspodele F i gustinom f. Tada

vaţi sledeće:

1. Za svako a , 0P X a ,

2. Za svako ,a b a b , verovatnoća da X pripada intervalima ,a b , ,a b , ,a b ili ,a b

dobija se kao odreĎeni integral gustine u granicama od a do b, tj.

b

a

P a X b f t dt (II-9)

pri čemu se jedan ili oba znaka < sa leve strane mogu zameniti sa ,

3. Za svako realno a,

a

P X a P X a f t dt

, a

P X a P X a f t dt

4. 1f t dt

Napomena II - 6 Interpretacija gustine. Verovatnoća da slučajna promenljiva X uzme vrednost u nekoj

okolini tačke x je proporcionalna gustini verovatnoće

P x X x x f x x (II-10)

Na osnovu prethodnih osobina grafici funkcija F i f kvalitativno izgledaju kao na sledećoj slici. S obzirom

na geometrijsku interpretaciju odreĎenog integrala, osenčana površina na slici brojno je jednaka

F x P X x za naznačeno x.

Funkcija gustine verovatnoće

neprekidne slučajne promenljive

Funkcija raspodele neprekidne

slučajne promenljive

Primer II - 6 Odrediti konstantu k tako da funkcija

21

kf x x

x

bude funkcija gustine raspodele neprekidne slučajne promenljive X, a zatim naći 1 1P X .

P X x


Rešenje. Iz uslova 1f t dt

, tj.

2

2

1 1 11

1 1

1

x

x

kf x dx dt k

x arctgxdt

x

.

Traţena verovatnoća je jednaka

1

2

1

1 1 1 1 11 1 1 1

1 4 4 2P X dx arctg arctg

x

.

Primer II - 7 Na sledećoj slici prikazana je funkcija gustine verovatnoće dubine jednog jezera. Površina

ispod krive ( )f x iznosi 1. Osenčana površina predstavlja verovatnoću da se slučajno izmerena dubina

jezera nalazi u opsegu od 2 do 4 metara: 4

2

(2 4) ( )P X f x dx .

0 1 2 3 4 5 6

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

f(x)

x

Primer II - 8 Slučajna promenljiva ne mora da bude ni

neprekidna ni diskretna. Neka je na primer

2

24

0, 0

, 0 1

, 1 2

1, 2

x

x

x

xF x

x

x

2.4 SLUĈAJNI VEKTORI

U ovom odeljku posmatraćemo više slučajnih promenljivih definisanih na istom skupu rezultata nekog

eksperimenta. UreĎeni skup takvih slučajnih promenljivih 1 2, , , nX X X nazivamo slučajnim vektorom

1 2

1

1/2

3/4

1/4

x

F(x)


dimenzije n. Da bi smo izbegli sloţene notacije, izloţićemo osnovne ideje na primeru 2n , tj. vektora

,X Y .

Situacije u kojima je potrebno posmatrati više slučajnih promenljivih su česte u primenama. Posebno su

značajni problemi koji se ne mogu svesti na proučavanje svake slučajne promenljive posebno. Na primer,

ako je X brzina automobila, a Y potrošnja benzina po jedinici preĎenog puta, tada očekujemo da izmeĎu

X i Y postoji zavisnost, koja se ne moţe ispitati ako se posebno ispitaju X i Y.

Definicija II - 8 Zajedniĉka funkcija raspodele sluĉajnog vektora ,X Y definiše se kao funkcija dve

promenljive

, , , , ,X YF x y P X x Y y x y (II-11)

Funkcije raspodele slučajnih promenljivih X i Y nazivaju se marginalnim funkcijama raspodele i

označavaju se sa XF i

YF :

,X YF x P X x F y P Y y (II-12)

Na osnovu zajedničke funkcije raspodele moţemo da odredimo verovatnoće ,P X Y B , gde je B

neki dvodimenzioni skup. Marginalne raspodele se mogu u potpunosti odrediti iz zajedničke funkcije

raspodele na sledeći način

,

,

, ,

, ,

X X Y

Y X Y

F x P X x P X x Y F x

F y P Y y P X Y y F y

(II-13)

Po prirodi, slučajni vektor ,X Y moţe biti neprekidni ili diskretni.

2.4.1 NEPREKIDNI SLUĈAJNI VEKTORI

Definicija II - 9 Ako postoji funkcija dve promenljive , ,X Yf takva da je, za svako 2,x y ,

, ,, ,

yx

X Y X YF x y f u v dudv

(II-14)

tada je ,X Y neprekidan sluĉajni vektor, a , ,X Yf zajedniĉka gustina sluĉajnog vektora ,X Y ,

dok je , ,X YF x y zajedniĉka funkcija raspodele.

Ako je zajednička gustina neprekidna, ona se moţe odrediti iz zajedničke funkcije raspodele pomoću

izraza:

2

, ,, ,X Y X Yf x y F x yx y

(II-15)

Verovatnoća da slučajni vektor ,X Y pripada nekom skupu 2B odreĎuje se prema formuli

,, ,X Y

B

P X Y B f x y dxdy (II-16)

Posebno, za ( , ) : ,A x y a x b c y d , ima se

,(( , ) ) ( , ) ( , )

b d

X Y

a c

P X Y A P a x b c y d f x y dxdy (II-17)

Zajednička gustina slučajnog vektora , ( , )X Yf x y zadovoljava sledeće uslove:

, ( , ) 0X Yf x y (II-18)


, ( , ) 1X Yf x y dxdy

(II-19)

Napomena II - 7 Zamislimo površinu u trodimenzionalnom koordinatnom sistemu čije visine iznad

osnove ,x y A iznose , ,X Yf x y . Tada je verovatnoća ,P x y A odreĎena zapreminom koju

gradi površina , ,X Yf x y nad osnovom A. Ovo je ilustrovano na sledećoj slici.

Primer II - 9 Neka je zajednička gustine verovatnoće za neprekidne promenljive X i Y data sa

2

,

6( ), [0,1] , [0,1]

( , ) 5

0, inačeX Y

x y x yf x y

Proveriti da li je ova funkcija zaista zajednička gustina verovatnoće. TakoĎe, treba izračunati verovatnoću

1 1,

4 4P X Y

.

Rešenje. Očigledno je , ( , ) 0X Yf x y za [0,1] , [0,1]x y . Dalje vaţi

11 1 1

2 3

,

00 0 0

11

2

00

6 6 1( , ) ( ) ( )

5 5 3

6 1 6 1 6 1 3 2( ) 1

5 3 5 2 5 3 5 5

y

X Y

y

x

x

f x y dxdy x y dxdy xy y dx

x dx x x

Pošto su ispunjena oba uslova (II-18)-(II-19), funkcija , ( , )X Yf x y zaista predstavlja zajedničku gustinu

verovatnoće. Dalje se ima

1 41 41 4 1 4

2 3

00 0 0

1 41 4

2

00

1 1 6 6 1, ( ) ( )

4 4 5 5 3

3 1 3 1 7( ) 0.010910 160 20 160 640

y

y

x

x

P X Y x y dxdy xy y dx

x dx x x

Grafik zajednička gustine verovatnoće prikazan je na sledećoj slici.

Definicija II - 10 Marginalne gustine verovatnoće za promenljive X i Y označavamo Xf x i Yf y , a

date su izrazima:

( ) ( , ) ( ) ( , )X XY Y XYf x f x y dy i f y f x y dx

(II-20)

Osnova A

Zapremina ( , )P x y A

, ( , )X Yf x y

, ( , )X Yf x y


Primer II - 10 Odrediti marginalne gustine verovatnoće iz Primera II - 9. 1

2

0

6 6 2( ) ( )

5 5 5Xf x x y dy x

1

2 2

0

6 6 3( ) ( )

5 5 5Yf y x y dx y

Primer II - 11 U gornjem primeru izračunajte verovatnoću da je 1 4Y bez obzira na X.

I naĉin (pomoću zajedničke gustine verovatnoće)

1 4 1 41

2

0 0

1 41 1

3

00 0

1

2

0

61 4 ( , ) ( )

5

6 1 3 1( ) ( )

5 3 10 160

3 1 3 1 50.1563

20 160 20 160 32

XY

y

y

x

x

P Y f x y dxdy x y dxdy

xy y dx x dx

x x

II naĉin (pomoću marginalne gustine verovatnoće)

1 4 1 4

2

0 0

1 43

0

6 31 4 ( )

5 5

2 3 50.1563

5 32

Y

y

y

P Y f y dy y dy

y y

2.4.2 DISKRETNI SLUĈAJNI VEKTORI

Za slučajni vektor ,X Y koji uzima samo prebrojivo mnogo različitih vrednosti, kaţemo da je diskretni

sluĉajni vektor. Raspodela diskretnog vektora opisuje se zajedniĉkim zakonom raspodele

, ,X Y i jp x y , gde su ,i jx y , , 1,2,i j sve moguće vrednosti za ,X Y .

Definicija II - 11 Neka su X i Y dve diskretne slučajne promenljive definisane na prostoru elementarnih

dogaĎaja nekog eksperimenta. Zajedniĉki zakon raspodele je funkcija , ,X Yp x y :

definisana kao verovatnoća da istovremeno promenljiva X poprimi vrednost x i promenljiva Y poprimi

vrednost y:

, ,XYp x y P X x Y y (II-21)

Zajednički zakon raspodele zadovoljava sledeće uslove

, ( , )X Yf x y


, , 0X Yp x y (II-22)

, ( , ) 1, ,X Y

X Y X Y

x D y D

p x y D D

(II-23)

Definicija II - 12 Marginalni zakon raspodele za diskretne slučajne promenljive X i Y označavamo

Xp x i Yp y , date su izrazima:

( ) ( , ),

( ) ( , ),

Y

X

X X

y D

Y Y

x D

p x p x y D

p y p x y D

(II-24)

Dalje vaţi

( ) 1,

( ) 1,

X

Y

X X

x D

Y Y

y D

p x D

p y D

(II-25)

Zajedniĉka funkcija raspodele diskretnih slučajnih promenljivih X i Y moţe se odrediti poznajući

zajedničkog zakona raspodele , ,X Yp na sledeći način:

, ,, , ,X Y X Y

a x b y

F x y P X x Y y p a b

(II-26)

Primer II - 12 Zajednički zakon raspodele slučajnog vektora ,X Y dat je sledećom tabelom vrednosti

,i jP X x Y y za 1,2i , 1,2,3j :

1. Naći vrednost koja nedostaje u tabeli, tj. 2, 1P X Y .

2. Naći P X Y

3. Naći 2P X

4. Naći , 2,2X YF

5. Odrediti marginalne zakone raspodele za X i Y.

Rešenje.

1. Pošto zbir svih brojeva u tabeli mora biti 1, sledi 2, 1 1/ 4P X Y .

2. Iz uslova X Y sledi da slučajni vektor ,X Y uzima sledeće vrednosti: 1,1 , 1,3 , 1,3 , 2,2 i

2,3 , pa je

1, 1 1, 2 1, 3 2, 2 2, 3

5 1 1 7 30

24 12 24 24 4

P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y

3. Verovatnoća da je 2X dobija se kao zbir verovatnoća parova 2,1 , 2,2 , 2,3 :

1 7 13

2 04 24 24

P X .

4. , ,

2 2

2,2 2, 2 ,X Y X Y

a b

F P X Y p a b

, , , ,1,1 1,2 2,1 2,2

5 1 1 7 20

24 12 4 24 24

X Y X Y X Y X Yp p p p

Y

X y1 y2 y3

x1 5/24 1/12 1/6

x2 ? 7/24 0


5. Marginalni zakon raspodele za X je odreĎen verovatnoćama 1P X i 2P X i dobija se kao zbir

brojeva u prvoj, odnosno drugoj vrsti tabele: 11

124

P X , 13

224

P X . Ovo smo mogli dobiti i

na drugačiji način. Iz tačke 3 već znamo 13

224

P X i iz relacije 1 1 2P X P X nalazimo

11

124

P X .

Marginalni zakon raspodele za Y nalazimo sabiranjem po kolonama:

11 3 1

1 , 2 , 324 8 6

P Y P Y P Y .

Napomena II - 8 Verovatnoće P X i , 1,2i dobijaju se

sabiranjem brojeva u i-toj vrsti tablice, dok se brojne vrednosti

verovatnoća jP Y y , 1,2,3j nalaze kao zbir brojeva u j-

toj koloni tablice. Uobičajeno je da se ove verovatnoće pišu na

marginama tablice, zbog čega su dobile i naziv.

Kao kontrola moţe da posluţi zbir brojeva na marginama;

on mora da bude 1, kao i zbir brojeva u tabeli (pravilo (II-25)).

Primer II - 13 Na fakultetu studente razvrstamo prema područjima studiranja: Matematika – mat, Fizika

– fiz, Hemija – hem, Biologija – bio, Informatika – inf (promenljiva X) i prema polu: Muški – m i Ţenski -

ž (promenljiva Y). Zajednički zakon raspodele verovatnoće za slučajni vektor ,X Y data je sledećom

tablicom:

X Y

m ž

mat 0,151 0,105 0,256 ( )Xp mat

fiz 0,125 0,079 0,204 ( )Xp fiz

hem 0,069 0,074 0,143 ( )Xp hem

bio 0,062 0,153 0,215 ( )Xp bio

inf 0,124 0,058 0,182 (inf)Xp

0,531 0,469 1,000

( )Yp m ( )Yp ž

Primer II - 14 U gornjem primeru je, npr., marginalna verovatnoća za matematiku mat 0,256Xp , a

marginalna verovatnoća za muški pol M 0,531Yp .

2.5 NEZAVISNOST SLUĈAJNIH PROMENLJIVIH

Definicija II - 13 Za slučajne promenljive 1 2, , , nX X X kaţemo da su nezavisne ako su dogaĎaji

1 1X A , 2 2X A , … , n nX A nezavisni (u celini) za proizvoljne skupove 1 2, , , nA A A .

Teorema II - 4 Nezavisnost slučajnih promenljivih.

a) Neka je , ,X YF x y funkcija zajedničke raspodele sluĉajnog vektora ,X Y i neka su XF x i

YF y marginalne funkcije raspodele. Slučajne promenljive X i Y su nezavisne ako i samo ako u svakoj

tački 2,x y vaţi da je

Y

X y1 y2 y3

x1 5/24 1/12 1/6 11/24

x2 1/4 7/24 0 13/24

11/24 3/8 1/6 1


, ,X Y X YF x y F x F y (II-27)

b) Neka diskretni sluĉajni vektor ,X Y uzima vrednosti , , , 1,2,i jx y i j . Slučajne promenljive X

i Y su nezavisne ako i samo ako je

,XY X Yp x y p x p y (II-28)

c) Neka je ,X Y neprekidni sluĉajni vektor. Slučajne promenljive X i Y su nezavisne ako i samo ako

postoje gustine , ,X Yf x y , Xf x i Yf y , takve da je

, ,X Y X Yf x y f x f y (II-29)

za svako 2,x y .

Primer II - 15 Neka je gustina slučajnog vektora ,X Y data sa

2 3

, , 6 x y

X Yf x y e , , 0x y , , , 0X Yf x y , , 0x y

Ispitati da li su X i Y nezavisne slučajne promenljive.

Rešenje.

2 3 2 3 2

0 0

6 6 2 , 0, 0, 0x y x y x

X Xf x e dy e e dy e x f x x

2 3 3 2 3

0 0

6 6 3 , 0, 0, 0x y y x y

Y Yf y e dx e e dx e y f y y

Kako je 2 3 2 3

, , 6 2 3x y x y

X Y X Yf x y e e e f x f y za , 0x y i , , 0X Y X Yf x y f x f y

za , 0x y , sledi da su X i Y nezavisne slučajne promenljive.

2.6 NUMERIĈKE KARAKTERISTIKE SLUĈAJNIH PROMENLJIVIH

U praksi često nije u celosti poznata raspodela slučajne promenljive. U takvim slučajevima pokazalo se

da je poznavanje odreĎenih numeričkih karakteristika dovoljno za aproksimativno opisivanje slučajne

promenljive.

U numeričke karakteristike slučajne promenljive ubrajamo: matematičko očekivanje, varijansu i momente

višeg reda.

2.6.1 MATEMATIĈKO OĈEKIVANJE SLUĈAJNE PROMENLJIVE

Definicija II - 14

a) Neka je X diskretna sluĉajna promenljiva sa vrednostima iz skupa 1 2, ,x x i neka je ( )ip x njen

zakon raspodele. Tada je matematiĉko oĉekivanje promenljive X dato sa

( ) ( )X i i

i

E X x p x (II-30)

ukoliko suma sa desne strane znaka jednakosti apsolutno konvergira.

b) Za neprekidnu sluĉajnu promenljivu X sa gustinom f, matematiĉko oĉekivanje dato je sa


( ) ( )XE X xf x dx

(II-31)

ukoliko integral sa desne strane jednakosti apsolutno konvergira.

Ukoliko suma, odnosno integral ne konvergiraju apsolutno, tj. divergiraju, tada kaţemo da matematičko

očekivanje ne postoji, odnosno da slučajna promenljiva nema matematičko očekivanje.

c) Matematiĉko oĉekivanje sluĉajnog vektora 1, , nX X definiše se sa

1 , , nE X E X E X (II-32)

Ponekad ćemo umesto oznake E X koristiti kraći zapis E X .

Matematičko očekivanje je u stvari srednja (prosečna) vrednost slučajne promenljive.

Primer II - 16 Srednje vrednosti slučajnih promenljivih iz Primera II – 1 iznose:

Slučaj 1. 6

1

1 21( ) ( ) 3.5

6 6i i

i i

E X x p x i

Slučaj 2.a) 1 2 6 1

( ) 2 3 .... 7 .... 12 736 36 36 36

E X

Slučaj 2.b) 1 2 6 1

( ) 5 4 .... 0 .... 5 036 36 36 36

E Y

Slučaj 2.c) ( ) 12.25E Z

Slučaj 4. 1

0

1 1( )

2 2i

E X i

Slučaj 5. 1

1( ) 2

2ii

E Y i

Očekivanje slučajne promenljive predstavlja osnovni aparat u analizi slučajnih promenljivih. Danas se

donošenje najjednostavnijih odluka ne moţe ni zamisliti bez upotrebe očekivanja vezanih za rezultate

odreĎenih akcija.

Primer II - 17 Neka funkcija gustine verovatnoće neprekidne slučajne promenljive iznosi

231 0 1

( ) 2

0 inače

x xf x

Nacrtati grafik f x i odrediti matematičko očekivanje.

Rešenje. Grafik funkcije gustine verovatnoće dat je na

sledećoj slici, a očekivanje iznosi:

1 1

3

0 0

3 3 3 3( ) ( )

2 4 8 8E X xf x dx x x dx

Teorema II - 5

a) Ako je f gustina neprekidne sluĉajne promenljive X i ako je g data funkcija za koju postoji

E g X , tada matematiĉko oĉekivanje funkcije neprekidne sluĉajne promenljive X iznosi


E g X g x f x dx

(II-33)

b) Neka je X diskretna sluĉajna promenljiva sa vrednostima iz skupa 1 2, ,x x i neka je ( )ip x

njen zakon raspodele. Tada matematiĉko oĉekivanje funkcije diskretne sluĉajne promenljive X

iznosi

( ( )) ( )i i

i

E g X g x p x (II-34)

Teorema II - 6 Ako je f zajednička gustina slučajnog vektora 1, , nX X i ako je g data apsolutno

integrabilna funkcija n promenljivih, tada je

1 1 1 1, , , , , ,n n n nE g X X g x x f x x dx dx

(II-35)

Sledeća teorema pokazuje da matematičko očekivanje ima osobinu linearnosti. Zahvaljujući toj osobini,

matematičko očekivanje se, od svih mera srednje vrednosti najviše koristi.

Teorema II - 7 Neka su a, b i c proizvoljni realni brojevi i neka su X i Y slučajne promenljive za koje

postoje matematička očekivanja E X i EY . Tada vaţi:

E c c , (II-36)

E aX b aE X b , (II-37)

E aX bY aE X bE Y . (II-38)

Ako su X i Y nezavisne slučajne promenljive vaţi i

E XY E X E Y . (II-39)

Osobina linearnosti vaţi i za više od dve slučajne promenljive.

Primer II - 18 U bacanju novčića dok ne padne pismo, zarada se izračunava tako što se kvadrira broj

bacanja u kojima je pao grb pre no što je palo pismo. Definišimo slučajne promenljive:

Y = broj bacanja dok ne padne pismo, DY = {1,2,3,...}

Z = zarada pri bacanju.

Očigledno je da postoji sledeća veza izmeĎu slučajnih promenljivih Z i Y: Z(Y) = (Y-1)2. Skup mogućih

vrednosti promenljive Z je DZ = {0,1,4,9,...}, a verovatnoće ( )p z su date odgovarajućim verovatnoćama

za ( )p y : ( 0) ( 1) 1/ 2p Z p Y , 2( 1) ( 2) 1/ 2p Z p Y , 3( 4) ( 3) 1/ 2p Z p Y , itd.

Očekivana zarada je

2

2

1

11( ) ( ) 1 3

2 2Z

y yz D y D y

yE Z z y p y y

Napomena II - 9 U opštem slučaju, matematiĉko oĉekivanje funkcije nije isto što i funkcija

matematiĉkog oĉekivanja. Naime, u prethodnom primeru očekivanje funkcije iznosi E(Z)=3, a funkcija

očekivanja (E(Y)-1)2 iznosi 1:

2 2

1

12, 1 2 1 1

2yy

E Y y E Y

,

što očigledno nije isto. Samo za linearnu funkciju vredi da je očekivanje funkcije jednako funkciji

očekivanja!


Funkcija 1

2yp y , 1,2,...,20y Funkcija

2

20

1

1

2yy

y

OĈEKIVANA VREDNOST VEKTORSKE PROMENLJIVE

Diskretni slučaj

( ) ( , )

( ) ( , )

X X Y

Y X Y

X X XY

x D x D y D

Y Y XY

y D x D y D

x p x x p x y

y p y y p x y

Kontinualni slučaj

( ) ( , )

( ) ( , )

X X XY

Y Y XY

x f x dx x f x y dxdy

y f y dy y f x y dxdy

2.6.2 VARIJANSA SLUĈAJNE PROMENLJIVE

U praktičnojprimeni matematičko očekivanje nije dovoljno za opisivanje nekih pojava.

Ako se, na primer, kaţe da je prosečna godišnja temperatura u nekom mestu 15 oC, dobijamo utisak

prijatne klime, ali je ova vrednost moguća i ako je temperatura leti 40 oC, a zimi -10

oC. Prema tome,

potrebno je znati i kakva su odstupanja od srednje vrednosti.

Na sledećoj slici prikazani su zakoni raspodela dve diskretne slučajne promenljive koje imaju isto

matematičko očekivanje od 8,17. MeĎutim, kako se sa slike vidi, prva slučajna promenljiva, za razliku od

druge, ima mnogo veće rasipanje njenih podataka oko očekivane vrednosti.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

E(x)=8,16667

p(x

)

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

E(x)=8,16667

p(x

)

x

Rasipanje raspodele oko očekivane vrednosti vaţno je za njenu karakterizaciju. MeĎutim, kako je srednje

odstupanje od srednje vrednosti uvek jednako nuli ( 0E X E X ), umesto srednjeg odstupanja bilo

je potrebno predloţiti neku drugu veličinu kojom će se okarakterisati rasipanje podataka oko srednje

vrednosti. Mogućih kandidata za meru odstupanja od srednje vrednosti ima puno. Na primer, mogu se

uzeti mere poput E X E X ili 2

E X E X . Poslednja mera predstavlja srednje kvadratno

odstupanje od srednje vrednosti i koristi se pri definiciji varijanse.

Definicija II - 15 Neka je X slučajna promenljiva sa matematičkim očekivanjem E X . Varijansa ili

disperzija slučajne promenljive X definiše se kao matematičko očekivanje slučajne promenljive

2

X E X , tj.

22

XV X E X E X (II-40)

Kvadratni koren varijanse naziva se standardnom devijacijom slučajne promenljive X:

2

XS X V X E X E X (II-41)

Neka je X diskretna sluĉajna promenljiva sa vrednostima iz skupa 1 2, ,x x , neka je ( )ip x njen

zakon raspodele a X njeno očekivanje. Tada varijansa slučajne promenljive X iznosi:

2 2 2( ) [( ) ] ( ) ( )X X i X i

i

V X E X x p x (II-42)

Ako je X neprekidna sluĉajna promenljiva, f x njena funkcija gustine verovatnoće, a X njeno

očekivanje, onda je njena varijansa data relacijom

22 2( ) ( ) ( )x X XV X E X x f x dx

(II-43)


Teorema II - 8 Neka je X slučajna promenljiva sa konačnom varijansom.

1. Ako je c , tada je 0V c .

2. Ako je 0V X , tada je 1P X c za neko c .

3. 22V X E X E X .

4. Za svako a , V X a V X .

5. Za svako a , 2V aX a V X .

6. Ako su X i Y nezavisne slučajne promenljive sa knačnim varijansama, tada je

V X Y V X V Y

7. Neka je ( )g X funkcija neprekidne slučajne promenljive X . Tada je varijansa funkcije ( )g X

slučajne promenljive X data sa:

2

2( ( )) ( )V g X E g X E g X

Primer II - 19 Model merenja. Neka je tačna vrednost merenja neke veličine. Zbog slučajnih

grešaka, rezultati više puta ponovljenog merenja sa istim instrumentom su nezavisne slučajne veličine

1, , nX X sa matematičkim očekivanjem i varijansom 2 . Kako je

1 nX XE n

n n

,

221

2

1nX XV n

n n n

zaključujemo da je srednja vrednost merene veličine jednaka matematičkom očekivanju, a da je varijansa

merenja n puta manja od varijanse svakog pojedinačnog merenja.

2.6.3 KOVARIJANSA I KOEFICIJENT KORELACIJE

Kada smo govorili o matematičkom očekivanju dve nezavisne slučajne promenljive rekli smo da vaţi

0E XY E X E Y

Odavde bi se moglo doći do ideje da veličina ove razlike ukazuje na stepen zavisnosti izmeĎu X i Y. U

opštem slučaju, to nije tačno, jer, ima slučajeva kada je ova razlika 0 iako su X i Y zavisne slučajne

promenljive. MeĎutim, u ovom odeljku ćemo pokazati da se ipak, pomoću ove razlike, moţe meriti

stepen linearne zavisnosti izmeĎu X i Y.

Definicija II - 16 Za slučajne promenljive X i Y definišemo kovarijansu, u oznaci ,Cov X Y :

,Cov X Y E XY E X E Y (II-44)

Kovarijansa se moţe izraziti i u sledećem obliku:

,Cov X Y E X E X Y E Y (II-45)

Koristeći izraz za kovarijansu dva slučajne promenljive X i Y, moţe se napisati sledeći izraz za varijansu

zbira X Y

2 ,V X Y V X V Y Cov X Y (II-46)

Teorema II - 9 Neka su X, Y i Z slučajne promenljive i neka su a i b realni brojevi.

1. Ako su X i Y nezavisne slučajne promenljive, tada je , 0Cov X Y . Obrnuto ne mora da

vaţi.


2. , ,Cov X Y Cov Y X

3. ,Cov X X V X

4. , ,Cov aX bY abCov X Y

5. , , ,Cov X Y Z Cov X Z Cov Y Z

6. , ,Cov X a Y b Cov X Y

Varijansa 2

X je pokazatelj rasturanja vrednosti promenljive X oko njene očekivane vrednosti, dok je

varijansa 2

Y pokazatelj rasturanja vrednosti promenljive Y oko njene očekivane vrednosti. Kovarijansa

XY sadrţi rasturanja X-ova i Y-ova pojedinačno, ali isto tako sadrţi i njihova zajednička rasturanja. Zato

nam kovarijansa moţe posluţiti i kao pokazatelj povezanih rasturanja promenljivih X i Y.

Ako su X i Y nezavisne slučajne promenljive, onda je njihova kovarijansa jednaka nuli.

Ako kovarijansa XY nije jednaka nuli, onda to znači da su rasturanja promenljivih X i Y na neki način,

meĎusobno povezana. Drugim rečima, znači da izmeĎu promenljivim X i Y postoji izvesna zavisnost.

Definicija II - 17 Koeficijent korelacije izmeĎu slučajnih promenljivih X i Y sa pozitivnim varijansama

definiše se sa

,,

Cov X YX Y

V X V Y (II-47)

Koeficijent korelacije se, u primenama, koristi kao mera linearne zavisnosti dve slučajne promenljive.

Teorema II - 10 Za slučajne promenljive X i Y sa pozitivnim varijansama vaţi:

1. 1 , 1X Y

2. , 1X Y ako i samo ako je 1P Y aX b , gde je 0a , b ,

sgn sgn ,a X Y . Drugim rečima, , 1X Y ako i samo ako je, sa verovatnoćom 1, Y

rastuća (opadajuća) linearna funkcija promenljive X.

3. Ako su a i c realni brojevi različiti od nule i ako su b i d proizvoljni realni brojevi, tada je

, ,aX b cY d X Y

gde se uzima znak + ako je 0ac i znak – ako je 0ac .

Definicija II - 18 Neka su X i Y slučajne promenljive i neka je ,X Y njihov koeficijent korelacije.

Kaţemo da su X i Y

nekorelisane ako je , 0X Y ,

pozitivno korelisane ako je , 0X Y ,

negativno korelisane ako je , 0X Y .

Iz definicije sledi da su svake dve nezavisne slučajne promenljive nekorelisane. Obrnuto ne vaţi. Pojam

korelacije se odnosi samo na linearnu vezu izmeĎu dve slučajne promenljive.

Primer II - 20 Neka su X i nekorelisane slučajne promenljive sa varijansama 2

1 i 2

2 , respektivno, i

neka je ,Y aX b Y X slučajna promenljiva koja linearno zavisi od X i . Naći ,X Y .

Rešenje. Kako je

2

1, , ,Cov X aX b aCov X X Cov X a


2 2 2 2

1 1 2,V X V aX b a

imamo da je

2

1

2 2 2 221 1 2 2

2

1

,a a

X Ya

a

Slučajna promenljiva predstavlja odstupanje Y od linearne zavisnosti aX b . Drugim rečima, ona

predstavlja grešku modela Y aX b , odnosno deo zavisnosti koji nije objašnjen ovim modelom. Odnos

izmeĎu neobjašnjenog i objašnjenog dela zavisnosti moţe se meriti količnikom 2 1 . Iz dobijenog

izraza za vidi se da je 1 (jaka korelacija) ako je 2 1 0 . Nasuprot tome, 0 ako

2 1 .

DIJAGRAM RASIPANJA

Dijagram rasipanja dobijamo kada izmerene vrednosti slučajnih promenljivih X i Y prikaţemo tačku po

tačku u Dekartovom koordinatnom sistemu. Raspored tačaka na grafiku zavisi od zdruţene raspodele

slučajnih promenljivih X i Y, tj. od njihove kovarijanse.

Kovarijansa dve slučajne promenljive sluţi kao mera stepena njihove linearne povezanosti.

y

x

(d)

(a) (b)

(c)


Na prethodnim slikama imamo sledeće veze:

(a) pozitivna linearna veza: 0

(b) negativna linearna veza: 0

(c) nezavisnost: 0

(d), (e), nelinearne veze

(f) tačna funkcionalna zavisnost: 2Y aX

2.6.4 MATRICA KOVARIJANSE

Definicija II - 19 Za slučajni vektor 1, , nX X X , 2n , definišemo matricu kovarijanse kao

matricu

, 1

,n

i ji j

C X Cov X X

(II-48)

Teorema II - 11 Ako je C X matrica kovarijanse slučajnog vektora X, tada je C X pozitivno

definitna simetrična matrica.

Ako je matrica kovarijanse slučajnog vektora X dijagonalna, onda su svake dve komponente ,i jX X

nekorelisane. U tom slučaju kaţemo da je X nekorelisan sluĉajni vektor.

2.6.5 MOMENTI

Momenti uu dodatne numeričke veličine koje nam još detaljnije opisuju neku slučajnu veličinu.

Na sljedećoj slici prikazano je nekoliko raspodela koje sve imaju istu srednju vrijednost i standardnu

devijaciju, ali su ipak različite.

U prvoj koloni su raspodele različite simetrije. Gornja raspodela je simetrična, ispod nje je raspodela

'nagnuta udesno', a na dnu je raspodela 'nagnuta ulevo'.

U drugoj koloni su tri raspodele različite spljoštenosti. Da bismo te razlike kvantitativno opisali uvodimo

momente višeg reda.

(e)

y

x

y (f)

x


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5 E(x) = 6

= 1,22

p(x

)

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

E(x) = 6

= 1,22

E(x) = 6

= 1,22

p(x

)

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

p(x

)

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

E(x) = 6

= 1,22

p(x

)

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5E(x) = 6

= 1,22

p(x

)

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5 E(x) = 6

= 1,22p

(x)

x

Definicija II - 20 Neka je X slučajna promenljiva i neka je r prirodan broj.

Moment r-tog reda se definiše na sledeći način

r

rm E X (II-49)

Centralni moment r-tog reda se definiše na sledeći način

k

rM E X E X (II-50)

Ako je X diskretna sluĉajna promenljiva sa vrednostima iz skupa 1 2, ,x x , zakonom raspodele

( )ip x i matematičkim očekivanjem , onda vaţi

( )

( ) ( )

r

r i i

i

r

r i i

i

m x p x

M x p x

(II-51)

Opšta formula za centralni moment r-tog reda iskazana preko običnih momenata r-tog reda je:

11k k

r r k

k

rM m m

k

(II-52)

Ako je f gustina neprekidne sluĉajne promenljive X sa matematičkim očekivanjem , tada vaţi

( )

( ) ( )

r

r

r

r

m x f x dx

M x f x dx

(II-53)

Raspodele različitih simetrija Raspodele različitih spljoštenosti


Neki važni momenti

a) Moment nultog reda predstavlja totalnu verovatnoću i iznosi:

0 0 1M m

b) Centralni moment prvog reda predstavlja srednje odstupanje od matematiĉkog oĉekivanja i

iznosi:

1 0M

c) Obiĉni moment prvog reda predstavlja oĉekivanu vrednost:

1 ( )m E X

d) Centralni moment drugog reda predstavlja varijansu:

2

2 ( )M V X

Za izračunavanje centralnog momenta drugog reda moţemo upotrebiti sledeću relaciju:

2 2

2 2 1M m m

e) Moment trećeg reda ukazuje na asimetriju raspodele slučajne promenljive.

Primeri iz leve kolone prethodne slike imaju sledeće momente trećeg reda: M3 = 0, M3 = 1,594 >

0, M3 = -1,594 < 0

f) Kao mera asimetrije raspodele koristi se koeficijent asimetrije definisan pomoću:

33 3

M

(II-54)

Ako je:

3 = 0 raspodela je simetrična

3 > 0 raspodela je nagnuta udesno

3 < 0 raspodela je nagnuta ulevo

Primeri iz leve kolone prethodne slike imaju sledeće koeficijente asimetrije:

3 = 0 raspodela je simetrična

3 = 0,868 > 0 raspodela je nagnuta udesno

3 = - 0,868 < 0 raspodela je nagnuta ulevo

g) Moment ĉetvrtog reda ukazuje na spljoštenost raspodele slučajne promenljive.

Primeri iz desne kolone prethodne slike imaju sledeće momente četvrtog reda: 4 6M ,

4 4.5M , 4 10.67M .

h) Koeficijent spljoštenosti se definiše kao

44 4

M

(II-55)

Ako je:

4 = 3 raspodela je normalno spljoštena

4 > 3 raspodela je šiljata

4 < 3 raspodela je široka

Primeri iz desne kolone prethodne slike imaju sledeće vrednosti koeficijenta spljoštenosti:

4 = 2,67 raspodela je široka

4 = 2 raspodela je široka

4 = 4,74 raspodela je šiljata


MOMENTI DVODIMENZIONE RASPODELE

Obiĉni momenti:

Diskretni slučaj

( , )X Y

r s

rs XY

x D y D

m x y p x y

Kontinualni slučaj

( , )r s

rs XYm x y f x y dxdy

Vidimo da je 10 Xm i

01 Ym

Centralni momenti:

Diskretni slučaj

( , )X Y

r s

rs X Y XY

x D y D

M x y p x y

Kontinualni slučaj

( , )r s

rs X Y XYM x y f x y dxdy

Vidimo da vaţi: 2

20 ( ) XM V X , 2

02 ( ) YM V Y

2.6.6 KVANTILI

Definicija II - 21 Neka je F funkcija raspodele neke slučajne promenljive. Kvantil reda p, 0 1p

odgovarajuće raspodele je svaki broj x za koji vaţe nejednakosti

, ,F x p F x p (II-56)

odnosno

,P X x p P X x p (II-57)

Za svaku raspodelu i za svako 0,1p postoji bar jedan broj px K koji zadovoljava uslove iz

navedene definicije. Na sledećoj slici predstavljena su tri moguća slučaja.

a) Funkcija F je neprekidna i

monotono rastuća

b) Funkcija F ima prekid c) Funkcija F je konstantna na

intervalu

Kp

p

F(x)

x Kp

p

F(x)

x Kp

p

F(x)

x


U slučajevima pod a) i b) kvantil je jedinstveni.

Pojedini kvantili imaju posebnu ulogu. Navodimo ih u sledećoj definiciji.

Definicija II - 22

1. Kvantil reda 1 2 naziva se medijanom sluĉajne promenljive, odnosno njene raspodele. Za

medijanu slučajne promenljive koristimo oznaku Mod X .

2. Kvantili reda 1 4 i 3 4 nazivaju se kvartilima (prvim i drugim).

Iz opšte definicije kvantila dobija se da je medijana slučajne promenljive X, u oznaci Med X , svaki

broj m za koji je

1 2, 1 2P X m P X m

Medijana se koristi kao mera srednje vrednosti. U toj ulozi medijana ima dve prednosti nad matematičkim

očekivanjem:

1. Za razliku od matematičkog očekivanja, medijana uvek postoji;

2. Medijana je robusnija od matematičkog očekivanja, tj. manje je osetljiva na promene raspodele

slučajne promenljive.

Primer II - 21 Predpostavimo da smo merenjem dobili sledeće vrednosti slučajne promenljive:

7,1,8,2,5,1,7. Aritmetička sredina (koja se uzima kao ocena za matematičko očekivanje) je

7 1 8 2 5 1 74,43

7

a medijana je 5

1,1,2, 5 ,7,7,8

Ako bi u poslednjem merenju (8) došlo do greške i ako bi se registrovao broj 19, aritmetička sredina bi se

povećala na 6, dok bi medijana ostala ista:

7 1 8 2 5 1 196

7

, 1,1,2, 5 ,7,7,19

2.7 RASPODELE DISKRETNIH SLUĈAJNIH PROMENLJIVIH

U nastavku razmatramo nekoliko najčešće korišćenih raspodela diskretne slučajne promenljive:

Bernoullijeva, binomna, hipergeometrijska, geometrijska i Poisonova.

2.7.1 BERNOULLIJEOVA RASPODELA

Posmatrajmo eksperiment sa dva moguća ishoda od kojih jedan nazivamo uspehom, a drugi neuspehom.

Definišimo slučajnu promenljivu koja moţe da ima dva stanja: 1X , ako se dogodio uspeh i 0X , ako

se dogodio neuspeh. Ako je p verovatnoća uspeha, tada je

1 , 0 1P X p P X p

DogaĎaj koji ima samo dva moguća ishoda zove se Bernoullijev dogaĊaj, a eksperiment koji se pri tome

izvodi naziva se Bernoullijev eksperiment. Slučajnu promenljivu X nazivamo Bernoullijeva sluĉajna

promenljiva.

Zakon raspodele slučajne promenljive X definisan je sa:


11 , za 0,1

0, inače

xxp p xf x

(II-58)

Matematiĉko oĉekivanje:

1

1 0 1 10 1

0

0 1 1 1x

E X xf x p p p p p

(II-59)

Varijansa:

22

11 0 1 12 2 2 0 2 1

0

0 1 1 1x

V X E X E X

E X x f x p p p p p

2 1V X p p p p (II-60)

Primer II - 22 Bacamo simetričnu kocku i uspehom smatramo ako se pala šestica. Tada slučajna

promenljiva X koja ima vrednost 1 ako se pala šestica i 0 ukoliko se pao neki drugi broj, ima

Bernoullijevu raspodelu sa verovatnoćom od 1/ 6p .

2.7.2 BINOMNA RASPODELA

Ukoliko Bernoullijev eksperiment ponavljamo n puta dobijamo tzv. binomni eksperiment.

Definicija II - 23 Binomni eksperiment je eksperiment koji zadovoljava sledeće uslove:

1. Sastoji se od n Bernoullijevih eksperimenata (pokušaja).

2. Pokušaji su meĎusobno identični Bernulijevi eksperimenti sa mogućim ishodima 'uspeh' (1) i

'neuspeh' (0).

3. Pokušaji su nezavisni. Ishod bilo kojeg pokušaja ne utiče na ishod drugog (izvlačenje se vrši sa

vraćanjem).

4. Verovatnoća 'uspeha' jednaka je za sve pokušaje i iznosi p .

Neka je Xn broj uspeha u n uzastopnih Bernoullijevih eksperimenata.

Zakon raspodele slučajne promenljive Xn definisan je sa:

za 0,1,2,...,

( ; , )

0 inače

x n xn

p q x nb x n p x

(II-61)

Zakon binomne raspodele označavamo sa ( ; , )b x n p , dok slučajnu promenljivu X sa binomnom

raspodelom označavamo sa ~ ( , )nX B n p .

Primer II - 23 Bacamo fer novčić 4n puta. Uspehom se smatra kada padne grb. Sa promenljivom X4

označimo broj uspeha iz 4n pokušaja (ponavljanja eksperimenta). Treba odrediti verovatnoću

dogaĎaja da se u 4 bacanja padne x grbova, tj. 4P X x , 0, 1, 2, 3 ili 4x . Očigledno se radi o

binomnom eksperimentu sa parametrima: 4n ; 1/ 2p (fer novčić)

Primer II - 24 Neka verovatnoća pogotka u koš u jednom bacanju iznosi 0.6p . Sa X4 označimo broj

pogodaka u četiri bacanja. Verovatnoća dogaĎaja 4P X x , 0,1,2,3,4x iznosi

0 4 4 4

4

40 0,6 0,4 1 1 0,4 0,4 =0.0256

0P X


1 4 1 3 3

4

4 4!1 (1 ) 0,6 0,4 4 0,6 0,4 0.1536

1 1!3!P X p p

2 4 2 2 2 2 2

4

4 4!2 (1 ) 0,6 0,4 6 0,6 0,4 0.3456

2 2!2!P X p p

3 4 3 3 3

4

4 4!3 (1 ) 0,6 0,4 4 0,6 0,4 0.3456

3 3!1!P X p p

4 4 4 4 4

4

4 4!4 (1 ) 0,6 1 0,6 0.1296

4 4!0!P X p p

Funkcija raspodele binomne slučajne promenljive iznosi:

0

( ) ( ; , )x

y

F x b y n p

(II-62)

Radi lakšeg izračunavanja verovatnoća za binomnu raspodelu, vrlo često se koristi sledeća rekurzivna

formula:

1( ; , ) ( 1; , )

n x pb x n p b x n p

x q

Primer II - 25 (Primena rekurzivne formule) Bacamo sedam puta kocku čije su stranice označene

brojevima od 1 do 6 (n = 7; p = 1/6).

1. Verovatnoća da ne padne ni jedna 6:

7

0;7,1/ 6 5 / 6 0,279b

2. Verovatnoća da padne jedna šestica je:

7 1 1 1 6 1

1;7,1/ 6 0;7,1/ 6 7 0,279 0,3911 5 6 5

b b

3. Verovatnoća da padnu dve 6 je:

7 2 1 1 6 6 1

2;7,1/ 6 1;7,1/ 6 0,391 0,2342 5 6 2 5

b b

, itd.

Matematiĉko oĉekivanje binomne slučajne promenljive iznosi:

0 0 1

1

1

0

1jer je

( ) ( ; , )

1,

1

,

,

1

smena 1 i 1

n n nx n x x n x

x x x

nx n x

x

my m y

y

n nE X x b x n p p q x p q x

x x

nnp p q x

xx

mnp

n nn

x xx

y xpy

np

mq n

0

jer je 1m

y m y

y

mp q

y

Varijansa binomne slučajne promenljive iznosi:

22 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )V X E X E X E X n p


2 2 2 1

0 1 1

0

0

2 2 2

smena 1

1( ) ( ; , )

1

( 1) ,

1

1 ( 1 1

i

)

1

n n nx n x x n x

x x x

ny m y

y

ny m y

y

n nE X x b x n p p q x np p q x

x x

mnp p q y

y

mnp y p q

y

np mp np n p n p

y x m

np np

n

Dakle,

2( ) (1 )V X np np np p

2.7.3 HIPERGEOMETRIJSKA RASPODELA

U realnom ţivotu, izvlačenje elemenata iz odreĎene populacije sa vraćanjem se ne praktikuje često.

Umesto toga obično se izvlači odjednom n elemenata, što ne odgovara eksperimentu sa binomnom

raspodelom, već eksperimentu sa tzv. hipergeometrijskom raspodelom.

Pretpostavke o eksperimentu su:

1. Izvlači se uzorak od n N elemenata bez vraćanja (odjednom).

2. Svaki element poseduje svojstvo koje moţemo označiti kao 'uspešan' ('označen') ili 'neuspešan'

('neoznačen'). Postoji M N uspešnih (označenih) elemenata. Verovatnoća uspeha iznosi

p M N .

3. Definišemo slučajnu promenljivu kao

X = „broj uspešnih (označenih) elemenata u uzorku od n elemenata“

Do zakona raspodele dolazimo na sledeći način:

broj mogucih uzoraka sa uspeha( )

ukupni broj mogucih uzoraka

0,1,2,...,min( , )

xP X x

M N M

x n xx n M

N

n

Zakon hipergeometrijske raspodele je:

( ; , , ) 0,1,2,...,min( , )

M N M

x n xh x n M N x n M

N

n

(II-63)

Zakon hipergeometrijske raspodele označavamo sa ( ; , , )h x n M N , a slučajnu promenljivu sa

hipergeometrijskom raspodelom sa ~ , ,X H n M N .

Matematiĉko oĉekivanje

( )M

E X n npN


Varijansa

( ) 11 1

N n M M N nV X n npq

N N N N

Dakle, očekivana vrednost hipergeometrijske raspodele jednaka je očekivanoj vrednosti binomne

raspodele, dok je varijansa hipergeometrijske raspodele u odnosu na binarnu skalirana faktorom 1

N n

N

.

Aproksimacija hipergeometrijske raspodele binomnom

Kada N , 11

N n

N

, hipergeometrijska raspodela prelazi u binomnu:

( , , ) ~ ( , )H n M N B n p

Napomena II - 10 Za 1000N a 20n , sledi

1000 200.98 1

1 1000 1

N n

N

Primer II - 26 Ugroţena vrsta od 25 tigrova nalazi se u nekoj prašumi od čega su, radi posmatranja,

naučnici obeleţili 5 tigrova. Za novo posmatranje ulovljeno je 10 tigrova. Kolika je verovatnoća da će

manje od tri tigra biti obeleţena?

Rešenje. Broj elemenata u populaciji iznosi 25N , od čega je broj obeleţenih tigrova („uspeh“) 5M .

Veličina uzorka je 10n . Verovatnoća da će manje od tri tigra biti obeleţena u uzorku od 10 iznosi

( 3) ( 0) ( 1) ( 2)

(0;10,5,25) (1;10,5,25) (2;10,5,25)

0,057 0,128 0,385 0,570

P X P X P X P X

h h h

2.7.4 GEOMETRIJSKA RASPODELA

Geometrijska raspodela modeluje broj ponovljenih Bernoullijevih eksperimenata do prvog uspeha.

Na primer bacamo kocku dok ne padne šestica i brojimo broj bacanja.

Neka je verovatnoća uspeha Bernoullijevg eksperimenta p i neka je X broj izvedenih eksperimenata do

prvog uspešnog. Slučajna promenljiva X moţe da uzima vrednosti 1,2,3, …,k, … sa verovatnoćama

1

1 , 1,2,k

P X k p p k

Zakon raspodele slučajne promenljive X

1

1 , 1,2,x

p x p p x

(II-64)

predstavlja tzv. geometrijsku raspodelu.

2.7.5 POISONOVA RASPODELA

Kod primene binomne raspodele ( , )B n p , n je često veliki broj, pa izračunavanje binomnih koeficijenata

n

k

moţe da bude zamorno. U ovakvim situacijama je poţeljno imati formule za aproskimaciju binomnih

verovatnoća.

Primer II - 27 Veliki luster ima 200 sijalica. Verovatnoća da u odreĎenom vremenskom periodu T

pregori jedna sijalica je 0,03. Sijalice se menjaju tek ako pregore više od 10. Kolika je verovatnoća da za

vreme T ne doĎe do menjanja sijalica?


Rešenje. Broj pregorelih sijalica na lusteru za vreme T je slučajna promenljiva sa binomnom raspodelom,

~ (200,0.03)X B . Verovatnoća da na vremenskom intervalu T pregori ne više od 10 sijalica iznosi

10 10

200

0 0

20010 0.03 0.97k k

k k

P X P X kk

Očigledno je da ima dosta izračunavanja u poslednjem izrazu. Sledeća teorema daje preko potrebnu

aproksimaciju binomne raspodele.

Teorema II - 12 (S. Poisson) Ako u Bernulijeovom eksperimentu verovatnoća p zavisi od broja

eksperimenta n (np p ) na taj način da je

lim , 0nn

p n

(II-65)

zada za svako fiksirano , 0,1,2, ,k k vaţi

lim 1!

kn kk

n nn

np p e

k k

(II-66)

Dakle, Poisson-ova teorema daje aproksimaciju

1!

kn kk

n n

np p e

k k

za veliko n, gde se uzima np . Moţe se pokazati da se zadovoljavajuća tačnost dobija već kada je n

reda nekoliko desetina, a 10np . Pošto je n veliko, a 10np znači da je p malo, pa se gornja teorema

naziva i „teorema o malom verovatnoćama“.

Primer II - 28 (Nastavak Primera II - 27) Kako je 200 0.03np 6 10 , u Primeru II - 27 moţe se

primeniti Poasson-ova aproksimacija.

Za diskretnu slučajnu promenljivu X kaţemo da ima Poisonov zakon raspodele ako moţe uzeti

vrednosti x iz niza nenegativnih celih brojeva 0,1,2,3, i to sa verovatnoćom

( ; ) , 0,1,2,....!

xep x x

x

(II-67)

pri čemu je 0 , realan broj i predstavlja parametar raspodele. Poisonov zakon raspodele označavamo

sa ( ; )p x , dok slučajnu promenljivu sa Poisonovom raspodelom označavamo sa ~Po( )X . Na sledećoj

slici prikazan je grafik Poisonove raspodele za nekoliko različitih vrednosti parametra λ.

Matematiĉko oĉekivanje

0 1 1 0

( )! ! ( 1)! !

x x x y

x x x y

E X xe xe e ex x x y

Varijansa

22( ) ( ) ( )V X E X E X

12 2

0 1

1 1

1 1

22

2

( )! ( 1)!

( 1)( 1)! ( 1)!

( 2)( 2)!

x x

x x

x x

x x

x

x

E X x e xex x

e xx x

e e xx


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.0

0.2

0.4

0.6

p(x;)

x

=0,5

=1

=2

=3

=5

Konačno, za varijansu dobijamo

22( ) ( ) ( )V X E X E X

Sledeća rekurzivna formula nam moţe posluţiti za lakše odreĎivanje novih veroatnoća ako su poznate

verovatnoće prethodnih realizacija:

1

( 1; ) ( 1)!( 1; ) ( ; )

( ; ) 1 1

!

x

x

ep x x

p x p xp x x x

ex

(II-68)

Funkcija raspodele za Poisonovu raspodelu definisana je sa

0

( ; )!

yx

y

F x ey

(II-69)

Vrednosti ove funkcije raspodele obično de daju u obliku tablica Poisonove raspodele.

PRIMENA POISSONOVE RASPODELE

A) Poisonova raspodela kao graniĉni sluĉaj binomne

Neka u ,B n p stavimo n i 0p tako da . 0np Const . Tada

; , ;b x n p p x .

VAŽNO. Binomnu raspodelu moţemo aproksimirati Poisonovom kad je: 50n i 0,1p .

Dajemo dva primera, najpre loše, a onda dobre aproksimacije.

Primer II - 29 DogaĎaj je broj palih šestica prilikom bacanja 7 kockica. Vršimo grafičko poreĎenje

binomne i Poissnove raspodele za:

1) n = 7 i p = 1/6,

2) n = 50 i p = 0,05.


0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

b(x;7,1/6)

p(x;7/6)

p(x)

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0,0

0,1

0,2

0,3

b(x;50,0.05)

p(x;2.5)

p(x

)

x

B. Poissonova raspodela kao model broja dogaĊaja u vremenskom intervalu

Poissonovom raspodelom opisuju se retki dogaĎaji poput:

broj vozila koji za odreĎeno vreme proĎe kroz presek autoputa

broj telefonskih poziva u centrali u jednoj minuti

broj čestica kosmičkog zračenja detektovanih u sekundi.

broj obolelih stabala po aru šume.

Analizirajmo jedan takav opšti slučaj: „Broj dogaĊaja u vremenskom intervalu [0, )t “

Posmatrajmo slučajnu promenljivu tX kao broj registrovanih dogaĊaja A u intervalu [0, )t . Podelimo

interval [0, )t na n podintervala jednakih duţina t t n . Ako zamislimo da je n veliko, verovatnoća da

se ostvare dva ili više dogaĊaja u svakom takvom intervalu je pribliţno jednaka 0.

Uvodimo sledeće pretpostavke:

1) Na intervalu t moţe desiti najviše jedan dogaĎaj.

2) DogaĎaji u različitim intervalima su nezavisni.

3) Verovatnoća np da se u nekom intervalu t ostvari jedan dogaĊaj, ista za svaki interval i

vaţi 0np kad n .

4) Verovatnoća np pribliţno je proporcionalna duţini intervala:


, 0 ,n np t t n np t n .

Parametar karakteriše predstavlja proseĉan broj dogaĊaja u jedinici vremena

prosečan broj dogaĎaja

jedinica vemena

nnp

t

Označimo sa jA dogaĎaj da se u j -tom, 1,2, ,j n intervalu t pojavi posmatrani dogaĎaj A

(„uspeh“). Sa uvedenim pretpostavkama dogaĎaji jA , 1,2, ,j n su nezavisni i sa jednakim

verovatnoćama ( )j np A p (verovatnoća „uspeha“ iznosi np a „neuspeha“ 1 np ).

Slučajna promenljiva tX se sada moţe predstaviti kao broj realizacija dogaĊaja jA , 1,2, ,j n . na

intervalu [0, )t . Ona očigledno ona ima binomnu raspodelu: ~ ;t nX B n p . Ako povećamo preciznost

registrovanja dogaĎaja, tj. kada vaţi n , imamo nnp t , pa na osnovu Poissonove teoreme sledi

1 ,! ! !

n

k k kn k nnpk t

t n n

n np tP X k p p e e e t

k k k k

, 0,1,2,k

Dakle, broj registrovanih dogaĎaja u intervalu [0, )t ima Poissonovu raspodelu ~tX Po t .

Primer II - 30 Odrediti zakon raspodele verovatnoće k raspada radioaktivnih atoma tokom jedne

milisekunde ( 1t ms ) ako prosečan broj raspada atoma u jedinici vremena (u sekundi) iznosi: 33,4 10 .

Rešenje. Posmatrajmo vremenski interval [0, ) [0,1 )t ms i podelimo ga na 1000n delova tako da

duţina jednog intervala iznosi 61000 10 1t T s s . Verovatnoća da se desi jedan raspad na

intervalu 1t s iznosi 3 63.4 10 10 0.0034np t . Posmatramo slučajnu promenljivu 0.001X

kao broj raspada atoma u toku jedne milisekunde. Ova slučajna promenljiva ima binomnu raspodelu

0.001 ~ , 1000,0.0034nX B n p B pri čemu verovatnoća da se desi k raspada u toku 1t ms iznosi

0.001

3.4

( ; , ) ( ; ) ( ; ) ( ;3.4)

3.4

!

n n

k

P X k b k n p p k n p p k t p k

ek

Poslednji izraz predstavlja traţenu raspodelu verovatnoće koja je prikazana na sledećoj slici.

Očekivana vrednost ( ) 3,4E k at jednaka je prosečnom broju raspada atoma u jednoj milisekundi

i ona je svakako 1000 puta manja od zadatog prosečnog broja raspada atoma 33,4 10 u jednoj

sekundi.

Primer II - 31 Prosečan broj vozila koji proĎe kroz presek autoputa u jednoj minuti iznosi 2. Kolika je

verovatnoća da u toku 5t minuta proĎe bar jedno vozilo?

( ;3.4)p k


Rešenje. Broj vozila koji za t minuta proĎu kroz presek autoputa ima Poissonovu raspodelu Po t gde

je 2 . Posmatramo slučajnu promenljivu 5X kao broj vozila koja su prošla kroz presek autoputa za

vreme 5t minuta. Očigledno je 5 ~ 2 5 10X Po Po . Verovatnoća koja nas interesuje je

0

10 10

5 5

101 1 0 1 1 1

0!P X P X e e

Primer II - 32 Knjiga od 750 stranica ima 400 štamparskih grešaka. Uz pretpostavku da su greške

nezavisne naĎi verovatnoću da neka stranica ima a) nula grešaka, b) više od jedne greške i c) tačno 4

greške.

Rešenje. Prosečan broj grešaka po stranici iznosi 400 750 . Podelimo interval stranica knjige

[0, ) [0,750)s na 750n strana tako da je 750 750 1s s n . Verovatnoća da se desi jedna greška

na stranici iznosi 400 750 1 0.533np s . Definišimo slučajnu promenljivu 1X kao broj grešaka

na jednoj stranici. Ova slučajna promenljiva ima binomnu raspodelu

1 ~ , 750,400 750nX B n p B

pri čemu je raspodela verovatnoća da se dogodi k grešaka po jednoj stranici

400

7501

400 750( ; , ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ,

!

k

n nP X k b k n p p k n p p k s p k e sk

a) 0

1 0 0; 0,590!

P X p e

b) 1

1 1 11 1 0 1 1 (0; ) (1; ) 1 0,59 0.31291!

P X P X P X p p e

c) 4

4 4; 0,0024!

eP X p

2.8 RASPODELE NEPREKIDNIH SLUĈAJNIH PROMENLJIVIH

2.8.1 UNIFORMNA RASPODELA

Definicija II - 24 Neprekidna slučajna promenljiva X ima uniformnu raspodelu u intervalu [ , ]a b ako je

funkcija gustine verovatnoće definisana na sledeći način

1

( )

0 inace

a x bf x b a

(II-70)

Uniformnu raspodelu označavamo sa U(a,b).

Funkcija raspodele glasi:

0,

( ) , ,

1,

x a

x aF x P X x x a b

b a

x b

(II-71)

Funkcija gustine verovatnoće i funkcija uniformne raspodele prikazane su na sledećoj slici.


Za svako , vaţi

P X F Fb a

Dakle, verovatnoća da X pripada nekom intervalu , unutar ,a b proporcionalna je duţini tog

intervala.

Matematiĉko oĉekivanje iznosi:

( )2

b

a

a bE X xf x dx

(II-72)

Varijansa iznosi:

2

22

12

b aV X E X E X

(II-73)

Primer II - 33 U slučajno vreme stiţemo na autobusku stanicu gde autobusi prolaze u intervalima od 15

min. Kolika je verovatnoća da će u narednih 10 minuta naići autobus?

Rešenje. Neka je X vreme čekanja autobusa. Ova promenljiva ima uniformnu raspodelu U(0,15) sa

funkcijom gustine verovatnoće:

1 10 15

( ) 15 0 15

0 inace

xf x

Verovatnoća da će u narednih 10x minuta naići autobus iznosi:

10 0 2

10 (10)15 0 3

P X F

.

2.8.2 EKSPONENCIJALNA RASPODELA

Neprekidna slučajana promenljiva ima eksponencijalnu raspodelu sa pozitivnim parametrom

ako je njena funkcija gustine verovatnoće f x data sa:

0, 0

, 0x

xf x

e x

(II-74)

Funkcija raspodele iznosi:

( ) 1 , 0

x

xF x f t dt e x

(II-75)

1

b a

a b

f(x)

x a b

F(x)

x

1


Matematiĉko oĉekivanje: 1

E X

Varijansa: 2

1V X

Primena: Eksponencijalna raspodela se koristi kod modelovanja vremena izmeĎu dva dogaĎaja u

Poissonovim procesima. Ako imamo Poissonovu raspodelu sa parametrom t , onda su vremena

izmeĎu dogaĎaja raspodeljena eksponencijalno sa parametrom .

Primer II - 34 „Vreme ĉekanja prvog dogaĊaja“

Neka slučajna promenljiva tX označava broj dogaĎaja u vremenskom intervalu [0, )t . Uvedimo još jednu

slučajnu promenljivu X koja označava vreme ĉekanja prvog dogaĊaja. Odredimo verovatnoću

dogaĎaja X t , 0t . Ako je X t to znači da se u intervalu [0, )t pojavio bar jedan dogaĎaj, tj.

0tX . Dakle, vaţi 0tP X t P X . Pošto tX ima Poassonovu raspodelu ( ~tX Po t ) dalje se

ima

0

0 1 0 1 1 ( )0!

t t

t t

tP X t P X P X e e F t

Dobijeni rezultat pokazuje da slučajna promenljiva X (vreme čekanja prvog dogaĎaja) ima

eksponencijalnu raspodelu sa parametrom t , tj. ~X .

Eksponencijalna raspodela je vaţan model za proučavanje vremena ispravnog rada ureĎaja, ukoliko

ureĎaj do trenutka otkaza funkcioniše kao nov (otkaz nastaje zbog spoljašnjih udara). U tom slučaju

vreme ispravnog rada X ima eksponencijalnu raspodelu. Odredimo verovatnoću dogaĎaja

T X T x , 0x , pod uslovom X T :

| 1 xP T X T x X T e (II-76)

Dakle, ako znamo da do trenutka t T ureĎaj funkcioniše, onda verovatnoća da on otkaţe u vremenskom

intervalu ,T T x ne zavisi od T , već samo od x .

Primer II - 35 Vreme trajanja X osigurača za struju ima eksponencijalnu raspodelu , gde je

0.001 (jedan otkaz na 1000 sati rada). Od velikog broja osigurača koji već rade 2000T sati, koliki

procenat otkaza moţemo očekivati tokom narednih 500x časova?

Rešenje. Iz (II-76) sledi

0.001 500 0.52000 2500 | 2000 1 1 0.3935 0.4P X X e e

Dakle, oko 40% osigurača koji rade preko 2000 sati otkazuju u narednih 500 sati.

2.8.3 NORMALNA (GAUSOVA) RASPODELA

Normalna ili Gausova raspodela zauzima centralno mesto u teoriji verovatnoće i matematičkoj statistici.

Ona ima sledeća svojstva:

1) Dobar je model za veliku većinu fizičkih merenja.

2) Dobra je aproksimacija za druge raspodele.

3) Dobar je model za raspodelu raznih statistika definisanih na uzorku.

4) Zaključivanje na osnovu velikih uzoraka i neki statistički postupci zasnivaju na pretpostavci

normalnosti.

5) Pomoću nje se izvode mnoge druge raspodele


Definicija II - 25 Za slučajnu promenljivu X kaţemo da ima Normalnu raspodelu ako je njena funkcija

gustina verovatnoće data funkcijom

2

221

( )2

x

f x e

(II-77)

gde je realan broj a pozitivan broj.

Parametri Normalne raspodele su i . Da X ima Normalnu raspodelu pisaćemo kraće 2~ ( , )X N

(obično se stavlja kvadrat drugog parametra).

Funkcija ( )f x je simetrična u odnosu na pravu x . Za x ona dostiţe maksimum

1( )

2f

Grafički prikaz funkcije ( )f x , za datu vrednost parametra i različite vrednosti parametra dat je na

sledećoj slici

Ukoliko je manje, maksimalna vrednost je veća. Ukoliko je veće, veće je i rasturanje podataka oko

tačke x .

Matematiĉko oĉekivanje promenljive sa Normalnom raspodelom jednaka je parametru :

2

221

( )2

x

X E X xf x dx xe dx

(II-78)

Varijansa promenljive sa Normalnom raspodelom jednaka je parametru 2 :

2

22 22 2 221

( ) ( )2

x

X XE X x f x dx x e dx

(II-79)

Funkcija raspodele za promenljivu sa Normalnom raspodelom iznosi:

2

221

( ) ( )2

xx x

F x f x dx e dx

(II-80)

Ukoliko definišemo novu slučajnu promenljivu

X

Z

(II-81)

moţe se pokazati da će ona imati tzv. standardnu Normalne raspodelu sa parametrima 0 i 1 :


2

21

( )2

z

f z e

(II-82)

Ovu raspodelu obeleţavamo sa (0,1)N , a njenu krivu nazivamo Gausova kriva.

Funkcija raspodele za promenljivu sa standardnom Normalnom raspodelom iznosi:

2 /21

( )2

z

xz e dx

(II-83)

Vrednosti funkcije raspodele ( )z , za različite vrednosti promenljive z date su u Tabeli 1.

U literaturi se, pored standardne normalne raspodele definiše ( )z , često definiše i tzv. funkcija greške

Erf na sledeći način:

2

0

2( ) 2 2 1

z

xErf z e dx z

(II-84)

U prvoj koloni tabele se nalaze vrednosti promenljive Z zaključno sa prvom decimalnom cifrom (pozicija 110 ) , a u prvoj vrsti se nalaze cifre na poziciji 210 . Vrednost promenljive Z se dobija kombinovanjem

ove dve vrednosti.

Na primer, uzimanjem 0.3 iz prve kolone i 0.05 iz prve vrste biramo broj 0.35 i dodeljujemo ga

promenljivoj Z. Vrednost funkcije ( )z dobijamo tako što pročitamo broj iz tabele u preseku reda sa 0.3

i kolone sa 0.05. Pročitani broj je 0.6368.


Tablela 1. Funkcija standardne Normalne raspodele: 2 /21

( )2

z

xz e dx

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3.0

3.1

3.2

3.3

3.4

.5000

.5398

.5793

.6179

.6554

.6915

.7257

.7580

.7881

.8159

.8413

.8643

.8849

.9032

.9192

.9332

.9452

.9554

.9641

.9713

.9772

.9821

.9861

.9893

.9918

.9938

.9953

.9965

.9974

.9981

.9987

.9990

.9993

.9995

.9997

.5040

.5438

.5832

.6217

.6591

.6950

.7291

.7611

.7910

.8186

.8438

.8665

.8869

.9049

.9207

.9345

.9463

.9564

.9649

.9719

.9778

.9826

.9864

.9896

.9920

.9940

.9955

.9966

.9975

.9982

.9987

.9991

.9993

.9995

.9997

.5080

.5478

.5871

.6255

.6628

.6985

.7324

.7642

.7939

.8212

.8461

.8686

.8888

.9066

.9222

.9357

.9474

.9573

.9656

.9726

.9783

.9830

.9868

.9898

.9922

.9941

.9956

.9967

.9976

.9982

.9987

.9991

.9994

.9995

.9997

.5120

.5517

.5910

.6293

.6664

.7019

.7357

.7673

.7967

.8238

.8485

.8708

.8907

.9082

.9236

.9370

.9484

.9582

.9664

.9732

.9788

.9834

.9871

.9901

.9925

.9943

.9957

.9968

.9977

.9983

.9988

.9991

.9994

.9996

.9997

.5160

.5557

.5948

.6331

.6700

.7054

.7389

.7704

.7995

.8264

.8508

.8729

.8925

.9099

.9251

.9382

.9495

.9591

.9671

.9738

.9793

.9838

.9875

.9904

.9927

.9945

.9959

.9969

.9977

.9984

.9988

.9992

.9994

.9996

.9997

.5199

.5596

.5987

.6368

.6736

.7088

.7422

.7734

.8023

.8289

.8531

.8749

.8944

.9115

.9265

.9394

.9505

.9599

.9678

.9744

.9798

.9842

.9878

.9906

.9929

.9946

.9960

.9970

.9978

.9984

.9989

.9992

.9994

.9996

.9997

.5239

.5636

.6026

.6406

.6772

.7123

.7454

.7764

.8051

.8315

.8554

.8770

.8962

.9131

.9279

.9406

.9515

.9608

.9686

.9750

.9803

.9846

.9881

.9909

.9931

.9948

.9961

.9971

.9979

.9985

.9989

.9992

.9994

.9996

.9997

.5279

.5675

.6064

.6443

.6808

.7157

.7486

.7794

.8078

.8340

.8577

.8790

.8980

.9147

.9292

.9418

.9525

.9616

.9693

.9756

.9808

.9850

.9884

.9911

.9932

.9949

.9962

.9972

.9979

.9985

.9989

.9992

.9995

.9996

.9997

.5319

.5714

.6103

.6480

.6844

.7190

.7517

.7823

.8106

.8365

.8599

.8810

.8997

.9162

.9306

.9429

.9535

.9625

.9699

.9761

.9812

.9854

.9887

9913

.9934

.9951

.9963

.9973

.9980

.9986

.9990

.9993

.9995

.9996

.9997

.5359

.5753

.6141

.6517

.6879

.7224

.7549

.7852

.8133

.8389

.8621

.8830

9015

.9177

.9319

.9441

.9545

.9633

.9706

.9767

.9817

.9857

.9890

.9916

.9936

.9952

.9964

.9974

.9981

.9986

.9990

.9993

.9995

.9997

.9998

NEKA VAŽNA SVOJSTVA NORMALNE RASPODELE

( )x

F x

(II-85)

b

P X b F b

(II-86)

1 1a

P X a F a

(II-87)


b a

P a X b F b F a

(II-88)

Za b vaţi 1b b

P X b

(II-89)

1 2 1

P a X a F a F a

a a a a

a a a

(II-90)

( ) 2 1 2 1 1 2 0,8413 1 0,6826

68%

P X

(II-91)

2( 2 2 ) 2 1 2 2 1 2 0,9772 1 0,9544

95%

P X

(II-92)

Pravilo tri sigme

3( 3 3 ) 2 1 2 3 1 2 0,99865 1 0,9974

99,7%

P X

(II-93)

U primenama se često koristi pravilo tri sigme (II-93), koje slobodno rečeno, kaţe da je skoro nemoguće

( 99,7%P ) da odstupanje X od očekivane vrednosti bude veće od 3 . Znači, svako veće odstupanje

od 3 znači da se radi o neispravnom proizvodu (merenju) koji(e) treba odbaciti kao škart.

Primer II - 36 Imamo slučajnu promenljivu X sa Normalnom raspodelom i parametrima 50 i 2 .

Zanima nas verovatnoća da X bude izmeĎu 46 i 53.

Rešenje.

~ (50,4)X N , (46 53) ?P X

53 50 46 50(46 53) (1,5) ( 2)

2 2

(1,5) (2) 1 0,9332 0.9772 1 0,9104

P X

Primer II - 37 Neka je 2~ (2,3 )X N . Tada je

2 3 3 3 3 3 1 3

3 2 3 21 1,24 1 0.09

3 3

1 1,24 1 1 0.09 1 1,24 0.09

1 0,8925 0,5359

0.6434

P X P x P X P X P X P X

Koeficijenti asimetrije i spljoštenosti za Normalnu raspodelu iznose redom:

3 0 , 4 3 (II-94)

na osnovu čega se zaključuje da je ova raspodela simetrična sa normalnom spljoštenošću.


Teorema II - 13 Neka su 1 2, , , nX X X nezavisne slučajne promenljive sa istom raspodelom 2,N .

Tada su slučajne promenljive

1

n

k

k

X

i

2

1

n

k

k

Xn

(II-95)

nezavisne.

Napomena II - 11 Osobina navedena u prethodnoj teoremi karakteristična je za normalnu raspodelu.

Naime, i su nezavisne slučajne promenljive ako i samo ako su 1 2, , , nX X X nezavisne slučajne

promenljive sa Normalnom raspodelom.

Napomena II - 12 Na osnovu rezultata iz prethodne teoreme zakljčujemo da su i slučajne promenljive

1

1ˆ

n

k

k

Xn

i 22

1

1ˆ

1

n

k

k

s Xn

(II-96)

nezavisne, ako su 1 2, , , nX X X nezavisne slučajne promenljive sa Normalnom raspodelom.

GAUSOVA APROKSIMACIJA NEKIH RASPODELA

Aproksimacija Binomne raspodele

Ako slučajna promenljiva X ima binomnu raspodelu ( ~ ( , )X B n p ), onda za veliko n i ne premalo p

pribliţno vaţi

~ ( , )X N np npq (II-97)

Primer II - 38 U 12 bacanja novčića naĎi verovatnoću da će pasti izmeĎu 4 i 7 glava.

Rešenje. Neka je X slučajna promenljiva koja označava broj palih glava novčića u 12 bacanja. Ova

promenljiva ima binomnu raspodelu sa parametrima: 12n , 0.5p , 1 0.5q p , tj.

~ ( , ) (12,0.5)X B n p B . Odgovarajuće verovatnoće su:

1 212 12

12 121 1( 4) 0,121, ( 5) 0,193

4 52 2P X P X

3 412 12

12 121 1( 6) 0,226, ( 7) 0,193

6 72 2

(4 7) 0,733i

i

P X P X

P X P

Zahvaljujući većem broju bacanja novčića 12n , na mnogo brţi način se do pribliţnog rezultata dolazi

aproksimacijom binomne raspodele normalnom raspodelom, (II-97):

~ ( , ) (12 0.5, 12 0.5 0.5) (6,3) 6, 3X N np npq N N .

Dalje se ima

3,5 6 7,5 6(3,5 7,5) ( ) (0,87) ( 1,44) 0,8078 0,0749

3 3

0,733

P X P Z

Aproksimacija Poissonove raspodele

Ako slučajna promenljiva X ima Poisonovu raspodelu ( ~ ( )X Po ), za veliko 20 pribliţno vredi

~ ( , )X N (II-98)


Primer II - 39 Gajgerov brojač detektuje raspade koji slede Poissonovu raspodelu sa 25 raspada u

sekundi. Naći verovatnoću da u jednoj sekundi broj raspada bude izmeĎu 23 i 27 ( 23 27X ).

Rešenje: a) Model broja raspada u jedinici vremena odgovara Poissonovoj raspodeli sa 25

~ (25)X Po :

2325 25

( 23) 0,076323!

P X e

Za odreĎivanje ostalih sukcesivnih verovatnoća koristimo rekurentnu formulu (II-68):

25( 1) ( )

1P X x P X x

x

25( 24) ( 23) 0,0795, ( 25) ( 24) 0,0795

24P X P X P X P X

25 25( 26) ( 25) 0,0765, ( 27) ( 26) 0,0708

26 27P X P X P X P X

27

23

(23 27) ( ) 0,3826i

P X P X i

b) Pošto je 25 20 , da bi smo došli do rešenja moţemo iskoristiti apsoksimaciju Poissonove

raspodele ~ (25)X Po Normalnom raspodelom ~ (25,25)X N :

22,5 25 27,5 25(22,5 27,5) ( ) (0,5) ( 0,5) 0,6915 0,3085

5 5

0,3830

P X P Z

Na sledećoj slici prikazan je uzajamni odnos Normalne i Poissonove raspodele.

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

p(x

), f(x

)

X

U sledećoj tabeli date su neke moguće raspodele i njihove aproksimacije.

U prvom slučaju se za veliko n i malo p aproksimira binomna raspodela pomoću Poissonove raspodele.

Kada je n dovoljno veliko, binomna raspodela se moţe aproksimirati i Normalnom raspodelom.


Raspodela Ograničenja Aproksimacija

~ ( , )X B n p 50n , 0.1p ~ ( )X Po np

~ ( , )X B n p 10n , 0.5p ili

30n , 0.5p ~ ( , )X N np npq

~ ( )X Po 20 ~ ( , )X N

2.8.4 - RASPODELA

Definicija II - 26 Standardna gama raspodela. Kontinualna slučajna promenljiva X ima standardnu

gama raspodelu ako je njena funkcija gustine verovatnoće data sa

1

, 0( , ) ( )

0, 0

xx ex

f x

x

(II-99)

gdje je ( 0 ) parametar raspodele li stepen slobode, a

1

0

( ) , 0xx e dx

(II-100)

označava tzv. -funkciju.

U cilju lakšeg izračunavanja -funkcije daju se sledeće njene osobine:

1 ( ) ( 1) ( 1)

1( ) ( 1)!,

2n n n

Očekivanje i varijansa su:

( ) , ( )E X V X

Na sledećoj slici prikazana je funkcija gustine verovatnoće standardne gama raspodele.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 1 2 3 4 5

Definicija II - 27 Opšta gama raspodela. Kontinualna slučajna promenljiva X ima gama raspodelu ako

je njena funkcija gustine verovatnoće data sa

0.5

1 2

3

,f x


1 /

, 0( ; , ) ( )

0, 0

xx ex

f x

x

(II-101)

gde su i 0 .

Očekivanje i varijansa:

2( ) ( )E X V X

Opšta gama raspodela postaje standardna za 1 .

Poseban slučaj gama raspodele je eksponencijalna raspodela za koju vaţi: 1 i 1 .

VEZA NORMALNE I GAMA RASPODELE

Ako je X normalna slučajna promenljiva sa očekivanjem i standardnom devijacijom , onda slučajna

promenljiva

2

2

XU

(II-102)

ima gama raspodelu s parametrima 1/ 2 i 2 .

Napomena II - 13 Verovatnoća da veličina x

bude veća od nekog broja odreĎena je površinom

ispod repa gama raspodele (sa parametrima 1/ 2 i 2 ) koja se nalazi iza 2 . (videti osenčani deo

na sledećoj slici)

0 1 2 3 4 5

0,0

0,5

1,0

1,5

2

2.8.5 HI-KVADRAT RASPODELA

Definicija II - 28 Kontinualna slučajna promenljiva X ima Hi raspodelu sa parametrom n , u oznaci

2 n , ako je njena funkcija gustine verovatnoće data pomoću:

,f x


/2 1 /2

/2, 0

( , ) 2 ( / 2)

0, 0

n x

n

x ex

f x n n

x

(II-103)

Parametar n moţe biti proizvoljan pozitivni broj, ali je u primenama vaţan slučaj kada je n prirodan

broj. On se drugačije naziva “broj stepeni slobode”. Sa ( ) označena gama funkcija.

Grafik 2 raspodele, za različite vrednosti parametra n prikazan je na sledećoj sledećoj slici.

Funkcija raspodele je:

12 2

0 2

( , )

2 ( )2

n tx

n

t eF x n dt

n

(II-104)

Vrednosti funkcije raspodele u kojoj su stepeni slobode od 1 do 30 date su u sledećoj tabeli. Za veće

stepene slobode mogu se koristiti pribliţne vrednosti iz Normalne raspodele.

Za odreĎeni broj stepeni slobode n i dati broj ( 0 1 ) iz tablice se čita pozitivan broj x n takav

da je P x x n .

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Očekivana vrednost i varijansa iznose

E X n (II-105)

22 2E X n (II-106)

20n

2n

5n

10n

( , )f x n

x


2 - raspodela: F x n

n

.005 .010 .025 .050 .100 .250 .500 .750 .900 .950 .975 .990 .995

1 .0000 .0000 .0000 .0039 .0158 .102 .455 1.32 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88

2 .0100 .0201 .0506 .1030 .211 .575 1.39 2.77 4.61 5.99 7.38 9.21 10.6

3 .0717 .115 .216 .352 .584 1.21 2.37 4.11 6.25 7.81 9.35 11.3 12.8

4 .207 .297 .484 .711 1.06 1.92 3.36 5.39 7.78 9.49 11.1 13.3 14.9

5 .412 .554 .831 1.15 1.61 2.67 4.35 6.63 9.24 11.1 12.8 15.1 16.7

6 .676 .872 1.24 1.64 2.20 3.45 5.35 7.84 10.6 12.6 14.4 16.8 18.5

7 .989 1.24 1.69 2.17 2.83 4.25 6.35 9.04 12.0 14.1 16.0 18.5 20.3

8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 5.07 7.34 10.2 13.4 15.5 17.5 20.1 22.0

9 1.73 2.09 2.70 3.33 4.17 5.90 8.34 11.4 14.7 16.9 19.0 21.7 23.6

10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 6.74 9.34 12.5 16.0 18.3 20.5 23.2 25.2

11 2.60 3.05 3.82 4.57 5.58 7.58 10.3 13.7 17.3 19.7 21.9 24.7 26.8

12 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 8.44 11.3 14.8 18.5 21.0 23.3 26.2 28.3

13 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 9.30 12.3 16.0 19.8 22.4 24.7 27.7 29.8

14 4.07 4.6 5.63 6.57 7.79 10.2 13.3 17.1 21.2 23.7 26.1 29.1 31.3

15 4.60 5.23 6.26 7.26 8.55 11.0 14.3 18.2 22.3 25.0 27.5 30.6 32.8

16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 11.9 15.3 19.4 23.5 26.3 28.8 32.0 34.3

17 5.70 6.41 7.56 8.67 10.1 12.8 16.3 20.5 24.8 27.6 30.2 33.4 35.7

18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.9 13.7 17.3 21.6 26.0 28.9 31.5 34.8 37.2

19 6.84 7.63 8.91 10.1 11.7 14.6 18.3 22.7 27.2 30.1 32.9 36.2 38.6

20 7.43 8.26 9.59 10.9 12.4 15.5 19.3 23.8 28.4 31.4 34.2 37.6 40.0

21 8.03 8.90 10.3 11.6 13.2 16.3 20.3 24.9 29.6 32.7 35.5 38.9 41.4

22 8.64 9.54 11.0 12.3 14.0 17.2 21.3 26.0 30.8 33.9 36.8 40.3 42.8

23 9.26 10.2 11.7 13.1 14.8 18.1 22.3 27.1 32.0 35.2 38.1 41.6 44.2

24 9.89 10.9 12.4 13.8 15.7 19.0 23.3 28.2 33.2 36.4 39.4 43.0 45.6

25 10.5 11.5 13.1 14.6 16.5 19.9 24.3 29.3 34.4 37.7 40.6 44.3 46.9

26 11.2 12.2 13.8 15.4 17.3 20.8 25.3 30.4 35.6 38.9 41.9 45.6 48.3

27 11.8 12.9 14.6 16.2 18.1 21.7 26.3 31.5 36.7 40.1 43.2 47.0 49.6

28 12.5 13.6 15.3 16.9 18.9 22.7 27.3 32.6 37.9 41.3 44.5 48.3 51.0

29 13.1 14.3 16.0 17.7 19.8 23.6 28.3 33.7 39.1 42.6 45.7 49.6 52.3

30 13.8 15.0 16.8 18.5 20.6 24.5 29.3 34.8 40.3 43.8 47.0 50.9 53.7

x n

x n

F x n P x x n


Običan moment k-tog reda dat je izrazom

2 4 2 2km n n n n k (II-107)

Koeficijent asimetrije ima vrednost

3

8

n (II-108)

a koeficijent spljoštenosti

4

123

n (II-109)

Iz (II-108) se vidi da 2 raspodela teţi simetričnoj raspodeli kad n , a iz (II-109) se vidi da ona teţi

raspodeli sa normalnom spljoštenošću.

Teorema II - 14 Neka su 1 2, , , nZ Z Z nezavisne slučajne promenljive sa 0,1N raspodelom i neka je

2 2 2

1 2 ,nV Z Z Z n (II-110)

Slučajna promenljiva V ima 2 n raspodelu.

Teorema II - 15 Neka je 2~V n . Kada n , funkcija raspodele slučajne promenljive

2

V n

n

(II-111)

konvergira funkciji raspodele 0,1N .

Teorema II - 16 Neka su 1 2, , , nX X X nezavisne slučajne promenljive sa istom raspodelom 2,N i

neka je

1 2ˆ nX X X

n

(II-112)

Tada vaţi:

2 2

21

1~

n

k

k

X n

(II-113)

2 2

21

1ˆ ~ 1

n

k

k

X n

(II-114)

2.8.6 STUDENTOVA T - RASPODELA

Definicija II - 29 Kontinualna slučajna promenljiva X ima studentovu t -raspodelu ( ~X t n ) sa

parametrom n ako je njena funkcija gustine verovatnoće data pomoću:

12 2

1( )

2( , ) 1

( )2

nn

xf x n

n nn

(II-115)

Parametar n moţe biti proizvoljan pozitivni broj, ali se ova raspodela uglavnom koristi kada je n .

Očekivana vrednost i varijansa iznose:


20,1

nE X

n

(II-116)

Obični i centralni momenti su meĎusobno jednaki.

Koeficijent asimetrije i spljoštenosti iznose redom:

3 4

60, 3

4n

(II-117)

Kad n studentova t-raspodela t n teţi standardnoj Normalnoj raspodeli 0,1N .

Funkcija raspodele data je sa:

12 2

1( )

2( , ) 1

( )2

nx

n

xF x n

n nn

(II-118)

Grafik funkcija gustine verovatnoće studentove t-raspodele, za različite vrednosti parametra n prikazan je

na sledećoj slici.

Teorema II - 17 Neka su 1 2, , , nX X X nezavisne slučajne promenljive sa 2,N raspodelom i neka

je

2

1 1

1 1ˆ ˆ,

1

n n

k k

k k

X s Xn n

(II-119)

Tada je

ˆ

~ 1n t ns

(II-120)

Teorema II - 18 Neka je 1 1, , , , ,n nX X Y Y skup nezavisnih slučajnih promenljivih, gde

2

1~ ,iX N , 2

2~ ,jY N , 11, ,i n , 21, ,j n . Neka su 2

1 1ˆ , s i 2

2 2ˆ , s definisani pomoću

(II-119) za iX , jY respektivno. Definišimo

1 2 22

1 22 2

1 11 1 2 22

1,2

1 1 1 1

ˆ ˆ1 1

2 2

n n

i j

i j

X Yn s n s

sn n n n

(II-121)

Slučajna promenljiva

( , )f x n

0,1N

t n


1 2 1 2

1,2

1 2

ˆ ˆ

1 1T

sn n

(II-122)

ima raspodelu 1 2 2t n n

Vrednosti funkcije raspodele u kojoj su stepeni slobode od 1 do 30 date su u sledećoj tabeli. Za odreĎeni

broj stepeni slobode n i dati broj ( 0 1 ) iz tablice se čita pozitivan broj t n takav da je

P x t n

t n

F t n P x t n


Studentova t-raspodela: F t n

n .75 .90 .95 .975 .99 .995 .9995

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

40

60

120

1.000

.816

.765

.741

.727

.718

.711

.706

.703

.700

.697

.695

.694

.692

.691

.690

.689

.688

.688

.687

.686

.686

.685

.685

.684

.684

.684

.683

.683

.683

.681

.679

.677

.674

3.078

1.886

1.638

1.533

1.476

1.440

1.415

1.397

1.383

1.327

1.363

1.356

1.350

1.345

1.341

1.337

1.333

1.330

1.328

1.325

1.233

1.321

1.319

1.318

1.316

1.315

1.314

1.313

1.311

1.310

1.303

1.296

1.289

1.282

6.314

2.920

2.353

2.132

2.015

1.943

1.895

1.860

1.833

1.812

1.796

1.782

1.771

1.761

1.753

1.746

1.740

1.734

1.729

1.725

1.721

1.717

1.714

1.711

1.708

1.706

1.703

1.701

1.699

1.697

1.684

1.671

1.658

1.645

12.706

4.303

3.182

2.776

2.571

2.447

2.365

2.306

2.262

2.228

2.201

2.179

2.160

2.145

2.131

2.120

2.110

2.101

2.093

2.086

2.080

2.074

2.069

2.064

2.060

2.056

2.052

2.048

2.045

2.042

2.021

2.000

1.980

1.960

31.821

6.965

4.541

3.747

3.365

3.143

2.998

2.896

2.821

2.764

2.718

2.681

2.650

2.624

2.602

2.583

2.567

2.552

2.539

2.528

2.518

2.508

2.500

2.492

2.485

2.479

2.473

2.467

2.462

2.457

2.423

2.390

2.358

2.326

63.657

9.925

5.841

4.604

4.032

3.707

3.499

3.355

3.250

3.169

3.106

3.055

3.012

2.977

2.947

2.921

2.898

2.878

2.861

2.845

2.831

2.819

2.807

2.797

2.787

2.779

2.771

2.763

2.756

2.750

2.704

2.660

2.617

2.576

636.619

31.598

12.941

8.610

6.859

5.959

5.405

5.041

4.781

4.587

4.437

4.318

4.221

4.140

4.073

4.015

3.965

3.922

3.883

3.850

3.819

3.792

3.767

3.745

3.725

3.707

3.690

3.674

3.659

3.646

3.551

3.460

3.373

3.291

t n


2.8.7 F-RASPODELA

Definicija II - 30 Kontinualna slučajna promenljiva X ima F-raspodelu ( 1 2~ ,X F n n ) sa 1n i

2n

stepeni slobode ako je njena funkcija gustine verovatnoće data pomoću:

11

1 2

21 2

221

1 2

1 2 2 21

2

2( , , ) , 0

2 2 1

nn

n n

n n

n xf x n n x

n n nn

xn

(II-123)

Funkcija raspodele iznosi

1 2 1 2

0

, , , ,

x

F x n n f y n n dy (II-124)

Očekivana vrednost F-raspodele jednaka je

2

2 2

n

n

(II-125)

a varijansa

2

2 1 22

2

1 2 2

2 2

2 4

n n n

n n n

(II-126)

Prilikom odreĎivanja verovatnoća slučajne promenljive sa F-raspodelom, koristimo Tabelu F-raspodele.

Ova tabela sadrţi vrednosti 1 2,f n n za koje je funkcija raspodele jednaka 0.05 i 0.01 a za

različite stepene slobode 1n i 2n .

1 2,f n n

1

1 2 1 2, , 1P x f n n F x n n

1 2; ,f x n n


1 2, 1 0.99P F f n n

n2\n1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 4052,181 4999,500 5403,352 5624,583 5763,650 5858,986 5928,356 5981,070 6022,473 6055,847

2 98,503 99,000 99,166 99,249 99,299 99,333 99,356 99,374 99,388 99,399

3 34,116 30,817 29,457 28,710 28,237 27,911 27,672 27,489 27,345 27,229

4 21,198 18,000 16,694 15,977 15,522 15,207 14,976 14,799 14,659 14,546

5 16,258 13,274 12,060 11,392 10,967 10,672 10,456 10,289 10,158 10,051

6 13,745 10,925 9,780 9,148 8,746 8,466 8,260 8,102 7,976 7,874

7 12,246 9,547 8,451 7,847 7,460 7,191 6,993 6,840 6,719 6,620

8 11,259 8,649 7,591 7,006 6,632 6,371 6,178 6,029 5,911 5,814

9 10,561 8,022 6,992 6,422 6,057 5,802 5,613 5,467 5,351 5,257

10 10,044 7,559 6,552 5,994 5,636 5,386 5,200 5,057 4,942 4,849

11 9,646 7,206 6,217 5,668 5,316 5,069 4,886 4,744 4,632 4,539

12 9,330 6,927 5,953 5,412 5,064 4,821 4,640 4,499 4,388 4,296

13 9,074 6,701 5,739 5,205 4,862 4,620 4,441 4,302 4,191 4,100

14 8,862 6,515 5,564 5,035 4,695 4,456 4,278 4,140 4,030 3,939

15 8,683 6,359 5,417 4,893 4,556 4,318 4,142 4,004 3,895 3,805

16 8,531 6,226 5,292 4,773 4,437 4,202 4,026 3,890 3,780 3,691

17 8,400 6,112 5,185 4,669 4,336 4,102 3,927 3,791 3,682 3,593

18 8,285 6,013 5,092 4,579 4,248 4,015 3,841 3,705 3,597 3,508

19 8,185 5,926 5,010 4,500 4,171 3,939 3,765 3,631 3,523 3,434

20 8,096 5,849 4,938 4,431 4,103 3,871 3,699 3,564 3,457 3,368

21 8,017 5,780 4,874 4,369 4,042 3,812 3,640 3,506 3,398 3,310

22 7,945 5,719 4,817 4,313 3,988 3,758 3,587 3,453 3,346 3,258

23 7,881 5,664 4,765 4,264 3,939 3,710 3,539 3,406 3,299 3,211

24 7,823 5,614 4,718 4,218 3,895 3,667 3,496 3,363 3,256 3,168

25 7,770 5,568 4,675 4,177 3,855 3,627 3,457 3,324 3,217 3,129

26 7,721 5,526 4,637 4,140 3,818 3,591 3,421 3,288 3,182 3,094

27 7,677 5,488 4,601 4,106 3,785 3,558 3,388 3,256 3,149 3,062

28 7,636 5,453 4,568 4,074 3,754 3,528 3,358 3,226 3,120 3,032

29 7,598 5,420 4,538 4,045 3,725 3,499 3,330 3,198 3,092 3,005

30 7,562 5,390 4,510 4,018 3,699 3,473 3,304 3,173 3,067 2,979

40 7,314 5,179 4,313 3,828 3,514 3,291 3,124 2,993 2,888 2,801

60 7,077 4,977 4,126 3,649 3,339 3,119 2,953 2,823 2,718 2,632

120 6,851 4,787 3,949 3,480 3,174 2,956 2,792 2,663 2,559 2,472

inf 6,635 4,605 3,782 3,319 3,017 2,802 2,639 2,511 2,407 2,321


n2\n1 12 15 20 24 30 40 60 120 INF

1 6106,321 6157,285 6208,730 6234,631 6260,649 6286,782 6313,030 6339,391 6365,864

2 99,416 99,433 99,449 99,458 99,466 99,474 99,482 99,491 99,499

3 27,052 26,872 26,690 26,598 26,505 26,411 26,316 26,221 26,125

4 14,374 14,198 14,020 13,929 13,838 13,745 13,652 13,558 13,463

5 9,888 9,722 9,553 9,466 9,379 9,291 9,202 9,112 9,020

6 7,718 7,559 7,396 7,313 7,229 7,143 7,057 6,969 6,880

7 6,469 6,314 6,155 6,074 5,992 5,908 5,824 5,737 5,650

8 5,667 5,515 5,359 5,279 5,198 5,116 5,032 4,946 4,859

9 5,111 4,962 4,808 4,729 4,649 4,567 4,483 4,398 4,311

10 4,706 4,558 4,405 4,327 4,247 4,165 4,082 3,996 3,909

11 4,397 4,251 4,099 4,021 3,941 3,860 3,776 3,690 3,602

12 4,155 4,010 3,858 3,780 3,701 3,619 3,535 3,449 3,361

13 3,960 3,815 3,665 3,587 3,507 3,425 3,341 3,255 3,165

14 3,800 3,656 3,505 3,427 3,348 3,266 3,181 3,094 3,004

15 3,666 3,522 3,372 3,294 3,214 3,132 3,047 2,959 2,868

16 3,553 3,409 3,259 3,181 3,101 3,018 2,933 2,845 2,753

17 3,455 3,312 3,162 3,084 3,003 2,920 2,835 2,746 2,653

18 3,371 3,227 3,077 2,999 2,919 2,835 2,749 2,660 2,566

19 3,297 3,153 3,003 2,925 2,844 2,761 2,674 2,584 2,489

20 3,231 3,088 2,938 2,859 2,778 2,695 2,608 2,517 2,421

21 3,173 3,030 2,880 2,801 2,720 2,636 2,548 2,457 2,360

22 3,121 2,978 2,827 2,749 2,667 2,583 2,495 2,403 2,305

23 3,074 2,931 2,781 2,702 2,620 2,535 2,447 2,354 2,256

24 3,032 2,889 2,738 2,659 2,577 2,492 2,403 2,310 2,211

25 2,993 2,850 2,699 2,620 2,538 2,453 2,364 2,270 2,169

26 2,958 2,815 2,664 2,585 2,503 2,417 2,327 2,233 2,131

27 2,926 2,783 2,632 2,552 2,470 2,384 2,294 2,198 2,097

28 2,896 2,753 2,602 2,522 2,440 2,354 2,263 2,167 2,064

29 2,868 2,726 2,574 2,495 2,412 2,325 2,234 2,138 2,034

30 2,843 2,700 2,549 2,469 2,386 2,299 2,208 2,111 2,006

40 2,665 2,522 2,369 2,288 2,203 2,114 2,019 1,917 1,805

60 2,496 2,352 2,198 2,115 2,028 1,936 1,836 1,726 1,601

120 2,336 2,192 2,035 1,950 1,860 1,763 1,656 1,533 1,381

inf 2,185 2,039 1,878 1,791 1,696 1,592 1,473 1,325 1,000


1 2, 1 0.95P F f n n

n2\n1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 161,4476 199,5 215,7073 224,5832 230,1619 233,986 236,7684 238,8827 240,5433 241,8817

2 18,5128 19 19,1643 19,2468 19,2964 19,3295 19,3532 19,371 19,3848 19,3959

3 10,128 9,5521 9,2766 9,1172 9,0135 8,9406 8,8867 8,8452 8,8123 8,7855

4 7,7086 6,9443 6,5914 6,3882 6,2561 6,1631 6,0942 6,041 5,9988 5,9644

5 6,6079 5,7861 5,4095 5,1922 5,0503 4,9503 4,8759 4,8183 4,7725 4,7351

6 5,9874 5,1433 4,7571 4,5337 4,3874 4,2839 4,2067 4,1468 4,099 4,06

7 5,5914 4,7374 4,3468 4,1203 3,9715 3,866 3,787 3,7257 3,6767 3,6365

8 5,3177 4,459 4,0662 3,8379 3,6875 3,5806 3,5005 3,4381 3,3881 3,3472

9 5,1174 4,2565 3,8625 3,6331 3,4817 3,3738 3,2927 3,2296 3,1789 3,1373

10 4,9646 4,1028 3,7083 3,478 3,3258 3,2172 3,1355 3,0717 3,0204 2,9782

11 4,8443 3,9823 3,5874 3,3567 3,2039 3,0946 3,0123 2,948 2,8962 2,8536

12 4,7472 3,8853 3,4903 3,2592 3,1059 2,9961 2,9134 2,8486 2,7964 2,7534

13 4,6672 3,8056 3,4105 3,1791 3,0254 2,9153 2,8321 2,7669 2,7144 2,671

14 4,6001 3,7389 3,3439 3,1122 2,9582 2,8477 2,7642 2,6987 2,6458 2,6022

15 4,5431 3,6823 3,2874 3,0556 2,9013 2,7905 2,7066 2,6408 2,5876 2,5437

16 4,494 3,6337 3,2389 3,0069 2,8524 2,7413 2,6572 2,5911 2,5377 2,4935

17 4,4513 3,5915 3,1968 2,9647 2,81 2,6987 2,6143 2,548 2,4943 2,4499

18 4,4139 3,5546 3,1599 2,9277 2,7729 2,6613 2,5767 2,5102 2,4563 2,4117

19 4,3807 3,5219 3,1274 2,8951 2,7401 2,6283 2,5435 2,4768 2,4227 2,3779

20 4,3512 3,4928 3,0984 2,8661 2,7109 2,599 2,514 2,4471 2,3928 2,3479

21 4,3248 3,4668 3,0725 2,8401 2,6848 2,5727 2,4876 2,4205 2,366 2,321

22 4,3009 3,4434 3,0491 2,8167 2,6613 2,5491 2,4638 2,3965 2,3419 2,2967

23 4,2793 3,4221 3,028 2,7955 2,64 2,5277 2,4422 2,3748 2,3201 2,2747

24 4,2597 3,4028 3,0088 2,7763 2,6207 2,5082 2,4226 2,3551 2,3002 2,2547

25 4,2417 3,3852 2,9912 2,7587 2,603 2,4904 2,4047 2,3371 2,2821 2,2365

26 4,2252 3,369 2,9752 2,7426 2,5868 2,4741 2,3883 2,3205 2,2655 2,2197

27 4,21 3,3541 2,9604 2,7278 2,5719 2,4591 2,3732 2,3053 2,2501 2,2043

28 4,196 3,3404 2,9467 2,7141 2,5581 2,4453 2,3593 2,2913 2,236 2,19

29 4,183 3,3277 2,934 2,7014 2,5454 2,4324 2,3463 2,2783 2,2229 2,1768

30 4,1709 3,3158 2,9223 2,6896 2,5336 2,4205 2,3343 2,2662 2,2107 2,1646

40 4,0847 3,2317 2,8387 2,606 2,4495 2,3359 2,249 2,1802 2,124 2,0772

60 4,0012 3,1504 2,7581 2,5252 2,3683 2,2541 2,1665 2,097 2,0401 1,9926

120 3,9201 3,0718 2,6802 2,4472 2,2899 2,175 2,0868 2,0164 1,9588 1,9105

inf 3,8415 2,9957 2,6049 2,3719 2,2141 2,0986 2,0096 1,9384 1,8799 1,8307


n2\n1 12 15 20 24 30 40 60 120 inf

1 243,906 245,9499 248,0131 249,0518 250,0951 251,1432 252,1957 253,2529 254,3144

2 19,4125 19,4291 19,4458 19,4541 19,4624 19,4707 19,4791 19,4874 19,4957

3 8,7446 8,7029 8,6602 8,6385 8,6166 8,5944 8,572 8,5494 8,5264

4 5,9117 5,8578 5,8025 5,7744 5,7459 5,717 5,6877 5,6581 5,6281

5 4,6777 4,6188 4,5581 4,5272 4,4957 4,4638 4,4314 4,3985 4,365

6 3,9999 3,9381 3,8742 3,8415 3,8082 3,7743 3,7398 3,7047 3,6689

7 3,5747 3,5107 3,4445 3,4105 3,3758 3,3404 3,3043 3,2674 3,2298

8 3,2839 3,2184 3,1503 3,1152 3,0794 3,0428 3,0053 2,9669 2,9276

9 3,0729 3,0061 2,9365 2,9005 2,8637 2,8259 2,7872 2,7475 2,7067

10 2,913 2,845 2,774 2,7372 2,6996 2,6609 2,6211 2,5801 2,5379

11 2,7876 2,7186 2,6464 2,609 2,5705 2,5309 2,4901 2,448 2,4045

12 2,6866 2,6169 2,5436 2,5055 2,4663 2,4259 2,3842 2,341 2,2962

13 2,6037 2,5331 2,4589 2,4202 2,3803 2,3392 2,2966 2,2524 2,2064

14 2,5342 2,463 2,3879 2,3487 2,3082 2,2664 2,2229 2,1778 2,1307

15 2,4753 2,4034 2,3275 2,2878 2,2468 2,2043 2,1601 2,1141 2,0658

16 2,4247 2,3522 2,2756 2,2354 2,1938 2,1507 2,1058 2,0589 2,0096

17 2,3807 2,3077 2,2304 2,1898 2,1477 2,104 2,0584 2,0107 1,9604

18 2,3421 2,2686 2,1906 2,1497 2,1071 2,0629 2,0166 1,9681 1,9168

19 2,308 2,2341 2,1555 2,1141 2,0712 2,0264 1,9795 1,9302 1,878

20 2,2776 2,2033 2,1242 2,0825 2,0391 1,9938 1,9464 1,8963 1,8432

21 2,2504 2,1757 2,096 2,054 2,0102 1,9645 1,9165 1,8657 1,8117

22 2,2258 2,1508 2,0707 2,0283 1,9842 1,938 1,8894 1,838 1,7831

23 2,2036 2,1282 2,0476 2,005 1,9605 1,9139 1,8648 1,8128 1,757

24 2,1834 2,1077 2,0267 1,9838 1,939 1,892 1,8424 1,7896 1,733

25 2,1649 2,0889 2,0075 1,9643 1,9192 1,8718 1,8217 1,7684 1,711

26 2,1479 2,0716 1,9898 1,9464 1,901 1,8533 1,8027 1,7488 1,6906

27 2,1323 2,0558 1,9736 1,9299 1,8842 1,8361 1,7851 1,7306 1,6717

28 2,1179 2,0411 1,9586 1,9147 1,8687 1,8203 1,7689 1,7138 1,6541

29 2,1045 2,0275 1,9446 1,9005 1,8543 1,8055 1,7537 1,6981 1,6376

30 2,0921 2,0148 1,9317 1,8874 1,8409 1,7918 1,7396 1,6835 1,6223

40 2,0035 1,9245 1,8389 1,7929 1,7444 1,6928 1,6373 1,5766 1,5089

60 1,9174 1,8364 1,748 1,7001 1,6491 1,5943 1,5343 1,4673 1,3893

120 1,8337 1,7505 1,6587 1,6084 1,5543 1,4952 1,429 1,3519 1,2539

inf 1,7522 1,6664 1,5705 1,5173 1,4591 1,394 1,318 1,2214 1


2.9 GRANIĈNE TEOREME

U ovoj glavi izučavamo probleme konvergencije u teoriji verovatnoće, koji daju osnovu za primenu

teorije verovatnoće u realnom svetu.

U realnim situacijama skoro nikada ne moţemo doneti pouzdane zaključke samo na osnovu jednog ili dva

merenja. Pouzdani zaključci se donose na osnovu rezultata odreĎivanja velikog broja vrednosti iste

slučajne promenljive X. Ako svako merenje shvatimo kao novu slučajnu promenljivu, imaćemo niz

slučajnih promenljivih 1 2, ,..., nX X X za jednu seriju merenja. Pojmovi iz verovatnoće i njihove primene u

statistici dolaze do izraţaja upravo u dugačkim serijama merenja – tj. pri posmatranju dugačkih nizova

slučajnih promenljivih.

U matematičkoj analizi definiše se pojam granične vrednosti niza realnih brojeva 1 2, ,..., ,nx x x tako što

se zahteva da, za dovoljno veliko n, razlika izmeĎu nx i granične vrednosti bude proizvoljno mala.

MeĎutim, za niz slučajnih promenljivih 1 2, ,..., ,nX X X ovaj zahtev je previše strog. Naime, Sva

tvrĎenja u vezi sa slučajnim promenljivim vaţe sa nekom verovatnoćom, pa najviše što moţemo da

ustanovimo jeste da je verovatnoća dogaĎaja da je lim nn

X X

jednaka 1, gde je X slučajna promenljiva.

Ovo je tzv. stroga konvergencija ili konvergencija skoro svuda. U mnogim problemima vezanim za

nizove slučajnih promenljivih nije neophodna stroga konvergencija, pa se definišu i druge vrste

konvergencije, kao što su konvrgencija u verovatnoći, konvergencija u raspodeli, konvergencija u

srednje-kvadratnom smislu itd.

Definicija II - 31 Neka su 1 2, , ..., ,nX X X X slučajne promenljive.

a) Kaţemo da niz 1 2, ,..., ,nX X X strogo konvergira ili konvergira skoro svuda ka sluĉajnoj

promenljivoj X ako je

lim 1nn

P X X

(II-127)

b) Niz 1 2, ,..., ,nX X X konvergira ka X u verovatnoći ako je

lim 0nn

P X X

za svako 0 (II-128)

c) Niz 1 2, ,..., ,nX X X konvergira ka X u raspodeli ili slabo konvergira ako je

lim n nn

P X x P X x

(II-129)

u svakoj tački x u kojoj je funkcija raspodele F x P X x neprekidna.

d) Ta dato 1p , kaţemo da niz 1 2, ,..., ,nX X X pL -konvergira ka X ako je

lim 0p

nn

E X X

(II-130)

Specijalno, za 2p kaţemo da niz 1 2, ,..., ,nX X X konvergira u rednje-kvadratnom smislu.

Odnos izmeĎu raznih vrsta konvergencija opisan je u sledećoj teoremi.

Teorema II - 19

a) Stroga konvergencija povlači konvergenciju u verovatnoći.

b) pL -konvergencija povlači konvergenciju u verovatnoći.

c) Konvergencija u verovatnoći povlači konvergenciju u raspodeli

Mnogi vaţni rezultati teorije verovatnoće su formulisani u formi graničnih teorema. Dve osnovne grupe

graničnih teorema su zakoni velikih brojeva i centralne graniĉne teoreme. Granične teoreme su


nezamenljiv matematički aparat u oblasti praktičnih primena verovatnoće. One daju teorijsku podlogu za

mogućnost ,,predskazanja" rezultata masovnih slučajnih pojava i nalaţenje grešaka takvih statističkih

procena.

2.9.1 ZAKONI VELIKIH BROJEVA

Zakoni velikih brojeva, u širem smislu, znače da pri vrlo velikom broju slučajnih pojava njihov srednji

rezultat (aritmetička sredina) prestaje da bude slučajan i moţe se predskazati sa velikom pouzdanošću. U

uţem smislu, ovi zakoni razmatraju razne oblike konvergencije niza slučajnih promenljivih ka

matematičkom očekivanju i u vidu matematičkih teorema daju uslove pod kojima ukupno dejstvo

slučajnih uticaja dovodi do rezultata koji skoro ne zavise od slučaja.

Na primer, pri velikom broju ponavljanja bacanja kocke za igru, pri čemu ishod pri svakom bacanju

smatramo slučajnom promenljivom, broj 1 (recimo) će pasti u pribliţno / 6n slučajeva, gde je n broj

bacanja. Što je n veće, to će verovatnoća da je broj pojava jedinice blizu / 6n biti veća.

Neka su merenja nezavisna i vrše se pod istim uslovima, tj. predstavljaju jedan niz slučajnih promenljivih

1 2, ,...X X koje su nezavisne i sa istom raspodelom. Neka postoji kE X , 1,2,k . Razmotrimo n

merenja ( 1n ).

Definicija II - 32 Neka su 1 2, ,..., nX X X slučajne promenljive. Kaţemo da one čine sluĉajni uzorak

veličine n, ako su promenljive iX nezavisne i imaju iste raspodele verovatnoće.

Označimo sa nX novu slučajnu promenljivu čije vrednosti predstavljaju aritmetičku sredinu (prosek) tih

n merenja.

Definicija II - 33 Slučajna promenljiva

1

1 n

n i

i

X Xn

(II-131)

naziva se aritmetiĉka sredina (ili prosek) uzorka 1 2, ,..., nX X X .

Teorema II - 20 Ĉebiševljev slabi zakon velikih brojeva.

Neka su 1 2, ,...X X nezavisne slučajne promenljive sa kE X i sa konačnim varijansama kV X V

za svako 1,2,k gde je V pozitivna konstanta. Tada niz aritmetičkih sredina konvergira u verovatnoći

ka , tj.

lim 0nn

P X

, za svako 0 (II-132)

Dakle, zakon velikih brojeva tvrdi da ako je broj merenja n dovoljno veliki, mala je verovatnoća da nX

nije zadovoljavajuća vrednost za E X .

U posebnom slučaju kada su 1 2, ,...X X Bernoullijeve slučajne promenljive sa verovatnoćom uspeha p,

dobija sa tzv. Bernoullijev zakon velikih brojeva. Pre nego što damo iskaz Bernoullijevog zakona, najpre

definišemo tzv. indikator dogaĎaja i slučajnu promenljivu koja predstavlja broj uspeha u n eksperimenata.

Definicija II - 34 Indikator iI dogaĎaja A ( ( )P A p ) u i-tom ponovljenom Bernulijeovom

eksperimentu, 1,2, ,i n

1, desio se A

0, desio se A'iI

(II-133)

je slučajna promenljiva sa raspodelom


, 1 (desio se A)

( ), 0 (desio se A')

p xp x

q x

(II-134)

Definišimo slučajnu promenljivu nS kao broj uspeha u n eksperimenata:

1 2n nS I I I (II-135)

Kao što nam je poznato, ova slučajna promenljiva ima binomnu raspodelu ( ~ ( , )nS B n p ).

Teorema II - 21 Bernoulijev slab zakon velikih brojeva.

Neka je dat niz ponovljenih eksperimenata i neka jenS slučajna promenljiva koja predstavlja broj

realizacija dogaĎaja A, čija je verovatnoća P A p . Tada za niz ponovljenih eksperimenata vaţi zakon

velikih brojeva, tj.

lim 0n

n

SP p

n

, za svako 0 (II-136)

Ovaj zakon je od istorijskog interesa jer predstavlja pokušaj opravdavanja statističke definicije

verovatnoće. Naime, ponavljajući eksperiment u kome dogaĎaj A (uspeh) moţe da se dogodi sa

verovatnoćom p, beleţimo broj uspeha nS i delimo sa n; Bernoullijev zakon tvrdi da ovaj količnik

konvergira u verovatnoći ka stvarnoj vrednosti verovatnoće p.

Prethodne dve teoreme spadaju u klasu slabih zakona velikih brojeva jer niz 1 2, ,..., nX X X , kad n

konvergira ka X u verovatnoći.

Sledeće teoreme definišu stroge zakone velikih brojeva, pošto niz 1 2, ,..., nX X X , kad n strogo

konvergira ili konvergira skoro svuda ka slučajnoj promenljivoj X.

Teorema II - 22 Borelov strogi zakon velikih brojeva

Neka je nS broj uspeha u n Bernoullijevih eksperimenata, sa verovatnoćom uspeha p. Tada je

lim 1n

n

SP p

n

(II-137)

Teorema II - 23. Kolmogorov strogi zakon velikih brojeva

a) Neka su 1 2, ,...X X nezavisne slučajne promenljive sa istom raspodelom i matematičkim

očekivanjem . Tada vaţi:

lim 1nn

P X

(II-138)

b) Ako su 1 2, ,...X X nezavisne slučajne promenljive sa istom raspodelom i ako postoji realan broj b

takav da je

lim 1nn

P X b

(II-139)

tada je 1E X b .

Primetimo da se u formulaciji prethodne teoreme ne postavlja uslov da postoji varijansa.

Primer II - 40 Ako je X brojni rezultat eksperimenta i ako nezavisne eksperimente ponavljano n puta,

dobijamo nezavisne slučajne promenljive 1 2, ,..., nX X X sa istom raspodelom kao i X. Formiramo niz


1

1ˆ

n

n n i

i

X Xn

Iz prethodne teoreme sledi:

Ako se sa povećanjem n, ˆn teţi nekoj konačnoj vrednosti , onda je to matematičko očekivanje

raspodele za X i vaţi aproksimacija:

1

1ˆ

n

n i

i

E X Xn

Ako ˆn divergira, tada raspodela nema matematičko očekivanje.

2.9.2 CENTRALNA GRANIĈNA TEOREMA

Dok zakoni velikih brojeva tvrde da aritmetička sredina konvergira ka matematičkom očekivanju,

centralna granična teorema (kraće, CGT) daje asimptotsku raspodelu aritmetičke sredine. Termin

centralna ukazuje na to da ova teorema ima centralno mesto u teoriji verovatnoće i njenim primenama.

Teorema II - 24 Centralna graniĉna teorema (CTG)

Neka su 1 2, ,...X X nezavisne slučajne promenljive sa istom raspodelom, konačnim matematičkim

očekivanjima kE X i varijansama 2

kV X , za 1,2,k . Tada slučajna promenljiva:

1 1n k n

n

k

X X nE X X X nZ

n V X n

(II-140)

konvergira u raspodeli ka ~ 0,1Z N , tj.

2 /21

lim2

x

t

nn

P Z x e dt x

(II-141)

Napomena II - 14 Slučajna promenljiva 0,1 , kad nZ N n moţe se iskazati i preko zbira nS i

aritmetičke sredine nX niza slučajnih promenljivih 1 2, ,...X X na sledeći način:

1

20,1 , kad

n nn n nn

n

S E SX X n S n S nZ Z N n

n n V Sn

1

0,1 , kad /

n

n nnn

n

X Xn

X E XXnZ Z N n

n n V X

Teorema II - 25 Nejednakost Ĉebiševa. Ako postoji varijansa slučajne promenljive X, V X , tada je

2

V XP X E X

(II-142)

Nejednakost Čebiševa kaţe nam da verovatnoća da slučajna promenljiva X, koja poprima vrednost izvan

intervala ,X X za proizvoljno 0 , manja je ili jednaka 2V X .

X X X


Primena CGT. Za konačno ali veliko n, iz centralne granične teoreme zaključujemo da vaţe sledeće

aproksimacije (u smislu raspodele):

1) Slučajna promenljiva 1 /n nX X X n ima Normalnu raspodelu

2,nX N n (II-143)

Dokaz. Naime, iz CGT sledi

1 nn

X X nZ Z

n

(II-144)

gde je ~ 0,1Z N . Mnoţenjem sa n dobijamo

1 nn

X XX Z

n n

što znači da aritmetička sredina 1 /n nX X X n ima pribliţno Normalnu raspodelu sa

parametrima

2 2

0

0

n

n

E X E Z E E Z E Zn n n

V X V Z V V Z V Zn nn n

tj. 2,nX N n .

2) Slučajna promenljiva 1n nS X X

2,nS N n n (II-145)

Dokaz. Na sličan, za slučajnu promenljivu nS se ima:

1

2 20

n n n

n

n

S X X nX n n Z

E S E n n Z E n E n Z n n E Z n

V S V n n Z V n V n Z n V Z n

tj. vaţi 2,nS N n n .

3) Verovatnoća dogaĎaja nXa n b

, kad n iznosi:

2 /21lim

2/

b

tn

na

XP a b e dt

n

b a

4) Verovatnoća dogaĎaja

/

nn

XZ x

n

, 0x kad n

iznosi


lim lim/ /

2 1, 0

n n

n n

X XP x P x x x x

n n

x x

(II-146)

Primer II - 41 Neka se vrši 225n nezavisnih merenja, kod kojih je 5 . Kolika je verovatnoća da

greška pri aproksimaciji merne veličine sa nX , nije veća od 0.6?

Rešenje. Merena veličina je E X a odstupanje je 225X . Za 6 i 225n biće

225225

225

0.60.6 225 225

5 5

1.8 2 1.8 1

2 0.96407 1 0.92814

XP X P

P Z

Primer II - 42 Neka je traţnja benzina po automobilu nedeljno 50l , sa standardnim odstupanjem

8l . Ako u gradu ima 200000 automobila, da li je dovoljno obezbediti 10100000l benzina za nedelju

dana pa da ne bude nestašice.

Rešenje. Neka je S ukupna potrošnja benzina za nedelju dana. Odredimo 10100000P S . Kako je

7200000 50 10E S l l i 2 2 2200000 8 3577.71 3578V S , to je

*

1010000010100000

10000028 1

3578

S E S E SP S P

V S V S

P S

Očigledno je rezerva vrlo velika, pa neće biti nestašice.

Primer II - 43 OdreĊivanje najmanjeg potrebnog broja merenja primenom nejednakosti Ĉebiševa.

Neka su 1 2, ,...X X nezavisne slučajne promenljive sa istom raspodelom, matematičkim očekivanjima

kE X i varijansama 2

kV X , za 1,2,k . Odrediti (najmanju) vrednost broja merenja n, tako

da za dato 0 i verovatnoću 0 1p vaţi

nP X p (II-147)

Rešenje. Primenom nejednakosti Čebiševa sledi

2 2

2 2 2

1

1 1 1

n nP X P X

V X n

n

p

Iz uslova 2 21 n p nalazimo da je

2

21n

p

Primer II - 44 Za 2 4 , 0.1 i 0.9p dobijamo da je 4000n .

Primena CGT. OdreĊivanje najmanjeg potrebnog broja merenja primenom CTG.


Ocena za n dobijena primenom nejednakosti Čebiševa je tačna, ali se u konkretnim situacijama primećuje

da je ona preuveličana, odnosno da nejednakost (II-147) vaţi i za mnogo manje vrednosti n. Razlog je taj

što Čebiševljeva nejednakost ne uzima u obzir raspodelu slučajne promenljive, pa ne moţe egzaktno

odrediti donju granicu nejednakosti u konkretnom slučaju.

Egzaktno rešenje moţe se dobiti ako se odredi raspodela za nX , pa se onda naĎe n tako da vaţi (II-147).

MeĎutim, ovo rešenje nije prihvatljivo u primenama, jer postupak zavisi od raspodele niza slučajnih

promenljivih 1 2, ,...X X , koja je često nepoznata.

Pomoću centralne granične teoreme moţe se prevazići ovaj problem i dobiti pribliţno rešenje, koje se

zbog svoje jednostavnosti uglavnom i primenjuje. Pošto slučajna promenljiva nX ima raspodelu

2,N n , sledi

2 1nn

X n nP X P P Z p

n n

Iz poslednjeg uslova sledi

1

1 2

1 1

2 2p

n p n pz

gde je 1 2p

z

vrednost koja se dobija iz tablica Normalne raspodele za verovatnoću 1 / 2p .

Konačno dobijamo

2 2

1 2 1 21

2

1

2

p pz zp

n n

Primer II - 45 Za 2 4 , 0.1 i 0.9p dobijamo da je 1100n , što je oko 4 puta manje no što je

dobijeno u prethodnom primeru koji sa pozivao na primenu nejednakosti Čebiševa.

Primer II - 46 Koliki broj merenja treba izvesti pa da apsolutna greška pri proceni srednje vrednosti

sa nX nije veća od 0.2, sa verovatnoćom 0.9. Standardno odstupanje iznosi 10 .

Rešenje. Broj merenja odreĎujemo iz uslova

0.2 0.9nP X

* *

0.9 0.2 0.2

50 50 50

2 150

nn

n n

X nP X P n

n n nP X P X

n

0.95 50 1.645 82.2550

6765

nn

n

Primer II - 47 Neka je prosečna dnevna proizvodnja mleka po jednoj kravi 40l sa standardnim

odstupanjem 5l . Beogradu je na primer potrebno 250000x l mleka. Ako se zahteva sigurnost u

snabdevanju sa verovatnoćom 0.98p , planirati potreban broj krava u poljoprivrednom kombinatu.


Rešenje. Neka je traţeni broj krava n i ukupna dnevna proizvedena količina mleka nS . Sledi

nP S x p . Ako je x veliki broj (u odnosu na ), to je i n veliko, pa se moţe primeniti CGT.

1

1

n nn

S n S nx n x nP S x P P

n n n n

x n

n

1

2

2

2

1

0, 0

40 5 2.05 250000 0, 0

79.175 6270

n t

x n x nz z

n n

t z t x t

t t t

t n t

Primena CGT. Aproksimacija binomne raspodele Normalnom (Moivre-Laplasova teorema).

Neka su 1 2, ,..., nX X X nezavisne Bernoullijeve slučajne promenljive (indikatori dogaĎaja) sa

verovatnoćom uspeha p. Tada slučajna promenljiva 1 2n nS X X X ima binomnu raspodelu

,nS B n p . Kako su kE X p (videti (II-59)) i 1kV X p p (videti (II-60)), na osnovu CGT

teoreme sledi

2 /21lim lim

21

x

n k tn

n nk

S n E X S npP x P x e x

n V X np p

(II-148)

Iz (II-148) sledi

1 1 1

nn

S np x np x npP S x P

np p np p np p

(II-149)

1 11

n n

x npP S x P S x

np p

(II-150)

2 11 2

1 1n

x np x npP x S x

np p np p

(II-151)

za dovoljno veliko n.

Primer II - 48 Ako je 100,1/ 2X B , naći pribliţnu vrednost verovatnoća: a) 60P X , b)

40 60P X i c) 50P X .

Rešenje.

a) Iz (II-150) sledi

60 100 0.5

60 1 1 1 2 1 0.9772 0.02281 100 0.5 1 0.5

x npP X

np p

b) Slično, koristeći (II-151) dobijamo


60 100 0.5 40 100 0.540 60 2 2

100 0.5 1 0.5 100 0.5 1 0.5

2 2 1 2 0.9772 1 0.9544

P X

c) U ovom slučaju ne moţemo direktno da primenimo prethodnu teoremu. MeĎutim, pošto je X diskretna

slučajna promenljiva vaţi

50 49.5 50.5P X P X

Sada moţemo primeniti (II-151), čime dobijamo

50.5 100 0.5 49.5 100 0.550 49.5 50.5

100 0.5 1 0.5 100 0.5 1 0.5

0.1 0.1 2 0.1 1 2 0.5398 1 0.0796

P X P X

Napomena II - 15 Za male vrednosti n u binomnoj raspodeli ne dobijaju se dobre aproksimacije pomoću

Normalne raspodele. Tada se, slično slučaju pod c) u prethodnom primeru, umesto (II-151) primenjuje

sledeća korekcija:

2 11 2

0.5 0.5

1 1n

x np x npP x S x

np p np p

(II-152)

Primer II - 49 Ako je 20,0.3X B , dobija se da je

7 0.5 20 0.3 3 0.5 20 0.33 7 0.724

20 0.3 1 0.3 20 0.3 1 0.3P X

Tačna vrednost je:

7

20

3

3 17 4 16 5 15 6 14 7 13

203 7 0.3 0.7

20 20 20 20 200.3 0.7 0.3 0.7 0.3 0.7 0.3 0.7 0.3 0.7

3 4 5 6 7

0.737

x x

x

P Xx

Bez primene korekcije dobija se lošija aproksimacija:

7 20 0.3 3 20 0.33 7 0.616

20 0.3 1 0.3 20 0.3 1 0.3P X

Primer II - 50 Verovatnoća da igrač ubaci loptu u koš je 0.7. Kolika je verovatnoća da će u 100 bacanja

imati: (1) bar 65 pogodaka, (2) izmeĎu 65 i 75 i (3) najviše 77 pogodaka?

Rešenje. U zadatku je 100, 0.7, 70, 1 21n p np np p .

100

100 70 65 7065 100 0.86214

21 21P S

100

75 70 65 7065 75 0.72428

21 21P S

100

77 70 0 700 77 0.93699

21 21P S


Primer II - 51 Verovatnoća da je jedan proizvod prve klase iznosi 0.65. Kolika je verovatnoća da u

seriji od 200 komada broj proizvoda prve klase ne odstupa za više od 10 od očekivanog broja?

Rešenje. Neka je 200S broj proizvoda prve klase u seriji od 200 komada. Tada je

200 200 0.65 130E S np

Traţimo verovatnoću dogaĎaja 200 130 10S :

200

200

* *

200 200

130 10130 10

200 0.65 0.35 200 0.65 0.35

1.48 1.48 1.48

1.48 1.48 2 1.48 1 0.86112

SP S P

P S P S

Primena CTG. OdreĊivanje najmanjeg potrebnog broja merenja primenom CTG (binomna

raspodela)

Posmatrajmo slučajnu promenljivu nS sa binomnom raspodelom ,nS B n p . Odredimo n tako da

se verovatnoća p nalazi u intervalu ,n np S n S n sa pouzdanošću od 1 .

Iz ,n np S n S n sledi 1nSP p

n

, tj. 1nSP p

n

, odnosno

1 1nSP p

n

.

Rešenje. Primenom CGT dobijamo:

nSP p

n

(II-153)

nS

n p nS

n

sa pouzdanošću 1

nSp

n

sa pouzdanošću


1 1

11

n n n

n

S S np S np n nP p P P

n n n p p p p

S np nP

p pnp p

S obzirom na nejednakost 1 1/ 4p p , dalje se ima

* *

*

2 41 4

1 2 2

1 2 2 1

2 1 2

nn n

n

S nP p P S P S

n

P n S n

n

n

pa je

1 2

0 21 1

2 2

12 1 2 1

2 2 4n n Z n n Z

(II-154)

gde je 1

2

Z

vrednost argumenta Normalne raspodele za verovatnoću 1 2 . Dakle, uzimanjem bar 0n

merenja zaključujemo da će se verovatnoća p nalaziti u intervalu ,n nS Sp

n n

sa pouzdanošću od

1 .

Primer II - 52 Ţelimo da sa odstupanjem ne većim od 0.1 procenimo verovatnoću p dogaĎaja A.

Dopuštamo pogrešnu procenu ove verovatnoće u najviše 4% slučajeva. Odrediti potreban broj

eksperimenata.

Rešenje. Moramo uzeti bar 2

2 2 2

0.04 0.982 21 1

2 2

1 1 1 2.05106

4 4 0.1 0.04 0.04n Z Z Z

merenja.

2.9.3 EMPIRIJSKE FUNKCIJE RASPODELE I NJIHOVA KONVERGENCIJA

Pretpostavimo da imamo niz podataka 1 2, , , nX X X iz nekog slučajnog izvora, za koje znamo da su

nezavisni i da imaju istu raspodelu, ali ne znamo koja je to raspodela.

Definicija II - 35 Skup n nezavisnih slučajnih promenljivih sa istom raspodelom nazivamo nezavisnim

(ili prostim) uzorkom obima n iz te raspodele.

Polazeći od definicije funkcije raspodele i statističkog odreĎivanja verovatnoće, prirodno je da se funkcija

raspodele u svakoj tački x aproksimira pomoću

Broj elemenata uzorka koji su

n

xF x

n

U teoriji verovatnoće uobičajeno je da se ova funkcija naziva empirijskom funkcijom raspodele.

Definicija II - 36 Za dati nezavisni uzorak, empirijska funkcija raspodele definiše se, za svako x , sa

n

kF x

n (II-155)


gde je k broj elemenata iz uzorka koji nisu veći od x.

Definicija II - 37 Varijacioni niz. Neka su 1 2, , , nX X X slučajne promenljive na istom skupu .

Vrednosti slučajnih promenljivih poreĎane u rastućem poretku 1 2

, , ,n

X X X čine tzv. varijacioni

niz.

Nije teško pokazati da se empirijska funkcija raspodele moţe odrediti polazeći od varijacionog niza,

pomoću jednakosti:

1

1

0, ako je

, ako je , 1 1

1, ako je

n k k

n

x X

F x k n X x X k n

x X

(II-156)

Primer II - 53 U eksperimenu su dobijene sledeće brojne vrednosti uzorka obima 10n :

9,15,7,11,17,9,7,12,7,15

Varijacioni niz je:

7,7,77,9,9,11,12,15,15,17

Ovde je na primer 1

7X , 2

7X , 5

9X , itd.

Iz (II-156) sledi:

0, 7

3 /10, 7 9

5 /10, 9 11

6 /10, 11 12

7 /10, 12 15

9 /10, 15 17

1, 17

n

x

x

x

F x x

x

x

x

Empirijska funkcija raspodele nije deterministička funkcija. U svakom eksperimentu se, iz uzorka obima

n, dobija drugačija empirijska funkcija raspodele. Prema tome, empirijska funkcija raspodele postiţe, u

fiksnoj tački x, vrednost /k n sa nekom verovatnoćom.

Definišimo 1iY ako je iX x i ako je

iX x . Tada zbir 1 2 nY Y Y predstavlja broj onih

slučajnih promenljivih iz uzorka čije su vrednosti x , pa je

1 2 nn

Y Y YF x

n

(II-157)

Imamo da je k kE Y P X x F x , gde je F x funkcija raspodele iz koje je uzet uzorak. Prema

Borelovom zakonu velikih brojeva vaţi:

lim 1nn

P F x F x

(II-158)

Teorema II - 26 Ako je F neprekidna funkcija, tada je

2 22lim sup 1

k k t

nn x k

P n F x F x t e

(II-159)

Primer II - 54 Koliki treba da bude najmanji obim uzorka iz nepoznate neprekidne raspodele, da bi se

vrednost empirijske i prave funkcije raspodele u svakoj tački x razlikovale maksimalno za 0.05, sa

verovatnoćom 0.99?


Rešenje. Primenom (II-159) nalazimo da je

2 22sup 1 0.99

k k t

nx k

tP F x F x e

n

Iz 2 221 0.99

k k t

k

e

sledi 1.63t , pa treba odrediti n iz uslova:

1,63

0.05n

tF x F x

n n

1,630.05 1063n

n

91

SADRŢAJ

2. SLUČAJNE PROMENLJIVE I NJIHOVE RASPODELE _________________________________ 21

2.1 ZAKON RASPODELE DISKRETNE SLUČAJNE PROMENLJIVE ___________________________ 22 2.1.1 Funkcija raspodele ______________________________________________________________ 25 2.1.2 Funkcija gustine verovatnoće neprekidne slučajne promenljive __________________________ 27 2.1.3 Slučajni vektori _________________________________________________________________ 29 2.1.4 Nezavisnost slučajnih promenljivih _________________________________________________ 34

2.2 NUMERIČKE KARAKTERISTIKE SLUČAJNIH PROMENLJIVIH ___________________________ 35 2.2.1 Matematičko očekivanje slučajne promenljive ________________________________________ 35 2.2.2 Varijansa slučajne promenljive _____________________________________________________ 38 2.2.3 Kovarijansa i koeficijent korelacije __________________________________________________ 40 2.2.4 Matrica kovarijanse _____________________________________________________________ 43 2.2.5 Momenti ______________________________________________________________________ 43 2.2.6 Kvantili ________________________________________________________________________ 46

2.3 RASPODELE DISKRETNIH SLUČAJNIH PROMENLJIVIH _______________________________ 47 2.3.1 Bernoullijeova raspodela _________________________________________________________ 47 2.3.2 Binomna raspodela ______________________________________________________________ 48 2.3.3 Hipergeometrijska raspodela ______________________________________________________ 50 2.3.4 Geometrijska raspodela __________________________________________________________ 51 2.3.5 Poisonova raspodela _____________________________________________________________ 51

2.4 RASPODELE NEPREKIDNIH SLUČAJNIH PROMENLJIVIH ______________________________ 56 2.4.1 Uniformna raspodela ____________________________________________________________ 56 2.4.2 Eksponencijalna raspodela ________________________________________________________ 57 2.4.3 Normalna (Gausova) raspodela ____________________________________________________ 58 2.4.4 - raspodela ___________________________________________________________________ 65 2.4.5 Hi-kvadrat raspodela ____________________________________________________________ 66 2.4.6 Studentova t - raspodela _________________________________________________________ 69 2.4.7 F-raspodela ____________________________________________________________________ 73

2.5 GRANIČNE TEOREME _________________________________________________________ 78 2.5.1 Zakoni velikih brojeva ____________________________________________________________ 79 2.5.2 Centralna granična teorema _______________________________________________________ 81 2.5.3 Empirijske funkcije raspodele i njihova konvergencija __________________________________ 88

Documents

2 - Matematička Obrada v5 - Crna