2Modello IS-LM

2.1Gli e¤etti della politica monetaria

Si consideri un modello IS-LM senza Stato con i seguenti dati C = 0:8Y ,I = 100(1 ¡ i), Ld = 0:5Y ¡ 500i, M s = 100 e P = 1.i) Si calcolino i valori di equilibrio del reddito e del tasso d’interesse.

ii) Si calcoli il moltiplicatore dell’o¤erta di moneta.

iii) Assumendo che il livel lo di pieno impiego del reddito sia Yn = 600 diquanto deve aumentare l’o¤erta nominale di moneta per raggiungeretale obbiettivo? Dire se è possibile attuare tale manovra di politicaeconomica.

[R. i) Y = 400 e i = 0:20; ii) dY=dM = 2=3; iii) ¢M = 300; no].

soluzione. L’esercizio consente di esaminare gli e¤etti e i limiti diuna variazione dell’o¤erta di moneta sui valori di equilibrio del pro-dotto nazionale e del tasso d’interesse. Sulla base dei dati consideratinell’esercizio il modello IS-LM può essere rappresentato dal seguentesistema di sette equazioni:

C = 0:8Y[2.1]I = 100(1 ¡ i)[2.2]E = C + I[2.3]E = Y[2.4]M = 100[2.5]L = 0; 5Y ¡ 500i[2.6]

M = L[2.7]

in sette incognite i.e., (Y;i; C; E; I; L; M).

15

M.Visaggio: esercitazioni di macroeconomia

i. la soluzione del modello. Per calcolare i valori di equilibriodel reddito e del tasso d’interesse si devono ricavare anzitutto le schedeIS e LM . Per ricavare la scheda IS, e cioè l’insieme delle combinazionidi prodotto nazionale e tasso d’interesse che assicurano l’equilibrio delmercato dei beni i.e., l’uguaglianza tra prodotto nazionale e domandaaggregata, si sostituiscono le funzioni del consumo i.e., la [2.1] e degliinvestimenti i.e., la [2.2] nella de…nizione di domanda aggregata i.e., la[2.3], e quindi quest’ultima nella condizione di equilibrio del mercatodei beni i.e., la [2.4]. A seguito delle successive sostituzioni si ottiene:

Y = 0; 8Y + 100 ¡ 100i

da cui risolvendo rispetto al tasso d’interesse si ricava:

IS: i = 1 ¡ 21000

Y[2.8]

Per ricavare la scheda LM, e cioè l’insieme delle combinazioni di Y e iche garantiscono l’equilibrio sul mercato della moneta, si sostituisconole funzioni della domanda i.e., la [2.5] e dell’o¤erta di moneta i.e., la[2.6], nella condizione di equilibrio del mercato della moneta, i.e., la[2.7] così da ottenere:

LM : i =1

1000Y ¡ 1

5[2.9]

I valori di equilibrio del reddito e del tasso d’interesse si ottengonorisolvendo il sistema di due equazioni costituito dalla [2.8] e dalla [2.9]nelle due incognite Y e i. Uguagliando il secondo membro della [2.8] edella [2.9] si ricava:

1 ¡ 21000

Y =1

1000Y ¡ 1

5

Y0 =600015

= 400[2.10]

In…ne sostituendo il valore di equilibrio del prodotto nazionale nella(2.1), o nella (2.2), si ricava il valore di equilibrio del tasso di interesse:

i0 = 0; 20[2.11]

Gra…camente il punto di equilibrio del modello è rappresentato dall’inter-sezione delle schede IS e LM e cioè dal punto E0 = (400; 0;2):

ii. gli effetti di una politica monetaria espansiva. Per cal-colare il moltiplicatore del prodotto per una variazione dell’offerta di

16

2. il modello is-lm

figura 2.1L’equilibrio macroeconomico

Y400 500

.

-0,2

i

0,2

200

1

E0

moneta (che misura l’e¤etto di una variazione dell’o¤erta di monetasul livello di equilibrio del prodotto nazionale), si considera anzituttol’o¤erta di moneta M come una variabile endogena e successivamente sirisolve la scheda LM rispetto a i. In…ne si sostituisce il valore ottenutodel tasso d’interesse nella scheda IS:

Y ¡ 0;8Y = 100 ¡ 100µ

0; 5500

Y ¡ M500

¶

Y =µ

1001 ¡ 0;8 + 0; 5 100=500

¶+

+µ

100=5001 ¡ 0; 8 + 0;5 100=500

¶M[2.12]

Di¤erenziando la [2.12] rispetto ad M si ricava il moltiplicatore delprodotto per una variazione dell’o¤erta di moneta:

dYdM

=µ

100=5001 ¡ 0; 8 + 0; 5 100=500

¶

17

M.Visaggio: esercitazioni di macroeconomia

=0; 2

1 ¡ 0; 8 + 0; 1=

23

[2.13]

Ne segue che, ad esempio, un aumento dell’o¤erta di moneta di 75produce un aumento del livello di equilibrio del prodotto nazionale di50.

In maniera analoga si può calcolare il moltiplicatore del tasso d’in-teresse per una variazione dell’o¤erta di moneta (che misura l’e¤etto diuna variazione dell’o¤erta di moneta sul livello di equilibrio del tasso diinteresse). Risolvendo la scheda IS rispetto a Y e sostituendo il valoreottenuto nella scheda LM si ricava:

i =µ

0; 5 100=5001 ¡ 0; 8 + 0; 5 100=500

¶+

¡µ

(1 ¡ 0; 8) =5001 ¡ 0; 8 + 0; 5 100=500

¶M[2.14]

Di¤erenziando la [2.14] rispetto ad M si ricava:

didMs =

µ(1 ¡ 0:8) =500

1 ¡ 0:8 + 0:5 100=500

¶= ¡

µ0:0004

0:2 + 0:1

¶

= ¡1=25003=10

= ¡ 1750

[2.15]

Ne segue che una variazione dell’o¤erta di moneta di 75 riduce il tassod’interesse di equilibrio di 0; 1. I nuovi livelli di equilibrio del prodottonazionale e del tasso d’interesse, a seguito di un aumento dell’o¤erta dimoneta da 100 a 175, sono

Y1 = 450[2.16]i1 = 0; 1[2.17]

Gra…camente il nuovo punto di equilibrio del modello è rappresentatodall’intersezione delle schede IS e LM1 e cioè nel punto E3 = (450; 0; 1)(Fig. 2.2).

Il meccanismo di trasmissione attraverso cui agisce la politica mo-netaria è il seguente. L’incremento iniziale dell’o¤erta di moneta de-termina anzitutto un eccesso di domanda negativo sul mercato dellamoneta: il ristabilimento dell’equilibrio su quest’ultimo mercato impo-ne una riduzione del tasso d’interesse: il sistema economico si porta dalpunto E0 al punto E1 = (400; 0; 05). Nel punto E1 si ha equilibrio sulmercato della moneta e, viceversa, un disequilibrio sul mercato dei beni:

18

2. il modello is-lm

figura 2.2La politica monetaria espansiva

Y400

.

-0,2

i

0,2 E0

E EE

1 2

3

450 475

. .

.

LM

LM0

1

IS

0,10,05

la riduzione del tasso d’interesse produce un aumento degli investimen-ti e quindi un eccesso di domanda positivo su quest’ultimo mercato.L’aumento della domanda aggregata determina, attraverso l’agire delmoltiplicatore, un aumento del reddito: il sistema economico giungenel punto E2 = (475; 0; 05). L’e¤etto su Y generato dalla prima partedel meccanismo di trasmissione dell’aumento dell’o¤erta di moneta –che conduce il sistema economico dal punto di equilibrio iniziale E0 alpunto E2 – viene de…nito l’e¤etto d’impatto della politica monetaria.

Nel punto E2 il mercato dei beni è in equilibrio mentre sul merca-to della moneta c’è un eccesso positivo della domanda di moneta dalmomento che l’aumento del reddito ha prodotto un aumento della do-manda di moneta per lo scopo delle transazioni. Lo squilibrio presentesul mercato della moneta richiede un rialzo del tasso d’interesse cosìda determinare una riduzione della domanda di moneta per il …ne spe-culativo. A sua volta l’aumento del tasso d’interesse genera un nuovoe¤etto di ritorno sul mercato dei beni dal momento che gli investimenti,e conseguentemente il reddito, si riducono: il sistema passa dal puntoE2 al punto E3 = (450; 0; 1). L’e¤etto associato a questa seconda partedel meccanismo di trasmissione della politica monetaria – che conduce ilsistema dal punto E2 al punto E3 – viene de…nito l’e¤etto di retroazione

19

M.Visaggio: esercitazioni di macroeconomia

monetaria che, nell’esercizio, è quanti…cato dal termine (0; 5 100=500)del denominatore della [2.15].

L’e¤etto complessivo di un aumento dell’o¤erta di moneta, e cioèl’e¤etto cumulato dell’e¤etto d’impatto e dell’e¤etto di retroazione mo-netaria, è tale da produrre un aumento del livello di equilibrio del red-dito nazionale e una riduzione del tasso d’interesse: l’e¤etto negativoassociato all’e¤etto della retroazione monetaria controbilancia solo par-zialmente l’e¤etto positivo associato all’e¤etto di impatto conseguenteall’aumento dell’o¤erta di moneta. Ne segue che nel modello keynesianola moneta svolge un ruolo centrale nella determinazione del reddito na-zionale dal momento che un’espansione dell’o¤erta di moneta produceun aumento del prodotto nazionale.

iii. i limiti di una politica monetaria espansiva. Il modelloIS-LM considerato in precedenza è costituito da due equazioni, duevariabili endogene, il reddito nazionale e il tasso d’interesse, e un insie-me di variabili esogene che può essere scomposto in due sottoinsiemi:quello dei parametri, come ad esempio la propensione marginale al con-sumo, e quello degli strumenti di politica economica che, nell’esercizio,a causa dell’assenza della spesa pubblica e del prelievo …scale, si riduceall’offerta di moneta. La soluzione del modello consente di ricavare ilvalore di equilibrio delle variabili endogene in funzione dei valori assuntidai parametri e dalle variabili strumentali. Quando il modello IS-LMviene utilizzato a tal scopo allora esso può essere visto come un modellodescrittivo.

Il modello d’altra parte può essere utilizzato dalle autorità mone-tarie in termini diversi. Le autorità monetarie, ad esempio, possonoutilizzare il modello al …ne di conseguire un dato obiettivo …nale qua-le, ad esempio, il livello del reddito di piena occupazione. Il problemache quest’ultime devono risolver in queste circostanze consiste nel de-terminare quel valore della variabile strumentale, e cioè dell’o¤erta dimoneta, in grado di realizzare l’obiettivo …nale, ad esempio il livellodel reddito di piena occupazione. Per far ciò esse utilizzano il modelloIS-LM attuando un capovolgimento di ruolo delle variabili: il livellodesiderato del reddito nazionale diviene una variabile esogena mentrel’o¤erta di moneta diviene una variabile endogena. La soluzione delmodello una volta attuata tale capovolgimento di ruolo delle variabiliconsente di ricavare il valore della variabile strumentale coerente con ilraggiungimento dell’obiettivo del reddito di piena occupazione. Quandoil modello IS-LM viene utilizzato in questo modo esso può essere vistocome un modello normativo.

Si assuma che l’obiettivo …nale delle autorità monetarie sia costituito

20

2. il modello is-lm

figura 2.3Limiti della politica monetaria

Y400

-0,2

i

0,2

600

LM

LM0

2

IS

500

LM1

dal conseguimento del reddito di piena occupazione e cioè Y = Y p =600, la versione normativa del modello IS-LM è costituita dal seguentesistema di tre equazioni

0; 2 ¢ Y = 100 ¡ 100i[2.18]M = 0; 5 ¢ 600 ¡ 500i[2.19]Y = YL = 600[2.20]

dove le tre variabili sono M , i e Y . Per risolvere il sistema rispetto allavariabile strumentale M si sostituisce anzitutto la [2.20] nella [2.18];successivamente da quest’ultima si ricava il valore di equilibrio del tassod’interesse e cioè

i = ¡0; 2[2.21]

In…ne si sostituisce la [2.21] nella [2.19] così da ottenere:

M = 400[2.22]

Il modello IS-LM utilizzato in forma normativa consente di a¤ermareche il raggiungimento del reddito di piena occupazione attraverso l’uti-lizzo dell’o¤erta di moneta quale variabile strumentale implica un livellodell’o¤erta di moneta pari a 400.

21

M.Visaggio: esercitazioni di macroeconomia

Tuttavia nel caso speci…co il conseguimento dell’obiettivo …nale nonpuò essere realizzato per il fatto che un livello dell’o¤erta di moneta di400 implica, come mostra la [2.21] un livello di equilibrio del tasso d’in-teresse negativo. Dal momento che l’operatore economico dispone diuna attività …nanziaria alternativa il cui rendimento è pari a zero (l’in-‡azione per ipotesi è nulla) nessuno acquisterà i titoli. Ne segue che lapolitica monetaria al …ne del raggiungimento del pieno impiego incon-tra un limite: il tasso d’interesse non può divenire negativo. Il livellomassimo di reddito che si può raggiungere è pari a Y = 500 e si ottienenel caso in cui l’o¤erta di moneta è M = 200 mentre il tasso d’interesseraggiunge il livello minimo consentito e cioè lo zero. In conclusione sullabase dei parametri del modello l’obiettivo del raggiungimento della pie-na occupazione mediante l’adozione di una politica monetaria espansivanon può essere conseguito.

22

2. il modello is-lm

2.2La politica …scale e l’e¤etto di spiazzamento

Si consideri un modello IS-LM in cui la scheda IS (scritta in formaimplicita) è 1200 ¡ Y ¡ 600i = 0; la scheda LM (sempre scritta informa implicita) è 5400¡5Y +3000i = 0; la funzione degli investimentiè I = 200(1 ¡ i).

i) Si calcolino i valori di equilibrio del reddito e del tasso d’interesse.

ii) Si calcoli il valore del moltiplicatore del reddito per un aumento dellivello della spesa pubblica di 40.

iii) Si calcoli la dimensione dello spiazzamento a seguito di un aumentodella spesa pubblica per beni e servizi pari a 40.

[R. i) Y = 1140 e i = 0; 10; ii) dY=dG = 3; iii) ¢I = ¡20].

soluzione. L’esercizio consente di esaminare gli e¤etti di una politica…scale espansiva e, in particolare, l’e¤etto di spiazzamento dove perspiazzamento si intende la riduzione della spesa privata conseguenteall’aumento della spesa pubblica.

i. la soluzione del modello. Per calcolare i valori di equilibrio delreddito e del tasso d’interesse si esplicitano le curve IS e LM rispettoal tasso d’interesse:

IS : i =1200600

¡ 1600

Y[2.23]

LM : i = ¡54003000

+5

3000Y[2.24]

Uguagliando i secondi membri della [2.23] e della [2.24] e risolvendorispetto a Y si ricava il valore di equilibrio del reddito:

Y0 = 1140[2.25]

Sostituendo la [2.25] nella [2.23], o nella [2.24], si ottiene il valore diequilibrio del tasso d’interesse:

i0 = 0; 1[2.26]

Gra…camente l’equilibrio del modello si ottiene nel punto di interse-zione delle curve IS e LM e cioè nel punto E1 = (1140; 0; 1) (fig. 2.4).In corrispondenza di Y0 = 1140 e i0 = 0; 1 sia il mercato dei beni chequello della moneta sono in equilibrio.

23

M.Visaggio: esercitazioni di macroeconomia

ii. gli effetti di una politica fiscale espansiva. Si ipotizzi cheil Governo decida di aumentare la spesa pubblica di 40. L’interventodel Governo avvia un processo dinamico che si può suddividere in duefasi.

In una prima fase l’incremento della spesa pubblica determina unaumento della domanda aggregata e quindi del reddito. Tale e¤etto,de…nito come l’e¤etto d’impatto di un aumento della spesa pubblica,può essere calcolato prendendo come riferimento la curva IS riscrittanel seguente modo Y = ®(A ¡ bi) = ®A ¡ ®bi. Poichè b = 200 allorasapendo che ®b = 600 si ricava ® = 3. Ne segue che la curva IS puòessere scritta nel seguente modo:

Y = 1200 ¡ 600i= 3 (400 ¡ 200i)[2.27]

dove A = 400 rappresenta la parte autonoma della domanda autonoma;200i è la domanda autonoma (non dipendente dal reddito) che dipendedal tasso d’interesse, secondo un coe¢ciente di reazione pari a 200,ed in…ne m = 3 rappresenta il moltiplicatore d’impatto del redditoricavato nell’ipotesi che il tasso d’interesse rimanga costante a fronte divariazioni della componente autonoma della domanda autonoma. Nesegue che l’aumento della spesa pubblica di 40 determina un aumentoiniziale del reddito pari a:

¢Y = m ¢G = 120[2.28]

Assumendo che il tasso d’interesse rimanga costante al valore di equili-brio iniziale, e cioè i0 = 0; 1, il livello del reddito aumenta da Y0 = 1140a Y1 = 1260. Gra…camente si ha che il sistema si porta dal puntoE1 = (1140; 0; 1) al punto E2 = (1260; 0; 1).

Una volta che il sistema è giunto nel punto E2 prende avvio la secon-da fase. Nel punto E2 il mercato dei beni è in equilibrio dal momentoche l’o¤erta è uguale alla domanda aggregata. Il mercato delle attività…nanziarie, viceversa, non si trova in equilibrio dal momento che, datal’o¤erta di moneta, l’aumento del reddito ha prodotto un aumento delladomanda di moneta per transazioni e, quindi, generato un eccesso didomanda di moneta positivo. Il riequilibrio del mercato della monetarichiede un aumento del tasso d’interesse in grado di produrre una ri-duzione della domanda di moneta per …ni speculativi uguale, in valoreassoluto, all’aumento della domanda di moneta per transazioni. A suavolta l’aumento del tasso d’interesse produce un e¤etto di ritorno sulmercato dei beni: gli investimenti privati si riducono producendo una

24

2. il modello is-lm

figura 2.4L’e¤etto di spiazzamento

Y1140

.

-1,8

i

0,2E3

E E1 2

1200 1260

.

.

LM0

IS

0,1

IS 0

1

contrazione del livello del reddito di equilibrio. L’e¤etto sul livello delreddito associato al meccanismo di trasmissione che conduce il sistemadal punto E2 al punto E3 viene de…nito e¤etto di retroazione moneta-ria mentre la riduzione della spesa privata e cioè degli investimenti aseguito dell’iniziale aumento della spesa pubblica viene de…nito l’e¤ettodi spiazzamento associato alla politica …scale espansiva.

Il nuovo punto di equilibrio si ottiene considerando il sistema diequazioni [2.23]¡[2.24] con l’unica modi…ca rappresentata dal fatto chela parte autonoma della domanda aggregata aumenta da A = 400 aA = 440. Ne segue che il modello IS-LM è rappresentato da:

IS : i =1320600

¡ 1600

Y[2.29]

LM : i = ¡54003000

+5

3000Y[2.30]

Risolvendo il sistema di equazioni [2.29]¡[2.30] si ricava il nuovo puntodi equilibrio rappresentato dalla seguente coppia di valori:

Y1 = 1200[2.31]i1 = 0; 2[2.32]

Se si mettono a confronto i due punti di equilibrio si vede che l’aumentodel livello di spesa pubblica ha determinato sia un aumento del livello del

25

M.Visaggio: esercitazioni di macroeconomia

reddito sia un aumento del tasso d’interesse. Gra…camente si ha che ilsistema si porta dal punto E2 = (1260; 0; 1) al punto E3 = (1200; 0;2).

Si può ora quanti…care lo spiazzamento della spesa per investimen-to conseguente all’aumento di 40 della spesa pubblica. Per far ciò siconsideri dapprima il livello dell’investimento corrispondente al livellodi equilibrio del tasso d’interesse esistente prima dell’intervento …scalee cioè i0 = 0; 1:

I0 = 200 (1 ¡ i0) = 200 (1 ¡ 0; 1) = 200 (0; 9) = 180[2.33]

e successivamente il livello dell’investimento corrispondente al livello diequilibrio del tasso d’interesse esistente dopo l’intervento …scale e cioèi1 = 0; 2

I1 = 200 (1 ¡ i1) = 200 (1 ¡ 0; 2) = 200 (0; 8) = 160[2.34]

Lo spiazzamento dell’investimento a seguito dell’aumento della spesapubblica di 40 è dunque pari a:

¢I = 160 ¡ 180 = ¡20[2.35]

L’esercizio consente di evidenziare alcune caratteristiche dello spiazza-mento:

i) In primo luogo in questo caso la natura dello spiazzamento è reale nelsenso che esso fa riferimento alla riduzione della spesa privata perl’acquisto del bene conseguente all’espansione della spesa pubblica.Tuttavia si possono anche veri…care fenomeni di spiazzamento dinatura …nanziaria e cioè una riduzione dei mezzi …nanziari destinatial settore privato in virtù del crescente ricorso al mercato …nanziariodel settore pubblico per …nanziare il disavanzo.

ii) In secondo luogo il grado dello spiazzamento è parziale nel sensoche un aumento di 40 della spesa pubblica produce una riduzionedegli investimenti di 20. Tuttavia si potrebbero veri…care due ca-si estremi. In un primo caso si potrebbe avere uno spiazzamentototale qualora la riduzione degli investimenti fosse uguale in valoreassoluto all’aumento della spesa pubblica: in questo caso si avrebbe(dY=dG) = m = 0. In un secondo caso si potrebbe aver uno spiazza-mento nullo qualora l’aumento della spesa pubblica non producessealcuna riduzione dell’investimento cosicchè (dY=dG) = m = 3.

iii) In…ne lo spiazzamento si realizza attraverso un meccanismo indi-retto: lo stimolo …scale in‡uisce sul tasso d’interesse il quale, a suavolta, agisce sulla domanda privata determinandone una riduzione.

26

2. il modello is-lm

Viceversa si potrebbe veri…care uno spiazzamento diretto della spe-sa privata. Questo tipo di spiazzamento si manifesta quando all’au-mento della spesa pubblica corrisponde una immediata riduzione diquella privata dal momento che i due tipi di spesa sono consideratidagli operatori economici perfetti sostituti.

27

M.Visaggio: esercitazioni di macroeconomia

2.3Il modello IS-LM in forma non lineare: i casi estremi

Si consideri un modello IS-LM con i seguenti dati Y = C (Y ¡ T ) +I(i) + G e M=P = L(Y; i).

i) Si calcolino i moltiplicatori del reddito e del tasso d’interesse peruna variazione della spesa pubblica e per una variazione dell’o¤ertadi moneta.

Soluzione. L’esercizio consente di risolvere il modello IS-LM e quindidi analizzare gli e¤etti delle politiche macroeconomiche nel caso in cui lefunzioni macroeconomiche quali le funzioni del consumo, della domandadi moneta e degli investimenti non siano espresse in forma lineare.

Il modello IS-LM può essere rappresentato dal seguente sistema diequazioni:

Y = C(Y ¡ T ) + I(i) + G[2.36]M=P = L(Y; i)[2.37]

dove tutte le variabili sono espresse in termini reali. La [2.36] rap-presenta la curva IS e cioè il luogo dei valori i e Y che pongono inequilibrio il mercato dei beni. La domanda di consumo dipende dalreddito disponibile, Yd = Y ¡ T , (dove il prelievo …scale è in somma…ssa), mentre la propensione marginale al consumo è compresa fra ze-ro e 1, 0 < CY = (@C=@Y ) < 1 e, in…ne, gli investimenti dipendonoinversamente dal tasso d’interesse reale, Ii = (@I=@i) < 0.

La [2.37] rappresenta la curva LM e cioè tutte le combinazioni di red-dito e tasso d’interesse in corrispondenza delle quali l’o¤erta reale di mo-neta, M=P , uguaglia la domanda reale di moneta, L(Y; i). Quest’ultimaè una funzione crescente del livello del reddito, LY = (@L=@Y ) > 0, edecrescente del tasso di interesse reale, Li = (@L=@i) < 0. Per ipotesitutte le derivate delle funzioni macroeconomiche sono continue. Il siste-ma di due equazioni [2.36] e [2.37] contiene tre incognite e cioè Y; i; Pgiacché M; G e T sono variabili esogenamente …ssate dalle autorità …-scali e monetarie. Il modello, quindi, deve essere chiuso con l’aggiuntadi una ulteriore equazione in cui si …ssi una delle tre variabili incogni-te. Nella versione più estrema del modello keynesiano si ipotizza lacompleta rigidità del livello dei prezzi e cioè :

P = P = 1[2.38]

28

2. il modello is-lm

figura 2.5La politica …scale

Y

i

IS

LM

IS1

Y Y10

0

i

i0

1

Data la [2.38] ne deriva che il sistema di equazioni [2.36]-[2.37] si riducea:

F 1(Y; i; M; G; T) = Y ¡ C (Y ¡ T) ¡ I(i) ¡ G = 0[2.39]F 2(Y; i; M; G; T) = M ¡ L(Y;i) = 0[2.40]

dove, dal momento che le funzioni macroeconomiche per ipotesi hannoderivate continue, le funzioni F 1 e F 2 hanno anch’esse derivate continue.Inoltre lo Jacobiano delle variabili endogene calcolato in un intornodell’equilibrio che, per ipotesi esiste, è uguale a

¯̄¯̄ @F 1=@Y @F 1=@i

@F 2=@Y @F 2=@i

¯̄¯̄ =

¯̄¯̄ 1 ¡ CY ¡Ii

¡LY ¡Li

¯̄¯̄

e cioè jJ j = [¡(1 ¡ CY )Li ¡ IiLY ] > 0. Ne segue che esistono lecondizione per applicare il teorema delle funzioni implicite (e cioè deri-vate continue delle funzioni F 1 e F 2 e Jacobiano delle variabili endoge-ne diverso da zero in un intorno dell’equilibrio) e, quindi, nell’intornodell’equilibrio esistono le seguenti due funzioni:

Y 0 = Y 0(M; G; T )[2.41]i0 = i0(M;G; T)[2.42]

29

M.Visaggio: esercitazioni di macroeconomia

figura 2.6L’ine¢cacia della politica …scale: domanda di moneta insensibile al tassod’interesse

Y

i

IS

LM

IS1

Y0

0

i

i0

1

Ne segue che il sistema [2.39]¡[2.40] in un intorno dell’equilibriopuò essere espresso nel seguente modo:

Y 0 ¡ C(Y 0 ¡ T ) ¡ I(i0) ¡ G = 0[2.43]L(Y 0; i0) ¡ M = 0[2.44]

A questo punto è possibile utilizzare il modello [2.43]-[2.44] per poterevalutare gli e¤etti di variazioni delle variabili di politica economica sulvalore di equilibrio delle due variabili endogene.

Al …ne di ricavare i moltiplicatori del reddito e del tasso d’interes-se per una variazione della spesa pubblica si di¤erenziano totalmentele equazioni [2.43] e [2.44] e si ricava il seguente sistema di equazioni(espresso in forma matriciale):

µ1 ¡ CY ¡Ii

LY Li

¶ µdY 0=dGdi0=dG

¶=

µ10

¶

Risolvendo rispetto al moltiplicatore del reddito e a quello del tassod’interesse si ha nel caso in cui Li < 0 e Ii < ¡1:

dY 0

dG=

1¢

> 0[2.45]

30

2. il modello is-lm

figura 2.7Ine¢cacia della politica …scale: investimenti in…nitivamente sensibili al tassod’interesse

Y

iLM

IS

Y0

i0

di0

dG= ¡ (LY =Li)

¢> 0[2.46]

dove:

¢ =µ

(1 ¡ CY ) +IiLY

Li

¶> 0

Una politica …scale espansiva produce un aumento del reddito e,contemporaneamente, un rialzo del tasso d’interesse. Ne segue che nelnuovo punto di equilibrio il livello degli investimenti privati è inferiore aquello iniziale: in altre parole la politica …scale espansiva produce unospiazzamento parziale degli investimenti privati [fig. 2.5].

Vi sono due casi in cui la politica …scale risulta ine¢cace e cioèincapace di determinare un aumento del livello di equilibrio del reddito.Il primo caso di ine¢cacia della politica …scale si ha quando la domandadi moneta risulta indipendente dal tasso d’interesse e cioè Li = 0 (LMverticale). In questo caso dalla [2.45] e dalla [2.46] si ricava:

dY 0

dG= 0[2.47]

di0

dG= ¡ LY

IiLY> 0[2.48]

31

M.Visaggio: esercitazioni di macroeconomia

figura 2.8La politica monetaria

Y

iLM

IS

Y0

i0

LM

0

1

i1

Y1

La politica …scale espansiva produce un aumento del tasso d’interes-se mentre lascia invariato il livello di equilibrio del reddito: in questocaso si veri…ca uno spiazzamento completo della spesa privata a segui-to dell’aumento della spesa pubblica. Gra…camente un aumento dellaspesa pubblica determina uno spostamento verso l’alto della scheda IS.Tuttavia dal momento che la scheda LM è verticale la politica …scaleespansiva produce unicamente un rialzo del tasso d’interesse, e conse-guentemente, una riduzione degli investimenti, mentre lascia invariatoil livello di equilibrio del reddito [fig. 2.6].

Un secondo caso di ine¢cacia della politica …scale si ha quando gliinvestimenti sono in…nitivamente elastici al tasso d’interesse, e cioè Ii =¡1 (la scheda IS è orizzontale), cosicchè i moltiplicatori si riducono a:

dY 0

dG= 0[2.49]

di0

dG= 0[2.50]

In questo caso la politica …scale espansiva non è in grado di spostarela scheda IS cosicchè l’aumento della spesa pubblica non è in grado

32

2. il modello is-lm

figura 2.9L’ine¢cacia della politica monetaria: investimenti insensibili al tassod’interesse

Y

i IS LM

1

Y0

0

i

i0

1

LM

di modi…care i valori di equilibrio del reddito e del tasso d’interesse[fig. 2.7].

Per ricavare i moltiplicatori del reddito e del tasso d’interesse per unavariazione dell’o¤erta di moneta si di¤erenziano totalmente le equazioni[2.39] e [2.40] e quindi si ricava il seguente sistema di equazioni (espressoin forma matriciale):

µ1 ¡ CY ¡Ii

LY Li

¶ µdY 0=dMdi0=dM

¶=

µ01

¶

Risolvendo rispetto al moltiplicatore del reddito e a quello del tassod’interesse, nel caso in cui Ii < 0 e Li < ¡1, si ottiene:

dY 0

dM=

Ii=Li

¢> 0[2.51]

di0

dM=

(1 ¡ CY )=Li

¢< 0[2.52]

Una politica monetaria espansiva produce un aumento del redditoe, simultaneamente, una riduzione del tasso d’interesse che, a sua volta,determina un aumento del livello degli investimenti privati [fig. 2.8].

33

M.Visaggio: esercitazioni di macroeconomia

figura 2.10Ine¢cacia della politica monetaria: la trappola della liquidità

Y

iLM

IS

Y0

i0

0

LM1

Vi sono due casi in cui una politica monetaria espansiva risultacompletamente ine¢cace: quando gli investimenti sono insensibili avariazioni del tasso d’interesse e cioè Ii = 0 (IS verticale) e quandola domanda di moneta è in…nitivamente elastica a variazioni del tassod’interesse (trappola della liquidità) e cioè Li = ¡1 (LM orizzontale).Nel caso in cui gli investimenti sono insensibili a variazioni del tassod’interesse si ha:

dY 0

dM= 0[2.53]

di0

dM=

1Li

< 0[2.54]

In questo caso un aumento dell’o¤erta di moneta, che determina unospostamento verso destra della scheda LM, è in grado unicamente diridurre il livello di equilibrio del tasso d’interesse mentre lascia invariatoil livello di equilibrio del reddito [fig. 2.9].

Nel caso di trappola della liquidità si ha:

dY 0

dM= 0[2.55]

34

2. il modello is-lm

figura 2.11Caso classico estremo

LM LM0 1

LM

IS

IS0

1

Y Y

i

i

i

1

0

i0

di0

dM= 0[2.56]

Un aumento dell’o¤erta di moneta non riesce a spostare la scheda LMe quindi non riesce a modi…care i valori di equilibrio sia del tassod’interesse sia del reddito [fig. 2.10].

In…ne si possono identi…care due casi estremi: il caso classico estre-mo che si ha quando Ii = ¡1 e Li = 0 e il caso keynesiano estremoche si ha quando Ii = 0 e Li = ¡1.

Nel caso classico estremo si ha che gli investimenti sono in…nitiva-mente elastici a variazioni del tasso d’interesse (IS orizzontale) e la do-manda di moneta è insensibile a variazioni del tasso d’interesse (LM ver-ticale). In questo caso si ha che i moltiplicatori del reddito per variazionidella spesa pubblica e dell’o¤erta di moneta sono rispettivamente:

dY 0

dG= 0[2.57]

dY 0

dM=

1LY

[2.58]

Ne segue che nel caso classico estremo la politica …scale risulta del tuttoine¢cace, dal momento che lo spiazzamento della spesa privata è com-pleto, mentre la politica monetaria raggiunge la sua massima e¢caciadal momento che la retroazione monetaria è assente [fig. 2.11].

Nel caso keynesiano estremo si ha che gli investimenti sono insensibi-li a variazioni del tasso d’interesse (IS verticale) e la domanda di monetaè in…nitivamente elastica a variazioni del tasso d’interesse (LM orizzon-tale). In questo caso si ha che i moltiplicatori del reddito per variazioni

35

M.Visaggio: esercitazioni di macroeconomia

figura 2.12Caso keynesiano estremo

LM LM0 1

LM

IS0

Y Y

i

i0

i0

IS1

YY 01

IS

Y0

della spesa pubblica e dell’o¤erta di moneta sono rispettivamente:

dY 0

dG=

11 ¡ CY

[2.59]

dY 0

dM= 0[2.60]

Ne segue che nel caso keynesiano estremo la politica …scale raggiun-ge la sua massima e¢cacia, dal momento che l’e¤etto di retroazionemonetaria è assente, mentre la politica monetaria è del tutto ine¢caceper il veri…carsi della trappola della liquidità che impedisce una ridu-zione del tasso d’interesse e quindi una espansione degli investimenti e,conseguentemente, una crescita del reddito [fig. 2.12].

36

2. il modello is-lm

2.4Esercizi non svolti

2.1 Si consideri un’economia chiusa a prezzi …ssi (P = 1) descritta dalleseguenti relazioni: C = 42 + 0; 8Y d , L = 0; 5Y ¡ 400r, G = 150,I = 600 ¡ 1280r , M = 800, T = 30 + 0; 25Y:

i) Calcolare i livelli di equilibrio del prodotto nazionale e del tassod’interesse.

ii) Se la spesa pubblica per beni e servizi aumenta di 272 qual è lavariazione degli investimenti e del saldo di bilancio pubblico?

[soluzione. i) Y = 1664; r = 0; 08; ii) ¢I = ¡217; 6; ¢D = ¡58. ]

2.2 Il sistema economico è rappresentato dalle seguenti relazioni:C = 0;8Y D, T = 0; 25Y , G = G, I = 400 ¡ 1000r , L = 0; 5Y ,M = 500. Determinare il livello del reddito, il tasso d’interesse e lacomposizione della domanda aggregata nel caso in cui

i) G = 100;

ii) G = 200.

[soluzione. i) Y = 1000; r = 0; 1; C = 600; I = 300; G = 100;ii) Y = 1000; r = 0; 2; C = 600; I = 200; G = 200: ]

2.3 Un’economia chiusa a prezzi …ssi è descritta dalle seguenti relazioniC = 0; 8Y D , T = 0; 25Y , G = 300, I = 160 ¡ 600r, L = 0; 5Y ¡1250r , M = 300:

i) Determinare il livello di equilibrio del reddito e degli investi-menti.

ii) Che cosa devono fare le autorità della politica economica per ot-tenere un aumento degli investimenti di 30, lasciando invariatoil livello del reddito?

[soluzione. i) Y = 943; 75; r = 0;1375; ii) ¢M = 62;5; ¢G =¡30. ]

2.4 Si consideri un’economia chiusa a prezzi …ssi caratterizzata dalleseguentii relazioni: Y = C + I + G; C = 0; 8Y D ; T = 0; 25Y .

37

M.Visaggio: esercitazioni di macroeconomia

i) essendo I dato, calcolare l’e¤etto sul reddito di ¢G = 40.

ii) Sia ora I = I ¡ 600r e L = 0; 5Y ¡ 1250r. Calcolare l’e¤ettosul reddito di ¢G = 40.

iii) Che cosa possono fare le autorità responsabili della politicaeconomica per ottenere nel caso (ii) lo stesso ¢Y che nel caso(i), sempre per ¢G = 40?

[soluzione. i) ¢Y = 100; ii) ¢Y = 62; 5; iii) ¢M = 50: ]

2.5 Il sistema economico è rappresentato dalle seguenti relazioni C =60+0; 8Y D , T = 0; 25Y , G = 200, I = 400¡1200r, L = 0; 4Y ¡400r,M = 500.

i) Determinare i valori di equilibrio del reddito e del tasso d’inte-resse.

ii) Si ipotizzi che il coe¢ciente che misura la sensibilità degli in-vestimenti al tasso d’interesse aumenti a 1600. In che modo ilGoverno può mantenere il reddito costante al livello calcolatoin (i) senza modi…care il livello degli investimenti ottenuto in(i)?

[soluzione. i) Y = 1350; r = 0; 1; ii) ¢M = 10: ]

2.6 Si consideri un’economia chiusa, a prezzi …ssi (P = 1) descrittadalle seguenti relazioni: C = 90 + 0; 8Y D , T = 0; 25Y , G = 310,I = 100 ¡ 200r, L = 0; 5Y ¡ 1250r , M = 475.

i) Calcolare il saldo di bilancio dello Stato.

ii) Attraverso quale intervento di politica monetaria le autorità dipolitica economica sono in grado di conseguire il pareggio delsaldo di bilancio a parità del livello di spesa pubblica?

[soluzione. i) D = 10; ii) ¢M = 120; oppure t = 0; 26: ]

2.7 Si consideri un’economia chiusa, a prezzi …ssi (P = 1) descrittadalle seguenti relazioni: C = 0; 8Y D, T = 0;375Y , G = 400, I =600 ¡ 400r, L = 0; 5Y ¡ 600r , M = 850.

i) Determinare i livelli di equilibrio del reddito e del tasso diinteresse.

38

2. il modello is-lm

ii) Se la componente esogena degli investimenti diminuisce di 50,di quanto deve aumentare l’o¤erta di moneta per lasciare ilreddito invariato al livello precedente?

[soluzione. i) Y = 1880; r = 0; 15; ii) ¢M = 75: ]

2.8 Si consideri un modello is-lm con prezzi …ssi (P = 1) descritto dalleseguenti relazioni: C = 0; 8Y , I = 500¡1500r, L = 0; 2Y , M = 500;G = 300.

i) Calcolare i valori di equilibrio di Y e di r.

ii) Attraverso quali interventi di politica economica il Governoè in grado di produrre un aumento di 150 del livello degliinvestimenti privati?

[soluzione. i) Y = 2500; r = 0; 2; ii) ¢G = ¡150; oppure ¢M =150: ]

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