2. SERIES MM_III

G.NAVASCUÉS Ultima revisión 09/10/2008 36

Las funciones de Bessel. Las funciones de Bessel son de las más útiles de las funciones especiales, son esenciales en cualquier problema de física o ingeniería que tenga simetría cilíndrica y aparecen en multitud de otros problemas(*). Estas funciones tienen propiedades muy interesantes e útiles como las relaciones de recurrencia entre ellas mismas, la distintas formas de generarlas, los comportamientos asintóticos y otras muchas otras más. Voy a describir las más usuales; más adelante veremos que no son las únicas funciones que presentan tan útiles propiedades. Cada autor las introduce según sus preferencias personales que suelen ser interesantes. Por ejemplo es usual establecer las funciones de Bessel resolviendo la ecuación de ondas en coordenadas cilíndricas donde acaba apareciendo la ecuación de Bessel. Yo he introducido parte de ellas para ilustrar el método de Frobenius que quizás no sea la forma más atractiva, pero también tiene sus ventajas. Ahora las presentaré todas las funciones de Bessel, como la hacen Arfken y Weber (aunque sin incluir demostraciones), de una manera forma mucho más elegante y potente, casi mágica, junto con sus propiedades más útiles (nosotros usaremos algunas de ellas). Hay un programa en marcha iniciado por el NIST (“National Institute of Standards” and Technology, sustituto del famoso “National Bureau of Standards”) para crear una librería digital de funciones matemáticas, pero de momento todas propiedades de las funciones especiales pueden encontrarse en las insustituibles tablas de Abramowitz y Stegun (ver bibliografía). Antes de entrar en harina merece la pena analizar la ecuación de Bessel con más detalle para conseguir percibir lo que describen sus soluciones. Para ello lo mejor es usarlas con frecuencia para que nos sean familiares, como no hay tiempo para esto veremos, al menos, que las expresiones [2.47], [2.48], [2.50] y [2.54] aunque bastante opacas, por no decir horribles, son realmente tan entrañables como las funciones trigonométricas . La ecuación de Bessel

0)(''' 222 =−++ yvxxyyxse puede rescribir

''''1)1('' 2

2

bykyyyx

yxvy −−=→−−−= [2.57]

que es idéntica a la ecuación del oscilador amortiguado salvo que k y b, las constantes de fuerza del muelle y del amortiguamiento respectivamente, dependen de la variable x. No es nada extraño, por tanto, que las soluciones sean funciones oscilatorias amortiguadas, pero con algunas diferencias respecto al movimiento oscilatoria amortiguado de la dinámica clásica:

a) La constante de fuerza k del oscilador amortiguado es positiva para , así la semejanza se aplica cuando

0)/1( 22 >− xvvx > .

b) La constante de fuerza disminuye hacia el valor 1 con valores crecientes de x, por tanto la semejanza se hace mejor a mayor valor de x, en otras palabras la frecuencia de las oscilaciones

crecen hacia 1=k (aquí la “masa” es la unidad). c) El amortiguamiento disminuye hacia cero con la variable x, así que la semejanza tiende a ser con

el oscilador sin amortiguamiento a x grandes.

______________________________________________

*Además parece ser que las funciones de Bessel también son solución de las ecuaciones de warp (!!!!): “In 2364, Starfleet propulsion expert Kosinski, when asked how the USS Enterprise-D flew to the Triangulum Galaxy, he stated in his long, windy explanation that he may not have applied the Bessel functions correctly. In the opinion of Commander William Riker, the explanation was nonsensical, yet he couldn't provide an explantion for how the starship arrived at their current position. (TNG: "Where No One Has Gone Before") Warp equations are used to adjust the warp fields and subspace bubble patterns that envelops the starship, distorting the local spacetime continuum and moving the starship at velocities that exceed the speed of light. In 2364 Starfleet propulsion expert Kosinski claimed to have discovered a revolutionary new method of warp equations, based in the simply test different ways of entering warp speed and different intermix formulas, associated with the nature of elementals like space and time” (Start Trek Series The New Generation: "Where No One Has Gone Before")

2. SERIES MM_III

G.NAVASCUÉS Ultima revisión 09/10/2008 37

En resumen, se debe esperar que las soluciones de la ecuación de Bessel empiecen a oscilar y a amortiguarse a partir de un cierto valor de x y que estas oscilaciones tiendan a una frecuencia constante con un amortiguamiento cada vez menor. Dicho de otro modo estas funciones se parecen, para valores de x no demasiado pequeños, a las funciones seno y coseno suavemente amortiguadas. Este paralelismo es más sorprendente cuando veamos que se pueden combinar linealmente con el número complejo i, como las trigonométricas, para dar a nuevas funciones (Bessel de 3ª especie), que serían equivalentes a las exponenciales de argumento imaginario puro, o incluso tomar como argumento un número imaginario puro (Bessel modificadas) que serían las “hiperbólicas” correspondientes. Las funciones de Bessel (y otras funciones especiales que veremos) están llenas de agradables sorpresas que ahora voy a presentar. Sin embargo son demasiadas para poder ser asimiladas, ni falta que hace: lo importante es saber que existen para acudir a ellas por si nos resuelven el problema que tengamos entre manos. Para ayudar a digerir el aluvión de expresiones remarco, con formato negrita las ideas y con recuadros las expresiones, más importantes para nosotros (aunque la propiedad más importante será siempre aquella que por muy inusual que sea nos resuelve algún problema). Esquemáticamente las próximas hojas contienen funciones que están ligados a distintos problemas de física que veremos más adelante: Bessel de PRIMERA ESPECIE Bessel de SEGUNDA ESPECIE Bessel de TERCERA ESPECIE Bessel MODIFICADAS Bessel ESFÉRICAS muestro en cada una de ellas entre otras cosas (sin ser exhaustivo): LA FUNCIÓN GENERATRIZRELACIONES DE RECURRENCIAECUACION DIFERENCIAL QUE OBEDECENREPRESENTACIÓN INTEGRALRELACIONES WRONSKIANAS COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO GRÁFICAS Otras propiedades como la ortogonalidad, de enorme importancia, las veremos cuando estudiemos le teoría de Sturm-Liouville. Lo que expongo a continuación sigue en parte a la de Arfken y Weber (ver bibliografía) y en parte a la de la Wikipedia y a la d la página web de WolframMathWord. FUNCIÓN GENERATRIZ Y DEFINICIÓN DE FUNCIONES DE BESSEL DE 1ª ESPECIE Existe una función, llamada generatriz,

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

ttxtxg 1

2exp),( [2.58]

cuyo desarrollo Laurent en la variable t define las funciones de Bessel de 1ª especie y orden n como los coeficientes de dicho desarrollo:

∑∞=

−∞=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

n

n

nn txJ

ttxtxg )(1

2exp),( [2.59]

Desarrollando las exponenciales ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

txyxt2

exp2

exp e igualando potencias de t se llega a la forma

explícita de las funciones de Bessel de 1ª especie de orden n entero:

...)!1(2!22)!(!

)1()( 2

2

0

2

++

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

= +

+∞

=

+

∑ nx

nxx

nssxJ n

n

n

n

s

nss

n para n=0,1,2,3,... [2.60]

2. SERIES MM_III

G.NAVASCUÉS Ultima revisión 09/10/2008 38

(que está de acuerdo con [2.47] para ν entero). Y para n negativos:

∑∞

=

−+

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=0

2

2)!(!)1()(

s

nsns

nx

nssxJ [2.61]

En este caso como (s-n)!=∞ para s=0,1,..,n-1 (ver notas de la función Gamma) la serie puede empezar en s=n, haciendo el cambio s por s+n, las funciones Bessel de orden negativo se pueden escribir como:

∑∞

=

++

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=0

2

2)!(!)1()(

s

nsns

nx

nssxJ [2.62]

(que está de acuerdo con [2.48] para ν entero). De [2.60] y [2.62] se deduce que:

)()1()( xJxJ nn

n −=− n=entero [2.63]

(en acuerdo también con [2.56]). Por lo que son linealmente dependientes. Para

valores no enteros n los desarrollos [2.60] y [2.62] se extienden para

)()( xJyxJ nn−

definir y .

Sin embargo [2.63] sólo se verifica para funciones de orden entero, es más y son

linealmente independientes.

)(xJν )(xJ ν−

)(xJν )(xJ ν−

RELACIONES DE RECURRENCIA La función generatriz proporciona no sólo las definiciones de las funciones Bessel sino relaciones entre ellas llamadas relaciones de recurrencia, de gran utilidad. Derivando la función generatriz con respecto a t, usando la propia definición e igualando los coeficientes de t se llega:

)(2)()( 11 xJxnxJxJ nnn =+ +− [2.64]

Haciendo lo mismo pero con la derivada respecto a x se llega a: )('2)()( 11 xJxJxJ nnn =− +− [2.65]

donde n=0, como casoparticular es: )()(' 10 xJxJ −= . [2.66]

Sumando [2.64] y [2.65] se llega a:

)(')()(1 xJxJxnxJ nnn +=− . [2.67]

Multiplicando [2.67] por xn y reordenando términos llegamos a:

[ ] )()( 1 xJxxJxdxd

nn

nn

−= . [2.68]

Restando [2.65] de [2.64] se obtiene:

)(')()(1 xJxJxnxJ nnn −=+ [2.69]

2. SERIES MM_III

G.NAVASCUÉS Ultima revisión 09/10/2008 39

que multiplicando por x-n y reordenando términos se llega a:

[ ] )()( 1 xJxxJxdxd

nn

nn

+−− −= . [2.70]

ECUACION DIFERENCIAL DE BESSEL Cualquier función Zν que verifica las relaciones de recurrencia [2.64] y [2.65] (sin necesidad de ser una función de Bessel), o que verifique las recurrencias equivalentes [2.67] y [2.68] o [2.69] y [2.70]) es solución de la ecuación de Bessel (se demuestra manipulando las relaciones de recurrencia hasta escribir la ecuación diferencial):

[2.71] 0)(''' 222 =−++ ννν ν ZxxZZx En particular las Jn obtenidas por la generatriz satisfacen la ecuación de Bessel. La ec. [2.71] se puede rescribir como

0)()()()( 2222

22 =−++ ρνρρ

ρρρ

ρρ ννν kZkkZ

ddkZ

dd

[2.72]

que es la ecuación de la parte radial que resulta, en coordenadas cilíndricas, de la separación de variables (método que veremos detalladamente) de la ecuación , de ahí su importancia para nosotros lo físicos.

022 =+∇ ψψ k

REPRESENTACIÓN INTEGRAL Las funciones de Bessel pueden ser descritas por integrales (lo que se llama representación integral de una función). Otra vez la función generatriz nos ayuda para obtener estas representaciones. Haciendo el cambio t=exp(iθ) en la función generatriz se llega a:

[2.73] ∑∑∞

=−

∞

=

−++=1

121

20 ))12(()(2)2cos()(2)()exp(n

nn

n nsenxJinxJxJixsen θθθ

o [2.74] ∑∞

−∞=

=n

inn

n exJiixsen θθ )()exp(

De [2.73] y con ayuda de la ortogonalidad de las funciones seno y coseno se llega:

⎩⎨⎧

=

⎩⎨⎧

=

∫

∫

imparnxJparn

dsennxsensen

imparnparnxJ

dnxsen

n

n

.),(.,0

)(1.,0

.),(cos)cos(1

0

0

π

π

θθθπ

θθθπ

[2.75]

De donde se obtiene:

∫ =−=π

θθθπ 0

,...2,1,0)cos(1)( ndxsennxJ n [2.76]

Para n=0 se puede rescribir como:

∫∫ ==ππ

θθπ

θθπ

2

0

2

00 )cosexp(21)exp(

21)( dixdixsenxJ [2.77]

2. SERIES MM_III

G.NAVASCUÉS Ultima revisión 09/10/2008 40

TEOREMAS DE ADICIÓN Y DE ACOTACIÓN Más resultados interesantes se pueden, una vez más, obtener de la función generatriz. Del producto de la función generatriz g(x,t)=g(u+v,t)= g(u,t) g(v,t) se llega a:

. [2.78] ∑∞

−∞=−=+

ssnsn vJuJvuJ )()()(

Del producto de las funciones generatrices g(x,t)g(x,-t) se llega a:

[ ] [ ] [ ] ,...3,2,1,21)(1)(...)(2)(2)(1 02

22

12

0 =≤≤⇒+++= nxJyxJxJxJxJ n [2.79]

DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES DE NEUMANN Nυ≡ Yυ (Bessel de 2ª especie) Para la ecuación diferencial con υ no entero tenemos dos soluciones linealmente independientes: y

. Para υ=n entero necesitamos una segunda solución como ya vimos en el apartado 2.3.1. Para

n=0 la obtuvimos usando la fórmula de Liouville en relación con el método de Frobenius (también la podríamos haber obtenido para υ=n entero, aunque no lo hicimos). Ahora voy a presentarlas para todo valor de υ, son las funciones de

)(xJν)(xJ ν−

Neumann o de Bessel de 2ª especie:

νπ

νπ ννν sin

)()(cos)(

xJxJxN −−= [2.80]

Para υ no entero satisface la ecuación de Bessel ya que es una combinación lineal de dos soluciones de esa ecuación y es linealmente independiente de . Para υ=n entero, caso problemático, queda

indeterminado y la definición hay tomarla como un límite. Aplicando la regla de L’Hospital y desarrollando en potencias de x se llega a:

)(xJν

...2

ln!

12

2....2

)!1(1)( +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

xn

xxnxNnn

n ππ

que como era de esperar después de la discusión al final de la sección 2.3 (ver ecuaciones [2.38] y [2.39]), aparece la función logaritmo que hace de una función linealmente independiente de

caso particular 0=)(xNn )(xJn .

En el ν :

)()2(ln2)( 20 xOLnxxN +−+= γ

π [2.81]

(γ=.5572… es la constante de Euler-Mascheroni, ver notas de la función Gamma) vemos que

, ver ecuación [2.54] (¡Ojo! algunos autores usan “Y” y otros “N” para nombrar a todas las

funciones de Bessel de segunda especie).

)()( 00 xNxY ≡

Observe que ahora ya se puede poner de la solución general de la forma

)()()( 21 xNcxJcxy νν +=

no importando que υ sea entero o no. No se necesitan los órdenes negativos de J para completar la solución general. Además esta expresión tiene la ventaja de que si la solución física debe ser finita en x=0, c2 es idénticamente nulo. Otra importante idea, como ya he mencionado, es que las J y las N se comportan como funciones tipo coseno y seno amortigadas respectivamente en el límite de x grandes. Este paralelismo es muy útil tenerlo presente, es

2. SERIES MM_III

G.NAVASCUÉS Ultima revisión 09/10/2008 41

más las funciones que se definen mas adelante (Hankel o de Bessel de 3ª especie) juegan el mismo papel con respecto a las J y N que las exponenciales imaginarias con respecto al coseno y al seno, como ya había anunciado previamente. REPRESENTACIÓN INTEGRAL (Estas representaciones se pueden demostrar con ayuda de las funciones de Hankel, ver más adelante):

∫∫∞∞

>−−=−=0

2/12

0

0)1/()cos(2)coshcos(2)( xtdtxtdttxxNππν [2.83]

RELACIONES DE RECURRENCIA

)(xNν , al ser combinación de funciones que verifican ciertas relaciones de recurrencia, satisface las esas

mismas relaciones de recurrencia (luego es solución de la ecuación de Bessel). RELACIONES WRONSKIANAS Utilizando las propiedades del wronskiano (que veremos en el capítulo siguiente) se llega:

ππν

ννν

νννν xxxJxJxJxJ sin2

)!(!2)()(')(')( −=−

−=− −− [2.84]

que con ayuda de las relaciones de recurrencia se llega a:

ππν

νννν xxJJJJ sin2)(11 =− −−+− [2.85]

ππν

νννν xxJJJJ sin2)(11 −=− +−−−

[2.86]

πνννν xNJNJ 2'' =−

[2.87]

πνννν xNJNJ 2

11 −=− ++ [2.88]

COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO Extendiendo el comportamiento al plano complejo:

Para ππ <<− zarg : ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−=

2)

21()(

2)

21(cos)(2)( πνπν

π ννν zsenzQzzPz

zJ [2.89]

Para ππ <<− zarg : ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−=

2)

21(cos)(

2)

21(sin)(2)( πνπν

π ννν zzQzzPz

zN [2.90]

donde ( ): 24νµ =

...)8(!4

)49)(25)(9)(1()8(!2

)9)(1(1~)( 42 −−−−−

+−−

−zz

zP µµµµµµν

...)8(!3

)25)(9)(1()8(!11~)( 3 +

−−−−

−zz

zQ µµµµν

2. SERIES MM_III

G.NAVASCUÉS Ultima revisión 09/10/2008 42

Para z real y suficientemente grande se obtienen los comportamientos predichos: las funciones coseno y seno levemente amortiguadas:

xxx

xxJ x

)4/2/-cos(~2

)21(cos2)( πνππν

πν+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−⎯⎯ →⎯ ∞→ [2.91]

xxx

xzN x

)4/2/-sin(~2

)21(sin2)( πνππν

πν+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−⎯⎯ →⎯ ∞→ [2.92]

COMPORTAMIENTO CERCA DE x=0

v

xx

vxJ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+Γ=⎯⎯ →⎯ +→ 2)1(

1)( 0ν [2.93]

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≠=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−

=+

≠⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−Γ−=−

=⎯⎯ →⎯−

−

−

+→

0,2

)!1(

0),2

(2

,2)1()(

1)()(

1

)( 0

enterovxv

vxLn

enterovxvvsen

xJvsen

xNv

v

x

π

γπ

ππ ν

ν [2.94]

Que muestra el comportamiento singular en x=0 de una de las series de acuerdo con lo predicho al buscar la segunda solución en las ecuaciones diferenciales con puntos singulares regulares. CEROS Veremos que conocer los ceros de las funciones de Bessel será de gran utilidad. De momento observamos que, como consecuencia de la dependencia de la frecuencia de las oscilaciones de las funciones de Bessel con la posición, la distancia entre ceros disminuye hacia una constante, que es π. En la tabla adjunta se observa que los primeros ceros ya no difieren mucho de π (ver [2.91] y [2.92]). En las gráficas que presento enseguida se observa también que las dos soluciones J y N se entrecruzan de tal forma que los ceros de una función se interponen entre dos ceros sucesivos de la otra. Los nueve primeros ceros (k=1,...,9) de , n=1,...,9: )(xJ n

k n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5

1 2.405 3.832 5.135 6.379 7.586 8.780

2 5.520 7.016 8.147 9.760 11.064 12.339

3 8.654 10.173 11.620 13.017 14.373 15.700

4 11.792 13.323 14.796 16.224 17.616 18.982

5 14.931 16.470 17.960 19.410 20.827 22.220

6 18.071 19.616 21.117 22.583 24.018 25.431

7 21.212 22.760 24.270 25.749 27.200 28.628

8 24.353 25.903 27.421 28.909 30.371 31.813

9 27.494 29.047 30.571 32.050 33.512 34.983

2. SERIES MM_III

G.NAVASCUÉS Ultima revisión 09/10/2008

GRÁFICAS (N=Y) Gráficas de los cinco primeros órdenes de las funciones de Bessel de primera y segunda especie. Observe: el carácter oscilatorio y como tienden, amortiguándose, a las funciones coseno y seno respectivamente.

Funciones Jv y Nv se entrelazan y los ceros de una ela otra, es esta figura lo vemos para J0 y N0:

43

stán entre dos ceros sucesivos de

J0(x) N0(x)

2. SERIES MM_III

G.NAVASCUÉS Ultima revisión 09/10/2008 44

La simetría de las funciones Bessel se refleja en estos ejemplos: las cuatro primeras órdenes de las funciones de Bessel de primera especie:

DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES HANKEL DE ORDEN n (de Bessel de 3er orden) Estas funciones en representación integral se suelen usar como alternativa para introducir las funciones Bessel (ver más abajo en el apartado de las representaciones integrales). Aquí las obtenemos en combinación lineal como el “coseno” y “seno” de las funciones de Bessel de 1ª y 2ª especie

[2.95] )()()1( xiNxJH ννν +=

[2.96] )()()2( xiNxJH ννν −= Recuerde la definición semejante: )()cos()exp( xisenxix ±=± . DESARROLLO DE LAS FUNCIONES EL DE ORDEN n Utilizando los desarrollos de Jv y Nv se llega a (es usual que sólo interese el primer término):

...)2ln(21ln2)1(0 +−++= γ

ππixiH [2.97]

...)2ln(21ln2)2(0 +−−+−= γ

ππixiH [2.98]

0...,)2()!1()1( >+−

−= νππ

ν νν iH [2.99]

0...,)2()!1()2( >+−

= νππ

ν νν iH [2.100]

RELACIONES DE RECURRENCIA Al ser combinaciones de funciones Bessel de 1ª y 2ª especie, las H(i)

υ(x) satisfacen automáticamente las mismas relaciones de recurrencia (luego también son solución de la ecuación de Bessel)

2. SERIES MM_III

G.NAVASCUÉS Ultima revisión 09/10/2008 45

RELACIONES WRONSKIANAS Análogamente a lo que hizo con las funciones de Bessel de 1ª y 2ª especie y utilizando las relaciones de recurrencia se llega:

πνννν ix

HHHH 4)2(1

)1()1(1

)2( =− ++ [2.101]

πνννν ix

HJHJ 2)1(1

)1(1 =− −− [2.102]

πνννν ix

HJHJ 2)2(1

)2(1 =− −− [2.103]

FUNCIONES DE BESSEL MODIFICADAS Iν Y Kν

DEFINICIÓN DE Iν COMO MODIFICADA DE JνSi en la ecuación de Bessel en su forma equivalente [2.72], que es la misma que la parte radial de la ecuación de ondas, cambiamos k por ik, obtenemos la ecuación:

0)()()()( 2222

22 =+−+ ρνρρ

ρρρ

ρρ ννν kYkkY

ddkY

dd

[2.104]

que es la ecuación de la parte radial que resulta, en coordenadas cilíndricas, de la ecuación de difusión (lo veremos explícitamente). Por tanto las soluciones de la nueva ecuación son, con el cambio k→ik, debe ser )()( ρρ νν ikZkY = , funciones Bessel de argumento imaginario pero ellas mismas son reales,

estas nuevas funciones convenientemente normalizadas definen las funciones Bessel modificadas:

[2.105] )()()( 2/2/ νπν

νπν

νν

ii xeJeixJixI −− =≡ DESARROLLOS DE IνDel desarrollo [2.60] se llega:

∑∞

=

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

0

2

2)!(!1)(

s

sxss

xIν

ν ν ∑

∞

=

−

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

0

2

2)!(!1)(

s

sxss

xIν

ν ν [2.106]

Observe que las ecuaciones de Bessel modificadas son efectivamente reales. Observe además que )()( xIxI nn =− [2.107]

RELACIONES DE RECURRENCIA Cambiando x por –ix en [2.205]) resulta:

[2.108] )()( ixIixJ −≡ νν

ν

que usada en [2.64], que cambiando x por ix y que usando [2.65] da respectivamente:

)(2)()( 11

11 ixIi

xixIiixIi −=−+− +

+−

−ν

νν

νν

ν ν [2.109]

)(2)()( 11 xIx

xIxI νννν=+ +− [2.110]

)('2)()( 11 xIxIxI ννν =+ +− [2.111]

2. SERIES MM_III

G.NAVASCUÉS Ultima revisión 09/10/2008 46

REPRESENTACIÓN INTEGRAL De la ecuación [2.77]:

∫=π

θθπ 0

0 )coshcosh(2)( dxxI [2.112]

en general para υ>-1:

∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

2/

0

22/1 sin)coshcosh(

2)!2/1(2)(

πν

ν

ν θθθνπ

dzzzI [2.113]

DEFINICIÓN DE Kν COMO ANÁLOGA A Nν

Cuando υ entero, como ocurre con las “Jν” y precisamente por su relación directa con ellas, sólo tenemos una única función Bessel modificada independiente (ver también [2.107]). La segunda función de Bessel modificada se defina en forma similar a las de Neumann (ver [2.80]):

νπ

π ννν sin

)()(2

)(xIxIxK −

≡ − [2.114]

que es equivalente a:

)()(()2()()2()( 1)1(1 ixiNixJiixHixK ννν

νν

ν ππ +=≡ ++ ) [2.115]

como se puede comprobar usando [2.80] y [2.105]. (Ojo con la notación, cada autor la etiqueta como quiere y no hay unanimidad en su definición: la definición dada no satisface las relaciones de recurrencia de Iν para conseguirlo se añade el factor cos(υπ)) DESARROLLOS DE Kν

Usando el desarrollo de , ecuaciones [2.97] y [2.99]: )1(νH

....2lnln)(0 ++−−= γxxK [2.116]

[2.117] ...)!1(2)( 1 +−= −− ννν ν xxK

REPRESENTACIÓN INTEGRAL Se demuestra que es una transformada Fourier coseno:

∫∫∞∞

>+

==0

2/120

0 0)1()cos()cos()( x

tdtxtdtxsenhtxK [2.118]

GRÁFICAS

2. SERIES MM_III

G.NAVASCUÉS Ultima revisión 09/10/2008 47

OMPORTAMIENTO ASINTÓTICO C

xtendiendo el comportamiento al plano complejo:

Para

E

ππ 2arg <<− z : [ ])()(2

)21(exp2)()1( ziQzPzi

zzH ννν

πνπ

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−= [2.119]

Para ππ <<− zarg2 : [ ])()(2

)21(exp2)()2( ziQzPzi

zzH ννν

πνπ

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−= [2.120]

Para 2/arg2/ ππ <<− z : [ ])()(2

)( iziQizPz

ezIz

ννν π−= [2.121]

Para 2/arg2/ ππ <<− z : [ ])()(/2

)( iziQizPzezK

z

ννν π+=

−

[2.122]

donde ( ): 24νµ =

...)8(!4

)49)(25)(9)(1()8(!2

)9)(1(1~)( 42 −−−−−

+−−

−zz

zP µµµµµµν

...)8(!3

)25)(9)(1()8(!11~)( 3 +

−−−−

−zz

zQ µµµµν

UNCIONES DE BESSEL ESFÉRICAS F

a parte radial de la ecuación de ondas en coordenadas esféricas es:

L

0))1((2 222

22 dR

=++++ Rnnrkdrr

drRdr [2.123]

con n>0. Esta ecuación no es una ecuación de Bessel, sin embargo con el cambio

krkrZkrR /)()( = se transforma en la de Bessel de orden n+1/2:

0))2/1(( 2222

22 =+−++ Znrk

drdZr

drZdr . [2.124]

uyas soluciones son las funciones de Bessel Z de 1ª, 2ª y 3ª clase y, todas ellas, de orden c 2/1+n . Por

tanto las soluciones de [1.123] son, con el cambio correspondiente krkrZkrR /)()( = , inm y conla normalización que se muestra a continuación, se definen como fun sféricas

ediatas ciones de Bessel e :

DEFINICIONES

)(2)( 2/1 xJx

xj nn +=π

[2.125]

)(2)1()(2)( 2/11

2/1 xJx

xNx

xn nn

nn −−+

+ −==ππ

[2.126]

)()()(2)( )1(2/1

)1( xinxjxHx

xh nnnn +== +π [2.127]

)()()(2)( )2(2/1

)2( xinxjxHx

xh nnnn −== +π [2.128]

2. SERIES MM_III

G.NAVASCUÉS Ultima revisión 09/10/2008 48

tilizando los desarrollos de J, N y las H se llega: (hay que usar también que

U

)!12(2)!2/1(! 2/112 +=+ −− zzz z π ):

∑∞

= +++−

=0

2

)!122(!)!()1(2)(

s

ss

nnn x

nssnsxxj [2.129]

∑∞

=+

+

−−−−

=0

21

1

)!22(!)!()1(

2)1()(

s

ss

nn

n

n xnssns

xxn [2.130]

s

s

sizn

n zsnssni

zezh

−∞

=

+ ∑ −+

−=0

1)1( )2()!(!)!()1()( [2.131]

[ ]*)1()2( )()( zhzh nn = [2.132]

Caso n=0:

xsenxxj =)(0

xxxn cos)(0 −= ixe

xixh −=)()1(

0 ixexixh −=)()2(

0 [2.133]

IMITE x→0L

miento asintótico de las funciones de Bessel se llega a:

Del comporta

)2

(1~)( πnxsenx

xjn − [2.134]

)2

cos(1~)( πnxx

xnn −− [2.135]

x

eixhnxi

n

)2/()1( ~)(

π−

− [2.136]

x

eixhnxi

n

)2/()2( ~)(

π−−

[2.137]

ELACIONES DE RECURRENCIAR

e las funciones de Bessel se llaga a: (f=j,n o h)

De las relaciones de recurrencia d

)(12)()( 11 xfxnxfxf nnn+

=+ −+ [2.138]

)(')12()()1()( 11 xfnxfnxnf nnn +=+− +− [2.139]

eordenando y por inducción se obtiene:

R

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=

xsenx

dxd

xxxj

nn

n1)()( [2.140]

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−−=

xx

dxd

xxxn

nn

ncos1)()( [2.141]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=

ixe

dxd

xxxh

ixnn

n1)()()1( [2.142]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−=

−

ixe

dxd

xxxh

ixnn

n1)()()2( [2.143]

2. SERIES MM_III

G.NAVASCUÉS Ultima revisión 09/10/2008 49

RÁFICAS G