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群論 Evariste Gallois (仏1811-1832) 21才で決闘で死亡。決闘前夜に記した手紙に「ガロアの法的式論」の中に記述されていた。
点群 C2v (Schoenflies点群)
点群 Arthur M. Schoenflies(独)は、群論を用いて結晶構造を研究した。1891年に230種の空間群の理論を大成させた。この理論で点群記号を用いた。
・分子の立体構造を理解し、分類するために必要な手段 ・分子内の化学結合は軌道の対称性に大きく規制されている 対称性が一致しないと結合形成できない 分子軌道 対称性 --- 定性的な解釈 波動関数(を用いた量子力学計算)--- 定量的な解釈
例 水分子形状を分析して、その対称性分類する(=点群の決定) 方法 1.対称要素を探す C2 軸 σ、σ ’面
Copyright© 2011 by Shogo Shimazu. All rights reserved.
2.錯体の対称性 島津省吾
群論入門
σv
σv'
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C2 E
O
σv σ’v
対称要素 記号
対称操作
恒等操作 直線 固有軸
非固有軸
平面(反射面、鏡面)
点(反転中心、対称心)
E Cn
Sn
σ i
そのままにしておく 軸の回りの回転(2π/nだけ回転)
回転と反射の組合わせ( 2π/n+σh)
σv:主軸を含む対称面(v : vertical) σd:主軸を含み、かつ主軸に直行する軸を二等分する対称面(Dn対称以上に存在, d : dihedral)
σh:主軸に垂直な対称面(h: horizontal) 1点を通じての反転
対称:変換に対して不変であること 対称の操作をすると物体(図形)は、変換後も変化しない
主軸:Cn 軸の内、最もnの大きいCn 軸のこと n=軸の回りにn 回まわすともとに戻る
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対称要素
σh
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i=S2=C2+σh
Sn S4
S42=C21
i
S41=C41+σh
点群 基礎となる対象要素 例 群の位数(要素の数)
C1 E 全く対称要素をE以外に持たない 1
Cs E, σ 2
L1
ML3 L3
L2
L1
ML4 L3
L2
Cn
点群 基礎となる対象要素 例 群の位数(要素の数)
Ci E, i (=S2) 2
L
L
L
MLY
Y
X
XS2
C2で180度回転して、σhで反射すると 重なる Y-L-M-L-Y、X-L-M-L-Xは、 それぞれ平面上に配置している
C1 (不斉炭素)
Cs(σ)
Ci(i, S2)
点群 基礎となる対象要素 例 群の位数(要素の数)
Cn E, Cn1, Cn
2, Cn3, ……………………… Cn
n-1, (Cnn =E) n
X
L
L
MX
Y
Y
L X−YはX-Mと 同一平面上に存在
C2
z軸上にM−Lが存在するので、σhは無い
点群 基礎となる対象要素 例 群の位数(要素の数)
Sn (nは偶数) E, Sn1, Cn/2, Sn
3, ……………………… Snn-1, (Sn
n=E) n
Cnv (nは奇数) E, Cn1, Cn
2, Cn3, …………Cn
n-1, (Cnn =E), nσv 2n
C3
S4
S41=C41+σh S42=C21
�
��
�
C3v
σh
点群 基礎となる対象要素 例 群の位数(要素の数)
Cnv (nは偶数) E, (n-1)Cn, n/2σv, n/2σv’ 2n
Cnh E, (n-1)Cn, σh, (n-1)Sn 2n
C4
L
σv
LL
L
M
σv'
C C
HCl
H Cl
C2
点群 基礎となる対象要素 例 群の位数(要素の数)
Dn E, (n-1)Cn, nC2 2n
Dnd E, (n-1)Cn, nC2, nσd, nS2n 4n
C3 C3
D3
C3 C3
D3d
点群 基礎となる対象要素 例 群の位数(要素の数)
Dnh E, (n-1)Cn, nC2, σh, (n-1)Sn nσd 4n
C∞v E, ∞C∞, ∞σv ∞ C∞
�
��
D3h
C3
点群 基礎となる対象要素 例 群の位数(要素の数)
D∞h E, ∞C∞, ∞S∞, i, σh, ∞σv, ∞C2 ∞
�
�
C∞
点群 基礎となる対象要素 例 群の位数(要素の数)
Td E, 8C3, 3C2, 6S4, 6σv 24
点群 基礎となる対象要素 例 群の位数(要素の数)
Oh E, 8C3, 6C2’, 6C4, 3C2, i, 6S4, 3σh, 6σd 48
点群記号 群の要素(対称操作) 群の位数 (要素の数)
C1
Cs
Ci
Cn
Sn (n:偶数) Cnv (n:奇数)
Cnv (n:偶数) Cnh
Dn
Dnd
Dnh (n:奇数)
Dnh (n:偶数)
Td
Oh
C∞v
D∞h
E E, σ E, i E, (n –1)Cn [注:Cn
n = E ]
E, Sn1 , Cn/2
1, Sn3, Cn/2
2, Sn5, ···, Sn
n-1 E, (n –1)Cn , nσv
E, (n –1)Cn , n/2σv (頂点を含む), n/2σd (辺を2等分する)
E, (n –1)Cn , σh, (n –1)Sn
E, (n –1)Cn, nC2’ E, (n –1)Cn, nC2’, nσd, nS2n
E, (n –1)Cn, nC2’, σh, nσv, (n –1)Sn [注:i は無い] E, (n –1)Cn, nC2’, σh, n/2σv (頂点を含む), n/2σd (辺を2等分する), (n –1)Sn [注:Sn
n/2 = i ] E, 8C3, 3C2, σh, 6σd, 6S4 E, 8C3, 6C2’ (辺を2等分する), 6C4, 3C2(=C4
2) (頂点を含む), i, 3σh, 6σd, 6S4(頂点を通る) , 8S6(面の中心を通る)
E, 2C∞φ, ···, ∞σv
E, 2C∞φ, ···, ∞C2’, σh, ∞σv, 2S∞φ, i
1 2 2 n n 2n 2n 2n 2n 4n 4n 4n 24 48 ∞ ∞
Copyright© 2011 by Shogo Shimazu. All rights reserved.
点群の決定方法