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4.2 Teorema do Valor Médio
Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-‐2010_2.html
Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: a) f é contínua no intervalo [a,b] b) f é diferenciável no intervalo (a,b) c) f(a) = f(b) Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.
Prova: caso 1: f(x) = k constante
Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: a) f é contínua no intervalo [a,b] b) f é diferenciável no intervalo (a,b) c) f(a) = f(b) Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.
f’(x)=0 para qualquer x em (a,b)
caso 2: f(x) > f(a) para algum x em (a,b)
Pelo Teorema de Weierstrass, f atinge um valor���máximo f(xM) em algum xM em [a,b].
Como f(a)=f(b)< f(x) para algum x,���xM deve estar no aberto (a,b).
Como f é diferenciável em (a,b) e xM é ponto de máximo, temos f’(xM)=0,���Dai c=xM.
Prova:
Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: a) f é contínua no intervalo [a,b] b) f é diferenciável no intervalo (a,b) c) f(a) = f(b) Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.
Analogamente, f atinge um valor mínimo f(xm) em algum xm em (a,b), onde teremos f’(xm)=0,���Dai c=xm.
caso 3: f(x) < f(a) para algum x em (a,b)
Exemplo:
Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: a) f é contínua no intervalo [a,b] b) f é diferenciável no intervalo (a,b) c) f(a) = f(b) Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.
Considere uma bola jogada para cima de uma altura inicial de 2m.
Em algum momento, a bola para de subir e desce, até atingir novamente a altura de 2m. Logo, se f é uma função que dá a altura da bola em metros no instante t, o Teorema de Rolle nos garante que em algum momento a velocidade da bola se anula, pois:
f(t0)=f(t1)= 2, onde t0 é o instante de tempo inicial e t1 o instante de tempo final onde a altura mede 2m.
Como a função altura é contínua e diferencial, existe c em (t0, t1) tal que f’(c)=0.
2m
f(c)
Exemplo:
Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: a) f é contínua no intervalo [a,b] b) f é diferenciável no intervalo (a,b) c) f(a) = f(b) Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.
Demonstre que a equação x3 + x - 1 = 0 tem exatamente uma raiz real.
Temos que f(0) = -1 < 0 e f(1) = 1 > 0.
Pelo Teorema do Valor Intermediário, como f é contínua, existe um número c entre 0 e 1 tal que ���f(c) = 0. Logo, f tem pelo menos uma raiz real.
Suponha agora que f tem duas raízes reais. Então ���f(a) = f(b) = 0.
f é derivável e contínua em todo ponto, pois é polinômio. Logo, pelo Teorema de Rolle, existe c entre a e b tal que f’(c) = 0.
Mas isso é um absurdo, pois f’(c) = 3x2 + 1 ≥ 1 para todo x.
f �(c) =f(b)− f(a)
b− aou
Prova:
Equação da reta por A e B:
Considere a funcão h(x) que dá a diferença entre f e a função linear cujo gráfico é a secante que por A e B.
y − f(a) =f(b)− f(a)
b− a(x− a),
mAB =f(b)− f(a)
b− a
y = f(a) +f(b)− f(a)
b− a(x− a),
f �(c) =f(b)− f(a)
b− aou
Prova:
y = f(a) +f(b)− f(a)
b− a(x− a),
1. h é contínua em [a,b]
2. h é derivável em (a,b)
3. h(a) = 0 = h(b)
Pelo Teorema de Rolle, existe c em (a,b) tal que h’(c) = 0
0 = h�(c) = f �(c)− f(b)− f(a)
b− a� f �(c) =
f(b)− f(a)
b− a
h�(x) = f �(x)− f(b)− f(a)
b− a.Mas
Exemplo: Se um objeto se move em linha reta com função posição s = f(t), então a velocidade média entre t = a e t = b é
Pelo Teorema do Valor Médio, em algum instante t = c entre a e b, temos
vm =f(b)− f(a)
b− a
Mas f’(c) é a velocidade instantânea do objeto quando t = c.
Logo, o Teorema do Valor Médio nos diz que em algum momento entre a e b a velocidade instantânea é igual a velocidade média.
f �(c) =f(b)− f(a)
b− a= vm
Por exemplo, se um carro percorre 180 km em duas horas, sua velocidade média é de 90 km/h. Logo, em algum instante nessas duas horas, o velocímetro marcou 90 km/h.
Exemplo: Suponha que f(0) = -3 e f’(x) ≤ 5 para todos os valores de x. Quão grande f(2) pode ser, supondo que f é contínua e derivável em toda parte?
Aplicando o Teorema do Valor Médio ao intervalo (0,2), temos:
f �(c) =f(2)− f(0)
2− 0=
f(2) + 3
2
Mas f’(c) ≤ 5, logo:
f(2) + 3
2≤ 5
f(2) + 3 ≤ 10
f(2) ≤ 7
Exemplo: Suponha que f(0) = -3 e f’(x) ≤ 5 para todos os valores de x. Quão grande f(2) pode ser, supondo que f é contínua e derivável em toda parte?
Aplicando o Teorema do Valor Médio ao intervalo (0,2), temos:
f �(c) =f(2)− f(0)
2− 0=
f(2) + 3
2
Mas f’(c) ≤ 5, logo:
f(2) + 3
2≤ 5
f(2) + 3 ≤ 10
f(2) ≤ 7
f’(c) = 0 = f(b) – f(a)
f(b) = f(a)
Podemos, analogamente, tomar b < a e chegar a mesma conclusão de que f(b) = f(a).
Logo, f(x) = f(a) para todo x, e f é constante.
Corolário: Se f’(x) = g’(x) para todo x em um intervalo aberto (a,b) então f – g é constante em (a, b), isto é, f(x) = g(x) + c, onde c é uma constante.
Seja F(x) = f(x) – g(x).
F’(x) = f’(x) – g'(x)
Como f’(x) = g’(x) em (a,b) , F’(x) = 0
Pelo corolário anterior, F é constante em (a,b).
Demonstração:
Exemplo: Demonstre que arctg(x) + arccotg(x) = π/2.
Seja F(x) = arctg(x) + arccotg(x).
F �(x) =1
1 + x2− 1
1 + x2= 0
Pelo corolário, F é constante. Resta mostrar que essa constante vale π/2.
Basta tomar um valor qualquer de x, por exemplo, x=1:
F(1) = arctg(1) + arccotg(1) = π/4 + π/4 = π/2.
Logo, arctg(x) + arccotg(x) = F(x) = F(1) = π/2.
Exercício: Mostre que se x > 0.
Vamos tentar usar o Teorema do Valor Médio…
√1 + x < 1 +
1
2x
Tome f(x) =√1 + x
f �(x) =1
2√1 + x
Se x > 0, f �(x) <1
2
Pelo Teorema do Valor Médio, como f é contínua e derivável quando x > 0, podemos tomar qualquer intervalo positivo (a, b), de modo que existe c em (a, b) tal que
f �(c) =f(b)− f(a)
b− a<
1
2√1 + b−
√1 + a
b− a<
1
2
Exercício: Mostre que se x > 0.
Vamos tentar usar o Teorema do Valor Médio…
√1 + x < 1 +
1
2x
Tome f(x) =√1 + x
f �(x) =1
2√1 + x
Se x > 0, f �(x) <1
2
Pelo Teorema do Valor Médio, como f é contínua e derivável quando x > 0, podemos tomar qualquer intervalo positivo (a, b), de modo que existe c em (a, b) tal que
f �(c) =f(b)− f(a)
b− a<
1
2√1 + b−
√1 + a
b− a<
1
2
√1 + b−
√1 + a <
1
2(b− a)
Para chegar próximo da expressão desejada, façamos b = x:
√1 + x−
√1 + a <
1
2x− 1
2a
√1 + x <
√1 + a+
1
2x− 1
2a
Finalmente, faça a = 0: √1 + x < 1 +
1
2x
Exercício: Encontre o número c que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio na função
f(x) = e−2x, [0,3]
f �(x) = e−2x · d
dx[−2x] = −2 · e−2xSolução:
f(0) = e−2·0 = e0 = 1
f(3) = e−2·3 = e−6
=e−6 − 1
3− 0
f �(c) = −2 · e−2c
−2 · e−2c = f �(c) =f(b)− f(a)
b− a
log�e−2c
�= log
�1− e−6
6
�
c = −1
2log
�1
6(1− e−6)
�