DINÁMICA DE DINÁMICA DE ESTRUCTURASESTRUCTURAS

Cap.II: Vibración Libre para Cap.II: Vibración Libre para sistemas de 1 grado de libertad. sistemas de 1 grado de libertad.

2.1 Vibración libre no amortiguada2.1 Vibración libre no amortiguada� Ocurre cuando la estructura es perturbada de su posición Ocurre cuando la estructura es perturbada de su posición

estática de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitación de estática de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitación de alguna fuerza externa.alguna fuerza externa.

Desplazamiento inicial en t=0

Velocidad inicial en t=0

Ecuación del movimiento en vibración libre no amortiguada

2.1 Vibración libre no amortiguada2.1 Vibración libre no amortiguada

La solución de esta ecuación diferencial homogénea es:

Donde: Frecuencia circular natural de vibración

2.1 Vibración libre no amortiguada2.1 Vibración libre no amortiguadaGráficamente la solución u(t) corresponde a un movimiento armónico simple, de amplitud máxima constante

2.1 Vibración libre no amortiguada2.1 Vibración libre no amortiguadaDel grafico surgen algunas definiciones importantes

Periodo natural de vibración:

Es el tiempo (se mide en [s]) requerido por una estructura sin amortiguamiento de completar un ciclo en vibración libre

Frecuencia natural de vibración:

Es el inverso del periodo natural. Se mide en Hertz [Hz] (ciclos por segundo):

Estas propiedades de vibración natural solo dependen de la masa y la rigidez lateral del sistema

2.1 Vibración libre no amortiguada2.1 Vibración libre no amortiguadaAlgunos ejemplos de valores medidos experimentalmente de periodos naturales de vibración (Tn)

2.1 Vibración libre no amortiguada2.1 Vibración libre no amortiguadaAlgunos ejemplos de valores medidos experimentalmente de periodos naturales de vibración (Tn)

2.1 Vibración libre no amortiguada2.1 Vibración libre no amortiguadaAlgunos ejemplos de valores medidos experimentalmente de periodos naturales de vibración (Tn)

2.1 Vibración libre no amortiguada2.1 Vibración libre no amortiguadaLa amplitud del movimiento u0 esta dada por:

2.2 Vibración libre amortiguada2.2 Vibración libre amortiguada

Razón de amortiguamiento

2.2 Vibración libre amortiguada2.2 Vibración libre amortiguada

� Si Si ξξ=1 ó =1 ó c=cc=ccrcr

� Sistema críticamente amortiguado: Sistema críticamente amortiguado: El sistema retorna a su El sistema retorna a su posición de equilibrio sin oscilarposición de equilibrio sin oscilar..

� Si Si ξ>1 ξ>1 ó c>có c>ccrcr

� Sistema sobreamortiguado: Sistema sobreamortiguado: El sistema no oscila pero vuelve El sistema no oscila pero vuelve a su posición de equilibrio lentamentea su posición de equilibrio lentamente

� Si Si ξ<1 ξ<1 ó c<có c<ccrcr

� Sistema subamortiguado: Sistema subamortiguado: El sistema oscila alrededor de su El sistema oscila alrededor de su posición de equilibrio con una amplitud que decrece posición de equilibrio con una amplitud que decrece progresivamenteprogresivamente

2.2 Vibración libre amortiguada2.2 Vibración libre amortiguada

Las estructuras utilizadas en las obras civiles tienen razones de amortiguamiento menores a 1, por lo tanto el único caso relevante de analizar es el sub-amortiguado.

2.2 Vibración libre amortiguada2.2 Vibración libre amortiguada

NORMA NCh 2369 of 2002

2.2 Vibración libre amortiguada2.2 Vibración libre amortiguadaLa solución de esta ecuación diferencial homogénea para sistemas subamortiguados es:

2.2 Vibración libre amortiguada2.2 Vibración libre amortiguadaGráficamente al comparar la solución de un sistema sin y con amortiguamiento, se tiene:

2.2 Vibración libre amortiguada2.2 Vibración libre amortiguada

2.2 Vibración libre amortiguada2.2 Vibración libre amortiguadaDe la figura anterior se De la figura anterior se desprende que los desprende que los efectos del efectos del amortiguamiento en la amortiguamiento en la respuesta en vibración respuesta en vibración libre amortiguada son:libre amortiguada son:

- Se disminuye en forma exponencial la magnitud máxima del desplazamiento.

- Se aumenta el período natural de la estructura de Tn a TD. Este efecto es despreciable para razones de amortiguamiento menores a 0.2

2.2 Vibración libre amortiguada2.2 Vibración libre amortiguada

En esta figura se muestra el efecto en el desplazamiento En esta figura se muestra el efecto en el desplazamiento lateral de una misma estructura pero con distintas razones de lateral de una misma estructura pero con distintas razones de amortiguamiento.amortiguamiento.

2.2 Vibración libre amortiguada2.2 Vibración libre amortiguada

� Determinación de parámetros dinámicos a Determinación de parámetros dinámicos a través de test de vibración libre:través de test de vibración libre:

� La razón de amortiguamiento no se puede determinar de La razón de amortiguamiento no se puede determinar de manera analítica, por lo tanto, es necesario encontrarla manera analítica, por lo tanto, es necesario encontrarla de manera experimental. Para esto se necesita medir el de manera experimental. Para esto se necesita medir el desplazamiento máximo en vibración libre en dos peaks desplazamiento máximo en vibración libre en dos peaks (Prueba Pull-Back).(Prueba Pull-Back).

� Este mismo ensayo nos permite determinar el período Este mismo ensayo nos permite determinar el período natural amortiguado de la estructura, midiendo el tiempo natural amortiguado de la estructura, midiendo el tiempo para el cual se alcanzan 2 peaks consecutivos.para el cual se alcanzan 2 peaks consecutivos.

2.2 Vibración libre amortiguada2.2 Vibración libre amortiguada

� Determinación de parámetros dinámicos a Determinación de parámetros dinámicos a través de test de vibración libre:través de test de vibración libre:

j : numero de ciclos que ocurren entre los peaks de desplazamiento a estudiar

2.2 Vibración libre amortiguada2.2 Vibración libre amortiguada� Ejercicio # 2.1: Ejercicio # 2.1: Para la misma estructura metálica del Para la misma estructura metálica del

ejercicio 1, se pide:ejercicio 1, se pide:•Comparar gráficamente los desplazamientos laterales en vibración libre sin amortiguamiento en la dirección N-S y E-O. Grafique hasta un tiempo de 15 [s]

•Si la estructura tuviera una razón de amortiguamiento de 0.02, comparar gráficamente los desplazamientos laterales con y sin amortiguamiento en la dirección E-O. Grafique hasta t=15[s]

•Para el caso anterior con amortiguamiento, determinar el desplazamiento, velocidad y aceleración para un tiempo de t=15 [s]

Asuma las siguientes condiciones iniciales u(0)=10[cm], u’(0)=5 [cm/s]

2.2 Vibración libre amortiguada2.2 Vibración libre amortiguada� Ejercicio # 2.2: Ejercicio # 2.2: Una estructura es sometida a una prueba de Una estructura es sometida a una prueba de

vibración libre y la variación de su desplazamiento lateral en el tiempo vibración libre y la variación de su desplazamiento lateral en el tiempo es registrado gráficamente en la figura inferior. Se pide:es registrado gráficamente en la figura inferior. Se pide:– Determinar la razón de amortiguamiento de la estructura.Determinar la razón de amortiguamiento de la estructura.– Determinar el periodo de vibración natural de la estructura.Determinar el periodo de vibración natural de la estructura.– Si para lograr el desplazamiento inicial se tuvo que aplicar una fuerza de Si para lograr el desplazamiento inicial se tuvo que aplicar una fuerza de

25[T], determinar el peso aproximado de la estructura25[T], determinar el peso aproximado de la estructura