ZdravkoKurnik,Zagreb

i"" "

1. Uvod

U postavkama i ciljevima HNOS-a mozemokao priori tete unapreoenja odgojno-obrazovnogprocesa i poucavanja procitati i sljedeee sin-tagme: samostalan rad uccnika, stvaralackirad, uvodcnje ucenika u istrazivacku na-stavu, razvijanje sposobnosti za rjcsavanjeproblema, suvremene nastavne metode i dr.Ocito su osnovne smjemice za osuvremenjiva-nje nastave pobuoivanje i pokretanje misljenjaucenika i nastojanje da dobar dio novih znanjastjeeu vlastitim snagarna i sposobnostima.

Velik dio postavki i ciljeva suvremene nasta-ve matematike moze se ostvariti primjerenimizborom nastavnih oblika i nastavnih metoda.

Jedna od osobina kreativnog nastavnika mate-matike jest upravo ovladavanje tim umijeeem.Zato je potrebno preispitati uporabu svih ob-lika rada i nastavnih metoda i zadrZati samo

one koji ne sputavaju ucenike. Potrebna je icesea izmjena oblika rada i nastavnih metoda.

".IIMatematika u nastajanju je konkretna i in-duktivna wanost,a sam a matematika je ap-straktna i deduktivna wanost. Ta cinjenicagovori sve 0 tome koliko su i za nastavu ma-tematike vazne neke wanstvene metode istra-

zivanja. Kreativan nastavnik, birajuCi pogod-ne probleme i primjenjujuCi te metode, mozeurenike osposobiti za rad koji je vrIo blizakistrazivackom radu. Ucenike treba postup-no i primjereno nauciti analizirati, sintctizi-rati, konkretizirati, apstrahirati, inducira-ti, deducirati, gencralizirati, spccijalizirati

i uocavati analogije, bel. obzira hoee li seoni kasnije ozbiljnije baviti matematikom iline. Matematicki nacin misljenja dragocjenaje stecevina matematickog obrazovanja, pri-mjenjiva i u mnogim drugim djelalllostirna.

Koji su naslavni sustavi Ilajpogodlliji za oslva-rellJe nabrojenih ciljevary Za nastavu mate-matike, a posebno za razvijanje sposobnostiucellika za rjeSavanje problema, prirodllo seizdvajaju dva sustava: problcmska nastava iheuristicka nastava

2.Kratko 0 problemskoj nastavi

Osnovu za primjenu problemske nastave dajutri vazna pojma: problem, problemska situ-acija i nacelo problemnosti. Ti su pojmoviopisani u [2].

Problemska nastava je suvremen, visi nastavnisustav. Ta Cinjenica odmah upozorava da je iucenicima i naslavnicima matematike tezi od

drugih nastavnih sustava.

Ucenicima je tdak zato sto samostalno rjesa-vanje problema nije ni jednostavllo, ni lako.To se najbolje vidi na matematickim natjeca-njima gdje se cesto ni nasi najbolji ucenicidobro ne sllalaze u rjesavanju nestandardnih iproblemskih zadataka.

Prva je bitna pretpostavka za uspjesnu prim-jenu problemske nastave da su ucenici prim-jereno osposobljeni za umni rad (pravilan iz-bar izvora za proucavanje i izdvajanje potreb-nih teorijskih Cinjenica, misaono preradivanje,

Motemotiko i skala

I.,--"

postavljanje i provjeravanje hipoteza, jezicnooblikovanje i zapis rezultata rada i dr.). Spo-sobnost umnog rada razvija se postupno. Naj-povoljniji se razvoj postize upravo u proble-mskoj mistavi. Zato tu nastavu treba nastojatiprimjenjivati na svim razinama matematickogobrazovanja, uvazavajuCi pritom dob, psihic-ki razvoj i stvame matematicke sposobnosliucenika.

lako se poucavanje nastavnika matematike uprob1emskoj nastavi znalno smanjuje, ovaj na-stavni sustav relativno je tdak i za nastavnika.Uloga nastavnika u njemu sastoji se u savjeto-vanju i pomaganju ucenika pri izboru izvora,ukazivanju na potrebne teorijske cinjenice izavrsnoj raspravi 0 rezultatima samostalnograda ucenika. Tu se mogu pojavili i poslavkeucenika koje nastavnik nije predvidio. Na ta-kvu situaciju on mora biti pripravan. Stovise,on mora biti sposoban stvarati takve situacije.Zato je druga bitna pretpostavka za primje-nu problemske nastave dobra osposobljcnostnastavnika matematike.

Svi matematicki sadrZaji nose u sebi stano-vitu problemnost. Zato je pri obradi svakogmatematickog sadrZaja moguee najprije stvo-riti prikladnu problemsku situaciju i ucenikestaviti pred neki problem. Hoee Ii se kasni-je problem u potpunosti obradivati primjenomproblemske nastave, ili ee se rad kombinirati sdrugim oblicima i nastavnim metodama ovisi0 tdini matematickog sadrZaja, uzrastu i pred-znanju ucenika i umjesnosti nastavnika. Veesarno postavljanje problemske situacije dobarje pocetak.

Ako se vee problemska nastava ne moze, zbogsvoje slozenosti i tdine, plimjenjivati pri ob-radi dobrog dijela nastavnih sadrZaja, pozeljnoje da nastavnik matematike ucenicima, ili barnaprednijim ucenicima, cesee postavlja pro-blemske zadatke i njeguje stvaranje razlicitihproblemskih situacija.

Prob1emska nastava ima nil. dobrih strana.

Izdvajamo one najbolje: veea motiviranostucenika, primjerena moguenost suradnje, is-trazivacki pristup rjesavanju problema, razvojkritickog misljenja, bolje shvaeanje biti i za-

Mis godinaVII.,br.34, 2006.

konitosti, pov~eanje kolicine znanja, stecenaznanja su trajnija, veea primjenjivost stecenihznanJa.

Problemska nastava je zahtjevan nastavni sus-tav. Zbog slozenosti i tdine za njezinu primje-nu treba vise vremena. Zato je razumljivo dase problemska nastava ne moze primjenjivatina svakom nastavnom satu, vee je u tu svrhupotrebno naCiniti uzi i primjereniji izbor ma-tematickih sadrZaja, a za obradu tih sadrZaja ivrsnu pnpremu. '.'

Rjesavanje problemskih zadataka dobar je na-

cin postupnog uvoctenja problemske nastave unastavu rnatematike.

3.Heuristicka nastava

Kad god se prob1emska nastava ne moze pri-mijeniti, bilo zbog njezine tdine ili zbog na-ravi matematickog sadrZaja koji se treba obra-diti, taj nastavni sustav treba zamijeniti s na-stavnim sustavom cija je djelotvornost llestoslabija, ali jos uvijek dovoljno dobra za ostva-renje veCine ciljeva suvremene nastave mate-matike. Takav sustav je heuristicka nastava.Ovdje jesu aktivnost i samostalnost ucenikasmanjene. Medutim, sposobnost umnog radaucenika i dalje se razvija putem nastavnikovogrnisaonog vodenja.

Heuristika je mlada znanstvena grana. Nazivpotjeee od Arhimedovog uzvika HEUREKA'(pronasao sam, otkrio sam), kada je ovaj velikiGrk otkrio zakon 0 uzgonu tijela u tekueini.

Heuristicka nastava je iznikla iz potrebe dase uvodenjemsamostalnograda ucenika pre-vlada predavacka nastava i poboljsa nastavniproces. Njezin pocetak nalazimo u prvorn de-setljeeu 20. stoljeea. Ona se tijekom vremenarazvijala i usavrsavala. Razvojni put najboljeopisuju smjernice za njezinu primjenu iz prvepolovine toga stoljeea:

. Zadrzati prividnost igre. UvaZavati slobo-

du ucenika. PodrZavati privid njegovogavlastitog otkrivanja matematicke istine.

~

III

I.I,I;

i,I'

lzbjegavati zamome vjdbe pamcenj~ u po-eetnom obrazovanju ucenika, jer to potis-kuje njegove urodene osobine. PoucavatioslanjajuCi se na interes prema matematic-kom sadriaju koji se proucava.. Ne izlagati odredeni dio matematike u pot-puno gotovom obliku. Takvim se postu-panjem dolazi u raskorak s osnovnim na-eelima nastave. Razvijati umni rad, a nezahtijevati ucenje napamet. Pridrzavati senaeela primjerenih teSkoca.. Razvijanje stvaralackih sposobnosti uceni-

ka gla,vnije zadatak nastave matematike.. Heuristicka metoda je takva nastavna me-toda u kojoj nastavnik ne priopCuje uce-nicima gotove Cinjenice i istine, nego ihnavodi na samostalno otkrivanje odgova-rajuCih tvrdnji i pravila.. Heuristicka metoda sastoji se u tome danastavnik pred razred postavlja problem,a onda pomoeu odgovarajuCih prikJadnihpitanja vodi ucenike do rjesenja.

** *

"i' Uloga heurisiickog procesa u nastavi matema-

tike iscrpno je osvijetljena u knjigama americ-kog matematicara i metodicara Georga Polye.U knjizi Kako rijesiri maremaric'Ki zadntak(1945.) Polya pokusava okarakterizirati he-uristiku kao posebnu granu spoznavanja. Ciljje heuristike istraZiti pravila i met ode koje vo-de do pronalaska i otkrica.

Mnoge gore navedene smjemice i promislja-nja ostali su svjdi i prepoznatljivi sve do da-nas.

4. Karakteristike heuristickenastave

HeuristiCka nastava kao i svaki drugi nastavni

sustav ima svoje dobre i slabe strane. Pozitiv-

na je Cinjenica da dobre strane prevladavajui heuristicku nastavu svrstavaju medu vise isuvremene nastavne sustave.

""Ii

Dobre strane:

1) Osnovu za stjecanje znanja i sposobnos-ti predstavljaju samostalni rad i aktivnostucenika. Pritom je vazno nastavnikovopoucavanje 0 matematickom sadriaju inacinu rada kao svojevrsna pomoc uce-nicima.

2) Poznato je da obrazovno znacenje imajusarno oni matematicki sadrzaji koje uce-nici potpuno razumiju. Ono sto ucenicine razumiju brzo se zaboravlja i potpu-ni je obrazovni promasaj. Zato je bitnaodrednica heuristicke nastave da nastav-

nici svojim poucavanjem ucenike misao-no vode i dovode ih do razumijevanja ishvacanja matematickog sadrzaja.

3) Heuristicka nastava pretpostavlja nepos-redno komuniciranje nastavnika i uceni-ka. Nastavnik svojim pitanjima upucu-je ucenike da u izvorima nalaze cinjenicena osnovu kojih nastavnikovim misaonimvodenjem dolaze do shvacanja poopce-nja. Slobodan razgovor i rasprava omo-gucavaju ucenicima postavljanje pitanja ito posebno kad im nedostaje neka spoz-najna informacija.

4) lako heuristicka nastava, za razliku odproblemske nastave, ne dovodi jos uce-nike do potpuno samostalnog rada u ot-krivanju matematickih istina, vec do to-ga spoznavanja ucenike vodi nastavnik natemelju svoga heuristickog modela, uce-nici su ipak misaono aktivni i u odredenojmjeri subjekti nastave. Heuristicka nas-tava mora dovesti ucenike do shvacanja.

Slabe strane:

1) Nemogucnost misaonog vodenja bas svihucenika zbog pomanjkanja vremena i ra-zliCitih brzina shvacanja.

2) Nemogucnost neposredne komunikacijesa svim ucenicima.

3) Komunikacija s povucenim ucenicima jeotdana i cesto izostaju njihova pitanja.

4) Nepotpuna povratna informacija 0 prou-cenom matematickom sadrzaju.

Motemotiko i skala

l'l

.r."~

- 5.Primjeri

Heuristicka nastava, za razliku od probJemskenastave, moze se u potpunosti ili djeJomicnoprimijeniti na svakom nastavnom satu mate-matike. Sve ovisi 0 nastavniku i umjesnostinjegovog vodenja.

Za ilustraciju primjene heuristicke nastaveizabrali smo nekoliko matematickih sadria-ja koje je lako raSCIaniti na korake i gdje onadolazi do punog izrazaja.

0 Djeljivost prirodnih brojeva s 9. Tema jepogodna za primjenu heuristicke nastave jerje prije toga obradena tema DjeIjivost pri-rodnih bojeva s 3, paje postupak istrazivanjapoznat i lako se uspostavlja probJemska situa-cija. Nastavnik u uvodnom dijelu kroz razgo-vor podsjeca ucenike na taj postupak. Slijedekoraci.

1) Promatranje visekratnika broja 9 manjih od200 i zbrojeva njihovih znamenaka. Visek-ratnici su brojevi 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63,72,81,90,99,108,117,126,135,144,153,162, 171, 180, 189, 198, a zbrojevi njihovihznamenaka su 9 ili 18. Ucenici uocavaju dasu zbrojevi znamenaka visekratnici broja 9, tj.brojevi djeljivi s 9!

Prva tvrdn j a:

Aka je priradni braj djeljiv s 9, ondaje i zbrajnjegavih znamenaka djeljiv s 9.

2) Promatranje prirodnih brojeva2 007,18999,456237, 987654321 ciji su zbrojevi zname-naka 9, 36, 27, 45 visekratnici broja 9. Pro-vjera dijeljenjem pokazuje da su i promatranibrojevi djeJjivi s 9.

Druga tvrdnja:Aka je zbraj znamenaka prirodnag braja dje-ljiv s 9, anda je i taj prirodni braj djeljiv s9.

Ova obratna tvrdnja omogucuje brie ispitiva-nje djeljivosti prirodnih brojeva s 9, nego stose to moze postiCi dijeljenjem. To je osobitovazno kod velikih brojeva. Mectutim, u timslucajevima moze se primijeniti dzepno racu-naJo!

Mis godina VII., br. 34, 2006.

0 Zbroj kutova u mnogokutu. Obrada ovenastavne jedinice u sedmom razredu osnovneskole temelji se na nizujednostavnih induktiv-nih zakljucivanja. Zato nastavnik matematikemoze na prirodan nacin rasclaniti nastavnu je-dinicu na korake i osmisliti heuristicki pristllpnjezine obrade. Otkrivanje krece od ranijespoznatih cinjenica.

1) Predznanje llcenika. Nastavnik podsjeeaucenike na njihovo znanje 0 trokutu i cetvero-kutu. '.,

Prva od tih cinjenica je izreka 0 zbroju svihunutarnjih kutova trokuta. Za taj zbroj K3 vri-jedi jednakost K3 = a + {3+ Y= 180°.

Druga cinjenica je izreka da je zbroj K4 svihunutarnjih kutova cetverokuta jednak 360°,K4 = a + (3 + Y + 0 = 360° = 2 . 180°.

Druga cinjenica se dobila povJacenjem jednedijagonale cetverokuta.

2) Nastavak induktivnog postupka: peterokut.Nastavnik usmjeruje misljenje ucenika na slje-deCi mnogokut i upucuje ih na povlacenje nje-govih dijagonala iz jednog vrha.

Sljedeci mnogokutje peterokutABCDE s unu-tarnjim kutovima a, {3,Y, 0 i E. Njegove di-jagonale AC i AD iz vrha A dijele kut a na tridijela aI, az i a3, kut Yna dva dijela YIi yz, kut0 na dva dijela 01 i oz, a peterokut ABCDE natri trokuta ABC, ACD i ADE. Zbrojevi unutar-njih kutova u tim trokutima jednaki su redomal + {3+ Yl = 180°,az + yz+ 01= 180°,a3 + Oz+ E = 180°. Zbrajanjemovihjedna-kosti dobivase (al + az + (3) + {3+ (YI+yz) + (01 + 8z) + E = 180° + 180° + 180°,a + {3+ y + 0 + E = 540°, pa je Ks -

a + {3+ y + (5 + E = 540° = 3 . 180°.

E D

A

c

~5'

3) Analogija: sesterokut, sedmerokut itd. Sa-da se vodi razgovor 0 sljedetim mnogokutimai otkriva odredena zakonitost medu dobivenim

jednakostima. Sesterokut se s tri dijagonale izjednog vrha podijeli na cetiri trokuta, pa jeK6 = 4.1800, za sedmerokut je K7 = S. 1800itd.

4) Generalizacija. Razmatrani niz induktivnihzakljuCivanja vodi misljenje ucenika na iska-zivanje sljedece opee izreke, generalizacije:

Zhroj Kn svih unulamjih kUlol'a II1nogokula S" n siranica danjefomwlolll,,' , ,

Kn=(n-2).180°.

Dokaz ove izreke zasniva se na cinjenici da sciz jednog vrha n-terokuta mogu povuci II - 3dijagonalc koje taj lik dijelc na n - 2 trokuta.

0 Pitagorin poucak. Tradicionalna obradaove teme ima jedan izraziti metodick.i nedos-tatak: poeinje najcesce tako da se odmah napoeetku iskaie svojstvo duljina a, b i c stra-nica pravokutnog trokuta u obliku Pitagorinapoucka c! = aZ + bZ. Nerijetko manjka i do-kaz, vet, se brzo prelazi na primjenu pouckana razne geometrijske likove. To nije pogres-no, i na taj nacin ucenici ce usvojiti poucak,postat ce njihovo trajno znanje, pogotovo stoCe ih Pitagorin poucak "pratiti" tijekom dalJ-njeg skolovanja. Medutim, u ovakvoj obradizapostavljen je postupak otkrivanja.

Za heuristicko otkrice Pitagorina teorema do-voljna su sarno dva koraka. Nakon kratkognastavnikovog uvodenja u probJemsku situa-ciju, svak.i korak omogucuje samostalni raducenika. Mozemo jos dodati da su oba koraka

/'" vrlo pogodna ,za pnmjenu jos jedne korisnemetode u nastavi matematike u osnovnoj skoli- metode demonstracije. Evo tih koraka:

1) Izracunavanje povrsina kvadrata u kvadrat-

noj ffifez.i. Vrhovi nekog kvadrata postavljajuse u cvonsta kvadratne ffifez.e, kvadrat se dijeli

na trokute i manje kvadrate kojima se, prebro-javanjem jedinicnih kvadratica, povrsine lakoizracunavaju.

111111111111111111IIIllIllllEUllnl11IIIIIIIlmDJIIIII-glm~~~mI~iliJJ~~_m~m1!9~mt.ti,J ~ m~~m!J

Tablica kvadrata

Nakon popunjavanja tab lice lako se uocava ve-

za medu kvadratima i iskazuje Pitagorin pou-cak:

Zbroj kvadrala duljina kalela a i b svakog pra-

vokulnog lrokula jednak je kvadralu duljinehipolelluze c, Ij.

cZ = aZ + bZ.B,;Ci,D i, ..

1:20;.'"0 Vieteovc formulc. Nastavnik najprije upo-znaje ucenike s teorijsk.im cinjenicama pot-rebnim za obradu ovog pitanja. Podsjeca ihna formule za rjeSenja Xl i X2 kvadratne jed-nadzbeax2 + bx + c = 0:

-b + vbZ - 4acXl =

2a

Tablica povrsina

2) Proucavanjc razlicitih Pitagorinih figura ukvadratnoj mrdi i sastavljanje tablice s vrijcd-nostima aZ, bZ, cZ. Kratak pnkaz ovog korakavidite na donjcm crtdu.

lS1A Xz =

E

-b - vbZ - 4ac

2a

Svaka formula izraz.ava vew jednog od rjese-nja kvadratne jednadzbe pomocu svih njezinihkoeficijcnata a, b i c. No, postoje i veze obarjesenja Xl i Xzs nekim od koeficijenata a, b ic. Nastavnik uspostavlja problemsku situacijuupucujuCi ucenike da sami otkriju takve vezeza zbroj xl + Xz i umnozak XIX2 rjesenja kva-dratne jednadzbe. Sada su uccnicima koracirada sasvim jasni.+

I1) Izvod prve formule. Od uccnika se mozeocekivati sljedeCi samostalni rad:

-b + Vb2 - 4ac2a

-b - Vb2 - 4ac2a

G"

Xl + Xz =

+

f -2b b- -- --- -2a a

Motemotiko i skala Mis godina VII..br.34. 2006.

2Hzvod druge formule. Do rewltata se mo-ze doCi neposrednim mnozenjem rjesenja, alinastavnik moze ucenicima pomoci i ukazatiim na mogucnost pojednostavljenja mnozenjapnmjenom razlike kvadrata. U tom slucaju oducenika se moze ocekivati sljedeCi samostalnirad:

X,X2 = -b+~2a

(-w - (Vb2 - 4ac)24a2

b2 - (b2 - 4ac)4a2

'"

-b-~

2a!~

4ac c

= 4a2 = ;:;.

3) Vieteov poucak. Nakon kratkog razgovoranastavnika s ucenicima ucenici daju sljcdecuforrnulaciju:

Ako su Xl i Xi rjefenja kvadralnc jcdnadibcaxZ + bx + c = 0, onda vrijede jcdnakosli

b cXl+XZ=--, XlXZ=-.

a a

.,

..

* * *

Na kraju, sarno jedna preporuka: pruzitc uce-nicima mogucnost da samostalno rade i otkri-vaju matematicke istine da biste sto cesce odnjih culi uzvik zadovoljstva: HEUREKAI

Literatura

[1]' V. Kadum, Ucenje rjesavanjem problcmskih zada.taka u nasfavi malemaljke, "IGSA", Pula, 2005.

[2] Z. Kurnik, Nacelo problemnoslj, Matcmatika i skola14 (2002),148.152.

[3] Z. Kumik, Problemska nas(ava, Matematika i skolaIS (2002), 196-202.

[4] G. Polya, Kako cu rije!ijtj malcmalickj zadatak(prijevod s cngleskog), Skolska knjiga, Zagreb,1956.

[5] G. Polya, MatematjcK.o olkrice (prijcvod s cnglcs-kog), HMD, Zagreb, 2003.

f