El mgico nmero del crculo

Carlos Prieto de Castro

Comencemos haciendo algunas preguntas:

1. Inventamos un contador de vueltas para la rueda delantera de la bicicleta, de modo que para un paseo que hicimos contamos 2,457 vueltas. Cuntos kilmetros recorrimos si la bicicleta es de rodada 20?

2. Supn que das un paseo en bicicleta de tu casa al parque. Ya tu pap te ha dicho que la distancia es de 1.5km, es decir, de

1,500m. T deseas saber cuntas vueltas dio cada rueda de tu bicicleta. Si la rueda mide 60cm de dimetro, cmo calculamos el nmero de vueltas?

3. La compaa del pap de Toms se dedica a pintar tanques de petrleo. Firman un contrato para pintar un tanque de almacenamiento cilndrico de 12m de dimetro y 15m de altura. Si la pintura que utilizan cubre 4.5m2 por litro, cuntos litros de

pintura necesitan utilizar?

4. En una visita de los Gutirrez a los Ramrez, se sientan muy cmodamente a comer las cinco personas en una mesa redonda. El platillo que se sirve es un fondue de queso, que se coloca en el centro de la mesa. Se dan cuenta de que sta facilita el acceso al platillo y propicia ms la cercana para platicar. Deciden los Gutirrez comprarse tambin una mesa redonda. Miden el permetro de la mesa de los Ramrez, que es de 3.50m, de modo que 70cm es el espacio ideal para una persona. Como ellos quisieran poder sentar cmodamente a ocho personas, necesitan un permetro de 870cm = 560cm = 5.60m. Pero resulta que en el catlogo de la tienda donde quieren ordenar la mesa dan el dimetro, mas no el permetro de la mesa. De qu dimetro deben comprar su mesa?

Para responder a las preguntas anteriores necesitamos precisamente el nmero mgico del crculo. Ese nmero mgico, llamado pi, que es el nombre de la letra griega (que equivale a nuestra p en el abecedario), es el que nos va a permitir contestar las preguntas planteadas.

1

Veamos a qu se refiere este nmero . Tomemos una rueda, hagmosle una pequea marca y rodmosla hasta que d una vuelta completa, lo cual sabremos cuando la marca regrese a la posicin de salida. Al hacer esto, la rueda se habr desplazado sobre el suelo una cierta distancia, esta distancia es precisamente ese mgico nmero multiplicado por el

dimetro de la rueda, es decir, si la rueda tiene un

dimetro de un metro, entonces el recorrido fue de metros. Si el dimetro fuera de 30cm, entonces el recorrido sera de multiplicado por 30cm. Por lo tanto, para poder responder a nuestras preguntas iniciales, debemos conocer el valor de . Antes de comenzar, hagamos un experimento. Busquemos objetos redondos, midamos su dimetro y midamos su permetro. Con los resultados, elaboremos una tabla. En la tabla

vemos que ese nmero mgico que andamos buscando es ms o menos tres, puesto que 3111 = 333, 324 = 72, 312 = 36, 603 = 180. Ms precisamente, si dividimos cada permetro entre el dimetro correspondiente, obtenemos

los siguientes nmeros: 350111 = 3.15, 7524 = 3.125, 3812 = 3.17, 18960 = 3.15. Esto nos indica que ese numerito que buscamos, el nmero , debe de ser un nmero cercano a 3.15.

Permetro Dimetro Mesa 350cm 111cm Plato grande 75cm 24cm Plato pequeo 38cm 12cm Rueda de bicicleta 189cm 60cm = por permetro un poco ms de tres dimetro

La historia de Se sabe que en pocas del emperador del Antiguo Egipto, Zoser, hace unos 5000 aos, ya se manejaba la idea de , al cual le daban un valor de 196 = 3.16666... . Zoser mand construir en Saqqara su pirmide que hubo de ser su monumento funerario. La relacin entre el permetro de la base de la pirmide y su altura es precisamente este nmero.

Ms adelante, el sabio griego Arqumedes, alrededor de 250 antes de nuestra era, aseguraba que el nmero estaba entre

71103 y 70

103 , es decir, entre los nmeros decimales 3.14084507042253521126760563380282... y 3.14285714285714285714285714285714... . Un poco despus, Ptolomeo, el sabio de Alejandra, all por el ao 150 de nuestra era,

Pirmide de Zoser, en Saqqara, Egipto

2

estimaba el nmero como 120377 , es decir 3.141666666666... .sta ya era una buena

aproximacin. Podemos observar, no obstante, que los antiguos matemticos buscaban expresar el nmero como una fraccin, es decir, como el resultado de dividir un nmero entero entre otro nmero entero.

Matemticos del siglo diecisis utilizaban como aproximacin del

nmero a la fraccin 113355

Arqumedes que corresponde en forma decimal a

3.14159292035398230088495575221239..., una magnfica aproximacin. Sin embargo, mtodos de aproximacin diseados por los matemticos un poco despus permitieron no slo poder encontrar del nmero tantas cifras de su expresin decimal como se deseara, sino tambin demostrar que se trata de un nmero llamado trascendente, es decir, que no es posible encontrarlo como el resultado de una fraccin, pero tampoco como la solucin de una ecuacin polinomial. La mejor aproximacin decimal del nmero se debe a un matemtico japons de nombre Kaneda, que haciendo uso de una computadora en el ao de 1988 imprimi en 40,266 pginas 201326,000 cifras decimales de . Algunas de esas cifras son 3.1415926535897932384626433832795...

Para el uso prctico, se suele tomar simplemente como 3.1416; en muchas de las modernas calculadoras de mano hay ya una tecla marcada con el nmero , que utiliza aproximaciones ms exactas, como la ltima dada en el prrafo anterior.

El smbolo para la razn de la circunferencia de un crculo a su dimetro lo introdujo William Jones en 1707. El famoso matemtico suizo Leonhard Euler lo adopt en 1737 y gracias a l se populariz.

Para qu sirve el nmero ? Como ya explicamos, nos dice cuntas veces cabe el dimetro de un crculo en su circunferencia. De este modo, podemos conocer qu distancia recorre una rueda cada vez que da una vuelta completa si conocemos su dimetro o, inversamente, podemos calcular el nmero de vueltas que da la rueda de un vehculo si conocemos la distancia recorrida. De este modo, podemos de inmediato contestar las primeras dos preguntas planteadas en la introduccin.

Para resolver el primer problema, debemos, en primer lugar, saber que una bicicleta de rodada 20 tiene ruedas de 50cm de dimetro, es decir, de 0.5m. As, por cada vuelta que da la rueda recorre aproximadamente 0.5 = 0.53.1416 = 1.5708 metros. Como la rueda dio 2457 vueltas, la distancia que recorrimos fue 1.57082,457 = 3,859.4466 metros, es decir, aproximadamente recorrimos 3.859km.

El segundo problema se resuelve de modo parecido. En este caso el dimetro de la rueda de la bicicleta es de 60cm, es decir, de 0.6m. De este modo, la rueda recorre 0.6 = 0.63.1416 = 1.88496 metros. Ya que el recorrido es de 1,500m, el nmero de vueltas de la

3

rueda es el nmero de veces que 1.88496 cabe en 1,500, es decir, es 1,5001.88496 795.8, es decir, nuestra rueda dio aproximadamente 796 vueltas.

Dejemos pendiente la tercera pregunta para abordar la cuarta, la de la mesa. Queremos acomodar 8 personas alrededor de ella y necesitamos aproximadamente 70cm para que estn cmodas. De este modo, nuestra mesa debe tener una circunferencia de unos 708 = 560 centmetros. Ya que el dimetro cabe veces en el permetro, el dimetro debe ser de ms o menos 560 178 centmetros. De este modo una mesa ideal para ocho personas puede ser una mesa de 180cm, que es una medida de mesa que ofrece el catlogo que se tiene.

Ya respondimos a tres de las cuatro preguntas. Pasemos a la restante. Queremos pintar un tanque cilndrico de 12m de dimetro y 15m de altura. Necesitamos calcular el rea. sta

tiene dos partes, la lateral y la tapa de arriba. Para calcular el rea lateral, podemos imaginarnos que desenvolvemos la pared del tanque y obtenemos un rectngulo de 15m de altura y de 12 37.7 metros de base, pues la longitud de la base es precisamente el permetro de la base circular del tanque. De

este modo el rea lateral del tanque es de 37.715 = 565.5 metros cuadrados. Para poder calcular la cantidad de pintura requerida, nos falta saber el rea de la tapa del cilindro. En la siguiente seccin abordaremos el problema de calcular el rea de un crculo si conocemos su dimetro o su radio.

El rea de un crculo la prueba del tiburn Haremos algunas reflexiones acerca del clculo del rea de un crculo de radio r. Pero antes

busquemos una aproximacin gruesa. Si dibujamos un cuadrado fuera del crculo, de modo que ste quede inscrito en el cuadrado, tendremos que el lado del cuadrado es 2r. De este modo, el rea del cuadrado es 2r2r = 4r2, es decir, la de cuatro cuadrados de lado r. Como el cuadrado es ms grande que el crculo, esta rea debe ser mayor que el rea del crculo. Si observamos ahora el cuadrado inscrito dentro del crculo, vemos que est formado por tringulos rectngulos de base r y altura r, por lo que el rea de cada uno de ellos es rr/2 = r2/2. As, el rea de este cuadrado, que es ms pequeo que el crculo, es 2r2 que debe ser

menor que el rea del crculo. Tenemos as que, si llamamos A al rea del crculo, 2r2 < A < 4r2, y esto ocurre independientemente del valor del radio r, sea ste pequeo o grande. De este modo, el rea del crculo debe ser r2 multiplicada por algn nmero entre 2 y 4. El candidato es . Reflexionemos sobre el clculo del rea del crculo, a travs de una revisin de una muy ingeniosa forma de hacerlo. Se basa en el postulado de Euclides que afirma que el todo es la suma de sus partes y se parte de reas que ya conocemos para obtener la del crculo.

4

Podemos llamar a sta, la prueba del tiburn. Supongamos que tenemos un crculo de radio r, es decir, tal que su dimetro es 2r.

5

a

a

a a

a a

a a

v v

r r

r r r

r r

Vamos a descomponer el crculo en muchos sectores iguales, como lo ilustra la figura de la izquierda. La mitad de ellos los iluminamos con azul stos son los dientes superiores de un tiburn. La otra mitad de ellos, con rojo, salvo uno que dividimos en dos verdes stos son los dientes inferiores del escualo. Despus, cmo cuando se abren los gajos de una mandarina, los abrimos y formamos ambas mandbulas, como se ve en la figura de abajo.

Si ahora hacemos que nuestro tiburn cierre las mandbulas, se acomodan estos sectores para formar aproximadamente un rectngulo. Su base tiene aproximadamente la mitad de la longitud de la circunferencia. Ya que el dimetro es 2r, la circunferencia es 2r, de modo que la mitad de ella es r. La altura de este rectngulo

aproximado es r. De este modo, el rea aproximada de esta figura es de r2. Si hacemos una subdivisin cada vez con ms sectores del crculo que sean cada vez ms angostos digamos, dientes ms filosos del tiburn,

nuestra figura se parecer cada vez ms y ms a un rectngulo cuya base ser cada vez ms y ms cercana a un segmento de longitud r, y cuya altura es r. De este modo, podemos asegurar que el rea de un crculo de radio r es la misma que la de un rectngulo de base r y altura r. Por lo tanto, ya que el rea de un rectngulo es base por altura, el rea del crculo debe ser r por r, es decir, r2. Con todo lo dicho anteriormente y ahora, ya tenemos las frmulas que nos permiten calcular el permetro y el rea de un crculo.

El rea de un crculo de radio r es A = r2

El permetro de un crculo de radio r es

P = 2r rea de un

crculo

Permetro de un

crculo

Ahora s podemos acabar de resolver el tercer problema. Ya habamos calculado que el rea lateral del tanque es de 565.5 metros cuadrados. Ya que la tapa del cilindro es un

crculo de 12 metros de dimetro, tenemos que su radio r es de 6m. As, su rea es 62 = 3.141636 113.1 metros cuadrados. De este modo el rea total que hay que pintar es de 565.5 + 113.1 = 678.6 metros cuadrados. Ya que un litro de pintura cubre aproximadamente 4.5 metros cuadrados, necesitamos 678.64.5 150 litros de pintura. Permetros y reas de figuras relacionadas con el crculo

r

a

d

Podemos divertirnos fabricando bonitas figuras haciendo uso de crculos. Una muy conocida es la coma, que se ve en la parte roja (o en la amarilla) de la figura. Para hacerla podemos tomar un semicrculo de radio r, quitarle en la parte superior un semicrculo de radio r/2 y agregarle otro semicrculo igual en la parte inferior. Claramente nos da una figura cuya rea es la misma del semicrculo, es decir, r2/2. Para calcular su permetro, debemos tomar la mitad del permetro del crculo grande, es decir r, y sumarle dos veces la mitad del permetro del crculo pequeo. Ya que cada crculo pequeo tiene radio r/2, la mitad de su

permetro es r/2. Pero como son dos los semicrculos, debemos sumar r. As, el permetro de la coma, es r + r = 2r. ste es exactamente

igual al permetro del crculo grande. Sorprendente, no?

Si nuestro crculo tiene 3.6cm de dimetro, entonces el radio es r = 1.8cm, por lo que su rea es 3.14161.82/2 = 5.0894 centmetros

cuadrados. Su permetro es 23.14161.8 = 11.30976 centmetros. Otra figura bonita es la de la izquierda, formada por un semicrculo de

dimetro d y un tringulo de base d y altura a. Ya que el radio del semicrculo es d/2, su rea es (d/2)2/2 = d2/8. El rea del tringulo es da/2. As, el rea de toda la figura es d2/8 + da/2.

Si en nuestra figura, por ejemplo, d = 4cm y a = 2cm, entonces el rea es 2 + 4 = 10.2832 centmetros cuadrados.

Otros usos de El nmero aparece en las frmulas que nos permiten calcular permetros, reas y volmenes de figuras

relacionadas con crculos o esferas. La esfera es la versin en tres dimensiones del crculo. Recordemos aqu que el crculo

es el lugar geomtrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro del crculo. La distancia que guarda cada uno de los puntos del crculo al centro es el llamado radio del crculo. De manera similar, la esfera es el lugar geomtrico de todos los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo llamado centro de la esfera. La distancia que guarda cada uno de los puntos de la esfera al centro es el llamado radio de la esfera. Podemos calcular el rea y el volumen de la esfera con las frmulas indicadas abajo, que como vemos, involucran de nuevo al nmero del crculo.

6

El volumen de una esfera de radio r es

V = 4r3/3 Volumen

de una esferaEl rea de una esfera de

radio r es A = 4r2

rea de una esfera

El rea de una elipse con semiejes a y b es

A = ab rea

de una elipse

a

b

La es una figura geomtrica oval determinad untos llamados focos. Es el lugar geomtrico de los puntos del plano tales qd tancias a cada uno de los focos se c Una elipse tiene, por supuesto, su centro, y en vez de un radio tiene dos semiejes, el semieje mayor, enotado por a en la figura, y el semieje menor, denotado or b en la figura. La frmula para su rea se da usando .

e esa elipse es 3.14162.71.2 = tmetros cuadrados.

elato muy interesante relacionado cmtico griego Eratstenes de Ciren a medicin

precisa del radio de la tierra alrededor del ao 240 antes de nuestra era hace ms de 2240 aos. En primer lugar debemos recordar que tonces saban perfectamente que

tierra era redonda, de hecho, saban que se trataba de una esfera. Eratstenes viva en na ciudad llamada Siena, cerca de Asun, en el Alto Egipto, muy al sur del ro Nilo. Ah

l cual penetraban los rayos solares verticalmente al

estaban sobre el mismo meridciudades para conocer la longit5,000 estadios. El estadio era la aproximadamente 160m. As, estadios, es decir, 160250,000 era este nmero dividido entre

elipse a por dos pue la suma

e sus dis mantiene onstante.

Un pHay un rel mate

elipse a por dos pue la suma

e sus dis mantiene onstante.

Un pHay un rel mate

a

b

ddpp

Por ejemplo, en la elipse de nuestra figura el eje mayor mide 2modo, el rea d10.178784 cen

El rea de una elipse con semiejes a y b es

A = ab rea

de una elipse

.7cm y el menor 1.2. De ese

oco ms de historia on mediciones en crculos, cuyo protagonista es e, que fue el primero que hizo unon mediciones en crculos, cuyo protagonista es e, que fue el primero que hizo un

los griegos en los griegos enlaulauhaba un pozo vertical dentro dehaba un pozo vertical dentro de

medioda del solsticio de verano. En la misma fecha y a la misma hora, sin embargo, los rayos solares incidan en Alejandra formando un ngulo correspondiente a la cincuentava parte de una circunferencia, es decir, en trminos modernos, formando un ngulo de 7.2. Esto lo midieron con la sombra de un gnomon, es decir, la sombra de un poste vertical. En el esquema se dibuja este SOA es igual al ngulo TAZ. Tanto Alejandra como Siena iano, por lo que bastaba saber la distancia entre ambas ud de la circunferencia. Se saba que esta distancia era de medida de longitud que usaban los griegos y corresponda a la circunferencia de la tierra era de 505,000 = 250,000 = 40000,000 metros, o 40,000km. As, el radio de la tierra 2, o sea, 40,0006.2832 6,366 kilmetros, que es un

valor muy aproximado al valor medido con los mtodos modernos. La forma como medan la distancia entre dos ciudades entonces era usando una rueda y contando cuntas vueltas daba al hacerla recorrer el camino entre ambas, como ya explicamos al resolver nuestro primer problema.

medioda del solsticio de verano. En la misma fecha y a la misma hora, sin embargo, los rayos solares incidan en Alejandra formando un ngulo correspondiente a la cincuentava parte de una circunferencia, es decir, en trminos modernos, formando un ngulo de 7.2. Esto lo midieron con la sombra de un gnomon, es decir, la sombra de un poste vertical. En el esquema se dibuja este SOA es igual al ngulo TAZ. Tanto Alejandra como Siena iano, por lo que bastaba saber la distancia entre ambas ud de la circunferencia. Se saba que esta distancia era de medida de longitud que usaban los griegos y corresponda a la circunferencia de la tierra era de 505,000 = 250,000 = 40000,000 metros, o 40,000km. As, el radio de la tierra 2, o sea, 40,0006.2832 6,366 kilmetros, que es un

valor muy aproximado al valor medido con los mtodos modernos. La forma como medan la distancia entre dos ciudades entonces era usando una rueda y contando cuntas vueltas daba al hacerla recorrer el camino entre ambas, como ya explicamos al resolver nuestro primer problema.

fenmeno, en el cual el ngulo

La es una figura geomtrica oval determinad untos llamados focos. Es el lugar geomtrico de los puntos del plano tales qd tancias a cada uno de los focos se c Una elipse tiene, por supuesto, su centro, y en vez de un radio tiene dos semiejes, el semieje mayor, enotado por a en la figura, y el semieje menor, denotado or b en la figura. La frmula para su rea se da usando .

.7cm y el menor 1.2. De ese e esa elipse es 3.14162.71.2 =

tmetros cuadrados.

oco ms de historia elato muy interesante relacionado c

mtico griego Eratstenes de Ciren a medicin precisa del radio de la tierra alrededor del ao 240 antes de nuestra era hace ms de 2240 aos. En primer lugar debemos recordar que tonces saban perfectamente que

tierra era redonda, de hecho, saban que se trataba de una esfera. Eratstenes viva en na ciudad llamada Siena, cerca de Asun, en el Alto Egipto, muy al sur del ro Nilo. Ah

l cual penetraban los rayos solares verticalmente al

fenmeno, en el cual el ngulo estaban sobre el mismo meridciudades para conocer la longit5,000 estadios. El estadio era la aproximadamente 160m. As, estadios, es decir, 160250,000 era este nmero dividido entre

Por ejemplo, en la elipse de nuestra figura el eje mayor mide 2modo, el rea d10.178784 cen

O

A

S

Z

TU

7 7

Por cierto, como ya sabemos cmo calcular el rea y el volumen de una esfera, podemos calcularlos para la tierra. As, su rea es 43.14166,3662 509264,183 kilmetros cuadrados. Su volumen es 43.14166,3663/ 1080,658595,471 kilmetros cbicos. La ms bella frmula de las matemticas Quizs, en primera instancia, los jvenes lectores de este trabajo no lleguen a comprender completamente la frmula, debida al matemtico suizo Leonhard Euler, que un poco ms delante plantearemos. No obstante, tratndose sta de una frmula que combina los que

eros ms importantes de las , vamos a anotarla. Antes de

o, 0, ese maravilloso descubrimiento de los mayas y

expresin de la cifra.

tuviera solucin; dich

ade alguna manera podemos considerar como los nmmatemticas, siendo uno de ellos precisamente el nmero hacerlo, hagamos una breve presentacin de los nmeros, que adems de estn involucrados en la frmula de Euler.

El primer nmero que mencionaremos es el nmero uno, 1, es decir, la unidad, ese primer nmero con el que podemos construir todos los dems nmeros naturales:

1, 1+1 = 2, 2+1 = 3, 3+1 = 4, 4+1 = 5, ...

El segundo nmero es el nmero cerde los hindes que permiti enriquecer las matemticas durante el primer milenio de nuestra era para introducir con su uso el sistema numrico posicional, en el que los guarismos en una cifra tienen un valor que depende de la posicin en la

El tercer nmero es el nmero de Euler e. ste, al igual que , es un nmero irracional, de hecho trascendente, cuya importancia se basa en que proporciona la base natural para los llamados logaritmos naturales. Una aproximacin es

e = 2.71828182845904523536028747135266...

El cuarto nmero es el nmero imaginario i. ste es un nmero, que no es uno de los nmeros llamados reales, y que fue introducido por los matemticos para que la ecuacin

x2 + 1 = 0

o en otras palabras, i = 1 . Tiene la propiedad de que su cuadrado

nmeros combinados, que se llaman nmeros complejos. Tenemos as que los podemos osa

es 1, es decir, ii = 1. Esta frmula nos dice cmo multiplicar a i consigo mismo. De este modo, podemos combinar los nmeros reales y los imaginarios, y usando las reglas de las operaciones de los nmeros reales podemos hacer las mismas operaciones con estos

sumar, multiplicar, hacer potencias y muchas c s ms.

La frmula de Euler vincula a todos estos nmeros y a y se ve como sigue:

ei + 1 = 0 La frmula de Euler

8

La historia de (El rea de un crculo la prueba del tiburnPermetros y reas de figuras relacionadas con el crculo Otros usos de (La ms bella frmula de las matemticas