2009 - Unisba

*ffvoL. 4 TH. 2009

$erninar NasionalMA

lssN 1907-3909

,,i

UNIVERSITAS KATOLIK PARAHYANGANPARAHYANGAN CATHOLIC UNIVERSITY

FAKULTAS TEKNOLOGI INFORMASI DAN SAINSFACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGYAND SCIENCEJalan Ciumbulauil 94, Bandung 40141, Indon€sia

:: repository.unisba.ac.id ::

G=voL. 4TH.2009

REVIEWERS

Prof. S.M. Nababan, PhD

Prof. Benny Suprapto 8., PhD

Gandhi Pawitan, PhD

Wono Setya Budhi, PhD

Olga Pattipawaej, PhD

Dr. Ferry Jaya Permana

Dr.A. Rusli

Dr. J. Dharma Lesmono

EDITORIAL

lwan Sugiarto, MSi.

Taufik Limansyah, SSi.

Alamat Redaksi:Jurusan Matematika, FTIS - UNPAR

Gedung 9, Lantai 1

Jl. Ciumbuleuit No. 94, Bandung - 40141

rsmf;nfi,r NasionalI\{AMTKA

tssN 1907-3909

lwan Sugiarto, MSi

Agus Sukmana, MSc

Erwinna Chendra, MSi

Liem Chin, MSi

Benny Yong, MSi

Farah Kristiani, MSi

Y.E. Hariman Sanoe, MSi


DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR

DAFTAR ISI

PEMBICANAUTAMA

MEMAKNAI BILANGAN HIPERKOMPLEKS QUATERNIONBenny Suprapto Brotosiswojo - Universitas Katolik Parahyangan ...PU 1-8

AIJABAn' I'AN ANALTSIS

PENGEMBANGAN DERIVATIF DAN ISOMORT'ISMA PADAGELANGGANG FAKTOR DAI,AM GELANGGANGPOLINOMMIRINGAmir Kqmal Amir - Universitas Hasanudin, Makossar ...AA 1-6

THE MATRIX INVERSION AND SCHUR CON,{PLEMENTBanrbang Susanlo - Universilas Kristen Satya Wacana, Salatiga ...AA7-12

MENGATASI OYERSHOOTFENOMENA GIBBS PADA DERETFOURIERGani Gunctwan - Universitas Islam Banduns ...AA 13-23

RUANG VEKTOR I/SEBAGAI MODUL ATAS zuNG PEMBAGIAlun Ismaruati - Universitas Terbuka, Tangerang ...AA24-29

IDEAL UTAMA FUZZY SEMIGRUP DAN SIFAT-SIFATNYAKaryati - Universilas Negeri YogtakartaSri Wahyani, Budi Surodjo, Setiddji - Universitas Gadjah Mada ...AA 30-33

PERSPEKTIVITAS ANTARA SEGITIGA.SEGITIGA PADAGEOMETRI PROJEKTIFSangadji - FST WINUS dan PPIN BATAN ...AA3441

PEMETAAN KONFORMAL DAN MODIFIKASINYA UNTUKSUATU BIDANG PERSEGIH. A. Parhusip dan Sulistyono - (Jniversitas Kisten Satya Wacand ...AA 42-51

POLINOMIAL PERMUTASI AT AS FINITE FIELDAini Suri Talita, Ernastuti, Edi Sukrman - tJniversitas Gunad<trma ..AA 52-58


GENERAIISASI KETAKSAMAAN MAYORISASIHARDY.LITTLEWOOD POLYAAjat Adriansych, Nora Hariadi, Suarsih (Itama - flniyersitas Indonesia ...AA 59-65

SIFAT EKSAK FUNGTORHomp(M,_) DAN Hompl,M)Icih Sukarsih - Universitas Islam Bandung ...AA66-73

PENDII'IKAN

MODEL HITLING AKAR BASIS TIGA DAN EMpAr (Ji ;!,IDARI SUATU BILANGANRiyanlo - Universitas Bengkulu ...Mp l-10

PERANAN ABSTRAKSI REFLEKTIF DALAM MENINGKATKANPEMAHAMAN KONSEP MATEMATIKA MAHASISWAYerizon - Universitas Negeri Padang ...Mp 11-17

KOMU.JIKASI MATEMATIS DAN PEMBELAJARAN BERBASISMASALAHArmiati - Universitas Negeri Padang ...Mp 1g_24

KINERIA GT]RU DI DKI JAKARTA(Suatu Tinjauan Terhadap Kompetensi dan Kompensasi yang DiterimaOleh Guru di DKI Jakarta)Leoncrrd - Universitas Indraprasta PGN, Jakarta .__Mp 25_35

HASIL BELAJAR MATA KULIAH STRUKTUR ALJABARDENGAN MODEL PEMBELAJARAN APOS DAN MODEL M-APOSElah Nurlaelah, Utari Sumamo, Jozua Sabandor - Llnil)ersitasPendidikan Indonesiairawati - iksiitut Teimologi Bandung ...Mp 3646

PEMODELAN NILAI UNAS IPA DENGAN PENDEKATANREGRESI SEMIPARAMETRIK SPLINE LINIVARIABELSufri Asmin dan I Nyoman Budiantara - Instilut Teknologi SeptluhNovember ...Mp 47 -54

PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS INKUIRI LINTUKMENEMUKAN KEDALAMAN PELAMPIING BOLA KAY[.]MENGAPUNGDALAM AIRSri llarmini - Universitas Negeri Molang ...Mp 55_67

INTUISI DALAM PEMBELAJARAN TEORI PROBABILITASAgus Sulvnana - Universi/ds Katolik Parahyangan ...Mp 6g-?3

llt


STATISTIKA

ANALISA KEANDALAN DAN PENENTUAN INTERVAL WAKTUPERAWATAN PENCEGAHAN OPTIN4AL SUKU CADANG KRITISBERDASARKAN KRITERIA MINIMASI ONGKOS(Studi Kasus CV.Armico Bandung)Puti Renosoi dan Selamat - (Jniversitas Islam Bandung .. ST i-9

KONVOLUSI DUA PEUBAH BINOMIAL NEGATIF SALING BEBAS

Aceng K. Mutoqin - (Jniversitos Islam BandungDumaria R. Tampubolon dan Suttn'anir Dorwis - InslilulTeknologi Bandung "ST 10-16

PENGUJIAN KESAMAAN DISTzuBUSI BINOMIAL NEGATIFSAIING BEBASAceng K. Mulaqin - Universitas Islam BandungDrmatia R. Tampubolon dan Sutawanir Darwis - InslitutTeknotogi Bandung '-'ST 17-21

C RE D IBLE I NTERZIZ BAYESIAN OBYEKTIFAdi Seliawan - [Jniwrsitas Kisten Satya Wacona, Salatiga ..'ST 22'25

STUDI SIMULASI DALAM EST]MASI BAYESIAN OBYEKTIFAtli Setiau'an - flniversilas Kristen Satyo Il/acana, Sakttiga . .ST 26-32

PERAN{ALAN CUR.AH I{UJAN DI KOTA BANDUNG DENGANMENGGUNAKAN MODEL ARIMA MUSIMANCnrntgtnn Dannawan - Llniversilas Padiadlaran, Bandung -ST 33-37

PENGGUNAAN ANALISIS STRUCruML EQUATION MODELLINGDAN REGRESI LOGISTIK LINTUK MENC.dRI PROBABILITASTU\WOVER It trEnrION BESERTA FAKTOR-FAKTOR YANGMEMPENGARUHINYADwi Endah Kusrini, Deslri Susilaningrum, Juli Maya Sari, dan

Bucliati Istiqomah - Instilut Teknologi Sepuluh Notetnber, Surabaya . .ST 3846

APLIKASI ANALISIS REGRESI LOGISTIK T]NTUK KEJADIANBADAI GEOMAGNETSity Rachyany - LAPAN, Bandung " 'ST 47'52

SIFAT KOMPONEN TERBESAR SEBUAH R/ffDOM FUNCTIONSeptiadi Padmaclisastra - Universitas Padjadjaran, Bondung ...ST 53-57

lv


ANAIISIS VARIANS UNTUK SUATU DESAIN EKSPERIMENDENGAN PERMASALAHAN KOMPLEKSEnny Supartini - Univelsitas Padjadjarun, Bandung ...ST 58-61

PENENTUAN UKURAN SAMPEL SURVEI PILKADA JAWA BARATMELAUI HIGHEST POSTEMOR DENSITY DENGAN PENDEKATANBA\TSNeneng Sunengsih, Achmad Zanbar, dan Resa S. Pontoh -Universitas Padjadjaran, Bandung ...5T 62-69

KESESUAIAN PENILAIAN DARI BEBERAPA ORANGJURITERHADAP PESERTA LOMBA MENGGTINAKAN KOEFISIENKONKORDANS KENDALL

''lLisnur l|tachidah, Universitas Islam BandunR ...ST 70-?6

COMP UTATIONAL PROBABILITY FOR KNOWLEDGE GROWINGSYSTEM: A REVIEWArwin Dalumaya Wahyudi Sumai - Akademi Angkatan (Jdara, YogtakartaAdang Suv,andi Ahmad, Aciek Ida Wuryandan, Joka Sembiring -Institxd Teknologi Bandung ...ST 77-83

MATEMATIKA TERAPAN

REDUKSI ORDE N4ODEL SISTEMI,ffEIR PAR4METER VARY]NGMELALUT LINEAR MATNX INEQUALITIESMuhammad l{/akhid Musthofa - Universitas Islam NegeriSunan Kalijaga, Yogyakarta ...MT 1-10

OPTIMALISAS I REDUNDANS I S ISTEM fr-oaf o/n DENGANC OMMO N-CAUSE FAI LU RE S (CCF s)Indwiarti dan Erni Dwi Sumaryatie - Inslitut Teknologi Telkom Bandung ...MT 1l-15

PENERAPAN METODE TRANSPORTASI FUZZY PADAPENDISTRIBUSIAN PUPUKLilik Linawati dan Erlina Prihatnani - [Jniversitas Kisten SatyaWacana, Salatiga ...MT 16-25

NETW'ORK TOPOLOGYMeifry Manuhutu - Ma Chung University, Malang . ..MT 26-29

PENGHITUNGAN SENSITTVITAS HARGA OPSI DALAM MODELBINOMIAL DAN TRINOMIALDidit Budi Nugroho - Universitas Kristen Satyo Wacqna, Salatiga ...MT 30-37


OPTIMISASI SOLUSI KOMPROMI DENGAN MENGGUNAKANMETODE VIKOR UNTUK MENYELESAIKAN PERSOALANPENGAMBILAN KEPUTUSANDidi Suhaedi - (Jniversitas Islam Bandung MT 38-46

MODEL MATEMATIK UNTUK PENENTUAN LOKASI FASILITAS

DAN ARMADA TRANSPORTASIMonika Hidayanti - Universitas PadiadjaranSuprayogi - institut Teknologi Bandung "MT 47'56

APLIKASI JARINGAN SYARAF TIRUAN PADA PENGENALANWAJAHAsep Sholahuddin, Rustam E. Siregar, Iping Supiana, dan

Setiwan Hadi - (Jniversitas Padiadjaran, Bandtmg .'.MT 57-63

GRAFIK PENGENDALI VARIABEL UNTI,'K KAPABILITAS PROSES

6-PARAMETER KUALITAS PRODUK SEMEN (KASUS PT. S)

Zahedi - Binus (Jniversily "'MT 64-69

ANUITAS VARIABEL DAN APLIKASINYA DALAM KEUANGANBudi Frensidy - (Jniversilas Inclonesia "MT 70-77

EXPLORING HIERARCHICAL DATA FORMAT OF ACE

SPACECRAFTBachtiar Anwar - I",LPAN MT 78-85

PERAN MATEM ATLKAFUZZY SEBAGAI KELENGKAPANPREDIKSI GANGGUAN AKTIVITAS GEOMAGNETJohn Maspupu - I'APAN MT 86-90

APLIKASI ANALISA KOMPONEN UTAMA UNTUK EKSTRAKSI

INDEKS GEOMAGNET GLOBALJohn Maspupu - LAP4N MT 9l-97

ASIMILASI DATA SATELIT LTNTUK MENINGKATKAN KINEzuAMODEL ATMOSFERDadang Subama - Lembaga Penerbangan dan Antatiksa Nasional MT 98-108

HUBT]}IGAN MATEMATIS ANTARA REFLEKTIVITAS RADARDAN LAJU CURAH HUJAN DI KOTO TABANGSTII\4ATERA BARATDadang Subarna - Lembaga Penerbangan dan Antariksa Nasional "MT 109-1 17


CORONAL MAGNETIC ARCADE DIS.EQUILIBzuUM AS THECAUSE OF SOLAR CORONAL MASS EJECTIONBambang Setiahadi - LAPAN ...MT 118-122

MAGNETIC TOPOLOGY DYNAM]CS DURING S OLAR FLARESAS OBSERVED AT LAPAN WATUKOSEKBambang Setiahadi - LAPAN ...MT 123-127

KONSTRUKSI FI,'].]GSI BOOLEAN YANG BAIK UNTUKMEMBANGTIN ALGORITMA KRIPTOGRAFI FLIN GSl HASH(HASH FUNCTTOADZaenal 5., Kholif FaizM., Mora Hertanto R. - Lembaga Sandi Negara ...MT l2g-134

ANALISIS DATA PENGAMATAN FREKUENSI KRITIS LAPISANF2(f0F2) IONOSFER UNTUK VALIDASI MODEL IONOSFER NE,4RREAL TIME INDONESIADyah RM dan Buldan Muslim - Lembaga Penerbangan dan AntariksaNasional ...MT 135-138

ANALYSIS OF FREQUENCY DISTRIBUTION OF Pc3 MAGNETICPULSATIONS OBSERVED BY GROLIND-BASE MAGNETOMETERAT BIAKL. Mnhammad Musafar K. - L4PAN ...MT 139-142

DESAIN STRIP-BLOK UNTUK MEREDUKSI BIAYA EKSPERIMENPADAPROSES PRODUKSIBudhi Handoko - Universitas Padjadjaran, Bondung ...MT 143-14g

PERANCANGAN PROGRAM SIMULASI OPTIMASI PENYUSLTNANBAILT{G DALAI4 KONTAINER MENGGUNAKAN ALGORITMAGREEDYWkaria Gazali, Ngarap hn Manik, Malem Sendcth Sembiring -Binus Llniversity ...MT 149-l5g

MODEL VALUASI PROGRAM DANA PENSIUN PADA LEMBAGAPENGELOLA SWASTAOnoy Rohaeni - Universitas Islam Bandung ...MT 159-167

IDENTIFIKASI MODEL VARIASI GEOMAGNET MENGGUNAKANMODEL ARN4.A (2,2)Habirun dan Anwdl Santoso - L4.PAN ...MT 168-176

vll


ANALISIS MODEL VARIASI KOMPONEN H GEOMAGNETMENGGUNAKAN ANAIISiS HARMONIKHabinLn - L4PAN ...MT 177-184

PEMBANGLTNAN SOFTWARE DETEKSI MIKROPULSAGEOMAGNETFitri Nuraeni - L4PAN ...MT 185-189

APLIKASI FRICTAL GEOMETRY LINTUK PENGEMBANGANMOTIF BATIKNgarap Im Manik dan Hendra Pt'osetyo - Binus University ...MT 190-201

BEES ALGOzuTHM FOR CALCULATION IMPL]ED VOLAT]LITYArtf Herlambang - Surabaya University ...MT 202-205

MENAKSIR MATRIKS TEKNOLOGI KABUPATEN BANDLTNGBARAT BERDASARKAN TABEL INPUT PROVINSI JAWA BARATMENGGTINAKAN NIETODE LOCATION SUONN ENTTeti Sofia Yanti - Universitas Islam Bondung ...MT 206-274

MENENTUKAN KARAKTEzuSTIK KONSUMEN BERDASARKANFAKTOR DEMOGRAFI DAN PERILAKU KONSUMENAnneke Iswani Achmad - Universitas Islam Banduns ...MT 215-223

KARAKTERISTIK TEC IONOSFER DIATAS WILAYAH INDONESIADARI MODEL NeQuickMmnen Tarigan-dnn Buldan Mttslim - I-APAN ...MT 224-233

ANALISIS SPEKTRAL PADA GANGGUAN PENEzuMAAN KUATSIGNAL GELOMBANG RADIO UNTLIK FREKUENSI TINGGIMumen Taigan - LAPAN ...MT 234441

PEMANFAATAN DATA IONOSONDE DAN MF RADARUNTUKPEDOMAN OPERASIONAL KOMUNIKASI,V'I R VERTICALI NC I D E NC E S KYWA ZE (NVIS)fuah Rahayw Martiningrum - Lembaga Penerbangan don AntariksaNasional ...\,[T 242-249

PNNCIPAL COMPONENT ANALYSB /PCA) UNTUK ANALISISPERLAKUAN PEMBERIAN PAKAN. VITAMIN. DAN MINERALTERHADAP PRODUKSI SUSU SAPIH. A. Parhusip dcn Siska Ayunani - Universitas Kristen Salya ,yacana,

Salatisa ...MT 250-259

vlll


KETERKAITAN ANTARA GANGGUAN GEOMAGNET DENGANIONOSFERSity l?dchyany - L4PAN, Bandung ...MT 260-265

ANALISIS PROFIL KEPUASAN KERIA KARYWAN DARI DIVISIPRODUKSI DI PT "X" SURABAYADestri Susilaningntm dan Dvi Endah Kusrini - Instilut Teknologi SeptluhNovember, Surabayo ...MT 266'270

AUTOMATIC DETECTION OF 'HALO' T\?E OF CORONAL MASSEJECTIONBacthiar Anwar - LAPAN, Bcmdung ...MT 271-278

PREDIKS I PARAI4ETER fOF2 IONOSFER DENGAN JARINGANSYARAFSlamet Syamntdin - LAPAN, Bandung ...MT 279-290

KAJ]AN MATEMATIS PENGARUH IMIGRAN TEzuNFEKSI DANVAKSINASI DALAM MODEL EPIDEMIK S/SMarsudi - (Jniversitas Brawijaya, Malang ...MT 291-298

HUBLTNGAN PEMANASAN GLOBAL DENGAN KONDISI SUHUUDARA DAN CURAH HUJAN DI INDONESIANur Febrianti - LAPAN, Bandung ...MT 299-305

ANALISIS STRUKTUR PROGRAM MENGGUNAKAN DECISION-TO-DECISION GRAPHRosa de Lima Endang Padmowati - Universitas Kololik Parahyangan,

Bandung ...MT 306-312

ANALISIS CERMIN LENGKUNG STATIK DAN RELATIVISTIKDENGAN PRINS]P FERMATSytvia H. Sutanto dan Paulus C. Tiiang - Universitas KatolikParahyangan, Bandung ...N'IT 313-322

SESIMATIASISWA

PENDESAINAN LKS MATEMATIKA INTERAKTIF MODELE-LEARNING BERBASIS WEBFitra Mayasari - UNSN ...MS l-7

lx


PELABELAN I-{ARMON]US PADA GRAF GABUNGAN GRAFHARMONIUSR. Arkan Gilang, Denny R. Silaban, dan Kiki A. Sugeng - UntuersitasIndonesia . .. MS 8-13

MODEL PENI'EBARAN PENYAKIT MELALUI HUBUNGANSEKSUAL (PHS): GONORRHEA DAN HIV/AIDSAdif lttksana - Universitas Godjah Mada, Yogtakarta ...MS 14-24

PENAKSIRAN PAILAMETER PADA MODEL REGRESI SPATIALLAG PANEL DATA SATU ARAHRiJki Kosasih, Siti Nuftohmah, dan Dian Lestari - Universilas Indonesla,.. I\4S 25-30

PENGUJIAN HIPOTESIS MELALUI VARIANSI VEKTOR UNTUKSATU SAMPEL PADA DATA NILAI UJIAN NASIONALSMA2 MAROS SULAWESI SELATANRadiah AI Adawiah, Erna Tri Herdiani, dan A. Kresna Jaya '{Jniversitas Hasanztddin ...MS 31-38

APROKSIMASI MODEL HULL.WHITE SATU FAKTORTERHADAPTINGKAT BUNGA DI PASARIrwanto, Bevina D. Handari, dan Mila Novila - Universitas Indonesia ...MS 39-45

ANALISIS REGRESI LOGISTIK MULTINOMIAL PADA FAKTOR-FAKTOR YANG BERPENGARUH TERHADAP PARTISIPASIPEREMPUAN DALAM KEGIATAN EKONOMI BERDASARKANSTATUS USAHA DI JAWA TIMURSulaslri Siagian, Mutiah Salamah, dan Ismaini Zain - Inslilltt TeknologiSepuluh November, Surabaya ...MS 46-55

ANALISIS REGRES] LOGISTIK MULTINOMIAL PADA FAKTOR-FAKTOR YANG BERPENGARUH TERHADAP PARTISIPASIEKONOMI PEREMPUAN BERDASARKAN I,APANGAN PEKERJAANUTAMADI JAWATIMURMarina L. Siburian dan Ismaini Zain - Institut Teknologi SepuluhNovember, Surabaya ...MS 56-65

PERANGKAT AJAR MATEMATIKA DENGAN TOPIK LINGKARANUNTUK TINGKAT SEKOLAH MENENGAH PERTAMANia I4liraniza Siburian, Cecilia Esti N., dan Farah Klistiant UniversitasKatolik Paralryangan, Bandung ...MS 66-71


PELABELAN HARMONIOUS PADA GRAF KORONAAnggie J. Asih, Denny R. Silaban, dan Kih A. Sugeng - UnivetsitasIndonesia ..MS 72-76

MENGHITLJNG NILAI EKSAK DERET TAK BERHINGGADENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACENik Hael dan Taufk Limansyah - Universitas Katolik Porahyangan,

Bandung ..MS 77-80

PENGELOMPOKAN DAN PEMODELAN PARTISIPASI ANGKATANKERIA JAWA TIMURDENGAN PENDEKATAN REGRESI LOGISTIKNuri Ahyani dan Lsmaini Zain ' Instiut Teknologi SepuluhNoventber, Surabaya ...MS 8l -91

APROKSIMASI MODEL HULL-WHITE DUA FAKTOR TERHADAPTINGKAT BLTNGA DI PASARReza H. Ayodya, Bevina D. Handari, dan Mila Novita'(Jniversilas Indonesia "'MS 92-98

PENENTUAN HARGA OPSI BASKET MENGGUNAKAN METODEIN\'ERS GAMMARd. Natalina Rosmawanli dan Ferry Jaya Pennana - Universitas KalolikParahyangan, Bandang ...MS 99-108

FAKTOR PENENTU STATUS PENERIMAAN BANTUANLANGSUNG TUNAI (BLT) MENGGUNAKAN ANALISIS REGRESILOGISTIK BINERDI JAWA TIMURMaria Arthaloca dan Ismaini Zain - Institut Teknologi Sepuluh

November, Sutabaya ..-MS 109-118

MODEL PERSEDIAAN UNTUK KEBIJAKAN PEMESANAN YANGOPTIMAL DENGAN SKEMA PENI.JNDAAN PEMBAYARANDebby Agustine dan Dharma Lesmono - Universitas KatolikParahyangan, Bandung ...MS 119-126

PENAKSIRAN PARAMETER MODEL REGRESI DATA PANELTIDAK LENGKAP KOMPONEN'RROR DUA ARAI{ffiul Mardhiyah, Ida Fithriani dan Mila Novita ' UniversitasIndonesia "'MS 127-132

XI


Konvolusi Dua Peubah Binomial Negatif Saling Bebas

Aceng K. Mutaqinr,2), Dumaria R. Tampubolon2), dan Sutawanir Darwis2)

" hogram Studi Statistika, Fakultas MIpA Universitas Islam Banduns_Jl. Purnawarman 63 Bandune 401 l6

?) Kelonpok Keahtian Sratistika, Fakultas MipA, Instirut Teknologi BandungIl. Ganesha 10 Bandrurg 40132

e-mai1: [email protected], [email protected], dan [email protected]. ac.id

Abstrak. Makalah ini membahas konvolusi dari peubah-peubah binomial negatif saling bebasbaik untuk kasus berdistribusi identik ataupun tidak identik. Pembahasan dibirasi untgi kasuskonvolusi dari dua peubah binomial negatifsaling bebas. Konvolusi jenis ini sangat bermanfaatdalarn dunia aswansi tsrutana uatuk memoilelkan banyaknlz klaim dalam suatu hrrm waklut€rlentu dari gab'ngan kelonpok pernegang polis (misalnya kelorr4rok berdasarkan gsnder, ataukelorrpok berdasarkan usia, alau keiompok berdasarkan karakteristik mengemudi). Hasilnya

'renunlukkaa bahwa: (l) urtuk kasus parameter 0 sama, konvotusi dari distribusi peluangnya

adalah binomial negatif; (2) 'ntuk

kasus parametsr I ticlak sam4 konvolusi aari aistritusipeluangnya rnerupakan fulgsi dari G auss ian hyp erge otnet r i c function.

Kata Kurci: Konvolusi, formula konvolusi disklir, distribusi binomial negatif, Gaussianhyp er geom et ri c fun c t I o n.

1, Pendahuluan

Dislribusi binomial negalif merupakan salah satu distribusi untuk peubah acak dislcit yangseringkali dipakai dalam berbagai biilang seperti asuransi (Lemaire, 1995; Klugtnan ei aI,2004), kesehatan (Chiang 1980), industri (Wisg 1946), biologi (Bliss, 1953), dan cuaca(Sakanoto, 1973).

Disrribusi binomial negatif biasanya digrurakan wrtuk memodelkan percobaan yangmenghasilkan dua kemungkinan (sukses atau gagal), itimana yang menjarli perhariannya atlatahbanyaknya percobaan sanpai diperoleh junlah sukses tertentu, atau banyarnya kegagalansebelum muncul sukses urutan tatentu (Taylot dan Karlin, 1994; Feller, 1968).

Dalam bidang asuransi, distribusi binomial negatif yang umum digunakan m.erupakan hasil dariproses carpuran distribusi Poisson dengan distribusi gamma. Distribusi ini <ligunakan utukmemodelkan banyalnya klaim pemegang polis dalam suatu kurun waktu tsrtentu (misalnvaselama satu tahrur periode asuransi).

Kasus khusus dari distribusi binomial negatif adalah distribusi geometrik. Distribusi binomialnegatif dapat dibentuk dari konvolusi <lua atau lebih pzubah-peubah geornetrik yang salingbebas dan berdisaibusi itlentik Dengan demikian dapat dikatakan bahwa hasil konvolusi duaatau lebih peubah binomial negatif yang saling bebas dan berdistribusi identik adalah jugabinomial negatif Literatur-literatur telah banyak membahas konvolusi jenis ali atas (misainyaFeller (1968); Taylor dan Karlin (1994)). sejauh pengetahuan penulis, belwn atla literatu yangmembahas koavolusi dari peubah-peubah binomial negatif ya'rg tlistribusinya tidak identik.Konvolusi jenis ini sangat bcmalfaat dalam bidang asuransi, misalnya untuk memoalelkanbanyaknya klaim dalam suatu kurur waktu tertentu dari gabungan dua atau lebih kelompokpemegang polis (misalnya kelonpok pemegang polis berdasarkan gender, atau kelonpokpemegang polis berdasarkan usia, atau kelonpok pemegang polis berdasarkan karakteristikmangernr.rdi). Diduga bahwa distribusi banyalnla klaim dalam suatu hrun waktu tertentu dadsetiap kelornpok penegang polis tidak identik.

ST- 10


Tujuan dari 'rakalah

ini adalah membahas konvolusi ilari peubah-peubah binomial negatifsaling bebas baik unluk kasus berdistribusi identik ataup'n tidak idenlik. pen$ahasan akandrbatasi LLntuk krsus konvolusi dari dua peubah binomial nJgadfsaling bebas.

sisa dari makalah ini disusun sebagai benkut. Bagia'2 me4ielaskan distribusi binomial negatii'sebagai distribrui Poisson canpruan. Konvolusi dari dua peubah biriomial negalifdrbahas 6a"lamBagian 3 Bagian teraklir memuat kesinrpulan dan arah pcnelitian selanjutnyi.

2. Distribusi Binomial Negatif

Dalam ilmu alluaria, salah satu distribusi yang seringkari cocok Dntuk mernod elkan peubahacak banyalnya klaim dari pemegang polis dalam suatu psriode ,"vaktu asuransi adalah ditribusibinonial negatif (Lernaire, 1995). Distribrui ini termasuk distribusi poisson campuran (zr,rcr1Pois:on d istri b u t ion

11.

N4isalkan X menyatakan peubah acak banyaknya klaim clari pemegang polis dalam suatupenode waktu asruansi. Biasanya dias.rrsikan bahrva peubah acak f mengikuti distribruiPoisson dengan parar;reter 1dirrana distribusi peluargnya adalah

fx(k) = p(x : k) =" ;::. , k = 0,7,2,... (r)

dimana parameler ,1 ) 0 bervariasi untuk setiap pemegang polis. Setiap pemegang polisdikarakteristikkan oleh nilai para'e1er 2. Sehingga / dianggap seblgai realisasi aari peubahacakA. Dengan denrikian distribusi peluang yang ada pada persamaan (1) dapat dituris k;nrbalimeryadi

&1n{ki.r) = P(x = kl)) -+, k - 0,t,2. . (.2)

N,lisalkan peubah acak A 'engikuti dislribusi gamnu dengan paranreter . > 0 dan g > 0,

dtmana fungsi densitas peluanglya adalah

"Q)=#; ^>o (3)

Dapat ditunju&kan bahwa (lihat Klug ..an er ar.,2004, hatamau 78,79) disaibusi marji'al dari Xadalah bi'onfal negatif dotgan parameter a ) 0 dan 0 ) 0, dinnna distribusi peluangnyaadalah

/L)-a--1\l 0 \u / f \"Jxtk)=P(x =k)=(" I -Jlr_u./ lr*r) t k-0,1,2... (4)

d,xn bi as anya diluli s X - B N (a , 0) .

Ekspektasi dan variansi dari peubah acak X-BN(a,g) masing-masing adalah E(X) = q0 danVar(X)=a0(1,+0).

3. Konvolusi dari Dua Peubah Binomial NegatifPerhatikan teorema dari fornmla konvolusi dislait berikut.

Teorema 1. Misalkan dua peubah acak iliskrit X, dan X, saling bebas yang nilai_nilainyat€rbatas uttuk bilangan integer tak-negatif Misalkan juga fi, (.) menyalakan distibusi peluanguntuk peubah acak X1 dat,fx,(.) -"nyatakan distribusi peluang wrtuk peubah acak X2.Distribusi peluang dari jumlah kedua peubah acak tasebut, 22 = X1* X, merupakan konvohuidan fx,O datt fx,(), yait't

ST-11


fz,Q) = fx,r x,Q) : p lz z = a - | fr,rnl.[x, (z - k) ; untuk z = 0, 1,.../. =0

Bukti (Taylor dan Karlin, 1994): untuk setiap z, kejadian [Zz = z) merupakan gabungankejadian-kejadian lX, : k dat X, = z tl untuk t = 0, l, .. ., z. Akibanrya aclalah

p (zz - z) = fz,(z) = f , rr, = k dan x, =, - ul = f fr,fr)fx,(, - k)k=0 k=o

; untuk z = 0,1,.'.Ruas kanan bisa terjadi karena X1 dan X, saling bebas,

IMisalkan X, dan X2 merupakan peubah-peubah acak binomial negatif saling bebas dimanaX1-BN(ay0) dan X2-BN(a2,02). Dengan mengikuti formula konvolusi dislcit, distribusipeluang nntuk jumlah kedua peubah acak tersebu! 22:X1*X2 ad.alah

fz,(z) = fx,*x,(z) = P tz z : a = ifr,<,rl fx,(z - k)

z k=o (5)_ \i /k + ar l\nt: nar (z - k + dz- t\^z_x.az.,

/-r \ 1, t' iQr'\ ,-i )P2 'az';untukz:0'1' 'k=0

dimana

e1 7 0z 1P1 : li 0r; q1 = I + 01; Pz - 1+ 02; az = l{gr.

Dalam makalah ini beberapa kasus akan dipertirnbangkan untuk mengotahui distribusi dari 22.

Kasus 1: kedka distribusi clari kedua peubah acak X1 dan X2 identik, dimana q1 : ct2 : dbilangan riil positif dan 6, : 0z = 0 btlangan liil positif, sehingga pt : pz : p d;rn q, = q, =q.

Teorema 2. Unluk kasus 1 di atas distribusi dari peubah acak Z, = X1 * X, juga binomialnegatif dengan par ameter 2 d dan 0 , atat Z 2-B N (2a, 0).

Bukti (Feller, 1968): dengan menggrmakaa formula konvolusi diskit yang aila pada Teorema l,distribusi peluang daipeubah acak 22 = Xt I Xz adalah

z

r r-j_Y (k+a-L\^*^"(z -k+a-1\tzrt-t - 1!\ k )( .r \ z_k )P"-oq"k=o

: n",r"f (k +q-1'\(z- k+ c{- 1) 6)-Pn L\ k ./\ z_k )/z+2.F!1\ - ,-= (- ;

- )p'e"";untukz = 0, 1,. .

Baris t€rakhir paila Persamaan (6) diperoleh dari Feller (1968, halaman 65) dan Khan (199a)yang menyatakan bahwa untuk sembarang bilangan a, b den bilangan bulatj berlaku identitas

!1a+rr -l.l(b+i-l-1'\ _(a+b+i-r\ (7)L.!\ k /\ j-k i-\ i )k=0

ST-12


Berd.lsarkan Pusamaan (6) terlihat bahrva ulluk Kasus 1 distribusi dari Deubah acak Z. adalahbinorrrial negatif dengan parameter 2a dlin0, atalZ2-BN(2u,0).

IKasus 2: kelika dislribusi dari kedua peubah acak X1 dan X2 tidak identik, dim r\a a1 + ctzkeduanya bilangan riil positif dan 01 = 0, = I bilangan riil positi{ sehingga p, = p. = p aaiQr: Qz = Q.

Teorerna 3. Untul( kasus 2 di atas disfibrsi dari peubah acek 22 - X1 *X2 juga binomialnegafifdengan paralJ:leter (r1 + a2 dan e, ahv 22-BN(o.a+ (r2,0).

Bukii (Feller, 1968): dengrn menggrmakan formula konvolusi dislffit yang ada paala Teorenu l,distribnsi peluang d ai pe:ubatr acak Z 2 ad,alah

z

f,-k\ =\ (ka a1- 7\oko", (z-k+d2- 1\n,-xn,,,/_) \ k ). , \ z_k )r ,1

k=n

=pzqcrl+a|I (k *1' -t\(t * k +a, * 1) (8)

H' k /\ z-k J

-(z+( t' -r\\ ', ' -

)P'4"'*"';untukz = o'l'"Baris terakhir pada Persarnaan (8) mengikuti identitas pada persanua' (7). BerilasarkanPersaunan (8) tfflihal bahwa untuk Kasus 2 distribusi dari peubah acak 22 adalah binomialnegatifdengan parameter a7 * a2 dan 0, atan Z2-BN (qr + d2,0).

I

Kasus 3: ketika distribusi dari kedua p eubah acak X1 dan X2 ailalah tidak identi\ dinunaa1 + a2 keduanya bilangan bulat positif dan g, ;& 02 keduanya bilangan riil positil sehinggap\+p2, dall. q1 * q2. Sejauh sepongelahuan penulis, kasus ini belum belum ada yangrrembahasnya. Bsrikut ini teorena yang dibangun oleh penulis beserta pembuktiannya.

Teolema ,1. Untuk kasus 3 di atas distribusi peluang dari peubah acak Z2 : X7 I X2 adalah

p1qi,qi, (z + q.t + o, _ 1) (o, .r a, _ 1;t",1. r^\ _-'' '' \ z /"lz,\"J-@x

,r,(o,,-z;-("+ ",- 1),(#)),"ntukz = 0,1,...

dinana 2F1( ) rnmupakan frmgsi bipergeometrik Gauss (Gaussian hypergeometric function),dengan syarat bahwa n1lai O < pr/p2 < !.

Bukti: dengan menggunakan formula konvolusi dislcit yang ada pad.a Teorema l, distribusipeluang dari peub ah acak Z 2 adalah

r- rz) : \' (k + dr- 7\ -x.a1 (z - k + a2- 11^z,x-a,Iz2\" L\ k )vltt \ z-k )t'2 't2n=o t

= o\ol, o!,! 1k + at - 1\F -k + d, - 1\/Pl\k,.,, ,. 4\ k ,/\ z_k )\prlt =-o '' \P2' (9)

z (k+ar-7\(t- k+a2 - 1\

- nla?'o\'(z+ qr+ ar-r)Y\ k /\ z-k //pr\Kr1r'z \ ' '?u (z+at+dz-)) \pr)

; untuk z = 0,7,..'

sT- 13


1\,Iisaikan

dan

714 = 7(7 - 1) ... (r - m + 1)

(r)-=r(r+1) "(r+m-1)dengan r dan n rnerupakan bilangan bulat. Jolas bahwa r[-] = (r - m + 1)-, dimana (r)s =r{01 = 1. Dari Persamaan (9), mudah untuk dituljukkan bahwa

fz,Q)

= p:qi, q!, (z + q +", - 1) T (k+c,t-1\ zlk)(a1+ '.z- 1)lnrl /pr\k,.zYl Y2 \ , )L\ i lOl;ffi\i) no)

Karena ; untuk z : o'7'"'

(z * at* qz- l)Ia:+k) = (z I a1* a2 - 1)t6,1(z I dz- 7)lkldan

tk+q,-1\ (k+a, - 1lttli r,- )= kt '

maka beralasarkan Persarnaan (10) akan iliperoleh

fz,Q)

_piqi'qi'('* "' Iaz-1)Gr+ d2- t)ta1l

@Dapat ditunjukkan bahwa (Khan, 1994)

(k + ar- l)tkl = 1ar1*,

zlkt : e1)k (_z)k,dan

(z * ar- 1)tkl = (-1)k(-(z + dz - 1))k.Oleh karena itu Persamaan (l 1) dapat ditulis kembali menjadi

fz.k)

@)p(-z)t!'u?G+"r-r))o

(12)(z+a"+ar-1)[a'')

/ ,-.\2F1l a1, -z; -(z * ", - tl; (i ) I\ \Pz/ /

dimana ,F11.1 tlikenat sebagai fimgsi hipageomeorn or*r'l;::; ,:r''|rio'*r*.r",,,"function), detrgan syamt bahwa nilai 0 <pt/pz S 1 (Khan, 1994). Syarat tersebut pasti bisadipenuhi ketika p1 < p2. Keftka pL > p2, agfr fimgsi hipugmmetrik Gauss tetap balaku makadisbibusi dari 22 harus ilicari dengan menggrmakan formula berikut

p,rqi, qi, ( + q + ", _ 7\ (o, + a2 _ 7)t"J

_'''L'. \ a ''(z * a14 dz - 1)la1j

f {t+o' -r1t''trtu(fr)rh-G+"'-fir kl

;untukz:0,7,-.-

(11)

I r&)*\Pz)kl

ST-14


\-fz,tz) = /lx,tktfy,(z -k);unrukz - 0, I,...

k'w

Dengan cara tersebul, arguren terakldr dalam flurgsi hipageometrik Gauss menjzds, p2/p1yang nilainya ada diantara nol dan 1.

IBeberapa perargkat lunak rnemuat fi.'rgsi'nhrk menghituag nilai dari fungsi bipergeometrikGauss tersebut, misalnya MATHCAD, MATHEMATICA, clan tvl,O.flAe. nungsihipergeometrik Gauss pada perangkat lunak MATLAB dapat diperoleh di www.mathworks.comdalam bentuk M-file.

Kasus 4: ketika distribusi dari kedua peubah acak X. dan X2 tidak iilenti! dimara a. : q2 : c(bilangan bulat positif dan 01 + 02 keduanya bilangan riil positif sehingga p, + p), aan- q, +q2. Kasus ini maupakan kasus klusus dari kasus 3 dimana qr : a2 = c. Dengan menggantiat d)tt c{2 yang ada Persarnaan (12) oleh a, maka distribusi peluang ilari p eubah acak Z, =X1 + X2 urluk kasus 4 ini ailalah

fz,Q) =

,r1(o,-";-(, +" - rt, ff)),,"tukz = 0,1,...

( l3)

4. Kesirnpulan dan Arah Penelitian ke I)epan

Konvolusi dari dua peubah binomial negatifyang saling bebas menghasilkan

(l) untuk kasus parameter peluang kedua distribusinya sama (atau parameter 6 sama),konvolusi dari distribusi peluangnya adalah binomiat negatif,

(2) rurtuk kasus parameter peluang kedua distribusinya tidak sama (atau parameter g sarna),konvolusi dari distribusi peluangnya adatah fiurgsi dat'' Gaussiqn hypergeometricfunction.

Ada beberapa kasus lagi yang belum dipecahkan sehubungan dengan pembahasan konvolusiilari peubah binomial negatif saling bebas ini. Kasw tersebut adalah

(l) parameter d tidak sama, dan parametef, a sama atauput tidak sama dan bitangan riilpositil

(2) peubah binomial negatif yang dilibatkan lebih dari dua,

Penelitian ke depan diharapkan dapat menghasilkan teori konvolusi untuk menangani kasus-kasus di atas.

Daftar Pustaka

tll Bliss, C. L (1953). Fitting the negative binomial distr:rbution to biological ilata.B iometrics, 9 : l7 6-2O0.

l2l Chiang, C. L. (1980). An Introduction to Stochastic Processes and Their Application.John Wiley & Sons, New York.

t3l Fella, W. (1968). An Introduction to probability Theory and Its Applications. EdtsiKetiga, Wiley, New York.

sT-15


t4l Khaq R. A. (1994). A Nole on the Generating Function of a Negative HlpergeornetricDislribution. Sankhya: The Indian Journal of Slatistics, Vol. 56, Series B, pt. 3, pp.309-313.

t5l Klugman, S. A., Panjer, H. H., Willmor, c. E. (2004). Loss Models: From Data toDectsions. John Wiley & Sons: New Jersey.

t6l Lemairg J. (1995). Bonus-Malus Systems'in Auromobile Insurance. Kluwer AcademicruDlsners. lJoston-

l7l Sakamoto, C. M. (1973). Application of the Poisson anil Negative Binomial Models toThunderstorm and Hail Da1,s Probabilities in Nevada. Monthly lyeather Review, Yol.l0l, No. 4, pp. 350-355.

t8l Taylor, H. M., dan Ku1in, S. (1994). An Introduction to Stochastic Modelfug. RevisedEdition, Academic Press, New York

t9l Wise, M. E. (1946). The Use of the Negative Binomial Distibution in an IndustrialSarrpling Problern Supplement to Journal of the Royal Statistical ,Sociely. Vol. 8, pp.202-21l.

ST-16


Pengujian I(esamaan Distribusi Binomial Negatif Saling Bebas

Aceng K. Mutaqinl'2), Dumaria R. Tampubolon2), dan Sutawanir Danvis2)

') Prograln Studr Statistika, Fakultas MIPA Universitas Islam Bandung,Jl. Pumawarrnan 63 Banduns 401l6

2) Kelonpok Keahlian Stafistika, Frhrltas MIpA,Lsdtut Teknologi Bandmg,Jl. Ganesha l0 Banduns 40132

e-mail: s3 [email protected]. [email protected]. ac.icl, dan [email protected]. ac.id

Abstrak. Makalah ini membangun suatu pengujian kesannan beberapa disrribusi binonialnegatif saling bebas. Pargujiarmya ililakukan dengan menggulakan uji rasio likelihood.Pengujian ini samgat berrnanfaat dalam dunia asuransi terutama u'tuk manguji kesamaankarakteristik kelompok pemegang polis (misalnya kelonpok berdasarkan jenis kelamin, atauberdasarkan donrisili, atau berdasarkan usia, atau berdasarkan karakteristik mengemuili). Stuilisimulasi digunakan untuk mengetahui kemampuan dari pengujian t€rsebut, dilihat dari ul,TranL:uasa qli empirik clan kesalahan tipe I empirik. Data riil dalam bidang asuransi rliguaakan untukmsngilustrasikan prosedur pengujian,

Kata Kunci: dis{ribusi binamidl negatif, trji rasio likelihood, simulasi, kuasa tgi, kesalahan tipeI

1. PendahuluanDistribusi binonrial negatif merupakan salah satu distribusi yang seringkali cocok diguaakanuntuk menodelkan banyalcrya klaim pemegang polis dalam suatu kurun wallu tertenlu,tnsahya selama salu tahur periode asrnansi (Klugman e t at., ZOO4).Dalanr satu portofolio asuransi, biasanya teralapat beberapa kelonpok pemegang polis yangmrngkin merniliki karakteristik berbeda. Misalnya kelonpok berdasarkan jenis tetimin llati-laki dan perempuan). Pemegang polis lakiJaki cenderurg memiliki fiekuensi mengajukan klaimyang lebih banyak dibandingkan dengan pemegang polis perempuan. Selain berdasarkan jeniskolamin, kelonpok pemegang polis juga bisa dibedakan berdasatkan domisili. usia. ataukarakteristik mengemudi.Tujuan dari makalah ini adalah membangun suatu pengujian kesamaan beberapa populasi yangberfistribusi binomial negatif saling bebas. Pengujiannya dilakukan dengan menggunakan ujirasio likelihood (casella dan Berger, 1990). Pengujian ini sangat bsnranfaat dalam duniaasuransr terutarra ultuk menguji kesamaan karakteristik kelonqrok pemegang polis (misalnyakelonpok berdasarkan juris kelamin, atau kelorpok berilasarkan domisili, atau kelonpokberdasarkan usia, atau kelonpok bErdasarkan karakteristik mengemuili). studi simulasidigunakan untuk mengetahui kemarrpuan dari pengujian tersebut, rlilihat dari ukuran kuasa ujienpirik dan kesalahan tipe i empirik Data riil dalam bidang asuransi digunakan untukmsngilustasikan prosedur pengujian.Sisa dmi makalah ini disusun sebagai berikut. Bagpat Z berisilan uraian singkat mengenaidistribusi binomial negatif Uji rasio likelihood dibahas dalam Bagian 3. Bagian 4 memuatpengujian kesamaan <listribusi binomial negati f saling bebas menggunakan uji rasio likelihoo<l.Stuili simulasi atla pada Bagian 5. Sedangkan bagian terakhir bedsikan contoh numerik.

2. Distribusi Binomial NegatifMisalkan X menyatalan peubah acak yang mengikuti distribusi binomial negatif Salah satubentuk fimgsi rnassa peluang untuk peubah acakX adalah

rx*): P(x = ') = f(:=:)

G?*)'(#,^)-'

ST-17


dal brasanl,a ditulis X-BIV(m, c). Bentuk distribusi di atas diantaranya dipertiurbangkan olehPiegorsch (1990), dan De Jong dan Heller (2008). Ekspektasi dan variansi dari peubah acakX-BN(n, c) nr,rsing-masing adalah E(X) = m darl V ar(X) : ni(1 * cm). nr disebut sebagaiparameter rata-rata, sedangkan c disebut sebagai parameter dispersi atau parameter bentuk (DeJong dan Hella, 2008). Taksiran parameter ,? dan c dapat dililrat di Piegorsch (1990).

3. Uji Rasio LikelihoodDefinisi (lihat Casella dan Berger (1990), halaman 347): statistik uji rasio likelihood untukmurguji H6: 9e@6 melawan Hr: 0e@fi adalah

sup l(0lx),t(x) = oo

sup t(9lx)Uji rasio likelihood adalah suatu uji yang menrpunyai(xli(x) < cl, dimaaa c memenu.hi 0 5 c 5 1.

Misalkan 0, adalah suatu penaksir likelihood nrakimrm bagi d, dimana 6 diperoleh denganmemaksimumkan l(olx) tanpa kendala. Misalkan juga Fq merupakan suatu penaksir likelihoodmaksimum bagi 0, dimana 0o diperoleh dengan memaksimumkan l(9lx) dengan kendalabahwa @6 adalah ruang parameter. Dengan demikian statistik uji rasio likelihood ailalah

L(0" lx]r

^Q) = LG-w' (3)

Teorema (lihat Casella dan Berger (1990), halam.rn 381): Misalkan Xr,.-,X,, adalah suatusanpel acat beruku,ran n dari su,:rtu iurgsi densitas peluang alau flurgsi massa peluang /(xl0),maka distribusi dari statislik -ZI (X) konvergen ke distribusi chi,kuadrat sebagaimanaukuran sanpel n + oo. Derajat bebas dari dislribusi linit tersebut adalah perbedaan antarabanyaknya pararneter yangbebas di bawah hipotesis H6 dan banyakrya parameter yang bebas dibav'ah hipotesis H1.

4. Pengujian Kesamaan Distribusi Binomial NegatifSaling BebasMisalkan \r...,Xiry merupakan sanpel acak bsrukuran ni dari popr.rlasi yang berdistribusinegatifbinomial, X1i- B N (mi, ci), wrt;k i : 7,2,... , k, dan i = 7,2, -.- ,ni. Diasumsikan bahwapopulasi 1,2, ..., .t saling bebas.Misalkan 9=Qr,...,cy), 1:(m1,...,mp), <lan @: \@,Dl ci dar. mi,i:1,...,k tidakdiketahui),@o:{G,4)lc;=cdanrr.,:m,j=l,...,k,dimanacdadnrtidakdiketahui}.Misalkan akan diujiH6: (q, m)e O6 melarvan H1: (g, m)e @[.Misalkan c6 merupakan nilai dari cj, untuk,l : l, ..., k, di bawah hipotesis He, rnaka dapat<litunjukkan bahwa statistik rasio likelihood rmluk pengujian Ho melawan ll, dibffikan oleh

(z)

daerah penolakan dalam bentuk

g)

dimana d6 dan i;, untuky = 1, ..., k, merupakan penalcsir likelihood rrnksimunr dari cs dan c;,untukl = l, . .., k, ye,ng diperoleh dengan menyelesaikan posamaan-persamaan berikut:

k nj xji

k.

t n = zl n 1 ["r' " { P, ; + c; 1

I n ( 1 + c0 r ) - c ; \n 1r + c, r, 1]

k tlj xji

-,III,"[H#3J

jj - nrn 1r * c6r) = s,Ytt{ .'LLL./ (1 +c^(l-1j=1 i=1 l=1

ST- 18

(5)


cltl

s_r_ | r, )) ) 1;- *f 'n;lnf i rrjxjt=o' '|b'22\t+'"' ')t

Di barvah lripotesis He, sebagaiurana n-t :n, LR secara asimtotik mengikuti drstribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas 2(t 1).

5. Studi SinrulasiUntul mengetahui kemampuan dari pengujian yang dibahas dalam Bagian 4, akan digruiakansimulasr Nlonte Carlo. Ukuran yang akan dilihat dalam stuili simulasi tersebut adalah kuasa ujiempirik dan kesalahan tipe I empirik.

Tabel 1.

Kesalahan Tipe I dan Kuasa Uji Empirik (%)lmt'rkk=7dana=50

UkuranSampel

(mt,mt)(ct,cz)

(0.1,0.1) (0.1.0.2) (0.1,0.3)(0.6.0.o (0.6.0.8) (0.6,1.0)

5 8 5,02 76.61 72.9010 61,78 48,49 44.4915 43,8 6 30,88 3 0.0820 26,88 17.29 20.5 0

40 4_60 9.93 30,4260 2.65 16.73 .19.8 I100 1,8 9 29,12 76.18500 4.19 94.87 100.001000 5,5 7 99,95 100.005 000 5,19 100,00 100.0010000 4.99 100.00 100.00

Tabel 2.Kesalahan Tipe I dan Kuasa Uji Enpirik (%)

untuk&:3 darLd:5Yo

UkuranSampel

(mt,mz,mz)(c1,c), c1')

(0.1.0.1.0.1) (0.1.0.2.0.3) (0.1.0.3.0.4)(0.6,0.6,0.6) (0.6.0.8.1.0) (0.6.1,0.1.2 )

5 94,1'7 83,22 79.4310 76.00 54.44 5 0.02t) 58.5 6 37.41 34,9220 3?.51 19.32 22,8140 6,59 21,50 44,8260 )aa 36,24 69.42100 1,82 64,86 92,69500 3,87 oa oo 100.001000 5tq 100.00 100.005000 4.74 100.00 100,0010000 5,23 100,00 100,00

Simulasi menpertirnbangkan t = 2, dan 3 populasi, tingkat signifikansi a = 5% dlrn lYo, sertakesamaan ukua:r sanpel setiap populasi, Untuk menghitung kesalahan tipe I empirik,

ST-19


drbangkitkan sanpel dari populasi yang berdistribusi BN(nr,c) dengan kesarraan m dan c.Ketidaksauraan rr dan c digunakan untuk menghitung kuasa uji enpirik. Nilai-nilai m dan cyang dipertimbangkan dalam simulasi bersama-sama dengan hasil simulasinya diberikan dalamTabel I sampai Tabel 4. Nilai n dan c tetsebut didasarkan pada dala riil klaim asuransi(Lemaire, 1995). Setiap eslqerimen simulasi didasarkan pada 10.000 sanpel.

Tabel 3.Kesalahan Tipe I (%) dan Kuasa Uji Empirik (%)

:2dutd:lYo

UkuranSampel

(mt,mr)(cr, cr\

(0.1.0.1) (0.1.0.2) (0.1.0.3)(0.6,0.6) (0.6.0.8) (0.6.1.0)

5 84.96 76.85 72.71l0 6t,12 48,10 44.46i5 43,8 8 3 1,65 28.4220 26.02 ts.77 15.6040 3,96 a \-l 12,2260 t,37 6,06 24.64100 0,40 I1.40 52,50500 0,61 85,3 6 99,981000 0,91 99,60 100,005000 i,0l 100.00 100,0010000 1.1 I 100.00 100.00

Tabel 4'Kesalahan Tipe I dan Kuasa Uji Enpirik (%)

nntukk:3 d,nnd: loA

UkuranSampel

(m1,m2,ml)(c t, cz, cz)

(0.1.0.1.0.1) (0.1.0.2.0.3) (0.1,0.3.0.4)(0.6,0.6,0.6) (0.6.0.8.1.0) (0.6.1.0.1.2)

5 94.51 84.1 I '78.78

t0 54,l0 50.04l5 5 8,08 36,71 33,2120 37.42 18,30 16.6840 6.66 8.33 22,1660 lld 16.81 43,63100 o,37 3 8,55 78,28500 0,65 100,00 100,001000 0.85 100.00 100.005000 1.01 100.00 100.0010000 0.96 100.00 100,00

Hasil dalarn Tabel 1 sanpai Tabel 4 memrnjukkan bahwa pengujian kesamaan distribusibinomial negatif saling bebas menggunakaa uji rasio laikelilhod memiliki kernanpuan yangbaik ketika ukwa sanpelnya besar (lebih dari atau sama dengan 500). Sedangkan ketikaukuran sanpelnya kecil ilan menengah (atau kurang dari 500) kemarrpuannya tidak begitu baik

6. Contoh NumerikSebagai balan aplikasi dari pengujian lzng dibahas pada Bagian 4 ailalah data riil klaimasuransi rrnbil @e Jong dan Heller, 2008). Pemegang polisnya atla 67856, dimtaranya adasekitar 4624 pemegang polis atau sekitar 6,8% yang mogajukan klaim paling sedikit sekali.

ST.20


Kelornpok p ernegang polis yang akan dip ertimbangkan adalah berdasarkan kelorqrok usia (1. 2.3, 4, 5, 6). Akan diuji apakah krraktaistik setiap kategori dalam kelonpok trsir perlegang polisdi atas berbeda atau tidak dilihat dari lrekuelsi klaimDengan menggu'akan perangkat hurak EasyFit versi 5.0, frekuensi klaim untuk sei.ua katesoridalam kelonrpok usia pemegang polis berasal dari populasi yang berdistribusi binonrirl negiti{drnuna nilai-nilai taksiran parametemya disajikan dalant Tabel 5.

Pengujian kesamaan distribusi binomial negatif menggurakan uji rasio likelihood menghasilkanstatistik uji LR : 74,0629 (dargan nilai p-value :0). Dengan demikian dapat disinpulkanbahwa paling sedikit ada dua kelonpok usia pemegang polis yang menririki karakierisrikmangemudi bsbeda dilihat ilari fiekuensi klaim penulis pertar.a menyediakan progranlIvlATLAB untuk melakukan pengujian kesamaan distribusi binonrial nesatifdi atas.

Daltar Pustakatll Casella, G., ilan Berger, R. L. (1990). Statistical Inference_ Brooks/Cole publishins

Conpany, Calilornia.I2l De Jong, P., dan Heller, G. Z. (ZOO8). Generqlized Linear Models for Insurance Data.

Cambridge University Press, Nerv york.t3l Klugman, S. A., Panjer, H. H., \Miltmot, G. E. (2004). Loss Models. From Dats to

Decisions. John Wiley & Sons; New Jersey.

t4] Lemaire, J. (1995). Bonus-Malus Systems in Automobile Insurance. Kluwer AcademicPublishas, Boston.

t5l Piegorscll w. w. (1990). Maximum Likelihood Estimation for the Nesative BinomialDispersion Parameter Biometrics, 46, 863-867.

Tabel 5.Hasil Kecocokan Disn-ibusi Binornial Nesarif

BerdasarkanKelompok Usia (7)

Ukuran Sampel(ni)

Taksiran Param€teriit j ei

57 42 0,0914 0,25512 1287 5 0,07'77 0,87913 157 67 0,o7 54 0,83144 I 6189 0,0732 0,98985 t0736 0,0604 0,86716 654'7 0,0596 I ,3137

ST-2I


Alamat Redaksi:Jurusan Matematika, FTIS - UNPAR

Gedung 9, Lantai 1

Jl. Ciumbuleuit No. 94, Bandung - 40141:: repository.unisba.ac.id ::

Documents

2009 - Unisba