1

Caro Professor,

Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir de 2010.

As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações mais recentes.

Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.

Na primeira parte deste documento, você encontra as orientações das atividades propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.

Bom trabalho!

Equipe São Paulo faz escola.

2

Caderno do Aluno de Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 2

Páginas 3 - 5

1. Sendo cinco o número de participantes, cada um dará quatro flores (menos para si

mesmo), o que significa um total de 5 . 4 = 20 flores. Com o mesmo raciocínio,

temos que, com seis participantes o total de flores será 6 . 5 = 30 flores, e com sete,

7. 6 = 42 flores.

2.

NNúúmmeerroo ddee ppaarrttiicciippaanntteess

NNúúmmeerroo ddee fflloorreess qquuee ccaaddaa uumm vvaaii rreecceebbeerr

TToottaall ddee fflloorreess

3 2 3 . 2 = 6

4 3 4 . 3 = 12

5 4 5 . 4 = 20

6 5 6 . 5 = 30

11 10 11 . 10 = 110

x x –1 x(x – 1)

y + 1 y (y + 1)y

3. Alternativa c. Tendo compreendido o item anterior, o aluno pode experimentar os

valores apresentados nas alternativas, calculando: 29 . 28 = 812; 30 . 29 = 870;

31 . 30 = 930.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

ALGUNS MÉTODOS PARA RESOLVER EQUAÇÕES DE 2o GRAU

3

4. Substituindo os valores das alternativas na última forma da equação:

x = 29 não é solução, pois

292 – 29 – 930 ≠ 0

x = 30 não é solução, pois

302 – 30 – 930 ≠ 0

x = 31 é solução, pois

312 – 31 – 930 = 0

841 – 29 – 930 = – 118 ≠ 0 900 –30 –930 = – 60 ≠ 0 961 – 31 – 930 = 0

5.

a) Indicando a medida do lado do quadrado por x, teremos:

Representação geométrica Expressão algébrica

x2 = 49

A solução dessa equação é simples, basta pensar qual número elevado ao quadrado

resulta 49, isto é, 7. Você, professor, pode também trazer para a discussão que, assim

como 72 = 49, temos que (–7)2 = 49, comentando que, embora ele satisfaça a

equação, tratando-se da medida do lado de um quadrado, esse valor negativo não

deve constar no conjunto solução. Portanto, a solução será 7 cm.

b) Indicando a medida do lado do retângulo por y, teremos:

Representação geométrica Expressão algébrica

2y . y = 242

2y2 = 242

4

Se 2y2 = 242, então y2 = 121. Da mesma forma que no exercício anterior, podemos

admitir y = 11 ou y = –11, uma vez que (11)2 = 121 e (–11)2 = 121. Como se trata da

medida do lado de um retângulo, a equação só permite como solução o valor de

y = 11. Portanto, o maior lado mede 2 . 11 = 22 cm.

c) Indicando a medida do cateto por a, teremos:

Representação geométrica Expressão algébrica

1822

.

..2

1

..2

1

2

aaaA

catetocatetoA

alturabaseA

Como 182

2

a

, podemos concluir que a2 = 36. Desse modo, os valores 6 e –6

satisfazem a equação, mas somente o 6 é solução da equação, pois a medida do lado

de um triângulo deve ser positiva. Para encontrarmos a medida da hipotenusa,

podemos aplicar o Teorema de Pitágoras: 2666 222 hh .

Portanto, a resposta para esse exercício será: catetos de medida 6 cm e hipotenusa de

medida 26h cm. Mais uma vez, desprezamos a solução negativa.

d) A área do retângulo será dada pela equação: x(x + 8) = 65, que pode ser

resolvida por meio de tentativas. Basta descobrir dois números cuja diferença seja 8 e

o produto 65.

x 1 2 3 4 5

x + 8 9 10 11 12 13

5

x(x + 8) 9 20 33 48 65

Assim, verifica-se que os lados do retângulo medem 5 cm e 13 cm. O perímetro do

retângulo será igual a 5 cm + 5cm + 13 cm + 13 cm = 36 cm.

e) Se x for considerada a medida do lado do quadrado original, com a redução de

2 metros o lado do quadrado interno medirá x – 4 metros:

Portanto, é possível escrever a seguinte equação: (x – 4)2 = 144. A solução dessa

equação pode ser feita com cálculo mental. Para isso, deve-se notar que 144 é o

quadrado do número 12 e que, portanto, x – 4 = 12, isto é, x = 16. Logo, a área

original desse quarteirão era de 256 m2.

Página 6

6.

IItteemm EEqquuaaççããoo uuttiilliizzaaddaa EEqquuaaççããoo ttrraannssffoorrmmaaddaa

a) x2 = 49 x2 – 49 = 0

b) 2y2 = 242 2y2 – 242 = 0

c) a2 = 36 a2 – 36 = 0

d) x(x + 8) = 65 x2 + 8x – 65 = 0

6

e) (x – 4)2 = 144 x2 – 8x – 128 = 0

Todas as equações possuem um termo no qual a incógnita está elevada à segunda

potência.

Além disso, apenas os problemas (d) e (e) apresentam equações de 2o grau com três

termos.

Páginas 6 - 9

7.

8.

a) – 3 ou 3.

b) – 3 ou 3.

c) – 3 ou 3.

d) – 4 ou 4.

e) 2

5

2

5ou .

f) 5

2

5

2ou .

7

g) Não há solução real, pois não há número real que elevado ao quadrado seja

igual a –1.

h) – 2 ou 2.

i) 2

7

2

7ou .

j) 0.

k) 0.

l) 0.

9.

a) S = {–2, 6}.

b) S =

2

1,

3

2.

c) S = {0, 4}.

d) S = {–1, 0}.

e) S = {3, 5}.

Página 10

10.

a) – 6 ou 6.

b) – 7 ou 11.

c) Não há solução real.

d) 0 ou 4.

e) – 5 ou 5.

8

Páginas 12

11.

13122 xx

136.22 xx

49)6(3613366.2 22 xouxx

Sendo a nova área 49, a medida do lado do novo quadrado será 49 = 7. Assim, o

9

lado do quadrado x + 6 = 7; portanto, x = 1 é a solução.

Páginas 14 - 15

12.

a)

1030

1020

40010

400)10(

100300100202

2

xoux

x

x

x

xx

b)

612

5

2

74

49

2

5

4

49

2

5

4

256

4

255

2

2

xoux

x

x

x

xx

10

c)

122 xx

Não há solução, pois a área não pode ser negativa. Contudo, é possível

extrapolar o limite dado pelo método e interpretar a equação da seguinte forma:

1,010)1(1112 22 xxxxx

Páginas 15 - 18

13.

a) Sim; (x + 2)2.

b) Sim; (x – 3)2.

c) Sim; (2x + 3)2.

d) Sim; (5x + 10)2.

e) Não é, pois o termo central não corresponde ao dobro do produto do primeiro

termo, x, pelo segundo, 1.

14.

a) 81.

b) 12.

c) 100.

d) 28.

e) 9.

11

15.

a) (x – 3)2 = 0, logo x = 3.

b) (x + 6)2 = 0, logo x = –6.

c) (x – 2)2 = 0, logo x = 2.

d) (x + 2

1 )2 = 0, logo x =

2

1 .

16.

a) 3 e 4, pois 3+4 = 7 e 3 . 4 = 12

b) 3 e 8, pois 3+8 = 11 e 3 . 8 = 24

c) –1 e 12, pois 12 + (–1) = 11 e 12 . (–1) = –12

d) –2 e 12, pois 12 + (–2) = 10 e 12 . (–2) = –24

e) – 5 e –8, pois (–5) + (–8) = –13 e (–5) . (–8) = 40

f) 4 e –10, pois 4 + (–10) = –6 e 4 . (–10) = –40

17.

a) (x + 2).(x + 15)

b) (x – 4).(x – 8)

c) (x + 5).(x – 12)

d) (x – 10).(x + 6)

18.

a) (x – 5).(x + 3) = 0, logo, x = 5 ou x = –3.

b) (x + 3).(x + 4) = 0, logo, x = –3 ou x = –4.

c) (x – 6).(x – 6) = 0, logo, x = 6.

d) (x + 9).(x – 4) = 0, logo, x = –9 ou x = 4.

e) (x – 4).(x – 9) = 0, logo, x = 4 ou x = 9.

12

Página 18

19.

EEqquuaaççããoo FFoorrmmaa ffaattoorraaddaa SSoolluuççããoo

a) x2 – 2x – 8 = 0 (x – 4).(x + 2) = 0 x = 4 ou x –2

b) x2 – 8x + 16 = 0 (x – 4).(x – 4) = 0

ou (x – 4)2 = 0 x = 4

c) x2 – 10x + 24 = 0 (x – 4).(x – 6) = 0 x = 4 ou x = 6

d) x2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 x = 0 ou x = –2

e) 6x2 – 18x +12 = 0 6(x – 1).(x – 2) x = 1 ou x = 2

f) 2x2 – 18x + 36 = 0 2(x – 3).(x – 6) x = 3 ou x = 6

Páginas 19 - 21

20. Algumas respostas possíveis:

a) (x + 5).(x – 3) = 0

x2 + 2x – 15 = 0

b) (x – 4).(x – 12) = 0

x2 – 16x + 48 = 0

c) (x + 2).(x + 2,5) = 0

x2 + 4,5x + 5 = 0

d) (x + 2

1).(x –

3

2) = 0

x2 –6

1x –

3

1 = 0

e) (x).(x – 12) = 0

13

x2 – 12x = 0

f) (x + 5).(x –5) = 0

x2 – 25 = 0

21.

a) x = 1 ou x = –3

b) x = –1 ou x = 3

2

c) x = 1 ou x = 6

d) x = –1 ou x = 2

1

e) Não tem solução real.

f) x = 2

3

22. O valor da expressão b² – 4ac é tão importante que foi denominado discriminante.

De fato, seu valor vai determinar se uma equação de 2o grau pode admitir duas raízes

reais distintas ou duas raízes reais idênticas (uma raiz dupla), ou, então, não admitir

raízes reais. Ele foi representado por uma letra grega Δ (delta). Assim, Δ = b2 – 4ac.

Como ele é o radicando de uma raiz quadrada, podemos estabelecer as seguintes

relações:

ΔΔ == 00 ΔΔ >> 00 ΔΔ << 00

Duas raízes reais idênticas

(uma raiz dupla)

Duas raízes reais distintas Não admite raízes reais

14

Páginas 21 - 22

23.

a) 2.

b) Não existem raízes reais.

c) 3 ou 5.

d) 4

331

4

331 ou .

e) –1 ou 3.

f) –1 ou 3.

g) –1 ou 3.

24. Qualquer uma dessas equações é resultado da multiplicação dos dois membros, em

relação a uma delas, por um mesmo número real diferente de 0. Assim, pelo

princípio multiplicativo da igualdade, todas são equações equivalentes e, por isso,

têm as mesmas raízes.

Página 23

25.

a) x(x + 5) = 3 . 2 para x ≠ 0

x2 + 5x – 6 = 0

x = 1 ou x = –6

b) 2

92

1

10

xxx para x ≠ 0, –1 e –2

10x(x + 2) = 2(x + 1).(x + 2) + 9x(x + 1)

10x2 + 20x = 2x2 + 6x + 4 + 9x2 + 9x

–x2 + 5x – 4 = 0

x = 1 ou x = 4

15

Páginas 25 - 30

1.

a) Se considerarmos x o total do bando, temos que xx

128

2

. Resolvendo a

equação, encontramos duas possibilidades: 16 e 48.

b) Consideremos inicialmente x a distância do tronco da palmeira maior ao peixe.

Como os pássaros chegam ao mesmo tempo, supomos que voem à mesma

velocidade, considerando que a distância por eles percorrida é a mesma. Portanto, os

2 triângulos retângulos possuem a mesma medida de hipotenusa. Dessa forma,

aplicando-se o Teorema de Pitágoras, podemos escrever 302 + x2 = 202 + (50 – x)2.

Embora pareça uma equação de 2o grau, os termos em x2 se cancelarão, resultando

em uma equação de 1o grau de raiz 20. Portanto, o peixe apareceu a 20 côvados da

palmeira maior.

c) A equação será 11x2 + 7x = 6,25. As raízes da equação serão 2

1 e

22

25 .

Contudo, somente a solução positiva tem significado nessa situação: a medida do

lado do quadrado deve ser igual a 2

1 ou 0,5.

2. Geralmente, no início do problema devemos decidir se o professor será ou não

considerado no total de pessoas. No caso, podemos supor que ele observou os

cumprimentos entre as pessoas, desconsiderando, portanto, os referentes a ele. Para

resolver esse problema, o aluno deve considerar inicialmente que o número de

cumprimentos que cada pessoa dá é 1 unidade a menos que o número total de

pessoas; afinal, uma pessoa não cumprimenta a si mesma. Indicando por x o número

de pessoas, o número total de cumprimentos será x(x – 1). Depois, como o

cumprimento do aluno A com o aluno B é o mesmo cumprimento de B com A esse

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

EQUAÇÕES DE 2o GRAU NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

16

total de cumprimentos poderá ser expresso pela equação 662

)1(

xx, isto é,

x2 – x – 132 = 0, que terá como raízes os números 12 e –11. Como a raiz negativa

não tem significado, podemos concluir que 12 pessoas o acompanharam.

3. Na resolução desta questão, o aluno obterá a equação x² – 5x + 10 = 0, cujo

discriminante é negativo, indicando, assim, que não existem dois números reais que

satisfazem às condições do problema.

4.

a) – 9 ou –1.

b) – 6 ou 6.

c) Uma possível resposta: b = 5, uma vez que esta questão não tem uma única

resposta. Sua discussão permite antecipar a compreensão de noções importantes

relacionadas à função modular, que poderão ser desenvolvidas mais adiante, durante

o Ensino Médio.

5.

a) Retângulo: duas diagonais; pentágono: cinco diagonais.

b)

NNúúmmeerroo ddee llaaddooss ddee uumm ppoollííggoonnoo NNúúmmeerroo ddee ddiiaaggoonnaaiiss ddee uumm ppoollííggoonnoo

3 0

4 2

5 5

6 9

7 14

... ...

n 2

)3( nn

17

c) 90.

d) 11 lados.

e) Basta mostrar que a equação n2 – 3n – 84 = 0 não possui raízes inteiras positivas.

Páginas 30 - 31

6. A área ocupada pelas pedras pode ser decomposta em dois retângulos de área igual a

6x e 15x e um quadrado de área x2. Assim, podemos escrever a equação

x2+15x+6x = 46, cuja solução positiva é 2. Portanto, a medida do lado x é igual a 2.

7. Sendo x o número de fios de linha azul, podemos escrever a equação

x(x+5) = 6 800, cuja solução positiva é 80. Portanto, são 80 fios azuis e 85 fios

vermelhos.

8. A área da moldura pode ser decomposta em quatro quadrados de área x2, dois

retângulos de área 2x e 2 retângulos de área 4x. Resolvendo a equação

4x2 + 2 . 2x + 2 . 4x = 7, obtemos as raízes – 3,5 e 0,5. Portanto, o valor de x será

0,5 m.

Desafio!

Página 32

9.

a) x3 – 6x = 0; logo, x(x2 – 6) = 0.

Portanto, ou x = 0 ou x2 – 6 = 0 x = 6 . A equação tem, portanto, como

soluções:

S = 6,6,0 .

b) x(x2 – 6x) = 0.

x = 0 é uma das soluções.

x2 – 6x = 0x = 0 ou x = 6.

A solução da equação é S = {0, 6}.

18

Páginas 34 - 35

1. Podemos dizer que o preço de dez maçãs está relativamente barato em comparação

com o preço de cinco maçãs. Se o preço fosse diretamente proporcional ao número

de maçãs, dez delas custariam 2 reais, e não R$ 1,80. Por isso, a oferta do feirante era

realmente boa para a compra de dez maçãs.

2.

a) São grandezas diretamente proporcionais, pois quando o valor de uma grandeza

dobra o valor correspondente da outra também dobra; quando este triplica, o outro

também triplica, etc. Isto é, a razão y

x é constante e a sentença que expressa a

relação entre x e y é y = 10x.

b) São grandezas inversamente proporcionais, pois quando o valor de uma

grandeza dobra o valor correspondente da outra se reduz à metade; quando este

triplica, o outro reduz a um terço, etc. O produto de x . y é constante e a sentença que

expressa a relação entre x e y é x . y = 48 ou x

y48

.

c) Não são grandezas nem direta nem inversamente proporcionais, pois não se

observa uma constante nem para y

x nem para x . y. A sentença que relaciona x e y

pode ser y = 2x + 1 (analisando a tabela, pode-se perceber que os valores de y são

iguais ao dobro dos correspondentes valores de x acrescidos de 1 unidade).

d) Também não são grandezas nem direta nem inversamente proporcionais, pois

não se observa uma constante nem para y

x nem para x . y. A sentença que relaciona

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

GRANDEZAS PROPORCIONAIS: ESTUDO FUNCIONAL, SIGNIFICADOS E CONTEXTOS

19

x e y é y = 2x2 (analisando a tabela, pode-se perceber que os valores de y são iguais

ao dobro do quadrado dos correspondentes valores de x).

Páginas 35 - 37

3.

xx 1 2 3 4 5 6 7

yy 3 5 7 9 11 13 15

yy –– 11 2 4 6 8 10 12 14

Sim, há proporcionalidade direta entre x e y – 1. Percebemos que a razão x

y 1 é

constante. Como 21

x

y, o valor 2 representa a constante de proporcionalidade.

4.

xx 1 2 3 4 5 6 7

xx22 1 4 9 16 25 36 49

yy 2 8 18 32 50 72 98

Construindo uma nova tabela, observamos que os valores de y são diretamente

proporcionais ao quadrado de x, isto é, 2x

y é constante e, como 2

2

x

y, a constante

de proporcionalidade é 2.

5.

a) Não. Quando a idade de uma pessoa dobra (digamos, passa de 2 a 4 anos), não é

verdade que sua massa também dobra. Se houvesse proporcionalidade direta,

imagine a massa de uma pessoa aos 40 anos...

20

b) Sim. O preço a pagar p é o produto do preço de 1 metro do fio pela quantidade x

de metros: p = kx, onde k é o preço de 1 metro de fio. Mas, às vezes, o vendedor

pode fazer algum desconto se a pessoa comprar muito e, nesse caso, a

proporcionalidade deixa de existir.

c) Sim. De fato, quando o número de cópias dobra (digamos, passa de cinco para

dez), é verdade que o preço a ser pago também dobra.

d) O perímetro p é igual à soma das medidas dos três lados, ou seja, p é o produto

da medida a do lado por 3, ou seja p = 3a. Portanto, o perímetro é proporcional à

medida do lado do triângulo equilátero.

e) Sim, pois a diagonal d é igual ao produto de a por 2 , ou seja, ad .2 . Isso é

possível de perceber aplicando-se o Teorema de Pitágoras.

f) Sim, pois o quociente entre C e r é igual a uma constante: 2π. Ou seja,

rCe

r

C.22

g) Não, a área do círculo não é proporcional ao seu raio. No entanto, como a área

de um círculo é dada pela expressão A = πr2, observamos a seguinte

proporcionalidade: 2r

A. Portanto, a área de um círculo é proporcional ao

quadrado do seu raio.

Páginas 37 - 41

6.

a) 100

1

20

4

10

1222

v

dk .

b) Para d = 83, temos 83.100

1 2 v , cuja solução é 91,1. Portanto, a velocidade

deve ser de aproximadamente 90 km/h.

c) Para v = 80, temos 280.100

1d , cuja solução é 64 metros.

21

7.

a) x = 100 e C = 1 500. Substituindo esses valores na expressão, chegamos ao valor

de k = 5. Isso significa que, a cada quantidade produzida, o custo total aumenta em

5 reais.

b) Aumentará, em ambos os casos, em 5 reais, pois a variação foi de 1 unidade

produzida.

c) x = 200, pois 5 . 200 = 1 000.

d) Não. O custo total C não é diretamente proporcional a x, pois a razão x

C não é

constante. Veja: para x = 1, temos C = 1 005 e, para x = 2, temos C = 1 010;

1

0051

2

0101 , ou seja,

x

C não é constante.

e) Sim, a diferença entre o custo total e o custo fixo é diretamente proporcional a x,

ou seja, o custo variável é diretamente proporcional a x e a constante de

proporcionalidade é igual a 5.

f)

NNoo ddee pprroodduuttooss ((xx))

CCuussttoo ttoottaall DDiiffeerreennççaa eennttrree oo

ccuussttoo ttoottaall ee oo ccuussttoo ffiixxoo ((ccuussttoo vvaarriiáávveell))

RRaazzããoo eennttrree aa ddiiffeerreennççaa ee xx

1 1 000 + 5 . 1 = 1 005 1 005 – 1 000 = 5 51

5

2 1 000 + 5 . 2 = 1 010 1 010 – 1 000 = 10 52

10

3 1 000 + 5 . 3 = 1 015 1 015 – 1 000 = 15 53

15

4 1 000 + 5 . 4 = 1 020 1 020 – 1 000 = 20 54

20

10 1 000 + 5 . 10 = 1 050 1 050 – 1 000 = 50 510

50

8.

a) Mulher: n = 3 . 13 – 22 = 17 / Homem: n = 3 . 16 – 25 = 23.

b) A mulher, pois a parcela subtraída na fórmula é menor do que a do homem.

22

c) A resposta é não. Construindo uma tabela, como a apresentada a seguir,

observamos que a diferença entre os números dos homens e os das mulheres

permanece em 3 unidades e que cada uma delas cresce com a mesma variação: 3 por

polegada.

CC 9 10 11 12 13 14 15 16 17

NNoo hhoommeemm 2 5 8 11 13 15 17 20 23

NNoo mmuullhheerr 5 8 11 13 15 17 20 23 26

Páginas 41 - 42

9.

a) Quando se passa da superfície (x = 0) para uma profundidade de 10 m (x = 10), a

pressão aumenta em 1 atmosfera. Assim, a 10 m de profundidade a pressão será 1 +

1 = 2 atmosferas. Logo, 2 = 1 + k . 10. Calculando k, obtém-se k = 0,1. Esse valor

poderia ser mais rapidamente calculado, bastando dividir o acréscimo de 1 atmosfera

de pressão por 10.

b) A cada metro que descemos, a pressão aumenta de 0,1 atm.

c) x = 20 m.

d) Não, pois a razão entre p e h não é constante.

e) Sim, pois a razão entre a diferença entre as pressões (acréscimo de pressão) e a

profundidade é constante.

23

Páginas 42 - 43

10.

a)

DDiissttâânncciiaa ((dd)) 1 2 3 4 5 6 7

ÁÁrreeaa ((AA)) 1 4 9 16 25 36 49

b) A = d2.

c) A não é diretamente proporcional a d.

d) A é diretamente proporcional a d2 e a razão de proporcionalidade é 1.

24

Páginas 44 - 47

1.

I – c.

II – d.

III – b.

2.

a) 30 gramas.

b) 2 cm3.

c) Por meio da leitura do gráfico podemos verificar que a amostra de 1 cm3 de ferro

tem massa de 7,5 gramas. A massa de 2 cm3 é 15 gramas, enquanto a de 4 cm3 é

30 g. Por outro lado, podemos ler o gráfico com base no eixo vertical: o volume de

uma amostra de ferro de massa 22,5 gramas é de 3 cm3. Esse gráfico indica como

varia a massa m (em gramas) de amostras de ferro de acordo com a variação do

volume V dessas amostras. Observe, então, que ao duplicar o volume (de 1 cm3 para

2 cm3) a massa também duplicou (de 7,5 gramas para 15 gramas); ao triplicar o

volume (de 1 cm3 para 3 cm3) a massa também triplicou (de 7,5 gramas para

22,5 gramas). Assim, concluímos que a massa (ferro) é diretamente proporcional ao

volume.

d) Observando os valores das massas e dos volumes apresentados, verificamos

que: 31

5,7

cm

gramas= 7,5 g/cm3; 32

15

cm

gramas= 7,5 g/cm3;

33

/5,73

5,22cmg

cm

gramas .

Portanto, ao variar o volume V do bloco, sua massa também varia, mas o quociente

entre a massa m e o volume V permanece constante (igual a 7,5 g/cm3).

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE GRANDEZAS PROPORCIONAIS E DE ALGUMAS NÃO PROPORCIONAIS

25

e) VmouV

m5,75,7 .

3.

a)

tt ((hh)) 1 1,5 2 3 4 5 6 8 12

vv ((kkmm//hh))

120 80 60 40 30 24 20 15 10

b) Podemos dizer que as grandezas envolvidas nesse problema – a velocidade

média e o tempo gasto para percorrer a distância dada – não são diretamente

proporcionais, e sim inversamente proporcionais, porque quando o valor de uma

delas é multiplicado por 2, o valor correspondente da outra é dividido por 2. Quando

um deles é dividido por 6, o correspondente da outra é multiplicado por 6 e assim por

diante. Ou seja, duas grandezas x e y são inversamente proporcionais quando os

produtos dos valores de uma pelos correspondentes valores da outra forem

constantes. Gráficos de grandezas inversamente proporcionais são denominados

hipérboles.

c) v . t = 120.

Páginas 47 - 49

4.

a) As grandezas não são diretamente proporcionais porque a razão q

p não é

constante. Por exemplo: 400

10= 0,025 é diferente de

500

8 = 0,016. Da mesma forma,

as grandezas também não são inversamente proporcionais, pois o produto de p e q

também não é constante. Analisando a relação existente entre as grandezas

envolvidas percebemos que quando há aumento de uma ocorre diminuição da outra.

Por isso, essa relação pode ser chamada de decrescente. No entanto, as grandezas em

26

questão não são inversamente proporcionais, pois, quando se compra uma quantidade

de camisetas duas vezes maior, o valor da cada camiseta diminui, mas não é a

metade; quando a quantidade de itens vendidos é triplicada, o preço por unidade

diminui, mas não se reduz a um terço, etc. Portanto, essas grandezas não são direta

nem inversamente proporcionais.

b) O preço varia em 2 reais.

c) O preço diminui 2 reais para cada aumento de 100 unidades vendidas.

d) Considerando que, para cada diminuição de 100 unidades o preço aumenta 2

reais, então, o preço inicial das camisetas seria 18 reais. Como a cada unidade

vendida o preço diminui 0,02 reais, então, podemos escrever que p = 18 – 0,02q.

5.

a) Sim, porque o produto das grandezas envolvidas é constante (36).

b)

No de bombons

No de caixas

2 18

3 12

4 9

6 6

9 4

12 3

27

c)

Páginas 50 - 53

6.

a)

RReettâânngguullooss PPeerríímmeettrroo ((ccmm)) ÁÁrreeaa ((ccmm22))

I 22 24

II 22 10

III 22 30

b) 2x + 2y = 22, logo y = –x + 11.

c) Nesta tabela, consideramos apenas os valores inteiros de x.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

28

d) À medida que o valor de x aumenta, é possível observar também que o valor de

y diminui. Trata-se de uma função decrescente. As variáveis y e x não são

proporcionais entre si.

e) A = x . y = x(– x + 11) = – x2 + 11x.

f) Considerando-se apenas os valores inteiros de x, obtêm-se:

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

A 0 10 18 24 28 30 30 28 24 18 10 0

g) A partir da tabela, pode-se observar que os valores de A e x não são nem direta

nem inversamente proporcionais.

29

h)

Observando o gráfico construído, pode-se concluir que a maior área será obtida para

x entre 5 e 6, isto é, 5,5. Para essa medida, os lados do retângulo devem ser iguais, ou

seja, a área máxima será a de um quadrado.

7.

a) p = 4x

b) A = x²

c) x² = 4x; logo, x = 4

Páginas 54 - 55

8.

a) Se o ingresso custar 4 reais, o lucro será de 12 reais, como mostra o gráfico.

30

b) Não, para valores maiores que 6 reais e menores que 10 reais haverá lucro. A

partir daí, haverá prejuízo.

c) O lucro cresce até 6 reais. A partir daí, ele decresce.

d) O lucro máximo de 16 reais é obtido com o ingresso custando 6 reais.

e) Nesses intervalos o projeto tem prejuízo.

f) Para esses valores, o lucro é o mesmo, isto é, 7 reais. Observa-se que os valores

encontram um eixo de simetria, paralelo ao eixo y, que passa pelo ponto de mínimo

da função x = 6.

 

AJUSTES

Caderno do Professor de Química – 8ª série/9º ano – Volume 2

Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada

página.

16

e) Um quarteirão na forma de um quadrado

foi contornado por uma calçada com 2 me-

tros de largura, o que reduziu a área reser-

vada à construção de imóveis, conforme a

figura a seguir. Com isso a área para cons-

trução passou a ser de 144 m2. Qual era a

medida da área original do quarteirão?

2 m

144 m2

Se x for considerada a medida do lado do qua-

drado original, com a redução de 2 metros o

lado do quadrado interno medirá x – 4 metros:

x – 4

x

144 m22 2

Portanto, é possível escrever a seguinte equação: (x – 4)2 = 144. A solução desta equação pode ser encontrada por meio de cálculo mental. Para isso, devemos notar que 144 é o quadrado do número 12, assim, x – 4 = 12, isto é, x = 16.Logo, a medida da área original do quarteirão era 256 m2.Nesse momento, o professor pode discutir que (–12)2 é igual a 144 e que x – 4 = –12, isto é, x = –8 também satisfaz a equação. Contudo, como –8 não pode ser a medida de um lado do quadrado, a resposta a esse pro-blema será 16 centímetros.

A partir de situações como essas, que podem

complementar outras atividades que o professor

já tenha selecionado para o tratamento desse as-

sunto, pode-se iniciar um enfoque mais formal

das equações de 2º- grau. Para isso, sugerimos

que os alunos comparem as equações construí-

das e apontem as semelhanças e diferenças entre

elas. Para essa comparação será conveniente que

todas estejam na mesma forma. Isso é pos sível

operando algebricamente para obter que o se-

gundo membro da equação fique igual a zero:

a) x2 = 49 x2 – 49 = 0

b) 2y2 = 242 2y2 – 242 = 0

c) a2 = 36 a2 – 36 = 0

d) x(x+8) = 65 x2 + 8x – 65 = 0

e) (x – 4)2 = 144 x2 – 8x – 128 = 0

Quanto às semelhanças, pode-se registrar que:

diferentemente das equações de 1º- grau, f

essas equações possuem um termo cuja

incógnita está elevada ao expoente 2.

É possível que algumas das diferenças

apontadas sejam:

algumas equações não têm o termo de f

grau 1 (x, y, a...) e outras têm;

apenas os problemas f d e e apresentam

uma equação de 2º- grau com três termos

no primeiro membro.

Explore essas observações para introduzir

os termos: equação de 2º- grau completa; equa-

ção de 2º- grau incompleta; coeficientes e raízes

da equação. Enfim, o momento é oportuno

para apresentar a ideia de equação de 2º- grau de

maneira mais formal, ou seja: chama-se equa-

24

Observe, professor, que nos itens dessa ativi-

dade, embora as soluções negativas não tenham

sentido geométrico, satisfazem as equações al-

gébricas. Mais uma vez pode-se aproveitar a

oportunidade para discutir com os alunos que,

enquanto o método geométrico permite a escrita

da equação na forma fatorada conhecida, o mé-

todo algébrico permite a determinação de todas

as soluções reais da equação, quando existirem.

As discussões feitas até aqui convergem para

a ideia de que as equações de 2º- grau quando

fatoradas podem ser resolvidas com fatos já

apreendidos. Com essa abordagem entendemos

que, o desenvolvimento do quadrado da soma

e do quadrado da diferença de dois números e

seus respectivos processos de fatoração ganham

nova importância. Assim, observando o desen-

volvimento de:

(x + a)2 = x2 + 2 . ax + a2

(x – a)2 = x2 – 2 . ax + a2

podemos concluir que: um trinômio é qua-drado perfeito quando o termo que não tem x, termo independente de x, é igual à metade do coeficiente de x elevado ao quadrado.

Como sugestão para abordar esse processo, propomos, a seguir, duas atividades cujo obje-tivo é aprimorar o olhar sobre trinômios qua-drados para identificar quais são perfeitos.

Atividade 8

Quais dos seguintes trinômios da lista a

seguir referem-se a quadrados perfeitos:

a) x2 + 4x + 4

(x + 2)2.

b) x2 – 6x + 9

(x – 3)2

c) 4x2 + 12x + 9

(2x + 3)2

d) 25x2 + 100x + 100

(5x + 10)2

Atividade 9

Encontre o termo que falta para que o tri-

nômio seja um quadrado perfeito:

a) x2 + 18x +

92 = 81

b) 9x2 + x + 4

2 . 3 . 2 = 12

c) x2 – 20x +

102 = 100

d) 4x2 – x + 49

2 . 2 . 7 = 28

Retomando as situações que envolvem a

resolução de equações de 2º- grau, observamos

que, algumas vezes, a equação já apresenta um

trinômio quadrado perfeito como a equação:

x2 + 10x + 25 = 0.

Basta observar que o termo independente

é igual à metade do coeficiente de x elevado

ao quadrado. Portanto, ele já representa um

quadrado perfeito de lado (x + 5). Então:

x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 = 0

Logo: x = –5 é a resposta.