IME IN PRIIMEK: .................... VPISNA ŠTEVILKA: .................... VS Matematiˇ cne metode 1 Prvi izpit, 12. 2. 2015 ✞ ✝ ☎ ✆ 1. NALOGA Z metodo matematiˇ cne indukcije dokažite, da za vsako naravno število n velja (10 %) 1+3+9+ ··· +3 n-1 = 3 n - 1 2 . ✞ ✝ ☎ ✆ 2. NALOGA V geometrijskem zaporedju a n poznamo a 2 =2 in a 5 = 16. • Zapišite splošni ˇ clen zaporedja. (4 %) • Izraˇ cunajte vsoto prvih desetih ˇ clenov. (4 %) • Obrazložite, ali je zaporedje konvergentno. (2 %) ✞ ✝ ☎ ✆ 3. NALOGA Izraˇ cunajte limiti: (a) lim x→∞ -x 3 +3 4x 3 - 12 (4 %) (b) lim x→3 x 2 - 2x - 3 x 3 - 2x 2 - 2x - 3 (8 %) ✞ ✝ ☎ ✆ 4. NALOGA Dana sta množici A = {x ; x ∈ R ∧|2x| < 3x +1} in B = {x ; x ∈ R ∧ x 2 =1}. Zapišite vse elemente množic A, B, A c in A ∩ B ter moˇ c množice B. (13 %) ✞ ✝ ☎ ✆ 5. NALOGA Dana je funkcija g(x)= x 2 - 4x +3. (a) Doloˇ cite niˇ cle funkcije g, ekstreme, zalogo vrednosti ter narišite njen graf. (10 %) (b) Izraˇ cunajte, ali je funkcija liha, ali je soda. (5 %) (c) Izraˇ cunajte prostornino vrtenine (med niˇ clama), ki jo dobimo, ˇ ce zavrtimo graf funkcije g okrog abcisne osi. (10 %)
1. NALOGA Z metodo matematicne indukcije dokaite, da za vsako
naravno tevilo n velja (10 %)1 + 3 + 9 + + 3n1 = 3
n 12
.
2. NALOGA V geometrijskem zaporedju an poznamo a2 = 2 in a5 =
16. Zapiite sploni clen zaporedja. (4 %) Izracunajte vsoto prvih
desetih clenov. (4 %) Obrazloite, ali je zaporedje konvergentno. (2
%)
3. NALOGA Izracunajte limiti:(a) lim
xx3 + 34x3 12 (4 %)
(b) limx3
x2 2x 3x3 2x2 2x 3 (8 %)
4. NALOGA Dana sta mnoiciA = {x ; x R |2x| < 3x+ 1} inB = {x
; x R x2 = 1}.
Zapiite vse elemente mnoic A, B, Ac in A B ter moc mnoice B. (13
%)
5. NALOGA Dana je funkcija g(x) = x2 4x+ 3.(a) Dolocite nicle
funkcije g, ekstreme, zalogo vrednosti ter nariite njen graf. (10
%)
(b) Izracunajte, ali je funkcija liha, ali je soda. (5 %)
(c) Izracunajte prostornino vrtenine (med niclama), ki jo
dobimo, ce zavrtimo graffunkcije g okrog abcisne osi. (10 %)
1. NALOGA Z metodo matematicne indukcije dokaite, da za vsako
naravno tevilo n velja deljivost(10 %)
31 | (25n 1)
2. NALOGA Z uporabo Leibnizovega kriterija ugotovite, ali je
alternirajoca vrsta konvergentna. (10 %)n=1
(2)n3n
3. NALOGA Naj bo (12 %)an =
2n 12n+ 3
.
Ugotovite, od vkljucno katerega clena naprej se vsi cleni
zaporedja razlikujejo od limite zamanj kot ali enako 0, 01.
4. NALOGA Izracunajte nicle, lokalne maksimume, lokalne minimume
in prevoje, dolocite definicijskoobmocje, zalogo vrednosti,
asimptoto ter nariite graf funkcije (25 %)
f(x) =x2
4 x.
5. NALOGA Z metodo per partes izracunajte nedolocen integral.
(13 %)x sin(x) dx
