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Astronomia2017-18
Parte IIStruttura stellare
Generazione di energia
In una data shell, l’energia non è solo assorbita e riemessa, ma anche generata (nella regione del nucleo)
=)(rε Energia/sec generata per unità di massa nella shell di raggio rDipende da composizione e temperaturaPer ogni reazione il valore è specificato dalla fisica nucleare
Soluzioni numeriche in funzione di ε(r)
)()(4 2 rrrdr
dL ρεπ=
“Generazione di energia”
Struttura stellare: Equazioni fondamentali
L’aumento di luminosità dovuto alla generazione di energia dell’intera shell “r” sarà dato da:
)(shell rdMdL ε⋅= )()(4 2 rrdrr ερπ ⋅=
La produzione di energia riguarda il solo nucleo della stella:
� Ci aspettiamo che la luminosità osservata alla superficie siaraggiunta già nelle regioni centrali
Struttura stellare: Equazioni fondamentali
4. Trasporto di energia2 3
'
64 ( )( )
3 ( ) ( )
r T r dTL r
r r drλ
π σκ ρ
= −
3. Equazione di stato( )
( ) ( )r
P r kT rm
ρ= ⋅< >
2. Equilibrio idrostatico 2
( ) ( )( )
dP r GM rr
dr rρ= −
2( )4 ( )
dM rr r
drπ ρ=1. Equazione di continuità
5. Generazione di energia 2( )4 ( ) ( )
dL rr r r
drπ ε ρ=
Energia potenziale di un elemento di massa dm in r0
dm0r
0
0
( )GM r dmdU
r= −
Tempo di free-fall
Equazione dell’equilibrio idrostatico
Che cosa avverrebbe in assenza di pressione interna?
Gradiente di pressione negativo:
Per bilanciare la gravità la pressione deve diminuire verso l’esterno della stella
Collasso della stella.
In quanto tempo?
2
( )( )
dP GM rr
dr rρ= −
(dm è inizialmente a riposo)
2
0
0
( ) 1 ( )
2
M r dm dr M r dmG dm G
r dt r − = −
La massa si conserva:
0( ) ( )M r M r M= =2
0
1
2
dr M MG G
dt r r = −
2 2
0
1 1 1
2dr dt GM
r r
= −
1/2
0
1 12dt GM dr
r r
−
= ± −
1/2
0 00
1 1 1
2
ff ff
ff dt drr rGM
τ ττ
−
= = ± −
∫ ∫
Conservazione dell’energia per dmStella in contrazione. r
Tempo di free-fall
0
1/2
0
00
r r rdr
rr
− −
∫0
1/2
001 /
r rdr
r r
= − ∫
0
1/2
00 0 00
0
/( / )
1 /
r r rd r r r r
r r
= − ∫
1/213/2
0 0 1
xr dx
x −
∫0/r r x≡
/ 2π=
3/202
rπ=
1/2
0 00
1 1 1
2
ff ff
ff dt drr rGM
τ ττ
−
= = ± −
∫ ∫
3/20
1
22ff r
GM
πτ =2 2
0
8
r
G M
π= 3 1
32ff G
πτρ
=< >3
04 1
3
r
M
πρ
=< >
Per il Sole abbiamo:1/2
8 2 2 3
31770s
32 (6.67 10 dyn cm g ) (1.4g cm )ff
πτ − − −
= ≈ × × × In assenza di pressione interna il Sole collasserebbe in un «punto» in circa mezz’ora.
(Sceglieremo il segno che dà un tempo positivo)
� Equilibrio idrostatico
)()(
2r
r
rGM
dr
dP ρ−=
∫∫ −=RR
drrrr
rGMdrr
dr
dP
0
2
0
3 4)()(
4 πρπMassa della shell dM a distanza r dal centro
[ ] ∫ ⋅−⋅R
RdrrrPrrP
0
20
3 4)(34)( ππ
(Integrale per parti)
0)( =RP
Alla superficie della stella la pressione va a zero:
∫ ⋅−=R
drrrP0
24)(3 π
0
13 ( )
R
V P r dVV
= − ⋅
∫ ><−= PV3
Energia potenziale gravitazionale
0
( )R
GR
GM rdM U
r− =∫
><−= PVUGR 3
Valor medio della pressione pesato sugli elementi di
volume dV
Relazione tra energia gravitazionale e pressione
drrrr
rGMdrr
dr
dP 32
3 4)()(
4 πρπ −=
GRGR
V
UP ε
3
1
3
1 −=−>=<Relazione tra pressione media e densità di energia gravitazionale
2 2
0 0
24 ( ) ( )4
3
R R
THr drP r r r drπ ε π=∫ ∫
Moltiplichiamo per l’elemento di volume e integriamo:
Energia termica totale della stellaValor medio della
pressione
Contrazione: � UGR più negativa � ETH aumenta
UGR < 0
Teorema del viriale
Risultato appena ottenuto:
� Equilibrio idrostatico + Equazione di stato
v c<<DB /d h pλ>> ≈
1 1
3 3GR
GR
UP
Vε< >= − = −
Per un gas perfetto in condizioni “classiche”
( ) ( ) ( )P r V r NkT r=Energia termica:
3
2THE NkT=
2 2
3 3TH
TH
EP
Vε= =
dV dV2
3 THP V E< > =
1
3 GRP V U< > = − Teorema del viriale
1
2TH GRE U= −
Espressioni per l’energia totale:
Energia totale è negativa (sistema legato)
total TH GRE E U= +1 1
2 2total GR GR GRE U U U= − + =
total THE E= −
(equazione di stato)3
2PV=
La convezione “rimescola” gli elementi all'interno di una stella
1) Un nucleo convettivo viene rifornito di idrogeno “fresco” proveniente dagli strati superiori
La convezione permette all'energia di fuoriuscire facilmente dalla stella (anche se il gas ha alta opacità)
( ) 1 ( ) ( )
( )
dT r T r dP r
dr P r dr
γγ
−>
Condizione per l’innesco della convezione: elevato gradiente di temperatura
Per gas con gradi di libertà interni (non totalmente ionizzato): 1≈γ
Facilita convezione
2) Se la convezione interessa tutta la stella, elementi processati possono giungere alla superficie (“dredge-up” o “dragamento”)
Osservabili negli spettri
Gas ideale non-relativistico senza gradi di libertà (e.g. H ionizzato): 3/5=γ
Indice adiabaticoP γρ∝
Trasporto di energia per convezione
I modelli stellari prevedono zone diverse di trasporto convettivo a seconda della massa della stella
Modelli stellari
Massa iniziale M
Composizione chimica ni(r)
Evoluzione
)()(4 2 rrrdr
dL ρεπ=
2 364 ( )( )
3 ( )
r T r dTL r
r drλ
π σκ ρ
= −ɶ
( )( ) ( )
rP r kT r
m
ρ= ⋅< >
2
( )( )
dP GM rr
dr rρ= −
)(4 2 rrdr
dM ρπ= )(rρDensità
)(rTTemperatura
)(rLLuminosità
)(rPPressione
Opacitàκ(r)
Generazione di energia εi(r)
Fisica nucleare
Esempio di schema concettualeSoluzioni dettagliate richiedono approccio numerico
Nuova composizioneChimica ni(r)’
Trasporto radiativo/convettivo
Variation of mass, luminosity, temperature, density and pressure inside the Sun
• The Luminosity (energy generation) is even more concentrated in radius, with 99% being within 0.25R
M, L � in terms of surface value
T, P, ρ � in terms of central value
• Mass is highly concentrated towards the centre: 90% of mass within 0.5R, or 0.125 of volume). No sharp outer limit.
• Temperature decreases more gradually
Modello del Sole
• The Density and Pressure drop to ∼10% of its central value at ~0.25R and to ∼0.1% at ~0.5R --- They reach zero asymptotically
Element abundances in the interior of the Sun
Calculated assuming:
• Originally: 27% He, 71% H, 2% metals
• Burning H to He according to local temperatures and densities
Modello del Sole
� PP is not “very” sensitive to T� therefore hydrogen is still able to burn in off-core regions
At r < 0.07R abundance of He exceeds that of H
� In the core CNO is operating
� Slowest CNO reaction: 14N+p � 16O+γ (tCNO = 3.2 x 108yr)
� Sun’s age >> tCNO� equilibrium achieved for abundances of 12C and 14N
Element abundances in the interior of the Sun
Calculated assuming:
• Originally: 27% He, 71% H, 2% metals
• Burning H to He according to local temperatures and densities
Modello del Sole
In the core N is 300 times more abundant than C (<1% of H abundance)
Stelle di Sequenza principale
� Stelle G-F• Bruciamento: PP, CNO
• Nelle regioni centrali il trasporto è radiativo, inviluppo convettivo
� Convezione: Interessa solo piccola frazione della massa � Sole: ∼ 30% del raggio, ∼3% della massa
0.5 1.5M M M< <⊙ ⊙
• Bruciamento: PP
� Stelle K-M
• Alto gradiente di T: � Trasporto dominato dalla convezione
� Le stelle più piccole potrebbero essere interamente convettive
0.5M M<⊙
� Stelle F-B• Bruciamento: CNO• Grande energia generata nel nucleo � nucleo convettivo� inviluppo radiativo
1.5M M>⊙
Trasporto di energia
Modelli stellari
Verifiche sperimentali dei modelli di struttura stellare:
2. Elio/astro-sismologia
3. Neutrini (sole)
2 e 3 sondano direttamente le regioni interne
1. Osservazioni della superficie
Eliosismologia
ρddPcs /=La distribuzione statistica delle oscillazioni dipende dalla velocità del suono
Onde sismiche: deviate in corrispondenza di discontinuità (forte gradiente)
Modi a grande scala � onde generate presso il centro del soleModi su piccola scala � onde in superficie
Analisi delle oscillazioni � Misura di precisione della velocità del suono: da R (superficie) a ~0.1 R
Onde sonore (di pressione) mantenute dai moti di convezione (“p-modes”, onde stazionarie)
- Osservazioni da terra
- SOHO � ~107 modi di oscillazione
Test accurati del modello standard della struttura solare
[ ]32-2 cm/g)cmscm(g −− ⋅⋅⋅ [ ]22 scm −⋅=
Oscillazioni di porzioni della superficie solare
Periodo caratteristico ~5 min
Fenomeno studiato sfruttando effetto Doppler
Scoperte nel 1962, spiegate solo negli anni ‘70
Osservazioni della fotosfera
EliosismologiaOscillation speed ~0.1 m/s
Oscillation periods: ~1.5 to ~20 min Horizontal wavelengths: 103 to 106 km
Goal: solve inverse problem� Invert observed oscillation data in order to estimate the internal properties of the Sun� Derive radial profiles of: density, temperature, sound speed
Energy Source: ConvectionThermal energy converted into kinetic energy of pulsation
Millions of oscillation modes (standing waves)
Spherical harmonics
, ( , )mY θ φℓ
Eliosismologia
HelioseismologyJørgen Christensen-Dalsgaard Rev. Mod. Phys. 74, 1073–1129 (2002)
3000 Hz 3mHzµ = 5.5min→
Eliosismologia
Helioseismology, Jørgen Christensen-Dalsgaard , Rev. Mod. Phys. 74, 1073–1129 (2002)
7400nHz 4 10 Hz−= × 28.9d→
Profilo di rotazione interna
Eliosismologia
� Corrisponde a r = 0.711 R
Determinazione del raggio a cui si instaura la convezione
Velocità del suono
Derivata
Cambiamento di pendenza nella curva di velocità� Discontinuità nella derivata dv/dr
� Discrepanze <1% con modello solare standard
Eliosismologia
Attualmente:
Residui della curva misurata di velocità del suono (al quadrato) rispetto alla predizione del modello standard.
I residui sono entro lo 0.4%
Piccole discrepanze ancora non spiegate (e.g. picco vicino alla transizione alla zona di convezione, r/R ~ 0.7)
� Ma: grande confidenza nel modello standard (SSM)
Neutrini solari
Le reazioni nucleari (PP, CNO) nel Sole generano un flusso enorme di neutrini
• Plasma essenzialmente trasparente ai neutrini
• Ci giungono in ∼8.5 min direttamente dalle zone centrali del Sole
Il processo della reazione PP:
νedpp ++→+ +
produce la maggior parte dei neutrini solari.
Poco energetici � difficili da osservare
Misura molto difficile
Unità di misura per flusso di neutrini:
SNU (Solar Neutrino Unit) = 10-36 catture di neutrini per atomo per secondo
Processo PP-III � neutrini più energetici, flusso più basso
Verifica dei modelli di struttura stellare: osservazione alla superficie delle stelle, l’interno è opaco ai fotoni
I fotoni impiegano ∼105 yr per emergere alla superficie
( Borexino 2014 )
Neutrini solariCatena PP
18 MeV (flusso bassissimo!)
Neutrini solariCiclo del Carbonio: energie
Flussi aspettati
Variante molto rara della ppNeutrini solari di max energia: 18 MeV (flusso bassissimo!)
Neutrini solari
Spettro dei neutrini solari
Rivelatori
Problema: Fondo di raggi cosmici
E’ necessario condurre gli esperimenti sotto terra
� lo strato di roccia assorbe i raggi cosmici ma non i neutrini
Rivelatori di neutrini solari: grandi vasche riempite di sostanze liquide, i cui nuclei reagiscano con neutrini di una certa energia.
Percentuali:Incertezze del modello