MATEMÁTICAS IIIGONZALO DÍAZ BENITO.

EJE SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

2.1 Patrones y ecuaciones.

Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización

Método de factorizaciónEl método de factorización para resolver ecuaciones de segundo grado consiste en lo siguiente:

PASO 1: la ecuación debe estar escrita en la forma general, es decir, los tres términos concentrados en el primer miembro y ordenados como  x²+bx+c=0. por ejemplo: x²-13x-48=0

PASO 2: Se escribe el esquema para un producto de dos factores igualado a 0.

( ) ( )=0

PASO 3: El primer termino de cada factor es la raíz cuadrada del primer termino de la ecuación; en este caso x.

(X) (X)=0

PASO 4: Se buscan dos números que sumados den (-13) y multiplicados , (-48) .

(x-16)(x+3)=0

PASO 5: las raíces son los opuestos de los números encontrados en el paso anterior.

X1 =16 X2= -3

Si el coeficiente de X2 no es 1 conviene dividir los términos de la ecuación para que sea igual a 1.

Por ejemplo al dividir entre 4 la ecuación 4x2+2x-6=0, queda x2+ 1/2x-3/2=0.

Ejemplos: x 2 – 4 = 0

x 2 = 4

x = √ 4

x = 2 x = - 2

2x 2 – 18 = 0 2x 2 – 18 = 0 x 2 = _ 18 _ 2 x 2 = 9

x 2 = √9 x = 3 x = -3

x 2 + 1 = 0 x 2 = -1

x = √ -1

No hay solución, porque no existe la raíz cuadrada de un número negativo en el conjunto de los números reales.

EJERCICIOS:

En lecciones precedentes se estudiaron los siguientes casos de producto de binomios: conjugados, elevados al cuadrado y con un término común; todos ellos dan como resultado polinomios de segundo grado:

(x – d)(x + d) = x ² – d²

¿Cuál es la solución de:

64x² – 96x + 36 = 0

Resuelve las ecuaciones por medio de factorización.

a) x² – 17x + 70 = 0

b) b) x² – 11x + 24 = 0

c) c) x² – x – 90 = 0

d) d) x² + 15x + 56 = 0

e) e) x² + 14x – 15 = 0

f) f) x² – 6x + 5 = 0

g) g) x² – 18x – 40 = 0

h) h) x² + 11x – 60 = 0

i) i) x² – 9x + 20 = 0

j) j) x² – 7x – 30 = 0

k) x² + x – 90 = 0l) x² + 12x + 32 = 0 m) x² – 17x + 30 = 0 n) x² – 2x – 8 = 0 ñ) x² + 8x + 15 = 0o) x² – 19x + 90 = 0 p) x² + 5x – 50 = 0 q) x² + 13x + 42 = 0 r) x² + 7ax + 12a² = 0

Factoriza cada ecuación como un binomio al cuadrado y encuentra la solución.

  a) x² – 14x + 49 = 0

b) x² – 12x + 36 = 0

c) x² + 12x + 36 = 0

d) x² + 24x + 144 = 0

e) x² – 16x + 64 = 0

f) x² – 18 + 81 = 0

g) x² + 26x + 169 = 0

h) x² + 22x + 121 = 0

Completa la tabla FORMA GENERAL FORMA FACTORIZADA SOLUCIONES

X2+6X+5=0 (x+1) ( )= 0

(x+2) (x-3)=0

(x-2) (x+3)=0

(x-2) (x-3)=0

(x+S) (x+t)=0 x1=-s

Construye ecuaciones de segundo grado cuyas soluciones sean las siguientes.

a) 2 y –3

b) –1 y –2

c) –1 y –4

d) 4 y –5

e) –4 y 8

f) 10 y 50

g) 6 y 10

h) –6 y 10

i) 6 y –10

La formula general de las ecuaciones de segundo grado es ax2+bx+c=0. En esta , a,b y c representan números conocidos y x es la incógnita. Con base en esta información haz lo siguiente:

a) Considera la ecuación x2+2x-15=0 para determinar los siguientes valores: a= _______ b=_______ c=_______

b) Explica porque en tu ecuación de segundo grado el valor de a no puede ser 0

Resuelve: correctamente las siguientes ecuaciones cuadráticas completas por factorización.

x 2 + 7x + 12 = 0

x 2 – x – 6 = 0

x 2 + 7x + 10= 0

x 2 - 5x + 4 = 0