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2.2 方程式的圖形. 2.2 方程式的圖形. 學習目標 手繪方程式的圖形。 求方程式圖形的 x 截距和 y 截距。 寫出圓方程式的標準式。 求兩個圖形的交點。 用數學模型做為實際生活問題的模型並解之。. 第二章 函數、圖形與極限. P.2-10. 方程式的圖形. 在 2.1 節用座標系統圖形顯示兩個數量的關係,這些圖形為座標平面上點的集合 ( 參考 2.1 節範例 2) 。. 第二章 函數、圖形與極限. P.2-10. 方程式的圖形. - PowerPoint PPT Presentation
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2.2 方程式的圖形
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2.2 方程式的圖形
學習目標 手繪方程式的圖形。 求方程式圖形的 x 截距和 y 截距。 寫出圓方程式的標準式。 求兩個圖形的交點。 用數學模型做為實際生活問題的模型並解之。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-10
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方程式的圖形
在 2.1 節用座標系統圖形顯示兩個數量的關係,這些圖形為座標平面上點的集合 ( 參考 2.1 節範例 2) 。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-10
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方程式的圖形
兩個數量的關係常以方程式來表示。例如,華氏與攝氏溫度的關係可表示成方程式 。在這一節,可學到描繪此類方程式圖形的步驟。方程式的圖形 (graph) 就是這個方程式所有解的點集合。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-10
932
5F C
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範例 1 描繪方程式的圖形
描繪 y = 7 - 3x 的圖形。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-10
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範例 1 描繪方程式的圖形 (解)
描繪方程式圖形的最簡單方法就是繪點法,也就是找出方程式幾個解點,連同其值製成一個表格,如下所示。例如,當 x = 0 時
y = 7 - 3(0) = 7
所以 (0, 7) 為圖形上的一個解點。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-10
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範例 1 描繪方程式的圖形 (解)
從表可知, (0, 7) 、 (1, 4) 、 (2, 1) 、 (3, - 2) 和 (4, - 5) 是方程式的解點,將這些點描繪出之後,可看出它們是在一條直線上,如圖 2.13 所示。所以方程式的圖形就是通過這五個點的直線。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-10
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學習提示
雖然將圖 2.13 的圖形視為 y = 7 - 3x 的圖形,實際上這只是圖形的一部分。完整的圖形應該是延伸到這一頁外面的直線。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-10
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檢查站 1
描繪 y = 2x + 1 的圖形。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-10
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範例 2 描繪方程式的圖形
描繪 y = x2 - 2 的圖形。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-11
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範例 2 描繪方程式的圖形 (解)
首先製作表格,如下所示。
接著,畫出表中的點,如圖 2.14(a) 所示。最後,以平滑曲線將各點連接起來,如圖 2.14(b) 所示。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-11
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範例 2 描繪方程式的圖形 (解)
第二章 函數、圖形與極限 P.2-11 圖 2.14
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學習提示
範例 2 所示的圖形為拋物線 (parabola) 。任何一個二次方程式如
y = ax2 + bx + c, a 0
其圖形有相似的形狀。如果 a > 0 ,則拋物線開口向上,如圖 2.14(b) ,如果 a < 0 ,則拋物線的開口向下。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-11
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檢查站 2
描繪 y = x2 - 4 的圖形。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-11
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方程式的圖形
範例 1 和範例 2 所示的繪點技巧雖然是很容易使用的,但是有一些缺點:如果解點太少,可能會使方程式的圖形不是正確的圖形。例如,該如何連接在圖 2.15 中的四個點?在沒有更多資訊之下,圖 2.16 中的三個圖形都是合理的。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-11
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方程式的圖形
第二章 函數、圖形與極限 P.2-11 圖 2.15
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方程式的圖形
第二章 函數、圖形與極限 P.2-11 圖 2.16
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圖形的截距
含有零的解點,不管是 x 座標或 y 座標,都很容易求得。因為這些點是圖形與 x 軸或 y 軸的交點,所以稱為截距 (intercepts) 。
有些書是用點 (a, 0) 的 x 座標來表示 x 截距而不是點本身。除非有區分的必要,否則將用截距這個名稱來表示點或座標。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-11~2-12
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圖形的截距
一個圖形可能沒有截距或有數個截距,如圖 2.17 所示。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-12 圖 2.17
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代數技巧代數技巧
求截距時就是要求解方程式。有關求解方程式之技巧的複習,可參考本章的代數複習。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-11
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範例 3 求 x 和 y 截距
求下列方程式圖形的 x 和 y 截距。a. y = x3 - 4x
b. x = y2 - 3
第二章 函數、圖形與極限 P.2-12
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範例 3 求 x 和 y 截距 (解)
a. 令 y = 0 ,則 0 = x(x2 - 4) = x(x + 2)(x - 2) 。所以 x = 0 或 x = ±2 。令 x = 0 ,則 y = (0)3- 4(0) = 0 。 x 截距: (0, 0), (2, 0), ( - 2, 0)
y 截距: (0, 0) 參考圖 2.18
b. 令 y = 0 ,則 x = (0)2- 3 = - 3 。令 x = 0 ,則 y2 - 3 = 0 的解 y = 。
x 截距: ( - 3, 0) y 截距: (0, ), (0, ) 參考圖 2.19
3
第二章 函數、圖形與極限 P.2-12
3
3
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範例 3 求 x 和 y 截距 (解)
第二章 函數、圖形與極限 P.2-12 圖 2.18
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範例 3 求 x 和 y 截距 (解)
第二章 函數、圖形與極限 P.2-12 圖 2.19
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檢查站 3
求下列方程式圖形的 x 和 y 截距。a. y = x2 - 2x - 3
b. y2 - 4 = x
第二章 函數、圖形與極限 P.2-12
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圓
讀者將由本書學會從方程式辨識幾種類型的圖形。例如, y = ax2 + bx + c , a ≠ 0 的二次方程式之圖形是拋物線 ( 參考範例 2) ,另一容易辨識的是圓 (circle) 的方程式。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-12
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圓
考慮如圖 2.20 的圓。一點 (x, y) 在圓上的條件為若且唯若它與圓心 (h, k) 的距離是 r 。由距離公式可得,
將方程式的兩邊平方,即可得到圓方程式的標準式 (standard form of the equation of a circle) 。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-13
2 2( ) ( )x h y k r
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圓
第二章 函數、圖形與極限 P.2-13 圖 2.20
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圓
由此,可看出以原點 (h, k) = (0, 0) 為圓心的圓方程式的標準式可化簡為 x2 + y2 = r2 以原點為圓心的圓
第二章 函數、圖形與極限 P.2-13
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範例 4 求圓的方程式
第二章 函數、圖形與極限 P.2-13 圖 2.21
已知點 (3, 4) 在圓心為 ( - 1, 2) 的圓上,如圖 2.21 所示。求此圓方程式的標準式。
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範例 4 求圓的方程式 (解)
圓的半徑等於 ( - 1, 2) 和 (3, 4) 之間的距離。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-13
2 2[ ( )] ( )
16 4
20
3 1
4
2
r
距離公式
化簡
半徑
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範例 4 求圓的方程式 (解)
用 (h, k ) = (1, 2) ,則圓方程式的標準式為
第二章 函數、圖形與極限 P.2-13
2 2 2
2 2 2
2 2
1 2 2
( ) (
0
)
[ ( )] ( ) ( )
( 1) ( 2) 20
x h y k r
h k rx y
x y
代入
、 和 的值
寫 出標準式
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檢查站 4
已知點 (1, 5) 在圓心為 ( - 2, 1) 的圓上,求此圓方程式的標準式。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-13
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圓
若要把一般式改為標準式,可用完全配方 (completing the square) 來處理,如範例 5 所示。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-13
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範例 5 完全配方
第二章 函數、圖形與極限 P.2-14
描繪一般式為方程式 4x2 + 4y2 + 20x - 16y + 37 = 0 的圓。
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範例 5 完全配方 (解)
首先將方程式除以 4 ,使得 x2 和 y2 的係數皆為 1 。
從這個標準式可看出圓心為 ( - , 2) 以及半徑為 1 ,如圖 2.22 所示。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-14
5
2
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範例 5 完全配方 (解)
第二章 函數、圖形與極限 P.2-14 圖 2.22
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檢查站 5
寫出圓x2 + y2 - 4x + 2y + 1 = 0
之方程式的標準式,並繪出其圖形。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-14
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圓
一般式的方程式 Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0 並非都是圓。事實上,如果完全配方後得到不可能的結果,這個方程式就沒有任何的解點。例如 (x - h)2 + (y - k) 2 = 負數 無解
第二章 函數、圖形與極限 P.2-14
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交點
兩個圖形的交點 (point of intersection) 就是這兩個圖形共同的解點。例如,圖 2.23 所示,方程式 y = x2 - 3 和 y = x - 1 的圖形有兩個交點: (2, 1) 和 ( - 1, - 2) 。求交點時,先令兩方程式的 y 值相等,然後解方程式 x2 - 3 = x - 1 以求 x 值。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-14 圖 2.23
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交點
交點常見的商業應用就是收支平衡分析 (break-even analysis) 。一種新產品的行銷一般都需要一筆期初投資。當售出的量足夠使總收入抵銷總成本時,產品的銷售就達到收支平衡點 (break-even point) 。以 C 來表示生產 x 單位產品的總成本 (total cost) ,以 R 表示銷售 x 單位產品的總收入 (total revenue) 。令 C 等於 R 再求解 x 值就可得收支平衡點。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-14
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範例 6 求收支平衡點
某家公司生產一種產品的單位成本為 $0.65 ,而單位售價為 $1.20 ,生產此產品的期初投資為 $10,000 。如果賣出 18,000 單位的產品,這家公司會收支平衡嗎?要售出多少單位才能收支平衡?
第二章 函數、圖形與極限 P.2-14
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範例 6 求收支平衡點 (解)
生產 x 單位產品的總成本為 C = 0.65x + 10,000 成本方程式售出 x 單位的總收入為
R = 1.2x 收入方程式令成本等於收入,解出 x 值以求得收支平衡點。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-15
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範例 6 求收支平衡點 (解)
所以如果只售出 18,000 單位,這家公司不會收支平衡,須售出 18,182 單位才可收支平衡,由圖 2.24 可看出結果。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-15
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範例 6 求收支平衡點 (解)
第二章 函數、圖形與極限 P.2-15 圖 2.24
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檢查站 6
第二章 函數、圖形與極限 P.2-15
在範例 6 中,如果產品的單位售價是 $1.45 ,則公司須售出多少單位才能收支平衡?
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交點
經濟學家用來分析市場的兩種應用是供給與需求方程式。供給方程式 (supply equation) 表示一種產品的價格 p 和它的供給量 x 之間的關係,供給方程式的圖形稱為供給曲線 (supply curve)( 參考圖 2.25) 。典型的供給曲線是上升的,因為生產者會想在單價較高的時候賣出較多的產品。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-15
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交點
第二章 函數、圖形與極限 P.2-15 圖 2.25
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交點
需求方程式 (demand equation) 表示一種產品的單價 p 和它的需求量 x 之間的關係,需求方程式的圖形稱為需求曲線 (demand curve)( 參考圖 2.26) 。典型的需求曲線傾向於單價增加時需求量就減少。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-15
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交點
第二章 函數、圖形與極限 P.2-15 圖 2.26
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交點
在理想的情況下,如果沒有其他因素影響市場的話,產量應該會固定在供給曲線和需求曲線的交點,這個點稱為平衡點 (equilibrium point),平衡點的 x 座標稱為平衡數量 (equilibrium quantity) ,而 p 座標稱為平衡價格 (equilibrium price)( 參考圖 2.27) 。只要令需求方程式等於供給方程式再求解 x ,即可得平衡點。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-15
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交點
第二章 函數、圖形與極限 P.2-15 圖 2.27
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範例 7 求平衡點
DVD 播放機的需求和供給方程式分別為 p = 195 - 5.8x 需求方程式 p = 150 + 3.2x 供給方程式
其中 p 表示單價 (美元 ) ,而 x 表示數量 (百萬 ) ,求市場的平衡點。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-16
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範例 7 求平衡點 (解)
令需求方程式等於供給方程式。 195 - 5.8x = 150 + 3.2x 令方程式相等 45 - 5.8x = 3.2x 等號兩邊各減
150
45 = 9x 等號兩邊各加 5.8x
5 = x 等號兩邊各除以 9
所以平衡點發生在需求與供給皆為 5 百萬單位時 ( 參考圖 2.28) 。此時的價格可由代入 x = 5 到任一方程式而求得。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-16
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範例 7 求平衡點 (解)
例如,代入需求方程式可得p = 195 - 5.8(5) = 195 - 29 = $166
代入 x = 5 到供給方程式也會得到同樣的價格。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-16
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檢查站 7
計算機的需求與供給方程式分別為 p = 136 - 3.5x 和 p = 112 + 2.5x ,其中 p 表示單價 (美元 ) ,而 x 表示數量 (百萬 ) ,求市場的平衡點。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-16
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數學模型
本書將可看到很多使用方程式做為實際生活問題的數學模型 (mathematical models) 的例子。在發展用來表示實際資料的數學模型時,應該朝向兩個 ( 通常是互相牴觸的 ) 目標——準確和簡易。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-16
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範例 8 數學模型的使用
下表顯示從 2001 到 2005 年 Dillard’s 和 Kohl’s 公司的年營業額 (百萬美元 ) 。在 2006 年夏天, Value Line 預測 2006 年兩家公司年營業額分別為 7625 和 15,400 (百萬美元 ) 。這些預測是如何得到的? ( 資料來源: Dillard’s 和 Kohl’s 公司 )
第二章 函數、圖形與極限 P.2-16
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範例 8 數學模型的使用 (解)
第二章 函數、圖形與極限 P.2-17
這些預測是用過去的營收來推測未來的營業額所得到的。過去的營收用一個方程式來做模型,而這個方程式是由一種統計學的最小平方迴歸分析方法所得到的。
S = 56.57t2 - 496.6t + 8618, 1 ≤ t ≤ 5 Dillard’s
S = 28.36t2 - 1270.6t 6275, 1 ≤ t ≤ 5 Kohl’s
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範例 8 數學模型的使用 (解)
用 t = 6 表示 2006 年,則可推測 2006 年營收為
S = 56.57(6)2 - 496.6(6) + 8618 7675 Dillard’s
S = 28.36(6)2 - 1270.6(6) + 6275 14,920 Kohl’s
這兩個預測值非常接近 Value Line 的預測,兩個模型的圖形顯示在圖 2.29 。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-17
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範例 8 數學模型的使用 (解)
第二章 函數、圖形與極限 P.2-17 圖 2.29
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代數技巧
對範例 8 中式子的求值,如有需要可參考本章代數複習的運算順序。
第二章 函數、圖形與極限 P.2-16
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檢查站 8
下表顯示從 1999 到 2005 年 Dollar General 公司的年營業額,在 2005年夏天, Value Line 預測 2006 年 Dollar General 年營業額為 9300 (百萬美元 ) ,此預測與下列模型的預測如何比較? ( 資料來源: Dollar General 公司 )
S = 16.246t2 + 390.53t - 951.2, 9 ≤ t ≤ 15
第二章 函數、圖形與極限 P.2-17
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學習提示
第二章 函數、圖形與極限 P.2-17
若要評估模型的準確度,可將實際值與模型的預測值做比較。例如,下表比較 Kohl’s 的實際營業額與範例 8 之模型所求得的值。
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數學模型
第二章 函數、圖形與極限 P.2-17
微積分的內容大都以數學模型之圖形的變化為中心,圖 2.30 顯示六個基本代數方程式的圖形,熟悉這些圖形將有助於建立數學模型從而加以應用。
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數學模型
第二章 函數、圖形與極限 P.2-18 圖 2.30