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Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
1
ACTIVIDADES de la página 201
1. Un golfista golpea la pelota en la salida del hoyo a una velocidad de 26 m/s. Si la pelota sale del suelo con un ángulo de 40º y cae dentro de la calle del hoyo, halla la altura máxima que alcanza y el alcance. ¿Cuánto tiempo permanece la pelota en el aire?
La altura máxima, ymáx, que alcanza la bola es .25,148,9·2
º40·26 22
max msen
y ==
El alcance máximo, xmáx, horizontal es .93,678,9
80·262
max msen
x ==
El tiempo que permanece la bola en el aire es: t = segundossen
42,338,9
40·26·2=
La trayectoria que describe la bola es una parábola de ecuación y = 0,8391x – 0,0124x2 cuya gráfica puede verse a continuación.
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
2
2. Un portero de fútbol golpea el balón desde el césped con un ángulo de 55º. Si el balón cae sobre el campo a una distancia de 65 metros sin que antes la toque ningún jugador, averigua la velocidad inicial del lanzamiento y el tiempo que permanece el balón en el aire.
Utilizando la expresión del alcance máximo horizontal (xmax),g
senvx
α2·20
max = , sustituyendo los datos del
enunciado y operando, obtenemos:
./04,2688,677º110
8,9·658,9
º110·65 0
20
20
20 smvv
senv
senv=⇒=⇒=⇒=
La velocidad inicial del lanzamiento ha sido de 26,04 m/s.
El tiempo que permanece el balón en el aire es: t = segundossen
66,428,9
55·04,26·2=
3. D ibuja las trayectorias de lanzamiento para ángulos α = 10º, 20º, 30º…, 80º y 90º con una velocidad inicial de lanzamiento fija, v0 = 25 m/s ≈ 90 km/h. Utiliza algún programa de geometría dinámica.
Para dibujar las trayectorias descritas con Geogebra seguimos los siguientes pasos:
1º. Creamos dos deslizadores:
- Uno relacionado con la velocidad inicial, de nombre v0, como número, con valor mínimo 10, valor máximo 100 e incremento 5.
- Otro relacionado con el ángulo de lanzamiento, de nombre α, como ángulo, con valor mínimo 10º, valor máximo 90º e incremento 10.
2º Con el comando Función (<Función>, <Valor inicial>, <Valor final>) introducimos la función
cuadrática con la expresión 22
0
2
)(cos··2·8,9
·α
αv
xtgxy −= , con Valor inicial, 0 y Valor final
8,9)2(·2
0max
αsenvx = .
3º Ponemos en los deslizadores los valores que deseemos, por ejemplo, v0 = 25 m/s y α = 20º, y obtenemos la trayectoria del lanzamiento correspondiente a esas condiciones.
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
3
4º. Para calcular el alcance máximo vertical, con el comando Máximo (<Función>, <Valor inicial>,
<Valor final>) tecleamos como Función f, Valor inicial 0 y Valor final 8,9
)2(·20
maxαsenv
x = . En las
Propiedades o Configuración del punto lo llamamos ymax y hacemos que aparezca su Nombre y valor.
5º. Para calcular el alcance máximo horizontal, introducimos el punto A = (0, xmax) siendo
8,9)2(·2
0max
αsenvx = . En las Propiedades o Configuración del punto lo llamamos xmax y hacemos que
aparezca su Nombre y valor.
En el dibujo podemos ver la trayectoria para una velocidad inicial v0 = 25 y un ángulo de lanzamiento α = 20º. Se obtiene como alcance máximo vertical ymax = 3,73 metros y como alcance máximo horizontal xmax = 40,99 metros.
● Si fijamos la velocidad inicial, por ejemplo v0 = 25 m/s y variamos los ángulos de lanzamiento, desde α = 10º hasta α = 90º, obtenemos las trayectorias que aparecen en el gráfico.
Para que aparezcan todas las trayectoria, en las Propiedades o Configuración de una de ellas hay que tildar la opción Mostrar rastro.
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
4
Fijada una velocidad inicial, por ejemplo v0 = 25 m/s, el mayor alcance horizontal se alcanza para un ángulo de 45º.
● Si fijamos un ángulo de lanzamiento, por ejemplo 30º, y variamos las velocidades iniciales, desde 10 hasta 70, obtenemos las trayectorias que aparecen en el gráfico.
Para que aparezcan todas las trayectorias, en las Propiedades o Configuración de una de ellas hay que tildar la opción Mostrar rastro.
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
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4. En cada una de las trayectorias anteriores, determina el alcance y la altura máxima alcanzada por el balón.
En las gráficas del apartado anterior podemos ver el alcance y la altura máxima pedidas.
5. ¿Para qué valor del ángulo α se obtiene el alcance máximo horizontal?
Como vemos en las gráficas el alcance máximo se produce para α = 45º. Mediante Optimización de funciones también podemos hallar para qué valor del ángulo el alcance es máximo.
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
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CUESTIONES INICIALES de la página 202
1. Calcula los cinco primeros términos de las sucesiones cuyos términos generales son:
a) 2
2 nnan+
=
b) 22·3 −= nnb
c) nc nn ·)1( 1+−=
d) nnn ddddd +=== ++ 1221 ,1,1
Los términos pedidos son:
a) 2
2 nnan+
= : 1, 3, 6, 10 y 15.
b) 22·3 −= nnb :
23 , 3, 6, 12 y 24.
c) nc nn ·)1( 1+−= : 1, - 2, 3, - 4 y 5.
d) nnn ddddd +=== ++ 1221 ,1,1 : 1, 1, 2, 3 y 5
2. Calcula la suma de los n primeros números naturales y la suma de los n primeros cuadrados.
a) Las sumas parciales y la suma total son:
1 = 1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10, … , 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = 2
2 nn +
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
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b) Las sumas parciales y la suma total son:
12 = 1, 12 + 22 = 5, 12 + 22 + 32 = 14, 12 + 22 + 32 + 42 = 30, … , 12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 = 632 23 nnn ++
3. Un oficial de caballería vende su caballo purasangre con la condición de que le paguen 1 céntimo de euro por el primer clavo de una herradura del caballo; 2 céntimos, por el segundo clavo; 4 por el tercero; 8 por el cuarto; y así, sucesivamente hasta el último clavo de los 32 de las cuatro herraduras. ¿Cuánto pide por el caballo?
Obtenemos:
1er clavo = 0,01 euros.
2º clavo = 0,02 euros.
3er clavo = 0,04 euros.
4º calvo = 0,08 euros.
…
32º clavo = 0,01 · 231 euros.
Por el caballo pide la suma de todos los términos anteriores:
)12(·01,012
01,02·2·01,0 3231
−=−
−=S euros.
La sucesión es una progresión geométrica de razón r = 2. En total pedía 42 949 672, 95 euros.
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
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ACTIVIDADES de la página 205 1. Escribe los primeros términos de las sucesiones cuyos términos generales son los que siguen:
a) n
nan 312 +
=
b) 2
3 2 nnbn−
=
c) c1 = 2, c2 = -2, cn = cn-1 – cn-2
Los términos pedidos son:
a) n
nan 312 +
= : 1, 1511,
129,
97,
65
b) 2
3 2 nnbn−
= :1, 5, 12, 22 y 35.
c) 2121 ,2,2 −− −=−== nnn ccccc : 2, -2, -4, -2, 2.
2. Halla el término general de cada una de las siguientes sucesiones:
a) 3, 7, 11, 15, 19… c) 1, 4, 9, 16, 25…
b) - 2, 4, - 8, 16, -32… d) 5, 2, - 1, - 4, - 7…
a) Esta sucesión es una sucesión aritmética de diferencia 4, por lo que el término general es: an = 4n – 1.
b) Esta sucesión es una sucesión geométrica de razón (- 2), por lo que el término general es: bn = (- 2)n.
c) Esta sucesión es la sucesión de los cuadrados de los números, por lo que el término general es: cn = n2.
d) Esta sucesión es una sucesión aritmética de diferencia (- 3), por lo que el término general es: dn = 8 - 3n.
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
9
ACTIVIDADES de la página 208
3. Sean las sucesiones de números pares ( ) ( )nan 2= y de números impares ( ) ( )12 −= nbn . Completa en tu cuaderno la siguiente tabla, hallando los cinco primeros términos y el término general de cada una de las siguientes sucesiones:
SUCESIONES TÉRMINOS TÉRMINO GENERAL
( ) ( )nn ba + 3, 7, 11, 15, 19 (4n – 1)
( ) ( )nn ab − - 1, - 1, - 1, - 1, - 1 (-1)
( )na·3 6, 12, 18, 24, 30 (6n)
( )nb·2− - 2, - 6, - 10, - 14, - 18 (- 4n + 2)
( ) ( )nn ba · 2, 12, 30, 56, 90 (4n2 – 2n)
( ) ( )nn ba ·: 2, 9
10,78,
56,
34
−122
nn
( )nanb 1, 81, 15625, 5764801, 3486784401 ( ) nn 212 −
ACTIVIDADES de la página 210
4. Encuentra los primeros términos de cada una de las siguientes sucesiones y, a partir de ellos, estudia su acotación y su monotonía:
a) n
nan1−
= b) n
bn +=
23
c) ( ) 211 nc nn
+−=
a) ...54,
43,
32,
21,0
Esta sucesión está acotada superiormente por 1 e inferiormente por 0 y es monótona creciente.
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
10
b) ...73,
63,
53,
43,1
Esta sucesión está acotada superiormente por 1 e inferiormente por 0 y es monótona decreciente.
c) 1, - 4, 9, - 16, 25...
Esta sucesión no está acotada y no es monótona creciente ni decreciente.
5. Calcula el límite de las siguientes sucesiones e indica si estas son o no convergentes:
a) ...161,
81,
41,
21,1 b) 3, - 3, 6, - 6, 12, - 12… c)
12+
=n
nan d) 2
3+=
nbn
a) Esta sucesión tiende a 0. Es convergente.
b) Esta sucesión no es convergente.
c) Esta sucesión tiende a 2. Es convergente.
d) Esta sucesión tiende a ∞+ . No es convergente.
ACTIVIDADES de la página 214
6. Para cada una de las siguientes sucesiones halla los términos que se indican y, a partir de ellos, encuentra el límite de las mismas:
a) n
na
=
21 ; a10 000; a5 000 000 b)
−
=n
nbn 214 ; b100 000; b1000 000
Los términos pedidos son:
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
11
a) a10 000 = 0 y a5 000 000 = 0. El límite de esta sucesión es 0.
b) b100 000 = 1,999995 y b1000 000 = 1,9999995. El límite de esta sucesión es 2.
7. Resuelve las indeterminaciones presentes en los límites siguientes:
a) 16
42
2
++
nnnlím c)
−2·
123 n
nlím e)
−
+ nn
nlím3
12 2
b) 2732
3
2
−+−
nnnlím d) ( )323 −−+ nnlím f) [ ]nnnlím 234 2 −−
El valor de los límites es:
a) 32
164
2
2
=++
nnnlím c) ∞+=
−2·
123 n
nlím e) ∞−=
−
+ nn
nlím3
12 2
b) 02732
3
2
=−+−
nnnlím d) ( ) ∞+=−−+ 323 nnlím f) [ ]
43234 2 −=−− nnnlím
ACTIVIDADES de la página 217
8. Resuelve los siguientes límites:
a) n
nlím
6
351
+ c)
3
757
n
nnlím
− e)
2
2
22
31 −
−+ n
n
nnlím
b) n
nlím
3
221
+− d)
nn
nnlím
22
8383
−
−+ f)
nn
nnlím
−+
−− 4
43
3634
El valor de los límites es:
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
12
a) n
nlím
6
351
+ = 10
13516lim
ee nn
=
−+
b) n
nlím
3
221
+− = 6
12
213lim−
−
+−
=ee nn
c) 3
757
n
nnlím
− = 21
521
5lim17
573
lim −−
−
−
== eee nn
nnn
d) n
n
nnlím
22
8383
−
−+ = 3
16833216lim1
83832lim
2
22
eee nnn
nn
nn
== −
−
−
−+−
e) 2
2
22
31 −
−+ n
n
nnlím = 10632
4lim131´
2lim
23
2
2
22
=== +−−
−
−
+− eee nnn
nnn
nn
f) n
n
nnlím
−+
−− 4
43
3634 = 024813
82lim13634
44lim
2
33
=== ∞−+−
−−
−
−−
−+
eee nnn
nn
nn
9. Resuelve cada uno de los siguientes límites a partir de la sucesión dada en ellos:
a) Si an = nn , halla 1−n
n
aa
lím b) Si bn = ( )nn 2+ , halla n
n
bb
lím 1+
El valor de los límites es:
a) 1−n
n
aa
lím = ( )
1133
lim11 23
3
=−+−
=−− nnn
nnn
nnlím
b) n
n
bb
lím 1+ = ( )( )
( ) ( ) ∞+=+=
++
+=+
+ +
ennnn
nnlím
n
n
n
·3lim233lim
23 1
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
13
ACTIVIDADES de la página 219
1. Múltiplos de cinco. Demuestra que para todo número natural n, n5 – n es divisible por 5.
Utilizamos el método de inducción.
● Se comprueba para n = 1, en efecto, •
===− 50·50115 .
● Supongamos que la igualdad es cierta para n = h, es decir, •
=− 55 hh
Veamos si es cierto para n = h + 1, es decir, si se cumple que •
=+−+ 5)1()1( 5 hh .
Para probar que la expresión anterior es múltiplo de 5, tenemos que hacer que la expresión h5 – h aparezca en el desarrollo.
En efecto:
=−−+++++=+−+ 11510105)1()1( 23455 hhhhhhhh
( ) ( ) •••
=+=++++−=−++++= 55522·5510105 23452345 hhhhhhhhhhhh
Esto concluye la demostración por inducción y la expresión del enunciado es divisible por cinco para cualquier número natural.
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
14
2. Sumas de números naturales. Se define Sn = 1 + 4 + 7 + 10 +…+ (3n – 2).
a) Calcula el valor de S1, S2, S3, S4 y S5. Encuentra tres números a, b y c de manera que para n = 1, 2, 3, 4 y 5 se verifique: Sn = an2 + bn + c.
b) Demuestra que existen tres números a, b y c tales que para todos los valores de n se verifica:
Sn = an2 + bn + c.
a) Los primeros valores de las sumas son: S1 = 1, S2 = 5, S3 = 12, S4 = 22 y S5 = 35.
Para que se verifique la igualdad Sn = an2 + bn + c para los primeros valores de n, en particular se impone que lo cumplan para n = 1, n = 2 y n = 3. Esto proporciona un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
++==++==
++==
cbanparacbanpara
cbanpara
391232452
11
Resolviendo el sistema se obtiene 23
=a , 21
−=b y c = 0. Para estos valores de a, b y c se comprueba que
la igualdad nnSn 21
23 2 −= es cierta para n = 4 y n = 5:
224214
23 2
4 =−=S y 355215
23 2
5 =−=S
b) Para demostrar que la igualdad se cumple para cualquier valor de n utilizamos el método de inducción.
● Los primeros casos los hemos comprobado ya.
● Supongamos que la igualdad es cierta para n = h, entonces se verifica: hhSh 21
23 2 −= .
Veamos que la igualdad es cierta para n = h + 1:
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
15
Por definición de las sumas se tiene que Sh + 1 = Sh + [3 · (h + 1) – 2] = Sh + 3h + 1.
Al sustituir la igualdad hhSh 21
23 2 −= en la igualdad anterior Sh + 1 = Sh + [3 · (h + 1) – 2] = Sh + 3h + 1,
se obtiene:
1321
23 2
1 ++−=+ hhhSh
Operando:
( )[ ] ( ) ( )1211
23
2113·)1(
225313
21
23 2
22
1 +−+=−++
=++
=++−=+ hhhhhhhhhSh
que es la expresión correspondiente a n = h + 1. Esto concluye la demostración.
3. Potencias y múltiplos de dos. Prueba que 2n ≥ 2n siendo n cualquier número natural.
Utilizamos el método de inducción.
● Veamos que para n = 1 se cumple: 21 = 2 ≥ 2 · 1 = 2.
De igual forma se cumple para n = 2: 22 = 4 ≥ 2 · 2 = 4.
● Supongamos que la desigualdad es cierta para n = h, es decir, 2h ≥ 2h.
Veamos qué es cierta para n = h + 1:
Como 2h ≥ 2h; multiplicando por 2 la desigualdad obtenemos 2 · 2h ≥ 2 · 2h, es decir, 2h + 1 ≥ 4h.
Se tiene que 4h = 2h + 2h ≥ 2h + 2, ya que h ≥ 1: así que se cumple:
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
16
2h + 1 ≥ 4h ≥ 2 (h + 1), de donde, 2h + 1 ≥ 2 (h + 1).
Lo que significa que la desigualdad es cierta para n = h + 1 y, por tanto, para cualquier número n natural.
4. Igualdad con fracciones. Demuestra que para cualquier número natural n se verifica:
14321 21
22
2...
24
23
22
21
−−−=+++++ nnnnn
Utilizaremos el método de inducción.
● Veamos qué ocurre para los primeros valores de n:
Para n = 1, se tiene que: 211
212
21
212
21
21
011 =−−=−−= y
Para n = 2, obtenemos: 121
212
21
2221
21
21
22
21
1221 =−−=−−=+=+ y
Puede comprobarse con facilidad que la igualdad se verifica para n = 3 y n = 4.
● Supongamos que la igualdad es cierta para n = h, entonces se verifica:
14321 21
22
2...
24
23
22
21
−−−=+++++ hhhhh
Veamos que la igualdad es cierta para n = h + 1. Para ello, utilizamos la hipótesis de inducción anterior y operamos adecuadamente, obteniendo:
=+
+
−−=
++
++++ +−+ 111321 2
12
12
22
12
...23
22
21
hhhhhhhhh
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
17
(*)
111 21
221
22 =++−−= ++− hhhh
hh (**)
1111 22
21
21
222
222 =−+++−− ++++ hhhhhh
hh
hhhhhhhh
hhh21
212
21
22
22
21
2222 1
*)*(*
1111
(**)−
+−=+−−++−= +++++
Esto demuestra que la igualdad es cierta para cualquier valor de n.
Notas:
1. En (*)= hemos introducido las fracciones
122
21
21
21
+−+=−+ hhhh.
2. En (**)= hemos agrupado las fracciones con el mismo denominador.
3. En *)*(*= hemos operado las fracciones con el mismo denominador.
ACTIVIDADES de la página 220
1. Encuentra los 5 primeros términos de las sucesiones ( ) nna 3·2= y ( ) 532 −−= nnbn .
Halla en cada una de ellas la suma de los diez primeros términos y la expresión de la suma de los k primeros términos.
Los 5 primeros términos de la sucesión ( ) nna 3·2= son 6, 18, 54, 162 y 486.
La suma de los 10 primeros términos de esta sucesión es 177 144. La suma de los k primeros términos de la sucesión an es 3k + 1 – 3.
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
18
Los 5 primeros términos de la sucesión ( ) 532 −−= nnbn son – 7, - 7, - 5, - 1, 5.
La suma de los 10 primeros términos de esta sucesión es 170. La suma de los k primeros términos de la sucesión bn es kkk
319
31 23 −− .
Todos los resultados anteriores pueden verse en las imágenes que siguen.
En ellas se han introducido las dos sucesiones y se han calculado, como se explica en el libro de texto, los diferentes términos y sumas del enunciado.
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
19
2. Dadas las sucesiones n
nan32 −
= y 2
3+
=n
nbn, encuentra la expresión de las sucesiones:
a) (an + bn) b) (an - bn) c) (an · bn) d) (an : bn) e) bn : an
Introducimos las sucesiones y conservamos la entrada.
En cada casilla realizamos una operación, tal y como aparece en la imagen.
Los resultados de las operaciones son:
a) nn
nnn
nn
nba nn 265
2332
2
2
+−+
=+
+−
=+
b) nn
nnn
nn
nba nn 26
2332
2
2
+−+−
=+
−−
=−
c) 296
23·32·
+−
=+
−=
nn
nn
nnba nn
d) 2
2
362
23
32
nnn
nnn
n
ba
n
n −+=
+
−
=
e) 62
3322
3
2
2
−+=
−+
=nn
n
nn
nn
ab
n
n
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
20
3. Halla los límites de las sucesiones:
a) 26
472
2
−+−
=nnnan
b) ( )[ ]15·3 +−++= nnnbn c) 4
12
5434
−
+−
=
n
n nnc
Para calcular los límites utilizamos el comando Límite(<Expresión>, <Variable>, <Valor>), tecleando Límite(a(n), n, ∞).
Los límites de las sucesiones son:
a) 426
472
2
−=−+
−∞+→ nn
nlímn
b) ( )[ ] 215·3 =+−++∞+→
nnnlímn
c) 14
12
5434 −
−
∞+→=
+− e
nnlím
n
n
ACTIVIDADES FINALES de la página 221
1. Continúa las siguientes sucesiones:
a) 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1… d) ...2526,
1617,
910,
45,2 g) 3, 6, 12, 24, 48…
b) 2, 7, 12, 17… e) 0, 7, 26, 63, 124… h) 0,8; 0,88; 0,888…
c) 4, 8, 16, 32, 64… f) 1, 2, 3, 5, 8, 13… i) 1, 3, 7, 13, 21…
Las sucesiones son:
a) 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4…
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
21
b) 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, … , 5n – 3.
c) 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, … , 2n + 1
d) 2
2 1...,,6465,
4950,
3637,
2526,
1617,
910,
45,2
nn +
e) 0, 7, 26, 63, 124, 215, 342, 511, … , (n3 – 1).
f) 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34…
g) 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, …, 3 · 2n - 1
h) 0,8; 0,88; 0,888, 0,8888, 0,88888, …
i) 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, …, (n2 + n + 1).
2. Halla los seis primeros términos de las sucesiones cuyos términos generales son los siguientes:
a) an = 2n2 – n – 1 e) nne31
=
b) nnbn 21
21+−
= f) nnnf
24+
=
c) cn = (- 2)n g) gn = n3 + 1
d) dn = 2 · 3n h) nnh21...
41
21
+++=
Los términos de las sucesiones son:
a) 0, 5, 14, 27, 44 y 65. e) 72911
2431,
811,
271,
91,
31 y
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22
b) 1311
119,
97,
75,
53,
31 −−−−−− y f)
6410
329,
168,
87,
46,
25 y
c) – 2, 4, - 8, 16, - 32 y 64 g) 2, 9, 28, 65, 126 y 217
d) 6, 18, 54, 162, 486 y 1458 h) 6463
3231,
1615,
87,
43,
21 y
3. Escribe los seis primeros términos de las siguientes sucesiones dadas por las leyes de recurrencia:
a) a1 = 2; an + 1 = an – n
b) 2
;3;2 1221
nnn
bbbbb
+=== +
+
Los términos de las sucesiones son:
a) 2, 1, - 1, - 4, - 8 y - 13
b) 1643
821,
411,
25,3,2 y
4. Halla el término general de cada una de las siguientes sucesiones:
a) ...1811,
138,
85,
32
c) ...827,
69,
43,
21
b) 2, 5, 10, 17, 26... d) 0,2; 0,02; 0,002;…
Los términos generales son:
a)2513
−−
=nnan b) 12 += nbn c)
nc
n
n 23 1−
= d) nnnd −== 10·2
102
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
23
5. Los números hexagonales se construyen, como muestra la figura, uniendo números cuadrados y triangulares. Halla los diez primeros términos y el término general.
Los diez primeros términos son: 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190…
Observamos que estos términos, por como los hemos hallado, son:
(1 + 2 · 0), (4 + 2 · 1), (9 + 2 · 3), (16 + 2 · 6), (25 + 2 · 10)…
La sucesión 0, 1, 3, 6, 10… es una sucesión aritmética de segundo orden y su término general es:
an = x · n2 + y· n + z
Hallamos x, y, z dando valores a n y resolviendo el siguiente sistema:
=++=⇒==++=⇒=
=++=⇒=
33931242
01
3
2
1
zyxanParazyxanPara
zyxanPara
De este sistema obtenemos los resultados: 0;21;
21
=−
== zyx
De modo que el término general de la sucesión 0, 1, 3, 6, 10, … es nn21
21 2 −
Y el término general de la sucesión (1+2· 0), (4+2·1), (9 + 2·3), (16 + 2·6), (25 + 2·10), …
Es: nnnnn −=
−+ 222 2
21
21·2
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24
6. Escribe, en cada caso, una sucesión:
a) (an) acotada superiormente por 2.
b) (bn) acotada inferiormente por - 1.
c) (cn) acotada superiormente y creciente
d) (dn) acotada y no monótona.
e) (en) monótona decreciente.
f) (fn) monótona decreciente y no acotada.
Las sucesiones son:
a) (an) = (2, 1, 0, - 1, … , 3 – n)
b) (bn) = (- 1, 0, 1, 2, …, n – 2)
c) (cn) =
++112,...,
59,
47,
35,
23
nn
d) (dn) = (2, - 2, 2, - 2, … , (-1)n + 1 · 2)
e) (en) = (- 1, - 2, - 2, - 3, - 4, - 4…)
f) (fn) = (- 1, - 3, - 5, - 7, … , - 2n + 1)
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
25
7. Estudia la acotación de las siguientes sucesiones:
a)
+
=1
3)(n
an
b)
−−−−
= ...89,
67,
45,
23)( nb
c)
−+
=122)(
nncn
La acotación de las sucesiones queda:
a) (an) acotada superiormente por 23 e inferiormente por 0.
b) (bn) acotada superiormente por – 1 e inferiormente por 23
− .
c) (cn) acotada superiormente por 3 e inferiormente por 21 .
8. Prueba la acotación de las siguientes sucesiones:
a)
+
=1
2)(n
nan b)
−
=n
nbn 32)( c)
−=
ncn
3)(
a) (an) está acotada entre 1 y 2: .21
21 ≤+
≤n
n
Demostración:
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
26
ciertonnnn
n≤⇔≤+⇔
+≤ 121
121
ciertonnn
n 2022221
2≤⇔+≤⇔≤
+
b) (bn) está acotada entre - 31 y
31 : .
31
32
31
≤−
≤−
nn
Demostración:
ciertonnn
n⇔≤⇔−≤−⇔
−≤− 60363
32
31
ciertonnnnnn
n 1666633631
32
≥⇔≥⇔−≤−⇔≤−⇔≤−
c) (cn) está acotada entre – 3 y 0: .033 ≤−≤−n
Demostración:
ciertonnnn
1333333 ≥⇔≥⇔−≤−⇔−≤−
.03,0,03≤−>≤−
nentoncesncomo
n
ACTIVIDADES FINALES de la página 222
9. Estudia el tipo de monotonía de las sucesiones:
a)
−=
2)( nan d)
+
=1
2)(n
d n
b) (bn) = (2; 2,1; 2,1 ; 2,11; 2,2; 2,2; 2,22…) e) ( )2)( 2 −= nen
c) (cn) = (+ 1; + 1,2; + 1,22; + 1,222…) f) (fn) = (- 1, - 1, - 1…)
Las sucesiones son:
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27
a)
−−−−=
−= ...,
24,
23,1,
21
2)( nan . Estrictamente decreciente.
b) (bn) = (2; 2,1; 2,1 ; 2,11; 2,2; 2,2; 2,22…). Creciente.
c) (cn) = (+ 1; + 1,2; + 1,22; + 1,222…). Estrictamente creciente.
d)
=
+
= ...,62,
52,
42,
32,1
12)(
ndn . Estrictamente decreciente.
e) ( )2)( 2 −= nen = (-1, 2, 7, …). Estrictamente creciente.
f) (fn) = (- 1, - 1, - 1…). No es monótona, es constante.
10. Las siguientes sucesiones son estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes. Pruébalo:
a)
−
=4
31)( nan b)
+=
1)( 2
2
nnbn c) ( )[ ]21)( nc n
n +−=
Las soluciones son:
a)
−
=4
31)( nan . Estrictamente decreciente.
Vamos a probar que an > an + 1:
30331314
)1(314
31−>⇔−−>−⇔
+−>
− nnnn
Con lo que, como esta desigualdad es siempre cierta, queda probado que an > an + 1.
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
28
b)
+=
1)( 2
2
nnbn . Estrictamente creciente.
Vamos a probar que bn < bn + 1:
( )
( )0
)22(·)1(120
111
11)1()1(
1 222
2
2
2
2
2
2
2
<+++
−−⇔<
+++
−+
⇔++
+<
+ nnnn
nn
nn
nn
nn
La última desigualdad es siempre cierta.
c) ( )[ ]21)( nc nn +−= . Estrictamente creciente.
Vamos a probar que cn < cn + 1:
nnnnnn nnnn 2012)1(·)1()1()1()1()1( 22212 <⇔+++−−<+−⇔++−<+− +
Esta desigualdad es siempre cierta, puesto que n ≥ 1.
11. Dadas las sucesiones
−
=n
nan23)( y
+
=3
2)(n
nbn , determina las sucesiones:
a) (an) + (bn) c) )(·21
na e) ( )( )n
n
ba g)
( )( )n
n
aa 1+
b) (bn) - (an) d) (an) · (bn) f) ( )( )n
n
ab
h) ( )( )11 −+ nn ab
Las sucesiones buscadas son:
a) (an) + (bn) =
+
−+=
+
+−
nnnn
nn
nn
3675
3223
2
2
e) ( )( )n
n
ba
=
−+=
+
−
2
2
2673
32
23
nnn
nn
nn
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
29
b) (bn) - (an) =
+
+−−=
−−
+ nnnn
nn
nn
36723
32
2
2
f) ( )( )n
n
ab
=
−+
=
−+
6732
233
2
2
2
nnn
nnn
n
c) )(·21
na =
−
=
−
nn
nn
22323·
21 g)
( )( ) =+
n
n
aa 1
−+
+=
−++
233
23113
2
2
nnnn
nnnn
d) (an) · (bn) =
+−
=
+
−nnnn
nn
nn
346
32·23
2
2
h) (bn + 1) · (an- 1) =
−+−−
=
−−
++
431046
153·
422
2
2
nnnn
nn
nn
12. Dadas las sucesiones convergentes
+−
=nnan 41
44)( ,
−
=1
2)( 2
2
nnbn y ( )4)( −=nc , calcula
los siguientes límites:
a) lim (an – bn) b) lim (an · bn ) c) lim
n
n
ca
d) lim ( )nn ca ·
Los límites de las sucesiones convergentes dadas son:
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
30
14144lim −=
+−
nn
; 21
2lim 2
2
=
−n
n; ( ) 44lim −=−
Por tanto los límites pedidos son:
a) lim (an – bn) = -1 – 2 = -3 c) lim 41
=
n
n
ca
b) lim (an · bn ) = -1 · 2 = -2 d) lim ( ) ( )( ) 24·1· =−−=nn ca
13. ¿A partir de qué término todos los demás términos de la sucesión
+
=n
nan52)( son menores
que 3?
Resolvemos la inecuación 352<
+n
n y obtenemos que es cierta a partir del 5º término de la sucesión.
14. Halla el valor de n para el cual se verifica que an = an+2 siendo an = 8n – 3 – n2.
Resolvemos la igualdad: 8n – 3 – n2 = 8(n + 2) – 3 – (n + 2)2
Obtenemos n = 3. Por tanto, la igualdad es cierta para el 3º término.
15. Calcula los siguientes límites, teniendo en cuanta las propiedades que aparecen en el epígrafe 9.
a) lím (3n – 2) g)
+− 2·
23 n
nlím m) nlím 32−
b)
++
−12764 2
nnnlím h)
+ 2
17n
lím n) n
nnlím
−
++
231
c)
−
nlím 7 i)
−
+)(·
24 n
nlím o)
422
31
+
nnlím
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
31
d)
++
nnlím 724 j)
123
22 +
n
n
nlím p)
351
2
3 2
2
72 +
−
++ n
n
nnlím
e) lím (- n3 – n) k) ( ) nn
nlím12
52+−
− q) 2)2(
2
2
++
nnlím
f)
− 83nlím l)
n
lím2
21
r)
nnn
nnlím
+
+
+
3
3 54
2 61
Los límites son:
a) lím (3n – 2) = ∞+
b)
++
−12764 2
nnnlím = ∞+
c)
−
nlím 7 = 0
d)
++
nnlím 724 = ∞+
e) lím (- n3 – n) = ∞−
f)
− 83nlím = ∞+
g) [ ] ∞−=
+−
=∞+
+−
23·0·
23 2
2
nnlímn
nlím
h)
+ 2
17n
lím = 7
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
32
i) [ ] 42
4·0)(·2
4−=
+
−=∞+
−
+ nnlímn
nlím
j) 12
3
22 +
n
n
nlím = 0
k) ( ) nn
nlím12
52+−
− = 0
l) n
lím2
21
= 0
m) nlím 32− = 0
n) n
nnlím
−
++
231 = ∞+
o) 42
2
31
+
nnlím = ∞+
p) 3
51
2
3 2
2
72 +
−
++ n
n
nnlím = 0
q) 2)2(
2
2
++
nnlím = 1
r) nn
n
nnlím
+
+
+
3
3 54
2 61 = 0
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33
ACTIVIDADES FINALES de la página 223
16. Calcula los siguientes límites:
a) 56
433
2
+−
nnnlím h)
+−+ )23(79 2 nnlím o)
+++
2
...21n
nlím
b) 26
472
2
−+−
nnnlím i)
32521
−−+ nnlím p)
nnn
nnlím
25
2
2 2
3
852 +
+
++
c) 152365
2
45
++−+
nnnnlím j)
24745
5
++−nn
nnlím q)
+++ 222
2...42n
nnn
lím
d)
−+ nnnlím 234 2 k)
nn
nnnlím
52
3
232
332
+
−
+− r)
nn
nnlím
−+
+ 121
e)
+−
−1
22
3
2
3
nn
nnlím l)
3
3
27
2
2
564 n
n
nnlím
+
+− s) n
n
lím2
2...8421 +++++
f) ( ) ( )[ ]32 22 −−+ nnlím m)
−−+ nnnnlím t)
( )222...8642
−+++++
nnlím
g) ( )( )
−
−+ 1
11· 2
2
nnnlím n) ( )[ ]21·1 222 −−−+ nnnlím u)
2
2
22
2323 −
+− n
n
nnlím
Los límites son:
a) 056
433
2
=
∞∞
+−
nnnlím
b) 426
472
2
−=
∞∞
−+−
nnnlím
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
34
c) ∞+=
∞∞
++−+
152365
2
45
nnnnlím
d) [ ]43
234
4342342
222 =
∞∞
++
−+=∞−∞
−+
nnn
nnnlímnnnlím
e)
+−
−1
22
3
2
3
nn
nnlím [ ] ( )
022)1(·
·)1(224
23
22
2323
=+
−−=
∞∞
+−+−
=∞−∞nn
nnlímnn
nnnnlím
f) ( ) ( )[ ] [ ] ∞−=+−+−=∞−∞−−+ )1287(22 2332 nnnlímnnlím
g) ( )( )
−
−+ 1
11· 2
2
nnnlím ( )[ ] ( ) 4
124lim
)1(1)1(
2
2
2
22
=
∞∞
+−=
−−−+
=∞−∞∞nn
nn
nnnlím
h) [ ] 2612
)23(79
312)23(792
2 −=−
=
∞∞
+++
+−=∞−∞
+−+
nn
nlímnnlím
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35
i) [ ] ∞+=−++
=∞−∞−−+ 8
3252
32521 nn
límnn
lím
j) 21
41
24745
5
==
∞∞
++−nn
nnlím
k) 4330241
332·5252
3
234
24
3
2322
332 −−
++−
−
−
+−++
===
−
+− eeen
nnlím nnnnlím
nnn
nnlímn
n
l) 245
64 2127
2
2 3
3
==
+− + n
n
nnlím
m) [ ] 12=
∞∞
−++=∞−∞
−−+
nnnn
nlímnnnnlím
n) ( )[ ] ( ) [ ] =∞−∞−−−−=−−−+ 2121·1 244222 nnnlímnnnlím
21
211
244
2
=
∞∞
−−+−
+=
nnnnlím
o) 21
22...21
2
2
2
2
2 =
∞∞+
=
+
=
+++
nnnlím
n
nn
límn
nlím
p) ∞+==
++ ∞+
+
+
2852 2
5
2
2 2
3
nnn
nnlím
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36
q) 12...422...422
2
2222 =
∞∞+
=
+++
=
+++
nnnlím
nnlím
nn
nnlím
r) 11 011·)12(12
===
+
−
+−+−+
een
nlím nnnnlímnn
s) n
n
lím2
2...8421 +++++ =
( )2
212lim
212
12·11
1
=−
=−−
+
+
n
n
n
n
lím
t) ( )22
2...8642−
+++++n
nlím =
( )1
44lim
442
1·2
2
2
2 =+−
+=
+−
+
nnnn
nn
nn
lím
u) 2
2
22
2323 −
+− n
n
nnlím = 104263
4lim12323·
2 23
2
2
22
=== −+−
−
−
+
−− eee nnn
nnn
nnlím
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
37
17. El primer día de perforación de un túnel, la empresa constructora avanza 3 m. Sabiendo que el túnel medirá 6 kilómetros y que cada día se avanza un 5% más que el día anterior, ¿cuánto tiempo tardará la empresa en finalizar la perforación del túnel?
Los metros de perforación del túnel siguen una progresión geométrica de razón 1,05 ya que los primeros días se perfora:
a1 = 3 m, a2 = 3 · 1,05 m, a3 = 3 · 1,052 m, a4 = 3 · 1,053 m…
Teniendo en cuenta la suma de n términos de una progresión geométrica, 1
· 11
−−
=r
araSn
, obtenemos:
⇒=⇒=⇒−
−= ++
+
10105,130305,1·3105,1
305,1·36000 111
nnn
díasn 9559,9405,1log
101log1 ≈==+ . Es decir se tardarán 96 días.
18. Calcula los siguientes límites:
a) 235
2
22
23543 +
−
++− n
n
nnnlím
b)
−+
nn
nn
lím2323
c)
−−
−+
nnn
nnlím
254
22
2
d)
= +
n
nn
n aa
límnnaSí 1;
!
Los límites son:
a) [ ] 9423
5
2
2
123
5432
−∞+−
=
++− e
nnnlím
nn
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38
b) 11
23
123
2323
=
∞∞
−
+
=
∞∞
−+
n
n
nn
nn
límlím
c) [ ] ( )( ) 0
2·5
254·2
254
22
2
2
2
=
∞∞
++−
+−=∞−∞
−−
−+
nnn
nnnlím
nnn
nnlím
d) ( ) en
nlímnnnnnlím
nnnnlím
nn
nnlím
aa
límn
n
n
n
nnn
n
n =
+
=++
=+
+=
++
=
++++ 1
·!·)1(!·)1(
!)1(·!·)1(
!:
!)1(1 111
1
19. Uniendo los puntos medios del cuadrado inicial de la figura, de 1 m de lado, se forma otro cuadrado; uniendo los puntos medios de los lados de este se forma otro cuadrado más, y así sucesivamente. Determina la sucesión de los perímetros de los infinitos cuadrados y la de las áreas.
Las sucesiones asociadas a los cuadrados son:
Lados
1
21
21
221
41
…
1
21
−
n
Perímetros
4 24
2 22
1
…
1
214
−
n
Áreas
1 21
41
81
161
…
1
21 −
n
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39
20. En un libro de arte moderno se muestra un cuadro compuesto por figuras geométricas. Está formado por una sucesión de esferas y cilindros encajados. La primera figura es una esfera de radio 10 m y, a partir de ella, se han ido encajando, alternativamente, cilindros y esferas hacia dentro. Halla:
a) La sucesión de los radios de las esferas y del volumen de las mismas.
b) La scesión de los radios de los cilindros y del volumen de los mismos.
Las respuestas a estos apartados son:
a) El primer cilindro ha de tener la altura de longitud doble que el radio de la base. La segunda esfera tendrá por radio el radio de al base del cilindro en el que se encaja.
Primer cilindro: .2
1010 122
12
1 mrrr =⇒=+
Segundo cilindro: .52
102
22
22
2 mrrr =⇒
=+
Tercer cilindro: .2
55 322
32
3 mrrr =⇒=+
La sucesión de los radios de los cilindros es: ( )
= ...
225,
25,
25,5,
210
cr .
b) La sucesión del radio de las esferas es: ( )
= ...
225,
25,
25,5,
210,10eR .
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
40
La sucesión de los volúmenes de las esferas es: ( )
= ,...
23250,
3500,
232000,
34000 ππππ
eV , es una sucesión
geométrica de razón .22
1
La sucesión de los volúmenes de los cilindros es: ( )
= ,...
41250,
2125,250,
21000 ππππ
cV , es una sucesión
geométrica de razón .42
ACTIVIDADES FINALES de la página 224
21. Calcula le valor de a, para que se cumpla:
a) ( ) ( )21·· 2
12212 =
−−+ nannanlím b) 1
·
2
2
1−=
++ e
nnnlím
na
Operando, obtenemos, en cada caso:
a) El valor del límite es:
( ) ( ) [ ] aannann
anlímnannanlím =
∞∞
−++=∞−∞
−−+
222
12212 2··
Por tanto, con a ≠ 0 obtenemos 21
=a .
b) El valor del límite es: [ ] ana
en
nnlím =
++ ∞1
1
·
2
2
.
Tenemos que si con a ≠ 0 obtenemos a = - 1.
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
41
22. En un almacén de frutas se disponen las manzanas formando una pirámide de base un triángulo equilátero. Así una pirámide de tres pisos está formada por 6 manzanas en la base y en total por 10 manzanas. ¿Cuántas manzanas se necesitarán para formar una pirámide de 20 pisos?
El número de manzanas de las bases, según el número de pisos, sigue una sucesión de términos: 1, 3, 6, 10, 15, 21…
En total, según el número de pisos, la pirámide tendrá: 1, 4, 10, 20, 35…
Esta es una sucesión aritmética de tercer orden y su término general es: an = x · n3 + y· n2 + z · n + t
Hallamos x, y ,z, t dando valores a n y resolviendo el siguiente sistema:
=+++=⇒==+++=⇒==+++=⇒=
=+++=⇒=
204166441039273
4248211
4
3
2
1
tzyxanParatzyxanPara
tzyxanParatzyxanPara
De este sistema obtenemos los resultados: 0;31;
21;
61
==== tzyx
De modo que el término general de la sucesión 1, 4, 10, 15,20, … es nnn31
21
61 23 ++
Por tanto una pirámide de 20 pisos tendrá un total de: manzanas214020·3120
2120
61 23 =++
23. Calcula el límite de la sucesión: ,...2,2,2
La sucesión dada la podemos escribir: n21
161
81
41
21
2...,,2,2,2,2
El límite de esta sucesión es: lim 12 21
=n
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42
24. En un cuadrado de 10 m de lado se inscribe un círculo, en este otro cuadrado y en este otro círculo, y así sucesivamente.
a) Encuentra la sucesión que da los radios de los infinitos círculos.
b) Halla la suma de las áreas de los infinitos cuadrados.
Las sucesiones asociadas a los cuadrados son:
Radios círculos
5 225
25
4
25 4
5
…
1
225
−
n
Lados cuadrados
10 25 5
225
25
…
1
2210
−
n
Áreas cuadrados
100
50
25
25/2
25/4
…
La suma de las áreas de los infinitos cuadrados es una sucesión geométrica de razón 1/2 y vale:
S = 21 200
211
1001
mr
a=
−=
−
25. Una laguna contiene sedimentos uniformemente distribuidos que reducen la transmisión de la luz a través del agua. La luminosidad se reduce en un 20% cada vez que se avanza 1 metro hacia la profundidad de la laguna. Es decir, cualquiera que sea el nivel de profundidad en el que se encuentre un buzo, al descender un metro pierde el 20% de la luminosidad que tenía.
Un buzo va a sumergirse en dicha laguna. Si consideramos la intensidad de la luz (medida en unidades lumínicas) como de 100 unidades en la superficie:
a) Realiza una tabla que indique la luminosidad para cada uno de los primeros 10 metros.
b) ¿Se podrá calcular qué intensidad de luz tendrá el buzo al bajar 0,5 metros?
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43
c) Nuestro buzo tiene instrumentos de medición que pueden detectar luz hasta una intensidad de 0,2 unidades lumínicas. Teniendo en cuenta este dato, ¿podrá detectar luz si baja 20 m?
d) ¿Hasta qué profundidad podrá descender con su instrumento y aún detectar cierta luminosidad?
La respuesta a las cuestiones es:
a) Para realizar la tabla pedida, en Vista hacemos aparecer Hoja de Cálculo.
Escribimos en ella lo que aparece en la tabla adjunta.
Aparecen los valores 1 y 80, respectivamente.
Seleccionamos cada una de estas dos celdas y desde el vértice inferior derecho, y con el botón derecho de ratón presionado, arrastramos hacia abajo hasta el valor que deseemos.
A B
1 Profundidad Luminosidad
2 0 100
3 =A2+1 (Enter) =B2-(20/100)*B2 (Enter)
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44
En la tabla que sigue aparecen los diez primeros valores.
Una vez realizada la tabla, seleccionamos ambas columnas y con el botón derecho del ratón desplegamos el menú y elegimos Crea lista de puntos.
Aparecen los puntos dibujados en la Vista Gráfica (será necesario ajustar los ejes para poder ver los puntos).
También podemos ver en la Ventana algebraica la lista de dichos puntos.
Podemos encontrar la curva que se ajuste a los puntos dibujados y su ecuación, tecleando en la Ventana de entrada:
Si[x>0,AjusteExp[lista1]]
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45
Obtenemos la función de expresión:
f (x) = 100 · e- 0,22x
La curva puede verse en el dibujo de abajo.
b) La intensidad de luz que tiene el buzo al bajar 0,5 metros será: 100 · (0,80)0,50 = 89,44.
También la podemos calcular con la función anterior, es decir, f (0,50) = 100 · e(- 0,22 · 0,50) = 89,58.
c) Si baja a 20 metros la luz que detectará será: 100 · (0,80)20 = 1,15
También, f (20) = 100 · e(- 0,22 · 20) = 1,22
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46
Gráficamente podemos hallarlo cortando la curva con la recta x = 20 y determinando el punto de corte que es P (20; 1,15).
d) Para determinar la profundidad a la que puede bajar y aún detectar cierta luminosidad la podemos calcular de la forma que sigue:
85,2780,0ln002,0ln002,0ln80,0ln·002,0
1002,0)80,0(2,0)80,0(·100 ==⇒=⇒==⇒= xxxx
25,2822,0002,0ln002,0lnln·22,0002,0
1002,02,0·100 22,022,0 =
−=⇒=−⇒==⇒= −− xexee xx
Gráficamente podemos hallarlo cortando la curva con la recta y = 0,2 y determinando el punto de corte que es Q (27,85; 0,2).
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26. La suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética (an) viene dada por Sn = 4n2 - 2n. Halla los primeros términos de la sucesión y el término que ocupa el lugar 23. ¿A partir de que término de la sucesión todos los siguientes términos son mayores de 418?
A partir de la expresión de la suma obtenemos:
S1= 2 = a1
S2= 12 = a1 + a2; por tanto a2 = 10
S3= 30 = a1 + a2 + a3; por tanto a3 = 18
Así sucesivamente obtenemos los primeros términos de la sucesión: 2, 10, 18, 26, 34, …
El término que ocupa el lugar 23 es: a23 = 2 + (23 – 1) · 8 = 178
El término general de la sucesión es: an = 8n – 6
Hemos de resolver la inecuación: 8n – 6 > 418; n > 53
A partir del término que ocupa el lugar 53 todos los términos son mayores de 418.
27. La figura muestra un típico castillo de naipes de cuatro pisos. En este castillo hay 26 naipes. Determina:
a) La sucesión que muestra el número de naipes en cada piso.
b) ¿Cuántos naipes habrá en una torre de 50 pisos?
c) Un grupo de amigos han construido un castillo con 21 660 naipes para participar en un concurso en su ciudad. ¿Cuántos pisos tiene este gran castillo?
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48
a) La sucesión que da el número de naipes de cada piso es: 2, 5, 8, 11, 14,…
b) Una torre de 50 pisos tendrá: ( )[ ] 377550·2
3·1502250·2
50150 =
−++=
+=
aaS naipes
c) ( )[ ] 120·2
3·12221660·2
21660 1 =⇒−++
=⇒+
= nnnnaa n pisos tendrá la torre construida con 21
660 naipes.
PROYECTO DE INVESTIGACIÓN Página 225 La curva copo de nieve
El copo de nieve de Koch o estrella de Koch es una curva cerrada y continua formada a partir de un triángulo equilátero de lado a. Su nombre se debe al matemático suizo Helge von Koch que la descubrió en 1904. Hoy día diríamos que es una curva fractal, cuya construcción se debe a un proceso iterativo que se inicia dividiendo cada lado del triángulo equilátero en tres partes y levantando nuevos triángulos como muestra la figura:
Explica cómo se ha formado e investiga sobre la sucesión de los perímetros ¿qué propiedad tienen?y sobre las áreas.
Haz lo mismo con la curva anticopo de nieve.
Matemáticas I - UD 9: SUCESIONES Y LÍMITES SOLUCIONARIO
49
Explicamos la formación del copo de nieve: Dibujamos un triángulo equilátero, dividimos cada lado en tres
partes y sobre la parte central, dibujamos otro triángulo equilátero, en el siguiente paso sobre cada uno de
los 6 triángulos equiláteros repetimos el proceso e iterando obtenemos esta curva.
Consideramos que el triángulo equilátero inicial tiene de lado a unidades.
NÚMERO DE
CURVA
PERÍMETRO
ÁREA
1 3a
43·2a
2 12a/3
43·2a
+336
3·2a
3 48a/9
43·2a
+336
3·2a+12
4·813·2a
4 192a/27
43·2a
+336
3·2a+12
4·813·2a
+484
3·2a+3
363·2a
+124·7293·2a
enésima an
n
2
1
34
−
−
4
3·2a
+
−1
94
311
n
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50
Como vemos en la tabla la sucesión de los perímetros es una sucesión geométrica de razón 4/3. Por lo que su
longitud es infinita pues ∞+=−
−
∞+→alím n
n
n 2
1
34 .
La sucesión de las áreas es una sucesión geométrica de razón 4/9. Su superficie es finita pues:
∞+→nlím
43·2a
+
−1
94
311
n
= 4
3·2a
La propiedad que tienen estas curvas es que siendo su longitud infinita encierran una superficie finita.
La curva “Anticopo de nieve” es la que vemos en el dibujo:
Es la configuración opuesta al copo de nieve. Se forma del mismo modo pero metiendo los triángulos hacia
adentro.
Se obtienen los mismos resultados que en la anterior y tienen la misma propiedad.