Abszolútértékes egyenletek

Az abszolútértékes egyenletek megoldásánál azt az ismeretet használjuk fel, hogy az

abszolútérték mint fogalom, mit is takar.1 Nevezetesen azt, hogy ha egy szám negatív, akkor az ő

abszolútértéke ellentétes előjelű, ha nulla, akkor abszolútértéke is nulla, ha pozitív, akkor előjele is

megegyezik abszolútértékének előjelével. Így csak ezeket az eseteket vesszük végig, hogy eljussunk a

megoldásig. Ugyanis az az az … stb. Tehát ezek pont

előjelben különböznek abszolútértéküktől. Az , az , az …stb. Ez utóbbiak

pedig még előjelben sem hajlandóak különbözni az abszolútértéküktől. Kvázi identitászavaruk van.

Az abszolút értékben lévő kifejezés, jelen esetben egyszerűen csak , akkor veszi fel a nulla

értéket, ha . Na, erre nem volt nehéz rájönni, de a bonyolultabb esetekben is így hátulról

mellbe fogjuk megtámadni az ellenséges egyenleteket, hogy a hírszerzőiknek esélye se legyen minket

észrevenni. Ez az érték ahol az abszolútértékben lévő kifejezés a nulla értéket veszi fel,

néven vonult be a hadtörténelembe, mivel függvényként ábrázolva, itt törik meg, itt vált irányt, a

függvény grafikonja. Ettől jobbra és balra más irányokban halad a függvény vonala. Sőt ettől jobbra

és balra lévő intervallumokban az abszolútértékben lévő kifejezés negatív, ill. pozitív értékeket vesz

fel. Hiszen a nullának éppen ez a szerepe. Ő tartja a negatív és pozitív számokat különböző térfélen.

Lássuk hát, hogy miként segít ez nekünk!

Ekkor, mint a bevezetőben mondtam vala, az abszolútértékben lévő kifejezés ellentettjét

vesszük, hiszen az ő abszolútértékétől egy előjelben különbözik. Majd a megoldást megvizsgáljuk,

hogy beleesik-e a kapott ebbe az intervallumba. Ha beleeseik, akkor ez egy jó, derék,

becsületes , aki csak akkor lop, hazudik, csal és gyilkol, ha előnye származik belőle. Vagyis mindig, és

mindenhol.

Nos vajon kisebb-e mint ? Kisebb hát! Tehát ez egy jó megoldás.

De nem vagyunk ám még készen! Mert nem néztük meg se se esetre a

feladatot! Szerencsére nézhetjük egyszerre a két esetet.

1 Reményeink szerint többet, mint egy ágyékkötő.

Tehát a kifejezés és annak abszolútértéke azonos előjellel bír, így egyszerűen csak elhagyjuk

az előjelet, mert akkor sem ad több információt, ha megtartjuk, ugyanazt a számot látjuk így is meg

úgy is. De figyelem az előbbi esetben meg kellett fordítani az előjelét főhősünknek, hogy

abszolútértéket kaphasson, hiszen eredetileg nem olyan volt az előjele, mint az abszolútértékű

hasonmásának.

És ez kiváló, mert valóban nagyobb, mint . Az intervallum kijelölésében megengedett

egyenlőség gyakran teljesül. Olyankor nyilván őt is elfogadjuk, mivel az, hogy

éppenséggel azt is megengedi. Majd látunk ilyet később.

Így a teljes megoldásunk:

Aki az előbb figyelt, az tudja, hogy mit keresünk először. A töréspontot. Hol lesz ez, Piroska?

― Ott, ahol Uri Geller már agyongyötörte a kanalat.

― Nincs kanál!2

A töréspont ott lesz ahol az egyenlet teljesül. Miért?! Mi van, ecsém? Hogy miért?

Az előbb mondtam el! Mert az abszolútértékben lévő kifejezés… stb., tessék elolvasni még egyszer!

Ha nem érted, akkor még százszor!

Vagyis a töréspont éppen -nál van. Ettől jobbra pozitív a kifejezés értéke, ettől balra negatív.3

Miért? Tessék, kérem kipróbálni! Ha az kifejezésbe nagyobb számot írunk helyére, mint a

töréspont értéke, akkor mit kapunk? Pozitív számot. Ha meg kisebbet ennél, akkor negatív számot.

Igen, a matematika ilyen egyszerű.

2 Ha ez neked nem mond semmit, akkor bizonyára nem láttad a c. filmet. Na, nagyon gyorsan nézzed meg! 3 Az, hogy , az úgy értendő, hogy az tengelyen ettől jobbra, vagy balra, vagy, ha úgy

jobban a tetszik, a számegyenesen, .

Ekkor milyen előjelű a kifejezés az abszolútértéken belül? Olyan negatív, mint a huzat! Főleg az a

huzat, amit nem mostak ki. Így:

Jó ez nekünk? Jó hát, mert a .

Most tehát nem nyúlka-piszka előjel! Csak simán elhagy abszolútérték:

Ez ismét jó megoldás, mert .

Megoldás:

Látjuk-e, hogy most két töréspontunk is van? Az egyik -nél, a másik -nál. Ez tehát három

inter vallumot ad.

Ebben az intervallumban az tag abszolútértéken belül lévő része pozitív, hiszen ha

valaki ötnél kisebb, akkor az nyolcnál is kisebb, vagyis ha nyolcból vonunk ki ilyen számokat, akkor

pozitívat kapunk. Pl. . Azonban a másik tag , negatív az abszolútértéken belül,

mert ötnél kisebb számokból ötöt kivonva, mindig negatívat fogunk kapni. Pl.

Ez annyit tesz, hogy ha az abszolútértékes tagokat abszolútérték nélkül akarom írni; és előbb-utóbb

muszáj lesz; akkor az első tag pozitív előjelet kap, a második negatívat. Viszont a második tagnak már

van egy negatív előjele. Így ha az ellentettjét írom a második tag abszolútértékén belül lévő

kifejezésnek, akkor ez az ellentett előjel, meg az eredeti előjel, pont kioltja egymást. Lássuk hogyan!

Ez azonosság, tehát a két oldal megegyezik ezen az intervallumon. Ha függvényként ábrázoljuk a jobb

és baloldalt, akkor minden -re, a két függvény egybeesik, azaz grafikonjuk egyetlen közös

vonallá egyesül. Lásd az ábrát!

Itt mindkét tag pozitív előjellel helyettesítődik az abszolútérték helyett. Tessék kipróbálni olyan

számokra, melyek öt és nyolc közé esnek! Behelyettesít az eredeti tagokba… stb. Így egyszerűen csak

zárójelet írunk az abszolútérték helyett. Persze ahol eleve pozitív az abszolútérték előjele, ott zárójel

sem kell.

Figyeljük meg, hogy a baloldal most azt adja, hogy miként halad az abszolútértékes tagok függvénye

ezen az intervallumon! Tisztán látszik, mert itt még nem kevertük össze a két oldalt. A baloldal csak

ezen az intervallumon viselkedik függvényként. Lásd az ábrát! A jobboldal viszont, lévén

konstans függvény, mindig lesz, azaz egy vízszintes egyenes magasságban.

Tovább menve a megoldásban:

Ez éppen benne is van az intervallumban, tehát jó megoldás.

Itt a második tag pozitív az első negatív, mert nyolcból nyolcnál nagyobbat kivonva negatív,

nyolcnál nagyobból ötöt kivonva pozitív számot kapunk.

Mit jelent ez? Lehetséges az, hogy mínusz három egyenlő legyen hárommal? Nem bizony. Tehát itt

nincs megoldás. Az abszolútértékes güggvény sic., ezen az intervallumon is aszerint alakul, amit

kaptunk. Lásd az ábrát!

A teljes megoldás tehát:

Minden szám, mely kisebb, vagy egyenlő öt.

Az A lila szín azt jelzi, hogy ott egybeesik a két függvény. Csekkold le, hogy a különböző intervallumokon annak megfelelően megy-e a piros grafikon, ahogy kiszámoltuk!

A baloldal intervallumtól függetlenül töretlenül halad azonos meredekséggel jobbra felfelé. Ő egy

növekvő függvény. Ö rá nem vonatkoznak a túloldal töréspontjai. De nem ám csak azért, mert a

túloldalon van! Hanem azért mert ő nem is abszolútértékes tag. A töréspontok ugyanis csak azokra

vonatkoznak. Mik lesznek eme töréspontok? és . Észrevehetted, hogy mindig egyel több az

intervallum, mint ahány töréspont van.

Most már nem dumálok annyit, tessék mindig olyan számot venni, ami az éppen vizsgált

intervallumban van és behelyettesíteni! Ebből ki fog derülni, hogy negatív vagy pozitív előjellel kell-e

venni az adott tagot.

Mindkettő negatív előjellel véve lesz azonos előjelű és értékű, mint az abszolútértéke:

Tehát ezen az intervallumon az abszolútértékes függvény a konstans értéket vesz fel. Lásd az

ábrát!

Azonban ez az érték nincs a vizsgált intervallumban, mivel . Így ez nem megfelelő

megoldás.

Ebbe az intervallumba esik a nulla is. Ha valaki ilyen behelyettesítős módszerrel kívánja megállapítani

a tagok pillanatnyi előjelét, annak ajánlom a nullát a figyelmébe. Első tag pozitív, második negatív.

Tehát eme intervallumon az abszolútértékes tagokból összetákolt függvény így álcázza magát, ilyen

kinézetű lesz: . Lásd az ábrát!

Ez benne van a jelenleg vizsgált intervallumban. Tehát eddig egy megoldásunk van.

A tagok megegyeznek abszolútértékükkel.

Vagyis ebben a tartományban az abszolútértékes függvény, a jobboldal konstans: . Lásd az

ábrát!

Tovább gyúrva:

Ez ismét nincs a jelenleg vizsgált intervallumban, hiszen . Így ez az eset sem ad megoldást.

Egyetlen megoldásunk van csak:

Az ábrája. Csekkold le, hogy a kiszámoltaknak megfelelően halad-e a piros függvény a három intervallumon!

A következő feladatban egy másodfokú egyenlet abszolútérték függvényének és egy lineáris

függvénynek metszéspontjait keressük.

Mely -ekre van megoldás?

A töréspontok itt is az abszolútértékes kifejezés nulla értékeinél találhatóak. A töréspontok közötti

szakaszok, a függvény ábráján; itt nyilván nem egyenes szakaszok, mint az eddigi feladatokban volt;

hanem parabola ívek. A töréspontok:

Ez szorzattá alakítható, így egyszerű:

Így a három intervallum, ahol vizsgálódunk:

Menjünk sorban:

Az abszolútértéken belüli kifejezés itt pozitív. Hiszen egy mosolygós parabola, és rája az a jellemző,

hogy a kisebbik gyöktől balra pozitív. Így tehát, a függvény abszolútértéke, itt magával a függvénnyel

egyezik meg:

Az ábrázoláshoz ez az állapot kell. Itt még nem kevertük össze a két oldalt. A metszéspont

megállapításához viszont tovább kell mennünk. Redukáljuk nullára az egyenletet! Ez itt annyit tesz,

hogy a jobboldalt nullává tesszük azáltal, hogy áthajigálunk mindenkit a baloldalra:

Összevonunk:

Azok kedvéért, akik nem ismerik még a másodfokú egyenlet megoldó képletét, vessük be a teljes

négyzetté alakítást. Azt már mindenki ismeri. Aki nem, az olvassa el a c.

fejezetet!

Vagyis:

Ebből már egyszerű rendezéssel célhoz érünk:

Vonjunk gyököt, nem elfelejtve, hogy ez a művelet két értéket ad:

Azaz, mivel a szép négyzetszám, belőle fejben is tudunk gyököt vonni:

Vagy ha úgy jobban tetszik:

Vagyis a két gyök:

De ebből az biztosan nem esik az aktuális intervallumba, -ba. Csak az lehet esélyes

aspiráns. Számoljuk ki, és nyomban kiderül, hogy ő jó lesz-e:

Ez valóban jó is ebbe az intervallumba. Ez tehát megoldás itten e.

A következő intervallum a két töréspont közé esik:

Itt, a két gyök között, a mosolygós parabola negatív értékeket vesz fel. Ezért az abszolút értéke ennek

a mínusz egyszerese lesz:

Azaz:

Rendezzük nullára:

Azaz:

Teljes négyzettel lesből támadva:

Gyökvonás:

Vagyis:

A két itteni gyök, így hát:

Egyszerűbben fogalmazva:

Mindkettő benne van az intervallumban, ezért elfogadjuk mindkettőjüket.

A harmadik intervallum van még hátra.

Ezen az intervallumon, a mosolygós parabola nagyobbik gyökétől jobbra, a függvény pozitív értékű.

Így függvény egybeesik az abszolútértékével. Azaz pozitív előjellel vesszük az abszolútértékes

tagunkat:

Szerencsére ezt az egyenletet már megoldottuk. Ennek gyökei voltak: (és persze most is ezek azok)

A jelenlegi intervallumunk regnálása idején csak az lehet elfogadható, mert csak ő esik ebbe az

intervallumba, a -be. Emlékszünk, meg talán látjuk is, hogy a másik gyök negatív, mint a huzat.

Így az számolás nélkül is kizárja magát. Csak a másik gyököt kell kivallatnunk, hogy elköpje valódi

kilétét:

Így, ez valóban jó ide.

A teljes megoldáshalmaz tehát négyelemű:

Ha netán valakit érdekelne az ábra.

Az és a

A következő feladat, két abszolútértékes függvény metszéspontjait keresi. Mindkettőjük, egy-egy

másodfokú függvény abszolútérték függvényének transzformáltja.

Oldjuk meg a következő egyenletet!

A feladat kiróvója volt olyan jófej és teljes négyzet alakban adta meg a másodfokú kifejezéseket. Így

ezzel már nem kell szenvednünk. Első lépésként keressük meg a töréspontokat. Ebből összesen

darab lesz. Az egyik kvadratikus4 függvényre kettő, és a másikra is kettő. Ezért így intervallumunk

keletkezik.

A baloldali abszolútértékben lévő kifejezés zérus helyei, azaz töréspontja:

4 A v. idegen megnevezése.

Azaz ennek két töréspontja:

A jobboldali abszolút önkényúr pedig ekkor nihilizálódik:

Gyökvonás:

Ennek töréspontjai tehát:

A négy törés pont sorban így jön:

Vagyis az intervallumaink, ahol vizsgálódunk:

És mindenütt figyelembe vesszük, hogy az abszolútértékeken belül mosolygós, azaz felfelé nyitott

paraboláink vannak. Az senkit ne tévesszen meg, hogy a jobboldali abszolútértéknek negatív az

előjele! Az magára az abszolútérték függvényre vonatkozik és nem a belül lévő mosolygósságra.

Lelkük legmélyén tehát mindketten vidáman mosolyognak.

Ez mindkét abszolút pociban pozitív értékű függvény, mert mindkettő kisebb gyökétől balra vagyunk.

Tehát az abszolútértékjelek helyett sima zárójelet írunk, és nem váltunk előjelet.

Vagyis:

Ami összevonva:

Teljes négyzetet elővarázsol:5

55 Már vagy kétszer is említettem, hogy van egy ilyen című fejezet. Elolvastad már?

Osztunk hárommal:

Négyzetgyököt vonunk:

A két érték tehát:

Tehát ebbe az intervallumba csak az való:

A következő intervallum:

Ekkor a baloldali abszolútértéken belül negatív a függvény érték, vagyis neki az ellentettjét kell venni.

Viszont a jobboldalon az abszolútértéken belül pozitív kifejezés van, így ennek önmagát vesszük, azaz

nem változtatjuk meg a belső előjelét. Mindez miért? Mert a baloldali kvadratikus függvény két gyöke

között vagyunk, de a jobboldali kvadratikus függvénynek még mindig a kisebbik gyökétől balra. Az

előjelváltás pirossal jelölve:

Azaz:

Összevon:

Teljes négyzetezik:

Itt nincs megoldás, mert a baloldalon négyzet áll, ez pedig biztos pozitív, a jobb oldalon pedig negatív

szám. Így ez az egyenlet nem teljesülhet.

A harmadik intervallum:

A bal és jobb oldali abszolútérték belseje egyaránt negatív, hiszen mindkettő kifejezés két-két gyöke

közötti tartományban vagyunk. Így negatív előjelet kap belül mindkettő, az abszolút értékjel helyett

zárójellel. Az előjelváltást láthatod pirosban:

Összevon:

Teljes négyzetezik:

Négyzetgyököt von:

A gyökök tehát:

Mindketten megfelelnek, mert benne vannak a most vizsgált intervallumban.

A negyedik intervallum:

Itt a baloldali abszolútértékbe zárt parabolánk már ismét pozitív értékeket vesz fel, mert a nagyobbik

gyökétől jobbra vagyunk. A jobboldali társa viszont negatív az abszolútértéken belül, mert még két

gyöke közt leledzünk. Így ennek megfelelően a baloldalinak önmaga, a jobboldalinak pedig mínusz

egyszerese az ő abszolútértéke. Az előjelváltás, a már szokott módon pirosban tündököl:

Vonogat mán összefele:

Teljes négyzet:

Minkét oldalon lecsippentjük a mínusz előjelet, mint nem kívánatos tüskét. Azaz szorzunk mínusz

eggyel:

Négyzetgyököt von:

Az -en látszik már tényleges kiszámolása nélkül is, hogy ő bizony nem nyert állampolgárságot

ebben az intervallumban, így szavazati joga sincs. Már csak a másik dicső, hős lovagban lehet minden

reményünk:

S ezt elfogadhatónak ítéljük, mert benne van a jelenlegi intervallumunkban.

Az ötödik intervallumunk:

Itt mind a két abszolútérték hasában pozitív értékeket vesznek fel a függvények, mert mindkettőjük

nagyobbik gyökeitől jobbra vagyunk. Az előjelezés tehát mindent helyben hagy:

Azonban ezt már láttuk. Az intervallumban is ezt oldottuk meg. Így csak az ottani gyököket kell

idepróbálni:

Azonban ezek egyike sem jó, mert nem esnek az intervallumba, mivel nekünk most csak az

-nál nagyobb számok felelnek meg. Így ebben az intervallumban nincs megoldás.

Összesítve, a teljes megoldáshalmaz eme feladatnál is négyelemű:

Ha tizedes tört alakban is szeretnéd kifejezni, bár ez nyilván pontatlan lesz:

És itt az ábra is szemléltetésül:

Az és a

Olyat is tanultunk itt, amiről már azt hitted, hogy nem is kell tudnod. Igen, a teljes négyzetté

alakításról beszélek. Mikor a másodfokú egyenlet megoldó képletét használjuk, akkor is éppen ezt

számoljuk, csak ott nem vezetjük minden alkalommal így végig, hanem csupán a „végső alakba”

helyettesítünk be. Azt majd annak idején úgy is vesszük. De imígyen már vettük is. Mert ez egy ilyen

könyv. Sőt már amúgy is vettük. A c. fejezetben.

∎∎