Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Reakció-diffúziós egyenletek megoldhatósága

SzakdolgozatMatematikus MSc

Mihálka Éva Zsuzsanna

Témavezető: Karátson János, egyetemi tanárAlkalmazott Anaĺızis és Számı́tásmatematikai Tanszék

Budapest, 2016

Köszönetnyilváńıtás

Köszönettel tartozom témavezetőmnek, Karátson Jánosnak a dolgozat elkésźıtése soránnyújtott seǵıtségéért. Iránymutatásával és türelmével hozzájárult ahhoz, hogy ez a dol-gozat elkészülhessen. Hálásan köszönöm a konzultációk során kapott hasznos tanácsokatés ötleteket, a kérdéseimre adott készséges válaszokat, valamint a dolgozat nagyon alaposáttekintését.

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 3

1.1. Kémiai modellek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Elméleti összefoglaló 7

2.1. Lp(Ω) és Szoboljev-terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Alapfogalmak, alaptulajdonságok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3. Megoldhatósági tételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Stacionárius reakció-diffúziós egyenletek 11

3.1. Egy komponens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.1. A p ≥ 2 eset Dirichlet-peremfeltétellel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.2. Az 1 < p < 2 eset Dirichlet-peremfeltétellel . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.3. Vegyes feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.4. Neumann-peremfeltétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2. Rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1. A p ≥ 2 eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.2. Az 1 < p < 2 eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4. Időfüggő egyenletek 39

4.1. Parabolikus feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2. Lineáris feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3. Nemlineáris feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3.1. Lipschitzes nemlineáris tag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1

Tartalomjegyzék

4.3.2. Operátorfélcsoportok és lokálisan Lipschitzes nemlineáris tag . . . . . 46

Irodalomjegyzék 58

2

1. Bevezetés

A parciális differenciálegyenleteknek számtalan t́ıpusát különböztetjük meg. Ezek közül areakció-diffúziós egyenletek szemilineáris másodrendű egyenletek, melyek többféle modellbenis előfordulnak. Ilyenek a kémiai reakciót és diffúziót egyszerre léıró modellek, de például aSchrödinger-egyenlet (mind az időfüggő és az időfüggetlen) is ilyen t́ıpusú egyenlet. Ezen felülpopulációdinamikai modellekben is ilyen feladatok fordulnak elő. Az alapvető különbséget afeladatt́ıpusok között a nemlineáris rész adja.

A kémiai reakciók során az abban részt vevő anyagok koncentrációja változik, a változásmértéke pedig a pillanatnyi koncentráció függvénye. Koncentrációváltozást azonban nemcsak a kémiai reakció okoz, hanem a diffúzió és a konvekció is. A diffúzió a kon-centrációgradiens hatására bekövetkező anyagtranszport. A legegyszerűbb modellekben nemfoglalkoznak sem a diffúzióval, sem a konvekcióval. Azonban számos esetben ez nem tehetőmeg, sőt, éppen a diffúzió okozza a különleges viselkedést (oszcilláció, mintázatok megje-lenése). Ezért érdekes és fontos az ilyen t́ıpusú differenciálegyenletek vizsgálata. A dolgo-zatban az egyértelmű megoldás esetéről lesz szó, ami determinisztikus modellt jelent.

Az első fejezetben röviden összefoglalom a feladatok értelmezéséhez szükséges kémiaihátteret. A második fejezetben a felhasznált alapfogalmak és megoldhatósági tételek szere-pelnek. A harmadik fejezet témája a stacionárius feladat megoldása Dirichlet-, Neumann-és vegyes peremfeltételek esetében. Az egzisztenciát egy komponens és rendszer esetében isvizsgáljuk. A negyedik fejezet az időfüggő feladatokkal foglalkozik. Ebben az általánosabbalakú nemlineáris részt tartalmazó egyenletek megoldhatóságát az operátorfélcsoportokelméletére támaszkodva igazoljuk.

1.1. Kémiai modellek

A fizikai kémiai jelenségekről tartalmas összefoglalót ad az [1] könyv. A kémiai reakciót léırósztöchiometriai egyenlet általános alakja

N∑i=1

νiAi = 0,

ahol Ai az i-edik anyag kémiai képlete, νi pedig a hozzá tartozó sztöchiometriai együttható.A kiindulási anyagokra ν < 0, mı́g a termékekre ν > 0. A reakciósebesség defińıció szerint

v =1

V

dξ

dt,

3

1.1. Kémiai modellek

ahol V jelöli a térfogatot, ξ pedig a reakciókoordináta, mely a reakció előrehaladását méri.Tetszőleges i esetén νidξ = dni, ahol ni az i-edik speciesz anyagmennyiségét jelöli. Áttérvekoncentrációra: [Ai] = ni/V , és ı́gy a reakciósebesség

v =1

νi

d[Ai]

dt. (1.1)

Általában egy kémiai reakció összetett, és több ún. elemi reakcióból tevődik össze. Gyakori,hogy a reakciósebesség arányos a kiindulási anyagok koncentrációinak megfelelő hatványonvett szorzatával, ez a tömeghatás törvénye. Az arányossági tényező a reakciósebességi együtt-ható, mely adott hőmérsékleten állandó. Vagyis egy

M∑j=1

νjAj =N−M∑k=1

µkBk

reakció esetén, ahol a bal oldalon szerepelnek a kiindulási anyagok, a jobb oldalon a termékek(és most νj, µk > 0), a reakciósebesség gyakran a következő formában ı́rható fel:

v = kM∏j=1

[Aj]αj .

Az αj kitevő a reakció rendűsége az i-edik anyagra nézve. A rend csupán tapasztalatimennyiség, nem vezethető le más tulajdonságokból. Bizonyos reakciók esetében megegyezika megfelelő sztöchiometriai együtthatóval. Összetett reakciók esetében az is lehetséges, hogya termék koncentrációja is megjelenik a sebességi egyenletben, valamint a reakciósebességsem adható meg mindig a fenti formulával.

Például az elemi hidrogén és bróm gázfázisú reakciója ([1]):

H2(g) + Br2(g) −→ 2HBr(g)

Az ehhez tartozó sebességi egyenlet pedig:

v = k[H2][Br2]

3/2

[Br2] + k′[HBr].

Az ilyen t́ıpusú sebességi egyenlet mindig összetett mechanizmusra utal.

Az (1.1) egyenlet alapján az i-edik anyag koncentrációjának megváltozása:

d[Ai]

dt= νiv = νik

M∏j=1

[Aj]αj , (j = 1, . . . ,M)

4

1.1. Kémiai modellek

vagyis az [Ai] koncentrációkra egy (általában nemlineáris) differenciálegyenletet kapunk.Mindez olyan körülmények között teljesül, amikor a reakcióelegyet homogénnek tekintjük.Ha figyelembe vesszük a diffúziót, sőt akár a konvekciót is, akkor a fenti sebességi egyenletet adiffúziós egyenlettel (Fick II. törvénye, ld. [1]) kombinálva jutunk el az ún. reakció-diffúziósegyenlethez, melynek általános alakja

∂tu = div(a∇u)− b∇u− q(x, u) + g. (1.2)

A fenti egyenletben u jelöli a koncentrációt, a jobb oldalon az első tag a diffúziót, a másodika konvekciót, a harmadik pedig a reakciót ı́rja le. Ha a sebességi egyenletben több anyagkoncentrációja is szerepel, akkor parciális differenciálegyenlet-rendszert kapunk.

Ilyen t́ıpusú egyenletek nemcsak kémiai reakcióknál fordulnak elő, hanem például po-pulációdinamikai modellek esetében is. Ezek megoldhatóságáról, illetve a megoldásegyértelműségéről lesz a továbbiakban szó.

5

1.1. Kémiai modellek

6

2. Elméleti összefoglaló

A dolgozat nagy részben az Lp(Ω), H10 (Ω) és H1(Ω) függvényterek néhány alapvető tulaj-

donságára, illetve a közöttük lévő kapcsolatra éṕıt ([7]).

2.1. Lp(Ω) és Szoboljev-terek

Legyen Ω ⊂ Rn korlátos tartomány.

2.1.1. Tétel. (Szoboljev-féle beágyazási tétel) Ha n > 2 és 2 ≤ p ≤ 2nn−2 , vagy ha

n = 2 és 2 ≤ p < ∞, akkor H10 (Ω) ⊂ Lp(Ω), H1(Ω) ⊂ Lp(Ω), és létezik olyan Kp állandó,hogy tetszőleges f ∈ H10 (Ω)-ra ||f ||Lp(Ω) ≤ Kp||f ||H10 (Ω), valamint tetszőleges g ∈ H

1(Ω)-ra||g||Lp(Ω) ≤ Kp||g||H1(Ω).

2.1.2. Álĺıtás. Ha 1 ≤ p ≤ s, akkor Ls(Ω) ⊂ Lp(Ω), és létezik KΩ,p,s állandó, hogy mindenf ∈ Ls(Ω)-ra ||f ||Lp(Ω) ≤ KΩ,p,s||f ||Ls(Ω).

Bizonýıtás. Legyen f ∈ Ls(Ω), vagyis∫Ω

|f |s = ||f ||sLs(Ω) < ∞. Ekkorsp≥ 1, és ı́gy a

Hölder-egyenlőtlenség alapján

∫Ω

|f |p =∫Ω

1 · |f |p ≤

∫Ω

1

s−ps

·

∫Ω

(|f |p)sp

ps

= cΩ,p,s · ||f ||pLs(Ω) 2 és 1 ≤ p ≤ 2nn−2 , vagy n = 2 és 1 ≤ p < ∞, akkor Ω korlátossága

miatt H10 (Ω) ⊂ Lp(Ω), ill. H1(Ω) ⊂ Lp(Ω), és létezik olyan cΩ,p állandó, hogy tetszőleges f ∈H10 (Ω) esetén ||f ||Lp(Ω) ≤ cΩ,p||f ||H10 (Ω), valamint tetszőleges g ∈ H

1(Ω) esetén ||g||Lp(Ω) ≤cΩ,p||g||H1(Ω). Ugyanis p ≥ 2 esetén a Szoboljev-féle beágyazási tétel éppen ezt mondja ki, hap < 2, akkor pedig az 2.1.2. álĺıtás alapján H10 (Ω), H

1(Ω) ⊂ L2(Ω) ⊂ Lp(Ω), és tetszőlegesf ∈ H10 (Ω)-ra és g ∈ H1(Ω)-ra ||f ||Lp(Ω) ≤ cΩ,p||f ||H10 (Ω), ill. ||g||Lp(Ω) ≤ cΩ,p||g||H1(Ω).

2.2. Alapfogalmak, alaptulajdonságok

A vizsgált differenciálegyenleteket, illetve a peremérték-feladatokat általában átalaḱıtjukgyenge alakra, és ı́gy absztrakt terekben értelmezett operátoregyenletekhez jutunk. Ezekvizsgálatához szükség lesz néhány új defińıcióra. Az itt szereplő fogalmak és az álĺıtások

7

2.2. Alapfogalmak, alaptulajdonságok

bizonýıtása a [4] könyvben megtalálhatók. A továbbiakban minden itt szereplő normált térvalós.

2.2.1. Defińıció. Legyenek X, Y normált terek, és F : X → Y nem feltétlenül lineárisoperátor. Azt mondjuk, hogy F Gâteaux-deriválható az u ∈ X pontban, ha

i) tetszőleges v ∈ X esetén létezik a következő, ∂vF (u)-val jelölt határérték:

limt→0

F (u+ tv)− F (u)t

,

ii) az X → Y , v 7→ ∂vF (u) leképezés folytonos és lineáris.

Ha F minden u ∈ X esetén Gâteaux-deriváható u-ban, akkor a második pontban szereplőoperátort F ′(u)-val jelölve egyrészt F ′(u) ∈ B(X, Y ), másrészt egy F ′ : X → B(X, Y )leképezéshez jutunk.

2.2.2. Példa. Ha F ∈ B(X, Y ), azaz F korlátos lineáris operátor, akkor F (u+tv)−F (u)t

=F (v), ı́gy ∂vF (u) = F (v), és ez nyilván folytonos és lineáris v-ben. Ezért F minden u ∈ Xpontban Gâteaux-deriváható, és F ′(u) = F .

2.2.3. Defińıció. Legyenek X, Y, Z normált terek, A : X → B(Y, Z) operátor. Aztmondjuk, hogy A bihemifolytonos, ha tetszőleges rögźıtett u, v, w ∈ X és z ∈ Y esetén azR2 3 (t, s) 7→ A(u+ tv + sw)z, R2-ből Z-be vezető leképezés folytonos.

Ha pl. φ : X → R funkcionál, X = Y és Z = R, akkor B(Y, Z) = X∗, és ı́gy értelmezhető aφ′ : X → X∗ Gâteaux-derivált bihemifolytonossága.2.2.4. Defińıció. Legyen X Banach-tér, φ : X → R funkcionál. u, v ∈ X és t ∈ [0, 1]esetén legyen φu,v(t) = φ(u+ t(v−u)). Azt mondjuk, hogy φ (szigorúan) konvex, ha mindenu, v ∈ X esetén φu,v (szigorúan) konvex.2.2.5. Álĺıtás. Ha φ : X → R konvex funkcionál Gâteaux-deriválható, akkor mindenu, v ∈ X esetén φ(u)− φ(v) ≥ 〈φ′(v), u− v〉.2.2.6. Defińıció. Egy F : X → X∗ operátor monoton, ha ∀u, v ∈ X esetén

〈F (u)− F (v), u− v〉 ≥ 0.Az operátor szigorúan monoton, ha a fenti kifejezésben pontosan akkor áll fenn egyenlőség,ha u = v. Végül az operátor egyenletesen monoton, ha létezik m > 0, hogy minden u, v ∈ Xesetén 〈F (u)− F (v), u− v〉 ≥ m||u− v||2.2.2.7. Álĺıtás. Legyen φ : x→ R Gâteaux-deriválható funkcionál. Ekkor ekvivalensek:

i) φ konvex,

ii) φ′ : X → X∗ monoton operátor.2.2.8. Defińıció. Legyen X Banach-tér, A : X → X∗ operátor. Azt mondjuk, hogy Apotenciáloperátor, ha létezik J : X → R Gâteaux-deriválható funkcionál, melyre J ′ = A.Ekkor J-t az A potenciáljának nevezzük.

Ha a potenciál létezik, akkor az addit́ıv konstans erejéig egyértelmű.

8

2.3. Megoldhatósági tételek

2.3. Megoldhatósági tételek

A gyenge alakból kapott operátoregyenletekben szereplő operátorok az előzőekben defi-niált tulajdonságokkal rendelkezhetnek. Bizonyos monotonitási, korecitivitási illetve dif-ferenciálhatósági feltételek teljesülése esetén az egyenletek megoldhatóságára, valamint amegoldás egyértelműségére több tétel is vonatkozik. Ezek közül azok szerepelnek csak itt,amelyeket közvetlenül fel is használunk. További megoldhatósági tételek és az alább szereplőálĺıtások bizonýıtása megtalálható a [4] könyvben.

2.3.1. Tétel. Legyen H valós Hilbert-tér, és tegyük fel, hogy az F : H → H operátorra akövetkezők teljesülnek:

i) létezik m > 0, hogy 〈F (u) − F (v), u − v〉 ≥ m||u − v||2 (u, v ∈ H10 (Ω)), azaz Fegyenletesen monoton,

ii) létezik olyan M : R+ → R+ monoton növő függvény, hogy

||F (u)− F (v)|| ≤M(r)||u− v|| (∀u, v ∈ H, ||u|| ≤ r, ||v|| ≤ r),

azaz F lokálisan Lipschitzes.

Ekkor bármely b ∈ H esetén az F (u) = b operátoregyenletnek egyértelműen létezik megoldása,azaz u∗ ∈ H, melyre F (u∗) = b.

2.3.2. Tétel. Legyen H valós Hilbert-tér. Ha az F : H → H operátorra fennáll, hogy

i) F Gâteaux-deriválható, F ′ bihemifolytonos,

ii) minden u ∈ H esetén F ′(u) ∈ B(H) önadjungált,

iii) létezik m > 0, hogy minden u, h ∈ H esetén 〈F ′(u)h, h〉 ≥ m||h||2,

akkor tetszőleges b ∈ H esetén az F (u) = b operátoregyenletnek egyértelműen létezik u∗ ∈ Hmegoldása.

2.3.3. Tétel. Legyen X reflex́ıv Banach-tér, és F : X → X∗ szigorúan monoton po-tenciáloperátor. Jelölje egy potenciálját J . Ha lim

||u||→+∞

J(u)||u|| = +∞, akkor az F (u) = b

∗

operátoregyenletnek minden b∗ ∈ X∗-ra egyértelműen létezik u∗ ∈ H megoldása.

9

2.3. Megoldhatósági tételek

10

3. Stacionárius reakció-diffúziós egyenletek

Ebben a fejezetben a dolgozat elején definiált reakció-diffúziós egyenlet (illetve -rendszer)stacionárius megoldásait vizsgáljuk különböző peremfeltételek mellett. Belátjuk, hogy ha anemlineáris tag eleget tesz bizonyos folytonossági, növekedési és monotonitási feltételeknek,akkor a stacionárius megoldás egyértelműen létezik.

Ha a

∂u

∂t= div(a∇u)− b∇u− q(x, u) + g

reakció-diffúziós egyenlet időben állandó, azaz stacionárius megoldásait keressük, akkor azegyenlet jobb oldalát nullával egyenlővé téve elliptikus parciális differenciálegyenlethez (vagytöbb ismeretlen esetében -rendszerhez) jutunk.

3.1. Egy komponens

Legyen Ω ⊂ Rn korlátos tartomány. Ebben a szakaszban azzal az esettel foglalkozunk,amikor egyetlen komponensre vonatkozik az egyenlet.

Tekintsük a következő szemilineáris feladatot:

{−div(a∇u) + b · ∇u+ q(x, u) = g,u|∂Ω = ϕ.

(3.1)

A peremfeltétel tehát Dirichlet-peremfeltétel. Később más t́ıpusú peremfeltételekkel is fog-lalkozunk. A fenti egyenletben az első két tag lineáris, mı́g a harmadik többnyire nem az, ésa q-ra vonatkozó növekedési feltétel általában az |u|-nak a p−1-edik hatványát tartalmazza,ahol p > 1 valós szám. Ezen p értékétől függően két osztályba sorolhatjuk a feladatokat, ésa megoldás létezését is eszerint vizsgálhatjuk.

Mivel kémiai reakciók esetében a keresett u megoldás koncentrációt jelöl, a megoldásnak csakakkor van értelme, ha az nemnegat́ıv. A q(x, ξ) függvényről feltesszük, hogy ξ-ben monotonnövő. Ekkor a (3.1) feladat ekvivalens alakja

{−div(a∇u) + b · ∇u+ q(x,u)−q(x,0)

uu = g − q(x, 0),

u|∂Ω = 0.(3.2)

Ha u∗ a fenti egyenlet megoldása, akkor megoldása az alábbi lineáris egyenletnek is:

11

3.1. Egy komponens

{−div(a∇u) + b · ∇u+ h(x)u = g̃,u|∂Ω = 0,

(3.3)

ahol h(x) :=q(x, u∗)− q(x, 0)

u∗≥ 0, mivel q(x, ξ) a második változójában monoton növő, és

g̃(x) := g(x) − q(x, 0). Ha ϕ ≥ 0 és g̃ ≥ 0, akkor a (3.3) lineáris Dirichlet-feladat bármelymegoldása, ezáltal u∗ is nemnegat́ıv (ez a maximum-elv, ld. [3]).

Tekintsük most a homogén peremfeltételt, azaz legyen ϕ = 0. A (3.1) feladatban sze-replő egyenletet v ∈ C10(Ω) függvénnyel szorozzuk, majd Ω-n integrálunk. A Gauss-Osztrogradszkij-tétel és a peremfeltétel felhasználásával azt kapjuk, hogy minden v ∈ C10(Ω)esetén

∫Ω

(a∇u · ∇v + (b · ∇u)v + q(x, u)v) =∫Ω

gv.

Mivel C10(Ω) ⊂ H10 (Ω) sűrű, ı́gy a (3.1) feladat gyenge alakja a következő: olyan u ∈ H10 (Ω)függvényt keresünk, hogy tetszőleges v ∈ H10 (Ω) esetén

∫Ω

(a∇u · ∇v + (b · ∇u)v + q(x, u)v) dx =∫Ω

gv dx. (3.4)

3.1.1. A p ≥ 2 eset Dirichlet-peremfeltétellel

Legyen Ω ⊂ Rn korlátos tartomány. Tegyük fel, hogy a (3.1) feladatban szereplő függvényeka következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

3.1.1. Feltételek.

1. a ∈ L∞(Ω), a(x) ≥ m > 0 (m.m. x ∈ Ω),

2. b ∈ C1(Ω,Rn

), div(b) = 0,

3. q : Ω × R → R függvény, rögźıtett x ∈ Ω mellett q(x, ξ) ξ-ben monoton növő, ésléteznek olyan 2 ≤ p ≤ 2n

n−2 , ha n > 2, ill. 2 ≤ p

3.1. Egy komponens

Bizonýıtás.

Egyrészt div(bu2) = u2div(b)+2(b ·∇u)u = 2(b ·∇u)u. Másrészt a Gauss-Osztrogradszkij-tételből:

∫Ω

(b · ∇u)u = 12

∫Ω

div(bu2) =1

2

∫∂Ω

(bu2) · ν ds = 0,

mivel u|∂Ω = 0 nyom-értelemben.

3.1.3. Álĺıtás. A 3.1.1.-beli feltételek teljesülése esetén a (3.1) feladatnak minden g ∈L2(Ω) esetén egyértelműen létzik gyenge megoldása.

Bizonýıtás. A 3. tulajdonságból következik, hogy léteznek olyan α, β ≥ 0 konstansok,mellyel |q(x, ξ)| ≤ α + β|ξ|p−1.

Az egyenlet jobb oldalából kapható v 7→∫Ω

gv leképezés nyilván lineáris, és korlátos is:

|∫Ω

gv| ≤ ||g||L2(Ω)||v||L2(Ω) ≤ cΩ||g||L2(Ω)||v||H10 (Ω). Így minden g ∈ L2(Ω) függvényhez

egyértelműen létezik b ∈ H10 (Ω), hogy∫Ω

gv = 〈b, v〉H10 .

Továbbá a v 7→∫Ω

(a∇u∇v + (b · ∇u)v + q(x, u)v) leképezés rögźıtett u mellett v-ben

lineáris, és ez a funkcionál korlátos (azaz folytonos). Ugyanis tagonként becsülve:

∫Ω

|a∇u∇v| ≤ ca∣∣∣∣∣∣|∇u|∣∣∣∣∣∣

L2(Ω)+∣∣∣∣∣∣|∇v|∣∣∣∣∣∣

L2(Ω)= ca||u||H10 ||v||H10 , (3.5)

ahol |a| ≤ ca, kihasználva a korlátosságát. Továbbá |b · ∇u| ≤ |b| · |∇u| ≤ cb|∇u|, hiszen bis korlátos. Ezáltal

∫Ω

|(b · ∇u)v| ≤ cb∣∣∣∣∣∣|∇u|∣∣∣∣∣∣

L2(Ω)||v||L2(Ω) ≤ cbcΩ||u||H10 ||v||H10 .

Végül a Hölder-egyenlőtlenség alapján (q az 1p

+ 1q

= 1 összefüggésben szereplő q, és ezért

p/q = p− 1):

∫Ω

|q(x, u)v| dx ≤∫Ω

(α|v|+ β|u|p−1|v|)| ≤ α||v||L1(Ω) + β

∫Ω

|u|(p−1)q1/q ·

∫Ω

|v|p1/p

= α · ||v||L1(Ω) + β||u||p/qLp(Ω) · ||v||Lp(Ω) ≤ (αcΩ,1 + cp−1Ω,p ||u||

p−1H10

)||v||H10 .(3.6)

13

3.1. Egy komponens

A Riesz-féle reprezentációs tétel szerint tehát egyértelműen létezik olyan F (u) ∈ H10 (Ω),hogy

∫Ω

(a∇u∇v + (b · ∇u)v + q(x, u)v) = 〈F (u), v〉H10 (Ω) minden v ∈ H10 (Ω)-ra. Ezáltal a

feladat gyenge alakja 〈F (u), v〉H10 = 〈b, v〉H10 alakra hozható. Mivel ez az egyenlet mindenv ∈ H10 (Ω) esetén fennáll, ı́gy eljutunk a következő operátoregyenlethez:

F (u) = b

Elegendő azt belátni, hogy az F : H10 (Ω) → H10 (Ω) operátorra teljesülnek a 2.3.1. tételfeltételei.

Az egyenletes monotonitás igazolásához bontsuk fel az F operátort három részre: F =A+B +N , ahol 〈A(u), v〉 =

∫Ω

a∇u · ∇v, 〈B(u), v〉 =∫Ω

(b∇u)v, és 〈N(u), v〉 =∫Ω

q(x, u)v.

A és B lineáris operátorok, ı́gy áttérve a h = u−v jelölésre 〈A(u)−A(v), u−v〉 = 〈A(h), h〉 =∫Ω

a|∇h|2 ≥ m||h||2H10 (Ω)

= m||u− v||2H10 (Ω)

, felhasználva az a-ra szabott feltételt.

A második tag esetében a 3.1.2. álĺıtás alapján azt kapjuk, hogy 〈B(u) − B(v), u − v〉 =〈B(h), h〉 =

∫Ω

(b · ∇h)h = 0. Végül 〈N(u)−N(v), u− v〉 =∫Ω

(q(x, u)− q(x, v))(u− v) ≥ 0,

mivel q(x, ξ) ξ-ben monoton nő, ı́gy az integrandus nemnegat́ıv.

Tehát 〈F (u)− F (v), u− v〉H10 ≥ m||u− v||2H10

, vagyis F egyenletesen monoton.

A 2.3.1. tételben szereplő második feltétel, hogy az F operátor lokálisan Lipschitzes. Ennekigazolásh́oz érdemes ismét tagonként vizsgálódni. Egyrészt tetszőleges z ∈ H10 (Ω) esetén||z||H10 = sup||v||

H10=1

〈z, v〉H10 . Másrészt 〈A(u) − A(v), h〉 = 〈A(u − v), h〉 =∫Ω

a(∇u −∇v)∇h ≤

ca||u− v||H10 · ||h||H10 , emiatt ||A(u)− A(v)|| ≤ sup||h||H10

=1

ca||u− v||H10 · ||h||H10 = ca||u− v||H10 .

Hasonlóan, 〈B(u)−B(v), h〉 = 〈B(u− v), h〉 =∫Ω

(b · (∇u−∇v))h ≤ cbcΩ||u− v||H10 · ||h||H10 ,

ahonnan ||B(u)−B(v)|| ≤ sup||h||

H10=1

cbcΩ||u− v||H10 ||h||H10 = cbcΩ||u− v||H10 .

Végül a nemlineáris tagra azt kapjuk, hogy

〈N(u)−N(v), h〉 =∫Ω

(q(x, u)− q(x, v))h ≤∫Ω

(α1 + β1(|u|+ |v|)p−2)|u− v||h|

≤ α1||u− v||L2(Ω)||h||L2(Ω) + β1|||u|+ |v|||p−2Lp(Ω) · ||u− v||Lp(Ω)||h||Lp(Ω)≤ c2Ωα1||u− v||H10 ||h||H10 + β1c

pΩ,p(||u||H10 + ||v||H10 )

p−2||u− v||H10 ||h||H10 .

Ezt alkalmazva pedig

14

3.1. Egy komponens

||N(u)−N(v)|| ≤ sup||h||

H10=1

(c2Ωα1||u− v||H10 + β1cpΩ,p(||u||H10 + ||v||H10 )

p−2||u− v||H10 )||h||H10

= (c2Ωα1 + β1cpΩ,p(||u||H10 + ||v||H10 )

p−2)||u− v||H10 .

Össześıtve ||F (u) − F (v)|| ≤ M(r)||u − v||, ha ||u|| ≤ r, ||v|| ≤ r, ahol M(r) = ca +cbcΩ + c

2Ωα1 + β1c

pΩ,p(2r)

p−2 monoton növő függvény. Ezzel beláttuk, hogy a (3.1) gyengealakból kapható F (u) = b operátoregyenletben szereplő F operátor egyenletesen monotonés lokálisan Lipschitzes, vagyis a 2.3.1. tétel értelmében minden b ∈ H10 (Ω)-ra egyértelműenlétezik megoldása.

Szigorúbb feltételeket szabva a (3.1) egyenletben szereplő függvényekre, az előző gondolat-menetet követve ismét operátoregyenlethez jutunk. Megfelelő feltételek mellett az ı́gy kapottF egy megfelelő tulajdonságokkal rendelkező potenciáloperátor, ı́gy a megoldás létezését a2.3.2. tétel seǵıtségével is igazolhatjuk. Ekkor az elsőrendű tag nyilvánvalóan nem szerepel-het az egyenletben, hiszen annak nem lehet potenciálja (antiszimmetrikus).

Vagyis a feladat alakja egyszerűsödik:

{−div(a∇u) + q(x, u) = g,u|∂Ω = 0.

(3.7)

A (3.7) feladat gyenge alakja ı́gy a következő: olyan u ∈ H10 (Ω) gyenge megoldást keresünk,melyre teljesül, hogy

∫Ω

(a∇u · ∇v + q(x, u)v) =∫Ω

gv (∀v ∈ H10 (Ω)). (3.8)

Az a és q függvényekre vonatkozó feltételek is szigorúbbak lesznek:

3.1.4. Feltételek.

1. a ∈ L∞(Ω), a(x) ≥ m > 0 (m.m. x ∈ Ω),

2. q ∈ C1(Ω× R

), és léteznek olyan 2 ≤ p ≤ 2n

n−2 , ha n > 2 ill. 2 ≤ p < ∞, ha n = 2, ésα1, β1 ≥ 0 állandók, hogy 0 ≤ ∂q(x,ξ)∂ξ ≤ α1 + β1|ξ|

p−2 (∀x ∈ Ω, ξ ∈ R).

A 2. feltételből a Lagrange-középértéktétel felhasználásával könnyen igazolható, hogy|q(x, ξ)| ≤ α+ β|ξ|p−1, alkalmas α, β konstansokkal. (Ennél a becslésnél kihasználtuk, hogyp ≥ 2.)

3.1.5. Álĺıtás. A 3.1.4.-beli feltételek teljesülése esetén a (3.7) feladatnak bármely g ∈L2(Ω) esetén egyértelműen létezik u∗ ∈ H10 (Ω) gyenge megoldása.

15

3.1. Egy komponens

Bizonýıtás. A 3.1.3. álĺıtás gondolatmenetét követhetjük. A (3.8) gyenge alak jobb oldaláta 3.1.3. álĺıtás bizonýıtása alapján ismét

∫Ω

gv = 〈b, v〉H10 alakban ı́rhatjuk.

A v 7→∫Ω

(a∇u∇v+ q(x, u)v) leképezés rögźıtett u mellett v-ben lineáris, és korlátos. Ennek

igazolásához elegendő a (3.5) és (3.6) egyenlőtlenségekre hivatkozni, hiszen ezek most isteljesülnek. Ezért a megfelelő Riesz-reprezentánst F (u)-val jelölhetjük, és ı́gy a jobb oldalból∫Ω

(a∇u∇v+q(x, u)v) = 〈F (u), v〉H10 alakot, illetve egy F : H10 (Ω)→ H10 (Ω) operátort kapunk.

Megint egy F (u) = b operátoregyenlethez jutunk. Azt fogjuk belátni, hogy erre az F -re az2.3.2. tételben szereplő tulajdonságok mind teljesülnek, és ı́gy a gyenge megoldás egyértelműlétezését is igazoljuk.

Válasszuk az F operátort két részre: F = A+N , ahol az első tag lineáris, N pedig nem az.F -ről azt kell igazolni, hogy Gâteaux-deriválható, F ′ bihemifolytonos, minden u-ra F ′(u)önadjungált, és hogy F ′(u) egyenletesen monoton operátor, minden u-ra közös konstanssal.Ezeket tagonként bizonýıtjuk. Az A lineáris operátort a következő módon adhatjuk meg:

〈Au, v〉 =∫Ω

(a∇u · ∇v).

Az ı́gy kapott A korlátos és lineáris operátor. Ezekről tudjuk, hogy Gâteaux-deriválhatók,továbbá 〈A′(u)v, h〉 = 〈Av, h〉 =

∫Ω

(a∇v · ∇h).

A nemlineáris tagra 〈N(u), v〉 =∫Ω

q(x, u)v. Tetszőleges, de rögźıtett u, v, h ∈ H10 (Ω) esetén

1

t(〈N(u+ tv), h〉 − 〈N(u), h〉) =

∫Ω

q(x, u+ tv)− q(x, u)t

h.

Ha t → 0, az integrandus m.m. pontonként tart ∂q∂ξ

(x, u)v-hez, ezért definiáljuk adott u

és v esetén a D(u, v) ∈ H10 (Ω) elemet ı́gy: 〈D(u, v), h〉 :=∫Ω

∂q∂ξ

(x, u)vh. Ez utóbbi h-

nak lineáris, korlátos funkcionálja, és ı́gy van értelme a megfelelő D(u, v) Riesz-féle repre-zentánsról beszélni. Hiszen

16

3.1. Egy komponens

∣∣∣∣∣∣∫Ω

∂q

∂ξ(x, u)vh

∣∣∣∣∣∣ ≤∫Ω

∣∣∣∣∂q∂ξ (x, u)vh∣∣∣∣ ≤ ∫

Ω

(α + β|u|p−2)|v||h|

1

≤ αc2Ω||v||H10 ||h||H10 + β

∫Ω

|u|(p−2)pp−2

(p−2)/p ·∫

Ω

|vh|p2

2/p

2

≤ αc2Ω||v||H10 ||h||H10 + β||u||p−2Lp(Ω)

∫Ω

|v|p1/p ·

∫Ω

|h|p1/p

≤ (αc2Ω + βcpΩ,p||u||

p−2H10

)||v||H10 ||h||H10

(3.9)

Itt az 1 becslésnél a Hölder-egyenlőtlenséget használjuk p′ = pp−2 és q

′ = p2-vel, mı́g a

2 becslés egyszerűen a Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenségből kapható. Ezek alapján D(u, v)valóban értelmes, és a fenti becslés alapján rögźıtett u mellett

||D(u, v)|| = sup||h||

H10=1

〈D(u, v), h〉 = sup||h||

H10=1

∫Ω

∂q

∂ξ(x, u)vh

≤ sup||h||

H10=1

(αc2Ω + βcpΩ,p||u||

p−2H10

)||v||H10 ||h||H10 = (αc2Ω + βc

pΩ,p||u||

p−2H10

)||v||H10 ,

azaz a v 7→ D(u, v) lineáris leképezés korlátos, és ı́gy folytonos. Azt kell ellenőrizni, hogyéppen ez lesz a Gâteaux-derivált, azaz hogy lim

t→0||1t(N(u + tv) − N(u)) − D(u, v)|| = 0. A

Lagrange-féle középértéktétel szerint létezik olyan θ(x) ∈ [0, t], hogy q(x, u+ tv)− q(x, u)t

=

∂q

∂ξ(x, u+ θv)v. Eszerint 1

t〈N(u+ tv)−N(u), h〉 =

∫Ω

∂q∂ξ

(x, u+ θv)vh. Mivel t→ 0, ı́gy elég

kicsi t esetén θ(x) < 1, ezt kihasználva

||1t(N(u+ tv)−N(u))−D(u, v)|| = sup

||h||H10

=1

〈1t(N(u+ tv)−N(u))−D(u, v), h〉

= sup||h||

H10=1

∫Ω

((∂q∂ξ

(x, u+ θv)− ∂q∂ξ

(x, u))vh)

≤ sup||h||

H10=1

(∫Ω

∣∣∣∂q∂ξ (x, u+ θv)− ∂q∂ξ (x, u)∣∣∣p/(p−2))(p−2)/p · (∫Ω

|v|p/2|h|p/2)2/p

≤(∫

Ω

∣∣∣∂q∂ξ (x, u+ θv)− ∂q∂ξ (x, u)∣∣∣p/(p−2))(p−2)/p ||v||Lp(Ω) sup||h||

H10=1

||h||Lp(Ω)

≤ c2Ω,p||v||H10

(∫Ω

∣∣∣∂q∂ξ (x, u+ θv)− ∂q∂ξ (x, u)∣∣∣p/(p−2))(p−2)/p

(3.10)

17

3.1. Egy komponens

A (3.10) kifejezés végén szereplő integrálban az integrandus m.m. pontonként 0-hoz tart,hiszen q deriváltja folytonos. Másrészt van integrálható majoránsa, méghozzá (2α1+β1((|u|+|v|)p−2 + |u|p−2))p/(p−2).

Ugyanis |∂q∂ξ

(x, u+θv)− ∂q∂ξ

(x, u)| ≤ 2α1 +β1(|u+θv|p−2 + |u|p−2) ≤ 2α1 +β1((|u|+ |θv|)p−2 +|u|p−2) ≤ α1 + β1((|u|+ |v|)p−2 + |u|p−2), ha t (és ı́gy θ) elég kicsi.

Ha u, v ∈ Lp(Ω), akkor (|u|+|v|)p−2, |u|p−2 ∈ Lpp−2 (Ω), és ı́gy (2α1+β1((|u|+|v|)p−2+|u|p−2) ∈

Lpp−2 (Ω), ezáltal (2α1 +β1((|u|+ |v|)p−2 + |u|p−2))p/(p−2) ∈ L1(Ω), vagyis tényleg integrálható

majoránst kaptunk.

Mindezek alapján tehát N Gâteaux-deriválható, és

〈N ′(u)v, h〉 =∫Ω

∂q

∂ξ(x, u)vh.

Össześıtve 〈F ′(u)v, h〉 =∫Ω

(a∇v · ∇h+ ∂q∂ξ

(x, u)vh).

Az F bihemifolytonosságához az

R2 3 (s, t) 7→ F ′(u+ sv + tw)z

leképezés folytonosságát kell igazolni (u, v, w, z ∈ H10 (Ω) rögźıtett elemek). Elegendő a(0, 0)-beli folytonosságot ellenőrizni, hiszen az (s, t)-beli folytonosság a v és w alkalmasválasztásával éppen a (0, 0)-beli folytonosságot jelenti. Ezt is tagonként fogjuk ellenőrizni.

A lineáris tag esetében A′(u)z = Az, másrészt

lim(s,t)→(0,0)

||A′(u+ sv + tw)z − A′(u)z|| = lim(s,t)→(0,0)

||A(z)− A(z)|| = 0,

azaz a vizsgált leképezés valóban folytonos a (0, 0)-ban. N ′ bihemifolytonosságát is elegendőa (0, 0)-ban ellenőrizni:

lim(s,t)→(0,0)

sup||h||=1

〈N ′(u+ sv + tw)z, h〉 = lim(s,t)→(0,0)

sup||h||=1

∫Ω

((∂q

∂ξ(x, u+ sv + tw)− ∂q

∂ξ(x, u))zh)

(3.11)

A (3.11) egyenletbeli mennyiség becslése teljesen hasonlóan történik, mint a (3.10) becslés,és azt kapjuk, hogy a keresett limesz 0, azaz N ′ is bihemifolytonos.

F ′ önadjungáltsága is tagonként megkapható. A′(u) önadjungált, mert valós Hilbert-térbenvagyunk: 〈A′(u)h, v〉 = 〈Ah, v〉 =

∫Ω

(a∇h∇v) = 〈Av, h〉 = 〈h,Av〉 = 〈h,A′(u)v〉.

18

3.1. Egy komponens

Adott u ∈ H10 (Ω) esetén N ′(u) nyilván lineáris és a (3.9) becslés alapján ||N ′(u)v||H10 ≤(αc2Ω + βc

pΩ||u||

p−2H10

)||v||H10 . Ezek szerint N′(u) korlátos operátor. Önadjungáltsága pedig

könnyen látható:

〈N ′(u)v, h〉 =∫Ω

∂q

∂ξ(x, u)vh =

∫Ω

∂q

∂ξ(x, u)hv = 〈N ′(u)h, v〉

Végül be kell látnunk, hogy F ′ = A′ +N ′ egyenletesen monoton. Itt

〈A′(u)h, h〉 = 〈A(h), h〉 =∫Ω

a|∇h|2 ≥ m||h||2H10 (Ω)

〈N ′(u)h, h〉 =∫Ω

∂q

∂ξ(x, u)h2 ≥ 0,

mivel∂q(x, ξ)

∂ξ≥ 0. Azaz

〈F ′(u)h, h〉 ≥ m||h||2H10 (Ω) (∀u, h ∈ H10 (Ω)).

Összefoglalva: beláttuk, hogy teljesülnek a 2.3.2. tétel feltételei a gyenge alakból kapott Foperátorra, azaz a gyenge megoldás egyértelműen létezik.

Az eddig megfogalmazott feladatokban mindig homogén Dirichlet-peremfeltételt adtunkmeg. A feladat természetesen inhomogén peremfeltétellel is megfogalmazható:

{−div(a∇u) + b · ∇u+ q(x, u) = g,u|∂Ω = h.

(3.12)

Ha az egyenletet v ∈ C∞0 (Ω) függvénnyel szorozzuk, majd Ω-n integrálunk, akkor∫Ω

(a∇u · ∇v + (b · ∇u)v + q(x, u)v) =∫Ω

gv.

Mivel C10(Ω) ⊂ H10 (Ω) sűrű, ı́gy a 3.12. feladat gyenge alakja a következő: olyan u ∈ H1(Ω)függvényt keresünk, hogy tetszőleges v ∈ H10 (Ω) esetén

∫Ω

(a∇u · ∇v + (b · ∇u)v + q(x, u)v) dx =∫Ω

gv dx,

u|∂Ω = h nyom-értelemben.

(3.13)

19

3.1. Egy komponens

Az inhomogén feladat visszavezethető a homogén esetre, ı́gy a megoldás létezését könnyenigazolhatjuk. Tegyük fel, hogy a (3.12) feladatban szereplő függvényekre teljesülnek azalábbiak:

3.1.6. Feltételek.

1. a ∈ L∞(Ω), a(x) ≥ m > 0 (m.m. x ∈ Ω),

2. b ∈ C1(Ω,Rn

), div(b) = 0,

3. q : Ω × R → R függvény, rögźıtett x ∈ Ω mellett q(x, ξ) ξ-ben monoton növő, ésléteznek olyan 2 ≤ p ≤ 2n

n−2 , ha n > 2, ill. 2 ≤ p

3.1. Egy komponens

A (3.15) feladat gyenge alakja ı́gy a következő: olyan u ∈ H1(Ω) gyenge megoldást keresünk,melyre teljesül, hogy

∫Ω

(a∇u · ∇v + q(x, u)v) =∫Ω

gv (∀v ∈ H10 (Ω)),

u|∂Ω = h.

(3.16)

A homogén álĺıtás mintájára az a és q függvényekre vonatkozó feltételeket kapunk.

3.1.8. Feltételek.

1. a ∈ L∞(Ω), a(x) ≥ m > 0 (m.m. x ∈ Ω),

2. q ∈ C1(Ω× R

), és léteznek olyan 2 ≤ p ≤ 2n

n−2 , ha n > 2 ill. 2 ≤ p < ∞, ha n = 2, ésα1, β1 ≥ 0 állandók, hogy 0 ≤ ∂q(x,ξ)∂ξ ≤ α1 + β1|ξ|

p−2 (∀x ∈ Ω, ξ ∈ R).

3. létezik h̃ ∈ H1(Ω) ∩ L∞(Ω), melyre h̃|∂Ω = h.

3.1.9. Álĺıtás. A 3.1.8.-beli feltételek teljesülése esetén a (3.15) feladatnak bármely g ∈L2(Ω) esetén egyértelműen létezik u∗ ∈ H1(Ω) gyenge megoldása.

Bizonýıtás. Az előző bizonýıtáshoz hasonlóan áttérünk a homogén egyenletre, melynek ũ =u−h̃ ∈ H10 (Ω) pontosan akkor megoldása, ha u ∈ H1(Ω) megoldása az inhomogén feladatnak.A kapott egyenlet éppen a (3.14), a b = 0 választással. Elég belátni, hogy a q̃(x, ξ) =q(x, ξ + h̃(x)) függvényre igaz a 3.1.4.-beli 3. feltétel, hiszen ekkor hivatkozhatunk a 3.1.5.álĺıtásra.

Egyrészt 0 ≤ ∂q(x,ξ+h̃(x))∂ξ

= ∂q̃(x,ξ)∂ξ≤ α1 + β1|ξ + h̃(x)|p−2.

Másrészt |ξ+h̃(x)| ≤ 2 max(|ξ|, |h̃(x)|), ahonnan |ξ+h̃(x)|p−2 ≤ 2p−2 max(|ξ|p−2, |h̃(x)|p−2) ≤2p−2(|ξ|p−2 + |h̃(x)|p−2) ≤ c + c′|ξ|p−2, mivel h̃ ∈ L∞(Ω). Ezek alapján ∂q̃(x,ξ)

∂ξ≤ α1 + β1|ξ +

h̃(x)|p−2 ≤ c2 + c3|ξ|p−2. Tehát valóban teljesülnek a 3.1.4. feltételek, ı́gy a megoldásegyértelműen létezik.

3.1.10. Példa. Tekintsük a következő kémiai reakciót ([1]):

H2O2(aq)k−→ H2O(l) + O2(g)

A vegyületek után szereplő zárójel a fázisra (ill. halmazállapotra) utal: g - gázfázis, l -folyadék fázis, aq - vźben oldott, hidratált állapot. A fenti reakció v́ızben oldott hidrogén-peroxid bomlása folyékony v́ızzé és gáz halmazállapotú oxigénné. Ismeretes, hogy a reakcióelsőrendű, azaz a sebességi egyenlet d[H2O2]

dt= −k[H2O2], ahol k > 0 a reakciósebességi

együttható, [H2O2] pedig a hidrogén-peroxid koncentrációját jelöli.

Ha az ennek megfelelő reakció-diffúziós egyenletet ı́rjuk fel, akkor az a következő alakot ölti(jelölje a hidrogén-peroxid koncentrációját u, a konvekciótól eltekintünk):

21

3.1. Egy komponens

∂u

∂t= D∆u− ku,

ahol D a hidrogén-peroxid diffúziós együtthatója, melyről feltehető, hogy állandó. Az egyen-let stacionárius változata: D∆u − ku = 0, azaz −D∆u + ku = 0. Ebben az egyenletben akorábbi jelöléseket alkalmazva a = D, és q(x, ξ) = q(ξ) = kξ. Ilyen választással a-ra és q-raaz m = D, α1 = k, β1 = 0 és p = 2 konstansokkal teljesülnek a 3.1.4. feltételek. Azaz azegyenletnek a 3.1.5. álĺıtás alapján egyértelműen létezik a gyenge megoldása.

3.1.11. Példa. A hipoklorit-ionok folyadékfázisú bomlása ([1])

2ClO−k−→ 2Cl− + O2

másodrendű kinetika szerint zajlik, azaz d[ClO−]

dt= −k[ClO−]2, ahonnan a következő staci-

onárius reakció-diffúziós egyenletet kapjuk:

−D∆u+ ku2 = g,

ahol u jelöli a ClO−-koncentrációt, D a hipoklorit-ion diffúziós együtthatója, melyet kons-tansnak tekintünk.

Ekkor a = D, q(x, ξ) = k|ξ|ξ, és a p = 3, m = D, α1 = 0, β1 = 2k konstansokkal teljesülneka 3.1.4. feltételek, ezért a 3.1.5. álĺıtás szerint a gyenge megoldás egyértelműen létezik.

3.1.2. Az 1 < p < 2 eset Dirichlet-peremfeltétellel

Az 1 < p < 2 esetben a nempotenciálos gondolatmenet nem működik, mivel az Foperátor ilyen feltételek mellett nem lesz lokálisan Lipschitzes. Sőt, a potenciálos esetben ismódośıtani kell a q-ra vonatkozó feltételeket. Láttuk, hogy a q(x, ξ) fügvényt a |ξ| p−1-edikhatványával lehetett becsülni.

Ha a |q(x, ξ)| ≤ α1 + β1|ξ|p−1 tulajdonságot továbbra is megtartjuk, akkor q nem lesz diffe-renciálható 0-ban, illetve a p ≥ 2 eset lépéseit és jelöléseit követve a D(u, v) funkcionál nemfeltétlenül lesz korlátos, ı́gy N Gâteaux-deriválhatósága sem feltétlenül teljesül. (A (3.10)becslés során ugyanis kihasználtuk, hogy p

p−2 ≥ 1, mely p < 2 esetén nyilvánvalóan nemigaz.)

Így a potenciálos megoldhatósági tételek közül egy másikat, a 2.3.3. tételt kell alkalmaznunk.Továbbra is a (3.7) feladat gyenge megoldását keressük, azonban az a és q függvényekre másfeltételeket szabunk.

3.1.12. Feltételek.

1. a ∈ L∞(Ω), a(x) ≥ m > 0 (m.m. x ∈ Ω),

22

3.1. Egy komponens

2. q ∈ C(Ω× R

), rögźıtett x ∈ Ω mellett q(x, ξ) ξ-ben monoton növő, és léteznek olyan

1 < p < 2, α, β ≥ 0 állandók, hogy|q(x, ξ)| ≤ α + β|ξ|p−1 (∀ξ ∈ R).

3.1.13. Álĺıtás. A 3.1.12. feltételek teljesülése esetén a (3.7) feladatnak minden g ∈ L2(Ω)esetén egyértelműen létezik u∗ ∈ H10 (Ω) gyenge megoldása.

Bizonýıtás.

A p ≥ 2 esethez hasonlóan a (3.8) gyenge feladatból operátoregyenletet ı́runk fel, és aztlátjuk be, hogy az abban szereplő operátorra teljesülnek a 2.3.3. tétel feltételei.

A gyenge alak jobb oldala ismét 〈b, v〉H10 alakban adható meg.

A v 7→∫Ω

(a∇u∇v + q(x, u)v) dx leképezés rögźıtett u mellett v-ben lineáris, és korlátos

is. Ez könnyen látható a (3.5) és a (3.6) egyenlőtlenségek alapján, mivel ezek ebben azesetben is teljesülnek. Ugyanis a Hölder-egyenlőtlenség alkalmazásának a feltétele, hogyp ≥ 1 legyen, ami most is teljesül, az Lp(Ω)-norma becslése a H10 (Ω)-beli normával a korábbimeggondolások alapján szintén 1 ≤ p esetén használható. Tehát |

∫Ω

(a∇u∇v + q(x, u)v)| ≤

(ca||u||H10 + αcΩ,1 + cp−1Ω,p ||u||

p−1H10

)||v||H10 .

Ezért a Riesz-féle reprezentációs tétel szerint a (3.8) gyenge alak bal oldala 〈F (u), v〉H10formában ı́rható, és ı́gy a gyenge feladat a 〈F (u), v〉H10 = 〈b, v〉H10 egyenletnek felel meg.Azaz megint eljutottunk az F (u) = b operátoregyenlethez, ahol tehát

〈F (u), v〉H10 =∫Ω

(a∇u∇v + q(x, u)v).

A 2.3.3.-beli feltételek fennállásának bizonýıtásához ismét két részre választjuk F -et: F =A+N , ahol 〈A(u), v〉 =

∫Ω

(a∇u ·∇v) lineáris tag, mı́g 〈N(u), v〉 =∫Ω

q(x, u)v nem az. Először

azt látjuk be, hogy F potenciáloperátor, méghozzá úgy, hogy meg is adjuk egy potenciálját.

Lineáris operátornak mindig van potenciálja, egy addit́ıv konstans erejéig

JA(u) =1

2〈A(u), u〉 = 1

2

∫Ω

(a|∇u|2).

Mivel q ∈ C(Ω× R

), ı́gy létezik olyan Q ∈ C0,1

(Ω× R

)(azaz olyan Q függvény, amely

x-ben folytonos, ξ-ben folytonosan differenciálható), hogy∂Q(x, ξ)

∂ξ= q(x, ξ).

Legyen JN(u) :=∫Ω

Q(x, u) dx. Ez értelmes, hiszen Q folytonos x-ben és |q(x, ξ)| ≤

α + β|ξ|p−1. Megmutatjuk, hogy a JN : H10 (Ω) → R funkcionál Gâteaux-deriválható, és〈J ′N(u), v〉 = 〈N(u), v〉 minden u, v ∈ H10 (Ω)-ra, azaz J ′N = N .

23

3.1. Egy komponens

Ennek bizonýıtásához először tekintsük az alábbi határértéket (t ∈ R, u, v ∈ H10 (Ω)):

limt→0

JN(u+ tv)− JN(u)t

= limt→0

∫Ω

Q(x, u+ tv)−Q(x, u)t

dx

Azt kell igazolni, hogy limt→0

∫Ω

Q(x,u+tv)−Q(x,u)t

dx =∫Ω

q(x, u)v dx, melyhez elegendő belátni,

hogy

limt→0

∣∣∣∣∣∣∫Ω

Q(x, u+ tv)−Q(x, u)t

− q(x, u)v dx

∣∣∣∣∣∣ = 0Nyilván |

∫Ω

Q(x,u+tv)−Q(x,u)t

−q(x, u)v dx| ≤∫Ω

|Q(x,u+tv)−Q(x,u)t

−q(x, u)v| dx, és a Lagrange-féle

középértéktétel szerint létezik olyan θ(x) ∈ [0, t], hogy Q(x,u+tv)−Q(x,u)t

= ∂Q∂ξ

(x, u + θv)v =

q(x, u+ θv)v, ı́gy

∫Ω

∣∣∣∣Q(x, u+ tv)−Q(x, u)t − q(x, u)v∣∣∣∣ dx = ∫

Ω

|q(x, u+ θv)− q(x, u)| · |v| dx.

Ha θ ∈ [0, t] és t → 0, akkor feltehető, hogy θ ≤ 1. Az integrandus m.m. pontonként tart0-hoz, ha t→ 0, hiszen ekkor θ → 0, és q folytonos. Másrészt van integrálható majoránsa:

|q(x, u+ θv)− q(x, u)| · |v| ≤ (2α + β(|u+ θv|p−1 + |u|p−1))|v|≤ (2α + β((|u|+ θ|v|)p−1 + |u|p−1))|v| ≤ (2α + β((|u|+ |v|)p−1 + |u|p−1))|v|.

Ha u, v ∈ H10 (Ω) ⊂ L2(Ω) ⊂ Lp(Ω), akkor (|u|+|v|) ∈ Lp(Ω), és ezáltal |u|p−1, (|u|+|v|)p−1 ∈L

pp−1 (Ω), kihasználva, hogy p− 1 > 0. Ekkor (2α + β(|u|p−1 + (|u| + |v|)p−1)) ∈ L

pp−1 (Ω) =

Lq(Ω). És mivel v ∈ H10 (Ω) ⊂ Lp(Ω), ezért a szorzatuk, (2α+ β((|u|+ |v|)p−1 + |u|p−1))|v| ∈L1(Ω), azaz tényleg integrálható majoránst kaptunk.

Így a Lebesgue-tétel szerint

limt→0

∫Ω

∣∣∣∣Q(x, u+ tv)−Q(x, u)t − q(x, u)∣∣∣∣ = 0

Vagyis JN valóban Gâteaux-deriválható, és J′N = N .

Az F operátor szigorú monotonitását is tagonként érdemes megvizsgálni. Mivel A lineáris,ı́gy az u− v = h helyetteśıtéssel 〈A(h), h〉 =

∫Ω

a|∇h|2 ≥ m||h||2H10

> 0, ha h 6= 0, azaz u 6= v.

24

3.1. Egy komponens

A nemlineáris rész esetén 〈N(u) − N(v), u − v〉 =∫Ω

(q(x, u) − q(x, v))(u − v) ≥ 0, mert az

integrandus q(x, ξ) ξ-beli monotonitása miatt nemnegat́ıv.

Össześıtve tehát 〈F (u)− F (v), u− v〉 ≥ m||u− v||2H10

> 0, ha u 6= v.

Végül azt is igazolnunk kell, hogy lim||u||→∞

J(u)||u|| = +∞. Mivel N = J

′N monoton operátor, ı́gy

JN konvex funkcionál. Ekkor tetszőleges u, v vektorra JN(u) − JN(v) ≥ 〈J ′N(v), u − v〉 =〈N(v), u− v〉, ebbe v = 0-t helyetteśıtve

JN(u) ≥ JN(0) + 〈N(0), u〉 = c+∫Ω

q(x, 0)u ≥ c− c3||u||H10 ,

hiszen q folytonos az Ω korlátos tartományon, vagyis∫Ω

q(x, 0)2 dx < ∞, másrészt∫Ω

q(x, 0)u ≥ −(∫Ω

q(x, 0)2 dx)1/2(∫Ω

|u|2)1/2 ≥ −c3||u||H10 .

Ha J = JA + JN , akkor J(u) =12

∫Ω

a|∇u|2 +∫Ω

Q(x, u) ≥ m2||u||2

H10+ c− c3||u||H10 , és ı́gy

lim||u||→∞

J(u)

||u||≥ lim||u||→∞

m2||u||2 + c− c3||u||

||u||= +∞.

Inhomogén Dirichlet-peremfeltétellel a gyenge alak a következő: olyan u ∈ H1(Ω) függvénytkeresünk melyre tetszőleges v ∈ H10 (Ω) esetén∫

Ω

(a∇u∇v + q(x, u)v) =∫Ω

gv

u|∂Ω = h nyom-értelemben.

(3.17)

Ilyenkor a p ≥ 2 esethez hasonlóan homogenizálhatjuk a feladatot: ha h̃ olyan, hogy h̃|∂Ω = h,akkor legyen q̃(x, ξ) = q(x, ξ+ h̃(x)), és legyen g′ = g+div(a∇h̃). Ezzel a jelöléssel u = ũ+ h̃pontosan akkor megoldása a (3.17) feladatnak, ha ũ megoldása a megfelelő, g′ jobboldalúhomogén feladatnak.

3.1.14. Feltételek.

1. a ∈ L∞(Ω), a(x) ≥ m > 0 (m.m. x ∈ Ω),

2. q ∈ C(Ω× R

), rögźıtett x ∈ Ω mellett q(x, ξ) ξ-ben monoton növő, és léteznek olyan

1 < p < 2, α, β ≥ 0 állandók, hogy|q(x, ξ)| ≤ α + β|ξ|p−1 (∀ξ ∈ R).

3. létezik h̃ ∈ H1(Ω) ∩ L∞(Ω), melyre h̃|∂Ω = h.

25

3.1. Egy komponens

3.1.15. Álĺıtás. Ha a 3.1.14. feltételek teljesülnek, akkor a (3.17) feladatnak egyértelműenlétezik a megoldása.

Bizonýıtás. Az előző gondolatmenet alapján már csak azt kell belátnunk, hogy a fenti módondefiniált q̃ függvényre is teljesülnek a 3.1.12.-beli 2. tulajdonságok. Nyilván q̃ monoton növőξ-ben, hiszen q is az volt, és a két függvény különbsége csak x-től függ. A növekedési feltételugyanúgy látható be, mint a 3.1.9. tétel esetében, p− 2 helyett p− 1-et ı́rva.

3.1.16. Példa. Vizsgáljuk a kloroform (CHCl3) és az elemi klór (Cl2) gázfázisú reakcióját,melynek terméke szén-tetraklorid (CCl4) és hidrogén-klorid (HCl). A reakciót léıró bruttóegyenlet:

CHCl3(g) + Cl2(g) −→ CCl4(g) + HCl(g)

A zárójelben lévő g a gázfázisra utal. A reakció mechanizmusa összetett, több lépésből áll, dea megfelelő kémiai meggondolások a d[Cl2]

dt= −k[CHCl3][Cl2]1/2 sebességi egyenletre vezetnek

([9]).

Ha a kloroform koncentrációja lényegesen (pl. nagyságrendekkel) nagyobb a klór kon-centrációjánál, akkor előbbi koncentrációja az utóbbiéhoz képest állandónak tekinthető, ésı́gy a sebességi egyenlet d[Cl2]

dt= −k′[Cl2]1/2 alakra egyszerűsödik (k′ = k[CHCl3]).

Az ı́gy kapható stacionárius reakció-diffúziós egyenlet (u jelöli a klórkoncentrációt, a kon-vekciót ismét elhanyagoljuk):

−D∆u+ k′u1/2 = g

Itt D a klórgáz diffúziós együtthatója, melyet állandónak tekinthetünk, ı́gy a = D, q(x, ξ) =k′|ξ|−1/2ξ választással olyan függvényeket kapunk, melyek az m = D, α = 0, β = k′ és p = 3

2

konstansokkal kieléǵıtik a 3.1.4. feltételeket. Azaz a gyenge megoldás tetszőleges g eseténegyértelműen létezik.

3.1.3. Vegyes feladatok

A homogén vegyes feladatban ∂Ω = ΓD ∪ ΓN :

{−div(a∇u) + b · ∇u+ q(x, u) = g,u|ΓD = 0, ∂νu|ΓN = 0.

(3.18)

(Amennyiben a potenciálos feladatokról van szó, akkor vegyük b-t 0-nak.) A gyenge feladatotúgy kapjuk, hogy v-vel szorzunk, és az integrálás során a kétféle peremfeltételt használjukki.

26

3.1. Egy komponens

∫Ω

(a∇u∇v + (b · ∇u)v + q(x, u)v =∫Ω

gv, (3.19)

Ekkor a megoldást a H1D(Ω) = {u ∈ H1(Ω) : uΓD = 0} térben keressük. u, v ∈ H1D(Ω)esetén 〈u, v〉 :=

∫Ω

∇u∇v most is skalárszorzatot definiál, ezért a homogén Dirichlet-feladat

esetében kimondott minden tétel átvihető erre az esetre.

Az inhomogén vegyes feladat alakja:

{−div(a∇u) + b · ∇u+ q(x, u) = g,u|ΓD = h, ∂νu|ΓN = γ.

(3.20)

Ekkor két lépéssel visszajuthatunk a homogén feladathoz. Először legyen h̃ ∈ H1(Ω) olyan,hogy h̃|ΓD = h, és tegyük fel, hogy ∂ν h̃|ΓN = γ̃. Definiáljuk ismét a q̃(x, ξ) = q(x, ξ + h̃(x))

függvényt. Megint azt látjuk, hogy u = ũ+ h̃ pontosan akkor megoldása a (3.20) feladatnak,ha ũ megoldása a

{−div(a∇u) + b · ∇u+ q̃(x, u) = g + div(a∇h̃)− b∇h̃ = g′,u|ΓD = 0, ∂νu|ΓN = γ − γ̃.

(3.21)

feladatnak. Második lépésként ezt v-vel szorozva és x szerint integrálva azt kapjuk, hogy

∫Ω

(a∇u∇v + (b · ∇u)v + q̃(x, u)v) =∫Ω

g′v +

∫ΓN

(γ − γ̃)v. (3.22)

Az ı́gy kapott alak bal oldala megfelel a homogén feladat (3.19) bal oldalának, mivel a q̃függvényre minden olyan feltétel teljesül, amely a korábbi feladatok során q-ra teljesült. A(3.22) jobb oldala pedig ugyanúgy v-nek egy korlátos lineáris funkcionálját adja, tehát azinhomogén vegyes feladatot lényegében visszavezettük a homogén esetre. Ezáltal mindenolyan egzisztencia-tétel érvényes, ami a homogén, és ı́gy a Dirichlet-feladat esetén teljesült.

3.1.4. Neumann-peremfeltétel

Neumann-t́ıpusú peremfeltétel esetén nem a H10 (Ω), hanem a H1(Ω) Szoboljev-térben ke-

ressük a megoldást.

{−div(a∇u) + b · ∇u+ q(x, u) = g,∂νu|∂Ω = 0.

(3.23)

27

3.1. Egy komponens

Ennek a feladatnak a gyenge alakját úgy kapjuk, hogy v ∈ C∞(Ω) függvénnyel szorzunk,Ω-n integrálunk, és kihasználjuk a ∂νu|∂Ω = 0 peremfeltételt. A gyenge feladatban olyanu ∈ H1(Ω) függvényt keresünk, hogy minden v ∈ H1(Ω) esetén

∫Ω

(a∇u · ∇v + (b · ∇u)v + q(x, u)v) dx =∫Ω

gv dx. (3.24)

3.1.17. Tétel. (Poincaré-egyenlőtlenség) Legyen Ω ⊂ Rn korlátos, nýılt, összefüggőhalmaz, melynek határa elég sima. Ekkor létezik olyan c konstans, hogy minden u ∈ H1(Ω)-ra

||u||2L2(Ω) ≤ c(|∫

Ωu|2 + ||∇u||2L2(Ω)

)A H1(Ω) térben a norma ||u||H1(Ω) = ||u||L2(Ω) + ||∇u||L2(Ω), de a Poincaré-egyenlőtlenségalapján ezzel ekvivalens normát kapunk, ha az ||u||H1(Ω) = ||u||L1(Ω)+||∇u||L2(Ω)-t választjuk.

Az egzisztenciáról szóló tételek bizonýıtásakor valamilyen módon alkalmaztuk, hogy a ka-pott operátoregyenletben szereplő F operátor egyenletesen monoton, vagy hogy az operátorpotenciálja ||u||-nál gyorsabban nő. Ezek azért teljesültek, mert a H10 (Ω) térben ||∇u||L2(Ω)norma. A H1(Ω) térben ez nem teljesül, és az emĺıtett alsó becslésekhez ezért nem lesz-nek elégségesek az eddig megadott növekedési feltételek. Ezért célszerű q-ra nem csak felső,hanem valamilyen értelemben alsó korlátot is adni.

3.1.18. Feltételek.

1. a ∈ L∞(Ω), a(x) ≥ m > 0 (m.m. x ∈ Ω),

2. q ∈ C(Ω× R

), léteznek olyan 1 < p, α, β ≥ 0 állandók, hogy minden ξ ∈ R esetén

|q(x, ξ)| ≤ α + β|ξ|p−1,

3. léteznek r > 1 és c1 > 0 állandók, hogy ∀ξ1, ξ2 ∈ R: (q(x, ξ1) − q(x, ξ2))(ξ1 − ξ2) ≥c1|ξ1 − ξ2|r,

3.1.19. Álĺıtás. Tegyük fel, hogy a 3.1.18. feltételek teljesülnek. Ekkor minden g ∈ L2(Ω)mellett a (3.24) feladatnak egyértelműen létezik u∗ ∈ H1(Ω) gyenge megoldása.

Bizonýıtás. A 3.1.13. álĺıtás bizonýıtásának megfelelően járunk el, hiszen a 3.1.12.-beli 1.és 2. feltétel most is teljesül (q monoton ξ-ben, ez az itteni 3. feltételből látszik), és akkorp-ről csak azt használtuk ki, hogy 1-nél nagyobb. Továbbá minden felső becslés is teljesül||.||H1(Ω)-val is: ahol ||∇u||L2(Ω) szerepel a felső becslésben, ott nyilván ||u||H1(Ω) is jó felsőbecslésnek. Ahol pedig ||u||Lp(Ω) szerepel a felső becslésben, a Szoboljev-féle beágyazási tételseǵıtségével az ||u||Lp(Ω) ≤ Kp||u||H1(Ω) egyenlőtlenség használható.

Tehát a gyenge alakból operátoregyenletre jutunk, ahol F = A + N , 〈Au, v〉 =∫Ω

a∇u∇v,

〈N(u), v〉 =∫Ω

q(x, u)v, teljesül, hogy F potenciáloperátor: J(u) = 12

∫Ω

a|∇u|2+∫Ω

Q(x, u) egy

potenciálja, ahol ∂Q(x,ξ)∂ξ

= q(x, ξ). Mivel q ξ-ben monoton növő, ı́gy (q(x, u)−q(x, v))(u−v) =|(q(x, u)− q(x, v))(u− v)| ≥ |u− v|r. Ez alapján az F szigorú monotonitása:

28

3.1. Egy komponens

〈F (u)− F (v), u− v〉 ≥ m||∇(u− v)||2L2(Ω) +∫Ω

(q(x, u)− q(x, v))(u− v)

≥ m||∇(u− v)||2L2(Ω) +∫Ω

c1||u− v||r = m||∇(u− v)||2L2(Ω) + c1||u− v||rLr(Ω)

≥ m||∇(u− v)||2L2(Ω) +K−rΩ,1,rc1||u− v||rL1(Ω) > 0,

ha u 6= v H1(Ω)-ban. Láttuk, hogy 12

∫Ω

a|∇u|2 ≥ m2||∇u||2L2(Ω). A 3. feltétel alapján

ha ξ ≥ 0, akkor q(x, ξ) ≥ q(x, 0) + c1ξ|ξ|r−2 ≥ c2 + c1ξ|ξ|r−2, ha pedig ξ ≤ 0, akkorq(x, ξ) ≤ q(x, 0) + c1ξ|ξ|r−2 ≤ c3 + c1ξ|ξ|r−2. Vagyis ha ξ ≥ 0, akkor

Q(x, ξ) = Q(x, 0) +

ξ∫0

q(x, η)dη ≥ Q(x, 0) +ξ∫

0

(c2 + c1η|η|r−2)dη

= Q(x, 0) +c1r|ξ|r + c2ξ

Ha pedig ξ ≤ 0, akkor

Q(x, ξ) = Q(x, 0) +

ξ∫0

q(x, η)dη = Q(x, 0) +

0∫ξ

(−q(x, η))dη

≥ Q(x, 0) +0∫ξ

(−c3 − c1η|η|r−2)dη = Q(x, 0) + c3ξ +c1r|ξ|r

Vagyis léteznek olyan c4 > 0 és c5, c6 konstansok, hogy Q(x, ξ) ≥ c4|ξ|r + c5ξ + c6. Ezért

∫Ω

Q(x, u) ≥∫Ω

(c4|u|r+c5u+c6) ≥∫Ω

c6+c4||u||rLr(Ω)−c′5||u||L1(Ω) = c7+c4||u||rLr(Ω)−c′5||u||L1(Ω),

ahol c′5 = |c5| és c7 =∫Ω

c2. Mindezeket össześıtve és felhasználva, hogy r > 1, létezik olyan

c8 > 0 szám, hogy

J(u) ≥ c8(||∇u||2L2(Ω) + ||u||rL1(Ω)) + c7 − c′5||u||L1(Ω).

Azt kell még ellenőrizni, hogy lim||u||H1→∞

J(u)||u||H1

=∞. Tudjuk, hogy

29

3.2. Rendszer

J(u)

||u||H1≥c8(||∇u||2L2(Ω) + ||u||rL1(Ω)) + c7 − c′5||u||L1(Ω)

||∇u||L2(Ω) + ||u||L1(Ω)≥ c9 + c8

||∇u||2L2(Ω) + ||u||rL1(Ω)||∇u||L2(Ω) + ||u||L1(Ω)

,

ha ||∇u||L2(Ω) + ||u||L1(Ω) elég nagy. Legyen a = ||∇||L2(Ω) és b = ||u||L1(Ω). Azt kell belátni,hogy létezik ε > 0, hogy ha R = a + b elég nagy, akkor a

2+br

a+b≥ (a + b)ε. ε := 1

r−1 jóválasztás lesz, ugyanis egy feltételes szélsőérték-számı́tási feladatról van szó: mennyi a2 + bs

minimuma, ha R = a+ b?

Ennek megoldása Lagrange-féle multiplikátor módszerrel: 2a− λ = 0, rbr−1 − λ = 0. Ekkora+ b = r

2br−1 + b = R. Ha R elég nagy, akkor b ≥ 1, és ezért br−1 ≥ b, ahonnan br−1 ≥ c ·R,

vagyis a2 + br ≥ br ≥ c′ ·R1+1/(r−1).

Tehát a 2.3.3. tétel alapján a megoldás egyértelműen létezik.

3.2. Rendszer

Legyen továbbra is Ω ⊂ Rn korlátos tartomány. A továbbiakban áttérünk az egyenletrend-szer esetére.

Jelölés. Legyen k ∈ N, k ≥ 2. Ekkor a ξ = (ξ1, . . . , ξk) ∈ Rk vektor (euklideszi) normája|ξ| =

√ξ21 + · · ·+ ξ2k, és lévén, hogy véges dimenzióban vagyunk, ezzel ekvivalens a p-norma

(1 ≤ p): |ξ|p = (ξp1 + · · ·+ ξpk)

1/p.

3.2.1. Defińıció. Legyen k ∈ N, k ≥ 2. Jelölje H := H10 (Ω)× · · · ×H10 (Ω)︸ ︷︷ ︸k

, és u =

(u1, . . . , uk) ∈ H, v = (v1, . . . , vk) ∈ H esetén legyen 〈u, v〉H :=k∑i=1

〈ui, vi〉H10 (Ω).

Így 〈., .〉H nyilvánvalóan skalárszorzat H-n, továbbá (H, 〈., .〉H) Hilbert-tér, mely a direkt-szorzat végességének automatikus következménye.

A skalárszorzatból származtatható norma: ||u||H = 〈u, u〉1/2H =(

k∑i=1

||ui||2H10 (Ω)

)1/2. H-n

definiálhatunk egy másik normát is (1 ≤ p): ||u||H,p =(

k∑i=1

||ui||pH10 (Ω)

)1/p. Kihasználva az

Rk-beli normák ekvivalenciáját, léteznek olyan Kp, K ′p > 0 állandók, hogy minden u ∈ H-ra

K ′p||u||H ≤ ||u||H,p ≤ Kp||u||H ,

azaz a H-n értelmezett két norma ekvivalens.

30

3.2. Rendszer

3.2.1. A p ≥ 2 eset

Ha több komponensű rendszerünk van, akkor azok mindegyikére vonatkozik egy-egy diffe-renciálegyenlet, melyek általában csatolt egyenletek. Így k komponens esetén egy differen-ciálegyenlet-rendszert kapunk, mely a következő alakot ölti:

∀1 ≤ i ≤ k :

{−div(ai∇ui) + bi · ∇ui + qi(x, u1, u2, . . . , uk) = gi,ui|∂Ω = 0,

(3.25)

Ekkor is megfogalmazható a feladat gyenge alakja: az i-edik egyenletet vi ∈ C10(Ω)függvénnyel szorozzuk, majd Ω-n integrálunk.

∀1 ≤ i ≤ k :∫Ω

(ai∇ui∇vi + (bi · ∇ui)vi + qi(x, u1, u2, . . . , uk)vi) =∫Ω

givi (3.26)

Ismét C10(Ω) ⊂ H10 (Ω) sűrűsége alapján a (3.25) feladat gyenge alakja ı́gy adható meg:olyan u = (u1, . . . , uk) ∈ H függvényt keresünk, hogy tetszőleges v = (v1, . . . , vk) ∈ H eseténfennáll (3.26). Ezzel ekvivalens feladatot kapunk, ha a k darab egyenletet összeadjuk: agyenge megoldás olyan u = (u1, . . . , uk) ∈ H, hogy minden v = (v1, . . . , vk) ∈ H esetén

k∑i=1

∫Ω

(ai∇ui∇vi + (bi∇ui)vi + qi(x, u1, . . . , uk)vi) =k∑i=1

∫Ω

givi (3.27)

3.2.2. Feltételek.

1. ai ∈ L∞(Ω), és létezik mi, hogy ai(x) ≥ mi > 0 (m.m. x ∈ Ω),

2. bi ∈ C1(Ω,Rn

), div(bi) = 0,

3. qi : Ω × Rk → R, léteznek olyan 2 ≤ p ≤ 2nn−2 , ha n > 2, ill. 2 ≤ p < ∞, ha n = 2, ésαi, βi ≥ 0 állandók, hogy ∀ξ, η ∈ Rk-ra

|qi(x, ξ)− qi(x, η)| ≤ (α1 + βi(|ξ|+ |η|)p−2) · |ξ − η|,

4. minden ξ, η ∈ Rk és m.m. x ∈ Ω eseténk∑i=1

(qi(x, ξ)− qi(x, η))(ξi − ηi) ≥ 0 .

A qi-re vonatkozó feltételből következik, hogy minden 1 ≤ i ≤ k esetén létezik olyan α′iállandó, hogy |qi(x, ξ)| ≤ α′i + βi|ξ|p−1.

3.2.3. Álĺıtás. Ha a 3.2.2.-beli feltételek teljesülnek, akkor bármely g = (g1, . . . , gk) ∈L2(Ω) × · · · × L2(Ω) esetén a (3.25) feladatnak egyértelműen létezik az u∗ ∈ H gyengemegoldása.

31

3.2. Rendszer

Bizonýıtás. A gyenge feladat megint operátoregyenlethez vezet, és azt fogjuk megmutatni,hogy az ebben szereplő operátorra teljesülnek az 2.3.1. tétel feltételei. A (3.27) jobb oldalaadott g ∈ L2(Ω)× · · · × L2(Ω) mellett v ∈ H-nak lineáris és korlátos funkcionálja:

∣∣∣∣∣∣k∑i=1

∫Ω

givi

∣∣∣∣∣∣ ≤k∑i=1

∫Ω

|givi| ≤k∑i=1

||gi||L2(Ω)||vi||L2(Ω) ≤ cΩk∑i=1

||gi||L2(Ω)||vi||H10 .

Legyen ||g||L2(Ω)k =(

k∑i=1

||gi||2L2(Ω)

)1/2. A vektorokra érvényes Cauchy-Schwarz-

egyenlőtlenség alapján

cΩ

k∑i=1

||gi||L2(Ω)||vi||H10 ≤ cΩ

(k∑i=1

||gi||2L2(Ω)

)1/2( k∑i=1

||vi||2H10

)1/2= cΩ||g||L2(Ω)k ||v||H

Tehát a Riesz-tétel értelmében minden g ∈ (L2(Ω))k-hoz egyértelműen létezik g1∈ (L2(Ω))k,

hogyk∑i=1

∫Ω

givi = 〈g1, v〉H , minden v ∈ H esetén. Mivel ai korlátos, bi folytonos az Ω korlátos

halmazon, ezért léteznek Ai, Bi ≥ 0 állandók, hogy |ai| ≤ Ai, és |bi| ≤ Bi.

A gyenge alak bal oldala is v ∈ H-nak egy lineáris és korlátos funkcionálját kapjuk. Előbbitulajdonság nyilvánvaló, utóbbi igazolásához a (3.27) bal oldalát három tagra szétválasztva,a becslést tagonként vǵezhetjük el. A korábbiakhoz hasonló lépésekre van szükség, ill. isméta Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenségre hivatkozhatunk:

k∑i=1

∫Ω

|ai∇ui∇vi| ≤k∑i=1

Ai||ui||H10 ||vi||H10 ≤ A||u||H ||v||H , ahol A = max1≤i≤kAi (3.28)

k∑i=1

∫Ω

|(bi∇ui)vi| ≤ cΩk∑i=1

Bi||ui||H10 ||vi||H10 ≤ cΩB||u||H ||v||H , ahol B = max1≤i≤kBi (3.29)

k∑i=1

∫Ω

|qi(x, u)vi| ≤k∑i=1

∫Ω

(α′i + βi|u|p−1)|vi| ≤ αk∑i=1

||vi||L1(Ω) + βk∑i=1

∫Ω

|u|p−1|vi|, (3.30)

ahol α = max1≤i≤k

α′i, és β = max1≤i≤k

βi. A (3.30)-ben a két tagot külön-külön vizsgálva kapjuk,

hogy

32

3.2. Rendszer

αk∑i=1

||vi||L1(Ω) ≤ αcΩ,1k∑i=1

||vi||H10 ≤ αcΩ,1√k

(k∑i=1

||vi||2H10

)1/2= αcΩ,1

√k||v||H ,

valamint ha 1p

+ 1q

= 1, akkor q(p− 1) = p, és ı́gy

∫Ω

|u|p−1|vi| ≤(∫

Ω

|u|q(p−1))1/q (∫

Ω

|vi|p)1/p

≤ cppcΩ,p(∫

Ω

k∑i=1

|ui|p)1/q||vi||H10

= cppcΩ,p||u||p−1H,p ||vi||H10 ≤ c

ppcΩ,pK

p−1p ||u||

p/qH ||vi||H10 .

Ez alapján

βk∑i=1

∫Ω

|u|p−1|vi| ≤ Kβ||u||p−1Hk∑i=1

||vi||H10 ≤ K√k||u||p−1H ||v||H , (3.31)

ahol K = cppcΩ,pKp−1p . Mindezt össześıtve

∣∣∣∣∣∣k∑i=1

∫Ω

(ai∇ui∇vi + (bi · ∇ui)vi + qi(x, u1, u2, . . . , uk)vi)

∣∣∣∣∣∣ ≤ (c2||u||H + c3||u||p−1H ) ||v||H ,azaz a funkcionál tényleg korlátos, és ı́gy folytonos. Ezért egyértelműen létezik F (u) ∈ H,

hogy 〈F (u), v〉H =k∑i=1

∫Ω

(ai∇ui∇vi + (bi · ∇ui)vi + qi(x, u1, u2, . . . , uk)vi) minden v ∈ H-ra,

és ı́gy az F (u) = g1

operátoregyenlet megoldásait keressük. A gyenge megoldás egyértelműlétezéséhez belátjuk, hogy a 2.3.1. tétel feltételeit F teljeśıti.

Az F : H → H operátort F = A + N formában lineáris és nemlineáris részre bonthatjuk.Az egyenletes monotonitás A esetén egyszerűen igazolható, hiszen u− v helyett h-t ı́rva

〈Ah, h〉H =k∑i=1

∫Ω

(ai|∇hi|2 + (bi∇hi)hi) ≥k∑i=1

(mi||hi||2H10 + 0) ≥ m||h||2H ,

ahol m = min1≤i≤k

mi. A nemlineáris tag is könnyen becsülhető, hiszen

〈N(u)−N(v), u− v〉H =k∑i=1

∫Ω

(qi(x, u)− qi(x, v))(ui − vi) ≥ 0,

33

3.2. Rendszer

ugyanis az integrandus a 3.2.2.-beli 3. feltétel szerint nemnegat́ıv. Vagyis 〈F (u)−F (v), u−v〉 ≥ m||u− v||2H .

A 2.3.1. tételben szereplő másik feltétel, hogy F lokálisan Lipschitzes. A lineáris tag eseténh = u− v helyetteśıtéssel ||Au− Av||H = ||Ah||H = sup

||z||H=1〈Ah, z〉, melyre a (3.28) és (3.29)

alapján fennáll, hogy

sup||z||H=1

〈Ah, z〉 ≤ sup||z||H=1

(A+B)||h||H ||z||H = (A+B)||h||H .

A ||N(u)−N(v)||H kiszámı́tása előtt vizsgáljuk meg az∫Ω

(|u|+ |v|)p−2|u− v| · |zi| integrált!

Tudjuk, hogy a vektornormák ekvivalenciája miatt |u|p ≤ cpp ·k∑i=1

|ui|p, ı́gy mivel ui ∈ H10 (Ω) ⊂

Lp(Ω), ezért |u| ∈ Lp(Ω), és ı́gy (|u|+ |v|) ∈ Lp(Ω). Továbbá∣∣∣∣∣∣|u|∣∣∣∣∣∣Lp(Ω)

≤ cp(

k∑i=1

||ui||pLp(Ω)

)1/p≤ cpKΩ,p

(k∑i=1

||ui||pH10

)1/p≤ cpKΩ,pKp||u||H

Ezek ismeretében

∫Ω

(|u|+ |v|)p−2|u− v| · |zi| ≤(∫

Ω

(|u|+ |v|)(p−2)pp−2

)(p−2)/p(∫Ω

|u− v|p/2|zi|p/2)2/p

≤∣∣∣∣∣∣|u|+ |v|∣∣∣∣∣∣p−2

Lp(Ω)

∣∣∣∣∣∣|u− v|∣∣∣∣∣∣Lp(Ω)||zi||Lp(Ω)

≤(∣∣∣∣∣∣|u|∣∣∣∣∣∣

Lp(Ω)+∣∣∣∣∣∣|v|∣∣∣∣∣∣

Lp(Ω)

)p−2cpKΩ,pKp||u− v||HcΩ||zi||H10

≤ (cpKΩ,pKp)p−1cΩ (||u||H + ||v||H)p−2 ||u− v||H ||zi||H10 . (3.32)

Így már könnyen igazolható a Lipschitzesség:

||N(u)−N(v)||H = sup||z||H=1

〈N(u)−N(v), z〉H = sup||z||H=1

k∑i=1

∫Ω

(qi(x, u)− qi(x, v))zi

≤ sup||z||H=1

k∑i=1

∫Ω

(αi + βi(|u|+ |v|)p−2)|u− v| · |zi|

≤ sup||z||H=1

k∑i=1

(c4 (||u||H + ||v||H)p−2 + c5)||u− v||H ||zi||H10

≤ (c6 (||u||H + ||v||H)p−2 + c7)||u− v||H .

Itt c4 = cΩ(cpKΩ,pKp)p−1β, mı́g c5 = c

2Ω max

1≤i≤kαi, c6 = c4

√k, és c7 = c5

√k. Az 2.3.1. tételben

34

3.2. Rendszer

szereplő M(r) függvény ezért a következő lehet: M(r) := A+B+ c6(2r)p−2 + c7, ez valóban

monoton növő, és ezzel a választással ||F (u) − F (v)||H ≤ M(r)||u − v||H , ha ||u||H ≤ r és||v||H ≤ r.

Tehát a (3.27) gyenge alakból kapott F (u) = g1

operátoregyenletben szereplő F -re tel-

jesülnek a 2.3.1. tétel feltételei, azaz minden g ∈ (L2(Ω))k esetén a (3.25) feladatnakegyértelműen létezik gyenge megoldása.

3.2.2. Az 1 < p < 2 eset

Ha rendszerünk van, a nempotenciálos tételek ugyanolyan okokból nem használhatóak az1 < p < 2 esetben, amiért nem használhatók egy komponens esetében sem. Így ahogykorábban is, az elsőrendű tagokat elhagyva egyszerűbb egyenletrendszerhez jutunk, és afüggvényekre vonatkozó feltételek is módosulnak.

∀1 ≤ i ≤ k :

{−div(ai∇ui) + qi(x, u1, u2, . . . , uk) = gi,ui|∂Ω = 0,

(3.33)

A megfelelő gyenge alak: keressük azt az u ∈ H függvényt, melyre

k∑i=1

∫Ω

(ai∇ui∇vi + qi(x, u)vi) =k∑i=1

∫Ω

givi (∀ v ∈ H). (3.34)

3.2.4. Feltételek. Tegyük fel, hogy a (3.33) feladatbeli függvények az alábbi tulaj-donságokkal rendelkeznek:

1. ai ∈ L∞(Ω), és létezik mi, hogy ai(x) ≥ mi > 0 (m.m. x ∈ Ω),

2. qi ∈ C(Ω× Rk,R

), léteznek olyan 1 < p < 2, αi, βi ≥ 0 állandók, hogy ∀ξ ∈ Rk-ra

|qi(x, ξ)| ≤ αi + βi|ξ|p−1,

3. a (q1, . . . , qk) rendszer potenciálos, azaz létezik olyan Q ∈ C0,1(Ω× Rk,R

)függvény,

hogy ∂Q∂ξi

= qi minden 1 ≤ i ≤ k esetén,

4. tetszőleges ξ, η ∈ Rk eseténk∑i=1

(qi(x, ξ)− qi(x, η))(ξi − ηi) ≥ 0.

3.2.5. Álĺıtás. Ha a 3.2.4. feltételek teljesülnek, akkor tetszőleges (g1, . . . , gk) ∈ L2(Ω) ×· · · × L2(Ω) esetén a (3.33) feladatnak egyértelműen létezik u∗ ∈ H gyenge megoldása.

Bizonýıtás. A (3.34) egyenlet jobb oldalát a 2 ≤ p esettel megegyező módon egy 〈g1, v〉H

skalárszorzatnak tekinthetjük. A bal oldalból feĺırható v 7→k∑i=1

∫Ω

(a∇ui∇vi + q(x, u)vi)

35

3.2. Rendszer

lineáris leképezés korlátossága a (3.28) és (3.30) illetve (3.31) alapján látható. Ezek abecslések itt is igazak, hiszen csak azt használjuk ki, hogy p > 1.

A gyenge feladat tehát az F (u) = g1

operátoregyenlethez vezet. Azt fogjuk megmutatni,hogy erre az F : H → H operátorra teljesülnek a 2.3.3. tételben szereplő feltételek.

Az F operátor lineáris része A, melyre 〈Au, v〉H =k∑i=1

∫Ω

ai∇ui∇vi. Ennek mindig van po-

tenciálja, méghozzá JA(u) =12〈Au, u〉H = 12

k∑i=1

∫Ω

ai|∇ui|2.

A nemlineáris rész 〈N(u), v〉H =k∑i=1

∫Ω

qi(x, u)vi. Mivel (q1, . . . , qk) potenciálos, ı́gy u ∈ H

esetén legyen JN(u) :=∫Ω

Q(x, u) dx. Igazoljuk, hogy ezzel JN Gâteaux-deriválható funkci-

onál, és J ′N = N . Ugyanis

limt→0

JN(u+ tv)− JN(u)t

= limt→0

∫Ω

Q(x, u+ tv)−Q(x, u)t

dx

Azt kell belátni, hogy limt→0

∫Ω

Q(x,u+tv)−Q(x,u)t

dx =∫Ω

k∑i=1

qi(x, u)vi dx, melyhez elegendő igazolni,

hogy

limt→0

∣∣∣∣∣∣∫Ω

(Q(x, u+ tv)−Q(x, u)

t−

k∑i=1

qi(x, u)vi

)dx

∣∣∣∣∣∣ = 0

Nyilván |∫Ω

(Q(x,u+tv)−Q(x,u)t

−k∑i=1

qi(x, u)vi) dx| ≤∫Ω

|Q(x,u+tv)−Q(x,u)t

−k∑i=1

qi(x, u)vi| dx, és a

Lagrange-féle középértéktétel szerint létezik olyan θ(x) ∈ [0, t], hogy Q(x,u+tv)−Q(x,u)t

=k∑i=1

∂Q∂ξi

(x, u+ θv)vi =k∑i=1

qi(x, u+ θv)vi, ı́gy

∫Ω

∣∣∣∣Q(x,u+tv)−Q(x,u)t − k∑i=1

qi(x, u)vi

∣∣∣∣ = ∫Ω

|k∑i=1

(qi(x, u+ θv)− qi(x, u)| · |vi| ≤

∫Ω

k∑i=1

|qi(x, u+ θv)− qi(x, u)| · |vi|

Ha θ ∈ [0, t] és t → 0, akkor feltehető, hogy θ ≤ 1. Az integrandus m.m. pontonkénttart 0-hoz, ha t → 0, hiszen ekkor θ → 0, és a qi függvények folytonosak. Másrészt vanintegrálható majoránsa:

36

3.2. Rendszer

k∑i=1

|qi(x, u+ θv)− qi(x, u)| · |vi| ≤k∑i=1

(2αi + βi(|u+ θv|p−1 + |u|p−1))|vi|

≤k∑i=1

(2αi + βi((|u|+ θ|v|)p−1 + |u|p−1))|vi| ≤k∑i=1

(2αi + βi((|u|+ |v|)p−1 + |u|p−1))|vi|

Korábban beláttuk, hogy ha u, v ∈ H, akkor |u|, |v| ∈ Lp(Ω), és ı́gy (|u| + |v|) ∈Lp(Ω), ezáltal |u|p−1, (|u| + |v|)p−1 ∈ L

pp−1 (Ω), kihasználva, hogy p − 1 > 0. Ekkor

(2αi+β(|u|p−1 +(|u|+ |v|)p−1)) ∈ Lpp−1 (Ω). És mivel vi ∈ H10 (Ω) ⊂ Lp(Ω), ezért a szorzatuk,

(2αi + βi((|u|+ |v|)p−1 + |u|p−1))|vi| ∈ L1(Ω). Vagyisk∑i=1

(2αi + βi((|u|+ |v|)p−1 + |u|p−1))|vi|

tényleg integrálható majoráns.

Így a Lebesgue-tétel szerint

limt→0

∫Ω

∣∣∣∣∣Q(x, u+ tv)−Q(x, u)t −k∑i=1

qi(x, u)

∣∣∣∣∣ = 0.Ezzel beláttuk, hogy J = JA + JN Gâteaux-deriválható funkcionál, és J

′ = F , azaz Fpotenciáloperátor.

A lineáris tag szigorúan monoton, hiszen 〈Ah, h〉H =k∑i=1

∫Ω

ai|∇hi|2 ≥k∑i=1

mi||hi||2H10 ≥

m||h||2H , ahol m = min1≤i≤k

mi.

Hasonlóan, a nemlineáris rész 〈N(u) − N(v), u − v〉H =k∑i=1

∫Ω

(qi(x, u) − qi(x, v))(ui − vi) =∫Ω

k∑i=1

(qi(x, u)− qi(x, v))(ui− vi) ≥ 0, mivel az integrandus a 3.2.4.-beli 2. feltétel értelmében

nemnegat́ıv. Mindezt össześıtve tehát 〈F (u) − F (v), u − v〉H ≥ m||u − v||2H , azaz F egyen-letesen monoton potenciáloperátor.

Végül mivel a JN funkcionál Gâteaux-deriválható, és N = J′N monoton operátor, ezért a

JN funkcionál konvex. Ekkor tudjuk, hogy bármely u, v ∈ H esetén JN(u) − JN(v) ≥〈J ′N(v), u− v〉H = 〈N(v), u− v〉H . A v = 0 helyetteśıtéssel minden u ∈ H-ra

JN(u) ≥ JN(0) + 〈N(0), u〉H = JN(0) +k∑i=1

∫Ω

qi(x, 0)ui.

Ebből következik, hogy JN(u) ≥ c6− c7||u||H , mı́g JA(u) = 12k∑i=1

∫Ω

ai|∇ui|2 ≥ m||u||2H , és ı́gy

ha J = JA + JN az F egy potenciálja, akkor lim||u||→∞

J(u)||u|| ≥ lim||u||→∞

m2||u||2+c6−c7||u||

||u|| =∞.

37

3.2. Rendszer

Összefoglalva: a (3.34) feladat gyenge alakjából kapott F operátorra fennálnak a 2.3.3.tételbeli feltételek, ezért a (3.33) feladatnak egyértelműen létezik a gyenge megoldása.

38

4. Időfüggő egyenletek

Ha nem csak a stacionárius megoldást keressük, akkor a reakció-diffúziós egyenletek para-bolikus feladatot jelentenek.

4.1. Parabolikus feladatok

Az ebben a szakaszban szereplő defińıciók, álĺıtások és a használt jelölésrendszer forrása a[6] jegyzet.

4.1.1. Defińıció. Legyen V Banach-tér, 1 < p < ∞. Jelölje Lp(0, T ;V ) az olyan f :

(0, t) → V mérhető függvények öszességét, amelyekreT∫0

||f(t)||p dt < ∞. ||f ||Lp(0,T ;V ) =(T∫0

||f(t)||p dt)1/p

.

4.1.2. Álĺıtás. A fenti normával Lp(0, T ;V ) Banach-tér. Ha V szeparábilis, akkorLp(0, T ;V ) is az.

4.1.3. Tétel. (Hölder-egyenlőtlenség) Legyen 1 < p

4.2. Lineáris feladatok

4.1.6. Defińıció. Legyen V ⊂ H ⊂ V ∗ evolúciós hármas. Azt mondjuk, hogy a w ∈Lq(0, T ;V ∗) függvény az u ∈ Lp(0, T ;V ) függvény általánośıtott deriváltja, ha minden ϕ ∈C∞0 (0, T ) tesztfüggvényre

+∞∫−∞

ϕ(t)w(t) dt = −+∞∫−∞

ϕ′(t)u(t).

Ekkor w-re az u′ jelölést használjuk.

A fenti egyenlet bal oldalán az integrandus V ∗-beli, mı́g a jobb oldalon V -beli, de V ⊂H ⊂ V ∗ miatt az egyenlet értelmes. Továbbá ha az általánośıtott derivált létezik, akkor azegyértelmű.

4.1.7. Tétel. Legyen V ⊂ H ⊂ V ∗ egy evolúciós hármas, 1 < p < ∞, 1p

+ 1q

= 1,0 < T

4.3. Nemlineáris feladatok

∂tu+ Lu = f QT -ben,

u|ΓT = 0,

u(0, x) = h(x) x ∈ Ω.(4.2)

Itt QT = (0, T )× Ω, ΓT = [0, T )× ∂Ω, f : QT → R, h : Ω→ R adott függvények, és ennekkeressük az u : QT → R megoldását. L pedig egy másodrendű, idő szerinti deriváltat nemtartalmazó parciális differenciáloperátor:

Lu = −n∑

i,j=1

∂j(aij(t, x)∂iu) +n∑i=1

bi(t, x)∂iu+ c(t, x)u

4.2.1. Defińıció. Azt mondjuk, hogy a ∂∂t

+L operátor egyenletesen parabolikus, ha létezikθ > 0 állandó, hogy

n∑i,j=1

aij(t, x)ξiξj ≥ θ|ξ|2

minden (t, x) ∈ QT -re és ξ ∈ Rn-re.

Azaz minden rögźıtett 0 ≤ t ≤ T esetén L egyenletesen elliptikus x-ben.

4.2.2. Tétel. Legyen V = H10 (Ω), H = L2(Ω). Ekkor V ⊂ H ⊂ V ∗ evolúciós hármas,

X = L2(0, T ;V ). Továbbá legyen F ∈ X∗, ahol

[F, v] =

∫ T0

〈F (t), v(t)〉 dt

A (4.2) feladat gyenge alakja: olyan u ∈ W 12 (0, T ;V,H) függvényt keresünk, melyre

u′ + A(u) = F

u(0) = u0,(4.3)

ahol 〈[A(u)](t), v(t)〉 =∫Ω

[n∑

i,j=1

a(t, x)ij∂iu∂jv+n∑i=1

bi(t, x)(∂iu)v+c(t, x)uv]. Ha∂∂t

+L egyen-

letesen parabolikus, akkor a (4.2) feladatnak egyértelműen létezik a gyenge megoldása.

4.3. Nemlineáris feladatok

Legyen Ω ⊂ Rn korlátos tartomány, melynek határa elég sima, R 3 T > 0. Jelölje QT =(0, T )×Ω, és ΓT = [0, T )×∂Ω. A parabolikus feladat Dirichlet-peremfeltétellel és a megfelelőkezdeti feltétellel:

41

4.3. Nemlineáris feladatok

∂tu− div(a(t, x)∇u) + q(t, x, u) = f QT -ben,u|ΓT = g,

u(0, x) = h(x) x ∈ Ω.(4.4)

Homogén peremfeltétel mellett (g ≡ 0) a (4.4) feladat gyenge alakját úgy kapjuk meg, hogyv ∈ C10(Ω) függvénnyel szorozzuk a (4.4) első egyenletét, majd Ω-n integrálunk. A Gauss-Osztrogradszkij-tétel alapján ekkor

∫Ω

((∂tu)v + a(t, x)(∇u · ∇v) + q(t, x, u,∇u)v) dx =∫Ω

fv dx. (4.5)

Ha az a, q illetve f függvények bizonyos növekedési feltételeknek eleget tesznek, akkor afenti egyenlet nem csak v ∈ C10(Ω) tesztfüggvényekre fog teljesülni, hanem minden v ∈ Vfüggvényre, ahol V alkalmasan választott Banach-tér. Továbbá az egyenlet mindkét oldalav-nek folytonos és lineáris funkcionálja lesz. Ezért lesznek értelmesek a következő fogalmak(a [6]) jelöléseit használva): X = {U : [0, T ]→ V }, Y = {U : [0, T ]→ V ∗}; t ∈ [0, T ] eseténjelölje U(t) az x 7→ u(t, x) ∈ V függvényt (ekkor U ∈ X), valamint legyen

F (t) ∈ V ∗, F (t)v =∫Ω

fv dx

Ã(t) : V → V ∗, 〈[Ã(t)][U(t)], v〉 =∫Ω

(a(t, x)(∇u · ∇v) + q(t, x, u,∇u)v) dx

A : X → Y, [A(U)](t) = [Ã(t)][U(t)]

(4.6)

Ha a dUdt

(t) = U ′(t) deriváltnak is értelmet tudunk adni, és a kezdeti feltételt is értelmeznitudjuk, akkor a (4.5) egyenlet tulajdonképpen egy közönséges differenciálegyenletté egy-szerűsödik:

U ′(t) + [A(U)](t) = F (t) t ∈ (0, T )U(0) = h

(4.7)

4.3.1. Lipschitzes nemlineáris tag

A nemlineáris egyenleteknek egy speciális t́ıpusa, ha a nemlineaŕis tag Lipschitzes. LegyenV ⊂ H ⊂ V ∗ evolúciós hármas, 1 < p < ∞, 0 < T < ∞, és a (4.6)-beli jelölésekkelX = Lp(0, T ;V ), Y = X∗ = Lq(0, T ;V ∗), valamint t ∈ (0, T ) esetén Ã(t) : V → V ∗, éslegyen A : X → X∗, [A(u)](t) = [Ã(t)][u(t)], F ∈ X∗, ahol v ∈ X esetén

42

4.3. Nemlineáris feladatok

[F, v] =

∫ T0

〈F (t), v(t)〉 dt,

ha [., .] jelöli az X∗ és X közti, 〈., .〉 pedig a V ∗ és V közti dualitást. Legyen u0 ∈ H. Ekkorolyan u ∈ W 1p (0, T ;V,H) függvényt keresünk, mely teljeśıti a

u′ + A(u) = F

u(0) = u0(4.8)

feladatot. Az u(0) = u0 kezdeti feltétel a 4.1.7. tétel alapján értelmes.

4.3.1. Feltételek.

1. a : [0, T ] × Rn olyan, hogy adott t mellett a(t, x) ∈ L∞(Ω), és a korlát t-től nem függ,és van olyan m > 0 konstans, hogy a(t, x) ≥ m m.m. t ∈ [0, T ] és m.m. x ∈ Ω-ra

2. q : Ω×R→ R második változójában Lipschitz-folytonos, úgy, hogy a Lipschitz-konstansnem függ x-től.

Tekintsük a

∂tu− div(a∇u) + q(u) = f QT -benu|ΓT = 0

u(0, x) = h(x)

(4.9)

egyenletet. A megoldásait keresve jó választás lesz a p = 2, V = H10 (Ω) és H = L2(Ω).

Ekkor X = L2(0, T ;V ), X∗ = L2(0, T ;V ∗).

Az 〈[Ã(t)][u(t)], v〉 =∫Ω

(a(x, t)∇u∇v) dx = 〈[A(u)](t), v〉, és 〈[Q(u)](t), v〉 =∫Ω

q(x, u)v dx

defińıcióval A(u), Q(u) ∈ L2(0, T ;V ∗) is teljesül.

Ehhez azt kell látni, hogy adott t esetén [A(u)](t) ∈ V ∗, illetve hogy∫ T

0||[A(u)](t)||2V dt 0 konstans, hogy |q(x, ξ)| ≤ L(1 + |ξ|). Ez alapján

〈[Q(u)](t), v〉 =∫Ω

q(x, u)v dx ≤∫Ω

L(1 + |u|)v dx

≤ L||v||L1(Ω) + L||u||L2(Ω)||v||L2(Ω) ≤ C(1 + ||u||H10 (Ω))||v||H10 (Ω)

43

4.3. Nemlineáris feladatok

Ezért Q(u) ∈ L2(0, T ;V ∗), és ||[Q(u)](t)||V ∗ ≤ C(1+||u||H10 (Ω)). Hasonlóan azt is megkapjuk,hogy

||[Q(u1)](t)− [Q(u2)](t)||V ∗ ≤ C||u1 − u2||V ,

és ezért elmondható, hogy

||Q(u1)−Q(u2)||2X∗ =∫ T

0

||[Q(u1)](t)− [Q(u2)](t)||2V ∗ dt ≤∫ T

0

C ′||u1 − u2||2V dt. (4.10)

Legyen f olyan, hogy adott t mellett f(t, x) ∈ L2(Ω). Ekkor értelmezhető F ∈ X∗, aholv ∈ X esetén [F, v] =

∫ T0〈F (t), v(t)〉 dt, mı́g 〈F (t), v(t)〉 =

∫Ω

f(t, x)v(t, x) dx.

Tehát a (4.9) feladat átfogalmazható: olyan u ∈ W 12 (0, T ;H10 , L2(Ω)) függvényt keresünk,melyre

u′ + A(u) +Q(u) = F

u|ΓT=0

u(0, x) = h(x)

(4.11)

4.3.2. Álĺıtás. ([2]) A 4.3.1. feltételek teljesülése esetén a (4.11) feladatnak minden, afenti tulajdonságokkal rendelkező f esetén egyértelműen létezik a megoldása.

Bizonýıtás.

A bizonýıtás során a [2]-beli lépéseket követjük. Rögźıtett u ∈ W 12 (0, T ;H10 (Ω), L2(Ω)) eseténlegyen G = F −Q(u). Tudjuk, hogy ekkor u-ra úgy tekinthetünk, mint u ∈ C(0, T ;L2(Ω)).Legyen a továbbiakban H = L2(Ω), és V = H10 (Ω). Vegyük a következő lineáris feladatot:

v′ + A(v) = G QT -ben

v|ΓT = 0

v(0) = u0.

(4.12)

Ennek a 4.2.2. tétel alapján létezik az egyértelmű w ∈ C(0, T ;H) megoldása. Eztu függvényében kaptuk, ezért eljutunk egy B operátorhoz, melyre B : C(0, T ;H) →C(0, T ;H), B(u) = w. Belátjuk, hogy ha T elég kicsi, akkor ez a B kontrakció.

Legyen u1, u2 ∈ C(0, T ;H), és w1 = B(u1), w2 = B(u2). A (4.1) egyenletbe v = u = w1−w2-t helyetteśıtve kapjuk, hogy

||w1(t)− w2(t)||2H − ||w1(0)− w2(0)||2H = 2∫ t

0

〈w′1(τ)− w′2(τ), w1(τ)− w2(τ)〉dτ

44

4.3. Nemlineáris feladatok

Mivel w1 és w2 is kieléǵıti a (4.12)-beli kezdetiérték-feltételt, ezért ||w1(0) − w2(0)||2H = 0.Továbbá w′i(τ) = −[Awi](τ) + F −Q(ui) (i = 1, 2), ahonnan

〈w′1(τ)− w′2(τ), w1(τ)− w2(τ)〉 = −〈[A(w1 − w2)](τ), w1 − w2〉+ 〈Q(u2)−Q(u1), w1 − w2〉.

Ahhoz, hogy belássuk, hogy B kontrakció, a ||w1 − w2||H normát kell megbecsülni.

||w1(t)− w2(t)||2H + 2∫ t

0

〈[A(w1 − w2)](τ), w1 − w2〉 = −2∫ t

0

〈Q(u2)−Q(u1), w1 − w2〉dτ

||w1(t)− w2(t)||2H + 2m∫ t

0

||w1 − w2||2V dτ ≤ 2∫ t

0

〈Q(u1)−Q(u2), w1 − w2〉d,

kihasználva, hogy 〈[A(w1 −w2)](τ), w1 −w2〉 =∫Ω

a|∇(w1 −w2)|2 ≥ m||w1 −w2||2V . A 4.1.3.

Hölder-egyenlőtlenség alapján

||w1(t)− w2(t)||2H + 2m||w1 − w2||2L2(0,t;V ) ≤ 2||Q(u1)−Q(u2)||L2(0,t;V ∗)||w1 − w2||L2(0,t;V )

≤ 1ε||Q(u1)−Q(u2)||2L2(0,t;V ∗) + ε||w1 − w2||2L2(0,t;V ),

ahol az utolsó becslés lényegében a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenségbőlkapható. ε-t elég kicsinek választva azt kapjuk, hogy

||w1(t)− w2(t)||2H ≤ C1

ε||Q(u1)−Q(u2)||2L2(0,t;V ∗) ≤ C

1

ε||Q(u1)−Q(u2)||2L2(0,T ;V )

≤∫ T

0

C ′||u1 − u2||2V dt ≤ C ′T ||u1 − u2||2C(0,T ;H).(4.13)

A bal oldalon t szerint szuprémumot véve adódik, hogy

||B(u1)−B(u2)||C(0,T ;H) ≤√C ′T ||u1 − u2||C(0,T ;H),

vagyis ha T olyan kicsi, hogy√C ′T < 1, akkor B kontrakció. A Banach-fixponttétel szerint

ezért egyértelműen létezik B-nek fixpontja, azaz olyan ũ ∈ C(0, T ;H) függvény, melyreB(ũ) = ũ. Mivel B(u)-t úgy definiáltuk, hogy az a (4.12) feladat egyértelmű megoldásaG = F −Q(u)-ra, ezért ez éppen azt jelenti, hogy ũ megoldása a (4.11) feladatnak.

Adott T esetén legyen tehát T1 > 0 olyan, hogy√C ′T1 < 1. Ekkor a fenti gondolatmenet

szerint a (4.11) egyenletnek egyértelműen létezik a [0, T1] intervallumon az ũ ∈ L2(0, T1;V )

45

4.3. Nemlineáris feladatok

megoldása, továbbá ũ(T1) ∈ V = H10 (Ω). Ezért a (4.11) feladatot most u(0) = ũ(T1) kezdetiértékkel megfogalmazva ismét találunk egyértelmű megoldást a [T1, 2T1] intervallumon.

Ezt véges sok lépésben megismételve (hiszen T < ∞ és T1 > 0) eljutunk egy [0, T ]-nértelmezett u ∈ L2(0, T ;V ) megoldáshoz.

Az egyértelműség bizonýıtásához tegyük fel, hogy u1 és u2 is gyenge megoldások [0, T ]-n.Ekkor a (4.13) egyenlőtlenségben w1 = u1 illetve w2 = u2, ahonnan

||u1(t)− u2(t)||2H ≤ C ′∫ t

0

||u1(τ)− u2(τ)||2Hdτ

A Gronwall-egyenlőtlenség alapján ezért u1 = u2.

4.3.2. Operátorfélcsoportok és lokálisan Lipschitzes nemlineáris tag

Leggyakrabban a kémiai példákban előforduló függvények, melyek az egyenlet nemline-aritását okozzák, nem Lipschitzesek. Ebben az esetben a megoldhatóság vizsgálatakor újeszközökre, az operátorfélcsoportok elméletére lesz szükség. A számunkra legfontosabb de-fińıciók és tételek a következők (az itt nem szereplő bizonýıtások az [5] könyvben találhatók):

4.3.3. Defińıció. Legyen X Banach-tér. Ha T : [0,∞)→ B(X) leképezés, és

i) T (0) = I, (I az identitás X-en),

ii) T (t+ s) = T (t)T (s) minden t, s ≥ 0 (félcsoport-tulajdonság),

akkor a {T (t)}t≥0 családot korlátos lineáris operátorok félcsoportjának nevezzük.

Legyen A lineáris operátor a következő módon definiálva: