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C o p y r i g h t : P . V a n n u c c i , U V S Q

p a o l o . v a n n u c c i @ m e c a . u v s q . f r

________________________________ Mécanique – Chapitre 5

Chapitre 5

Mécanique

des

structures

E n a r r i r e ! p l a n : t o u r E i f f e l , " # # $ .

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i g h t : P . V a n n u c c i , U V S Q



Équilibre d’un arc en pierre (2) En fait, la maîtrise de la fabrication de l’acier est un fait

historiquement relatiement récent (milieu du !"!#me

si#cle)$ %our ce qui concerne le bois, il n’est pas tou&ours disponible,

surtout dans des dimensions appropriées (les troncs des arbresde 'rande lon'ueur sont rares et chers)$

En plus, le moment fléchissant est la caractéristique de la

sollicitation qui prooque les plus fortes contraintes dans lematériau il est relatiement facile atteindre les limites de larésistance la rupture pour une poutre en bois$

*onc, anciennement il ne restait plus que la pierre et les briquesen ar'ile comme matériau de construction$

Mais ces deu+ matériau+ ont une résistance la traction faible,non fiable et en plus la surface de contact entre deu+ pierres larésistance la traction est ri'oureusement nulle$

e probl#me qui s’est présenté au+ anciens a donc été celui decourir des portées importantes (- . /m) aec la pierre ou lesbriques$

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Équilibre d’un arc en pierre (.)

es é'0ptiens et les 'recs n’aaient pas troué la solution ce

probl#me, ce qui conditionna fortement leur architecture lestemples é'0ptiens ou 'recs ont des colonnes placées desdistances faibles, car les poutres sont en pierre$

10ant une résistance la traction petite, pour éiter leur rupture ilfaut un faible moment fléchissant et donc des portées limitées (M

au'mente aec le carré de la portée )$ Ceci n’éitait pas quelques probl#mes

%outrefissurée parrupture entraction$

E n f i g u r e : P a r t h % n o n & V m e s

i c l e a v . ' . C . ( e t ) e m p l e * e + a r n a - o u / o r & s a l l e

h y p o s t y l e , " 0 1 2 a v . ' . C . ( . .

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Équilibre d’un arc en pierre (/) a solution fut trouée par les étrusques c’est l’arc

’arc est un dispositif capable de transformer une fle+ion eneffort normal de compression$

a pierre et les briques étant des matériau+ bien résistant lacompression, on peut aec l’arc courir des portées plusimportantes qu’aec une poutre en pierre ou m3me en bois, et

surtout on peut supporter des char'esbeaucoup plus fortes$

En plus, c’est une solution architecturaleplut4t économique elle peut utiliser despierres de petite taille, ou des briques,

beaucoup plus bon marché (parce quemoins rares et de cot de productionmoins 'rand) que les pierres taillées, oum3me des troncs d’arbre, de 'randesdimensions (qui en plus ont un cot de

transport important)$ E n f i g u r e : P o r t a a l l 3 4 r c o , V o l t e r r a & V m e s i c l e a v . ' . C . (

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Équilibre d’un arc en pierre (5)

Mais comment et quel pri+ un arc transforme une situation de

fle+ion en une situation de compression6 1 saoir, quel est son principe de fonctionnement6

Considérons un arc circulaire en pierre de taille7 il est constituépar plusieurs blocs (claveaux ou voussoirs pour les otes)modelés selon la forme de l’arc et pour simplifier considéronsqu’il n’0 a pas de frottement entre un bloc et l’autre$

1lors la force de contact entre deu+ blocs de l’arc est une forceortho'onale la surface de contact$

8i cette surface de contact est ortho'onale l’arc, les forces de

contact entre les blocs suient la li'ne mo0enne de l’arc$ 9r, en 'énéral, la force de contact difficilement sera appliquée en

correspondance de la li'ne mo0enne, elle aura une certainee+centricité, mais si celle:ci est inférieure b ;

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Équilibre d’un arc en pierre (o0ons donc tout ?a sur une fi'ure et pour simplifier encore,

considérons que les forces e+térieures appliquées chaque blocse réduisent une seule force erticale$

En commen?ant du bloc central, la clef de voûte, on décomposela force en deu+ forces ortho'onales au+ surfaces de contact dubloc ce sont les forces que la clef transmet au reste de l’arc$

Ensuite, on passe au+ deu+ blocs c4té de la clef et on troue laforce de contact sur le bloc suiant comme résultante de la forceprécédente et de la force directement appliquée au bloc$

En procédant ainsi, on trouetoutes les forces de contact entre

les blocs$ ’arc constitue donc une esp#ce

de 'uida'e de la force traersune li'ne donnée$

Clef deote

8ommier >oussoir

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9r, cette déiation de la force traers la li'ne de l’arc se fait au

pri+ d’une force hori@ontale, la poussée de l’arc , qui se retroueen bas$

a présence de cette force se comprends facilement si on nere'ard qu’une moitié de l’arc la composante hori@ontale de laforce de contact transmise par la clef de ote doit 3tre équilibrée

en bas de l’arc par une force é'ale et contraire$ *onc l’arc est une structure aec poussée hori@ontale$

Cette force hori@ontale doit 3tre équilibrée la base de l’arc parune autre force$

Équilibre d’un arc en pierre (A)

Bne fa?on simple d’annuler cetteforce est celle d’utiliser un tirant quilie les deu+ e+trémités de l’arc$

Mais ce n’est pas la seule fa?ond’annuler la poussée

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Équilibre d’un arc en pierre (D) En fait, cette poussée s’équilibre automatiquement s’il 0 a

d’autres arcs identiques c4té7 dans ce cas, il faut mettre untirant seulement au+ arcs qui se trouent au+ e+trémités$

Bne autre fa?on est celled’épauler l’arc par descontreforts, de sorte ce que larésultante des forces tombe l’intérieur de la base du contrefort$

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Équilibre d’un arc en pierre ()

a poussée hori@ontale dépend de la

'éométrie de l’arc et des forcesappliquées$

En particulier, la pousséehori@ontale diminue aec la hauteurde l’arc parité de portée, les arcs

plus hauts poussent moins des arcsbas$

’équilibre de la poussée hori@ontaleest fondamental un écartement dese+trémités de l’arc d la poussée

fait ine+orablement écrouler l’arc$ En fait, dans ce cas la clef de ote,

qui est l’élément qui 'arantitl’équilibre de l’arc$ 8i elle sedéplace, l’arc se désa'r#'e et

s’effondre$

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Équilibre d’un arc en pierre (FG) Bn probl#me important est la conception de l’arc il faut faire en

sorte que les forces de contact entre les blocs passent l’intérieur de la section de contact, ou mieu+ encore dans le tierscentral, pour 'arantir l’équilibre$

Heaucoup de méthodes ont été proposées dans le temps pardifférents auteurs (Coulomb, Hossut, Mascheroni etc$)$

Bne r#'le 'rossi#re, dé& introduite par eonardo da >inci c’estque la corde des demi arcs e+térieurs ne doit pas toucher l’arcintérieur$

eonardo aait étudié de fa?on empirique l’arc, qui aait définicomme Arco non è altro che una fortezza causata da due

debolezze (arc ce n’est qu’une force causée par deu+ faiblesses)$ es deu+ faiblesses de eonardo ce sont les

deu+ demi arcs, qui seulement ensemble sontcapables de 'arantir l’équilibre et cela par leurmutuelle opposition$

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e béton armé et le béton précontraint (F) 1 part l’arc, il 0 a une autre fa?on d’utiliser en fle+ion un

matériau+ non résistant la traction c’est le béton armé $

e béton est une pierre artificielle, constituée de ciment, eau,sable et 'raier$

es aanta'es du béton sont multiples c’est un matériau bonmarché, de réalisation facile, de bonne limite la rupture,

résistant bien au feu et qui prot#'e l’acier contre la corrosion$ *e plus, le béton est préparé en phase fluide et peut 3tre coulé

dans des coffra'es au+quels on peut donner les formes les plusariées, ce qui permet des prouesses architecturales impossiblesaec les autres matériau+$

E n f i g u r e : S i * n e y 5 p e r a 6 o u s e & " $ 1 0 ( e t C

h i e s a * i S a n 7 i o v a n n i 8 a t t i s t a & 9 i r e

n e , " $ ; < ( .

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e béton armé et le béton précontraint (2) e seul probl#me du béton est que sa résistance la traction est

pratiquement nulle$

a solution, inentée en Irance la fin du !"! éme si#cle, est lebéton armé il s’a'it d’insérer dans la coulée des barres d’acier lo= la fle+ion de la poutre a produire des tractions$

Bne fois que le béton a fait prise, béton et acier forment un tout

unique$ 1insi, le béton prend en char'e les contraintes de compression et

l’acier celles de traction$

p

M (z )

dans

le béton

force dansles barres

@one encompression

barres d’acier

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. v a n n u c c i @ m e c a . u v s q . f r


e béton armé et le béton précontraint (.) Bne autre idée pour utiliser le béton comme matériau de

construction est le béton précontraint $

8i le béton ne peut pas supporter les contraintes de tractionen'endrées par la fle+ion, on J précomprime K le béton, de sorte ce que la superposition de fle+ion et J précompression Kpermette d’annuler les tractions sur la section$

Cette J précompression K s’obtient en tirant aec des érinsh0drauliques des cLbles d’acier haute résistance qui passentdans des tubes no0és dans le béton$

Bne fois les cLbles tirés, ils sont ancrés la poutre, ce qui permetde transférer au béton la traction de l’acier sous forme de

compression$ p

M (z )

-

M

-

= tot

-

CLbles de

précontrainte

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e béton armé et le béton précontraint (/)

’aanta'e du béton armé précontraint par rapport au béton armé

normal est qu’il permet de courir de plus 'randes portées(- FGG m) et de supporter de plus fortes char'es$

"l est ainsi utilisé essentiellement dans la construction de ponts,iaducs, couertures de 'rande portée (stades, 'ares, palais dusport, etc$)$

E n f i g u r

e : P o n t * e > a r a c a i ? o & . > o r a n * i , " $ ; A ( .

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Chapitre 5

5$ Hiblio'raphie En librairie

et sur "nternet

E n a r r i

r e ! p l a n : p a g e * u C o d i c e A t l a n t i c o * e e o n r * o * a V i n c i a v e c l 3 % t u * e * e l a s t a ? i l i t % * e s c o l o n n e s .

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En librairie

N$ E$ Oordon !tructures" or #h$ thin%s don’t fall do#n$ FAD$

(lire indispensable pour s’amuser apprendre la mécanique desstructures, plein d’anecdotes et d’humour an'lais7 probablementil e+iste une traduction fran?aise)$

E$ Henenuto &a scienza delle costruzioni e il suo sviluppostorico$ 8ansoni, FDF (en italien)$

8$ %$ PimoshenQo 'ésistance des matériaux" vol ( et ) $ F

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