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IIS BONA – MOSSO – prof . Barberis Paola
Prof.Barberis Paola – agg 2013 1/4
LOGARITMO il logaritmo è una operazione inversa della potenza ( l’altra è la radice ! )
quella che mi fa trovare un esponente sapendo base e risultato:
“quale esponente dato alla base 2 mi fa trovare 8 ?”
Il risultato è 3 e si chiama logaritmo in base 2 di 8 e si scrive: log2 8 = 3
definizione: Si chiama loga b , l’esponente x da dare ad a per ottenere b e si scrive: bx
alog= a>0,a≠1 e b>0
a si chiama BASE, deve essere positiva e diversa da 1 altrimenti l’operazione non ha significato. Nella calcolatrice scientifica ho due basi: Base e=2.7182 corricpondente ai logaritmi neperiani , tasto ln e la base =10 corrispndente ai logaritmi decimali o di Briggs, tasto log
un logaritmo in base qualunque , si calcola cambiando base con le formula: logab =
log(b)
log(a) opp log
ab =
ln(b)
ln(a)
Applicando la definizione, calcola mentalmente i seguenti logaritmi log2 16 x=4 perchè 2 elevato a 4 fa 16 [ verifica: con calcolatrice devi fare log(16) / log(2) ] log10 10000 x=5 perchè 10 elevato a 5 fa 10000 [ verifica con calcolatrice: log(10000) / log(10) ] log3 9 x=2 perchè 3 elevato a 2 fa 9 [ verifica con calcolatrice: log(9) / log(3) ] log5 125 x=3 perchè 5 elevato a 3 fa 125 [ verifica con calcolatrice: log(125) / log(5) ] log10 0,1 x=-1 perchè 10 elevato a -1 fa 1/10 cioè 0,1 [ verifica con calcolatrice: log(0,1) / log(10) ]
log21
32 x=-5 perchè 2 elevato a -5 fa 1/32 [ verifica con calcolatrice: log(1/32)) / log(2) ]
Applicando la definizione, calcola i seguenti logaritmi svolgendo i calcoli 1) 27log9 cerca l’esponente x tale che 279 =
x Riscrivo come potenze di tre: 32 3)3( =x
3233 =
x la base è la stessa quindi confrontando gli esponenti si ha 2x = 3 da cui x=3/2
2) 27
1log9 cerca l’esponente x tale che
27
19 =x da cui: 32 3)3( !
=x 2x = -3 da cui x =-3/2
IIS BONA – MOSSO – prof . Barberis Paola
Prof.Barberis Paola – agg 2013 2/4
3) 8
27log
9
4 cerca l’esponente x tale che 8
27
9
4=!
"#
$%&
x
. Riscriviamo: 32
2
3
3
2!"#
$%&
=!!"
#$$%
&!"#
$%&
x
Poiché 1
3
2
2
3!
"#$
%&'
= si ha:32
3
2
3
2!
"#$
%&'
="#$
%&'
x
quindi 2x = -3 da cui x =-3/2
4) 243log9
1 vuol dire: cerca l’esponente x tale che 53
9
1=!
"#
$%&
x
, quindi 5
2
33
1=!
!"
#$$%
&!"#
$%&
x
Poiché !"#
$%&
='
3
131 si ha :
52
3
1
3
1!
"#$
%&'
="#$
%&'
x
quindi 2x = -5 da cui x =-5/2
5) 24log2 vuol dire: cerca l’esponente x tale che 242 =x
Riscrivendo come potenze di 2 si ha: 2
1
2222 !=
x quindi 2
5
22 =x da cui x = 5/2
6) 273log3 vuol dire: cerca l’esponente x tale che 2733 =
x
Riscrivendo come potenze di 3 si ha: ( )21
3333 !=
x quindi 2
31
33+
=x da cui x = 5/2
7) 22log2
1 vuol dire: cerca l’esponente x tale che 222
1=!
"#
$%&
x
quindi 2
1
222 !="x da cui x = -3/2
8) 37 49log vuol dire: cerca l’esponente x tale che ( )3
1
277 =
x quindi 3
2
77 =x da cui x = 2/3
Determina l’argomento del logaritmo, dato il valore del logaritmo e della base.
9) 2
1log 4.0 =x Dalla definizione di logaritmo:
5
2
10
44.0 2
1
===x
10) 2
1log 09.0 !=x Si ha:
3
10
9
100
100
909.0
2
1
2
1
2
1
=!"#
$%&
=!"#
$%&
==
''
x
11) 3log4
3 !=x Si ha: 27
64
3
4
4
333
=!"#
$%&
=!"#
$%&
=
'
x
12) 4log2
=x Si ha: ( ) 422 2
44
===x
13) 3
2log
2=x Si ha: ( ) 33
1
3
2
2
1
3
2
2222 ====!
x
14) 2
1log
3!=x Si ha: ( )
4
4
1
4
12
1
2
1
2
1
3
1
3
1333 ===!!
"
#$$%
&==
''
'x
Determina la base x dei seguenti logaritmi, dato il valore del logaritmo e l’argomento 15) 7128log =
x Si ha: 128
7=x ma 1282
7= quindi x = 2
16) 29
16log !=
x Si ha:
9
162=
!x ma
9
16
3
42
=!"#
$%& e
9
16
4
32
=!"#
$%&
'
quindi x = 3 / 4
17) 5243log !=x
Si ha: 2435=
!x ma 2433
5= quindi x = 3-1= 1/3
18) 233log =x
Si ha: 332=x quindi ( ) 44 34
32
1
2
32
1
2
11
2
1
27333333 ===!!"
#$$%
&=!!
"
#$$%
&==
+
x
IIS BONA – MOSSO – prof . Barberis Paola
Prof.Barberis Paola – agg 2013 3/4
PROPRIETA’ DEI LOGARITMI
log A + log B = log(AiB) la somma di logaritmi è il logaritmo del PRODOTTO degli argomenti
log A ! log B = log(A
B) la diff di logaritmi è il logaritmo del QUOZIENTE degli argomenti
n log A = log(A)n un fattore esterno n si porta all’interno come ESPONENTE dell’argomento
1
nlog A = log A
1
n = log An
il fattore 1/n si porta all’interno come RADICE ennesima dell’argomento
Altre due formule che trovano applicazione negli esercizi:
FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI BASE loga b =log
Nb
logNa
REGOLA PER RISCRIVERE UN NUMERO COME LOGARITMO N = logaaN
Esempi: Applicando le proprietà dei logaritmi, trasforma in un unico logaritmo ( base sottintesa 10)
log x +1( ) + log(x + 2) = applico I proprietà = log (x +1)i(x + 2)[ ] = log x2+ 3x + 2!" #$
log 2x ! 8( ) ! log(x ! 2) = applico II proprietà = log2x ! 8
x ! 3
"
#$%
&'
log x( ) + log(x + 4) ! log(x + 7) = applico I e II proprietà = logx(x + 4)
x + 7
"
#$%
&'= log
x2+ 4x
x + 7
"
#$
%
&'
log x + 3( ) ! log(x) ! log(x + 6) = applico II proprietà = logx + 3
x(x + 6)
"
#$
%
&' = log
x + 3
x2+ 6x
"
#$%
&'
2 log x ! 4( ) ! 3log(x) = prima porto dentro i fattorie sterni = log x ! 4( )
2 ! log(x)3
= poi applico II proprietà = logx ! 4( )
2
(x)3
"
#$
%
&' = log
x2 ! 8x +16
x3
"#$
%&'
2 log x + 3( ) + log 5 ! 2 log(x !1) = prima porto dentro i fattorie sterni = log x + 3( )2+ log 5 ! log(x !1)3
= poi applico II proprietà = logx + 3( )
2i5
(x !1)3"
#$
%
&' = log
5x2 ! 30x + 45x3 ! 3x2 + 3x !1
"#$
%&'
3log x( ) ! 2 ! log(x +1) = porto dentro il fattore e trasformo il numero 2 in log10
= log x( )3 ! log102 ! log(x +1)
= poi applico II proprietà = logx32
100(x +1)
"#$
%&'= log
x32
100x +100
"#$
%&'
IIS BONA – MOSSO – prof . Barberis Paola
Prof.Barberis Paola – agg 2013 4/4
APPROFONDIMENTO : ESERCIZI SVOLTI DI MAGGIOR DIFFICOLTA’ Applicando le proprietà dei logaritmi, trasforma in un unico logaritmo
19) 2 log x + 2y( ) + log(x + y) !1
2log x prima porto all’interno i fattori esterni ( III e IV PR)
= ( ) ( ) 2
12
loglog2log xyxyx !+++ poi applico le prime due proprietà
( ) ( )( ) ( )
x
yxyxxyxyx
++=+!+=
22 2
log:2log
20) !"#
$%&
+'+ cba log2
15log
2
1)log3(log2 prima applico dentro le tonde III e IV PR
2(log a + logb3 ) !1
2(log 5 + log c ) applico nelle parentesi I e II PR
= 2 log(a2b3 ) !1
2log(5 c ) applico nuovamente III e IV PR nei due log
= log(a2b3 )2 ! log( 5 c ) e poi la II PR fra i due log =log(a2b3 )2
log( 5 c )
Calcola il valore delle espressioni, applicando le prorpietà in senso inverso 21) ( )28log2 !
= log2 8 + log2 2 = log2 23( )1
2 + log2 2
1
2 = log2 2
3
2 + log2 2
1
2 =3
2log2 2 +
1
2log2 2 =
3
2+1
2=4
2= 2
22) 327log3 = 12log3 27 3 =
1
2(log3 27 + log 3) =
1
2(log3 27 +
1
2log 3) =
1
2(3+
1
2!1) =
1
2!7
2=7
4
23) 324
22log
! Si ha : log2 2 !2
1
2 ! 4"1
3 = log2 2 !2
1
2 ! 22( )"1
3 = log2 21+1
2"2
3 = log2 2
6+3"4
6 =5
6
24) 3
5
55
525log
! Si ha
15
28
15
53305log
5
55log 3
1
5
12
5
3
1
5
1
2
5 =!+
=="
=!+
25) 5
2
3
1010
1010log !!
"
#$$%
& '
= log1010
1
2 !101
3
102
"
#
$$
%
&
''
5
= log10 10
1
2 !101
3 !10(2"
#$%
&'
5
= log10 10
1
2+1
3(2"
#$%
&'
5
= log10 10
3+2(126
!5= log10 10
(35
6 = (35
6
Un altro modo: !"#
$%&
++='
=!!"
#$$%
& '210
310102
3
10
5
2
3
1010
1log10log10log5
10
1010log5
10
1010log
6
35
6
122352
3
1
2
1510log10log10log5 2
103
1
102
1
10 !=!+
="#$
%&' !+="
"#
$%%&
'++=
!