27 MEK

MEKANIKA LAGRANGE & HAMILTON

Saturday, April 22, 2023 2

Dalam bab sebelumnya, secara jelas kita telah menunjukkan dan membuktikan pentingnya hukum-hukum Newton.Dengan menggunakan hukum kedua Newton dan diketahui kondisi awalnya, kita dapat memperoleh persamaan gerak sistem dan menggambarkan gerak sistem.Hukum-hukum Newton hanya dapat digunakan apabila gaya yang bekerja dalam sistem diketahui, dengan kata lain kondisi dinamisnya diketahui.Selanjutnya, kita biasanya menggunakan koordinat rectagular (Cartesian), sekali-sekali menggunakan koordinat polar, silinder atau koordinat bola.


Dalam banyak situasi, masalah tidak mudah dipecahkan dengan mengetahui dinamika dan kondisi awal.Contoh, sebuah massa dipaksa bergerak dipermukaan bola atau sebuah manik-manik meluncur pada kawat.Dalam situasi ini, tidak hanya gaya-gaya yang tidak diketahui yang membuat masalah sulit dipecahkan, tetapi penggunaan koordinat rectanguler atau koordinat yang biasa digunakan juga membuat persoalan sulit dipecahkan.Dua metoda berbeda, persamaan Lagrange dan persamaan Hamilton, telah dikembangkan untuk menyelesaikan masalah-masalah demikian.


Kedua teknik ini bukanlah hasil teori baru, namun diturunkan dari hukum kedua Newton yang menawarkan cara yang lebih mudah untuk mengatasi masalah yang sulit dalam Fisika.Pertama, kedua teknik menggunakan koordinat umum (generalized coordinat).Yaitu tidak terbatas pada penggunaan koodinat Cartesian atau polar dan yang serupa, beberapa kuantitas yang cocok seperti kecepatan, momentum linier, momentum sudut, atau (panjang)2, juga digunakan untuk menyelesaikan masalah.Koordinat umum biasanya dinyatakan dengan qk, dimana q1 bisa menyatakan v, q2 bisa menyatakan x, q3 bisa menyatakan sudut dan seterusnya.


Selanjutnya kedua teknik ini menggunakan pendekatan energi yang memberikan keuntungan utama dari sifatnya yang skalar daripada vektor.Selanjutnya kita akan menyebutkan perbedaan metoda Lagrange dan Hamilton.Dalam formalisma Lagrange, koordinat umum yang digunakan adalah posisi dan kecepatan, menghasilkan persamaan diferensial orde kedua.Dalam formalisma Hamilton, koordinat umum yang digunakan posisi dan momentum yang menghasilkan persamaan diferensial orde pertama (linier).Kedua metoda ini tidak hanya berguna memecahkan persamaan gerak yang menggambarkan sistem, tetapi juga dapat digunakan untuk menentukan gaya reaksinya.

KOORDINAT UMUM



Untuk meletakkan posisi sebuah partikel, dibutuhkan tiga koordinat.Koordinat-koordinat ini bisa koordinat Cartesian x, y dan z, koordinat silinder r, dan z, koordinat bola r, dan atau koordinat lain yang sesuai. Jika ada hambatan atau paksaan pada gerak benda, kita memerlukan kurang dari tiga koordinat.Sebagai contoh, jika sebuah partikel dipaksa bergerak pada sebuah permukaan, hanya dua koordinat yang dibutuhkan, sedangkan jika sebuah partikel dipaksa bergerak lurus hanya satu koordinat yang dibutuhkan untuk menggambarkan gerak partikel.


Mari kita tinjau sistem mekanika terdiri dari N partikel.Untuk menentukan posisi sistem setiap waktu demikian dibutuhkan N buah vektor, sedangkan masing-masing vektor dibutuhkan tiga koordinat.Maka, secara umum, dibutuhkan 3N koordinat untuk menggambarkan sistem tersebut. Jika terdapat paksaan, total koordinat yang dibutuhkan untuk menggambarkan sistem akan dikurangi.Sebagai contoh, jika sistem adalah benda tegar, seperti yang kita ketahui bahwa jarak antar partikel adalah tetap, hanya dibutuhkan enam koordinat untuk menggambarkan konfigurasi benda tegar tersebut.


Dari keenam koordinat ini, tiga memberikan posisi titik acuan pada benda, biasanya pusat massa terhadap titik asal dari sistem koordinat yang dipilih, dan sisanya tiga koordinat lagi menggambarkan arah (orientasi) benda dalam ruang.Selanjutnya kita akan menentukan jumlah koordinat minimum yang dibutuhkan untuk menggambarkan sistem N partikel.Biasanya paksaan pada sembarang sistem digambarkan oleh persamaan.Misalkan terdapat m persamaan yang menggambarkan paksaan.


Jumlah koordinat minimum, n, yang diperlukan untuk menggambarkan secara lengkap gerak atau konfigurasi sistem setiap waktu diberikan oleh Dimana n adalah jumlah derajat kebebasan sistem. n koordinat tersebut tidak harus koordinat rectagular, silinder atau koordinat kurvilinier lainnya.Pada kenyaatannya n dapat sembarang parameter seperti panjang, panjang2, sudut, energi, besaran tanpa dimensi, atau besaran lainnya, sepanjang besaran tersebut dapat menggambarkan secara lengkap konfigurasi sistem.


Istilah koordinat umum diberikan pada sekumpulan besaran menggambarkan secara lengkap keadaan atau konfigurasi sistem.Koordinat umum n ini biasanya dituliskanatau qk dimana k = 1, 2, 3, …, n.Koordinat umum n ini tidak dibatasi oleh paksaan. Jika masing-masing koordinat dapat bervariasi secara saling bebas dengan yang lainnya, sistem dikatakan holonomik.Dalam sistem non-holonomik, semua koordinat tidak dapat bervariasi secara bebas.


Sebagai contoh, sebuah bola menggelinding pada permukaan yang kasar membutuhkan hanya lima koordinat untuk menentukan konfigurasinya, dua untuk posisi pusat massanya dan tiga untuk orientasinya.Tetapi lima koordinat ini tidak dapat bervariasi secara saling bebas.Ketika bola menggelinding sedikitnya dua koordinat berubah.Oleh karena itu sistem ini disebut sistem non-holonomik.Dalam bab ini hanya akan dibahas sistem holonomik saja.


Sekumpulan koordinat umum yang cocok dari sistem yaitu yang menghasilkan persamaan gerak yang dapat memberikan interpretasi gerak yang mudah.Koordinat umum qn ini membentuk sebuah ruang konfigurasi, dengan masing-masing dimensi diwakili oleh koordinat qk.Lintasan sistem digambarkan oleh sebuah kurva dalam ruang konfigurasi.Lintasan dalam ruang tidak memberikan interpretasi yang sama seperti lintasan dalam ruang tiga dimensi yang sama.Analog dengan koordinat Cartesian, kita dapat mendifinisikan turuan qk yaitu atau sebagai kecepatan umum.


Tinjau sebuah partikel tunggal mempunyai koordinat rectagular x, y, dan z sebagai fungsi dari koordinat umum q1, q2, dan q3, yaitu

Misalkan sistem berubah dari konfigurasi awal (q1,q2,q3) ke konfigurasi lain (q1+q1,q2+q2,q3+q3).Kita dapat menyatakan berkenaan dengan perubahan dalam koordinat Cartesian oleh hubungan berikutdengan pernyataan yang sama untuk y dan z.


Mari kita tinjau kasus yang lebih umum dengan sistem mekanika yang terdiri dari sejumlah partikel mempunyai n derajat kebebasan.Perpindahan xi, yi, dan zi dapat dinyatakan dalam suku koordinat umum qk sebagaidengan pernyataan yang sama untuk yi, dan

zi .


Sangat penting untuk membedakan dua perpindahan: perpindahan nyata dri dan perpindahan virtuil ri.Misalkan massa mi dikenai gaya eksternal Fi menyebabkan mi bergerak dari ri ke ri+dri dalam interval waktu dt.Perpindahan ini harus memenuhi persamaan gerak dan persamaan konstrain yang menggambarkan massa sistem ini, maka perpindahan tersebut adalah perpindahan nyata.Di pihak lain, perpindahan virtuil hanya memenuhi persamaan konstrain saja, tidak persamaan gerak atau waktu.


Sebagai contoh, pendulum dengan panjang l digerakkan dari (l,) ke (l,+) pada setiap interval waktu sepanjang beban tetap pada busur lingkaran berjari-jari l.Maka ri dan qi adalah perpindahan virtuil.Kita akan menggunakan prinsip kerja virtuil untuk berikutnya.Kita akan menyebabkan perpindahan virtuil

r, menghasilkan kerja virtuil W.Pada dasarnya, perpindahan demikian, arah dan jarak relatif antar partikel adalah tetap.

GAYA UMUM



Tinjau sebuah gaya F bekerja pada sebuah massa m dan menghasilkan perpindahan virtuil r partikel.Kerja yang dilakukanW oleh gaya ini diberikandengan Fx, Fy, dan Fz adalah komponen rectangular dari F.Kita dapat menyatakan perpindahan x, y, dan z dalam koordinat umum qk, yaitu


dimanaQk disebut gaya umum yang dihubungkan dengan koordinat umum qk.Dimensi Qkqk adalah kerja; jika qk berdimensi jarak, maka Qk harus berdimensi gaya; jika qk berdimensi sudut, maka Qk harus berdimensi torka .Hal ini bisa menunjukkan bahwa besaran qk dan besaran x, y, dan z disebut perpindahan virtuil dari sistem karena perpindahan tidak menunjukkan perpindahan nyata.


Dalam kasus umum, sebuah sistem terdiri N buah partikel yang dikenai gaya Fi (i = 1, 2, …, N), kerja total yang W untuk perpindahan virtuil ri sistem adalah

dengan menggunakan diperoleh


Dengan menukarkan urutan penjumlahan diperolehataudimanaQk disebut gaya umum yang dihubungkan dengan koordinat umum qk.Dimensi gaya umum Qk bergantung pada dimensiqk, tetapi Qkqk harus kerja.


Mari kita tuliskan pernyataan bahwa gaya umum adalah gaya konservatif.Misalkan medan gaya konservatif diwakili oleh sebuah fungsi potensial V=V(x,y,z).Komponen rectaguler dari gaya yang bekerja pada partikel adalahPernyataan Qk sebagai gaya umum adalah


Pernyataan dalam tanda kurung adalah turunan parsial V terhadapqk, yaituPersamaan ini menyatakan hubungan gaya umum dengan potensial yang mewakili sistem konservatif.


Contoh: tinjau sebuah partikel bermassa m bergerak pada sebuah bidang. Tentukan (a) perubahan dalam koordinat Cartesian dan (b) gaya umum partikel.Karena partikel bergerak pada bidang, maka koordinat polar (r,) merupakan koordinat umum


(a) Perubahan dalam koordinat Cartesian adalah

(b) Dari definisi gaya umum yaitudiperoleh

PERSAMAAN GERAK LAGRANGE UNTUK PARTIKEL TUNGGAL



Kita akan menggambarkan gerak sebuah partikel tunggal melalui persamaan yang dinyatakan dalam suku koordinat umum.Hal ini membawa kita ke persamaan Lagrange. Kita dulunya memulai dari hukum kedua Newton F = ma.Tetapi di sini kita memulai dengan sebuah pernyataan energi kinetik T dalam koordinat Cartesian dan kemudian menuliskan T dalam koordinat umum, yaitukarenaserupa dengan


Kita dapat mencari dalam suku qk melalui prosedur berikut

Maka kita dapat menggambarkan komponen berbeda dari kecepatan dalam suku koordinat umum dan kecepatan umum ; yaitu


Sehingga kita dapat menulis energi kinetik sebagaiTurunan energi kinetik terhadap adalah

Selanjutnya


Dengan mensubstitusike

maka


Selanjutnya diferensiasi kedua ruas terhadap t

Tiga suku terakhir ruas kanan dapat disederhanakan, bahwa d/dt dan /qk dapat ditukarkan sehingga suku keempat ruas kanan dapat dituliskan


danMaka

dimana


SehinggaPersamaan diferensial dalam koordinat umum ini menggambarkan gerak partikel dan dikenal sebagai persamaan gerak Lagrange.Persamaan gerak Lagrange lebih sederhana jika partikel berada dalam medan gaya konservatif sehinggasehingga


Selanjutnya didefinisikan sebuah fungsi Lagrange (Lagrangian) yang merupakan selisih dar T dan V, yaituatauV adalah fungsi dari koordinat umum saja, sehinggadan


Substitusi persamaan di atas keSehinggayang merupakan persamaan gerak Lagrange sebuah partikel dalam medan gaya konservatif.

PERSAMAAN GERAK LAGRANGE UNTUK SISTEM PARTIKEL



Selanjutnya mari kita kembangkan hal sebelumnya untuk kasus lebih umum sistem N partikel.Maka energi kinetik sistem tersebut adalahatau bisa dituliskandimana xi adalah koordinat Cartesian yang merupakan fungsi dari koordinat umum qk.


Hubungan xi dan qk melibatkan waktu secara eksplisit adalah

Sehingga T merupakan


Diferensiasi T terhadap diperolehdengan diperoleh


Persamaan untuk gaya umum adalahGaya umum untuk sistem partikel adalahSelanjutnyasehingga


Jika sistem konservatif, fungsi potensial ditulisDari definisi fungsi Lagrange L =T–V, maka persamaan gerak Lagrange untuk sistem partikel dapat ditulis

Dari gaya umum Qk, misalkan terdapak Q’k yang tidak konservatif (tidak dapat diturunkan fungsi potensial) dan lainnya gaya konservatif, yaitu


Maka persamaan gerak Lagrange dapat dituliskan


Pilih dengan tepat seperangkat koordinat umum untuk menunjukkan konfigurasi sistem.Nyatakan energi kinetik T dari sistem dalam suku koordinat umum dan kecepatan umum. Jika sistem konservatif, nyatakan energi potensial V sebagai fungsi koordinat umum, jika tidak tentukan pernyataan untuk gaya umum Qk.Akhirnya dengan menggunakan informasi yang diperoleh, tuliskan persamaan gerak Lagrangenya.

Langkah-langkah metoda Lagrange:

Documents

27 MEK