13 ESTADÍSTICA

MATEMÀTIQUES 3r ESO | 13 ESTADÍSTICA © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA 1

VARIABLES. TAULES DE FREQÜÈNCIES

1. ●Volem fer un estudi del nombre d’hores que els alumnes dediquen a la lectura.

a) Tria una mostra per fer l’estudi.b) Quina grandària té la nostra mostra?c) Quina és la població?

2. ● Indica el tipus de variable estadística queestudiem i digues, en cada cas, si seria millorestudiar la mostra o la població.

a) El programa preferit dels membres de la tevafamília.

b) El número de calçat dels alumnes d’un IES.c) La temperatura mitjana diària a la teva comarca.d) L’edat dels habitants d’un país.e) El sexe dels habitants del teu poble.f) Els efectes a l’ésser humà d’un medicament

nou.g) El color dels cabells dels teus companys

de classe.

3. ● De les variables següents, quines sóndiscretes?

a) Nombre de mascotes.b) Número de calçat.c) Perímetre cranial.d) Ingressos diaris en un fruiteria.e) Quilograms de carn consumits al menjador d’un

IES durant la setmana.

4. ● Quan vam preguntar a 20 persones sobre el nombre de vegades que havien anat a l’estranger, el resultat va ser:

3 5 4 4 2 3 3 3 5 2 6 1 2 3 3 6 5 4 4 3

a) Organitza les dades fent-ne el recompte.b) Fes la taula de freqüències.

GRÀFICS ESTADÍSTICS

5. ● El número que calcen 20 alumnes en una classed’educació física és:

37 40 39 37 3838 38 41 42 3743 40 38 38 3840 37 37 38 38

Representa el diagrama de barres i el polígon de freqüències per a les freqüències absolutes i per a les freqüències absolutes acumulades.

6. ● Aquestes són les alçades (en cm) de 27 joves:

155 178 170 165 173 168 160 166 176169 158 170 179 161 164 156 170 171167 151 163 158 164 174 176 164 154

a) Fes servir intervals d’amplitud 5 per formar la taula de freqüències.

b) Representa les dades en un histograma, fent servir les freqüències absolutes i les freqüències absolutes acumulades.

7. ● ● Dels 30 assistents a un sopar, el 20% vamenjar vedella; el 40 %, xai, i la resta, peix. Indicala variable estadística i organitza els resultats en una taula de freqüències. Després, representales dades en un gràfic de sectors.

8. ● ● ● El nombre de vegades que es va llogar cada mes la pista de tenis d’un poliesportiu el representem en aquest gràfic:

a) Troba les freqüències relatives i acumulades.

b) En quin percentatge de mesos es va llogar la pista més de 80 vegades?

c) Representa el polígon de freqüències absolutesacumulades.

G F M A M J J A S O N D X

100

70

120 126

60 62 66 69

97 100

7890

140Y

100

60

20

13

MATEMÀTIQUES 3r ESO | 13 ESTADÍSTICA © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA 2

MESURES ESTADÍSTIQUES

9. ●Troba les mesures de centralització d’aquestasèrie de dades:

3 2 4 9 8 7 3 2 4 5 1 8 6 1 51 0 2 4 1 2 5 6 5 4 7 1 3 0 58 6 3 4 0 9 2 5 7 4 0 2 1 5 6

10. ● ●Torna a fer l’activitat anterior amb intervalsd’amplitud 2. Obtens els mateixos resultats? Perquè creus que passa, això?

11. ● Determina la mediana d’aquestes dades:

a)

b)

12. ● ●Troba la mitjana, la mediana, la moda, elsquartils i el centil 30 de les dades d’aquesta taula:

a) Si cada valor de la taula el multipliquem per 3,quina serà la mitjana? I la mediana? I la moda?

b) Si a tots els valors de la variable els restem o els dividim entre un mateix nombre, quina serà la nova mitjana?

c) Calcula gràficament els paràmetres de posició.

13. ● ● ● Les dades 10, 17, a, 19, 21, b, 25 tenen demitjana, mediana i moda 19. Quant valen a i b?

14. ● ● ● Considera el conjunt de dades següent:23 17 19 x y 16

Si saps que la mitjana és 20 i la moda és 23, quins són els valors x i y?

15. ● ● ● Aquestes són les dades d’una enquestasobre el nombre de ràdios a les llars catalanes:

a) Quantes ràdios tenen la quarta part de les llars?

b) I el 75%? I el 85%?c) Quin significat té la mediana?

16. ● Resol amb la calculadora aquesta activitat.

Durant un mes, vuit dependents han venut els aparells d’aire condicionat següents.

8 11 5 14 8 11 16 11

Calcula la mitjana, la desviació típica i el coeficient de variació de les dades.

17. ● ● Les edats (en anys) dels 30 primersvisitants al planetari han estat:

Troba’n les mesures estadístiques.

19. ● ● Les notes de l’Albert en 5 exàmens són 4, 6, 6,7 i 5, i les de l’Anna són 43, 62, 60, 50 i 55.

Quin dels dos és més regular en el rendimentacadèmic?

xi 26 28 30 32

fi 6 7 4 3

Nre. de ràdios

Nre. de llars

0

432

1

8.343

2

6.242

3

1.002

4

562

xi

fi

1

5

2

3

3

4

4

2

5

4

6

6

fi

Var. [0, 10)

1

[10, 20)

3

[20, 30)

5

[30, 40)

2

COM COMPAREM LA DISPERSIÓ DE DUESVARIABLES ESTADÍSTIQUES?

18. El pes mitjà d’una mostra de nadons és x = 2,85 kg i la desviació típica és σ = 1 kg.El pes mitjà de les mares és x = 62 kg, amb una desviació típica de σ = 15 kg. En quines de les distribucions és més gran la dispersió?

PRIMER. Calculem els coeficients de variació.

SEGON. Comparem els coeficients.0,35 > 0,24 → La dispersió és més gran en els pesos dels nadons que en els de les mares,encara que pugui semblar el contrari si n’observemles desviacions típiques: 1 < 15.

CVmares = = =1562

0 24 24, %

CVnadons = = =1

2 850 35 35

,, %

FES-HO AIXÍ

20 7 10 13 4 7 8 11 16 14 8 10 16 18 123 6 9 9 4 13 5 10 17 10 18 5 7 10 20

13

MATEMÀTIQUES 3r ESO | 13 ESTADÍSTICA © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA 3

20. ● ●Troba la mitjana, la mediana, la moda i la desviació típica de les dades següents.

21. ● ● Les notes que han tret 40 alumnes en músicahan estat:

6 4 1 7 3 6 6 2 5 2 4 9 5 10 8 2 6 10 5 75 3 7 8 4 6 0 5 8 7 6 9 7 2 5 6 8 7 3 6

Calcula la mitjana i la desviació típica de les dades tenint en compte primer la variablecom a discreta i, després, agrupant les dades en els intervals [0, 5), [5, 7), [7, 9), [9, 10]. Quines diferències hi veus?

22. ● ● Els preus del lloguer mensual del’habitatge es recullen a la taula següent.

a) Quina és la mitjana dels lloguers?

b) Digues quin és el preu més habitual.

c) Troba la mediana. Què significa?

d) Calcula la variància i la desviació típica. Per a què serveixen aquests nombres?

23. ● ● A partir d’aquests gràfics, determina’n la taula de freqüències i troba la mitjana, la mediana,la moda i la desviació típica de les dades.

a)

b)

25. ● ● ● Compara el rendiment de dos alumnes que fan 5 proves i obtenen els resultats següents:

Pes (kg) Nre. d’alumnes

[41, 47) 5

[47, 53) 6

[53, 59) 1

[59, 65) 4

[65, 71) 4

Preu (€) Nre. d’habitatges

240 13

270 33

300 40

330 35

360 30

390 16

420 20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7654321

YY

X

X

10 11 12 13 14 15

10

8

6

4

2

Y

COM INTERPRETEM LA MITJANA I LA DESVIACIÓTÍPICA CONJUNTAMENT?

24. Un equip de bàsquet necessita un aler. S’han seleccionat dos jugadors que, en últims cinc partits, han anotat els puntssegüents. Quin d’ells triaries?

PRIMER. Calculem la mitjana i la desviació típica.

SEGON. Analitzem els resultats anteriors.Com que les mitjanes són iguals, si l’entrenador vol un jugador regular triarà el jugador A(desviació típica baixa significa dades semblants); tot i això, si vol un jugador que pugui actuar de revulsiu, triarà el B, ja que alterna partits molt bons amb altres de pitjors (desviació típica elevada indica dadesmolt diferents).

x BB

B

==

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

147 56σ ,

Jugadorx AA

A

==

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

14σ 1,09

Jugador

FES-HO AIXÍ

Jugador A

Jugador B

16

25

14

10

13

8

13

6

14

21

Joan

Anna

2

0

6

1

5

9

7

8

5

7

Aula de música

13

MATEMÀTIQUES 3r ESO | 13 ESTADÍSTICA © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA 4

30. ● ● ● Els diplomats en informàtica de gestió tenen un salari mitjà, en la seva primera feina, de 1.280 €, amb una desviació típica de 380 €.

D’altra banda, els diplomats en informàtica de sistemes tenen un salari mitjà de 1.160 €, amb una desviació típica de 350 €.

Si a un diplomat en informàtica de gestió li ofereixen un sou de 1.400 €, i a un diplomat eninformàtica de sistemes, un sou de 1.340 €:

a) Quins dels dos rep una oferta millor?b) Raona per què és millor una oferta que

l’altra.

INVESTIGA

31. ● ● ● Un conjunt de dades, compost de nombresenters positius i diferents entre si, té 47 com a mitjana. Si una de les dades és 97 i la suma de totes les dades és 329, quin és el nombre mésgran que pot tenir?

32. ● ● ● Donat el conjunt de dades:

14 12 26 16 x

calcula x perquè la mediana i la mitjana de lesdades siguin iguals.

33. ● ● ● Si en un conjunt de cinc dades la mitjana és 10 i la mediana és 12, quin és el valor més petitque pot prendre el recorregut?

34. ● ● ● Quan escrivim en ordre creixent la mitjana,la mediana i la moda del conjunt de dades 10, 2, 5, 2, 4, 2, x, obtenim una progressióaritmètica. Calcula tots els valors possibles de x.

35. ● ● ● Després d’ordenar un conjunt de set dades,prenem les quatre primeres i la seva mitjana és 5; però si prenem les quatre últimes, la mitjana és 8.

Si la mitjana de tots els nombres és , quina en serà la mediana?

46

7

PROBLEMES D’ESTADÍSTICA

26. ● A la primera avaluació, dels 30 alumnes d’una classe, el 10 % ho va aprovar tot, el 20 % va suspendre una assignatura, el 50 % en vasuspendre dues, i la resta en va suspendre mésde dues.

Fes una taula de freqüències amb les dades. Hi ha algun tipus de freqüència que respongui a la pregunta de quants alumnes van suspendremenys de dues assignatures? Raona la resposta.

27. ● ● Un corredor s’entrena de dilluns a divendresrecorrent les distàncies següents: 2, 5, 5, 7 i 3 km,respectivament. Si el dissabte també s’entrena:

a) Quants quilòmetres ha de recórrer perquè la mitjana sigui la mateixa?

b) I perquè la mediana no variï?c) I perquè la moda romangui constant?

28. ● ● Els resultats d’una prova de càlculmental (CM) i una de psicomotricitat (P) que hem fet als 28 alumnes d’una classe són els següents:

a) En quina prova s’han obtingut millors resultats(mitjana més alta)?

b) En quina va ser més gran la dispersió? (Fes servir el coeficient de variació.)

29. ● ● Dels 50 alumnes que van respondre a una prova de 12 preguntes, el 10 % va contestarcorrectament a 3; el 50 %, a 7; el 30 % a 10, i la resta, al total de la prova. Calcula la mitjana, la mediana i la moda de les dades. Troba’n també la desviació típica.

Puntuació CM P

[10, 20) 2 1

[20, 30) 8 7

[30, 40) 11 9

[40, 50) 4 5

[50, 60) 2 4

[60, 70) 1 2

1.280 € 1.160 €

13

MATEMÀTIQUES 3r ESO | 13 ESTADÍSTICA © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA 5

A la vida quotidiana36. ● ● ● El Departament d’Educació està valorant

el rendiment dels alumnes en matemàtiques. Per fer-ho, ha elaborat un informe en què es mostren els resultats dels alumnes de secundària en matemàtiques durant el curs passat.

Un resum de l’informe es mostra mitjançantaquests gràfics:

Per fer el diagrama de sectors han agrupat les notes més altes, NOTABLE

i EXCEL·LENT, i s’han inclòs els percentatgesd’alumnes que han obtingut cada nota.

L’informe indica que el nombre d’estudiants que han tret SUFICIENT és de 28.413. En vista dels gràfics i els percentatges, calcula el nombre total d’alumnes avaluats i quants han obtingut la qualificació d’EXCEL·LENT.

37. ● ● ● El nombre d’espectadors d’una cadena de televisió determina el cost de la publicitat que s’hi emet. Per això se’n fan públicsregularment els índexs d’audiència.

La cadenes de televisió amb més índexd’audiència han presentat els seus resultats dels quatre primers mesos de l’any. Aquests són els gràfics que apareixen en diferents mitjans de comunicació.

Totes dues cadenes han tingut un grancreixement, però els responsables de TV Miroinsisteixen que el seu creixement ha estat mésgran.

Quants espectadors ha guanyat cada cadena? Quina representació reflecteix millor la situació?

Tal com mostren els gràfics publicats en els diferents mitjans de comunicació,

hem experimentat un creixement superior al de Canal Free.

INS.

35

30

25

20

15

105

%

SUF. BÉ NOT. EXC.

INS.

SUF.

BÉ

NOT. + EXC.

15 %25 %

35 %

25 %

290

250

210Gen. Febr. Març Abr.

TV MIROMilers

400350300250200150100

500 Gen. Febr. Març Abr.

CANAL FREE

Milers