2Bach MACCSS Program Lineal Problemas Resueltos

3. Programación linealMatemáticas aplicadas a las CCSS P ROBL EMAS RESUE LTOS
PROGRAMACIÓN LINEAL Pág. 1 de 52
Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida
1.
A 1 u./Pr. 2 u./Pr. 1.500
Pta./Pr. x Pr.
Ptas./Pr. y Pr.
Nota: En el cuadro anterior
"u" significa "unidades".
"Pr" significa "prendas".
z: Beneficio en ptas.
La función objetivo relaciona estas tres variables: z = f(x,y) = 1 500x + 1 000y
Hay que conseguir que "z" sea lo mayor posible teniendo en cuenta que "x" e "y" están
sometidas a unas restricciones que se expresan como un conjunto de inecuaciones; además, como
representan número de prendas, tienen que ser números Naturales.
Lo resolveremos gráficamente, hallando la región factible (conjunto de puntos cuyas
coordenadas cumplen todas las restricciones) sabiendo que, de existir, la solución (valor de "z"
máximo) se encuentra en uno de los vértices de dicha región:
Conocimientos específicos:
- Planteamiento y resolución de problemas de optimización de Funciones Lineales que dependen de dos variables.
APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo
Matemáticas aplicadas a las CCSS P ROBL EMAS RESUE LTOS
Restricciones: Fronteras región factible: Vértices de la región factible:
I) x + 2y ≤ 180
II) 2x + y ≤ 240
Corte del Eje Y con el X: O(0 , 0)
Corte del eje X con s: A(120 , 0)
Corte de s con r: B(100 , 40)
Corte de r con Eje Y: C(0 , 90)
V) x + y ≤ 1000 Las restricciones I y II hacen innecesaria la V.
Falta insertar la gráfica
Sustituyendo las coordenadas de los vértices en la fórmula de los beneficios obtenemos:
ZO = f(0 , 0) = 1.500 · 0 + 1.000 · 0 = 0
ZA = f(120 , 0) = 1.500 · 120 + 1.000 · 0 = 180.000
→ ZB = f(100 , 40) = 1.500 · 100 + 1.000 · 40 = 190.000 ←Máximo
ZC = f(0 , 90) = 1.500 · 0 + 1.000 · 90 = 90.000
Por lo tanto:
40 de calidad B.
2.
:RESOLUCIÓN::
Sea "x" la producción diaria de lavadoras, es decir, el número de lavadoras que se fabrican cada
día, "y" la producción diaria de lavavajillas y "z" el beneficio que se obtiene con su venta (en ptas).
La función objetivo relaciona estas tres variables:
yxyxfz 000.8000.5),( +==
Hay que conseguir que ""z" sea lo mayor posible teniendo en cuenta que "x" e "y" están
sometidas a una serie de restricciones:
I) “… con una producción diaria máxima total de 180 unidades.” 180≤+⇒ yx
II) “… no es posible fabricar diariamente más de 150 lavadoras…” ≤⇒ x 150
III) “… ni más de 80 lavavajillas…” 80≤⇒ y
IV) “… el número de lavadoras ha de ser como mínimo el doble que el de lavavajillas”
yx 2≥⇒ (esta condición más la II obligan a que y ≤ 75 luego es innecesaria la III).
V) Como x e y representan cantidad de electrodomésticos, tienen que ser números enteros
y, naturalmente, positivos x⇒ 0≥ e 0≥y
Fronteras de la región factible: Vértices de la región factible:
I) x + y = 180 (r)
II) x = 150 (s)
III) y = 80 (t)
IV) x = 2y (u)
V) x = 0 e y = 0 (Eje Y y eje X,
respectivamente)
Corte de s con r: B (150 , 30)
Corte de r con u: C (120 , 60)
Falta insertar la gráfica Sustituyendo las coordenadas de los vértices en la fórmula de los beneficios obtenemos:
ZO = f(0 , 0) = 5.000 · 0 + 8.000 · 0 = 0
ZA = f(150 , 0) = 5.000 · 150 +8.000 · 0 = 750.000
ZB = f(150 , 30) = 5.000 · 150 + 8.000 · 30 = 990.000
→ ZC = f(120 , 60) = 5.000 · 120 + 8.000 · 60 = 1.080.000 ←Máximo
Por lo tanto:
a) Para obtener el máximo beneficio deben fabricarse 120 lavadoras y 60 lavavajillas.
b) Dicho beneficio será de 1.080.000 ptas.
3.
:RESOLUCIÓN::
El beneficio es la diferencia entre los ingresos y los gastos, por lo tanto:
Con cada pollo la ganancia es: 180 ptas.– 100 ptas. = 80 ptas.
Y con cada pato: 320 ptas. – 200 ptas. = 120 ptas.
Sea "x" el número de pollos, "y" el de patos y "z" el beneficio, en pesetas, que se obtiene con
ellos.
yxyxfz 12080),( +==
I) “…la capacidad máxima de la granja es de 2.000 animales…” 000.2≤+⇒ yx
II) “… y que sólo se dispone de 300.000 pesetas…” 000.300200100 ≤+⇒ yx
expresión que simplificamos dividiendo por 100: ⇒ x + 2y ≤ 3.000
III) Como x e y son, respectivamente, la cantidad de pollos y de patos, tienen que ser
números enteros positivos x⇒ 0≥ e 0≥y
coordenadas cumplen todas las restricciones) sabiendo que, de existir, la solución (valor de ""z"
Fronteras de la región factible: Vértices de la región factible:
I) x + y = 2.000 (r)
II) x + 2y = 3.000 (s)
III)) x = 0 e y = 0 (Ejes Y y X,
respectivamente)
Corte del eje X con r: A (2.000 , 0)
Corte de r con s: B (1.000 , 1.000)
Corte de s con eje Y: C (0 , 1.500)
ZO = f(0 , 0) = 80 · 0 +12 · 0 = 0
ZA = f(2.000 , 0) = 80 · 2.000 +120 · 0 = 160.000
→ ZB = f(1.000 , 1.000) = 80 · 1.000 +120 · 1.000 = 200.000 ←Máximo
ZC = f(0 , 1.5000) = 80 · 0 +120 · 1.500 = 180.000
Por lo tanto:
a) Para obtener el máximo beneficio hay que criar 1.000 pollos y 1.000 patos.
b) Dicho beneficio será de 200.000 ptas.
4.
:RESOLUCIÓN::
El beneficio obtenido con cada mueble nos lo da la diferencia entre el precio de venta y el coste
de su producción, por lo tanto:
Con cada armario la ganancia es: 25.000 ptas.– 20.000 ptas. = 5.000 ptas.
Y con cada estantería: 8.000 ptas. – 5.000 ptas. = 3.000 ptas.
Sea "x" el número de armarios, "y" el de estanterías y "z" el beneficio, en pesetas, que se
obtiene con ellos.
yxyxfz 000.3000.5),( +==
I) “…solamente disponemos de 170.000 pesetas…” 000.170000.5000.20 ≤+⇒ yx
expresión que simplificamos dividiendo por 5.000: ⇒ 4x + y ≤ 34
II) “…el número de armarios ha de ser como mínimo el cuádruple del número de
estanterías.” yx 4≥⇒
III) Como x e y son, respectivamente, la cantidad de armarios y de estanterías, tienen que ser
números enteros positivos x⇒ 0≥ e 0≥y
coordenadas cumplen todas las restricciones) sabiendo que, de existir, la solución (valor de z
Fronteras de la región factible Vértices
I) 4x + y = 34 (r)
II) x = 4y (s)
III)) x = 0 e y = 0 (Eje Y y eje X)
Corte de s con los ejes: O (0 , 0)
Corte del eje X con r: B (8’5 , 0)
Corte de r con s: A (8 , 2)
ZO = f(0 , 0) = 5.000 · 0 +3.000 · 0 = 0
ZA = f(8’5 , 0) = 5.000 · 8’50 +3.000 · 0 = 42.500
→ ZB = f(8 , 2) = 5.000 · 8 +3.000 · 2 = 46.000 ←Máximo
Por lo tanto:
a) Para obtener el máximo beneficio hay que hacer 8armarios y 2 estanterías.
5.
≤ 240.000 gr ≤100.000 gr
z = f(x , y) = 30x + 24y
sometidas a unas restricciones que se expresan como inecuaciones; además, como representan
número de envases, tienen que ser números Naturales.
Restricciones: Rectas frontera: Vértices:
x ≥ 0
y ≥ 0
X , r ⇒ A(3.000 , 0)
r , s ⇒ B(1.800 , 1.600)
s ,Y ⇒ C(0 , 2.500)
ZO = f(0 , 0) = 30 · 0 + 24 · 0 = 0
ZA = f(3.000 , 0) = 30 · 3.000 + 24 · 0 = 90.000
→ ZB = f(1.800 , 1.600) = 30 · 1.800 + 24 · 1.600 = 92.400 ←Máximo
ZC = f(0 , 2.500) = 30 · 0 + 24 · 2.500 = 60.000
Por lo tanto:
a) Para obtener el máximo beneficio deben fabricarse 1.800 latas de la variedad A y
1.600 de la variedad B.
6.
DATOS Vitam. A Vitam. B Beneficio
Comp. I 2 unidades 2 unidades 400 ptas
Comp. II 1 unidad 3 unidades 300 ptas
≤ 1.000 unid. ≤1.800 unid.
z = f(x , y) = 400x + 300y
número de complejos vitamínicos, tienen que ser números Naturales.
Restricciones: Rectas frontera: Vértices de la región factible:
2x + y ≤ 1.000
2x + 3y ≤ 1.800
Corte del eje X con r ⇒ A(500 , 0)
Corte de r con s ⇒ B(800 , 400)
Corte de s con eje Y ⇒ C(0 , 600)
ZO = f(0 , 0) = 400 · 0 + 300 · 0 = 0
ZA = f(500 , 0) = 400 · 500 + 300 · 0 = 200.000
→ ZB = f(800 , 400) = 400 · 800 + 300 · 400 = 440.000 ←Máximo
ZC = f(0 , 600) = 400 · 0 + 300 · 600 = 180.000
Por lo tanto:
a) Para obtener el máximo beneficio deben fabricarse 800 complejos vitamínicos del
tipo I y 400 del tipo II.
7.
:RESOLUCIÓN::
Sea "x" la cantidad en pesetas que invierte en fondos de inversión del tipo A, "y" las que invierte
en las del tipo B y "z" el beneficio, en pesetas, que obtiene con ellas.
z = f(x , y) = yx 100
8
100
12 +
I) “… dispone de 3.000.000 de pesetas…” ⇒ x + y ≤ 3.000.000
II) “… tipo A … 1.200.000 pesetas de inversión máxima.” ⇒ x ≤1.200.000
III) “… tipo B como máximo el doble … tipo A” ⇒ y ≤ 2x
IV) Las cantidades invertidas no pueden ser negativas x⇒ 0≥ e 0≥y
Fronteras de la región factible Vértices
I) x + y = 3.000.000 (r)
II) x = 1.200.000 (s)
III)) y = 2x (t)
IV) x = 0 e y = 0 (Ejes Y y X)
Corte de t y ejes: O (0 , 0)
Corte del eje X con s: A (1’2·10 6 , 0)
Corte de s con r: B (1’2·10 6 , 1’8·10
6 )
Corte de r con t: C (10 6 , 2·10
6 )
ZO = f(0 , 0) = 0’12 · 0 + 0’08 · 0 = 0
ZA = f(1’2·10 6 , 0) = 0’12 · 1’2·10
6 + 0’08 · 0 = 144.000
→ ZB = f(1’2·10 6 , 1’8·10
6 ) = 0’12 · 1’2·10
6 + 0’08 · 1’8·10
6 = 288.000 ←Máximo
6 ) = 0’12 · 10
6 = 280.000
Por lo tanto:
a) Para obtener el máximo beneficio tiene que invertir 1’2 millones de pesetas en fondos tipo A y 1’8 millones de pesetas en fondos tipo B.
b) Dicho beneficio es de 288.000 ptas.
8.
:RESOLUCIÓN::
Sea "x" la cantidad de pollos de la raza A, "y" la de raza B y "z" el beneficio, en pesetas, que
obtiene con ellos.
z = f(x , y) =100x + 140y
I) “Dispone de 900.000 pesetas…” ⇒100x +200 y ≤ 900.000⇔ x + 2y ≤9.000
II) “… capacidad limitada para 7.000 pollos ⇒ x + y ≤7.000
III) “… el nº de pollos de la raza B no puede ser superior a los de la raza A” ⇒ y ≤ x
IV) Las cantidades de pollos tienen que ser números naturales x⇒ 0≥ e 0≥y
9.
Lote A 1 kg/lote 2 kg/lote 1 kg/lote 120 pts/lote
Lote B 2 kg/lote 1 kg/lote 1 kg/lote 140 pts/lote
800 kg 800 kg 500 kg
Variables:
z = f(x , y) = 120x + 140y
número de lotes, tienen que ser números Naturales.
Naranjas: x + 2y ≤ 800
Manzanas: 2x + y ≤ 800
Plátanos: x + y ≤ 500
ZO = f(0 , 0) = 120 · 0 + 140 · 0 = 0
ZA = f(400 , 0) = 120 · 400 + 140 · 0 = 48.000
ZB = f(300 , 200) = 120 · 300 + 140 · 200 = 64.000
→ ZC = f(200 , 300) = 120 · 200 + 140 · 300 = 66.000 ←Máximo
ZD = f(0 , 400) = 120 · 0 + 140 · 400 = 56.000
Por lo tanto:
deben formarse 200 lotes A y 300 de la B.
b) Dichos beneficios son de 66.000 ptas.
10.
Mesa A 2 m 2 /mesa 1 h/mesa 8.000 pts/mesa
Mesa B 1 m 2 /mesa 3 h/mesa 5.000 pts/mesa
600 m 2
z = f(x , y) = 8.000x + 5.000y
número de mesas, tienen que ser números Naturales.
Madera: 2x + y ≤ 600
Trabajo: x + 3y ≤ 900
ZO = f(0 , 0) = 8.000 · 0 + 5.000 · 0 = 0
ZA = f(300 , 0) = 8.000 · 300 + 5.000 · 0 = 2.400.000
→ ZB = f(180 , 240) = 8.000 · 180 + 5.000 · 240 = 2.640.000←Máximo
ZC = f(0 , 300) = 8.000 · 0 + 5.000 · 300 = 1.500.000
Por lo tanto:
a) Para obtener los máximos beneficios deben fabricarse 180 mesas del modelo A y 240 del B.
b) El valor de dichos beneficios es 2.640.000 ptas.
Rectas frontera: Vértices de la región factible:
2x + 5y = 8.000 (r)
Corte del eje Y con el X: O (0 , 0)
Corte del eje X con s: A (2.000 , 0)
Corte de s con r: B (2.000 , 800)
Corte de r con t: C (1.500 , 1.000)
Corte de t con eje Y: D (0 , 1.000)
Zo = f(0 , 0) = 100 · 0 + 300 · 0 = 0
ZA = f(2.000 , 0) = 100 · 2.000 + 300 · 0 = 200.000
ZB = f(2.000 , 800) = 100 · 2.000 + 300 · 800 = 440.000
→ ZC = f(1.500 , 1.000) = 100 · 1.500 + 300 · 1.000 = 450.000 ←Máximo
ZD = f(0 , 1.000) = 100 · 0 + 300 · 1.000 = 300.000
Por lo tanto:
a) Para obtener el máximo beneficio deben envasarse diariamente 1.500 latas pequeñas y 1.000 de tamaño familiar.
12.
Línea I 3 anim./h 4 anim./h 1 anim./h 10.000 pts/h
Línea II 6 anim./h 2 anim./h 1 anim./h 15.000 pts/h
30 anim./día 20 anim./día 8 anim./día
Variables:
z: Coste diario en ptas.
z = f(x , y) = 10.000x + 15.000y
Hay que conseguir que "z" sea lo menor posible teniendo en cuenta que "x" e "y" están
sometidas a unas restricciones que se expresan como inecuaciones.
mínimo) se encuentra en uno de los vértices de dicha región:
Cerdos: 3x + 6y ≥ 30 ⇔ x + 2y ≥10
Corderos: 4x +2y ≥ 20 ⇔ 2x + y ≥ 10
Terneros: x + y ≥ 8
Sustituyendo las coordenadas de los vértices en la fórmula del coste diario obtenemos:
ZA = f(0 , 10) = 10.000·0 + 15.000·10 = 150.000
ZB = f(2 , 6) = 10.000·2 + 15.000·6 = 110.000
→ ZC= f(6 , 2) = 10.000·6 + 15.000·2 = 90.000 ← Mínimo
ZD = f(10 , 0) = 10.000·10 + 15.000·0 = 100.000
Por lo tanto:
a) El coste mínimo diario se consigue si funciona 6 h la línea I y 2 h la línea II.
b) Dicho coste es de de 90.000 ptas.
OBSERVACIÓN:
Nótese que la región factible es, en este caso, abierta y que los valores de “z” aumentan hacia la derecha y hacia arriba, esto significa que NO EXISTE UN VALOR MÁXIMO DE “Z” (no hay coste máximo) aunque sí lo hay mínimo. Esto se puede ver dibujando las rectas de nivel, de ecuación:
10.000x + 15.000y = k (con k ℜ∈ )
para ello dibujamos primero la recta
10.000x + 15.000y = 0
y luego las paralelas a ésta que pasan por los vértices de la región factible.
13.
:RESOLUCIÓN::
Sea "x" el número de autobuses, "y" el microbuses y "z" el coste total (en €uros) por utilizar su
servicio.
z = f(x , y) = 252x + 180y
Hay que conseguir que ""z" sea lo menor posible teniendo en cuenta que "x" e "y" están
sometidas a una serie de condiciones:
I) Para que todos los pasajeros tengan plaza: 50x + 30y ≥ 1.200 ⇔ 5x + 3y ≥ 120
II) Como sólo hay 28 conductores: x + y ≤ 28
III) Como x e y representan cantidades de vehículos, tienen que ser números enteros y,
naturalmente, positivos x⇒ 0≥ e 0≥y
5x + 3y = 120 (r)
x + y = 28 (s)
x = 0 (eje Y)
y = 0 (eje X)
Corte de r con s: C (18 , 10)
Sustituyendo las coordenadas de los vértices en la fórmula de los costes obtenemos:
ZA = f(24 , 0) = 252·24 + 180·0 = 6.048
ZB = f(28 , 0) = 252·28 + 180·0 = 7.056
ZC = f(18 , 10) = 252·18 + 180·10 = 6.336
Por lo tanto:
a) Para conseguir el mínimo coste deben contratarse 24 autobuses y ningún microbús.
b) Dicho coste será de 6.048 €.
14.
Lote B 1 kg/lote 1 kg/lote 3 €/lote
100 kg
160 kg
z: Beneficio en €uros.
z = f(x , y) = 4’20x + 3y
Hamb.: 2
Lotes B: y ≥ 0
x + 2y = 200 (r)
2x + y = 160 (s)
ZO = f(0 , 0) = 4’20·0 + 3·0 = 0
ZA = f(50 , 0) = 4’20·50 + 3·0 = 210
ZB = f(50 , 60) = 4’20·50 + 3·60 = 390
→ ZC = f(40 , 80) = 4’20·40 + 3·80 = 408 ← Máximo
ZD = f(0 , 100) = 4’20·0 + 3·100 = 300
Por lo tanto:
a) Para obtener los máximos beneficios deben hacerse 40 lotes A y 80 lotes B.
b) El valor de dichos beneficios es 408 €.
15.
:RESOLUCIÓN::
Sea "x" el número de parcelas de 300 m 2 , "y" el de 500 m
2 y "z" los beneficios (en €uros) que
obtiene con ellas la constructora.
z = f(x , y) = 20.000x + 30.000y
sometidas a una serie de condiciones:
I) La constructora dispone de 90.000 m 2 ⇒ 300x + 500y ≤ 90.000 ⇔ 3x + 5y ≤ 900
II) El número máximo de parcelas de 300 m 2 es 150 ⇒ x ≤ 150
III) El número máximo de parcelas de 500 m 2 es 120 ⇒ y ≤ 120
IV) Como x e y representan números de parcelas construidas de cada clase, tienen que ser
números enteros y, naturalmente, positivos x⇒ 0≥ e 0≥y
3x + 5y = 900 (r)
Corte X con s: A (150 , 0)
Corte de r con t: C (100 , 120)
Corte de t con Y: D (0 , 120)
ZO = f(0 , 0) = 20.000·0 + 30.000·0 = 0
ZA = f(150 , 0) = 20.000·150 + 30.000·0 = 3.000.000
→ ZB = f(150 , 90) = 20.000·150 + 30.000·90 = 5.700.000 ←Máximo
ZC = f(100 , 120) = 20.000·100 + 30.000·120 = 5.600.000
ZD = f(0 , 120) = 20.000·0 + 30.000·120 = 3.600.000
Por lo tanto:
a) Para conseguir los máximos beneficios deben
construirse 150 parcelas de 300 m 2 y 90 de 500 m
2 .
16.
480 min.
30 m
z = f(x , y) = 2x + 2’40y
números de prendas, tienen que ser números Naturales.
Tiempo: 30x + 20y ≤ 480
⇔ 3x + 4y ≤ 60
Blusas: x ≥ 0
Faldas: y ≥ 0
x = 0 (eje Y)
y = 0 (eje X)
ZO = f(0 , 0) = 2·0 + 2’40·0 = 0
ZA = f(16 , 0) = 2·16 + 2’40·0 = 32
ZB = f(12 , 6) = 2·12 + 2’40·6 = 38’4
ZC = f(0 , 15) = 2·0 + 2’40·15 = 36
Por lo tanto:
a) Para obtener los máximos beneficios cada obrera debe hacer 12 blusas y 6 faldas.
b) El valor de dichos beneficios es 38’4 €.
17.
200 u.
300 u.
y: Número de lotes B.
z: Ganancia en €uros.
z = f(x , y) = 12x + 9y
Balones: x + 2y ≤ 200
Lotes B: y ≥ 0
x + 2y = 200 (r)
3x + 2y = 300 (s)
ZO = f(0 , 0) = 12·0 + 9·0 = 0
ZA = f(80 , 0) = 12·80 + 9·0 = 960
ZB = f(80 , 30y) = 12·80 + 9·30 = 1.230
→ ZC = f(50 , 75) = 12·50 + 9·75 = 1.275 ← Máximo
ZD = f(0 , 100) = 12·0 + 9·100 = 900
Por lo tanto:
a) Para obtener las máximas ganancias deben hacerse 50 lotes A y 75 lotes B.
b) El valor de dichas ganancias es 1.275 €.
18.
:RESOLUCIÓN::
Sea "x" el número de ciervos que se cazan, "y" el de corzos y "z" los beneficios (en €uros) que
proporcionan al dueño del coto.
z = f(x , y) = 430x + 350y
condicionados por las normas de la Agencia de Medio Ambiente:
1ª) x+ y ≤ 400
2ª) El hecho de que se permita la captura de más ciervos que corzos, no obliga a ello
luego la 2ª norma no supone ninguna restricción.
3ª) x ≤ 240
Como x e y representan números de animales, tienen que ser números enteros y,
naturalmente, positivos x⇒ 0≥ e 0≥y
x + y = 400 (r)
Corte eje X con s: A (240 , 0)
Corte de r con ejeY: C (0 , 400)
ZO = f(0 , 0) = 430·0 + 350·0 = 0
ZA = f(240 , 0) = 430·240 + 350·0 = 103.200
→ ZB = f(240 , 160) = 430·240 + 350·160 = 159.200 ←Máximo
ZC = f(0 , 400) = 430·0 + 350·400 = 140.000
Por lo tanto:
cazarse 240 ciervos y 160 corzos
b) Dicho beneficios serán de 159.200 €.
19.
2.400 m
360 h
z: Beneficios (en €)
z = f(x , y) = 450x + 550y
números de viviendas tienen que ser números Naturales.
Cable: 60x + 40y ≤ 2.400
x = 0 (eje Y)
y = 0 (eje X)
ZO = f(0 , 0) = 450·0 + 550·0 = 0
ZA = f(40 , 0) = 450·40 + 550·0 = 18.000
ZB = f(20 , 30) = 450·20 + 550·30 = 25.500 ← Máximo
ZC = f(0 , 45) = 450·0 + 550·45 = 24.750
Por lo tanto:
realizarse las instalaciones de 20 viviendas A y 30 B.
b) El valor de dichos beneficios es 25.500 €.
20.
:RESOLUCIÓN::
Sea "x" el número de toneladas capturadas de atunes, "y" el de anchoas y "z" los beneficios (en
€uros) que proporcionan a la empresa pesquera.
z = f(x , y) = 3.000x + 5.000y
condicionados por las limitaciones que impone la Unión Europea:
I) “… máximo 50 toneladas de atún” ⇒ x ≤ 50
II) “y 40 de anchoas” ⇒ y ≤ 40
III) “el total de la pesca no puede exceder de 70 toneladas”⇒ x + y ≤ 70
Además x e y deben ser números positivos ⇒ x ≥ 0 e y ≥ 0
Planteamiento y resolución de problemas de optimización de Funciones Lineales que dependen de dos variables.
x = 50 (r)
y = 40 (s)
Corte de eje X con r: A (50 , 0)
Corte de r con t: B (50 , 20)
Corte de t con s: C (30 , 40)
Corte de s con eje Y: D (0 , 40)
ZO = f(0 , 0) = 3.000·0 + 5.000·0 = 0
ZA = f(50 , 0) = 3.000·50 + 5.000·0 = 150.000
ZB = f(50 , 20) = 3.000·50 + 5.000·20 = 250.000
→ ZC = f(30 , 40) = 3.000·30 + 5.000·40 = 290.000 ←Máximo
ZD = f(0 , 40) = 3.000·0 + 5.000·40 = 200.000
Por lo tanto:
capturarse 30 toneladas de atunes y 40 de anchoas.
b) Dicho beneficios serán de 290.000 €.
NOTA:
Al analizar el enunciado con atención vemos que la respuesta era evidente: como se obtiene más beneficio por las anchoas que por los atunes, interesa que la captura de anchoas sea lo mayor posible, es decir, 40 toneladas, por lo que la de atunes ha de ser 30 toneladas para completar el máximo total (70 toneladas).
Una empresa de equipos informáticos produce dos tipos de microprocesadores: A y B. El trabajo necesario
para su producción se desarrolla en dos fases, la de fabricación y la de montaje. Cada microprocesador A
requiere 3 minutos de fabricación y 2 minutos de montaje y cada microprocesador B requiere 2 minutos de
fabricación y 4 minutos de montaje. Si sólo se dispone diariamente de 4 horas para la fabricación y 4 h para el
montaje, siendo el beneficio obtenido de 160 euros por cada microprocesador A y de 190 euros por cada
microprocesador B, se pide justificando la respuesta:
(a) ¿Cuántos microprocesadores hay que producir de cada tipo para obtener unos beneficios máximos?
(b) ¿Cuál será el valor de dichos beneficios máximos?
21.
240 min.
240 min.
z: Beneficios (en €)
z = f(x , y) = 160x + 190y
números de microprocesadores tienen que ser números Naturales.
Fabricación: 3x + 2y ≤ 240
Montaje: 2x +4y ≤ 240
ZO = f(0 , 0) = 160·0 + 190·0 = 0
ZA = f(80 , 0) = 160·80 + 190·0 = 12.800
→ ZB = f(60 , 30) = 160·60 + 190·30 = 15.300 ← Máximo
ZC = f(0 , 60) = 160·0 + 190·60 = 11.400
Por lo tanto:
a) Para obtener los máximos beneficios la empresa debe producir diariamente 60 microprocesadores A y 30 microprocesadores B.
b) El valor de dichos beneficios será 15.300 €. diarios
Una empresa de conservas vegetales con dos factorías A y B recibe el encargo de abastecer a una cadena de
supermercados que necesitan cada día 1.500 latas de espárragos, 1.800 latas de tomates y 2.500 latas de judías
verdes. La factoría A produce cada hora 100 latas de espárragos, 200 latas de tomates y 100 latas de judías
verdes con un coste de 140 euros por hora y la factoría B produce cada hora 100 latas de espárragos, 100 latas
de tomates y 300 latas de judías verdes con un coste de 120 euros por hora. Se pide, justificando la respuesta:
(a) ¿Cuánta horas ha de dedicar diariamente cada factoría para abastecer a la cadena de supermercados
de forma que el coste total sea mínimo?
(b) Determinar el valor de dicho coste mínimo
22.
Factoría A 100 latas/h 200 latas/h 100 latas/h 140 €/h
Factoría B 100 latas/h 100 latas/h 300 latas/h 120 €/h
1.500 lat./día 1.800 lat./día 2.500 lat./día
Variables:
z: Coste diario en €uros.
z = f(x , y) = 140x + 120y
Espárr: 100x + 100y ≥ 1.500⇔ x + y ≥15
Tomat: 200x +100y ≥ 1.800 ⇔ 2x + y ≥ 18
Judías: 100x +300 y ≥ 2.500⇔ x + 3y ≥ 25
Factoría A: x ≥ 0
Factoría B: y ≥ 0
x + y = 15 (r)
2x + y = 18 (s)
x + 3y = 25 (t)
x = 0 (eje Y)
y = 0 (eje X)
ZA = f(0 , 18) = 140·0 + 120·18 = 2.160
→ ZB = f(3 , 12) = 140·3 + 120·12 = 1.860 ← Mínimo
ZC= f(10 , 5) = 140·10 + 120·5 = 2.000
ZD = f(25 , 0) = 140·25 + 120·0 = 3.500
Por lo tanto:
a) El coste mínimo diario se consigue si
funciona 3 h la factoría A y 12 h la B.
b) Dicho coste es de 1.860 €.
OBSERVACIÓN:
140x + 120y = k (con k ℜ∈ )
140x + 120y = 0
Una empresa fabricante de automóviles produce dos modelos A y B en dos fábricas situadas en Cáceres y en
Badajoz. La fábrica de Cáceres produce diariamente 6 modelos del tipo A y 4 del tipo B con un coste de
32.000 euros diarios y la fábrica de Badajoz produce diariamente 4 modelos del tipo A y 4 del tipo B con un
coste de 24.000 euros diarios. Sabiendo que la fábrica de Cáceres no puede funcionar más de 50 días y que
para abastecer al mercado del automóvil se han de poner a la venta al menos 360 modelos del tipo A y 300
modelos del tipo B determinar, justificando la respuesta:
(a) El número de días que debe funcionar cada fábrica con objeto de que el coste total sea mínimo.
(b) El valor de dicho coste mínimo.
23.
Cáceres 6 coches/día 4 coches/día 32.000 €/día
Badajoz 4 coches/día 4 coches/día 24.000 €/día
360 coches 300 coches
y: Nº de horas factoría B
z: Coste diario en €uros.
z = f(x , y) = 32.000x + 24.000y
Mod. A: 6x + 4y ≥ 360 ⇔ 3x + 2y ≥180
Mod. B: 4x +4y ≥ 300 ⇔ x + y ≥ 75
En la fábrica de Cáceres: 0 ≤ x ≤ 50
En la fábrica de Badajoz: y ≥ 0
3x + 2y = 180 (r)
x + y = 75 (s)
ZA = f(0 , 90) = 32.000·0 + 24.000·90 =2.160.000
→ ZB = f(30 , 45) = 32.000·30 + 24.000·45 = 2.040.000 ← Mínimo
ZC= f(50 , 25) = 32.000·50 + 24.000·25 = 2.200.000
Por lo tanto:
a) El coste mínimo diario se consigue si la fábrica
de Cáceres funciona 30 días y la de Badajoz 45.
b) Dicho coste es de 2.040.000 €.
OBSERVACIÓN:
32.000x + 24.000y = k (con k ℜ∈ )
32.000x + 24.000y = 0
24.
Taller A 4 unid./día 12 unid./día 2 unid./día 360 €/día
Taller B 2 unid./día 2 unid./día 6 unid./día 400 €/día
80 unid./día 120 unid./día 90 unid./día
Variables:
z: Coste en €
z = f(x , y) = 360x + 400y
Bolsos: 4x + 2y ≥ 80⇔ 2x + y ≥40
Zapatos: 12x +2y ≥ 120 ⇔ 6x + y ≥ 60
Cazadoras: 2x +6 y ≥ 90⇔ x + 3y ≥ 45
Taller A: x ≥ 0
Taller B: y ≥ 0
2x + y = 40 (r)
6x + y = 60 (s)
x + 3y = 45 (t)
x = 0 (eje Y)
y = 0 (eje X)
Corte de Y con s ⇒ A (0 , 60)
Corte de s con r ⇒ B (5 , 30)
Corte de r con t ⇒ C (15 , 10)
Corte de t con X ⇒ D (30 , 0)
Falta insertar la gráfica Sustituyendo las coordenadas de los vértices en la fórmula del coste obtenemos:
ZA = f(0 , 60) = 360·0 + 400·60 = 24.000
ZB = f(5 , 30) = 360·5 + 400·30 = 13.800
→ ZC= f(15 , 10) = 360·15 + 400·10 = 9.400 ← Mínimo
ZD = f(30 , 0) = 360·30 + 400·0 = 10.800
Por lo tanto:
)(a El coste mínimo se consigue si trabaja 15 días el taller A y10 el B.
)(b Dicho coste es de 9.400 €.
OBSERVACIÓN:
360x + 400y = k (con k ℜ∈ )
360x + 400y = 0
25.
Cerdo 6 kg/lote 4 kg/lote 180 kg
Ternera 2 kg/lote 3 kg/lote 120 kg
Coste 25 €/lote 35 €/lote
Variables:
La función objetivo relaciona las tres variables:
z = f(x , y) = 25x + 35y
Cerdo: 6x + 4y ≥ 180 ⇔ 3x + 2y ≥90
Ternera: 2x +3y ≥ 120
Lotes A: x≥0
Lotes B: y ≥ 0
3x + 2y = 90 (r)
2x + 3y = 120 (s)
x = 0 (eje Y)
y = 0 (eje X)
ZA = f(0 , 45) = 25 · 0 + 35 · 45 = 1575
→ ZB = f(6 , 36) = 25 · 6 + 35 · 36 = 1410 ← Mínimo
ZC= f(60 , 0) = 25 · 60 + 35 · 0 = 1500
Por lo tanto:
si la hamburguesería adquiere
)(b Dicho coste es de 1410 €.
OBSERVACIÓN:
25x + 35y = k (con k ℜ∈ )
25x + 35y = 0
26.
2 /u. 9.000 m
z = f(x , y) = 160x + 120y
números de prendas, tienen que ser números Naturales.
Tiempo: 15x + 20y ≤ 60.000
Piel: 3x +2y ≤ 9.000
Nº abrigos: x ≥ 0
Nº cazadoras: y ≥ 0
3x + 2y = 9.000 (s)
x = 0 (eje Y)
y = 0 (eje X)
Corte de X con Y ⇒ O (0 , 0)
Corte de Y con r ⇒ A (0 , 3.000)
Corte de r con s ⇒ B (2.000 , 1.500)
Corte de s con X ⇒ C (3.000 , 0)
Falta insertar la gráfica Sustituyendo las coordenadas de los vértices en la fórmula de los beneficios obtenemos:
ZO = f(0 , 0) = 160·0 + 120·0 = 0
ZA = f(0 , 3.000) = 160·0 + 120·3000 = 360.000
→ ZB = f(2.000 , 1.500) = 160·2.000 + 120·1.500 = 500.000 ← Máximo
ZC = f(3.000 , 0) = 160·3.000 + 120·0 = 480.000
Por lo tanto:
a) Para obtener los máximos beneficios deben fabricarse 2.000 abrigos y 1.500 cazadoras.
b) El valor de los beneficios sería de 500.000 €.

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