5.1 Bernulijeva jednačina 67

5. DINAMIKA FLUIDA Pretpostavićemo da je fluid nestišljiv, odn. da je gustina fluida nezavisna od vrednosti pritiska u fluidu, i da je brzina fluida u datoj tački prostora ista za sve čestice fluida koje kroz nju prolaze. Geometrijsko mesto tačaka kroz koje čestica sukcesivno prolazi naziva se strujna linija. Brzina čestice u datoj tački strujne linije uvek je po pravcu tangente u toj tački na strujnu liniju (vidi sliku 5.1).

Strujanje fluida koje zadovoljava gore navedene uslove naziva se stacionarnim tokom fluida. Deo fluida ograničen dvema strujnim linijama naziva se strujna cev. Uočimo jednu strujnu cev, sl.4.2, i u njoj dva poprečna preseka površina i . Sa

S1 S 2

v1r i v2

r obeležimo prosečne brzine čestica fluida na ovim površinama. Ako između uočenih preseka nema izvora ni ponora fluida masa fluida koja protekne kroz poprečni presek površine mora biti jednaka masi fluida koja protekne kroz poprečni presek površine :

S1

2S

ρΔρΔ tStS vv 2211 = , (5.1)

gde su ρΔ ,t vreme proticanja date mase kroz poprečene preseke i gustina fluida, respektivno. Iz (5.1) sledi:

vv 2211 SS = , (5.2)

(5.2) naziva se jednačinom kontinuiteta.

5.1 Bernulijeva jednačina Posmatramo stacionarno strujanje tečnosti, bez unutrašnjeg trenja, u gravitacionom polju Zemlje.

Za vreme tΔ masa fluida koja protekne kroz preseke površina i , na kojima su apsolutni statički pritisci i , iznosi:

S1 S 2

p1 p2

ρΔρΔΔ tStSm vv 2211 == . (5.3)

Promena kinetičke energije uočenog dela fluida mase mΔ pri prolasku kroz dva uočena preseka jednaka je radu svih sila:

( ) ( ) tSpSphhmg

tSptSpEAAE

p

pgk

Δ−+−Δ=

Δ−Δ+Δ−=

+=Δ

vv vv

12211121

22211112

121212

(5.4) Kako je:

( vv21 2

12212 −Δ=Δ mEk ), (5.5)

to iz (5.3)-(5.5) sledi:

Slika 5.1 Prikaz jedne strujne cevi i strujne linije unutar nje.

constconstconst CBA === v,v,v rrr .

vvv rrrCBA ≠≠

Slika 5.2 Uz jednačinu kontinuiteta

v2r

v1r

CS1

S 2

vr A vr B

vrCC

A B

Slika 5.3 Uz Bernulijevu jednačinu

v2r

v1r

p1S1

CS 2p2

h1 h2

referentni nivo

68 5 DINAMIKA FLUIDA

112122

22 v

21

v21 ghpghp ρρρρ ++=++ . (5.6)

Kako su preseci proizvoljno uzeti zaključujemo da zbir tri navedena člana mora imati konstantnu vrednost duž cele strujne cevi:

constghp =++ ρρ v21 2 . (5.7)

Izraz u (5.7) naziva se Bernulijeva jednačina. Prvi član u (5.7) predstavlja hidrodinamički pritisak (posledica kretanja fluida), a drugi apsolutni statički pritisak na uočenom poprečnom preseku fluida. Treći član je posledica dejstva gravitacionog polja Zemlje. 5.2 Primena Bernulijeve jednačine

5.2.1 Toričelijeva teorema

Primenom Bernulijeve jednačine na primeru isticanja tečnosti iz širokog otvorenog suda kroz otvor koji se nalazi na rastojanju h od slobodne površine tečnosti u sudu (vidi 5.4)dobijamo:

102120

22 v

21

v21 ghpghp ρρρρ ++=++ , (5.8) S1 p0

v1odakle sledi izraz:

h( ) ghhhg 2v2vv 2

11221

22 +=−+= . (5.9)

Iz jednačinene kontinuiteta imamo:

0vv 21

21 ≈=

SS , (5.10)

iz razloga što je . Iz (5.9) i (5.10) sledi: SS 21 >>

gh2v2 = . (5.11)

Dakle, brzina isticanja tečnosti iz širokog suda jednaka je brzini koju telo dobija pri slobodnom padu koje pada sa visine koja je jednaka rastojanju mesta na kome tečnost ističe od nivoa tečnosti u širokom sudu (koga možemo smatrati konstantnim).

5.2.1 Pitova cev

Pitova cev (vidi slika 5.5) se koristi za merenje brzine protoka fluida. Primenom Bernulijene jednačine na mestu otvora cevi i daleko izvan nje na istoj visini u odnosu na referentni nivo dobijamo

ghpghp ρρρρ ++=++ 1212

22 v

21

v21 . (5.12)

Na otvoru cevi fluid miruje, odn. . Statički apsolutni pritisci u datim tačkama prostora iznose

0v1 =

hgpphgpp 202101 , ρρ +=+= . (5.13)

Iz (5.12) i (5.13), kao i činjenice da je 0v1 = dobijamo da je brzina protoka fluida na datom nivou gh2v2 = , gde je . hhH 21−=

S 2 v2

p0

h1

h2

Slika 5.4 Uz Toričelijevu teoremu

p1

Hp0

p2 v2

h

h1 h2v1

Slika 5.5 Pitova cev

5.2 Primena Bernulijeve jednačine 69

5.2.3 Venturijeva cev

Izgled Venturijeve cevi prikazan je na slici 5.6. Sastoji se od jednog suženja koje je umetnuto u cev i koje je izvedeno tako da se izbegavaju turbulencije na ulazu i izlazu iz suženja. p0 h1 h2

v1 p2 Primenom Bernulijeve jednačine na presecima ispod umetnutih vertikalnih cevi dobijamo:

ghpghp ρρρρ ++=++ 1212

22 v

21

v21 , (5.14)

gde su: hgpphgpp 202101 , ρρ +=+= . (5.15)

Iz jednačine kontinuiteta imamo da je:

vv 12

12

SS= . (5.16)

Iz (5.14)-(5.16) dobijamo brzinu protoka fluida

( ) 12

v21

21−

=SS

gH , 21 hhH −= . (5.17)

5.3 Trenje u tečnostima-viskoznost Njutn je predložio teoriju po kojoj se trenje u tečnostima tretira analogno trenju čvrstih tela u mehanici. Na primeru kretanja tečnosti, koja se nalazi između dve ploče (A, koja se kreće brzinom , i nepokretne B), koje se nalaze na međusobnom rastojanju d, objasnićemo sile trenja u tečnostima. Pretpostavićemo da se tečnost kreće laminarno (u slojevima) između kojih nema prelaza čestica tečnosti. Sloj uz ploču A kreće se brzinom istog intenziteta kao i ta ploča, a slojevi ispod brzinama sve manjeg

vr

intenziteta, tako da je sloj uz ploču B nepokretan. Kako među slojevima tečnosti postoji relativno kretanje (kreću se različitim brzinama) javlja se sila viskoznog trenja među njima. Merenja su pokazala da je sila trenja srazmerna dodirnoj površini između slojeva i gradijentu brzine:

dxdSF tr vη−= , (5.18)

h

v2p1

Slika 5.6 Ventirijeva cev

d

0

x

A

B

vr

Slika 5.7 Laminarno kretanje fluida

70 5 DINAMIKA FLUIDA

gde je η koeficijent viskoznosti. Jedinica u SI je mskgsPa = . Znak minus u izrazu za intenzitet sile trenja (viskozne sile) je iz razloga što brzina opada kako se udaljavamo od pokretne ploče, a intenzitet neke fizičke veličine mora biti pozitivan. Za dati slučaj kretanja gradijent brzine je ddxd vv −= , tako da zamenom u (5.18) dobijamo:

dSF tr vη= . (5.19)

Kao što vidimo intezitet sile viskoznog trenja je isti između ma koja dva susedna sloja fluida. Raspodela brzine slojeva fluida je linearna:

( ) xd

x ⋅−=vvv . (5.20)

Kako se brzina po poprečnom preseku fluida menja najpre ćemo definisati infinitezimalni protok dQ sloja fluida koji se nalazi na rastojanju x od gornje ploče (vidi sliku 5.7a), debljine dx i poprečnog preseka . Brzina uočenog sloja fluida je v(x).

dxadS ⋅=

( ) ( )dxxadSxdQ vv =⋅= (5.21)

Na osnovu (5.20) i (5.21) i vršrći inegraciju po x od nula do d dobijamo izraz za protok:

dadxxd

aQd

v21vv

0=⋅∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−= . (5.22)

Srednja brzina protoka fluida treba da obezbedi ukupan protok kao i prostorno promenljiva brzina:

v21vvv

21

srsr =⇒== addaQ . (5.23)

5.3.1 Proticanje tečnosti kroz horizontalnu cev kružnog poprečnog preseka. Poasejev zakon

Posmatramo sloj tečnosti koji se nalazi na rastojanju x od ose horizontalne cevi, kružnog poprečnog preseka poluprečnika R i dužine l , kroz koju tečnost laminarno protiče (vidi sliku 5.8).

Slika 5.8 Proticanje tečnosti kroz horizontalnu cev Vrednosti pritisaka na levom i desnom kraju cevi su i ( tako da tečnost protiče s leva na desno). Sloj se kreće pod dejstvom razlike pritisaka, odnosno sile:

p1 p2 pp 21 >

( )xv

d

0

x

A

B

vra

dS

Slika 5.7a Uz izračunavanje protoka

x

vr

p1 p2

R

0

x

l

5.3 Trenje u tečnostima 71

( ) πΔ xpppSF 221−== . (5.24)

Kretanju sloja suprotstavlja se sila trenja data izrazom u (5.18) u kojoj je lxS π2= površina omotača sloja koji je cilindričnog oblika. Da bi se sloj kretao stalnom brzinom intenziteti ove dve sile, koje su istog pravca a suprotnog smera, moraju biti isti

πΔπη xpdxdxl 2v2 =− . (5.25)

Sređivanjem izraza u (5.25) dobijamo diferencijalnu jednačinu

xdxl

pdηΔ2

v −= , (5.26)

čijom integracijom u granicama od položaja uočenog sloja fluida gde je vrednost brzine do cevi gde je brzina jednaka nuli, jer cev miruje dobijamo:

)(v x

( )

( )( )( )( )2

max

22

220

)(v

1v

14

4)(v

2v

Rx

RxlRp

xRl

pxxdxl

pdR

xx

−=

−=

−=⇒∫−=∫

ηΔ

ηΔ

ηΔ

. (5.27)

Kada smo pronašli raspodelu brzina cilj nam je da nađemo protok tečnosti-proteklu zapreminu tečnosti kroz cev u jedinici vremena. Smatraćemo da uočeni sloj tečnosti ima elementarnu debljinu dx i da sve čestice tečnosti u tom sloju imaju istu brzinu (vidi sl.5.8a). )(v x

dxx +

vr x

dl

Slika 5.8a Uz izračunavanje protoka tečnosti

Za vreme čestice koje su se našle na levom kružnom prstenu elementarne debljine prešle su elementarni put dl , krećući se brzinom konstantnog inteziteta . Protekla elementarna zapremina fluide kroz dati kružni prsten iznosi:

dt dx)(v x

dtxxdxdldSdV )(v2 ⋅=⋅= π . (5.28)

Elementarni protok fluida je:

)(v2)(v xxdxxdSdtdVdQ π=== . (5.29)

Ukupni protok dobijamo integracijom (5.29) uzimajući izraz za intezitet brzine iz (5.27):

( )( )lRpdxxRxQ max η

ππ8

1v24R

0

2 Δ=∫ −= . (5.30)

72 5 DINAMIKA FLUIDA

Izraz za srednju brzinu dobijamo što smatramo da se svi slojevi tečnosti kreću istom brzinom , obezbeđujući isti protok tečnosti: vsr

v2srRQ π= . (5.31)

Iz (5.30) i (5.31) dobijamo izraz za srednju brzinu:

lRp

sr ηΔ8

v2

= . (5.32)

Maseni protok dobijamo kada protok fluida pomnožimo njegovom gustinom.