2.2. İzostatik Sistemlerin Hareketli Yüklere Göre Hesabı

2.2.1. Hareketli Yük Tipleri

Sisteme etkiyen hareketli yük olarak aşağıda gösterilen dört tip yük katarı göz önüne

alınmaktadır.

1. Tip hareketli yük:

Sistemin bir kısmını veya tamamını kaplayan düzgün yayılı hareketli yüktür. Bu yük, büyük

açıklıklı sistemlerde demiryolu ve karayolu katarları yerine alınmaktadır.

2. Tip hareketli yük:

Şiddetleri ve ara uzaklıkları sabit kalarak hareket eden tekil kuvvetler grubudur. Bunlar

kamyon ve tren yükleri yerine alınmaktadır.

3. Tip hareketli yük:

Şiddetleri ve ara uzaklıkları sabit olan tekil kuvvetler grubu ile bunları izleyen düzgün yayılı

yükten meydana gelmektedir. Yayılı yük, tekil kuvvetlerin bir veya iki tarafında bulunabilir

ve sistemin bir kısmını veya tümünü doldurabilir.

4. Tip hareketli yük:

Uzunluğu sabit olan düzgün yayılı yüktür. Bunlar tank yükleri yerine alınmaktadır.

P1 P2 Pn

a1 a2 an

q

P1 P2 Pn

a1 a2 an

q

c

q

2.2.2. Hareketli Yükler İçin Hesap Esasları

Hareketli yük halinde yapı iki şekilde boyutlandırılabilir.

1. Sistemde yeteri kadar sıklıkta kesit göz önüne alınır ve hareketli yükün sistem üzerindeki

hareketi sırasında her kesitteki en büyük kesit tesiri belirlenir. Daha sonra her kesit

kendisine ait en büyük kesit tesirlerine göre boyutlandırılır. Bu nedenle kesit değişken

kesitli olur.

2. Hareketli yükün sistem üzerindeki hareketi sırasında her kesitteki en büyük kesit

tesirlerinin karşılaştırılması sonucunda sistemdeki maksimum kesit tesirleri tespit edilir ve

bunlara göre tüm kesitler boyutlandırılır. Bu durumda sistem sabit kesitli olur.

Kesit tesirlerinden, pozitif işaretli olanları arasından en büyük olanına maksimum kesit tesiri,

negatif işaretli olanları arasından mutlak değerce en büyük olanına ise minimum kesit tesiri

denir.

Yapıları hareketli yüklere göre hesaplamak, hareketli yükün hangi konumunda seçilen kesitte

en büyük (maksimum veya minimum) kesit tesiri oluştuğunu saptamaktır. Buradan anlaşılıyor

ki herhangi bir kesitteki kesit tesirini en büyük yapan katar durumunun bilinmesi

gerekmektedir. Bu katar durumu tesir çizgileri yardımıyla bulunur.

2.2.3. Tesir Çizgileri

Sistemin herhangi bir m kesitinde meydana gelen kesit tesiri tesir çizgisi diyagramı; 1 kN’luk

düşey kuvvet sistem üzerinde alınarak belli bir yörüngede hareket ederken m kesit tesirlerinin

aldığı değerlerin birleşiminden oluşan diyagramdır.

x 1kN

m

Mm (m kesitine ait Moment tesir çizgisi)

1kN’luk kuvvet x mesafesinde iken m kesitinde

meydana gelen kesit tesiri değeri

Verilen bir m kesitindeki bir kesit tesirine ait tesir çizgisini elde etmek için, sistem üzerinde

verilmiş bir doğrultuya paralel 1kN şiddetindeki sabit bir tekil kuvvet alınır ve bu kuvvetin

yeri belirli bir noktadan x uzaklığıyla belirtilir. Sabit yük halinde bilinen yol ile m kesitinde

1kN’luk yükten meydana gelen kesit tesiri x’e bağlı olarak ifade edilir. 1kN şiddetindeki

kuvvet, kendisine paralel kalarak hareket ettiği zaman, x değişken olacağından x’e bağlı kesit

tesiri ifadesi tesir çizgisinin fonksiyonunu verecektir. Bu fonksiyonun grafiği çizilerek tesir

çizgisi elde edilir. Çoğu durumda kesit tesiri, bütün sistem için tek bir fonksiyon ile ifade

edilemez. Bundan dolayı, bu fonksiyonlar geçerli oldukları bölgeler için ayrı ayrı yazılır.

2.2.4. Tesir Çizgisi Diyagramlarının Kullanılması

Tesir çizgileri iki amaç için kullanılır.

1. Verilmiş bir kesitte sabit yüklerden meydana gelen bir kesit tesirinin tayini için:

a) Tekil yükler durumu:

Şekildeki gibi verilmiş bir m kesitinde, P1’den dolayı meydana gelen kesit tesirinin

değeri, 1kN’luk kuvvetten meydana gelen 1 tesir çizgisi ordinatının P1 katıdır. Yani

P11’e eşittir. P1, P2, …, Pn kuvvetlerinden meydana gelen kesit tesirleri değeri

süperpozisyonla Mm=P11+P22+…+Pnn=n

i i

i 1

Pη

şeklinde bulunur.

L

P1 P2 P3

m a b

Mm tesir çizgisi diyagramı 1 2 3

b) Yayılı yükler durumu:

AB arasında q(x) yayılı yükü, q(x)dx şiddetindeki tekil kuvvetlerin toplamı olarak

düşünülebilir. Bu yayılı yükten meydana gelen kesit tesirinin değeri;

B

A

x x

m

x x

M q(x)η(x)dx

olur. Yayılı yükün CD arasındaki gibi düzgün yayılı olması

durumunda; D D

C C

x x x x

m

x x x x

F

M q.y(x).dx q y(x).dx q.F

olur.

2. Verilmiş bir kesitte, bir kesit tesirini maksimum veya minimum yapan katar durumunun

tayini için:

Genel olarak, verilmiş bir kesitte bir kesit tesirini maksimum yapan katar durumu, tesir

çizgisi üzerinde yapılan araştırma ile bulunur. Bunun için katarın çeşitli durumlarında,

verilmiş kesitte meydana gelen kesit tesirinin değerleri bulunur ve bunlar karşılaştırılarak

maksimum kesit tesirinin değeri ve buna ait katar durumu tayin edilir.

L

q(x)

A m a b

Mm tesir çizgisi diyagramı (x)

F

B

q

dx

C D

y(x)

mM 0

m

xM 1.(a x) 1 .a 0

L

m m

L a bM x. M x

L L

Y m m

x xF 0 T 1 1 0 T

L L

mM 0

m m

x bM b 0 M x

L L

Y m m

x xF 0 T 0 T

L L

2.2.5. Dolu Gövdeli Sistemler

2.2.5.1. Basit Kirişler

1kN’luk düşey bir kuvvet basit kiriş üzerinde dolaşmaktadır. 1kN’luk düşey kuvvetin her

durumunda, m kesitinde meydana gelen eğilme momentinin değeri, 1kN hizasında ordinat

alınarak elde edilen diyagrama, m kesitine ait eğilme momentinin tesir çizgisi diyagramı

denilmektedir. Tesir çizgisini elde etmek için, 1kN’luk düşey kuvvetin basit kiriş üzerindeki

yeri sabit bir noktadan x uzaklığı ile belirtilir ve m kesitinde meydana gelen eğilme momenti

x’e bağlı olarak ifade edilir. Eğilme momenti fonksiyonu sistem üzerinde geçerli bulunduğu

her bölge için ayrı ayrı elde edilir.

a) Direkt Yükleme Hali:

A

xM 0 1.x B.L 0 B

L

B

xM 0 1.(L x)+A.L 0 A 1

L

1kN’luk kuvvet m kesitinin solunda iken (0≤x≤a);

L

1kN

m

a b

x

A B

I. Bölge II. Bölge

1kN

m

a

x

xA 1

L

I. Bölge Mm

Tm m

b

xB

L

II. Bölge

Tm

Mm

mM 0

m

xM 1 a 0

L

m

xM 1 a

L

Y m m

x xF 0 T 1 0 T 1

L L

mM 0

m

xM 1.(x a) b 0

L

m

xM (L a) x a

L

m m

x xM x a x a M 1 a

L L

Y m m

x xF 0 T 1 0 T 1

L L

1kN’luk kuvvet m kesitinin sağında iken (a≤x≤L);

L

1kN

m

a b

x

A B

I. Bölge II. Bölge

A mesnet tepkisi tesir çizgisi

xA 1

L

1 +

B mesnet tepkisi tesir çizgisi x

BL

1 +

Tm tesir çizgisi

x1

L

+

-

x

L

a

L

b

L

Mm tesir çizgisi + +

x1 a

L

bx

L

ab

L

m

a

xA 1

L

I. Bölge Mm

Tm

1kN x-a

m

b

xB

L

II. Bölge

Tm

Mm

b) Endirekt Yükleme Hali:

Endirekt yükleme halinde, m kesiti iki enlemenin arasında ise, tesir çizgisi ifadesi

lineer olacağından bu kısma ait tesir çizgisi kesite komşu iki enleme altındaki

ordinatların uçları birleştirilerek elde edilir. Diğer kısımlardaki tesir çizgileri direkt

yükleme halindekinin aynıdır.

L

1kN

m

a b

x

A B

I. Bölge II. Bölge

Tm tesir çizgisi

x1

L

+ -

x

L a

L

b

L

Mm tesir çizgisi + +

x1 a

L

bx

L

ab

L

∑FY=0 Tm-1=0 Tm=1kN

∑Mm=0 Mm+1.(b-x)=0

Mm=-1.(b-x)

2.2.5.2. Konsol Kirişler

Konsol kiriş üzerinde 1kN’luk düşey kuvvet hareket ederken verilmiş bir m kesitindeki kesit

tesirlerinin fonksiyonları aşağıdaki gibi elde edilebilir.

1kN’luk kuvvet m kesitinin sağında iken (0≤x≤b),

1kN’luk kuvvet m kesitinin solunda iken (b≤x≤L),

L

1kN

m

a b

x

A

MA B

L

1kN

m

a b

x

A

MA B

L

1kN

m

a b

x

A

MA B

∑FY=0 A-1=0 A=1kN

∑MA=0 MA+1.(L-x)=0

MA=-1.(L-x)

1kN

m

x

Mm

Tm

m Mm

Tm

∑FY=0 Tm=0

∑Mm=0 Mm=0

Bu fonksiyonlardan elde edilen konsol kirişin tesir çizgileri aşağıdaki gibidir.

L

m

a b

A

-L -

-b - Mm tesir çizgisi

1

+ Tm tesir çizgisi

A mesnet tepkisi tesir çizgisi

1

+

MA mesnet tepkisi tesir çizgisi

2.2.5.3. Çıkmalı Kirişler

İki ucu çıkmalı bir kiriş üzerinde 1kN’luk düşey bir kuvvet hareket ederken, çıkmalar

üzerindeki kesitlere ait tesir çizgileri konsol kiriştekilerin aynıdır. Verilmiş bir m kesiti AB

mesnetleri arasında bulunursa, bu kesite ait kesit tesirlerinin fonksiyonları 1kN’luk düşey

kuvvetin bulunduğu bölgelere bağlı olarak aşağıdaki gibi yazılır.

1kN’luk kuvvet m kesitinin solunda iken;

I bölgesinde;

1A 1

xM 0 1.x B.L 0 B

L

1 1Y m m

x xF 0 T 0 T

L L ; 1

m m m 1

x bM 0 M b 0 M x

L L

II bölgesinde;

2A 2

xM 0 1.x B.L 0 B

L

2 2Y m m

x xF 0 T 0 T

L L ; 2

m m m 2

x bM 0 M b 0 M x

L L

L

1kN

m

a b A B

II

L1 L2

I III IV

C D

1kN

m

A B

C D

x1

m 1x

L

Tm

Mm

1kN

m

A B

C D

x2

m 2x

L

Tm

Mm

1kN’luk kuvvet m kesitinin sağında iken;

III bölgesinde;

3B 3

xM 0 1.x A.L 0     A

L

3 3Y m m

x xF 0 T 0 T

L L ; 3

m m m 3

x aM 0 M a 0 M x

L L

IV bölgesinde;

4B 4

xM 0 1.x A.L 0 A

L

4 4Y m m

x xF 0 T 0 T

L L ; 4

m m m 4

x aM 0 M a 0 M x

L L

Görülüyor ki, 1kN’luk kuvvet m kesitinin solunda olduğu zaman tesir çizgisi fonksiyonları I

ve II bölgelerinde, işaretleri farklı olmakla birlikte birbirinin aynıdır. Bundan dolayı m

kesitine ait tesir çizgisinin konsol kısmındaki parçası basit kiriş tesir çizgisi olan doğrunun

devamıdır. 1kN’luk kuvvet m kesitinin sağ tarafına geçtiği zaman durum yine aynıdır. Bu

nedenle, çıkmalı bir kirişin mesnetleri arasındaki bir m kesitine ait tesir çizgilerinin çizmek

için, önce basit kirişin m kesitine ait tesir çizgileri çizilir, daha sonra da bu doğru parçaları

konsol kısımlarda uçlara kadar uzatılır.

1kN

m

A B

C D

x3

3x

L Tm

Mm m

1kN

m

A B

C D

x4

4x

L Tm

Mm m

A m.t.t.ç.

B m.t.t.ç.

Tm t.ç.

xA 1

L

1 + 1L

1L

2L

L

-

L

1kN

m

a b A B

II

L1 L2

I III IV

C D

2L1

L

xB

L

1 +

1L

L

-

x1

L

+

-

x

L

a

L

b

L

+ 1L

L

- 2L

L

Mm t.ç. + +

x1 a

L

b

xL

ab

L

- - 1L

bL

2L

aL