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FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 97

2Mstand/renf JtJ 2014

Chapitre 6: Fonctions trigonomtriques Prrequis: Gnralits sur les fonctions, Introduction drive, rapports trigo Requis pour: Croissance, Optimisation.

6.1 Quelques rappels

Dfinitions

Les fonctions trigonomtriques sont dfinies laide du cercle trigonomtrique :

Considrons le point M du cercle trigonomtrique corres-pondant langle . Le cosinus de , not cos(), est la 1re coordonne (ou abs-cisse) de M. Le sinus de , not sin(), est la 2me coordonne (ou or-donne) de M. La tangente de , note tan(), est lordonne de T.

Relations fondamentales

(I) sin2() + cos2() =1

(II) tan() = sin()cos()

Valeurs particulires degrs radians sin cos tan

0

30

45

60

90

Graphes des fonctions trigo

98 CHAPITRE 6

2Mstand/renf Jt 2014

Priodicit

La fonction sinus est priodique de priode

sin( + ) = sin()

La fonction cosinus est priodique de priode

cos( + ) = cos()

La fonction tangente est priodique de priode

tan( + ) = tan()

a) Esquisser la fonction f (x) = 3sin x2

puis prciser sa

priode et son amplitude.

Exemple



b) Esquisser la fonction f (x) = 12cos x + ( ) puis prciser

sa priode, son amplitude.

Exemple

Exercice 6.1 :

Esquisser les fonctions suivantes en prcisant sa priode, son amplitude:

a) f (x) = 2cos x3

b) f (x) = sin x +

2

c) f (x) = 3cos x2

+

Thorme

Si f (x) = a sin(bx + c) ou f (x) = a cos(bx + c), o a, b et c sont des rels non nuls, alors :

lamplitude vaut : | a |

la priode vaut : 2|b |

100 CHAPITRE 6


On considre la fonction f dfinie par f (x) = 3cos x2

+

.

Dterminer lamplitude et la priode de f. En dduire son esquisse

Exemple

Exercice 6.2 :

Pour chacune des fonctions suivantes, dterminer sa priode et son amplitude :

a) f (x) = sin x 2

b) g(x) = 2cos 3x + ( )

c) h(x) = cos x2

+3

d) i(x) = 2sin 3x ( )

Retrouver sur le graphe ci-dessous les courbes correspon-dantes ces 4 fonctions :



6.2 Quelques quations trigonomtriques

Introduction

Une quation trigonomtrique est une quation contenant des expressions trigonomtriques. Il nexiste pas de m-thode universelle, mais le cercle trigonomtrique sera trs souvent votre alli.

Exemple

Rsoudre cos(2x) = -0,9

Exercice 6.3 :

Rsoudre les quations suivantes (en degrs):

a) cos(x) = 12

b) sin(3x) = 0,829

c) tan(x) = 0,754 d) cos(x) = 1,43

e) tanx

2

= 5,33 f) sin(3x) = 32

102 CHAPITRE 6


Rsoudre sin 2x +2

= 32

Exemple

Exercice 6.4 :

Rsoudre les quations suivantes (en radians):

a) sin x +4

=1

2 b) cos x

3

=1

2

c) sin 2x 3

=1

2 d) cos 4x

4

=2

2

e) tan(2x + ) = 3 f) tan x2

= 1

Exemple

Rsoudre sin2 x( ) =1



Exercice 6.5 :

Rsoudre les quations suivantes (en radians):

a) cos2 x( ) =1 b) sin2 x( ) = 14

c) tan2 x( ) = 3 d) sin2 x( ) = 34

e) tan2 x( ) =1 f) sin2(x) = cos2(x)

Exemple

Rsoudre 4cos2(x) 4cos(x) 3 = 0

Exercice 6.6 :


a) 2sin2(x) 5sin(x) + 2 = 0

b) 2cos2(x) 3cos(x) +1= 0

c) tan2(x) + 2tan(x) = 1

104 CHAPITRE 6


Exemple

Rsoudre 3sin2(x) + cos2(x) 2 = 0

Exercice 6.7 :


b) 2cos2(x) sin(x) =1

c) 5sin(x) = 6cos2(x)

a) 3sin2(x) = 4 4cos(x)



6.3 Drive des fonctions trigonomtriques

Introduction

l'image des chapitres prcdents, nous pourrions dtermi-ner la drive de la fonction f (x) = sin(x) laide du calcul

de limite : limxa

sin(x) sin(a)

x a.

Essayons de trouver cette drive en comparant les graphes de f (x) et de la pente de la tangente en plusieurs points.

x 2

y

2

2f(x) = sin(x)

x 2

y

1

1

f (x) = . . . . . . . . . Des dmarches analogues permettraient de justifier les rgles suivantes :

Les rgles de drivation des fonctions trigo :

8me rgle : Si f (x) = sin(x) f (x) = cos(x)

9me rgle : Si f (x) = cos(x) f (x) = sin(x)

10me rgle : Si f (x) = tan(x) f (x) = tan(x)( )2 +1

ou f (x) = 1cos(x)( )2

Exercice 6.8 :

Driver les fonctions suivantes :

a) f (x) = sin(x) + cos(x) b) f (x) = x2 cos(x)

c) f (x) = cos(x) 2tan(x) d) f (x) =tan(x)

x

e) f (x) =sin(x)

1+ cos(x) f) f (x) =

x

sin(x)+ cos(x)

106 CHAPITRE 6


Exercice 6.9 :

En combinant les rgles 8 et 9 du tableau prcdent, justifier la 10me rgle (sous les deux formes).

Exercice 6.10 :

Dterminer lquation de la tangente la courbe au point indiqu :

a) f (x) = tan(x) au point dabscisse x = b) f (x) = x cos(x) au point dabscisse x =

Exercice 6.11 :

En quelles valeurs de x [0; 2] la courbe y = x + 2sin(x) a-t-elle une tangente horizontale ?

6.4 La drive de fonctions composes

Introduction

Nous avons dj eu loccasion de driver quelques fonctions composes ; en effet les fonctions : f (x) = x 2 correspond f (x) = (g h)(x) avec

g(x) = et h(x) =

f (x) = (3x 5)3 correspond f (x) = (g h)(x) avec

g(x) = et h(x) =

f (x) =1

x2 + 43

correspond f (x) = (g h)(x) avec

g(x) = et h(x) =

Lors du calcul de ces 3 drives, nous avons vu apparatre ce que nous avons appel la drive interne. Ceci se gn-ralise lors du calcul de la drive de toutes les fonctions composes.

Les rgles de drivation des fonctions composes :

11me rgle : Si f (x) = sin g(x)( ) f (x) = cos g(x)( ) g (x)

12me rgle : Si f (x) = cos g(x)( ) f (x) = sin g(x)( ) g (x)

13me rgle : Si f (x) = tan g(x)( ) f (x) = 1cos g(x)( )( )2

g (x) = g (x)cos g(x)( )( )2

ou plus gnralement pour toutes les fonctions composes :

14me rgle : Si f (x) = g(x) h(x) = g h(x)( ) f (x) = g h(x)( ) h (x)



Exemple

driver les 2 fonctions suivantes :

a) f (x) = sin x2( ) b) f (x) = sin(x)( )2

Exercice 6.12 : Driver les fonctions suivantes : a) f (x) = tan(3x) b) f (x) = cos(x3 ) c) f (x) = cos3(x) d) f (x) = x sin 1

x

108 CHAPITRE 6


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