基礎解析学２ (S3)　 2011-10-11 3.1

3 1変数関数の積分3.1 積分の定義と基本定理3.1.1 不定積分と定積分の定義

関数 f の原始関数とは, 同じ定義域で dF (x)dx = f(x)をみたす関数 F のこと.

※ 関数 f は原始関数 F の導関数.

定理 3.1 F (x) = F0(x) +定数C かつ dF0(x)

dx = f(x)ならば, F は f の原始関数.

関数 f の定義域が区間ならば, 逆も成り立つ.

※ 逆の証明は平均値の定理からすぐ導かれる定理 2.10によるから, f の定義域は区間.※ 逆で定義域が区間であることを明示しない [南]の記述には不備があるので注意せよ.※ 例えば, f(x) = 1

x の原始関数 F (x)と log |x|の差は (�1, 0)と (0,1)で違ってもよい.

関数 f の任意の原始関数を f の不定積分と呼び,R

f(x) dxと書く.

関数 f を不定積分R

f(x) dxの被積分関数と呼ぶ.

※ 下で定義する定積分R b

a f(x) dxに対するR x

a f(t) dtを f の不定積分と呼ぶこともある.※ 教科書 [南]のように「f の原始関数の全体」を不定積分と呼ぶことは現代的だが, まれ.

関数 f の定義域に包まれる閉区間 [a, b]で f は有界であると仮定する.

※ 関数の有界性は定積分を定義するための前提; 関数が連続なら閉区間で有界 (定理 1.11).

[a, b]の分割 a = x0 < x1 < · · · < xn = bを� = {x0, x1, . . . , xn}と書く.

|�| = maxi {xi � xi�1}を分割�の幅と呼ぶ.

mi = infx2[xi�1,xi] f(x), Mi = supx2[xi�1,xi] f(x).

s� =Pn

i=1 mi(xi � xi�1): �に対する f の [a, b]での下Darboux和,

S� =Pn

i=1 Mi(xi � xi�1): �に対する f の [a, b]での上Darboux和.

※Pn

i=1 f(⇠i)(xi � xi�1): �に対する f の [a, b]でのRiemann和 (8⇠i 2 [xi�1, xi]).※ 教科書 [南]は Darboux和を Riemann和と混同している.※ 任意の iに対しmi f(⇠i) Mi だから, s�

Pni=1 f(⇠i)(xi � xi�1) S�.

※ s�/S� は f のグラフ y = f(x)を下/上から近似した面積 (図 3.1).※ 分割�1, �2 に対し分割�0 = �1 [�2 をとると, s�1 s�0 S�0 S�2 . (←重要!)※ s� は S�0 が上界で上に有界; S� は s�0 が下界で下に有界. ()公理 (R17)が使える!!)

s = sup� s�, S = inf� S� が存在し, s S.

定義 3.1 s = Sであるとき, 関数 f は [a, b]で積分可能であるといい, その値s = Sを

R b

a f(x) dxと書き, f の [a, b]での定積分と呼ぶ. このとき, 関数 f

を定積分R b

a f(x) dxの被積分関数と呼ぶ. (←グラフが描けない関数も考えた定義)

例題 3.3 関数 f が閉区間 [a, b]で広義単調ならば, f は [a, b]で積分可能.略証. fが単調増加なら, mi = f(xi�1), Mi = f(xi)より, S��s� (f(b)�f(a))|�|.

基礎解析学２ (S3)　 2011-10-11 3.2

3.1.2 微分積分学の基本定理

定理 3.2 関数 f が閉区間 [a, b]で連続であると仮定する. このとき,

(1) f には原始関数 F が存在する.

(2) f は積分可能である.

(3)R b

a f(x) dx = F (b)� F (a) (微分積分学の基本定理).

※ 証明 [南, 付録 C, pp.275–276]は [1]最大最小の原理と [2]中間値の定理による.※ [1], [2] (実数の連続性に直結)はそれぞれWeierstraß [1861], Bolzano [1817]による.※ (1), (2)の証明は Cauchy [1823], Heine [1872], Darboux [1875]らの基礎付けによる.※ 教科書 [南]の有界性の仮定は [1]により不要である (定理 1.11).※ (3)の証明は (1), (2)による.※ (3)の発見は Newton [1665], Leibniz [1675]による (公表はそれぞれ 1704, 1684).※ 紀元前 3世紀の Archimedesによる積分の考え方から基本定理まで約 1900年!※ 基本定理から解析学の基礎付け (量子力学に相当)までさらに約 200年!!※ このドラマについては, 例えば, 佐々木力『数学史入門』(ちくま学芸文庫)を見よ.

定理 3.4 関数 f が区間 I で連続かつ x, a 2 I ならば, ddx

R x

a f(t) dt = f(x).

※ 証明は微分積分学の基本定理からすぐ; 練習問題 3.2 (応用上頻出計算)を解いてみよ.

3.1.3 区分求積法の原理

定理 3.3 関数 f が閉区間 [a, b]で積分可能であるためには, |�|! 0なる任意の分割列 {�}および分割�の代表点 ⇠i 2 [xi�1, xi]の任意の選択に対し,

lim|�|!0

Pni=1 f(⇠i)(xi�xi�1) =

R b

a f(x) dx が成り立つことが必要十分である.

※ この定理は区分求積法の原理と呼ばれる; 分割列 {�}および代表点 ⇠iの任意性が重要.※ 分割�を等分割だけでなく任意に考えるのは, 置換積分 (定理 3.11)を考えてのこと.※ 必要性の証明は s�

Pni=1 f(⇠i)(xi � xi�1) S� からほぼ明らか.

※ 十分性の証明は du Bois-ReymondとDarbouxの定理 [Hairer–Wanner, §III.5]を見よ.※ Riemann和

Pni=1 f(⇠i)(xi�xi�1)によるこの定理は積分の諸性質を証明するのに便利.

※ 例 3.1, 3.2, 例題 3.1について考え, 練習問題 3.1を解いてみよ.

課題 10/04 [1]略解例(A) (練習問題 3.1: l = limn

Pni=1

1n+i )

Pni=1

1n+i =

Pni=1

11+ i

n

1n より, f(x) := 1

1+x ,

xi := in , ⇠i := xi とおくと,

Pni=1

1n+i =

Pni=1 f(⇠i)(xi � xi�1). [0, 1]で f は連続だか

ら積分可能. 区分求積法の原理より,Pn

i=1 f(⇠i)(xi � xi�1)!R 10 f(x) dx = log 2.

(B) (任意の閉区間 [a, b]で積分可能だが (�1,1)で連続でない関数 f の具体例) 関数 f(x)を, xが 0または無理数のとき f(x) = 0, xが 0でない有理数 p

q (pは整数, q は自然数, p

と q は互いに素)のとき f(x) = 1q , により定義する. 0でない有理数 p

q のどんな近くにも無理数が存在するから, f は 0でない任意の有理数で連続でない. 次に, f の積分可能性を示す. 閉区間 [a, b]と " > 0を任意に固定する. f(x) > "

2(b�a) なる x 2 [a, b]は有限個なので, k個 (k � 1)とする. |�| < "

2k なる分割�で f(x) > "2(b�a) なる xが k個の分割区間

の各内部にあるものをとる. S� "2(b�a) (b� a) + "

2kk < ". s� = 0. 故に, f は積分可能.

基礎解析学２ (S3)　 2011-10-18 3.3

3.1.4 積分の等式補足: f , gが積分可能) f + g, � · g (� 2 R), f · g, f/g (g 6= 0), |f | も積分可能.

(*) 例えば |f |については, 三角不等式 ||f(x)|� |f(y)|| |f(x)� f(y)| Mfi �mf

i からM |f |

i �m|f |i Mf

i �mfi , 0 S|f |

� � s|f |� Sf� � sf

� がわかり, |�|! 0のときの極限を考え, 仮定 Sf � sf = 0と区間縮小法の原理 (R17-K)より S|f |� s|f | = 0が示される.

定理 3.5 (線型性) 関数 f , gが閉区間 [a, b]で積分可能ならば, 任意の定数 c,

dに対し,R b

a (c · f(x) + d · g(x)) dx = c ·R b

a f(x) dx + d ·R b

a g(x) dx.

定理 3.6 (加法性) 関数 f が区間 I で積分可能かつ a, b, c 2 I ならば,R a

b f(x) dx = �R b

a f(x) dx,R b

a f(x) dx =R c

a f(x) dx +R b

c f(x) dx.

※ a < bのとき,R a

b は b = x0 > x1 > · · · > xn = aなる分割�から同様に定義される.※ 線型性も加法性も証明は区分求積法の原理からすぐ.

3.1.5 積分の不等式

定理 3.7 (順序保存) 閉区間 [a, b]で積分可能な関数 f , gに対し,

(1) [a, b]で f(x) � 0ならば,R b

a f(x) dx � 0.

(2) [a, b]で f(x) � g(x)ならば,R b

a f(x) dx �R b

a g(x) dx.

f , gが [a, b]で連続ならば, 等号成立,恒等的に (1) f = 0, (2) f = g.

※ 証明は区分求積法の原理からすぐ; 等号成立条件は "-� 論法により背理法で示される.

定理3.8 (三角不等式) fが [a, b]で積分可能)���R b

a f(x) dx��� R b

a |f(x)| dx.

※ ‘三角不等式’という名称の由来は区分求積法の原理による: [南, p.87]※ 教科書 [南]の「連続」は「積分可能」でよい;「連続」は簡単のための仮定 (p.87).※ 証明は区分求積法の原理からすぐ; Riemann和に対する三角不等式の極限をとる.※ 関数列の積分の収束判定などに使う: 例えば, {fn} について [a, b] で任意の n に対し|fn(x)� f(x)| < "なら,

���R ba fn(x) dx�

R ba f(x) dx

��� R ba |fn(x)� f(x)| dx "(b� a).

定理 3.9 (Schwarzの不等式) 閉区間 [a, b]で積分可能な関数 f , gに対し,⇣R b

a f(x)g(x) dx⌘2

R b

a f(x)2 dxR b

a g(x)2 dx.

※ 実は, Schwarz [1885]は重積分; 積分は Buniakowsky [1859], Rn が Cauchy [1821].※ 教科書 [南]の「連続」は「積分可能」でよい;「連続」は簡単のための仮定 (p.87).※ 証明は区分求積法の原理からすぐ; Riemann和に対するCauchyの不等式の極限をとる.※

R ba f(x)g(x) dxは [a, b]で積分可能な関数の空間 (ベクトル空間)における ‘内積’ (f, g).

※ このように積分で定義された ‘内積’により, 関数の ‘ノルム’や ‘なす角’が計算される.

練習問題 3.3 (Eulerの定数) an =Pn

k=11k � log n! � = 0.5772156649 · · · 2 R.

※ Eulerの定数 � の定義 (上の収束)より,Pn

k=11k = � + log n + o(1) (n!1).

※ このことからも,P2n

k=n+11k = log 2 + o(1)! log 2 (n!1) (練習問題 3.1)がわかる.

※ � は � -関数 (例題 3.6(1))に関係: � = �� 0(1); � が有理数か無理数かわかっていない!

基礎解析学２ (S3)　 2011-10-18 3.4

3.2 [前半] 積分の性質定理 3.10 (部分積分) 関数 f , gが閉区間 [a, b]でC1級であるとき,R b

a f(x)g0(x) dx = [f(x)g(x)]ba �R b

a f 0(x)g(x) dx.

※ 証明は積の微分 f(x)g0(x) = (f(x)g(x))0 � f 0(x)g(x)からすぐ.

定理 3.11 (置換積分) 関数 f(x)は xについて連続, 関数 x(t)は tについてC1級であり, xの値域が f の定義域に包まれるとき, xの定義域内の任意の閉区間 [t1, t2]に対し,

R x(t2)

x(t1) f(x) dx =R t2

t1f(x(t)) dx

dt dt.

※ 証明は合成関数の微分 ddtF (x(t)) = dF

dxdxdt = f(x(t))dx

dt からすぐ.

定理 3.12 (積分の平均値の定理) (1) 関数 f, gが閉区間 [a, b]で連続, かつ開区間 (a, b)で g(x) > 0 =) 9⇠ 2 (a, b),

R b

a f(x)g(x) dx = f(⇠)R b

a g(x) dx.

(2) 関数 f が閉区間 [a, b]で連続=) 9⇠ 2 (a, b),R b

a f(x) dx = f(⇠)(b� a).

略証 ([南]の補足) (2) (1)で g(x) ⌘ 1とせよ. (1) m := min f , M := max f とおく.(i) m = M なら, f は定数関数だから, 積分の線型性より, 任意の ⇠ で OK.(ii) m < M とする. gの条件より [a, b]で g(x) � 0だから, mg(x) f(x)g(x) Mg(x).積分の順序保存性と線型性により, m

R b0a0

g(x) dx R b0

a0f(x)g(x) dx M

R b0a0

g(x) dx が任意の閉区間 [a0, b0] ⇢ [a, b]で成立. ところが, m < M より, m < f(x) < M なる閉区間[a1, b1] ⇢ (a, b)が存在. [a1, b1]で, g(x) > 0より, mg(x) < f(x)g(x) < Mg(x). f, g の連続性と積分の順序保存性により, m

R b1a1

g(x) dx <R b1

a1f(x)g(x) dx < M

R b1a1

g(x) dx. 積分の加法性

R ba =

R a1

a +R b1

a1+

R bb1より, m

R ba g(x) dx <

R ba f(x)g(x) dx < M

R ba g(x) dx.

gの条件と積分の順序保存性より,R b

a g(x) dx > 0. よって, m < ⌘ :=R b

a f(x)g(x) dxR ba g(x) dx

< M .したがって, f の連続性と中間値の定理により, ⌘ = f(⇠)となる ⇠ 2 (a, b)が存在.

※ (a, b)で g(x) < 0でも成立; 実は gは積分可能で十分だが, 証明が煩雑になる.

課題 10/11 [1]略解例練習問題 3.4 主に部分積分による. (※積の微分を使い見通しよく計算)(1) x sinhx = (x coshx)0 � coshxより,

Rx sinhx dx = x coshx� sinhx + C.

(2) x2 coshx = (x2 sinhx)0 � 2x sinhx = (x2 sinhx)0 � 2(x coshx � sinhx)0 より,Rx2 coshx dx = (x2 + 2) sinhx� 2x coshx + C.

(3) log(1+x) = ((1+x) log(1+x))0�1より,R

log(1+x) dx = (1+x) log(1+x)�x+C.(4) Arctanx = (xArctanx)0� x

1+x2 より,R

Arctanx dx = xArctanx� 12 log(1+x2)+C.

練習問題 3.5 主に置換積分による. (※合成関数の微分を使い次数を下げる方向に計算)(1)

R1

x(log x)2 dx =R

1(log x)2 d(log x) = � 1

log x + C.(2) (Arccos x)2 = (x(Arccos x)2)0+ 2xArccos xp

1�x2 = (x(Arccos x)2�2p

1� x2 Arccos x)0�2より,

R(Arccos x)2 dx = x(Arccos x)2 � 2

p1� x2 Arccos x� 2x + C.

(3) tanh2 x = 1 � sech 2x = 1 � (tanhx)0 より, tanh3 x = tanhx � tanhx(tanhx)0 =(cosh x)0

cosh x � tanhx(tanhx)0 だから,R

tanh3 x dx = log(coshx) � 12 tanh2 x + C. さらに,

coshx = (1� tanh2 x)�1/2 より,R

tanh3 x dx = � 12 log(1� tanh2 x)� 1

2 tanh2 x + C.※不定積分は置換等の手順に応じて結果が見かけ上違って見えることがある; 微分して検算すればよい (p.116).

基礎解析学２ (S3)　 2011-10-25 3.5

3.2 [後半] 広義積分定積分は, 閉区間上有界な関数に対し定義され, 積分値は有限であった. §3.2節後半では,定積分の定義を, 閉区間とは限らない区間上有界とは限らない関数に対し拡張する; そのため, 積分値も有限とは限らない. このような定積分の拡張は応用でも非常に重要である.

例 3.8R1

11x2 dx := lim

u!1

R u

11x2 dx = lim

u!1

⇥�1x

⇤u

1= 1.

※ 関数 1x2 の無限半開区間 [1,1)における積分; 意味的には

R[1,1)

1x2 dxと書くべき.

※ 同様に, 1x↵ (1 < ↵)の [1,1)における積分は,

R11

1x↵ dx =

⇥ �1(↵�1)x↵�1

⇤11

= 1↵�1 .

※ 一方で, 1x↵ (↵ < 1)の [1,1)における積分は,

R11

1x↵ dx =

⇥1

1�↵ x1�↵⇤11

=1.※ ここで,

⇥·⇤11は lim

u!1

⇥·⇤u

1のズボラな略記; lim

u!1

R u1 を

R11 と略記するのと一緒.

例 3.9R1

11x dx := lim

u!1

R u

11x dx = lim

u!1[ log x ]u1 =1.

※ 関数 1x の無限半開区間 [1,1)における積分; 意味的には

R[1,1)

1x dxと書くべき.

極意 x�↵: 1x↵ の [1,1)における積分は, 1 < ↵なら収束, ↵ 1なら1に発散.

※ Torricelli [1644]: limu!1

R u1

1x dx =1だが, 関数 y = 1

x のグラフを x-軸のまわりに回転

させて得られる回転体の体積は limu!1

R u1 ⇡

�1x

�2dx = ⇡. 無限に長い有限体積の立体の発見!

例 3.10R 2

11p2�x

dx := limu!2�0

R u

11p2�x

dx = limu!2�0

⇥�2p

2� x⇤u

1= 2.

※ 関数 1p2�xの有界半開区間 [1, 2)における積分; 意味的には

R[1,2)

1p2�x

dxと書くべき.※ 関数 y = 1p

2�x(x < 2)のグラフを直線 x = 2に関し対称移動し, x-軸方向に �2だけ

平行移動すると, limu!2�0

R u1

1p2�x

dx = limv!+0

R 1v

1px

dx. 関数 1pxの逆関数は 1

x2 (x > 0)

だから, 直線 y = xに関する対称性により, limv!+0

R 1v

1px

dx = 12 + limw!1

R w1

1x2 dx = 2.

※ こうして, 極意 x�↵ および対称移動, 平行移動, 逆関数の性質により, 次が成り立つ.

極意 (b� x)��: 1(b�x)� の [a, b)における積分は, � < 1なら収束, 1 � なら1に発散.

極意 (x� a)��: 1(x�a)� の (a, b]における積分は, � < 1なら収束, 1 � なら1に発散.

※ 基本の極意 x�↵ および派生的な極意 (b� x)��, 極意 (x� a)�� が広義積分のキモ.

定義 3.2 区間 [a, b)で定義された関数 f について, 任意の u 2 (a, b)に対し[a, u]において有界かつ積分可能であり, 積分

R u

a f(x) dxの u ! b� 0での極限値が存在するとき, f は [a, b)において広義積分可能であるといい, この極限値を

R b

a f(x) dxと書き, f の [a, b)における広義積分と呼ぶ.

※ bは有限でも1でもよい; 広義積分の値は有限のときも ±1のときもある.※ f の [a, b)における広義積分

R ba f(x) dxは, 意味的には

R[a,b) f(x) dxと書くべき.

※ 区間 (a, b]で定義された関数 f に対し v ! a + 0の極限をとる場合についても同様.※ f の (a, b]における広義積分

R ba f(x) dxは, 意味的には

R(a,b] f(x) dxと書くべき.

※ 区間 (a, b)で定義された関数 f に対しては, 任意の c 2 (a, b)に対し積分範囲を (a, c]と[c, b)に分け, v ! a + 0と u! b� 0の極限を別々に考えなければならない. (なぜか?)

基礎解析学２ (S3)　 2011-10-25 3.6

定理 3.13 (比較判定法) 関数 f , gが区間 [a, b)で積分可能であるとき,

(1) [a, b)で 0 f(x) g(x)かつR b

a g(x) dxが収束)R b

a f(x) dxが収束.

(2) [a, b)で 0 g(x) f(x)かつR b

a g(x) dxが発散)R b

a f(x) dxが発散.

(3)R b

a |f(x)| dxが収束)R b

a f(x) dxが収束. “絶対収束すれば収束する”

※ (1), (2)は積分の順序保存性 (定理 3.7)と実数の連続性 (R17-M)による; (1)は次による:0 F (u) :=

R ua f(x) dx

R ua g(x) dx

R ba g(x) dx <1, F の単調増加性, (R17-M).

※ (3)は (1)および積分の線型性 (定理 3.5)による: f±(x) := max{0,±f(x)}とおくと,f(x) = f+(x)� f�(x)かつ 0 f±(x) |f(x)|より,

R ba |f(x)| dxが収束)

R ba f±(x) dx

が収束)R b

a f(x) dx =R b

a f+(x) dx�R b

a f�(x) dxが収束.

定理 3.14 (次数判定法) 関数 f が任意の u 2 (a, b)に対し [a, u]で積分可能であり, 次の (1)または (2)をみたすなら, f は [a, b)で広義積分可能.

(1) b =1であり, f(x) = O(x�↵) (x!1) かつ 1 < ↵.

(2) b <1であり, f(x) = O((b� x)��) (x! b� 0) かつ 0 < � < 1.※ Landauの記号 Oについては, 教科書 pp.74–78, ハンドアウト p.2.10を復習すること.※ (1)は極意 x�↵ (p.3.5)と比較判定法 (定理 3.13)による.※ (2)は極意 (b� x)�� (p.3.5)と比較判定法 (定理 3.13)による.※ (2)は � 0でも成り立つが, � 0のときは広義でない通常の積分になる.

定理 3.140 (次数判定法 0) 関数 f が任意の v 2 (a, b)に対し [v, b]で積分可能であり,次の (1)0 または (2)0 をみたすなら, f は (a, b]で広義積分可能.(1)0 �1 = aであり, f(x) = O(|x|�↵) (x! �1) かつ 1 < ↵. (極意 x�↵ の y-軸対称)(2)0 �1 < aであり, f(x) = O((x�a)��) (x! a+0)かつ 0 < � < 1. (極意 (x�a)��)

考察 例 3.10で広義積分R 21

1(2�x)1/2 dx が

R11

1x2 dx や

R 10

1x1/2 dx で計算できたように,

次数判定法は (1)R11 x�↵ dx (1 < ↵), (2)

R 10 x�� dx (0 < � < 1) との比較に帰着される.

補足 (例 3.11, 例題 3.5, 例題 3.6に関するコメント)※ 例 3.11 次数判定法でも直接計算でも収束判定可能な広義積分の例:

R10

11+ex dx.

※ 例題 3.5 応用でも重要な積分正弦関数 Si t =R t0

sin xx dx の極限 (§5.1で詳しく解説).

※ 例題 3.6 � -関数 � (x) =R10 e�ttx�1 dt およびB-関数B(x, y) =

R 10 tx�1(1� t)y�1 dt

の定義 (§5.5, 応用でも重要な非初等関数の代表例; 残念ながらこの講義では解説しない).

課題 10/18 [1] 略解例 (A) 練習問題 3.9 (1) x ! 1 のとき, 1 + x6 = O(x6) だから,xp

1+x6 = O(x�(6�p)). よって, 積分R10

xp

1+x6 dxが収束, 6 � p > 1. 求める pの条件は,(0 <) p < 5. ※ p 0 の場合, v ! +0 の極限も考え, 積分が収束, �1 < p ( 0) であることがわかる.

(2)R10

x2

1+x6 dx = limu!1

R u0

11+(x3)2

d(x3)3 = lim

u!1

⇥13Arctan (x3)

⇤x3=u

x3=0= ⇡

6 .

練習問題 3.10 (2) 1p4�x2 = (Arcsin x

2 )0 より,R 20

1p4�x2 dx = lim

u!2�0Arcsin u

2 = ⇡2 .

※ 1/p

4� x2 = 2�1(2� x)�1/2(1� (2� x)/4)�1/2 = O((2� x)�1/2) (x ! 2� 0) だから, 次数判定法(定理 3.14) により, 被積分関数 1/

p4� x2 は有界半開区間 [0, 2) で広義積分可能.

(B) (R1�1 f(x) dx 6= lim

R!1

R R�R f(x) dx, = lim

R,L!1

R R�L f(x) dx) 例えば, 関数 f(x) = x

に対し, 前者は 0だが x = t + 1などの置換と積分範囲が矛盾してしまい, 定義にならない.

基礎解析学２ (S3)　 2011-11-01（2011-11-07改訂） 3.7

3.3 有理関数の積分＊ 初等関数の導関数は初等関数だった; 特に, 初等関数は連続である (第 2 章).＊ 連続な関数には原始関数が存在した (定理 3.2); 特に, 初等関数は原始関数を持つ.＊ しかし, 初等関数の原始関数は初等関数であるとは限らないことが知られている.

☆ 有理関数は初等関数であり, 分母が 0 になる点以外で定義され, 連続である.☆ したがって, 有理関数は 定義域の各区間において 不定積分を持つ.☆ 有理関数の不定積分は初等関数で表されることが示される (Leibniz [1702]).

定理 有理関数 f(x)g(x) の不定積分は (1)–(4)により初等関数の形で求まる.

(1) f(x)g(x) が ‘仮分数’なら, 多項式と ‘真分数’の和 f1(x) + f2(x)

g(x) に分解.

例 x3�x+4x2�3x+2 = (x + 3) + 6x�2

x2�3x+2 (例 3.13).※ 多項式の不定積分は積分の線型性 (定理 3.5)から (4)(a)に帰着される.

(2) 分母 g(x)を実数の範囲で因子 (x� ai)↵i , (x2 + bjx + cj)�j に分解.

例 x3 � x2 + x� 1 = (x� 1)(x2 + 1) (例題 3.8 (1)).※ 代数学の基本定理 (p.1.7)により, 分母は複素数の範囲で 1次式の積に分解される.※ 分母の係数が実数だったから, 分母の虚数根は複素共役の組 ↵k ± �kiに分かれる.※ (x� (↵k + �ki))(x� (↵k � �ki)) = x2 � 2↵kx + (↵2

k + �2k) =: x2 + bkx + ck

※ したがって, 分母は実数の範囲で因子 (x� ai)↵i , (x2 + bjx + cj)�j に分解する.

(3) f2(x)g(x) を項

Aik(x�ai)k , Bj`x+Cj`

(x2+bjx+cj)` =B0

j`(x�b0j)+C0j`

((x�b0j)2+c02j )` の和に部分分数展開.

例 x�2(x�1)2 = 1

x�1 + �1(x�1)2 (例 3.14), x3+2x2+3x+1

(x2+1)2 = x+2x2+1 + 2x�1

(x2+1)2 (例 3.16).

※ (2)の分母因子分解に応じて (3)の部分分数展開が可能であることが示される.※ よって, ‘真分数’の不定積分は (4)(bj)(ck)(d`)に帰着される.

(4) ゆえに, f(x)g(x) の不定積分は以下の形の初等関数の線型和で書ける:

(a)R

xndx = 1n+1xn+1 + C (n � 0).

(b1)R

1x�a dx = log |x� a|+ C (C は区間 (�1, a), (a,1)ごとに違ってよい (p.3.1));

(bn)R

1(x�a)n dx = �1

n�11

(x�a)n�1 + C (n � 2).

(c1)R

xx2+a2 dx = 1

2 log(x2 + a2) + C;(cn)

Rx

(x2+a2)n dx = 12�1

n�11

(x2+a2)n�1 + C (n � 2),

(d1)R

1x2+a2 dx = 1

aArctan xa + C;

(dn)R

1(x2+a2)n dx = 1

a2 ( 12n�2

x(x2+a2)n�1 + 2n�3

2n�2

R1

(x2+a2)n�1 dx) (n � 2).

課題 10/25 [1]略解例 (A) 練習問題 3.12 (1) 3x�7x2�5x+6 = 3( �2

x�2 + 3x�3 )�7( �1

x�2 + 1x�3 ) =

1x�2 + 2

x�3 = (log |x � 2| + 2 log |x � 3|)0. (9) 2x�1(x�1)2 = 2(x�1)+1

(x�1)2 = 2x�1 + 1

(x�1)2 =

(2 log |x � 1| � 1x�1 )0. 練習問題 3.13 (2) x2+x�1

x3�2x2+x�2 = (x2+1)+(x�2)(x�2)(x2+1) = 1

x�2 + 1x2+1 =

(log |x�2|+Arctanx)0. (4) x+1(x2+1)2 = (1/2)(x2+1)0+((x2+1)�x2)

(x2+1)2 = ( 12

x�1x2+1 + 1

2Arctanx)0.

(B) (積分の平均値の定理の有用性) 例題 3.7の計算のように, 平均 µ := 1b�a

R ba f(x) dxが

求めやすい関数 f と (a, b)で定符号の関数 g の積 fg の積分R b

a f(x)g(x) dxを, よりやさしい gのみの積分 µ

R ba g(x) dxに帰着できること (など).

基礎解析学２ (S3)　 2010-11-08 3.8

3.4 三角関数, 双曲線関数, 無理関数の積分＊ 有理関数の不定積分は初等関数 (有理関数, 対数関数, 逆正接関数) で表された (前節).＊ この節では三角関数, 双曲線関数, 無理関数 (1 次または 2 次) の有理関数の不定積分について調べる.＊ f(X, Y ) を 2 変数 X, Y の有理関数とし,

Rf(g(x), h(x)) dx の ‘有理化’ 置換を考える.

＊ この節の ‘有理化’ は一般的処方箋であって, より簡単な ‘有理化’ がある場合も多い.＊

Rf(x,

p3, 4 次) dx は初等関数と楕円積分 (非初等関数) で書ける (3.4.5) が, この講義の範囲を超える.

3.4.1 三角関数の積分t := tan x

2 ,R

f(sin x, cos x) dx =R

f( 2t1+t2 ,

1�t2

1+t2 )2

1+t2 dt と ‘有理化’.

※ XY -平面の単位円X2 + Y 2 = 1と直線 Y = t(X + 1)の 2交点のうち, (�1, 0)でない方が (cos x, sinx) = ( 1�t2

1+t2 , 2t1+t2 ). 単位円, 直線, 交点, x, tの関係を図示してみよ.

※ 単位円のように, 各成分がパラメータ tの有理関数で表される曲線を有理曲線という.※ 一般に, 不定積分の ‘有理化’置換可能性は有理曲線による対応の存在に深く関係する.

3.4.2 双曲線関数の積分t := tanh x

2 ,R

f(sinh x, cosh x) dx =R

f( 2t1�t2 ,

1+t2

1�t2 )2

1�t2 dt と ‘有理化’.

※ XY -平面の双曲線X2 � Y 2 = 1と直線 Y = t(X + 1)の 2交点のうち, (�1, 0)でない方が (coshx, sinhx) = ( 1+t2

1�t2 , 2t1�t2 ). 図示し, 三角関数の場合と比較してみよ.

3.4.3 1次無理関数の積分t :=

pax + b (a 6= 0),

Rf(x,

pax + b) dx =

Rf( t2�b

a , t) 2ta dt と ‘有理化’.

※ XY -平面の放物線 Y 2 = aX + bと直線 Y = tの交点が (x,p

ax + b) = ( t2�ba , t).

3.4.4 2次無理関数の積分(1) x = a tan ✓ (a > 0),

Rf(x,

px2 + a2) dx =

Rf(a tan ✓, a

cos ✓ )a

cos2 ✓ d✓.

(2) x = a sin ✓ (a > 0),R

f(x,p

a2 � x2) dx =R

f(a sin ✓, a cos ✓) a cos ✓ d✓.

(3) x = acos ✓ (a > 0),

Rf(x,

px2 � a2) dx =

Rf( a

cos ✓ ,±a tan ✓) a sin ✓cos2 ✓ d✓.

※ 三角関数の有理関数に置換する間接的な ‘有理化’.※ (1)0(3)0 s = x +

px2 ± a2, f(x,

px2 ± a2) dx = f( s2⌥a2

2s , s2±a2

2s ) s2±a2

2s2 ds (直接的な‘有理化’, p.116, p.3.8b);双曲線X2�Y 2 = ⌥a2と直線X+Y = sの交点が ( s2⌥a2

2s , s2±a2

2s ).

課題 11/01 [1]略解例 (A) 3.15 (4) 2�sin x1+cos xdx = 2�(2t)/(1+t2)

1+(1�t2)/(1+t2)2dt

1+t2 = (2 � 2t1+t2 )dt =

d(2t � log(1 + t2)) = d(2 tan x2 � log(1 + tan2 x

2 )). (5) 1cosh xdx = 1

(1+t2)/(1�t2)2dt

1�t2 =2dt

1+t2 = d(2Arctan t) = d(2Arctan (tanh x2 )). (7) dx

1+p

1+x= 2tdt

1+t = (2� 21+t )dt = d(2t�

2 log(1+t)) = d(2p

1 + x�2 log(1+p

1 + x)). (※ 1+p

1 + x > 0.) (8) x5p

1 + x3dx =(t2 � 2) 5

3 t 2tdt3(t2�2)2/3 = 2

3 (t4 � 2t2)dt = d( 215 t5 � 4

9 t3) = d( 215 (1 + x3) 5

2 � 49 (1 + x3) 3

2 ).3.16 (2) 1p

9+x2 dx = 1t�x

t�xt dt = dt

t = d(log |t|) = d(log |x +p

9 + x2|). (公式 23参照.)

3.17 (4) t := x�a+b2 , r := b�a

2 .R b

adxp

(x�a)(b�x)=

R r�r

dtpr2�t2

= limu!r�0`!�r+0[Arcsin t

r ]t=ut=`

= ⇡2 � (�⇡

2 ) = ⇡. (公式 19.) (B) (3.17(4)が a, bによらない理由) 上半円の弧度だから.

基礎解析学２ (S3)　 2010-11-08 3.8a

不定積分の公式 (Carol Ash, Robert Ash『微分積分学教程』(森北出版)より)

ax2 + bx + cを分母に含む有理関数 (a 6= 0; 03, 04では r 6= 1, b2 � 4ac 6= 0)

01a.R

1ax2+bx+c dx = 1p

b2�4aclog

��� 2ax+b�p

b2�4ac2ax+b+

pb2�4ac

��� + C (b2 � 4ac > 0).

01b.R

1ax2+bx+c dx = 2p

4ac�b2Arctan 2ax+bp

4ac�b2+ C (b2 � 4ac < 0).

01c.R

1ax2+bx+c dx = � 2

2ax+b + C (b2 � 4ac = 0).

02.R

xax2+bx+c dx = 1

2a log |ax2 + bx + c|� b2a

R1

ax2+bx+c dx.

03.R

1(ax2+bx+c)r dx = 2ax+b

(r�1)(4ac�b2)(ax2+bx+c)r�1 + 2(2r�3)a(r�1)(4ac�b2)

R1

(ax2+bx+c)r�1 dx.

04.R

x(ax2+bx+c)r dx = �(2c+bx)

(r�1)(4ac�b2)(ax2+bx+c)r�1 � (2r�3)b(r�1)(4ac�b2)

R1

(ax2+bx+c)r�1 dx.

a + buを分母に含む有理関数 (a 6= 0, b 6= 0)

05.R

ua+bu du = 1

b2 (a + bu� a log |a + bu|) + C.

06.R

u2

a+bu du = 1b3

�12 (a + bu)2 � 2a(a + bu) + a2 log |a + bu|

�+ C.

07.R

u(a+bu)2 du = 1

b2

⇣a

a+bu + log |a + bu|⌘

+ C.

08.R

u2

(a+bu)2 du = 1b3

⇣a + bu� a2

a+bu � 2a log |a + bu|⌘

+ C.

09.R

1u(a+bu) du = � 1

a log��a+bu

u

�� + C.

10.R

1u2(a+bu) du = � 1

au + ba2 log

��a+buu

�� + C.

11.R

1u(a+bu)2 du = 1

a(a+bu) �1a2 log

��a+buu

�� + C.

pa + buの有理関数 (a 6= 0, b 6= 0)

12.R

up

a + bu du = 2(3bu�2a)15b2 (a + bu) 3

2 + C.

13.R

upa+bu

du = 2(bu�2a)3b2

pa + bu + C.

14a.R

1up

a+budu = 1p

alog

���pa+bu�papa+bu+

pa

��� + C (a > 0).

14b.R

1up

a+budu = 2p

�aArctan

qa+bu�a + C (a < 0).

15.R p

a+buu du = 2

pa + bu + a

R1

up

a+budu.

a2 ± u2 および u2 � a2 を分母とする有理関数 (a 6= 0)

16.R

1a2+u2 du = 1

a Arctan ua + C.

17.R

1a2�u2 du = 1

2a log���a+ua�u

��� + C.

18.R

1u2�a2 du = 1

2a log���u�au+a

��� + C.

基礎解析学２ (S3)　 2011-11-08（2011-11-22改訂） 3.8b

pa2 ± u2 の有理関数 (a 6= 0; 19, 20では a > 0 [ a < 0なら Arcsin を �Arcsin に ])

19.R

1pa2�u2 du = Arcsin u

a + C.

20.R p

a2 � u2 du = u2

pa2 � u2 + a2

2 Arcsin ua + C.

21.R p

a2�u2

u du =p

a2 � u2 � a log���a+

pa2�u2

u

��� + C.

22.R

1up

a2�u2 du = � 1a log

���a+p

a2�u2

u

��� + C.

23.R

1pa2+u2 du = log

�u +

pa2 + u2

�+ C.

24.R p

a2 + u2 du = 12up

a2 + u2 + 12a2 log

�u +

pa2 + u2

�+ C.

25.R p

a2+u2

u du =p

a2 + u2 � a log���a+

pa2+u2

u

��� + C.

26.R

1up

a2+u2 du = � 1a log

���pa2+u2+au

��� + C.

pu2 � a2 の有理関数 (a 6= 0; 29, 30では u � a > 0)

27.R

1pu2�a2 du = log

��u +p

u2 � a2�� + C.

28.R p

u2 � a2 du = u2

pu2 � a2 � a2

2 log��u +

pu2 � a2

�� + C.

29.R p

u2�a2

u du =p

u2 � a2 � aArccos au + C.

30.R

1up

u2�a2 du = 1a Arccos a

u + C.

三角関数

31.R

tanu du = � log | cos u| + C = log | sec u| + C.32.

Rcot u du = log | sinu| + C.

33.R

sec u du = log | sec u + tanu| + C.34.

Rcsc u du = � log | csc u + cot u| + C = log | csc u� cot u| + K.

35.R

sec2 u du = tanu + C.36.

Rcsc2 u du = � cot u + C.

37.R

sec u tanu du = sec u + C.38.

Rcsc u cot u du = � csc u + C.

39.R

sin2 u du = 12 (u� sinu cos u) + C = 1

2u� 14 sin 2u + C.

40.R

cos2 u du = 12 (u + sinu cos u) + C = 1

2u + 14 sin 2u + C.

41.R

tan2 u du = tanu� u + C.42.

Rcot2 u du = � cot u� u + C.

43.R

sec3 u du = 12 sec u tanu + 1

2 log | sec u + tanu| + C.44.

Rcsc3 u du = � 1

2 csc u cot u + 12 log | csc u� cot u| + C.

45.R

sin au sin bu du = sin(a�b)u2(a�b) � sin(a+b)u

2(a+b) + C (a2 6= b2).

46.R

sin au cos bu du = � cos(a�b)u2(a�b) � cos(a+b)u

2(a+b) + C (a2 6= b2).

47.R

cos au cos bu du = sin(a�b)u2(a�b) + sin(a+b)u

2(a+b) + C (a2 6= b2).

基礎解析学２ (S3)　 2011-11-08 3.8c

48.R

u sinu du = sinu� u cos u + C.49.

Ru cos u du = cos u + u sinu + C.

50.R

u2 sinu du = (2� u2) cos u + 2u sinu + C.51.

Ru2 cos u du = (u2 � 2) sinu + 2u cos u + C.

52a.R

sinm u cosn u du = � sinm�1 u cosn+1 um+n + m�1

m+n

Rsinm�2 u cosn u du.

52b.R

sinm u cosn u du = sinm+1 u cosn�1 um+n + n�1

m+n

Rsinm u cosn�2 u du.

52c.R

sinm u cosn u du = � sinm+1 u cosn+1 un+1 + m+n+2

n+1

Rsinm u cosn+2 u du.

52d.R

sinm u cosn u du = sinm+1 u cosn+1 um+1 + m+n+2

m+1

Rsinm+2 u cosn u du.

53.R

tann u du = tann�1 un�1 �

Rtann�2 u du.

54⇤.R

sin uu duは初等関数にならない (ことが知られている).

55⇤.R p

sinu duは初等関数にならない (ことが知られている).56⇤.

Rsinu2 duは初等関数にならない (ことが知られている).

逆三角関数

57.R

Arcsinu du = u Arcsinu +p

1� u2 + C.

58.R

Arccos u du = u Arccos u�p

1� u2 + C.59.

RArctanu du = u Arctanu� 1

2 log(1 + u2) + C.

指数関数および対数関数

60.R

au du = au

log a + C (a > 0).

61.R

ueu du = eu(u� 1) + C.62.

Rlog u du = u log u� u + C.

63.R

un log u du = un+1⇣

log un+1 �

1(n+1)2

⌘+ C.

64.R

eau sin bu du = eau(a sin bu�b cos bu)a2+b2 + C (a2 + b2 6= 0).

65.R

eau cos bu du = eau(a cos bu+b sin bu)a2+b2 + C (a2 + b2 6= 0).

66⇤.R

ulog u duは初等関数にならない (ことが知られている).

67⇤.R

1log u duは初等関数にならない (ことが知られている).

68⇤.R

eu2duは初等関数にならない (ことが知られている).

課題 11/08 ＊ [1] を中間試験に相当 (自筆のみ可, 丸写し厳禁) するものとする.

[1] 不定積分の公式 01–68のうち, 次の導出をレポートせよ. 〆切は再来週 11/22.　 01abc, 03; 　 08, 11; 　 14ab, 15; 　 16, 17; 　 19, 21, 23, 25; 　 27, 29;　 31, 41; 　 33, 35, 43; 　 52ad, 53; 　 57, 58, 59; 　 64, 65.

[2] §3.5を含む第 3章に関する質問や考察を投稿してください. 〆切は来週 11/15.

基礎解析学２ (S3)　 2011-11-22 3.8d

課題 11/08 [1] 略解例

＊ 略解はあくまで一例に過ぎない; 必ずしも自分に合った解答とは限らない.＊ 略解の考え方には重要なものが多い; 他人に説明できるまで理解すること.＊ 略解は細部の計算を省略している; 労をいとわず手を動かし計算すること.

1a. b2 � 4ac > 0より, 1ax2+bx+c = 1

a(��↵) (1

x�� �1

x�↵ ) と分解し,R

dXX に帰着.

1b. b2 � 4ac < 0より, 1ax2+bx+c = 4a

4ac�b21

( 2ax+bp4ac�b2

)2+1と平方完成し,

RdX

X2+1 に帰着.

1c. b2 � 4ac = 0より, 1ax2+bx+c = 1

a(x+ b2a )2

と変形し,R

dXX2 に帰着.

3. X := ax2 + bx + cとおく. 4ac� b2 = 4aX � (X 0)2より, 1 = 14ac�b2 (4aX � (X 0)2).

よって,R

1Xr dx = 1

4ac�b2

⇣R4a

Xr�1 dx�R

X 0 X0

Xr dx⌘.

�•�の中の第 2項を部分積分して,�

•�

=R

4aXr�1 dx + X0

r�11

Xr�1 � 2ar�1

Rdx

Xr�1 = X0

(r�1)Xr�1 + 2(2r�3)ar�1

Rdx

Xr�1 とまとめる.

8. b2u2 = (a + bu)2 � 2a(a + bu) + a2 より, 被積分関数を次のように分解:u2

(a+bu)2 = 1b2

⇣1� 2a

a+bu + a2

(a+bu)2

⌘= (a+bu)0

b3

⇣1 + a2

(a+bu)2 �2a

a+bu

⌘.

11. a2 = (a + bu)2 � bu(a + bu)� abuより, 被積分関数を次のように分解:1

u(a+bu)2 = 1a2

⇣1u �

ba+bu �

ab(a+bu)2

⌘= � 1

a(a+bu)0

(a+bu)2 �1a2

⇣(a+bu)0

a+bu � 1u

⌘.

14a. (p

a + bu)0 = b2p

a+buより, 1

up

a+bu= 2

bu (p

a + bu)0 = 2(p

a+bu)2�a(p

a + bu)0 (]).

a > 0 より, さらに 1pa

⇣1p

a+bu�pa� 1p

a+bu+p

a

⌘(p

a + bu)0 と変形し,R

dUU に帰着.

14b. (])から, a < 0より 2p�a

1(p

a+bu/p�a)2+1

⇣pa+bup�a

⌘0と変形し,

RdU

U2+1 に帰着.

15.p

a+buu = a+bu

up

a+buと分子を有理化し, さらに (a+bu)0p

a+bu+ a

up

a+buと分解.

16. 1a2+u2 = 1

a1

1+(u/a)2 (ua )0 と変形し,

RdU

1+U2 に帰着.

17. 1a2�u2 = 1

2a ( 1a+u + 1

a�u ) と変形し,R

dUU に帰着.

19. 1pa2�u2 = 1

|a|1p

1�(u/a)2= a

|a| (ua )0 1p

1�(u/a)2と変形し,

RdUp1�U2 に帰着.

21. (p

a2 � u2)0 = �upa2�u2 に着目し,

pa2�u2

u = a2�u2

u2up

a2�u2 = (1 � a2

u2 )(p

a2 � u2)0.

1� a2

u2 = 1� 12a

⇣1

a+p

a2�u2 + 1a�p

a2�u2

⌘, a+

pa2�u2

a�p

a2�u2 =⇣

a+p

a2�u2

u

⌘2より公式を得る.

23. (u +p

a2 + u2)0 = u+p

a2+u2pa2+u2 に着目. 1p

a2+u2 = (u+p

a2+u2)0

u+p

a2+u2 より公式を得る.

25. (p

a2 + u2)0 = upa2+u2 に着目し, 21と同様に次のように変形:

pa2+u2

u = a2+u2

u2up

a2+u2 =⇣1� a

2

�1p

a2+u2+a� 1p

a2+u2�a

�⌘(p

a2 + u2)0.p

a2+u2+apa2+u2�a

=⇣

a+p

a2+u2

u

⌘2と分母を有理化し, 公式を得る.

基礎解析学２ (S3)　 2011-11-22 3.8e

27. (u +p

u2 � a2)0 = u+p

u2�a2pu2�a2 に着目. 1p

u2�a2 = (u+p

u2�a2)0

u+p

u2�a2 より公式を得る.

29. (p

u2 � a2)0 = upu2�a2 に着目し, 21, 25と同様に次のように変形:

pu2�a2

u = u2�a2

u2up

u2�a2 =⇣1� a2

u2

⌘(p

u2 � a2)0 =⇣1� 1

(p

u2�a2/a)2+1

⌘(p

u2 � a2)0.

Pythagorasの定理 Arctanp

u2�a2

a = Arccos au ([) に注意し, 公式を得る.

※ ([) は u � a > 0 のときに成立. Arccos au = Arcsec u

a , (Arcsec x)0 = 1

|x|p

x2�1に注意.

31. tanu = sin ucos u = � (cos u)0

cos u , 1cos u = sec uより公式を得る.

41. Pythagorasの定理 tan2 u = sec2 u� 1 および sec2 u = (tanu)0 (略解 35) による.

33. sec u tanu = (sec u)0 (略解 43) および sec2 u = (tanu)0 (略解 35) に着目し, 被積分関数を sec u = sec u(tan u+sec u)

tan u+sec u = (sec u+tan u)0

sec u+tan u と変形.

35. sec2 u = 1cos2 u = cos2 u+sin2 u

cos2 u = (sin u)0 cos u�sin u (cos u)0

cos2 u =�

sin ucos u

�0 = (tanu)0.

43. sec2 u = (tanu)0 (35) および (sec u)0 =�

1cos u

�0 = sin ucos2 u = sec u tanu に着目し,R

sec3 u du =R

sec u (tanu)0 du = sec u tanu�R

sec u tan2 u duと部分積分. Pythagorasの定理 tan2 u = sec2�1より, �

Rsec u tan2 u du = �

Rsec3 u du +

Rsec u du. まとめて

公式 33を使うと, 2R

sec3 u du = sec u tanu + log | sec u + tanu| + 2C.

52a. Im,n := (左辺)とおく. sinm u cosn u = � sinm�1 u (cos u)0 cosn u に着目し, 部分積分して Im,n = � sinm�1 u cosn+1 u

n+1 + m�1n+1 Im�2,n+2. Pythagorasの定理 cos2 u = 1� sin2 u

より, Im�2,n+2 = Im�2,n � Im,n. 後者を前者に代入し, Im,n について解く.

52d. 公式 52aのmにm + 2を代入し, Im+2,n = � sinm+1 u cosn+1 um+n+2 + m+1

m+n+2Im,n. これを Im,n について解いて, 公式を得る.

53. tann u = tann�2 u (sec2 u� 1) = tann�2 u (tanu)0 � tann�2 u より公式を得る.

57.R

Arcsinu du = u Arcsinu�R

up1�u2 du と部分積分し, up

1�u2 = � (1�u2)0

2p

1�u2 と変形.

58.R

Arccos u du = u Arccos u+R

up1�u2 du と部分積分し, up

1�u2 = � (1�u2)0

2p

1�u2 と変形.

59.R

Arctanu du = u Arctanu�R

u1+u2 du と部分積分し, u

1+u2 = (1+u2)0

2(1+u2) と変形.

64. Eulerの公式より,R

eau cos bu du + iR

eau sin bu du =R

e(a+ib)udu = e(a+ib)u

a+ib + C.e(a+ib)u

a+ib = a�iba2+b2 eau(cos bu + i sin bu) = eau(a cos bu+b sin bu)

a2+b2 + i eau(a sin bu�b cos bu)a2+b2 より,

e(a+ib)u

a+ib + C =⇣

eau(a cos bu+b sin bu)a2+b2 + A

⌘+ i

⇣eau(a sin bu�b cos bu)

a2+b2 + B⌘

(\). 虚部をとる.

65. (\)の実部をとる.

基礎解析学２ (S3)　 2010-11-15 3.9

3.5 微分方程式＊ p.i, 目的に書いたように, 自然科学の法則の多くは厳密には微分方程式と呼ばれる数学的関係式で表される.＊ 運動の法則 (物理学) はもちろん, 質量作用の法則 (化学) や生存競争の法則 (生物学) も微分方程式である.＊ 微分方程式を解くこと, すなわち科学的予測を可能にする解を求めることこそ, 積分することに他ならない.

☆ 参考文献:[1] 八木克巳『数学へのアプローチ —微分積分編— 』(裳華房), 第 11 章.[2] C. Ash – R. B. Ash『微分積分学教程』(森北出版), §4.9, §11.7.[3] D. Burghes – M. Borrie『微分方程式で数学モデルを作ろう』(日本評論社).

3.5.1 微分方程式の定義と例＊ x2 + 2x + 3 = 0 や sin x� 1

2 = 0 のような未知 ‘数’ x の関係式 (条件式) を x に関する方程式と呼んだ.＊ 方程式 F (x) = 0 をみたす未知 ‘数’ x を問題の範囲内ですべて求めることを F (x) = 0 を解くといった.

変数 xと未知 ‘関数’ y およびその導関数 y0, y00, . . . , y(n) の関係式を微分方程式と呼ぶ.微分方程式に含まれる導関数 y0, y00, . . . , y(n) の最大階数 nをその方程式の階数と呼ぶ.微分方程式をみたす関数 y = y(x) (1変数関数)をその方程式の解と呼ぶ.微分方程式の解をすべて求めることをその方程式を解くという.※ 偏導関数も含む微分方程式 (解は多変数関数) を偏微分方程式という.※ 偏微分方程式に対し偏導関数を含まない微分方程式を常微分方程式という.※ 以下, 特に断らない限り, 微分方程式は常微分方程式を意味するものとする; 関数は積分可能であるとする.

例 3.24 微分方程式 y0 � f(x) = 0の解は y =R

f(x) dx.※ 微分方程式を不定積分で解く方法を求積法と呼ぶ (不定積分が初等関数で書けるとは限らない).

求積法により, n階の微分方程式は n回の不定積分により n個の任意定数を含む解をもつ.※ 例えば, 2 階微分方程式 y00 = x の解は, y0 = 1

2x2 + C1 より, y = 16x3 + C1x + C2 (C1, C2 は任意定数).

※ n 階の微分方程式は, 一般解が n 個の任意定数を含むから, 解の空間は少なくとも n 次元の広がりをもつ.

例 1階微分方程式 y = xy0 � (y0)2 の解は, y = Cx� C2 または y = 14x2.

略証 微分して y0 = y0 + xy00 � 2y0y00 より, 0 = y00(x � 2y0): y00 = 0 または y0 = 12x. y00 = 0 のとき,

y0 = C を方程式に代入して, y = Cx� C2; y0 = 12x のとき, 方程式に代入して, y = 1

4x2.

※ 解 y = Cx� C2 は基礎解析学１, p.v, 導入 2 の直線族 y = tx� t2 に他ならない.※ 解 y = 1

4x2 は解 y = Cx� C2 全体 (直線族) の包絡線 (同上, p.x) に他ならない.※ この微分方程式は Clairaut の微分方程式 y = xy0 + f(y0) の特別な場合である.

解 y = Cx� C2 のように, 不定積分による任意定数を含む解を一般解という;解 y = 2x� 22 のように, 一般解の任意定数に具体的な値を代入した解を特(殊)解という;解 y = 1

4x2 のように, 一般解からは得られない解を特異解という.※ 微分方程式が解をもてば, 必ず一般解をもつ.※ 微分方程式が一般解をもてば, 必ず特殊解をもつ; 特殊解こそ科学的予測を可能にする解である場合がほとんど.※ 微分方程式が解をもっても, 特異解をもつとは限らないし, 特異解をもっても唯一とは限らない.

例 3.25 (雨滴) 質量mの雨滴が重力 (定加速度 g)のみを受けて落下するときの鉛直下方向の速度 v, 時刻 t, 位置 x: 運動方程式mdv

dt = mg より, dvdt = g. 積分して, v = gt + v0.

関係 dxdt = vより, dx

dt = gt + v0. 積分して, x = 12gt2 + v0t + x0 (v0, x0 は任意定数).

※ Newtonの第 2法則という運動方程式 (微分方程式)を積分して解くことにより等加速度運動の公式が得られた.※ 例えば, v0, x0 がそれぞれ時刻 t = 0 における速度, 位置のとき, 時刻 t における速度, 位置が予測できる.※ このように, 自然科学の法則を積分して得られた特殊解により科学的な予測が可能となる.

基礎解析学２ (S3)　 2010-11-15 3.10

補足(1) 微分方程式が線型であるとは, 導関数 y, y0, y00, . . . , y(n) について 1 次式であること.

(2) 一般解を求めることは一般には困難; 一般解を求めることが容易な微分方程式の典型例:• 変数分離形の 1 階微分方程式 [八木, p.85].• 定数係数線型微分方程式 [八木, pp.87–89].

(3) 微分方程式の多く (応用上重要なものはすべて) はある条件の下で局所的に唯一の解をもつことが証明されている [八木, p.84]. この ‘特殊解局所一意存在定理’の下で, 多くの発見的解法や数値計算的解法が開発されている.

3.5.2 変数分離形の 1階微分方程式＊ 科学法則として使われる微分方程式の約半分は 1 階微分方程式である.＊ 数学的にも 1 階微分方程式には解法がよく知られている型が多い.＊ 2 階以上の微分方程式にも 1 階の微分方程式に帰着されるものが少なくない.

☆ 変数分離形 1 階微分方程式は一般的に解ける: [八木, p.85], [Ash–Ash, §4.9], [Burghes–Borrie, 第 3 章].☆ 変数変換などにより変数分離形に帰着できる 1 階微分方程式も少なくない.☆ 変数分離形は 1 階に限る: 原理的に 2 階以上にはない; 完全微分形の特別な場合だから [Ash–Ash, §11.7].

変数分離形の 1階微分方程式とは, dydx = f(x)g(y)という形の微分方程式のこと.

変数分離形の 1階微分方程式は求積法で解ける (積分可能である):

略証 g(y) 6= 0の場合,R 1

g(y)dydx dx =

Rf(x) dxより,

R 1g(y) dy =

Rf(x) dx; g(y) = 0の場合は別扱い.

例� 変数分離形で最も基本的なものは y0 = ky (kは定数). 解は一般解 y = Cekx のみ.略証 (ye�kx)0 = y0e�kx � kye�kx = 0 より, ye�kx = C. したがって, y = Cekx.

※ ある量 y の時間変化率 y0 がその時点 x のその量 y に比例する現象, すなわち指数関数的現象に応用される.※ 放射性原子核 (時刻 tの核数 y)が放射線を出して一定の確率 k > 0で崩壊する現象 (例題 3.11): dy

dt = �ky.

　 解は一般解 y = y0e�kt のみ; 半減期 T は, 12y0 = y0e�kT より, T = log 2

k .

※ Newton の冷却法則: 熱された物体とその周囲の温度差 ✓ は, 温度差 ✓ に比例する速度 d✓dt で減少する:

　 法則 (微分方程式) は d✓dt = �k✓, 解は一般解 ✓ = ✓0e�kt のみ [Burghes–Borrie, 第 2 章].

※ Fick の法則 “単位時間に単位面積の膜を通過する物質の総量は, 膜のその位置における濃度差に比例する”　 なども, この典型的な指数関数的減衰現象に帰着される [Burghes–Borrie, 第 2 章].

例 3.26 変数分離形で次に簡単な dydx = xy. 解は一般解 y = Ce

12 x2 のみ.

略証 (ye�12 x2

)0 = y0e�12 x2

� xye�12 x2

= 0 より, ye�12 x2

= C. したがって, y = Ce12 x2

.

例 3.27 (雨滴) 例 3.25の雨滴 (質量m)が重力 (定加速度 g)に加え空気抵抗�kv (k > 0)を受けて落下するときの鉛直下方向の速度 vと時刻 tの関係: 運動方程式mdv

dt = mg� kv,すなわち d

dt (v �mgk ) = � k

m (v � mgk ). t = 0で v = 0とすると, v = mg

k (1� e�km t).

※ この解の t = 0 での接線は例 3.25 の v = gt に一致; t !1 のとき, v は終端速度 mgk に収束する (図 3.8).

※ 例�, 例 3.26 は同次 (‘定数項’ なし) であった; 例 3.27 は非同次だが, ‘平行移動’ して同次形に帰着した.

練習問題 3.20 (化学反応) 化学反応 A + B ! AB において, 時刻 t = 0で A, B の濃度がともに x0 のとき, AB の濃度 xが従う法則 dx

dt = k(x0 � x)2 (k > 0) の x(0) = 0なる解.略解 1

(x0�x)2dx = k dt より, 1

x0�x = kt + C. x(0) = 0 より, C = 1x0

: x = x0(1� 1x0kt+1 ).

※ この解の t = 0 での接線は x = x20kt; t !1 のとき, x は極限濃度 x0 に収束する.

※ 時刻 t = 0 で A, B の濃度が a, b のとき, AB の濃度 x が従う法則は dxdt = k(a� x)(b� x) (k > 0).

※ 例�, 例 3.26, 例 3.27 は変数分離形とはいえ線型であった; 練習問題 3.20 は非線型な変数分離形の例である.

基礎解析学２ (S3)　 2010-11-15 3.11

3.5.3 線型な 1階微分方程式＊ 例�, 例 3.26, 例 3.27 を一般化した線型 1 階微分方程式 y0 + p(x)y = q(x) を考える.

線型な 1階微分方程式とは, dydx + p(x)y = q(x)という形の微分方程式のこと.

線型な 1階微分方程式は求積法で解ける (積分可能である):

略証 P (x) を p(x) の原始関数の 1 つとし, 両辺に eP (x) をかけると, (yeP (x))0 = eP (x)q(x) と変数分離形に帰着される. 積分して, yeP (x) =

ReP (x)q(x) dx. したがって, y = e�P (x)

ReP (x)q(x) dx.

※ eP (x) のように, 変数分離形に帰着させる関数 eP (x) を積分因子という [Burghes–Borrie, 第 4 章].※ 例�, 例 3.26 の略証は, 実は, 積分因子をかける方法を先取りしていたのである.※ 積分因子をかける方法は教科書 p.122 の定数変化法と同等であることが容易にわかる.

例µ y0�xy = x (p(x) = �x, q(x) = x). �xの原始関数の 1つ� 12x2をとり, 積分因子と

して e�12 x2 を両辺にかけると, y0e�

12 x2 � yxe�

12 x2

= xe�12 x2 より, (ye�

12 x2

)0 = xe�12 x2

.積分して, ye�

12 x2

= �e�12 x2

+ C. したがって, y = �1 + Ce12 x2

.

※ 解 y = �1 + Ce12 x2

の �1 は y0 � xy = x の特殊解, Ce12 x2

は補助同次方程式 y0 � xy = 0 の一般解.※ 補助同次方程式 y0 � xy = 0 は例 3.26 の変数分離形で線型かつ同次 (‘定数項’ なし) な微分方程式.※ yy0-平面上で, y0 � xy = 0 は原点を通る直線, y0 � xy = x は原点を通らない直線, とみなせる (‘線型’ 性).

※ 解 y = Ce12 x2

, y = �1 + Ce12 x2

もそれぞれ原点を通る直線, 原点を通らない直線, とみなせる (‘線型’ 性).

※ 線型方程式 y0 � xy = 0, y0 � xy = x は陰関数表示; 解 y = Ce12 x2

, y = �1 + Ce12 x2

はパラメータ表示.

※ 解 y = �1 + Ce12 x2

のパラメータ表示 (‘基点’ �1, ‘方向ベクトル’ e12 x2

の取り方) は一意的でない.

※ 同次方程式 y0 � xy = 0 の解 y = Ce12 x2

全体に対し, 重ね合わせの原理が成り立つ [八木, pp.86–87].※ 線型でない 1 階微分方程式, 例えば例 や練習問題 3.20, の解全体が直線的でないことと比較考察せよ.

例題 3.12 微分方程式 dxdt + kx = et (k > 0)の解は一般解 x = 1

k+1et + Ce�kt のみ.略解 積分因子 ekt をかけて, d

dt (xekt) = e(k+1)t. 積分して, xekt = 1k+1 e(k+1)t + C. よって, 上の解.

例 3.28 (RC回路) 直流の RC回路の基礎方程式は V0 = R dQdt + Q

C . 変形すると, 線型な1階微分方程式 dQ

dt + 1RC Q = V0

R . Q(0) = 0なる解は Q = CV0(1� e�1

RC t).

略証 積分因子 e1

RC t をかけて, ddt (Qe

1RC t) = V0

R e1

RC t. 積分して, Qe1

RC t = CV0e1

RC t + A0. Q(0) = 0

より, A0 = �CV0. したがって, Q = CV0(1� e�1

RC t).

※ この解の t = 0 での接線は Q = V0R t; t !1 のとき, Q は定常状態 CV0 に収束する (図 3.10).

※ 例 3.27 (雨滴) と同じ形の 1 階線型微分方程式であり, 解の振る舞いも同じ型 (図 3.8, 図 3.10) である.※ したがって, 例 3.27 (雨滴) と同様に, ‘平行移動’ して同次形に帰着することによって解くこともできる.

基礎解析学２ (S3)　 2010-11-15 3.12

3.5.4 線型な 2階微分方程式 (おまけ)

＊ 科学法則として使われる線型 2 階微分方程式も多い.＊ 2 階以上の線型微分方程式には, 1 階の場合と異なり, 一般的な解法はない.＊ しかし, 定数係数の線型微分方程式には一般的な解法がある; 同じ形の微分方程式に帰着される型も少なくない.

線型な 2階微分方程式とは, (]) y00 + p(x)y0 + q(x)y = f(x)という形の微分方程式のこと.(])の一般解は, (])の特殊解と補助同次方程式 (]0) y00+ p(x)y0+ q(x)y = 0の一般解の和.(]0)の一般解は二つ一組の基本解の重ね合わせ [八木, pp.86–87].※ (]) y00 + py0 + qy = f は, p, q, f を定数として, yy0y00-空間内の平面の方程式と見なせる (‘線型’ 性).※ (]) の一般解 y = ⌘(x) + C1y1(x) + C2y2(x) も平面の方程式と見なせる (‘線型’ 性).※ 線型方程式 (]) y00 + py0 + qy = f は陰関数表示; 解 y = ⌘(x) + C1y1(x) + C2y2(x) はパラメータ表示.※ 解 y = ⌘ + C1y1 + C2y2 のパラメータ表示 (‘基点’ ⌘, ‘方向ベクトル’ (y1, y2) の取り方) は一意的でない.※ 同次方程式 (]0) y00 + py0 + qy = 0 の解 y = C1y1 + C2y2 全体に対し, 重ね合わせの原理が成り立つ.※ (]0) は, yy0y00-空間において, (]) に平行で原点を通る平面に相当する.

定数係数同次線型微分方程式 (]0)0 y00 + py0 + qy = 0の解法.(1) D = d

dx とおき (D2 + pD + q)y = 0 と微分操作をまとめてかく.(2) (D � a)(D � b)y = 0 と微分操作を因数分解する.(3)(i) b 6= a の場合: (D � a)y = 0, (D � b)y = 0 の解 {eax, ebx} が基本解.

(ii) b = a の場合: (D � a)y = 0, (D � a)y = eax の解 {eax, xeax} が基本解.

※ a, b が共役複素数 a = h + ik, b = h� ik の場合, Euler の公式を用いて, 基本解 {e(h+ik)x, e(h�ik)x} を　 実数値関数解 {ehx cos kx, ehx sin kx} に取り替えると応用上便利である.

定数係数線型微分方程式 (])0 y00 + py0 + qy = f(x)の解法 [定数変化法].(1) 補助方程式 (]0)0 y00 + py0 + qy = 0 の一般解 y = C1y1(x) + C2y2(x) を求める.(2) C1, C2 を未知関数 L1(x), L2(x) と見なし y = L1y1 + L2y2 を (])0 に代入し,　 (D + p)(L01y1 + L02y2) + (L01y01 + L02y

02) = f(x). (Li は未知; yi, y0i は既知.)

(3) L01y1 + L02y2 = 0, L01y01 + L02y

02 = f(x) を満たす L1(x), L2(x) を一組求める.

(4) y = L1(x)y1(x) + L2(x)y2(x) が (])0 の特殊解.※ 定数変化法は f(x) が何であっても適用可能だが, 具体的な計算は一般に楽ではない.※ f(x) が定数係数 同次 線型微分方程式の解である場合に (])0 の特殊解を求めるには, 適当な微分操作を　 (])0 の両辺に施して高階の定数係数 同次 線型微分方程式に帰着させる方法 [未定係数法] の方が計算が楽.※ 例えば, f(x) = xkeax, sin bx のときは, (])0 の両辺にそれぞれ (D � a)k+1, (D2 + b2) を施せばよい.※ 高階の定数係数 同次 線型微分方程式の一般解の求め方は上の 2 階の場合 (]0)0 と同様である.

例⌫ y00 � y0 � 2y = 3e�x. 補助方程式は (D + 1)(D � 2)y = 0 と書けるから, 基本解は {e�x, e2x}. (D + 1) を与式の両辺に施すと (D + 1)2(D � 2)y = 0. この基本解は{e�x, xe�x, e2x}. よって, 与式の特殊解の 1つは Pxe�x. 与式に代入し P = �1. したがって, 求める一般解は y = �xe�x + C1e�x + C2e2x.

問 2階線型微分方程式 y00 + y = x を定数変化法および未定係数法で解け.