3. 结构地震反应分析与抗震验算

1建筑结构抗震设计 http://www.swust.net.cn

3.3. 结构地震反应分析与抗震验算结构地震反应分析与抗震验算

· 本章要点

■ 　掌握：结构地震反应分析；结构抗震设计的　　　　　　　基本要求；振型分解法；底部剪力法 ■　理解：地震反应分析的基本概念和原理；建筑　　　　　　　结构抗震验算的原理　 ■　了解：各种方法的适用条件和特点


３３ .. １　概述１　概述１ .基本概念（１）地震作用：（２）结构的地震作用效应：地震作用在结构中所产生的内力变形（３）结构的地震反应：地震引起的结构振动２ .地震作用的计算方法　　地震作用和结构抗震验算是建筑抗震设计的重要环节，是确定所设计的结构满足最低抗震设防安全要求的关键步骤。　　由于地震作用的复杂性和地震作用发生的强度的不确定性，以及结构和体形的差异等，地震作用的计算方法是不同的。可分为简化方法和较复杂的精细方法。（１）底部剪力法：不超过 40m 的规则结构（２）振型分解反应谱法：一般的规则结构，质量和刚度分布明显不对称结构（３）时程分析法 :特别不规则、甲类和超过规定范围的高层建筑


３３ .. ２　单自由度弹性体系的地震反应分析２　单自由度弹性体系的地震反应分析

１ .计算简图单自由度弹性体系：　　将结构参与振动的全部质量集中于一点，用无重量的弹性直杆支承于地面形成单质点体系，当该体系只作单向振动时，就形成了一个单自由度体系。如等高单层厂房、水塔等

单质点弹性体系计算简图（ a）单层厂房及简化体系；（ b）水塔及简化体系



２ .运动方程

　　根据达朗贝尔原理，物体在运动中的任一瞬时，作用在物体上　　的外力与惯性力相互平衡，故

上式还可简化为　　

质点位移

质点加速度惯性力弹性恢复力

阻尼力

运动方程

)(tx

)(txg

m

m)( gxxm

kxxc



式中

　　 ω——体系的圆频率； ζ——体系的阻尼比　　上式是一个常系数的二阶非齐次微分方程。它的解包含两部分：一是对应于齐次微分方程的通解，另一个是特解。前者表示自由振动，后者表示强迫振动。３ .自由振动（１）自由振动方程

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　单自由度体系自由振动曲线

时

21'


３３ .. ２　单自由度弹性体系的地震反应分析２　单自由度弹性体系的地震反应分析　　——有阻尼单自由度弹性体系的圆频率　　阻尼越大，自振频率越慢。　　比较上图中的各条曲线可知，无阻尼体系（ ζ＝０）自由振动时的振幅始终不变，而有阻尼体系自由振动的曲线则是一条逐渐衰减的波动曲线，即振幅随时间的增加而减小，并且体系的阻尼越大，其振幅的衰减就越快。（２）自振周期与自振频率自振周期：体系的频率：体系的圆频率：　在实际结构中，阻尼比 ζ的数值一般较小，其值大约在 0.01~0.1之间。因此有阻尼频率　与无阻尼频率 ω相差不大，在实际计算中可近似地取由上式可得单自由度体系自振周期的计算公式为

/2T

Tf /1fT 2/2

'

'

'

kmT /2



　　由上式可见，结构的自振周期与其质量和刚度的大小有关。质量越大，则其周期就越长，而刚度越大，则其周期就越短。　　自振周期是结构的一种固有属性，也是结构本身一个很重要的动力特性。４ . 强迫振动（１）瞬时冲量及其引起的自由振动如图，荷载Ｐ与作用时间△ t 的乘积，即Ｐ· △t 称为冲量。当作用时间为瞬时 dt时，则称 Pdt为瞬时冲量。根据动量定律，冲量等于动量的增量，故有：若体系处于静止状态，则初速度为０，故体系在瞬时冲量作用下获得的速度为：　　瞬时冲量及其引起的自由振动

0mvmvPdt



　　又因体系原处于静止状态，故体系的初位移为零。这样可认为在瞬时荷载作用后的瞬间，体系的位移仍为零。也就是说，原来静止的体系在瞬时冲量的影响下将以初速度　　　作自由振动。根据自由振动的方程式的解，并令其中　　　　　　　　，则可得：

其位移时程曲线如上图所示。（２）杜哈默积分　　　　方程的特解就是质点由外荷载引起的强迫振动，它可以从上述瞬时冲量的概念出发来进行推导。　　可将　　　看作随时间变化的 m=1的“干扰力”，并认为是由无穷多个连续作用的微分脉冲所组成，　　　　　　

mPdtv /

mPdt /mPdtxx /)0(,0)0(

tm

Pdtetx t 'sin)(

)(txg


３３ .. ２　单自由度弹性体系的地震反应分析２　单自由度弹性体系的地震反应分析今以任一微分脉冲作用进行讨论，设它在 t=τ － dτ时开始作用，作用时间为dτ，则冲量大小为　　　　动量增量为从动量定理，得

　　由通解式可求得当 τ － dτ时，作用一个　　　　微分脉冲的位移反应为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　地震作用下的质点位移分析　将所有微分脉冲作用后产生的自由振动叠加，得总位移反应

上式为杜哈默积分，它与通解之和就是微分方程的全解。即

dtxg )()(xm dtxg )(

dtxx g )()(

dtxg )(

dtx

edx gt )('sin'

)()( )(



由 Duhamel 积分可得零初始条件下质点相对于地面的位移为最大位移反应

质点相对于地面的速度为

质点相对于地面的最大速度反应为



质点的绝对加速度为

质点相对于地面的最大加速度反应为



五、地震反应谱：主要反映地面运动的特性

最大相对位移

最大相对速度

最大加速度

最大反应之间的关系

　　在阻尼比、地面运动确定后，最大反应只是结构周期的函数。单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应与体系自振周期的关系曲线称为该反应的地震反应谱。



位移反应谱

t

)(tyg

Elcentro 1940 （ N-S ）地震记录

)(ms 2

)(s


相对速度反应谱

t

)(tyg


)(ms 2

)(s



绝对加速度反应谱

t

)(tyg


)(ms 2

)(s



相对位移反应谱

绝对加速度反应谱

相对速度反应谱地震反应谱的特点1. 阻尼比对反应谱影响很大2. 对于加速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期急剧增大，大于某个值时，快速下降。3. 对于速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期增大，随后趋于常数。4.对于位移反应谱，幅值随周期增大。



不同场地条件对反应谱的影响

将多个地震反应谱平均后得平均加速度反应谱

地震反应谱是现阶段计算地震作用的基础，通过反应谱把随时程变化的地震作用转化为最大的等效侧向力。

周期（ s)岩石坚硬场地

厚的无粘性土层

软土层

结构的阻尼比和场地条件对反应谱有很大影响。



３３ .. ３单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱３单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱

3.3.1水平地震作用的基本公式　　根据运动方程，可求得作用于单自由度弹性体系质点上的惯性力为：

上式中阻尼力相对于弹性恢复力来说是一个可以略去的微量，故：

　　这样，在地震作用下，质点在任一时刻的相对位移将与该时刻的瞬时惯性力成正比。因此，可认为这一相对位移是在惯性力的作用下引起的，虽然惯性力并不是真实作用于质点上的力，但惯性力对结构体系的作用和地震对结构体系的作用效果相当，所以对于单自由度体系，把惯性力看作反映地震对结构体系影响的等效力，用它的最大值对结构进行抗震验算，就可以使抗震设计这一动力计算问题转化为相当于静力荷载作用下的静力计算问题。。



结构在地震持续过程中经受的最大地震作用为

　 ---集中于质点处的重力荷载代表值；

---重力加速度 ---地震系数

---动力系数 ---水平地震影响系数



３ .３ .２标准反应谱水平地震作用：

１ .地震系数 k：表征地面运动强烈程度

它表示地面运动的最大加速度与重力加速度之比。一般地，地面运动加速度愈大，则地震烈度愈高，故地震系数与地震烈度之间存在着一定的对应关系。　　根据统计分析，烈度每增加一度，地震系数将增加一倍。２ .动力系数 β：


３３ .. ３单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱３单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱　　它表示单质点最大绝对加速度与地面最大加速度的比值，表示由于动力效应，质点的最大绝对加速度比地面最大加速度放大了多少倍。

　　从上式可知，动力系数与地面运动加速度，结构自振周期以及阻尼比有关。　　 β与Ｔ的关系曲线称为 β谱曲线，它实际上就是相对于地面加速度的加速度反应谱，两者在形状上完全一样。３ .地震影响系数 α：

　　当基本烈度确定，地震系数为常数， α 仅随 β变化　　　建筑结构的地震影响系数 α应根据烈度、场地类别、设计地震分组和结构自振周期以及阻尼比确定。


３３ .. ３单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱３单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱４ .标准反应谱　　由于地震的随机性，即使在同一地点、同一烈度，每次地震的地面加速度记录也很不一致，因此需要根据大量的强震记录计算出对应于每一条强震记录的反应谱曲线，然后统计求出最有代表性的平均曲线作为设计依据，这种曲线称为标准反应谱曲线。

各种因素对反应谱的影响（ a）场地条件对 β谱曲线的影响；（ b）同等烈度下震中距对加速度谱曲线的影响

　　



　　根据不同地面运动记录的统计分析可以看出，场地土的特性、震级以及震中距等都对反应谱曲线有比较明显的影响。　　结构的自振周期与场地的自振周期接近时，结构的地震反应最大。因此，在进行结构的抗震设计时，应使结构的自振周期远离场地的卓越周期，以避免发生类共振现象。　　一般地，当烈度基本相同时，震中距远时加速度反应谱的峰点偏于较长的周期，近时则偏于较短的周期。因此，在离大地震震中较远的地方，高柔结构因其周期较长所受到的地震破坏，将比同等烈度下较小或中等地震的震中区所受到的破坏严重，而刚性结构的地震破坏情况则相反。３ .３ .３设计反应谱　　为了便于计算，《抗震规范》采用相对于重力加速度的单质点绝对最大加速度，即 α与体系自振周期Ｔ之间的关系作为设计用反应谱。



)(sT0 1.0 gT gT5 0.6

max2

max45.0

max2)(

T

Tg

max12 )]5(2.0[ gTT

---地震影响系数；---地震影响系数最大值；

地震影响系数最大值（阻尼比为 0.05）

1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震

0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震

9 8 7 6地震影响

烈度

括号数字分别对应于设计基本加速度 0.15g和 0.30g地区的地震影响系数

---结构周期；


---特征周期；

)(sT0 1.0 gT gT5 0.6

max2

max45.0

max2)(

T

Tg

max12 )]5(2.0[ gTT

地震特征周期分组的特征周期值（ s）

0.90 0.65 0.450.35第三组

0.75 0.55 0.400.30第二组

0.65 0.45 0.35 0.25第一组

Ⅳ Ⅲ Ⅱ Ⅰ场地类别

---曲线下降段的衰减指数；---直线下降段的斜率调整系数；---阻尼调整系数，小于 0.55时，应取 0.55。



解：（ 1 ）求结构体系的自振周期

（ 2）求水平地震影响系数

查表确定

地震影响系数最大值（阻尼比为 0.05）

1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震

0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震

9 8 7 6地震影响

烈度

例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为 8度，设计地震分组为二组，Ⅰ类场地；屋盖处的重力荷载代表值 G=700kN，框架柱线刚度 ,阻尼比为 0.05。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。

h=5m



查表确定


0.90 0.65 0.450.35第三组

0.75 0.55 0.400.30第二组

0.65 0.45 0.35 0.25第一组


例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为 8度，设计地震分组为二组，Ⅰ类场地；屋盖处的重力荷载代表值 G=700kN，框架柱线刚度 ,阻尼比为 0.05。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。

h=5m

解：（ 1）求结构体系的自振周期（ 2）求水平地震影响系数

)(sT0 1.0 gT gT5 0.6

max2

max45.0

max2)(

T

Tg

max12 )]5(2.0[ gTT



解：

例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为 8度，设计地震分组为二组，Ⅰ类场地；屋盖处的重力荷载代表值 G=700kN，框架柱线刚度 ,阻尼比为 0.05。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。（ 1）求结构体系的自振周期

（ 2）求水平地震影响系数

h=5m

（ 3）计算结构水平地震作用



３３ .. ４多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法４多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法

３ . ４ .１计算简图多自由度弹性体系：对于多层或高层工业与民用建筑等，则应简化为多质点体系来计算，这样才能比较真实地反映其动力性能。　　按质量集中法将 i和 i+1层之间的结构重力荷载和楼面活荷载集中于楼面标高处，由无重量的弹性直杆支撑于地面上，这样就将多层或高层结构简化为了多质点弹性体系。　　对于一个多质点体系，当体系只有单向振动时，则有多少个质点就有多少个自由度。

i

i+1

m1

m2

mi

mn


3.4.2 多自由度弹性体系动力分析回顾1. 自由振动分析

运动方程

设方程的特解为

mm1 )(1 ty

mm2

)(2 ty

---频率方程---振型方程



解 :

例 . 求图示体系的频率、振型 . 已知 :

m12k1EI

1EI

1k

m2

1

1.618

1

0.618

1X 2X



按振型振动时的运动规律

m1 )(1 ty

m2

)(2 ty按 i振型振动时，质点的位移为

质点的加速度为

质点上的惯性力为

质点上的惯性力与位移同频同步。 11X

21X

211 iiXm

222 iiXm

振型可看成是将按振型振动时的惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移。



2. 振型的正交性

i 振型

i振型上的惯性力

1m 2m

iX1

Nm

iX 2NiX

1m 2m

jX1

Nm

jX 2NjX

j振型

i振型上的惯性力在 j振型上作的虚功

ii Xm 12

1 ii Xm 22

2 NiiN Xm 2

i 振型

j 振型



j振型上的惯性力

2. 振型的正交性

i振型上的惯性力在 j振型上作的虚功

1m 2m

iX1

Nm

iX 2NiX

1m 2m

jX1

Nm

jX 2NjX

i 振型

j 振型

j振型上的惯性力在 i振型上作的虚功

jj Xm 12

1 jj Xm 22

2 NjjN Xm 2

由虚功互等定理



1m 2m

iX1

Nm

iX 2NiX

1m 2m

jX1

Nm

jX 2NjX

i 振型

j 振型

jj Xm 12

1 jj Xm 22

2 NjjN Xm 2

振型对质量正交性的物理意义

i振型上的惯性力在 j振型上作的虚功等于 0振型对刚度的正交性 :

由虚功互等定理

0iTj XmX

0)( 22 iTjij XmX

ijji WW



振型对质量正交性的物理意义

i振型上的惯性力在 j振型上作的虚功等于 0

振型对刚度的正交性 :

振型对刚度正交性的物理意义

i振型上的弹性力在 j振型上作的虚功等于 0

1m 2m

jX1

Nm

jX 2NjX

i 振型

j 振型

iX1

1P 2P NP

iX 2NiX



振型正交性的应用1.检验求解出的振型的正确性。

例 :试验证振型的正确性

2. 对耦联运动微分方程组作解耦运算等等 .

m

l

EI

m

EI

l

1y2y



（ 1）能量法计算基本周期

3. 自振频率和振型的实用计算方法

)sin()( iii tXty 1m

Nm

)(1 ty

)(2 ty

)(tyN

设体系按 i振型作自由振动。

速度为 )cos()( iiii tXty

应用抗震设计反应谱计算地震作用下的结构反应，除砌体结构、底部框架抗震墙砖房和内框架房屋采用底部剪力法不需要计算自振周期外，其余均需计算自振周期。

计算方法：矩阵位移法解特征问题、近似公式、经验公式。

t时刻的位移为

３３ .. ４多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解４多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法法



)sin()( iii tXty

1m

Nm

)(1 ty

)(2 ty

)(tyN设体系按 i振型作自由振动。


t时刻的位移为

动能为)(

2

1)(

2

1)(

2

1)( 22

22211 tymtymtymtT NNi

)()(2

1tymty T

)(cos2

1 22iiii

Ti tXmX

势能为 )(sin2

1)( 2

iiiTii tXkXtU




)sin()( iii tXty

1m

Nm

)(1 ty

)(2 ty

)(tyN设体系按 i振型作自由振动。


t时刻的位移为

动能为 )(cos2

1)( 22

iiiiTii tXmXtT

势能为 )(sin2

1)( 2

iiiTii tXkXtU

最大动能为 2max 2

1ii

Tii XmXT

iTii XkXU

2

1max 最大势能为

由能量守恒，有 maxmax ii UT

iT

i

iTi

iXmX

XkX2

通常将重力作为荷载所引起的位移代入上式求基本频率的近似值。



1m

Nm

1G 1u2G

nG nu

2u

n

iiii

n

ii um

guGU

11max 22

1

n

iii umT

1

21max )(

2

1

maxmax UT

n

ii

n

iii

ium

umg

1

2

121

11 /2 T 2m/s8.9g

n

ii

n

ii

i

i

uG

uGT

1

1

2

1 2



解 :

例 .已知：kN/m10720,kN/m14280

kN300,kN400

21

21

kk

GG

求结构的基本周期。 2k

G2

1k

G1

1G

2G 2u

1u（ 1）计算各层层间剪力kNV 7003004001

kNV 3002

（ 2）计算各楼层处的水平位移mkVu 049.014280/700/ 111

mkVkVu 077.010720/300049.0// 22112

（ 3）计算基本周期

n

ii

n

ii

i

i

uG

uGT

1

1

2

1 2 s508.0077.0300049.0400

077.0300049.04002

22



（ 2）等效质量法（折算质量法）

1m

Nm

1x

nxeqM mx

将多质点体系用单质点体系代替。多质点体系的最大动能为

n

iii xmT

1

21max1 )(

2

1

单质点体系的最大动能为2

1max2 )(2

1meq xMT

max2max1 TT

mx ---体系按第一振型振动时，相应于折算质点处的最大位移；

21

2

m

n

ii

eq x

xmM

i

eqM

11

eqMT 21

--- 单位水平力作用下顶点位移。



21

2

m

n

ii

eq x

xmM

i eqMT 21

解 :

例 .已知：

kN/m10720,kN/m14280

kN300,kN400

21

21

kk

GG

求结构的基本周期。

2k

G2

1k

G1

2x

1x

kNF 1

eqM2x

mkFx 511 1000.714280/1/

10720/11000.7// 5212 kFkFx

mxxm5

2 1033.16

21

2

m

n

ii

eq x

xmM

i t11.38

)1033.168.9

)1033.16(300)107(40025

2525

（

eqMT 21 s496.01033.1611.382 5

m51033.16 能量法的结果为

T1=0.508s



（ 3）顶点位移法对于顶点位移容易估算的建筑结构，可直接由顶点位移估计基本周期。①体系按弯曲振动时抗震墙结构可视为弯曲型杆。

EI

m无限自由度体系，弯曲振动的运动方程为

02

2

4

4

t

ym

x

yEI

悬臂杆的特解为 tT

xXtxyi

ii

2sin)(),(

振型基本周期为 EImlT /78.1 2

1

q

Tu

重力作为水平荷载所引起的位移为EIqluT 8/4

gmq

TuT 6.11 TuglEI

m4

8



②体系按剪切振动时

框架结构可近似视为剪切型杆。

无限自由度体系，剪切杆的的运动方程为

02

2

2

2

t

ym

x

yGA

悬臂杆的特解为

tT

xXtxyi

ii

2sin)(),(

振型

基本周期为GAmlT /41

GA

mq

Tu

重力作为水平荷载所引起的位移为

GAqluT 2/2gmq

TuT 8.11

xl

ixX i 2

)12(sin)(

GAmi

lTi /

12

4

TuglGA

m2

2



③体系按剪弯振动时框架 -抗震墙结构可近似视为剪弯型杆。基本周期为

TuT 7.11



（ 4）自振周期的经验公式

根据实测统计，忽略填充墙布置、质量分布差异等，初步设计时可按下列公式估算（ 1）高度低于 25m 且有较多的填充墙框架办公楼、旅馆的基本周期

（ 2）高度低于 50m 的钢筋混凝土框架 -抗震墙结构的基本周期

31 /35.022.0 BHT

H---房屋总高度； B---所考虑方向房屋总宽度。

321 /00069.033.0 BHT

（ 3）高度低于 50m 的规则钢筋混凝土抗震墙结构的基本周期3

1 /038.004.0 BHT

（ 4）高度低于 35m 的化工煤炭工业系统钢筋混凝土框架厂房的基本周期35.2

1 /0015.029.0 BHT



在实测统计基础上，再忽略房屋宽度和层高的影响等，有下列更粗略的公式（ 1）钢筋混凝土框架结构

（ 2）钢筋混凝土框架 -抗震墙或钢筋混凝土框架 -筒体结构

NT )10.0~08.0(1

N---结构总层数。

NT )08.0~06.0(1

（ 3）钢筋混凝土抗震墙或筒中筒结构NT )05.0~04.0(1

（ 4）钢 -钢筋混凝土混合结构NT )08.0~06.0(1

（ 5）高层钢结构NT )12.0~08.0(1



矩阵迭代法（ Stodola法）（ 5）结构振型的计算

有限自由度体系求频率、振型，属于矩阵特征值问题。

柔度法建立的振型方程 XmX 2

令 mD ---动力矩阵

XDX 2

1

--- 标准特征值问题

刚度法建立的振型方程 XmXk 2 ---广义特征值问题

迭代式为 nn XmX 21



例 : 用迭代法计算图示体系的各阶自振频率和振型 .

假设第一振型

解 :

39.1918.908.4

18.918.908.4

08.408.408.4

10 6

1

1

1

13

12

110

x

x

x

X

mMNk /1952

mMNk /2451

mMNk /983

tm 2701

tm 2702

tm 1803 （ 1）求柔度矩阵

（ 2）求第一振型

第一次迭代近似值

000.1

740.0

415.0

104.7070

1

1

1

18000

02700

00270

39.1918.908.4

18.918.908.4

08.408.408.4

10 621

62

1

13

12

11

1

x

x

x

nn XmX 21




000.1

740.0

415.0

104.7070

1

1

1

18000

02700

00270

39.1918.908.4

18.918.908.4

08.408.408.4

10 621

62

1

13

12

11

1

x

x

x

第二次迭代近似值

000.1

682.0

347.0

107.5781

000.1

740.0

415.0

18000

02700

00270

39.1918.908.4

18.918.908.4

08.408.408.4

10 621

62

2

13

12

11

1

x

x

x

第三次迭代近似值

000.1

670.0

336.0

105.5562

000.1

682.0

347.0

18000

02700

00270

39.1918.908.4

18.918.908.4

08.408.408.4

10 621

62

3

13

12

11

1

x

x

x

第四次迭代近似值

000.1

667.0

334.0

100.5521

000.1

670.0

336.0

18000

02700

00270

39.1918.908.4

18.918.908.4

08.408.408.4

10 621

62

4

13

12

11

1

x

x

x



第四次迭代近似值

000.1

667.0

334.0

100.5521

000.1

670.0

336.0

18000

02700

00270

39.1918.908.4

18.918.908.4

08.408.408.4

10 621

62

4

13

12

11

1

x

x

x

000.1

667.0

334.0

13

12

11

1

x

x

x

x

XmX 2

000.1

667.0

334.0

100.5521

000.1

667.0

334.062

1

621 100.55211

rad/s46.13100.5521

161



例 : 用迭代法计算图示体系的各阶自振频率和振型 .解 :

39.1918.908.4

18.918.908.4

08.408.408.4

10 6mMNk /1952

mMNk /2451

mMNk /983

tm 2701

tm 2702

tm 1803

（ 1）求柔度矩阵

（ 2）求第一振型

000.1

667.0

334.0

13

12

11

1

x

x

x

xrad/s46.13

100.5521

161

（ 3）求第二振型

23

22

2162

2

23

22

21

18000

02700

00270

39.1918.908.4

18.918.908.4

08.408.408.4

10

x

x

x

x

x

x

由振型正交性 021xMx T

0

18000

02700

00270

000.1

667.0

334.0

23

22

21

x

x

xT 018009.18018.90 232221 xxx

)09.18018.90(180

1222123 xxx



22

21622

22

21

4.8257.273

8.3667.73310

x

x

x

x

（ 3）求第二振型

23

22

2162

2

23

22

21

18000

02700

00270

39.1918.908.4

18.918.908.4

08.408.408.4

10

x

x

x

x

x

x


0

18000

02700

00270

000.1

667.0

334.0

23

22

21

x

x

x 018009.18018.90 232221 xxx

)09.18018.90(180

1222123 xxx

假设

1

1

22

21

x

x


000.1

001.1105.1100

1

1

4.8257.273

8.3667.73310 62

262

2

1

22

21 x

x



)09.18018.90(180

1222123 xxx

22

21622

22

21

4.8257.273

8.3667.73310

x

x

x

x

假设

1

1

22

21

x

x


000.1

001.1105.1100

1

1

4.8257.273

8.3667.73310 62

262

2

1

22

21 x

x

000.1

001.11

22

21

x

x501.1)09.18018.90(

180

1222123 xxx

501.1

000.1

001.1

23

22

21

2

x

x

x

x

000.1

666.0

667.0

2x 622 105.11001

rad/s14.30105.1100

162



000.1

667.0

334.0

13

12

11

1

x

x

x

x

000.1

666.0

667.0

2x

（ 3）求第三振型

33

32

3162

3

33

32

31

18000

02700

00270

39.1918.908.4

18.918.908.4

08.408.408.4

10

x

x

x

x

x

x


0

18000

02700

00270

000.1

667.0

334.0

33

32

31

x

x

x

032 xMx T

0

18000

02700

00270

000.1

666.0

667.0

33

32

31

x

x

x

018009.18018.90 333231 xxx

018082.17909.180 333231 xxx

3331 995.3 xx 3332 000.3 xx

假设 000.133 x 995.331 x 000.332 x

000.1

000.3

995.3

3x



000.1

036.3

020.4

103.455

000.1

000.3

995.3

18000

02700

00270

39.1918.908.4

18.918.908.4

08.408.408.4

10 623

623

1

33

32

31

x

x

x

假设 000.133 x 995.331 x 000.332 x

000.1

000.3

995.3

3x


000.1

036.3

020.4

33

32

31

3

x

x

x

x

623 103.4551

rad/s87.46103.455

163

最终结果：



000.1

000.3

995.3

3x

000.1

036.3

020.4

103.455

000.1

000.3

995.3

18000

02700

00270

39.1918.908.4

18.918.908.4

08.408.408.4

10 623

623

1

33

32

31

x

x

x


000.1

036.3

020.4

33

32

31

3

x

x

x

x

623 103.4551

rad/s87.46103.455

163

最终结果：

000.1

667.0

334.0

1x

000.1

666.0

667.0

2x

rad/s46.131 rad/s14.302 rad/s87.463

雅可比法 (Jacbi)



3.4.3 振型分解法 (不计阻尼 )运动方程 1m 2m

)(1 ty

)(1 tP

Nm

)(2 tP )(tPN

)(2 ty)(tyN

设代入运动方程，得

方程两端左乘



)(tD j

*jM

)(* tPj*jK

折算体系

---j振型广义质量

---j振型广义荷载

---j振型广义刚度



计算步骤 :

2. 求广义质量、广义荷载 ;

3. 求组合系数 ;

4.按下式求位移：

1. 求振型、频率：

)(tD j

*jM

)(* tPj*jK

折算体系



3.4.3 振型分解法 (计阻尼 )

阻尼力 1m 2m

)(1 ty

)(1 tP

Nm

)(2 tP )(tPN

)(2 ty)(tyN

1Df 2Df DNf

--阻尼矩阵

--当质点 j有单位速度 ,其余质点速度为 0时 , 质点 i上的阻尼力 .若下式成立

则将称作正交阻尼矩阵 , 称作振型 j的广义阻尼系数 .



运动方程

设

1m 2m

)(1 ty

)(1 tP

Nm

)(2 tP )(tPN

)(2 ty)(tyN

1Df 2Df DNf

令 --第 j振型阻尼比 (由试验确定 ).

计算步骤 :1. 求振型、频率 ;2. 求广义质量、广义荷载 ;

4. 求组合系数 ;5. 求位移 ;

3. 确定振型阻尼比 ;



3.4.4 正交阻尼矩阵的构成

其中， a 0 、 a1由试验确定。通过实测获得两个振型阻尼比和。

同理

---瑞利阻尼矩阵



3.4.5 计算水平地震作用的振型分解反应谱法作用于 i质点上的力有

m1

m2

mi

mN

xi

xg(t)

im )( gii xxm )(tSi )(tRi

惯性力

弹性恢复力

阻尼力

运动方程



设代入运动方程，得

方程两端左乘



---j振型广义质量

---j振型广义阻尼系数

---j振型广义刚度



---j振型的振型参与系数



)(tx

)(txg

m

)(tj

)(txg

*jM

j

j

对于单自由度体系

对于 j振型折算体系（右图）



i质点相对于基础的位移与加速度为

i质点 t时刻的水平地震作用为)()(

)(

1

1

txxtx

txx

gjij

n

jg

gjij

n

j

---t时刻第 j振型 i质点的水平地震作用



---体系 j振型 i质点水平地震作用标准值

---体系 j振型 i质点水平地震作用标准值计算公式

---t时刻第 j振型 i质点的水平地震作用

对于单自由度体系



---相应于 j振型自振周期的地震影响系数；--- j振型 i质点的水平相对位移；

--- j振型的振型参与系数；--- i质点的重力荷载代表值。

m1

m2

mi

11F

12F

iF1

nF1

21F

22F

iF2

nF2

1jF

2jF

jiF

jnF

1nF

2nF

niF

nnF

1 振型地震作用标准值

2 振型 j 振型 n 振型

地震作用效应（弯矩、位移等）

--j振型地震作用产生的地震效应；

m --选取振型数

---体系 j振型 i质点水平地震作用标准值计算公式

一般只取 2-3 个振型，当基本自振周期大于 1.5s或房屋高宽比大于 5 时，振型个数可适当增加。



例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为 8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。

tm 2701

tm 2702

tm 1803

MN/m2451 K

MN/m1952 K

MN/m983 K

解：（ 1）求体系的自振周期和振型

（ 2）计算各振型的地震影响系数

1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震

0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震

9 8 7 6地震影响

烈度地震影响系数最大值（阻尼比为 0.05）

查表得


0.90 0.65 0.450.35第三组

0.75 0.55 0.400.30第二组

0.65 0.45 0.35 0.25第一组




)(sT0 1.0 gT gT5 0.6

max2

max45.0

max2)(

T

Tg

max12 )]5(2.0[ gTT

例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为 8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。解：（ 1）求体系的自振周期和振型


查表得第一振型

第二振型

第三振型





（ 3）计算各振型的振型参与系数

第一振型

第二振型

第三振型






（ 4）计算各振型各楼层的水平地震作用

第一振型 kN4.167

kN4.334

kN2.334

第一振型






（ 4）计算各振型各楼层的水平地震作用kN4.167

kN4.334

kN2.334

第一振型

第二振型

kN8.120

kN7.120

kN9.120

第二振型







kN4.167

kN4.334

kN2.334

第一振型

kN8.120

kN7.120

kN9.120

第二振型

第三振型

kN8.17

kN9.80

kN2.107

第三振型







kN4.167

kN4.334

kN2.334

第一振型

kN8.120

kN7.120

kN9.120

第二振型

kN8.17

kN9.80

kN2.107

第三振型

（ 5）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）第一振型

2.334

6.668

836

1 振型







kN4.167

kN4.334

kN2.334

第一振型

kN8.120

kN7.120

kN9.120

第二振型

kN8.17

kN9.80

kN2.107

第三振型

（ 5）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）

2.334

6.668

836

1 振型

第二振型

8.120

1.0

8.120

2 振型







kN4.167

kN4.334

kN2.334

第一振型

kN8.120

kN7.120

kN9.120

第二振型

kN8.17

kN9.80

kN2.107

第三振型

（ 5）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）

2.334

6.668

836

1 振型

8.120

1.0

8.120

2 振型

第三振型

8.17

1.63

1.44

3 振型






（ 4）计算各振型各楼层地震作用

kN4.167

kN4.334

kN2.334

第一振型

kN8.120

kN7.120

kN9.120

第二振型

kN8.17

kN9.80

kN2.107

第三振型

（ 5）计算各振型的地震作用效应

2.334

6.668

836

1 振型

8.120

1.0

8.120

2 振型8.17

1.63

1.44

3 振型

（ 6）计算地震作用效应（层间剪力）

8.335

6.671

8.845

组合后各层地震剪力



3.5.1 底部剪力的计算3jF

第 j振型

2jF

1jF

j振型的底部剪力为

n

ijij FV

10 jjjijji GxF

n

iijijj Gx

1

n

i

ijij

j

G

GxG

1 11

G—结构的总重力荷载代表值

n

iiGG

1

组合后的结构底部剪力

GqG

GxGVF

n

j

n

i

ijij

jn

jEK j 1

1 1

2

11

1

2 )(0

n

j

n

i

ijij

j

G

Gxq

1 1

2

1

)(

—高振型影响系数(规范取 0.85)

eqEK GF 1 Geq—结构等效总重力荷载代表值， 0.85G

３３ ..５　计算水平地震作用的底部剪力法　５　计算水平地震作用的底部剪力法　


iiii GxFF 1111

3.5.2 各质点的水平地震作用标准值的计算

1H

kH

H1

G1

Gk

Hk

nF

1F

kF

iiGH 11

n

kkk

n

kkEK GHFF

111

11

n

kkkGH

111

n

kkkEK GHF

111 /

EKn

kkk

iii F

GH

GHF

1

地震作用下各楼层水平地震层间剪力为

n

ikki FV

３３ ..５　计算水平地震作用的底部剪力法５　计算水平地震作用的底部剪力法


EKnn FF

3.5.3 顶部附加地震作用的计算

EKn

kkk

iii F

GH

GHF

1

当结构层数较多时，按上式计算出的水平地震作用比振型分解反应谱法小。为了修正，在顶部附加一个集中力。nF H

1

G1

Gk

Hk

1H

kH

nF

1F

kF

nF

)1(

1

nEKn

kkk

iii F

GH

GHF

---结构总水平地震作用标准值；EkF1 ---相应于结构基本周期的水平地震影响系数；多层砌体房屋、底部框架和多层内框架砖房，宜取水平地震影响系数最大值；

eqG --- 结构等效总重力荷载；iF --- i质点水平地震作用；

eqEk GF 1

iG ---i质点重力荷载代表值；

iH --- i质点的计算高度；

n --- 顶部附加地震作用系数，多层内框架砖房0.2, 多层钢混、钢结构房屋按下表 ,其它可不考虑。

gTT 4.11 gTT 4.11 )(sTg

35.0

55.0~35.0

55.0

07.008.0 1 T

01.008.0 1 T

02.008.0 1 T

0

0

0

顶部附加地震作用系数



四、底部剪力法适用范围

底部剪力法适用于一般的多层砖房等砌体结构、内框架和底部框架抗震墙砖房、单层空旷房屋、单层工业厂房及多层框架结构等低于 40m 以剪切变形为主的规则房屋。

以“剪切变形”为主：在结构侧移曲线中，楼盖出平面转动产生的侧移所占的比例较小。

“规则房屋”： 1. 相邻层质量的变化不宜过大。

2.避免采用层高特别高或特别矮的楼层，相邻层和连续三层的刚度变化平缓。



3.出屋面小建筑的尺寸不宜过大（宽度 b大于高度h且出屋面高度与总高度之比满足 h/H<1/5），局部缩进的尺寸也不宜大（缩进后的宽度 B1与总宽度 B之比满足）；

4/3~6/5/1 BBb

h

H

B

4.楼层内抗侧力构件的布置和质量的分布要基本对称； 5. 抗侧力构件在平面内呈正交（夹角大于 75度）分布，以便在两个主轴方向分别进行抗震分析；



6. 平面局部突出的尺寸不大（局部伸出部分在长度方向的尺寸 l大于宽度方向的尺寸 b，且宽度 b与总宽度 B之比满足 b/B<1/5-1/4 ）；

对于不满足规则要求的建筑结构，则不宜将底部剪力法作为设计依据。否则，要采取相应的调整，使计算结果合理化。

bB

l

bB

l

bB

l l

b

B

l



3.5.5 底部剪力法应用举例例 1：试用底部剪力法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。已知结构的基本周期 T1=0.467s ,抗震设防烈度为 8度 ,Ⅱ类场地 ,设计地震分组为第二组。解：（ 1）计算结构等效总重力荷载代表值

8.9)180270270(85.085.0

n

ikkeq GG

kN6.5997

tm 2701

tm 2702

tm 1803

MN/m2451 K

MN/m1952 K

MN/m983 K

10.5m

7.0m

3.5m

（ 2）计算水平地震影响系数

查表得 16.0max

1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震

0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震

9 8 7 6地震影响

烈度地震影响系数最大值（阻尼比为 0.05 ）



解：（ 1）计算结构等效总重力荷载代表值 kN6.5997eqG

例 1：试用底部剪力法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。已知结构的基本周期 T1=0.467s ,抗震设防烈度为 8度 ,Ⅱ类场地 ,设计地震分组为第二组。

tm 2701

tm 2702

tm 1803

MN/m2451 K

MN/m1952 K

MN/m983 K

10.5m

7.0m

3.5m

（ 2）计算水平地震影响系数 16.0max s4.0gT

地震特征周期分组的特征周期值（ s ）

0.90 0.65 0.450.35第三组

0.75 0.55 0.400.30第二组

0.65 0.45 0.35 0.25第一组


gg TTT 51

max21 )(

T

Tg 139.0

)(sT0 1.0 gT gT5 0.6

max2

max45.0

max2)(

T

Tg

max12 )]5(2.0[ gTT

（ 3）计算结构总的水平地震作用标准值

eqEK GF 1kN7.8336.5997139.0



例 1：试用底部剪力法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。已知结构的基本周期 T1=0.467s ,抗震设防烈度为 8度 ,Ⅱ类场地 ,设计地震分组为第二组。解：（ 1）计算结构等效总重力荷载代表值 kN6.5997eqG

tm 2701

tm 2702

tm 1803

MN/m2451 K

MN/m1952 K

MN/m983 K

10.5m

7.0m

3.5m

（ 2）计算水平地震影响系数 16.0max s4.0gT 139.01

（ 3）计算结构总的水平地震作用标准值 kN7.833EKF

（ 4）顶部附加水平地震作用EKnn FF

gTT 4.11 gTT 4.11 )(sTg

35.0

55.0~35.0

55.0

07.008.0 1 T

01.008.0 1 T

02.008.0 1 T

0

0

0

顶部附加地震作用系数56.04.1 gT gTT 4.11 0n

（ 5）计算各层的水平地震作用标准值

)1(

1

nEKn

kkk

iii F

GH

GHF



例 1：试用底部剪力法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。已知结构的基本周期 T1=0.467s ,抗震设防烈度为 8度 ,Ⅱ类场地 ,设计地震分组为第二组。

解：（ 1）计算结构等效总重力荷载代表值 kN6.5997eqG

tm 2701

tm 2702

tm 1803

MN/m2451 K

MN/m1952 K

MN/m983 K

10.5m

7.0m

3.5m



（ 4）顶部附加水平地震作用 0n

（ 5）计算各层的水平地震作用标准值)1(

1

nEKn

kkk

iii F

GH

GHF

7.1667.8335.108.918078.92705.38.9270

5.38.92701

F

5.3337.8335.108.918078.92705.38.9270

0.78.92702

F

5.3337.8335.108.918078.92705.38.9270

5.108.91803

F



例 1：试用底部剪力法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。已知结构的基本周期 T1=0.467s ,抗震设防烈度为 8度 ,Ⅱ类场地 ,设计地震分组为第二组。解：（ 1）计算结构等效总重力荷载代表值 kN6.5997eqG

tm 2701

tm 2702

tm 1803

MN/m2451 K

MN/m1952 K

MN/m983 K

10.5m

7.0m

3.5m



（ 4）顶部附加水平地震作用 0n

（ 5）计算各层的水平地震作用标准值7.1661 F 5.3332 F 5.3333 F

（ 6）计算各层的层间剪力kNFFFV 7.8333211

kNFFV 0.667322 kNFV 5.33333 tm 2701

tm 2702

5.333

5.333

7.166

5.333

0.667

7.833

8.335

6.671

8.845

振型分解反应谱法结果



例 2：六层砖混住宅楼，建造于基本烈度为 8度区，场地为Ⅱ类，设计地震分组为第一组，根据各层楼板、墙的尺寸等得到恒荷和各楼面活荷乘以组合值系数，得到的各层的重力荷载代表值为 G1=5399.7kN, G2=G3=G4=G5=5085kN, G6=3856.9kN。试用底部剪力法计算各层地震剪力标准值。

G1

2.95

2.70

2.70

2.70

2.70

2.70

G2

G3

G4

G5

G6

由于多层砌体房屋中纵向或横向承重墙体的数量较多，房屋的侧移刚度很大，因而其纵向和横向基本周期较短，一般均不超过 0.25s。所以规范规定，对于多层砌体房屋，确定水平地震作用时采用。并且不考虑顶部附加水平地震作用。

max1



例 2：基本烈度为 8度，场地为Ⅱ类，设计地震分组为第一组， G1=5399.7kN, G2=G3=G4=G5=5085kN, G6=3856.9kN。计算各层地震剪力标准值。

解：结构总水平地震作用标准值G1

2.95

2.70

2.70

2.70

2.70

2.70

G2

G3

G4

G5

G6

eqEK GF max

6

1max 85.0

iiG

kN1.40256.2959685.016.0

1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震

0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震

9 8 7 6地震影响


16.0max



G1

2.95

2.70

2.70

2.70

2.70

2.70

G2

G3

G4

G5

G6例 2：基本烈度为 8度，场地为Ⅱ类，设计地震分组为第一组， G1=5399.7kN, G2=G3=G4=G5=5085kN, G6=3856.9kN。计算各层地震剪力标准值。

解：结构总水平地震作用标准值kN1.4025max eqEK GF

EKn

kkk

iii F

GH

GHF

1

各层水平地震剪力标准值

n

ikki FV

各层水平地震作用层 Gi (kN) Hi (m) Gi Hi (kN.m) Fi (kN) Vi (kN)

6 3856.9 17.45

5 5085.0 14.75

4 5085.0 12.05

3 5085.0 9.35

2 5085.0 6.65

1 5399.7 2.95

Σ

67320.9

21328.82

33815.25

47544.75

61274.25

75003.75

306269.72

884.5

985.7

805.3

624.8

444.4

280.4

4025.1

884.5

1870.2

2675.5

3300.3

3744.7

4025.1

29596.6



例 3：四层钢筋混凝土框架结构，建造于基本烈度为 8度区，场地为Ⅱ类，设计地震分组为第一组，层高和层重力代表值如图所示。结构的基本周期为 0.56s, 试用底部剪力法计算各层地震剪力标准值。解：结构总水平地震作用标准值

4.36

3.36

3.36G4 =831. 6

G3 =1039. 6

G2 =1039. 6

G1 =1122.7

3.36

1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震

0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震

9 8 7 6地震影响


地震特征周期分组的特征周期值（ s ）

0.90 0.65 0.450.35第三组

0.75 0.55 0.400.30第二组

0.65 0.45 0.35 0.25第一组


16.0max s35.0gT




4.36

3.36

3.36G4 =831. 6

G3 =1039. 6

G2 =1039. 6

G1 =1122.7

3.36

16.0max s35.0gT

)(sT0 1.0 gT gT5 0.6

max2

max45.0

max2)(

T

Tg

max12 )]5(2.0[ gTT

gg TTT 51

max21 )(

T

Tg

1048.016.0)( 9.0

1

T

Tg

eqEK GF 1 iG85.01

kN3.359)7.112225.10396.831(85.01048.0




4.36

3.36

3.36G4 =831. 6

G3 =1039. 6G2 =1039. 6G1 =1122.7

3.36

16.0max s35.0gT

kN3.3591 eqEK GF

顶部附加水平地震作用s49.035.04.11 T

gTT 4.11 gTT 4.11 )(sTg

35.0

55.0~35.0

55.0

07.008.0 1 T

01.008.0 1 T

02.008.0 1 T

0

0

0

顶部附加地震作用系数

0548.001.008.0 1 Tn

kN7.193.3590548.0 EKnn FF




4.36

3.36

3.36G4 =831. 6

G3 =1039. 6

G2 =1039. 6

G1 =1122.7

3.36

kN3.3591 eqEK GF

顶部附加水平地震作用0548.0n kN7.19 nF

)1(

1

nEKn

kkk

iii F

GH

GHF

各层水平地震作用

131.6

238.9

313.7

359.3

19.7111.9

107.3

74.8

45.6

339.6

12008.3

11517.7

8024.9

4895.0

36445.9

14.44

11.08

7.72

4.36

831.6

1039.5

1039.5

1122.7

4033.3

4

3

2

1

Σ

Vi

(kN)(kN)

Fi

(kN)

GiHi

(kN.m)

Hi

(m)

Gi

(kN)

层nF 各层水平地震

剪力标准值

n

n

ikki FFV



3.5.6 突出屋面附属结构地震内力的调整震害表明，突出屋面的屋顶间（电梯机房、水箱间）、女儿墙、烟囱等，它们的震害比下面的主体结构严重。原因是由于突出屋面的这些结构的质量和刚度突然减小，地震反应随之增大。 ---鞭端效应。《抗震规范》规定：采用底部剪力法时，突出屋面的屋顶间、女儿墙、烟囱等的地震作用效应，宜乘以增大系数 3。此增大部分不应向下传递，但与该突出部分相连的构件应计入。



长周期结构地震内力的调整对于长周期结构，地震地面运动速度和位移可能对结构的破坏具有更大的影响。为了安全，按振型分解反应谱法和底部剪力法算得的结构层间剪力应符合下式要求

n

jjEKi GV

1

VEKi --- 第 i层对应与水平地震作用标准值的楼层剪力；

Gj --- 第 j层的重力荷载代表值。

λ-----剪力系数，不应小于下表数值，对竖向不规则结构的薄弱层，尚应乘以 1.15的增大系数；

类别 7度 8度 9度

扭转效应明显或基本周期小于 3.5s的结构

0.016 0.032 0.064

基本周期大于 5.0s的结构 0.012 0.024 0.040

基本周期介于 3.5s和 5s之间的结构，可插入取值。



３３ ..６　结构的地震扭转效应６　结构的地震扭转效应１ .产生扭转振动的原因　　两方面：建筑自身的原因和地震地面运动的原因。

结构的质心就是结构的重心。结构的刚度中心（刚心）就是结构抗侧力构件恢复力合力的作用点

（ 1）建筑结构的偏心产生偏心的原因：

a. 建筑物的柱体与墙体等抗侧力　　　　　　　　　　　　　　　　构件布置不对称。b. 建筑物的平面不对称。

m

)(tug

质心刚心


３３ ..６　结构的地震扭转效应６　结构的地震扭转效应c. 建筑物的立面不对称。 d. 建筑物的平面、立面均不对称。 e. 建筑物各层质心与刚心重合，但上下层不在同一垂直线上。 f.偶然偏心。（ 2）地震地面运动存在着转动分量，或地震时地面各点的运动存在着相位差。地震波在地面上各点的波速、周期和相位不同。建筑结构基底将产生绕竖直轴的转动，结构便会产生扭转振动。无论结构是否有偏心，地震地面运动产生的结构扭转振动均是存在的。但二者有区别，无偏心结构的平动与扭转振动不是耦合的，而有偏心结构的平动与扭转振动是耦合的。


３３ ..６　结构的地震扭转效应６　结构的地震扭转效应

　　《抗震规范》规定，对于质量和刚度明显不均匀、不对称的结构，应考虑双向水平地震作用下的扭转影响，其他情况下宜采用调整地震作用效应的方法来考虑结构扭转作用的影响。

２ .考虑扭转地震效应的方法（ 1）规则结构不进行扭转耦联计算时，平行于地震作用方向的两个边榀，其地震作用效应宜乘以增大系数。一般情况下，短边可按 1.15、长边可按 1.05 采用；当扭转刚度较小时，宜按不小于 1.3 采用。

（ 2）采用扭转耦联的振型分解反应谱法。


３３ ..７　地基与结构的相互作用７　地基与结构的相互作用

3.7.1 地基与结构的相互作用对结构地震反应的影响1. 地基与结构的相互作用　　当上部结构的地震作用通过基础而反馈给地基时，地基将产生一定的局部变形，从而引起结构的移动或摆动。这种现象称为地基与结构的相互作用。２ .地基与结构相互作用的结果，使地基运动和结构动力特性都发生改变，主要表现在以下几个方面：（１）改变了地基运动的频谱组成；（２）由于地基的柔性，使得结构　　　的基本周期延长；　　　　　　地基与结构相互作用程度（３）由于地基的柔性，使结构的　　　振动衰减。

刚性柔性

坚硬中等程度微小

柔软显著中等程度


规范 5.2.7规定：

结构抗震计算，一般情况下可不计入地基与结构相互作用的影响； 8度和 9度时建造于Ⅲ、Ⅳ类场地，采用箱基、刚性较好的筏基和桩箱联合基础的钢筋混凝土高层建筑，当结构基本自振周期处于特征周期的1.2 倍至 5 倍范围时，若计入地基与结构动力相互作用的影响，对刚性地基假定计算的水平地震剪力可按下列规定折减，其层间变形可按折减后的楼层剪力计算。

３３ ..７　地基与结构的相互作用７　地基与结构的相互作用３ .７ .２考虑地基结构相互作用的抗震设计


1. 高宽比小于 3的结构，各楼层水平地震剪力的折减系数，可按下式计算：

9.0

1

1 )(TT

T

---计入地基与结构动力相互作用后的地震剪力折减系数；

1T --- 按刚性地基假定确定的结构基本自振周期；

T ---计入地基与结构动力相互作用的附加周期按右表采用（单位： s）；

0.250.10 9

0.200.08 8

Ⅳ Ⅲ烈度场地类别

2. 高宽比不小于 3的结构 ,底部的地震剪力按 1款规定折减 , 顶部不折减 ,中间各层按线性插入值折减 .

3.折减后各楼层的水平地震剪力应符合规定。

３３ ..７　地基与结构的相互作用７　地基与结构的相互作用


竖向地震运动是可观的：根据观测资料的统计分析，在震中距小于 200km范围内，同一地震的竖向地面加速度峰值与水平地面加速度峰值之比 av/ah平均值约为 1/2，甚至有时可达 1.6。竖向地震作用的影响是显著的：根据地震计算分析，对于高层建筑、高耸及大跨结构影响显著。结构竖向地震内力 NE/与重力荷载产生的内力 NG的比值沿高度自下向上逐渐增大，烈度为 8度时为 50% 至 90%， 9度时可达或超过 1； 335m 高的电视塔上部， 8度时为138%；高层建筑上部， 8度时为 50% 至 110%。

３３ ..８　竖向地震作用８　竖向地震作用


目前，国外抗震设计规定中要求考虑竖向地震作用的结构或构件有：

1. 长悬臂结构； 2. 大跨度结构； 3. 高耸结构和较高的高层建筑； 4. 以轴向力为主的结构构件（柱或悬挂结构）； 5.砌体结构； 6.突出于建筑顶部的小构件。

我国抗震设计规范规定前三类结构要考虑向上或向下竖向地震作用的不利影响。



计算结构竖向地震作用的方法：静力法：取结构或构件重力的某个百分数作为其竖向地震作用；水平地震作用折减法：取结构或构件水平地震作用的某个百分数其竖向地震作用；竖向地震反应谱法：与水平地震反应谱法相同。

规范采用的是基于竖向地震反应谱法的拟静力法。时程反应分析：



３ .8.1 竖向地震反应谱竖向地震反应谱与水平地震反应谱的比较 :

Ⅰ 类场地竖向地震平均反应谱与水平

地震平均反应谱

形状相差不大

加速度峰值约为水平的 1/2至 2/3。

可利用水平地震反应谱进行分析。



分析结果表明：高耸结构和高层建筑竖向第一振型的地震内力与竖向前 5个振型按平方和开方组合的地震内力相比较，误差仅在 5%--15%。此外，竖向第一振型的数值大致呈倒三角形式，基本周期小于场地特征周期。

因此，高耸结构和高层建筑竖向地震作用可按与底部剪力法类似的方法计算。



3.8.2 高耸结构和高层建筑竖向地震作用的计算公式

eqVEVK GF max

ieq GG 75.0

maxmax 65.0 HV

---结构总竖向地震作用标准值；EVKF

maxmax , HV ---竖向、水平地震影响系数最大值。

H 1G1

H i

nG

iG

EVKF

ViF

EVKn

jjj

iiVi F

HG

HGF

1

---质点 i的竖向地震作用标准值。

规范要求： 9度时，高层建筑楼层的竖向地震作用效应应乘以 1.5的增大系数。



3.8.3 平板型网架屋盖与大于 24m屋架的竖向地震作用计算

si

eii FF /

--- 第 i杆件的竖向地震内力；eiF

--- 第 i杆件的重力内力。siF

反应谱法计算结果表明1. 比值虽不相同 , 但相差不大 ,故可取最大值作为设计依据；2. 比值与烈度和场地类别有关；3. 比值与跨度有关，但在常用的范围内，变化不很大；为了简化，略去其影响；

GG v'

---竖向地震作用系数，按表采用；

v

---重力荷载代表值。G 0.250.250.209

0.13(0.19)0.13(0.19)0.10(0.15)8

0.200.150.159

0.10(0.15)0.08(0.12)可不计算（ 0.10)8

Ⅲ、Ⅳ Ⅱ Ⅰ

钢筋混凝土屋架

平板型网架钢屋架

结构类型烈度

场地类别

采用静力法



对于长悬臂和其它大跨度结构的竖向地震作用标准值， 8度和 9度可分别取该结构、构件重力荷载代表值的 10%和 20%，设计基本地震加速度为 0.30g时，可取该结构构件重力荷载代表值的 15%。


3.8.4 其他结构


３３ ..９　结构地震反应的时程分析法９　结构地震反应的时程分析法１ .定义　　所谓时程分析法，亦称直接动力法，是根据选定的地震波和结构恢复力特性曲线，采用逐步积分的方法对动力方程进行直接积分，从而求得结构在地震过程中每一瞬时的位移、速度和加速度反应，以便观察结构在强震作用下从弹性到非弹性阶段的内力变化以及构件开裂、损坏直至结构倒塌的破坏全过程。２ .适用范围采用时程分析的房屋高度范围　　《抗震规范》规定，对特别不规则的建筑、甲类建筑和下表所列高度范围的高层建筑，应采用时程分析法进行多遇地震作用下的补充计算，并取多条时程曲线计算结果的平均值与振型分解反应谱法计算结果的较大值，同时建议采用简化计算方法或弹塑性时程分析法计算罕遇地震作用下结构的变形。

烈度、场地类别房屋高度范围（ m）

８度Ⅰ、Ⅱ类场地和７度

＞ 100

8度Ⅲ、Ⅳ类场地

＞ 80

9度＞ 60


３３ .. １１ 00 　建筑结构抗震验算　建筑结构抗震验算　　根据“小震不坏，中震可修，大震不倒”的抗震设计思想，采用两阶段的设计方法：第一阶段：对绝大多数结构进行多遇地震作用下的结构和构件承载　　　　　　　　力验算 ,以及多遇地震作用下的弹性变形验算。第二阶段：对一些结构进行罕遇地震作用下的弹塑性变形验算。　　其中包括结构抗震承载力的验算和结构抗震变形的验算。3.10.1 结构抗震承载力验算1. 地震作用的方向（ 1）一般情况下，可在建筑结构的两个主轴方向分别考虑水平地震作用并进行抗震验算，各方向的水平地震作用应由该方向抗侧力构件承担。（ 2）有斜交抗侧力构件的结构，当相交角度大于 15度时，应分别考虑各抗侧力构件方向的水平地震作用。（ 3）质量和刚度分布明显不对称的结构，应考虑双向水平地震作用下的扭转影响其他情况宜采用调整地震作用效应的方法考虑扭转影响。


３３ .. １１ 00 　建筑结构抗震验算　建筑结构抗震验算（ 4） 8度和 9度时的大跨度结构、长悬臂结构， 9度时的高层建筑，应考虑竖向地震作用。2. 重力荷载代表值

式中 ——结构或构件的永久荷载标准值； ——结构或构件第 i个可变荷载标准值； ——第 i个可变荷载的组合值系数，根据地震时的遇合概率确定。3. 结构构件截面的抗震验算（多遇地震下的抗震承载力验算）下列情况可不进行结构强度验算：（ 1） 6度时的建筑（Ⅳ类场地上较高的高层建筑与高耸结构除　　　　　外）；（ 2） 7度时Ⅰ、Ⅱ类场地、柱高不超过 10m 且两端有山墙的单跨及多跨等高的钢筋混凝土厂房，或柱顶标高不超过 4.5m ，两端均有山墙的单跨及多跨等高的砖柱厂房。

kiEikE QGG

EG

kiQ

Ei


３３ .. １１ 00 　建筑结构抗震验算　建筑结构抗震验算

除上述情况的所有结构都要进行结构构件承载力的抗震验算，验算公式为 RERS /S---包含地震作用效应的结构构件内力组合的设计值；R---结构构件承载力设计值；

RE ---承载力抗震调整系数，除另有规定外，按下表采用；材料结构构件受力状态

钢柱、梁支撑节点板件、连接螺栓连接焊缝

0.75

0.80

0.85

0.90

砌体两端均有构造柱、芯柱的抗震墙其他抗震墙

受剪受剪

0.9

1.0

混凝土

梁梁轴压比小于 0.15 柱梁轴压比不小于 0.15 柱抗震墙各类构件

受弯偏压偏压偏压受剪、偏拉

0.75

0.75

0.80

0.85

0.85



RERS /

WkWWEvkEvEhkEhGEG SSSSS

G---重力荷载分项系数，一般取 1.2，当重力荷载效应对构件承载能力有利时，不应大于 1.0 ；

EvEh 、 ---分别为水平、竖向地震作用分项系数，按右表采用； 0.51.3同时计算水平与竖向地震作用

1.30.0仅计算竖向地震作用0.01.3仅计算水平地震作用

地震作用 Eh Ev

W ---风荷载分项系数，应采用 1.4 ；

GES ---重力荷载代表值的效应；EvkEhk SS 、 ---水平、竖向地震作用的标准值效应 ,尚应乘以相应的增大系数或调整　　系数 ;

WkS ---风荷载标准值的效应；

W ---风荷载组合系数 ;一般结构可不考虑 ,风荷载起控制作用的高层建筑应采　　用 0.2;



3.10.2 结构的抗震变形验算结构的抗震变形验算包括在多遇地震作用下的变形验算和罕遇地震作用下的变形验算。1.多遇地震作用下的结构抗震变形验算　　对于按底部剪力法分析结构地震作用时，其弹性位移计算公式为

iee KiViu /)()(

--- 第 i层的层间位移；)(iue

--- 第 i层的侧移刚度；iK

--- 第 i层的水平地震剪力标准值。)(iVe



楼层内最大弹性层间位移应符合下式hu ee ][

--- 多遇地震作用标准值产生的楼层内最大的弹性层间位移；eu

---计算楼层层高；h

][ e ---弹性层间位移角限值，按下表采用。

1/300多、高层钢结构1/1000钢筋混凝土框支层1/1000钢筋混凝土抗震墙、筒中筒1/800钢筋混凝土框架-抗震墙、板柱-抗震墙、框架-核心筒1/550钢筋混凝土框架

结构类型 ][ e


３３ .. １１ 00 　建筑结构抗震验算　建筑结构抗震验算２ .罕遇地震作用下的结构抗震变形验算　　多数结构可以满足在罕遇地震下不倒塌的要求，但对某些处于特殊条件的结构，尚需计算其在强震作用下的变形，即进行第二阶段的抗震设计，以校核结构的抗震安全性。　　《抗震规范》建议，对不超过 12层且层间刚度无突变的钢筋混凝土框架结构及单层钢筋混凝土柱厂房可采用简化计算方法。（ 1）楼层屈服强度系数与结构薄弱层（部位）的确定　　楼层屈服强度系数是指按构件实际配筋和材料强度标准值计算的楼层受剪承载力和按罕遇地震作用计算的楼层弹性地震剪力的比值。

式中　　——按构件实际配筋和材料强度标准值计算的第 i层受剪　　　　　　　　　承载力　　　　——罕遇地震作用下第 i层的弹性承载力。

)(

)(

iV

iV

e

yy

)(iVy

)(iVe



　　相对愈小，弹塑性位移则相对愈大，我们称这一塑性变形集中的楼层为结构的薄弱层或薄弱部位。　　《抗震规范》建议，对于 ξy沿高度分布均匀的结构，薄弱层可取在底层；对于 ξy沿高度分布不均匀的结构，薄弱层可取在 ξy为最小的楼层（部位）和相对较小的楼层，一般不超过２～３处；对于单层厂房，薄弱层可取在上柱。（２）结构薄弱层弹塑性层间位移的简化计算　　　　　　　　　　　　　　　或

式中　　——弹塑性层间位移；　　——层间屈服位移；　——楼层延性系数　　　　　——罕遇地震作用下按弹性分析的层间位移；　　　　　——罕遇地震作用下第 i层的弹性地震剪力； ——第 i层的层间刚度　　　　　——楼层屈服强度系数；　　　　——弹塑性位移增大系数。

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（３）结构薄弱层的抗震变形验算

需要进行结构罕遇地震作用下薄弱层弹塑性变形验算的范围

①下列结构应进行弹塑性变形验算

a.8度Ⅲ、Ⅳ类场地和 9度时 ,高大的单层钢筋混凝土柱厂房的横向排架 ;b.7-9度时楼层屈服强度系数小于 0.5的钢筋混凝土框架结构；c. 高度大于 150m 的钢结构；e. 甲类建筑和 9度时乙类建筑中的钢筋混凝土结构和钢结构；f.采用隔震和消能减震设计的结构。



②下列结构宜进行弹塑性变形验算a.下表所列高度范围且属于下表所列不规则类型的高层建筑结构；b.7度Ⅲ、Ⅳ类场地和 8度时乙类建筑中的钢筋混凝土结构和钢结构；c.板柱 -抗震墙结构和底部框架砖房；d. 高度不大于 150m 的其它高层钢结构。

不规则类型定义侧向刚度不规则该层的侧向刚度小于相邻上一层的 70%，或小于其上相邻三

个楼层侧向刚度平均值的 80%；除顶层外，局部收进的水平向尺寸大于相邻下一层的 25%

竖向抗侧力构件不连续

竖向抗侧力构件（柱、抗震墙、抗震支撑）的内力由水平转换构件（梁、桁架等向下传递

楼层承载力突变抗侧力结构的层间受剪承载力小于相邻上一楼层的 80%

竖向不规则的类型



薄弱楼层弹塑性层间位移的验算：

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---弹塑性层间位移角限值，按下表采用；h ---薄弱层楼层高度或单层厂房上柱高度。

][ p

1/50多、高层钢结构1/120钢筋混凝土抗震墙、筒中筒1/100钢筋混凝土框架-抗震墙、板柱-抗震墙、框架-核心筒1/100底部框架砖房中的框架-抗震墙1/50钢筋混凝土框架1/30单层混凝土柱排架

结构类型 ][ p

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3. 结构地震反应分析与抗震验算