3 Algebra 1ro sec - I

TEMA: SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

TEMA: Expresiones AlgebraicasCONCEPTO

Son aquellas expresiones en las que las operaciones que se usan son slo las de adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potenciacin, radicacin entre sus variables en un nmero limitado de veces.

Ejemplos:

Son expresiones algebraicas

Son expresiones algebraicas

TRMINO ALGEBRAICOEs aquella expresin algebraica en la que no se enlaza a las variables mediante la adicin y la sustraccin, presenta dos partes que con el coeficiente y la parte literal (parte variable)

Ejemplo:

TRMINOS SEMEJANTESSe llaman trminos semejantes de una expresin algebraica a aquellos que tienen la misma parte literal, esto es; la mismas letras con los mismos exponentes. Difieren, entre s en los coeficientes.

Ejemplos:

a) 3xyz2; - 3xzy2; 6xyz2Son trminos semejantes

b) 2a2b; 3a2b; 7a2b; a2bSon trminos semejantes

c) np3; np3, np3

Son trminos semejantes

d) 3a3b; 6ab3

No Son trminos semejantes

CLASIFICACIN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICASLas expresiones algebraicas se clasifican en Monomios y Polinomios.

I) Monomios: Es la expresin algebraica que consta de un solo trmino.Ejemplos:

. 3x; 7x2y; xy3; 0,7 ab; x2yz3 .

II) Polinomios: Es la expresin algebraica de dos o ms trminos.Ejemplos:

. 4x 3y ; 5x2 3y + xy; 3xy + 5y 3x + 6 .

Binomio:

Es la expresin algebraica que consta de dos trminos.

Son binomios:

. 3x2 y; 8x2y + y; 2x + 3; 5x2 + 6 . Trinomio:

Es la expresin algebraica que consta de tres trminos

Son trinomios:

. 3x2 7x + z; 2a2 + 3ab + b2; 7x3 2x2 + 6 .GRADO DE UNA VARIABLEEl grado de una variable es el exponente de dicha variable.

Ejemplo::

En el trmino: 7x2y3 La variable x es de grado 2, o segundo grado.

La variable y es de grado 3, o tercer grado.

GRADO DE UN MONOMIOEl grado de un monomio puede ser relativo o absoluto.

El Grado Relativo o con respecto a una letra o variable est dado por el exponente de dicha letra.

As:

9x3y2 ...... es de tercer grado con respecto a x; y de segundo grado con respecto a y.

Grado Relativo con respecto a x es 3 y Grado Relativo con respecto a y es 2.

Grado Absoluto de un trmino algebraico est dado por la suma de los exponentes de la parte literal.

As:

El grado absoluto de:9x3y2 es:3 + 2 = 5

El grado absoluto de:5x8y5z6 es:8 + 5 6 = 7

GRADO DE UN POLINOMIOEl grado de un Polinomio puede ser relativo y absoluto.

El Grado Relativo o con respecto a una letra es igual al mayor exponente de dicha letra o variable en el polinomio.

As:

Dado el polinomio:

3x2y3 5x3y4 + 7x5y3

Grado relativo con respecto a x es 5.

Grado relativo con respecto a y es 4.

Otro ejemplo:

Dado el polinomio. 5xyz3 + 8x2y3z 2x3y4z2

Grado relativo con respecto a x es: 3.

Grado relativo con respecto a y es: 4.

Grado relativo con respecto a z es: 3.

El Grado Absoluto de un polinomio es igual al grado de su trmino de mayor grado absoluto.

As:

Dado el polinomio:

3x2y3 5x3y4 + 7x5y3

El grado absoluto del monomio 3x2y3 es: 2 + 3 = 5



Luego; el grado absoluto del polinomio:

3x2y3 5x3y4 + 7x5y3 es de octavo grado o de grado 8.

Otro ejemplo:

Dado el polinomio:

6xy2z 5x2y + 10xy4z2 7xy5

G.A. del monomio 6xy2z = 1 + 2 + 1 = 4

G.A. del monomio 5x2y = 2 + 1 = 3

G.A. del monomio 10xy4z2 = 1 + 4 + 2 = 7

G.A. del monomio 7xy5 = 1 + 5 = 6

Luego; el polinomio:

6xy2z 5x2y + 10xy4z2 7xy5 tiene por grado absoluto 7 el polinomio es de sptimo grado.

VALOR NUMRICOHallar el valor numrico de un monomio o de un polinomio es reemplazar cada letra por un valor correspondiente a dicha letra y efectuar las operaciones indicadas.

Ejemplo 1:

Cul es el valor numrico de 5ab; si: a = 3; b = 4?

Resolucin:

Reemplazamos el valor de a = 3 y b = 4, en la expresin:

5ab = 5 x 3 x 4 = 60 ( ( . 5ab = 60 .

La aplicacin del valor numrico tiene un campo amplsimo en el desarrollo de toda clase de frmulas aritmticas, geomtricas, fsicas qumicas, etc.

Orden de Operaciones

Es de suma importancia el orden de las operaciones en el curso, para el desarrollo de los ejercicios o problemas.

Si en un ejercicio, hay distintas operaciones, el orden de las operaciones que se ha de seguir es el siguiente:

1. Se desarrollan las potencias o se extraen las races si las hay.

2. Se efectan las multiplicaciones o divisiones indicadas.

3. Se hacen las sumas o restas de los trminos.

Ejemplo 2:

Hallar el valor numrico del polinomio 3x2 + 5x 6; cuando x = 2.

Resolucin:

Reemplazando el valor de x en la expresin dada, obtenemos:

3x2 + 5x 6 = 3(2)2 + 5 (2) 6

= 3(4) 10 6 = 12 10 6 = 4( . 3x2 + 5x 6 = 4 .

Ejemplo 3:

Hallar el valor numrico de la expresin:

Si: x = 3

Resolucin:

Reemplazamos el valor de x en la expresin dada y obtenemos:

( . .

ADICIN Y SUSTRACCIN DE MONOMIOSPara sumar o restar dos o ms monomios semejantes se suman o restan sus coeficientes y al resultado se le pone la misma parte literal de los monomios semejantes dados.

Ejemplos: Sumar:

a) 3xy2 + 7xy2 2xy2 = (3 + 7 2)xy2 = 8xy2b) 5xyz3 + 8xyz3 = (5x + 8)xyz3 = 13xyz3c) axnym + bxnym cxnym = ()xnymPara sumar o restar dos o ms monomios no semejantes, slo se indica la suma o diferencia de ellos.

Ejemplos: Sumar:

a) 3xy + xz = 3xy + 3xz.

b) 7ab2 + 8ab 5b2a = 7ab2 + 8ab 5b2a

= 7ab2 5ab2 + 8ab = 2ab2 + 8ab

MULTIPLICACIN DE MONOMIOSPara hallar el producto de dos monomios se multiplican las coeficientes de ellos. A continuacin de este producto se escriben en orden alfabtico, todas las letras de los monomios dados poniendo a cada una un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores.

Ejemplo 1:

Hallar el producto de: 3x3 por 2x2

Resolucin:3x2 . 2x2 = (3 . 2) (x3 . x2)

(3 . 2) ( Multiplicamos los coeficientes

(x3 . x2) ( Multiplicamos las partes literales

3x3 . 2x2 = (6)(x3 + 2) = 6x5 ( ( 3x3 . 2x2 = 6x5Ejemplo 2:

Hallar el producto de: 8x4 por 9x2y3

Resolucin:8x4 . (9x2y3) = 8(9) (x4 . x2 . y3)

8x4 . (9x2y3) = 72x4 + 2 . y3

= - 72x6y3

( . 8x4 . (9x2y3) = 72x6y3 .RECUERDA QUE:

an . am = an+m

POTENCIAS DE MONOMIOSLa potencia de monomios en un caso particular de la multiplicacin de monomios. Es una multiplicacin de factores monomios iguales.

Ejemplo 1:

(2x3)2 = 2x3 . 2x3 = 2 . 2 . x3 . x3 = . 4x6 .

Ejemplo 2:

(5a2)3 = 5a2 . 5a2 . 5a2 = 5 . 5 . 5 . a2 .a2. a2 . = . 125a6 .NOTA:

Para hallar la potencia de un monomio se aplican las propiedades siguientes:

. (a . b)n = an . bn . ; . (an)m = an . m .

Ejemplos:

a) (5a2b)3 = 53 . (a2)3 . b3 = 125a6z . b3b) (3xy2)5 = (3)5 . x5(y2)5 = 35x5y10 = . 243x5y10c) (4x2z)2 = (4)2 = (x2)2z2 = 16x4z2d) (3x2)3 . (2x)2 = (3)3 . (x2)3 . 22 . x2 = 33 . x6 . 4 . x2 = 7 . 4x8 = 108x8.

DIVISIN DE MONOMIOS

Para hallar el cociente de dos monomios se divide el coeficiente del dividendo entre el divisor y a continuacin se escriben las letras en orden alfabtico ponindole a cada una un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene el dividendo y el que tiene en el divisor.

Ejemplo 1:Halla el cociente de dividir: 16x4 ( 8x2

Resolucin:

. 2x2 .

RECUERDA QUE:

Ejemplo 2:Halla el cociente de dividir: (28x4y6) ( (7x3y2)Resolucin:

. 6x3 .USO DE LOS SIGNOS DE AGRUPACINEn lgebra los signos de agrupacin: parntesis ( ); corchetes [ ]; llaves { }; barras ___; se usan para agrupar trminos y separar operaciones.

Si un signo de agrupacin es precedido por un signo positivo, ste se puede suprimir sin variar los signos de los trminos que estn dentro del signo de agrupacin, veamos:

a + (+ b) = a + b ; a + (b) = a b

Ejemplo: 16x + (8x + 9y) 10y

= 16x 8x + 9y 10y

= 8x y

Se suprimen los parntesis y no cambian los signos de los trminos comprendidos entre ellos.

Si un signo de agrupacin es precedido por un signo negativo, lo podemos suprimir cambiando los signos de los trminos que estn dentro del signo de agrupacin, veamos:

a (+ b) = a + (b)

a (b) = a + (+b)

= a b = a + b

Ejemplo: 10a (6a - 7b) + 4b

= +

= 4a + 11b

Se suprimen los parntesis y se cambian los signos de todos los trminos comprendidos entre ellos

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Efectuar:

8x (2x - 3) (x + 6)

Rpta.

2. Reducir:

a (2,3b 5,2a) (3,5a + 4,2b)

Rpta.

3. Simplificar:

(6x 3y + 5z) (4y 6z 3x) + x y + z

Rpta.

4. Efectuar:

p (p 0,2q) + (0,222.....q p) + q

Rpta.

5. Reducir:

12a [ 9a (2a + 7) + 3a] 26

Rpta.6. Reducir:

y { y [ y { y ( y + x) x} + x ]} x

Rpta.

7. Efectuar:

[ 0,2x [0,4x2 + (0,05x2 + 0,7x)]] x

Rpta.

8. Efectuar:

{[(2p 3) (3p + 4q)]} {2q (3p + q) p}

Rpta.

9. Efectuar

a +

Rpta.

10. Simplificar:

( 4x + y) + (5x + 3y) (x y)

Rpta.

11. Reducir:

b { c [ d { c () + a} d] a}

Rpta.

12. Simplificar:

{q + [p + q ( 3p 6q) + p] 0,3333....q}

Rpta.13. Reducir:

8x2y + 16x2y 10x2y

Rpta.

14. Reducir:

17x4y3z2 + 16x4y3z2 28x4y3z2Rpta.

15. Reducir:

10x2y + 12xy2 + 2x2y 6xy2 8x2y

Rpta.

PROBLEMAS PARA LA CASA1. Hallar el grado absoluto del polinomio:

P(x;y;z) = 5x2y3z4 + 7x4y7z9 + 9x5y2z7A) 14

B) 9

C) 20

D) 18

E) 15

2. El monomio: 3xa+b5 yb3Es de G.R.(x) = 5 y G.R.(y) = 2

Entonces a vale:

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

3. En el polinomio

P(x) = xm + 3 + xm + 1 + 7

El grado absoluto es 10, entonces el valor de m es:

A) 6

B) 7

C) 4

D) 5

E) 9

4. Si: x = 2, y = 1, el valor de la expresin 2x2y 3xy2 + xy, es:

A) 16

B) 3

C) 12

D) 7

E) 4

5. Los 3/2 de:

; Cuando:

Es:

A) 69

B) 46

C) 69

D) 60

E) 63

6. Si los trminos 6xyb3; 2xy10 son semejantes, calcular el valor de b

A) 12

B) 11

C) 13

D) 14

E) 10

El hombre es una mirada; el resto es slo carne. Pero al verdadera mirada es la que ve al amigo. Funde tu cuerpo entero en tu mirada, vete hacia la visin, vete hacia la visin....

DyalayAlDinRumi

7. Hallar m ( N, sabiendo que el polinomio P(x) es de grado 36.

P(x) = 0,2[x5m+3]2 + [xm+1]3A) 3

B) 6

C) 2

D) 5

E) 8

8. La expresin:

0,2x + y + x 0,25 y equivale a:

A)

B) 0,8x 0,5y

C) x y

D) x + 0,5y

E) 0,6x 0,5y

9. Al resolver:

x [x {y (2x y)} + x (y)]

Se obtiene:

A) 3x y

B) x 3y

C) x + y

D) x + y

E) y x

10. Si: a = 2; b = 4; c = 3; d = 9; entonces el valor de es:

A) 67

B) 71

C) 72

D) 73

E) 77

CLAVES

1. C

2. E

3. B

4. A

5. C6. C

7. A

8. D

9. C

10. B

TEMA: Teora de ExponentesCONCEPTO

Estudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que existen entre ellos, mediante leyes.

La operacin que da origen al exponente es la potenciacin.

POTENCIACIN

Es la operacin que consiste en repetir un nmero denominado base, tantas veces como factor, como lo indica otro nmero que es el exponente, el resultado de esto se le denomina potencia.

Representacin:

. .Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

5.

LEYES FUNDAMENTALES

1. Producto de Potencias de Igual Base. xa . xb = xa+b .Ejemplos:

1. 23 . 24 = 23+4 = 272. 25 . 2-4 . 27 = 254+7 = 322. Cociente de Potencias de Igual Base. .

x ( 0

Ejemplos:

1. = 284 = 42. = 26(5) = 213. Producto de Potencias de Diferente Base. xa . ya = (x . y)a .Ejemplos:

1. 23 . 43 = (2 . 4)32. 3 . 6 = (3 . 5)

4. Cociente de Potencias de Bases Diferentes. .y ( 0

Ejemplos:

1.

2.

5. Potencia de Potencia. .OBSERVACIN:

(xa)b = (xb)a = xa . b

6. Exponente Negativo. .

. . x ( 0y ( 0

Ejemplos:

1.

2.

7. Exponente Nulo o Cero. x0 = 1 .

x ( 0

Ejemplos:

1.

2.

8. Exponente Fraccionario. .

b ( 0

Ejemplos:

1.

2.

9. Producto de Radicales Homogneos. .Ejemplos:

1.

2.

10. Potencia de un Radical. .11. Raz de Raz. .OBSERVACIN:

Ejemplos:

1.

2.

EJEMPLOS DE APLICACINEn cada caso completar:

1. x2 . x3 . x4 = ________

2. = ________

3. 23 . 33 . 53 = ________

4. = ________

5. = ________

6. = ________

7. = ________8. 23 = ________

9. = ________

10. = ________

11. = ________

12. = ________

Los nios son como el cemento fresco. todo lo que les cae les deja una impresin indeleble

W. Stekel


1. Luego de operar

35 . 24 . 72 . 33 . 23 . 72Se obtiene

Rpta.

2. Si xn = 3

A que es igual x2nRpta.

3. Si xx = 2, calcular xxRpta.

4. Reducir

Rpta.

5. Cual es el exponente final de b en:

; b ( 0

Rpta.6. Reducir:

Rpta.

7. Reducir:

Rpta.

8. Cual es el exponente de xx en x5xRpta.

9. Reducir:

Rpta.

10. Reducir:

Rpta.

11. Si , hallar x

Rpta.

12. Si x3 = 8, hallar x2Rpta.

13. Simplificar:

Rpta. 14. Simplificar:

Rpta.

15. Simplificar:

Rpta.

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Despus de operar

45 . 34 . 82 . 43 . 33 . 82Se obtiene:

A) 16

B) 24

C) 48

D) 8

E) 32

2. Si xn = 7, hallar el valor de x2nA) 14

B) 21

C) 49

D) 16

E) 1

3. Si xx = 5, Calcular xxA)

B)

C)

D)

E)

4. Reducir

A) 10

B) 12

C) 16

D) 8

E) 64

5. Cual es el exponente final de a en:

, a ( 0A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

6. Reducir

A) 11

B) 22

C) 33

D) 44

E) 55

7. Reducir

A)

B)

C)

D)

E) N.A.

8. Reducir

A) 1

B) 1

C) 2

D) 2

E) 3

9. Simplificar:

A) 1

B) 3

C) 5

D) 7

E) 9

10. Simplificar

A) 32

B) 42

C) 49

D) 21

E) 7

CLAVES

1. C

2. C

3. D

4. B

5. C6. C

7. E

8. B

9. C

10. B

Si nunca abandonas lo que es importante para ti, si te importa tanto que ests dispuesto a luchar para obtenerlo, te aseguro que tu vida estar llena de xito. ser una vida dura, porque la excelencia no es fcil pero valdr la pena.

R. Bach

TEMA: PolinomiosCONCEPTO

Es aquella expresin algebraica con 2 o ms trminos.

GRADO DE UN POLINOMIO

1. Grado Relativo (GR)

Es el mayor exponente de la variable en referencia.

Ejemplo:

Luego:

GR(x) = 10

GR(y) = 7

2. Grado Absoluto (GA)

a) Para un Monomio: se obtiene sumando los grados relativos.

b) Para un Polinomio: se obtiene como el mayor grado absoluto de los monomios que lo conforman

POLINOMIOS ESPECIALES

Son aquellos que tienen ciertas caractersticas y de acuerdo a ello son:

1. Polinomio Ordenado

Cuando el exponente aumenta o disminuye de manera ordenada:

Ejemplos:

1. P(x;y) = 5x + x2y + 4x5Es ordenado creciente respecto a x

2. Es ordenado y creciente respecto a b

Es ordenado y creciente respecto a a

2. Polinomio Completo

Si existen todos los grados incluyendo el trmino independiente, hasta un grado determinado

Ejemplos:

1. P(x) = 3x2 5x + 7 2x3Es completo de grado 3

2. Q(x;y) = 3x 2y2 + 5x2y + x3y4 2x4y3Es completo respecto a x e y

y GR(y) = 4,GR(x) = 4

Propiedad:

En todo polinomio completo

Nmero de trminos = G.A. + 1

3. Polinomio Homogneo

Es homogneo si cada uno de los trminos tiene el mismo G.A.

Ejemplo:

P(x;y) = 32x3y4 + 20x6y 10x2y5

Propiedad:

Trminos Semejantes:

Dos o ms trminos no nulos son semejante si solo difieren en los coeficientes.

Ejemplo:

T1(x,y) = 21x7y4

T2(x,y) = x7y4

T3(x,y) = x7y4

4. Polinomio Idnticos

Dos o ms polinomios son idnticos cuando tienen los mismos valores numricos para cualquier valor de la variable

Ejemplo:

P(x;y) = (x + y)2 4xy

Q(x;y) = (x y)2a) Polinomio Idnticamente Nulo

Un polinomio es idnticamente nulo, si para cualquier valor de su variable el polinomio se anula.

b) Polinomio Mnico

Un polinomio es un monomio cuando el coeficiente principal es 1.

Ejemplo:

A(x) = 1 + x2 + x3

B(x) = 9x4 + x3 + x5Propiedad:

1. Cambio de Variable

Ejemplo

Sea P(x)=3x + 1

( P(x + 1) =

P(x + 1) = 3 (x + 1) + 1

P(x + 1) = 3x + 3 + 1

P(x + 1) = 3x + 4

2. Suma de Coeficientes

. .Ejemplo:

Sea: P(x) = 3x2 + 6x + 1

3. Trmino Independiente:

. .Ejemplo:

Sea: P(x) = (5X + 3)2T.I. = P(0)= (0 + 3)2 = 32 = 9

EJEMPLOS DE APLICACIN1. Si R(x,y) = ax2y3 + bx4y5HallarG.R.(x) = _ _ _ _ _

G.R.(y) = _ _ _ _ _

G.A. = _ _ _ _ _

2. Ordenar el polinomio P(x) de manera decreciente.

P(x) = 1 + 2x3 + 3x2 + 5x + 6x4

3. El siguiente polinomio es completo?

P(x,y) = 6x3 + 5x2y+ 4xy2 + -3x3

Con respecto a x _ _ _ _ _

Con respecto a y _ _ _ _ _

4. Cul es el coeficiente principal de:

Q(x) = 5x2 + 3x4 2x + 3

EJERCICIOS TOMADOS EN LOS CONCURSOS DE MATEMTICA

1. Calcular: (a b) si el monomio:

M(x,y) = 5x2a + b ya + 2b; tiene G.A. = 15 y G.R.(x) = 8

A) 1B) 1C) 2D) 2E) 3

ResolucinM(x;y) = 5x2a +b ya + 2b G.R.(x) = 8

2a + b = 8 ( b = 8 2a

.... (I)

G.A. = 15

(2a + b) + (a + 2b) = 15

3a + 3b = 15

.... (II)Reemplazamos (I) en (II):

3a + 3(8 2a) = 15

3a + 24 6a =15

(9 = 3a

(. a = 3 .Reemplazamos el valor de a = 3; en (I)

b = 8 2(3)(. b = 2 .(. a b = 3 2 = 1 .

Rpta. A

2. Si el grado de: F(x,y) = es 2. Calcular el grado de Q(x;y) = xaya + 5A) 16B) 17C) 18D) 19E) 20

ResolucinAplicando la propiedad:

En el:F(x;y) = ; obtenemos:

F(x;y) =

Por dato:

(a + 3 = 2(a 2)

a + 3 = 2a 4

. 7 = a . Luego, reemplazamos el valor de a = 7 en el monomio:

Q(x;y) = xa . ya + 5

Q(x;y) = x7. y7 + 5 = x7 . y12; siendo el grado de este monomio: 7 + 12 = 19

(. El grado de: Q(x;y), es: 19 .

Rpta. D

3. Calcular: m + n, si se sabe que el monomio:

P(x;y) = 4nxm + nym + 2n es de:

G.A. = 10; G.R.(Y) = 6

A) 3B) 4C) 5D) 6E) 8

Resolucin Por dato:

G.R.(y) = 6

m + n2 = 6 ( m = 6 2n

.... (I) G.A. = 10

(m + n) + (m + 2n) = 10

.... (II) Reemplazando (I) en (II); obtenemos:

2(6 2n) + 3n = 10

12 4n = 3n = 10

( . 2 = n . Reemplazamos el valor de n = 2; en (I)

m = 6 2(2) ( m = 2

(. m + n = 2 + 2 = 4 .

Rpta. B

4. Siendo F(x) =

Determinar: F(98)

G.A. = 10; G.R.(Y) = 6

A) 108B) 102C) 98D) 100E) 1000

Resolucin Aplicando: . (A - B)2 = A2 2AB + B2 .Obtenemos:

F(x) =

F(x) =

F(x) = x + 2 de esta expresin, calculamos:

F(98) = 98 + 2 = 100

( . F(98) = 100 .

Rpta. D

5. Si f(x) es un polinomio de primer grado tal que verifique:

i) f(0) = 5

ii) f(1) = 3

Segn ello determine f(1)

A) 3B) 4C) 5D) 6E) 7

ResolucinComo f(x) es un polinomio de primer grado

Ser de la forma:f(x) = ax + b

Luego:

f(0) = a(0) + b

. 5 = b .

f(1) = a(1) + b

3 = a + b

3 = a + 5(. a = 2 .

De la expresin:f(x) = ax + b

f(x) = 2x + 5

Calculamos:

f(1) = 2(1) + 5

( . f(1) = 7 .

Rpta. E

6. Si: P(x;y) = 2yxm + 1 3xmyn + 5 . yn + 2 . x. Tiene el grado relativo en x a 7, y en y a 9, hallar el grado absoluto del polinomio.

A) 7B) 13C) 9D) 16E) 14

Resolucin G.R.(x) = 7

m + 1 = 7(. m = 6 .

G.R.(y) = 9

n + 2 = 9(. n = 7 .

Del polinomio: P(x;y) = 2yxm + 1 3xmyn + 5 . yn + 2 . x Luego el grado absoluto del polinomio es:

( . m + n = 6 + 7 = 13 .

Rpta. B

7. Si el grado de A es 8 y el grado de B es 4. Calcular el grado de:

A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6

Resolucin Grado de A = 8

( Grado de (A2) = 2 x 8 = 16

Grado de B = 4

( Grado de (B3) = 3 x 4 = 12

Cuando las expresiones se multiplican los grados se suman:

Grado (A2B3) = 16 + 12 = 28

(Grado (A2B3) = 28

Cuando la expresin est afectada por un radical el grado se divide por el ndice radical

Grado

( . Grado .

Rpta. C

8. Indicar el grado relativo de y en el polinomio homogneo:

A) 1B) 3C) 4D) 5E) 7

Resolucin Como el polinomio es homogneo, el grado de cada monomio debe ser igual, o sea:

n2 + 4 = 2n + 3 = 5 m

i) n2 + 4 = 2n + 3

n2 2n + 1 = 0

(n 1)2 = 0

( . n = 1 .ii) 2n + 3 = 5 m

2(1) + 3 = 5 m

5 = 5 m

( . m = 0 . Luego, calculamos el grado relativo de y

G.R.(y) = 5 m = 5 0 = 5

( . G.R.(y) = 5 .

Rpta. D

9. Determinar m si el siguiente polinomio es homogneo

P(x;y) = 3xm + 1 . yn + 3 + 2xa . yb + x2m . yn + 2A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5

Resolucin Como el polinomio:

P(x;y) = 3xm + 1 . yn + 3 + 2xa . yb + x2m . yn + 2Es homogneo:

m + 1 + n + 3 = a + b = 2m + n + 2

m + n + 4 = a+ b = 2 m + n + 2

i) m + n + 4 = 2m + n + 2

( . 2 = m .

Rpta. B

10. Si el polinomio P(x;y) es idnticamente nulo, hallar

P(x;y) = (9 n)x2y + mxy2 + 3x2y 2xy2

A) 15B) 14C) 12D) 225E) 144

Resolucin En primer lugar agrupamos los trminos semejantes de la manera siguiente:

P(x;y) = (9 n)x2y + mxy2 + 3x2y 2xy2P(x;y) = (9 n + 3)x2y + (m 2)xy2

P(x;y) = (12 - n)x2y + (m 2)xy2 Para que este polinomio:

P(x;y) = 3xm + 1 . yn + 3 + 2xa . yb + x2m . yn + 2

Sea idnticamente nulo, debe cumplirse que:

i) (12 n) = 0

( . 12 = n .ii) m 2 = 0

( . m = 2 .Luego:

( . .

Rpta. E

11. Hallar A + B + C en la identidad:

Ax2 + Bx2 Cx + B = x2 + 3x 1A) 3/2B) 1/2C) 582D) 5/2E) 3/2

ResolucinAgrupamos los tmanos de manera la siguiente:

(Ax2 + Bx2) Cx + B = x2 + 3x 1

(A + B)x2 Cx + B = x2 + 3x 1

Identificando:

i) . .ii) C = 3(. C = -3 .iii) . B = 1 .Luego:A +B + C = + (3)

(. .

Rpta. C

Tu eres mi hermano porque eres un ser humano y ambos somos hijos de un nico Espritu Santo; somos iguales y estamos hechos de la misma tierra. Eres mi compaero en el sendero de la vida y mi ayuda para comprender el significado de la verdad oculta. Eres humano y esto basta para que te ame como hermano...

Kahil Gibrn


1. Sean:

R(x,y) = 3x3y6H(x,y) = 10xa + 1 y4Trminos semejantes; hallara + b

Rpta.

2. Si el coeficiente principal de:

P(x) = x2 + (a + 3) x3 + 2x + a

Es cinco, calcular su trmino independiente.

Rpta.

3. Sea: P(x) = xa + x2 + x + 1, un polinomio de 3er grado, calcular P(2)

Rpta.

4. Sean:

P(x) = ax2

Q(x) = 3xa + 2

Si P y Q tienen el mismo coeficiente, calcular el exponente x en Q

Rpta. 5. Si P(x) = x2001 3x2000 + 1. Hallar P(3)

Rpta.

6. Sea

P(x) = (a + 3) xa + 3x + 5, un polinomio cbico, calcular su coeficiente principal

Rpta.

7. Sea: P(x) = ax2 + bx + c; c ( 0 Adems P(1) = 0, hallar .

Rpta.

8. Sea: P(x) = ax + b ; a ( 0 Adems P(2) = a, calcular:a + b

Rpta.

9. Si Q(x) = x + 3 y Q(a) = b

Calcular b a

Rpta.

10. Si f(x) = , hallar

Rpta.

11. Si R(x) = x + 2, R(2n) = 4. Hallar n2Rpta.

12. Sea P(x) = 1 + 2x + 3x2 + 4x3. Hallar P(0) + P(1)

Rpta. 13. Sea P(x) = x2 + x a2, P(a) = 3. Hallar el trmino independiente de P(x)

Rpta.

14. Sea P(x) = 2x + 3, HallarP(x2)

Rpta.

15. Si P(x + 1) = 5x + 2, Hallar P(x)

Rpta.

Me preguntas qu es Dios? No s qu decirte; lo que si puedo afirmar es que siempre ser mucho ms de lo que la naturaleza humana puede ofrecerte.

Francisco Jaramillo


1. Sean:

P(x,y) = 4x4 ym

Q(x,y) = 10xn+2y5,

Hallar m + n,

Si son trminos semejantes

A) 2

B) 3

C) 7

D) 8

E) 1

2. Si el coeficiente principal de:

Q(x) = x4 + (k + 2)x5 + 2x + k, es 5, calcular su trmino independiente:

A) 8

B) 6

C) 3

D) 1

E) 5

3. Sea: R(x) = xn + nx2 + x + n, un polinomio de 3er grado, calcular P(3)

A) 30

B) 40

C) 50

D) 60

E) 70

4. Sean:

A(x) = Kx2

B(x) = 5xk+3

Si A y B tienen el mismo coeficiente, calcular el exponente de x en B

A) 6

B) 7

C) 8

D) 16

E) 1

5. Si Q(x)= x800 2x799 + 3. Hallar Q(2)

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 6

6. Sea:

R(x) = (K + 2) xK1 + 3x2 + 6Un polinomio de 5to grado, hallar el coeficiente del trmino principal.

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 9

Cualquier cosa que valga la pena hacerse bien, vale la pena hacerla despacio.

Gipsy Rose Lee7. Sea:

P(x) = ax3 + bx2 + cx + d

AdemsP(1) = 0, Hallar

A) 0

B) 1

C) 1

D) 5

E) 4

8. Si P(x) = ax2 + b, a ( 0 y adems P(3) = a, Calcular

A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 8

9. Sea P(x) = 3x + 5, hallar P(x+1)

A) 3x-2

B) 2x+3

C) 3x+2

D) 3x

E) 2

10. Si P(x+3) = 3x + 4, Hallar P(x)

A) 3x+5

B) 5x+3

C) 3x5

D) 3x

E) 5

CLAVES

1. C

2. C

3. D

4. C

5. C6. D

7. C

8. E

9. C

10. C

TEMA: Productos NotablesCONCEPTO

Son los resultados de cierta multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa.

PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES

1. Binomio Suma o Diferencia al Cuadrado (T.C.P.)

. (a ( b)2 = a2 ( 2ab + b2 .Identidades de Legendre

(a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2)

(a + b)2 (a b)2 = 4ab

(a + b)4 (a b)4 = 8ab (a2 + b2)

Ejemplos:

(a + 5)2 (a 5)2 = 4a . 5 = 20a

2. Diferencia de Cuadrados

. a2 b2 = (a + b) (a b) .Ejemplos:

(x + 2) (x 2) = x2 4

3. Binomio al Cubo

. .. .Ejemplo:

(2 + 3)3 = 23 + 3 . 22 . 3 + 3 . 2 . 32 + 33(2 + 3)3 = 8 + 36 + 54 + 27

(2 + 3)3 = 125

4. Producto de Binomios con Trmino Comn

. (x + a)(x+ b) = x2 + (a + b)x + ab .EJEMPLOS DE APLICACINSimplificar:

1.

2. Simplificar:

N = (a + b) (a b) + b2

3. Si a + b = 16, Simplificar:

4. Simplificar


1. Simplificar:

Rpta.

2. Reducir:

Rpta.

3. Simplificar:

Rpta.

4. Si: a + b = 2 y ab = 1, hallar a2 + b2Rpta.

5. Si , hallar

Rpta.6. Sabiendo que:

(x + 1)2 =3, Calcular x2 + 2x 2

Rpta.

7. Si (a + 2b) ( a 2b) = 0: b ( 0. calcular

Rpta.

8. Si (x + y + 1) (x + y 1) = 1, calcular (x + y)2Rpta.

9. Si a + b = 4 y ab = 3, hallar a3 + b3Rpta.

10. Si: a b = 2 y ab = 15, Hallar a 3 b3Rpta.

11. Simplificar:

Rpta.

12. Reducir:

P = (x + 4) (x + 2) 6x 8Rpta.

13. Si: 42 4a + 1 = 0, calcular:4a + 3

Rpta.14. Reducir

(x + 1) (x 1) + (x + 2)x +(x + 3) (x + 1) x2Rpta.

15. SI , hallar

Rpta.


1. Simplificar:

A)

B)

C) 4xy

D) 5xt

E)

2. Reducir:

A) x

B) x2C) xy

D) y2E) y

3. Simplificar:

A) 0

B) 1

C) 4

D) 8

E) 14

4. Si: x + y = 5 y x . y = 6, Hallar x2 + y2A) 11

B) 12

C) 13

D) 14

E) 15

5. Si:, Hallar

A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

E) 16

6. Sabiendo que: (x + 2)2 = 36, hallar x2 + 4x 2

A) 10

B) 20

C) 30

D) 40

E) 50

7. Si (a + 3b) (a 3b) = 0, b ( 0, calcular

A) 3

B) 6

C) 9

D) 12

E) 15

8. Si (a + b) = 6 y ab = 8, hallar a3 + b3A) 36

B) 72

C) 144

D) 216

E) 108

9. Si (a + b + 1) (a + b 1) = 3, hallar (a + b)2A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

10. Si x y = 4

Simplificar:

A) 5

B) 3

C) 2

D) 1/2

E) 4

CLAVES

1. A

2. A

3. B

4. C

5. C6. C

7. C

8. B

9. E

10. E

El xito consiste en una serie de pequeos esfuerzos diarios.

Mamie Mc Cullough

TEMA: Divisin AlgebraicaDIVISIN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO

Para dividir polinomio entre un monomio, se divide cada uno de los trminos del polinomio separadamente entre el monomio divisor:

Ejemplo:

= 6x5y3 3x2y5 + 5x4DIVISIN DE DOS POLINOMIOS

Para dividir dos polinomios tenemos la siguiente regla prctica:

1. Se ordenan el dividendo y el divisor segn la misma letra, dejando espacios para los trminos que faltasen.2. Se divide el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del divisor para obtener el primer trmino del cociente.3. Se multiplica el primer trmino del cociente por todo el divisor y el producto se resta del dividendo. Para ello se coloca cada trmino de este producto debajo de su semejante cambiando de signo.4. Se divide el primer trmino del residuo, entre el primero trmino del divisor, para obtener el segundo trmino del cociente.5. Este segundo trmino se multiplica por todo el divisor y este producto se resta del residuo anterior.6. Se divide el primer trmino del segundo residuo, entre el primer trmino del divisor para obtener el tercer trmino del cociente.7. Se contina anlogamente a los pasos anteriores hasta que el residuo sea un polinomio de menor grado que el divisor.Ejemplo:

Dividir

7x 3 + 2x4 x3 entre 2x + 3

Resolucin:

Ordenando en sentido decreciente y completando

2x4 x3 + 0x2 + 7x 3 ente 2x + 3

Sera:

El cociente es x3 2x2 + 3x 1 y el residuo es cero

Ejemplo:

Dividir

Cociente Q(x) = _ _ _ _ _

Cociente R(x) = _ _ _ _ _

MTODOS ALTERNATIVOS DE DIVISIN

Coeficientes Separados

En la divisin de polinomios de una sola variable podemos prescindir de la parte literal.

Ejemplo:

Dividir

20x3 2x2 + 16 x + 2 entre 4x 2

Q(x) = 5x2 + 2x 3

R(x) = 2

Ejemplo:

Dividir: x5 + 2x4 x2 + 3 entre x2 2x + 1

Cociente Q(x) = _ _ _ _ _

Cociente R(x) = _ _ _ _ _

Mtodo de Horner

Primeramente se trazan dos rectas que se intersecten, una vertical y otra horizontal. Encima de la recta horizontal y a la derecha de la vertical se colocan los coeficientes del dividendo con su propio signo. Encima de la vertical izquierda se coloca el primer coeficiente del divisor con su propio signo en ese mismo sitio y debajo de la horizontal se coloca el resto de coeficientes del divisor con el signo cambiado.

Ejemplo:

Dividir: 2x4 x3 + 4x2 + 5x 1 entre 2x2 + x 1

Para comenzar a dividir se traza otra raya vertical entre los coeficientes del dividendo, el nmero de columnas a contar de derecha a izquierda es igual al grado del divisor, sta raya servir para separar el cociente del residuo. Adems se traza otra recta horizontal para colocar debajo de ella la respuesta.

En el ejemplo:

Para empezar a dividir1. Se divide el primer trmino del dividendo entre el nmero encerrado en un crculo el resultado se coloca debajo de la segunda raya horizontal y se multiplica por cada uno de los nmero que estn a la izquierda, de la raya vertical y debajo de la recta horizontal, colocando los productos debajo de los nmeros que le siguen al primero.

2. Se suma la siguiente columna, el resultado se divide entre el nmero encerrado en una circunferencia y se coloca como resultado debajo de la raya horizontal, se procede igual que en el paso anterior.

3. La operacin se realiza hasta completar el resultado correspondiente a todas las columnas, despus de la 2da raya vertical, luego de esa raya la suma de las columnas ya no se divide entre el nmero encerrado en la circunferencia.

La desgracia abre el alma a una luz que la prosperidad no ve.

Lacordaire

Ejemplo:

Dividir

6x5 + 7x4 18x3 + 10x2 + 7x 9 entre 3x3 + x2 + 2

Q(x ) = _ _ _ _ _ _

R(x) = _ _ _ _ _ _

Mtodo de Ruffini

Este mtodo es aplicable a divisores de la forma: (x ( a) y con ciertas restricciones a divisores de la forma (axn ( b).

1. Divisor de la forma (x ( a)

Para dividir por el Mtodo de Ruffini, se trazan dos rayas que se intersectan, una vertical y otra horizontal. Encima de la raya horizontal y a la derecha de la vertical se colocan los coeficientes del dividendo con su propio signo y encima de la raya horizontal y a la izquierda de la vertical se coloca el valor de x que anula al divisor.

Ejemplo:

Dividir:

x3 2x2 + x 5 entre x 2

Para comenzar a dividir se procede de la siguiente manera:

Q(x) = x2 + 1

R(x) = 3

Ejemplo:

Dividir

x5 8x3 + 4x2 5 entre x 2

Q(x) = _ _ _ _ _

R(x) = _ _ _ _ _

TEOREMA DEL RESTO

Este mtodo se emplea para calcular el residuo en forma directa, sin necesidad de efectuar la divisin. Se emplea cuando el divisor es de la forma ax ( b o transformable a ella.

Procedimiento:

1. Se iguala al el divisor a cero encontrndose un valor de la variable.

2. El valor encontrado se Reemplaza en el polinomio dividendo obtenindose un resultado el cual ser el residuo

Ejemplo:

Calcular el residuo del divisor:

3x3 5x2 + 7 entre x 3

Igualamos el divisor a cero

x 3 = 0

. x = 3 .Este valor de x se reemplaza en el dividendo 3x3 5x2 + 7

Residuo (R)= 3(3)3 5(3)2 + 7

= 3 . 27 + 5 . 9 + 7

= 81 45 + 7 = 43

Ejemplo:

Calcular el residuo de dividir:

x3 + +2x2 x + 2 entre 2x 1

Igualamos el divisor a cero

2x 1 = 0

( . x = _ _ .Reemplazando

Residuo (R) = _ _ _ _ _

No se mide el amor por el nmero de caricias, sino por la frecuencia con que uno y el otro se comprenden

H. Spencer


1. Indicar el residuo de la siguiente divisin

Rpta.

2. Efectuar la siguiente divisin

Indicar el residuo

Rpta.

3. Indicar el trmino independiente del resto de la siguiente divisin

Rpta.

4. Indicar la suma de coeficientes del cociente luego de efectuar:

Rpta.5. Calcular n, si el resto de la divisin es 15

Rpta.

6. Al dividir x4 2x2 6 entrex + 3, el residuo es:

Rpta.

7. Hallar el cociente en:

Rpta.

8. Cual es el valor que deber tener K para que al dividir 4x5 2x3 + K 2 entre x 2, el residuo sea cero

Rpta.

9. El cociente de la siguiente divisin:

x3 + 3x2 x 3 entre x2 + 2x 3 es:

Rpta.

10. Hallar el residuo en

Rpta.


Rpta.

12. Hallar el coeficiente del trmino cuadrtico en:

Rpta.13. Hallar el cociente aplicando Horner

Rpta.

14. Hallar el cociente aplicando Ruffini

x4 3x3 + 5x 8 entre x + 2

Rpta.

15. Hallar el cociente aplicando Horner

6x5 + 2x4 23x3 + 11x2 + 12x 3 entre 3x3 5x2 + 3

Rpta.

Dpto. de Publicaciones

Manuel ScorzaV.L.E.B.


1. Indicar el residuo en la siguiente divisin:

A) 1

B) 1

C) 0

D) 2

E) 2

2. Efectuar la siguiente divisin:

E indicar el cociente

A) x+1

B) 3x2

C) 3x+2

D) 2x+3

E) 2x3

3. Indicar el trmino independiente del resto en la siguiente divisin

A) 1

B) 2

C) 2

D) 3

E) 0

4. Calcular la suma de coeficientes del cociente, despus de efectuar.

A) 5

B) 5

C) 6

D) 6

E) 7

5. Calcular n si el resto de la divisin es cero

A) 12

B) 36

C) 42

D) 6

E) 24

6. Al dividir:

El residuo es:

A) x34

B) X3+4

C) x25

D) x23

E) 2x3+1


A) x+1

B) x1

C) x+6

D) x6

E) x+7

8. Dividir usando Horner

e indicar la suma de coeficientes del cociente

A) 0

B) 1

C) 1

D) 2

E) 3

9. Dividir usando Ruffini

2x3 11x2 + 18x 24 entrex- 4

e indicar el trmino independiente del cociente

A) 1

B) 3

C) 6

D) 9

E) 3

10. Dividir usando Horner

e indicar el coeficiente del trmino cbico

A) 0

B) 1

C) 1

D) 2

E) 2

CLAVES

1. C

2. B

3. D

4. D

5. E6. A

7. D

8. B

9. C

10. B

TEMA: Factorizacin (I)CONCEPTO

La Factorizacin es un procedimiento mediante el cual un polinomio se expresa como producto de sus factores.

Ejemplo:

1. 5a + 5b = 5(a + b)

2. 49 25x2 = (7 + 5x) (7 5x)

3. m2 + 6m + 9 = (m + 3) (m + 3) = (m + 3)2POLINOMIO PRIMO O IRREDUCIBLE

Un polinomio P(x) es primo o irreducible cuando no se puede descomponer en un producto de polinomios de grado positivo menor que el grado de P(x). en caso contrario se dice que el polinomio es compuesto o reducible o no primo.

MTODO DEL FACTOR COMN

1. Factor Comn Monomio

Se determina el MCD de los coeficientes y se toma la variable comn con el menor exponente.

Ejemplos:

1. Factorizar:

2. Factorizar 6x3 15x2Hallamos el M.C.D. de 6 y 15

6

-

15

3

2

5

( M.C.D. (6,15) = 3

El menor exponente de x es 2 ( el factor comn es 3x2Luego

3x2 (2x 5)

3. Factorizar:

3x2y + 6xy2 3x2y2

2. Factor Comn Polinomio

El factor comn es un polinomio.

Ejemplo:

5a(x y) + 10b2 (x y)

Se procede de igual forma que en el caos anterior

M.C.D.(5x10) = 5

Factorizando tenemos

5(x y) (a + 2b2)

Por el brillo de los ojos, desde el comienzo de los tiempos, las personas reconocen a su verdadero amor.

Brida


1. Factorizar:

7x + 7y

Rpta.

2. El factor comn de x2 x2y es:

Rpta.

3. Factorizar

24x3 16x2 + 8x

Rpta.

4. Factorizar:

18x3 + 6x2y + 4xy2 10xy

Rpta.

5. Al factorizar

16z3 + 20z2 + 4z4 + 12z5, se obtiene:

Rpta.6. Factorizar:

Rpta.

7. Factorizar:

a b + 2(a + b)

Rpta.

8. Si: x y = 5 y m = 4. Hallar mx + my

Rpta.

9. Factorizar:

1 x + 2y(1 x)

Rpta.

10. Factorizar

(a + b)x (a + b)y a b

Rpta.

11. Factorizar:

(ax bx + cx) + (ay by - cy) a + b c

Rpta.

12. Factorizar:

4x4y 2x5 + 6x3y2 2x2y3Rpta.

13. Factorizar:

12n5m4 18n3m7Rpta.14. Factorizar:

x2y 4x2Rpta.

15. Factorizar:

y3 + ny3Rpta.

PROBLEMAS PARA LA CASA1. En la expresin

7x2y3 + 14x3y2El factor comn es:

A) x2y2B) 7xy

C) 7x2y2D) x3y3E) 7x3y32. En la siguiente expresin

x2n3 + m3x2 + m5n4, al factorizar, el factor comn es

A) m . n

B) m2n

C) mn2D) m2 . n2E) m3n23. Si factorizamos

9y2 81y

el factor que no es monomio es:

A) 9 y

B) y2 9

C) y 9

D) y + 9

E) 9y

4. Uno de los factores de:

(a+2b) (2a+b) (a2b) (5b-3), es:

A) 2a + 3b + 3

B) 2a + b + 3

C) 2a 4b + 3

D) 2a +b

E) 2a b

5. Despus de factorizar

(3x+1) (2a+3) + (2a+3) (4x+2)

Uno de los factores es:

A) 7x3

B) 7x+3

C) 7x+1

D) 7x1

E) 7x+5

6. Si a b = 5 y m = 4, hallar el valor de ma mb

A) 10

B) 20

C) 30

D) 15

E) 16

7. Si p + q = 3, x + y = 16, hallar el valor de

(p + q)x + (p + q)y

A) 16

B) 3

C) 48

D) 16

E) 12

19

8. Si: m + n = 4; a b = 2, hallar el valor de:

(m + n)a (m + n)b

A) 10

B) 16

C) 8

D) 4

E) 5

9. Si: x2 + y2 = 5; p + q = 3, hallar el valor de:

(p + q)x2 + (p + q)y2A) 10

B) 15

C) 17

D) 9

E) 5

10. Factorizar

(a2 + b2) (x + y) + (a2 + b2)

(x 3y) + (a2 + b2) (y 2x)

Uno de los factores es:

A) x(a + b)

B) x2(a + b)

C) x(a + b)2D) y(a2 + b2)

E) x(a2 b2)

CLAVES

1. C

2. D

3. C

4. B5. B

6. C

7. C

8. B

9. D

ndicePg.

Expresiones Algebraicas

7

Teora de Exponentes

20

Polinomios

30

Productos Notables

47

Divisin Algebraica

54

Teorema del Resto

58

Factorizacin (I)

6656

78

80

79

77

76

75

66

EMBED CorelDraw.Grfico.9

EL SATELITE SPUTNIK 1

Sputnik 1 Lanzado el 4 de octubre de 1957, el Sputnik 1 fue la primera nave en rbita alrededor de la Tierra. Llamado as por la frase rusa "compaero de viaje por el mundo" (Sputnik Zemli), era un pequeo satlite que slo meda 58 cm de ancho. Completaba una rbita en torno a la Tierra una vez cada 96,2 minutos y transmita informacin sobre la atmsfera terrestre. Tras un vuelo de 57 das, volvi a entrar en la atmsfera y se destruy.

36

COLEGIO PARTICULAR

CORAZON DE JESUS PIONERO DE LA CIENCIA

Primer Ao

65

64

63

62

61

60

59

58

57

54

53

52

51

50

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

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36

35

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33

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30

29

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27

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25

24

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

80

7

COLEGIO PARTICULAR

CORAZON DE JESUS PIONERO DE LA CIENCIA

Primer Ao

55

80

lgebra

lgebra

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3 Algebra 1ro sec - I