3° Algebra

LGEBRAI Nivel Secundaria

Operaciones Combinadas

Potenciacin i

Potenciacin ii

Repaso

Ecuaciones Exponenciales

Expresiones Algebraicas

Trminos Semejantes

Multiplicacin Algebraica I

Multiplicacin Algebraica II

Productos Notables I

134

138

143

147

150

153

158

161

164

168

134

Ejemplos:

Ejemplos:

Ejemplos:

Operaciones Bsicas

Saberes Previos

Ejemplos:

* - 4 - 5 - 7 = - (4 + 5 + 7) = -16

* + 3 + 4 + 8 = + (3 + 4 + 8) = +15

Efecta:

-4 - 6 - 5 =

+2 + 5 + 8 =

-8 - 7 - 10 =

+8 + 12 + 13 =

-12 - 11 - 20 =

Si se tiene dos o ms nmeros enteros con el mismo signo, el resultado ser la suma precedido del signo en comn.

1. R E G L A P R C T I C A P A R A SUMAR O RESTAR NMEROS ENTEROS

* - 7 + 12 = + (12 - 7) = +5

* - 10 + 8 = - (10 - 8) = -2

Efecta:

-4 + 5 =

Si se tiene dos nmeros con signos diferentes, el resultado ser la diferencia precedida del signo del mayor en cantidad.

-8 + 6 =

+9 - 5 =

+10 - 15 =

-20 + 8 =

Todo signo de coleccin precedido por un signo + puede ser suprimido, escribiendo luego los nmeros contenidos en su interior, cada uno con su propio signo.

2. S I G N O S D E C O L E C C I N : ( ); [ ]; { }

* 10 + (-4 + 2 - 5) = 10 - 4 + 2 - 5

* 8 + (12 - 4) = 8 + 12 - 4

Todo signo de coleccin precedido por un signo - puede ser eliminado, escribiendo luego cada uno de los nmeros contenidos en su interior, con su signo cambiado.

* -12 - (4 + 3 - 1) = -12 - 4 - 3 + 1

* -8 - (7 - 3 + 2) = -8 - 7 + 3 - 2

Operaciones Combinadas

Son aquellas donde intervienen las operaciones elementales (adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin), as como tambin los signos de coleccin.

L a j e r a r q u a u o r d e n e n

las operaciones combinadas es el siguiente:

* Se efectan las operaciones dentro de los signos de coleccin: ( ), [ ], { }.

* A continuacin operamos las multiplicaciones y divisiones: x, .

* Finalmente efectuamos las sumas y restas: +, -.

1. Calcula: 7 + 5 - 2 - 4 + 8 - 6 los sumandos pueden cambiarse de orden y agruparse.

Resolucin:

(7 + 5 + 8) - (2 + 4 + 6) 20 - 12 8

signos diferentes se restan

2. Calcula: 27 3 + 8 - 16 4 - 4 x 2 s i n o h a y p a r n t e s i s , l a s

multiplicaciones y las divisiones deben realizarse en primer lugar.

Resolucin

9 + 8 - 4 - 8 17 - 12 5

3. Reduce: 18 (5 + 4) + 6 x (4 - 2) - 10 los parntesis condicionan el orden

de las operaciones.

135

1) Calcula: -8 + 7 + 12 - 15 + 20

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

10) Calcula: 6 x 9 2 - 5 x 16 4

a) 8 b) 6 c) 10d) 12 e) 7

Nivel I

Nivel II

16) Calcula: 50 - {(6 - 1)8 4 x 3 + 16

(10 - 2)} - 5

a) 8 b) 13 c) 10d) 16 e) 2

Resolucin:

18 9 + 6 x 2 - 10 2 + 12 - 10 14 - 10 4

4. Reduce: 20 - 4 x [15 - (7 - 4 2) - 3]

efectuando operaciones dentro del parntesis.

Resolucin:

20 - 4 x [15 - (7 - 2) - 3] 20 - 4 x [15 - 5 - 3]Efectuando el corchete:

20 - 4[7] 20 - 28

-8

5. Efecta: 3{2[41 - (20 4)] 9} - [(62 - 29)

11 + 2(45 - 27) 3] efectuando operaciones dentro del parntesis.

Resolucin:

3{2[41 - 5] 9} - [33 11 + 2(18) 3] 3{2[36] 9} - [3 + 36 3] 3{72 9} - [3 + 12] 3{8} - 15 24 - 15 9

2) Calcula: -10 + 8 - 7 + 10 - 25

a) 20 b) -20 c) -24 d) -22 e) 22

3) Calcula: +20 - 15 + 18 - 7 + 32 - 8

a) 30 b) 40 c) 50 d) 45 e) 35

4) Calcula: -25 + 32 - 40 + 28 - 35

a) -20 b) -40 c) -30 d) 35 e) -35

5) Calcula: -30 - 15 + 22 - 10 + 14 - 12

a) 30 b) -31 c) 31 d) 32 e) -32

6) Calcula: 8 + 12 x 3 - 24 3

a) 30 b) 40 c) 36 d) 38 e) 32

7) Calcula: 20 - 8 x 2 - 1 + 5 x 4

a) 23 b) 25 c) 21 d) 24 e) 27

8) Calcula: (9 x 6 + 6 - 15) (4 x 5 4)

a) 10 b) 8 c) 9 d) 7 e) 6

9) Calcula: 64 2 2 2 + 36 9 x 5

a) 28 b) 30 c) 32 d) 26 e) 34

11) Calcula: {(4 + 2) - 7 x 2 + (5 x 2 + 1) - 1}

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

12) Calcula:

8 + {9 - [6 - (5 - 4)]} + 14 - 11 - {7 - 1}

a) 1 b) 3 c) 9d) 12 e) 15

13) Calcula: (12 - 15)(-6) + (18 - 13)(-8)

- [(12 - 16)]

a) 62 b) 63 c) 64d) 65 e) 66

14) Calcula: 6 x 8 + 40 4 + 32 {(224

7) - 1}

a) 45 b) 58 c) 60d) 64 e) 71

15) Calcula: 88 [5 x 3 - 2 + 5(3 - 2) + 4]

+ 2

a) 4 b) 6 c) 7d) 8 e) 10

17) Calcula: (8 - 1) - (16 - 9) + 4 - 1 + 9 - 6 +

(11 - 6) - 5

a) 8 b) 4 c) 6d) 10 e) 12

18) Calcula: (15 - 2)4 + 3(6 3) - 18

(10 - 1)

a) 55 b) 56 c) 58d) 59 e) 60

136

19) Calcula: 68 - 6 x 7 + (39 + 5 - 2) 7

- 7 x 2 + 8

a) 68 b) 26 c) 40d) 48 e) 54

20) Calcula: [(9 - 4) 5 + (10 - 2) 4] +

9 x 6 18 + 2

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

* Completa el recuadro:

21) 64 2 2 2 + = 10

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

22) 3 x x 2 + 15 5 - 2 = 25

a) 4 b) 6 c) 5d) 7 e) 10

23) 24 x 6 x 9 - 7 x 3 = 141

a) 4 b) 6 c) 5d) 8 e) 10

24) 24 x 6 8 x - 240 6 2 x 10 25 = 10

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

* Qu smbolos completan los casilleros vacos?

25) 9 3 1 2 8 = 11

a) +; -; ; x d) x; -; x; +b) x; x; -; x e) +; -; +; -c) ; -; x; -

26) 21 (8 6) 3 2 5 = 4

a) +; x; -; x; + b) +; x; -; ;+c) x; -; ; -; xd) ; +; -; x; -e) +; -; x; ;+

27) 25 5 10 2 4 3 = 12

a) +; x; -; x; - b) ; -; +; x; +c) ; -; ; +; xd) x; -; ; +; -e) ; +; -; x; -

* La lista de nmeros que al ocupar los lugares vacos completen correctamente la operacin es:

28) + ( + - ) - = 29

a) 10; 6; 6; 4; 30b) 8; 3; 12; 5; 9c) 20; 10; 6; 4; 8d) 25; 3; 16; 11; 4e) 19; 14; 17; 6; 5

29) x + - x = 26

a) 2; 12; 15; 3; 9b) 15; 3; 22; 18; 3c) 7; 7; 13; 3; 12d) 5; 4; 27; 8; 5e) 6; 9; 11; 22; 2

30) ( x - ) = 3

a) 8; 2; 2; 5; 1b) 3; 4; 5; 2; 3c) 7; 3; 6; 2; 6d) 7; 4; 5; 2; 1e) 6; 3; 5; 7; 2

Nivel III

31) Efecta: -6 + 8 (-2) . (-3)

a) -6 b) -4 c) 4d) 6 e) 12

32) Calcula: -5 + 7 - (-8) . 2 (-4)

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

33) Calcula: 18 [-5 + (-3 . 2 + 5)]

a) -3 b) -2 c) 2d) 3 e) 1

34) Calcula: 7 - [5 . 4 - 20 (-5) + 7 - 40

(-8) - 9]

a) -10 b) -16 c) -20d) -24 e) 30

35) Calcula: 40 (-8) . (-6) (-6 - 4) - 50

(-5)(-2) (-5)

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

36) Calcula: 3 + 4 [8 . {4 - (9 + 3) 6}]

a) 61 b) 63 c) 65d) 67 e) 69

37) Calcula: -3 - 4 - [8 . (-3 - 1) (-2) + (-7)]

a) -12 b) -14 c) -16d) -18 e) -20

38) Calcula: -20 - [-3 - {20 - (6 (-3) - 7)}

- 2]

a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 18

39) Calcula: 5 . 4 (-2) (-5) . 3

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

40) Calcula: 9 - {8 - [7 - 20 . (-2) (-8) -

(-12 + 7) . 3]}

a) 18 b) 16 c) 14d) 12 e) 10

137

41) Calcula: -1 - [-2 - (-3 + 4(-5) - 6 . (7))]

a) -62 b) -63 c) -64d) -65 e) -66

42) Calcula: {[20 (10 - 15) + 2] - [15

(7 - 10) . (-2 + 5)]}

a) 7 b) 9 c) 11d) 13 e) 15

43) Calcula: -13 - [6 (-2) + (-25) (-5) - 7]

a) -2 b) -4 c) -6d) -8 e) -10

44) Calcula: -15 + [-3 - {20 - (6 (-3) - 7)} -2]

a) -49 b) -50 c) -51d) -52 e) -53

46) Calcula: (12 6) + 5(12 3) +

(-14) (-2) . 5

a) 55 b) 56 c) 57d) 58 e) 59

47) Calcula: (6 + 7) . (-15) (-3) . (2) -

[7 - 7(5) + 21]

a) 135 b) 137 c) 139d) 141 e) 143

48) Calcula: [{4 + 3(5 - 8) + 4} + 2]

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

49) Calcula: {(4 + 2) - 7(2) + [5(2) + 1] - 1}

a) 2 b) 1 c) 0d) 1 e) -2

50) Calcula: (3 - 5) + (-16) (-2) + 5

- {(4 + 2) - 8}

a) 15 b) 14 c) 13d) 12 e) 11

45) Calcular: -7 + [(-10) (-2) - {3 - (2 - 8)}]

En la c ivi l izacin m e s o p o t m i c a e n c o n t r a m o s l o s primeros sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas; pero s in duda la g r a n a p o r t a c i n algebraica babilnica se centra en el campo de la potenciacin y en la resolucin d e e c u a c i o n e s cuadrticas, tanto es as que llegaron a la solucin para ecuaciones de la forma ax2 + bx + c y tambin mediante el cambio de variable t = ax. Efectuaron un sinfn de tabulaciones que utilizaron para facilitar el clculo, por ejemplo de algunas ecuaciones cbicas. El dominio en esta materia era tal, que incluso desarrollaron algoritmos para el clculo de sumas de progresiones, tanto aritmticas como geomtricas.

Su capacidad de abstraccin fue tal que desarrollaron muchas de las que hoy se conocen como ecuaciones diofnticas, algunas de las cuales estn ntimamente unidas con conceptos geomtricos.

45) Calcula: -7 + [(-10) (-2) - {3 - (2 - 8)}]

a) -8 b) -9 c) -10d) -11 e) -12

138

Ejemplos:

Ejemplos:

Ejemplos:

(5)(5)(5) ... (5) = (5)20

20 factores

(m)(m)(m) ... (m) = (m)15

15 factores

As tambin, tenemos:

410 = (4)(4)(4) ... (4) 10 factores

a33 = (a)(a)(a) ... (a) 33 factores

Potenciacin I

Es aquella operacin matemtica en la cual dados dos nmeros a (base) y otro entero positivo n (exponente), se define p como la potencia ensima de a.

an = P

Exponente

PotenciaBase

Ejemplos:

34 = 81 53 = 125

* Base : 3 * Base : 5* Exponente : 4 * Exponente : 3* Potencia : 81 * Potencia : 125

Exponente Natural

Exponente Cero

a0 = 1 a 0

(5)0 = 1 (1/2)0 = 1

(-8)0 = 1 ( 3)0 = 1

Teoremas

M U L T I P L I C A C I N D E POTENCIAS DE IGUAL BASE

am . an = am+n

Se tiene:am . an = (a . a . a . ... . a) (aaa ... a)

m factores n factores

Contando el total de factores:am . an = (a . a . a . ... . a . a)

m + n factores

Expresando como potencia:am . an = am+n

Demostracin:

* 35 . 33 = 35+3

* m12 . m5 = m12+5

* 6a . 64 = 6a+4

Pero tambin:

mm+2 mm . m2

2a+7 = 22 . 27

POTENCIA DE UN PRODUCTO

(ab)m = am . bm

Se tiene:(ab)m = (ab)(ab)(ab) ... (ab)

m factores

Asociando los factores iguales:(ab)m = (aaa ... a) (bbb ... b)

m factores m factores

Representando como potencia:(ab)m = am . bm

Demostracin:

(5a)4 = 54 . a4

(3 . 8)a = 3a . 8a

Pero tambin:

35 . p5 = (3p)5

73 . 53 = (7 . 5)3

POTENCIA DE POTENCIA

(am)n = amn

Se tiene:(am)n = am . am . am . ... am

n factores

Por la multiplicacin de potencias de igual base: n factores

(am)n = am+m+m+...+m

Demostracin:

Ejemplos:

a . a . a . ... . a . a = an

n factores

139

Ejemplo:

Ejemplos:

reemplazando:(2)(2)(2) ... (2) - (23)2

6 factores 26 - 26 64 - 64 0 (cero)

de donde:(am)n = amn

(a3)4 = a3(4) = a12

(m5)n = m5n

Pero tambin:

a6 = a3(2) = (a3)2

m4p = (m4)p

LEY DE SIGNOS

Ejemplo:

(-4)3 = (-4)(-4)(-4) = -64

Principales Potencias

POTENCIAS DE DOS

21 = 2 26 = 64 22 = 4 27 = 128 23 = 8 28 = 256 24 = 16 29 = 512 25 = 32 210 = 1024

POTENCIAS DE TRES

31 = 3 34 = 81 32 = 9 35 = 243 33 = 27 36 = 729

POTENCIAS DE CINCO

51 = 5 53 = 125 52 = 25 54 = 625

POTENCIAS DE SIETE

71 = 7 73 = 343 72 = 49

1. Calcula: 50 + 23 + (22)2

Resolucin:

* 50 = 1 exponente cero* 23 = 8 exponente natural* (22)2 = 24 potencia de potencia

reemplazando:50 + 23 + 24

1 + 8 + 16

25

2. Reduce: (2)(2)(2) ... (2) - (23)2

6 factores

Resolucin:

* (2)(2) ... (2) = 26 6 factores* (23)2 = 26

exponente natural

potencia de potencia

3. Reduce: (3)(3)(3)(3) - (2)(2)(2)(2)(2)(2) 4 factores 6 factores

Resolucin:

Expresamos como potencia:34 - 26

81 - 64 17

4. Calcula: (-23)2 + (-22)3

Resolucin:

* (-23)2 = +(23)2

* (-22)3 = -(22)3

reemplazando:+(23)2 - (22)3

por potencia de potencia:26 - 26

64 - 64 0 (cero)

Exponente par

Exponente impar

5. Un cubo mgico tiene tres capas con tres lneas de tres cubos cada una. Cuntos cubos tiene en total?

Resolucin:

De la figura:* Cada fila tiene 3 cubos, entonces en

tres filas habr 3(3) = 9 cubos.* Cada capa tiene 9 cubos,

entonces en tres capas habr 3(9) = 27 cubos.

De donde se tiene:(3)(3)(3) = 33 = 27 cubos

3 cubos3 lneas

3 capas

4. (-)impar = -

(Exponente impar)

Base negativa

Ejemplo:

(+6)3 = (+6)(+6)(+6) = +216

3. (+)impar = +

(Exponente impar)

Base positiva

Ejemplo:

(+5)4 = (+5)(+5)(+5)(+5) = +625

1. (+)par = +

(Exponente par)

Base positiva

2. (-)par = +

(Exponente par)

Base negativa

(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = +81

140

1) Calcula: 25 + 24 + 23

a) 50 b) 52 c) 54 d) 56 e) 58

8) Calcula: (-3)4 + (-4)3 + (4)(3)

a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 12

10) Calcula: (-5)3 - (-11)2 + 33

a) 31 b) 29 c) 27d) 25 e) 23

Nivel I

Nivel II

16) Calcula: (-4)2 + (-3)3 + (-2)4

a) 5 b) 7 c) 9d) 11 e) 13

2) Calcula: 26 + 62 + 2(-6)

a) 86 b) 88 c) 90 d) 92 e) 94

3) Calcula: (2)(2) ... (2) - 43

6 factores

a) -4 b) -2 c) 0 d) 2 e) 4

4) Calcula: (2)(2) ... (2) + (-3)5

8 factores

a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19

5) Calcula: 34 + (-3)(-4) + (-4)3

a) 23 b) 25 c) 27 d) 29 e) 31

6) Calcula: (-2)8 + (-3)5

a) 13 b) 11 c) 9 d) 7 e) 5

7) Calcula: 30 + 31 + 32 + 33

a) 36 b) 38 c) 40 d) 42 e) 44

9) Calcula: (-2)6 + (-6)2 - 34

a) 11 b) 13 c) 15d) 17 e) 19

11) Calcula: (2)(2) ... (2) + (-5)3

7 factores

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

12) Calcula: 35 - 44 + 23

a) -3 b) -5 c) -7d) -9 e) -11

13) Calcula: 42 - 33 + 24

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

14) Calcula: -25 + 43 - 61

a) 24 b) 26 c) 28d) 30 e) 32

15) Calcula: 26 - 34 + 42

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

17) Calcula: (-8)2 + (-2)5 + (-3)3

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11

18) Calcula: (-1)6 + 24 - 32 - 40

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11

19) Calcula: 72 - 62 + 52 - 42

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24

20) Calcula: 30 - 43 + 26

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

21) Calcula: (-6)2 + (-5)2 + (-4)3

a) -1 b) -3 c) -5d) -7 e) -9

141

22) Calcula: {25 + (-3)3 + 41}2

a) 3 b) 9 c) 27d) 81 e) 243

Nivel III

31) Calcula: (-5)3 + (-4)2 + (-3)1 + (-2)0

a) -111 b) -112 c) -113d) -114 e) -115

23) Calcula: (2)(2) ... (2) + (-6)3

8 factores

a) 36 b) 40 c) 44d) 48 e) 52

24) Calcula: (-11)2 - (-9)2 - (-7)2

a) -9 b) -7 c) -5d) -3 e) -1

25) Calcula: 26 - 34 + 62 - 70

a) 18 b) 16 c) 14d) 12 e) 10

26) Calcula: (-2)7 - (-5)3

a) -3 b) -2 c) -1d) 0 e) 1

27) Calcula: 25 - 44 + 63

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

28) Calcula: 34 + (-2)5 - 72

a) -2 b) -1 c) 0d) 2 e) 1

29) Calcula: (33 - 25)2 + (52 - 33)2

a) 25 b) 27 c) 29d) 31 e) 33

30) Calcula: {(-7)2 - (34 - 62)}2

a) 2 b) 4 c) 9d) 16 e) 25

32) Calcula: {(-4)2 + (-2)4 + (-3)3 + 50}2

a) 4 b) 16 c) 25d) 36 e) 49

33) Calcula: -(-3)2 + (-4)3 - (-2)4

a) -87 b) -88 c) -89d) -90 e) -91

34) Calcula: (-3)4 + (-4)3 - (-5)0

a) 22 b) 23 c) 24

d) 25 e) 26

35) Calcula: 23 + 34 - 52 - 43

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

36) Calcula: 22 + 23 + 24 + (-3)3

a) -1 b) 0 c) 1d) 2 e) 3

37) Calcula: 53 - (32 + 33 + 34)

a) 22 b) 24 c) 23

d) 25 e) 20

38) Calcula: (-2)2 + (-3)2 + (-4)2 + (-5)2 -

72

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

39) Calcula: 13 + 23 + 33 + 43 - 102

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

40) Calcula: 25 + (-5)2 + 23 + (-3)2

a) 70 b) 72 c) 74d) 76 e) 78

41) Calcula: 27 + (-7)2 - 132

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

42) Calcula: 44 + 33 + 22 - 172

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

43) Calcula: 62 + 26 + 32 + 23 - 112

a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5

44) Calcula: (3 + 2)2(1) + (4 + 1)(4-1) +

(3 - 1)(3+1)

a) 156 b) 160 c) 166d) 168 e) 170

45) Calcula:

a) 16 b) 32 c) 64d) 128 e) 256

(52 + 42 - 23)2

(23 + 32 - 42)10

142

46) Calcula: (-9)2 + (-3)4 - 53 - 62

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

47) Calcula: (-3)3 + (-5)2 + (-4)2

a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

48) Calcula: ((-2)3)2 + ((-3)2)2 - 102

a) 41 b) 42 c) 43d) 44 e) 45

49) Calcula: 63 + (-5)3 + (-4)3 + (-3)3

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

50) Calcula: 22 - 32 + 42 + 52 - 62

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

Sabes contar hasta un googol?

Diras que cien es un nmero grande? Qu diras de mil? Y de un milln? Estos nmeros pueden parecer grandes hasta que no descubras al Googol. Pero hagas lo que hagas, no intentes contar hasta un Googol!

45) Calcular: -7 + [(-10) (-2) - {3 - (2 - 8)}]

a) -8 b) -9 c) -10d) -11 e) -12

3

= 8

Luego : 3 8 = 2

2 . 2 . 2 = 8raz

En busca del Origen

Cul es el origen del hombre? Segn la teora de la evolucin los protohomnidos.

raz

Cul es el origen del 8 si el exponente es 3?

Pues 2, porque:

143

Ejemplos:

Ejemplos:

Potenciacin II

a-n = =

= am-nam

an

a . a . a . ... a . a . a . ... a . aa . a . a . ... a . a

am

an

2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 22 . 2 . 2 . 2

Demostracin:

27

24=1

3( )

m

( )ab = ( )ab ( )ab ( )ab ... ( )ab

m

m

5

3

-2

( )15-5

( )

1. Calcula:

Resolucin:

2. Calcula:

Ejemplos:

25

23+ +50( )13

-2

210

27

39

36

* = 210-7 = 23 (propiedad)

* = 39-6 = 33 (propiedad)

Reemplazando:

23 + 33

8 + 27 35

210

2739

36+

210

2739

36+

1m

= m5

= 52 = 25

Ejemplo:

Nota

-n

( )1a = an

( )14 =143

=1

64

( )23 =25

35=

32243

Nota

m

( )1a =1

am

( )ab = a . a . a . ... . a . a . ab . b . b . ... . b . b . bm factores

m factores

( )ab =am

bm

m factores

am

bm( )ma

b=

2

7 factores

4 factores

= 23

3 . 3 . 3 . 3 . 33 . 3 . 3

35

33=

5 factores

3 factores

= 32

=

m factores

n factores

a . a . a . ... a . aa . a . a . ... a . a

am

an =

m factores

n factores

Demostracin:

1a

1an ( )

( n

) siendo: a 0

Exponente Negativo

Teoremas

DIVIS IN D E POT ENCIAS DE IGUAL BASE

Se tiene:

Reduciendo factores comunes:(m > n)

Expresando los factores que quedan:

= a . a . a . ... a . a m - n factores

a potencia:

= am-n l.q.q.dam

an

am

an

POTENCIA DE UN COCIENTE

Asociando convenientemente:

Expresando como potencia:

l.q.q.d

19

15

3-2 = =

5-1 = = 151

144

Nivel I

Resolucin:

25

23

* = 32

* 50 = 1

* = 22

Reemplazando:

32 + 1 + 22

9 + 1 + 4 14

( )13-2

exponente negativo

exponente cero

propiedad

25

23+ +50( )13

-2

3. Calcula: +( ) ( )13 ( )120-11

4

-2

+

Resolucin:

Aplicando exponente negativo:

42 + 31 + 1 16 + 3 + 1 20

+( ) ( )13 ( )120-11

4

-2

+

4. Calcula:

Resolucin:

Aplicando divisin de potencias de igual base:

212-8 + 310-8 + 48-8

24 + 32 + 40

16 + 9 + 1 26

+212

28+

310

3848

48

5. Reduce:

Resolucin:

Reemplazando:

( )232

( )234

( )326

( )232

( )234

( )236

= ( )232+4

=

( )236

( )326

26

3636

26.

26

2636

36. = 20 . 30 = (1)(1) = 1

Apl icando potencia de un cociente:

Asociando:

1) Reduce:

a) 8 b) 16 c) 32 d) 64 e) 128

(2)(2)(2) ... (2)(2)(2)(2)(2) ... (2)(2)

16 factores

20 factores

2) Efecta:

a) 35 b) 36 c) 37 d) 38 e) 39

315

312213

210+ + 1

3) Reduce:

a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13

( )14 ( )13 ( )12-4-3

- -

4) Efecta:

a) 27 b) 29 c) 31 d) 33 e) 35

216

214314

312+

412

410+

5) Reduce: (23)4 - (26)2 + (21)9

a) 128 b) 256 c) 512 d) 64 e) 16

6) Efecta:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

( )12 ( )14 ( )16-3-4

- +

7) Calcula: 4-1 + 2-1 + 1-1 + 4-1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8) Efecta:

a) 16 b) 32 c) 64 d) 128 e) 256

+( ) ( )14-21

2

-4

+ 10

9) Reduce: 60 + 4-1 + 2-1 + 2-2

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16

-2

-5

145

10) Calcula:

a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 32

28

82

11) Calcula:

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

49

46218

212-

12) Reduce:

a) 56 b) 66 c) 76d) 7 e) 2

24 . 36

22 . 34+ 5

5 . 66

54 . 65

13) Efecta:

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

316

312- 9

14

912+ 120

14) Calcula:

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11

-( ) ( )12-51

8

-2

- 33

Nivel II

16) Calcula: ((-1)3)2 + (22)2 - 32 - 50

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11

-( ) ( )14-31

3

0

+ (23)2

15) Reduce:

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

17) Efecta:

a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 32

218

214416

413- 8

14

812+

18) Reduce:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

(2)(2) ... (2)(2)(2) ... (2)

12 factores

17 factores

- (3)(3)(3) ... (3)(3)(3)(3) ... (3)

15 factores

18 factores

19) Calcula: ((32 - 23)2)4

a) 1 b) 2 c) 4d) 8 e) 64

20) Efecta: (32)3 + (24)2 - (33)2

a) 16 b) 32 c) 64d) 128 e) 256

21) Calcula:

a) 3 b) 9 c) 18d) 24 e) 36

+( ) ( )16-31

2

-8

72 -

22) Efecta:

a) -25 b) 25 c) 125d) -125 e) 250

(-5)(-5) ... (-5)(-5)(-5) ... (-5)

18 factores

20 factores

23) Reduce:

a) 1 b) -1 c) 0d) 2 e) 3

( )136

( )19-3

+ (27)0

24) Calcula:

a) 1 b) 17 c) 13d) 9 e) 11

+-3 -2

( )13-( )12-

25) Efecta: (22)(22) ... (22) - (25)2 + 50

5 factores

a) -1 b) 0 c) 1d) 2 e) 5

26) Calcula:

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

(22)3

(23)2- (23)2 + (22)3

27) Reduce:

a) -1 b) -3 c) -5d) -7 e) -9

+( ) ( )15-21

6

-2

+ (-22)3

28) Efecta:

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 14

(63)4

(62)6+ + 23(2

6)4

(28)3

29) Calcula:

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

515

512( )15

-2

- (42)(32)+

30) Efecta: (32)2 - (23)2 - (41)2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Nivel III

31) Reduce:

(4-1 + + 2-1 + 1)3

a) 1 b) 8 c) 27d) 64 e) 125

14

146

32) Efecta:

a) 1 b) 8 c) 27d) 64 e) 125

{ }3

( )16 ( )15 ( )

13

-3-1-1+ -

33) Reduce:

a) 3 b) 9 c) 2d) 4 e) 5

{ }1/2

( )14 ( )12 ( )

13

-2-3-3+ +

34) Reduce:

a) 20 b) 4 c) 8d) 64 e) 1024

{ }10

( )15 ( )15 ( )

17

-2-2-2+ -

35) Efecta: (23)(23) ... (23) - (22)(22) ... (22) + 23 6 factores 9 factores

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

36) Efecta:

a) 0 b) 1 c) 2d) 4 e) 8

37

33210

24- - 42

37) Reduce:

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

{ }( )13-4

( ) ( )13 ( )14

-3-212

-3

{ }++21+ + 12 -

38) Calcula:

a) 20 b) 21 c) 23

d) 26 e) 210

{ }10-2

( )-2 -2-2

+ ( )15 ( )17( )

14

-+13

39) Calcula:

a) 4 b) 9 c) 16d) 81 e) 625

4

{ }-2

( )-2 -2

+ ( )16( )14+

13( )

12

-6-

40) Reduce:

a) 4 b) 8 c) 16d) 9 e) 81

{ }2-2

( )-2 -4-2

+ ( )16 ( )13( )

15

-+14

41) Reduce:

a) 1 b) 8 c) 27d) 64 e) 125

{ }3

( )19 ( )17 ( )

15

-3-2-2+ -

42) Efecta:

a) 25 b) 36 c) 49d) 64 e) 100

{ }2

( )13 ( )12 ( )

13

-4-6-3+ -

43) Efecta:

a) 1 b) 9 c) 25d) 81 e) 121

{ }2

( )113 ( )16 ( )

16

-3-2-2+ -

44) Reduce:

a) 8 b) 27 c) 64d) 125 e) 216

{ }3

( )113( )15

-3 -2

( )117-2

+ -

45) Calcula:

a) -4 b) 4 c) 2d) -8 e) 8

( )112-2

( )14 ( )16-3-3

-+

46) Calcula:

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

{ }-4

( )-2

+( )16+13

-( ) ( )110-21

15

47) Reduce:

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

( )16 ( )13

-2-3

( )115-2

+ -

48) Calcula:

a) 22 b) 23 c) 24

d) 25 e) 26

-3-3

( )113 ( )0

( )1214 ( )

16+

- -

49) Reduce:

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

( )112 ( )115 ( )119-2

+ -

50) Calcula:

a) 4 b) 25 c) 36d) 49 e) 64

{ }2

( )114 ( )16

-2-2

( )115-2

+ -

De los tres pueblos orientales (chino, indio y rabe) que influyeron en el progreso de las matemticas, fueron los indios los ms importantes en aportaciones originales. Conservaron los trabajos de los griegos, inventaron el sistema de numeracin decimal, el uso del cero como smbolo operatorio, establecieron diferencias entre nmeros enteros positivos y negativos, que interpretaron como rditos y dbitos.

74 2

103 102 101 100

Multiplicador(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

Potencia de 10

Peso 1Peso 10Peso 100Peso 1000

3

-2-2

-2

-2

147

Repaso

Nivel II

18) Calcula: (-3)3 + 43 + 53 + (-6)3

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

17) Calcula: 33 + (-5)2 - (-7)2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

16) Reduce: -(-3)3 + 52 - 72

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

15) Calcula: (-2)4 + (-4)3 + (-6)2

a) -12 b) -10 c) -8d) -6 e) -4

14) Calcula: (-3)4 + (-4)3 - (-5)2

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

13) Calcula: 23 - 44 + 35

a) -3 b) -5 c) -7d) -9 e) -11

12) Calcula: (-23)2 - 52 + (-3)3

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 14

11) Efecta: (2)(2) ... (2) - (23)3

9 factores

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

10) Calcula: (-5)(-4) - 3 - [(-6)(2) - 8] +

(-2)(-9)

a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) 18

9) Calcula: -(-2)(-3)(-4) - (-3)(-2)(-1) +

(21 - 15)(-8)

a) -14 b) -15 c) -16 d) -17 e) -18

8) Calcula: (12 - 15)(-6) + (18 - 13)(-8) -

[(12 - 16)]

a) 62 b) 63 c) 64 d) 65 e) 66

7) Calcula: ( - 3 ) ( - 2 ) + ( 5 - 1 1 ) ( - 2 ) +

(13 - 9)(-5) + 19

a) 31 b) 30 c) 29 d) 28 e) 27

6) Calcula:

8 + {9 - [6 - (5 - 4)]} + 14 - 11 - {7 - (3 - 2)}

a) 1 b) 3 c) 9 d) 12 e) 15

5) Calcula: (6 + 7) x 2 - {(5 + 8) - 6 x 4 +

18}

a) 19 b) 18 c) 17 d) 16 e) 15

4) Calcula: (4 + 3) x (3 + 2) - {(5 x 7) +

3}

a) -5 b) -4 c) -3 d) -2 e) -1

3) Calcula: {(4 + 2) - 7 x 2 + (5 x 2 + 1) - 1}

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2) Calcula: (4 2) + 5(8 2) + 7 x 5

a) 53 b) 55 c) 57 d) 59 e) 61

1) Calcula: (5 + 4) 3 + (8 - 4) 2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Nivel I

148

Nivel III

31) Calcula: (-1)(-2)(-3) + (-1)4(-2)2 +

(-1)6(-3)2

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

19) Efecta: -32 + (-7)2 + (-9)2 - 112

a) -3 b) 0 c) 3d) -6 e) 9

20) Reduce: (-3)2 + (-4)3 + (-5)4

a) 540 b) 550 c) 560d) 570 e) 580

21) Calcula: (-2)4 + (-3)3 + (-4)2 + (-5)1

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

22) Efecta:

a) -3 b) -2 c) -1d) 0 e) 1

-( ) ( )15-31

3

-5- ( )111

-2

23) Efecta:

a) 14 b) 16 c) 18d) 20 e) 22

+( ) ( )14-1

( )13 ( )12-3-21

5

0

+ +

24) Reduce:

a) -20 b) -22 c) -24d) -26 e) -28

( )12 ( )16 ( )18-2-3-8

- -

25) Calcula:

a) -20 b) -10 c) 0d) 10 e) 20

( )110-2

- ( )16 ( )14-3-2

-

26) Reduce: (-1)3 + (-2)2 + (-35)2 + (-32)5

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

27) Calcula: (-7)0 + (-5)3 - (-2)7

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

28) Efecta:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

( )111-2

( )( )110-2 1

4

-2- -

29) Calcula: (-5)2 - 40 - (-3)2 + (-2)0

a) 4 b) 9 c) 16d) 20 e) 22

30) Reduce: (22)-1 + (4-1)1 + (2-1)-1

a) 2 b) 1 c) 0d) -1 e) -2

32) Calcula: [(-16) (-2) + 8] + (-2)3 +

(-3)2

a) 12 b) 14 c) 15d) 16 e) 17

33) Calcula: [(-12) (-4)(5) + 1] +

(-3)3 + (-4)2

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

34) Calcula:

+ + (-2)(-3) 6 + 3

a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 18

( ) ( )- 14- 12-3

35) Calcula: (-2)(-3)(-4) + (-2)3 + (-3)3 + (-4)2

a) -25 b) -26 c) -27d) -28 e) -29

36) Calcula: (-3)(-5) + (-2)5 - (-3)3 +

(-1) (-2)(-3)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

37) Calcula:

+ + (-2)(-3)(-4)

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

(-2)8

(-2)4(-3)7

(-3)5

38) Calcula:

+ + (-2)0 - (-4)0

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

(-2)4

(-4)2(-2)6

(-4)3

39) Calcula:

a) 16 b) 8 c) 4d) 2 e) 1

216 . 44

88

40) Calcula: (-2)2 + (-4)2 + (-6)2 + (-8)2

+ (-10)0

a) 82 b) 92 c) 102

d) 112 e) 122

41) Calcula: (24) (-8) - {(-5)0 -

[(-12) 3 + 5] - 3}

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

-2

149

42) Calcula: (-3)3 + (-4)2 - (-2)5 + (-1)8 - (-5)2

a) -5 b) -4 c) -3d) -2 e) -1

43) Calcula: {[(2)(-3) + 4](-5) - 6}(-2) + 12

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

44) Calcula: (-3)4 + (-5)3 + (-7)2 + (-9)1

a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5

45) Calcula:

a) 330 b) 331 c) 332d) 333 e) 334

39

3447

4455

53+ +

46) Calcula: [{(-20) (4) + 3}(-4) + 8]2

a) 81 b) 144 c) 196d) 225 e) 256

47) Calcula:

[{(-36) (-9) + (20) (-4)} 10 - (15) (-5)]2

a) 25 b) 36 c) 49d) 64 e) 81

48) Calcula: {(-10)2 + (-2)3 + (-3)3 + (-4)3}6

a) 1 b) 8 c) 32d) 64 e) 256

49) Calcula: {(-4)1 + (-3)3 + (-2)5}7

a) 1 b) 8 c) 32d) 128 e) 512

50) Calcula: 73 + (-5)1 + (-4)3 + (-3)5

a) 30 b) 31 c) 32d) 33 e) 34

Todos los habitantes de la Tierra somos primos

Para demostrar este hecho, basta con calcular nuestros antepasados de la siguiente manera. Yo tengo 2 padres, 4 abuelos, 8 bisabuelos, 16 tatarabuelos, y as sucesivamente, de tal forma que si la distancia entre generaciones es de unos 20 aos, y nos remontamos unos 1000 aos hacia atrs, veremos que han transcurrido 50 generaciones. Siguiendo nuestro rbol genealgico encontraremos 250 = 1 125''899 906'842 624 ascendientes directos, en esa generacin. Sabemos que la poblacin de la Tierra era mucho menor a esa cantidad, por lo que podemos concluir que no slo nuestros tatara...tatarabuelos estaban emparentados entre s, sino que compartimos ascendientes con todos los habitantes de la Tierra.

Si en este momento te propusieras a contar hasta un googol, segundo a segundo sin parar ni para comer ni dormirnunca acabaras!, pues tu tiempo de vida sera demasiado corto. Pero si tu hijo, tu nieto, tu bisnieto, tu tataranieto y asi hasta cien generaciones en el futuro siguieran la misma empresa, desde el da de tu muerte y en las mismas condicionestampoco acabaran!

150

Ejemplos:

Ejemplos:

Ecuaciones Exponenciales

Son aquellas ecuaciones en donde la incgnita aparece formando parte del exponente.

5x = 125 ; 812x+1 = 9x-1

Observa que en ambos casos la incgnita aparace en el exponente de ambas igualdades.

Teoremas Si se tiene la igualdad de dos potencias de la misma base, entonces necesariamente sus exponentes tienen que ser iguales.

ax = ay x = ysiendo: a R+ - {1}

3x = 32 x = 2

5x-1 = 56 x = 7

1. Resuelve: 2x = 256

Resolucin:

Debemos expresar 256 como una potencia de base (2).

2x = 256 2x = 28

Aplicando el teorema, tenemos:2x = 28 x = 8

Bases iguales

2. Resuelve: 3x = (81)5

Debemos expresar 81 como una potencia de base (3).

3x = (81)5 3x = (34)5

Aplicando la propiedad potencia de potencia, tenemos:

3x = 34(5) 3x = 320

Aplicando el teorema, tenemos:3x = 320 x = 20

Bases iguales

3. Resuelve: 5x = (25)6(625)3

Resolucin:

Debemos expresar 25 y 625 como potencias de base (5).

5x = (52)6 (54)3

potencias de igual base

Aplicando la propiedad potencia de potencia, tenemos:

5x = 512 . 512

por la propiedad multiplicacin de bases iguales, se tiene:

5x = 524 x = 24 Bases iguales

4. Resuelve: 9x-1 = 3x+1

Resolucin:

Debemos expresar 9 como una potencia de (3).

9x-1 = 3x+1 (32)x-1 = 3x+1

Aplicando la propiedad potencia de potencia:

32x-2 = 3x+1 2x - 2 = x + 1Bases iguales x = 3

5. En el distrito de San Miguel se detecta una bacteria que tiene la propiedad de dividirse en dos cada da que pasa. Si se ha detectado la presencia de 8192 bacterias, cuntos das han transcurrido desde que apareci?

Resolucin:

1.er da 1 bact.

2 da 2 bact.

3.er da 4 bact.

x da 8192 bact.

De la figura:

1.er da 1 bact. = 20

2 da 2 bact. = 21

3.er da 4 bact. = 22 : : x da 8192 bact. = 2x-1

De donde: 2x-1 = 8192 2x-1 = 213

x - 1 = 13 x = 14

\ han transcurrido 14 das.

Sugerencia

Para resolver los ejercicios de este captulo se recomienda lograr en ambos miembros bases iguales.

151

1) 2x = 128

x = _____

Nivel I

* Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones exponenciales.

2) 3x = 343

x = _____

3) 4x = 256

x = _____

4) 5x = 625

x = _____

5) 6x = 216

x = _____

6) 2x = (8)5

x = _____

7) 3x = (81)3

x = _____

8) 4x = (64)5

x = _____

9) 5x = (625)4

x = _____

10) 6x = (36)6

x = _____

12) 2x = (4)(8)(64)

x = _____

13) 4x = (16)3 (4)

x = _____

14) 5x = (25)3 (125)2

x = _____

15) 2x = (4)3 (8)2

x = _____

11) 3x = (3)(9)(27)

x = _____

Nivel II

16) 6x = (6)5 (36)3

x = _____

17) 2x-3 = 64

x = _____

18) 3x+1 = 243

x = _____

19) 4x-2 = (64)3

x = _____

20) 22x = (16)5

x = _____

21) 4x-1 = 2x+1

x = _____

22) 92x+1 = 39

x = _____

23) 27x+3 = 34

x = _____

24) 42x+1 = 8x+2

x = _____

25) 2x . 2x+3 = 128

x = _____

26) 32x . 3x+2 = 243

x = _____

27) 2x . 4x = 64

x = _____

28) 2x+3 . 2x+2 = 128

x = _____

29) 9x+5 = 3x . (81)

x = _____

30) 4x+3 . 2x+1 = 1024

x = _____

Nivel III

152

31) Claudia divide una hoja de cuaderno en dos partes, luego junta los pedazos y los corta en dos. Si este procedimiento lo realiza varias veces, cuntas veces realiz esta operacin sabiendo que en el ltimo corte obtuvo 256 pedazos de papel?

32) Se descubri que si se deja caer desde una determinada altura una esfera de volumen V, se divide en dos esferas de volumen mitad, y luego stas al caer al siguiente escaln se vuelven a dividir cada una en dos y as sucesivamente. Si en el ltimo escaln se observ que haban 1024 esferas, de cuntos escalones consta la escalera de donde se dej caer la esfera?

33) Determina el valor de x si ambas figuras tienen la misma rea.

A

512

22x+1 A

1024

4x

8xcm 4x cm

2xcm

34) Se tiene una caja de volumen 4096 cm3 y de dimensiones que se muestran en la figura. Determina la altura de la caja.

35) Sabiendo que en el planeta X existe la siguiente equivalencia numrica 210 ~ 103, a qu potencia de 10 equivale 260?

36) Resuelve: 92x+1 = 33x+10

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

37) Resuelve: 82x-1 = 32x+1

a) 1 b) 2 c) 4d) 6 e) 8

38) Resuelve: 252x-3 = 125x+2

a) 8 b) 10 c) 12d) 14 e) 16

39) Resuelve: 2x . 2x+1 . 2x+3 = 16x+9

a) -30 b) -31 c) -32d) -33 e) -34

43) Resuelve: 4x . 4x+1 = 2x+3 . 2x+5

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

41) Resuelve: 273x+2 = 812x+3

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

42) Resuelve: 128x+1 = 82x+5

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

40) Resuelve: 3x . 3x+1 . 3x+2 . 3x+3 = 243x+2

a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5

44) Resuelve: 2x+1 . 4x = 2x+3 . 8x+5

a) -20 b) -19 c) -18d) -17 e) -16

45) Resuelve: 22x+3 . 4x+2 = 8x+1

a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5

46) Resuelve: 24x+1 . 42x+1 = 83x+2

a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5

47) Resuelve: 32x+3 . 94x+1 = 276x-1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

48) Resuelve: 23x+1 . 4x+1 . 2x+3 = 128x-1

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

49) Resuelve: 2x+8 = 8x+2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

50) Resuelve: 4x-3 = 8x-5

a) 1 b) 4 c) 9d) 16 e) 25

Qu tan grande es un Milln?

La palabra milln significa un millar de miles. Un milln se representa con el siguiente nmero 1 000 000 que con ayuda de los exponentes, abreviadamente se escribe 106.Si deseas percibir las dimensiones verdaderas de un milln, imagina lo siguiente: Caminando un milln de pasos

en una misma direccin, te alejaras 600 kilmetros. De Lima a Trujillo hay un milln de pasos aproximadamente.

Un milln de hombres alineados en una sola fila, hombro con hombro, se extenderan 250 km.

153

Expresiones Algebraicas

Todo aquello que no cambia.

Trminos AlgebraicosI. CONSTANTE

El nmero de das en una semana. El nmero de departamentos del Per. Las dimensiones de esta hoja. El nmero de dedos en tu mano.

Generalmente las constantes se representan con nmeros. As, los das de la semana son 7 y las dimensiones de esta hoja son 210 x 297 mm.

Ejemplos:

Todo aquello que cambia o vara.

II. VARIABLE

El nmero de personas en el Per. La cantidad de estrellas en el universo. El tiempo. La temperatura.

Generalmente las variables se representan con letras.

As, el nmero de personas en el Per se puede representar mediante la letra x, indicando de esta manera que es una cantidad que cambia con el transcurso del tiempo.

Ejemplos:

E x i s t e n c o n s t a n t e s q u e s u e l e n r e p r e s e n t a r s e con letras, una de stas es e l nmero (pi del alfabeto griego). Aparece espontneamente y en los lugares ms inesperados. Por ejemplo, la probabilidad de que dos enteros positivos cualesquiera sean primos entre s es 6/2. El valor aproximado de es 3,14; pero, en realidad, la expans in dec imal es infinita y no sigue ninguna pauta conocida. En 1949 John von Neumann utiliz la computadora electrnica ENIAC para calcular las primeras 2037 cifras decimales de . En 1986 David M. Bailey extrajo 29 360 000 cifras en un Cray2 de la Nasa. En 1989 el matemtico Gregory Chudnovsky utiliz dos supercomputadoras para calcular ms de mil millones de dgitos.Con 39 cifras basta para calcular la longitud de una circunferencia que abarque todo el universo con un error menor que el radio de un tomo de hidrgeno. Por qu entonces calcular pi con tantas cifras? La respuesta es sencilla: una computadora, como toda mquina, debe ser probada en

Importante

En la naturaleza existen muchos ejemplos de variable. La presin atmosfrica y el tiempo medidos por el barmetro y el reloj de arena, mostrados en la figura, son algunos de stos.

154

Albert Einstein, fsico y matemtico, public en 1916 la Teora general de la relatividad. En ella demostr que la velocidad de la luz (300000 km/s en el vaco) es la nica constante en el universo, es decir, mientras todo cambia, la velocidad de la luz, representada por la letra c, permanece invariable.

Es una expresin matemtica que une a las constantes y a las variables mediante la operacin de multiplicacin.

III. TRMINO ALGEBRAICO

Multipliquemos la constante 7 con la variable x, as:

7x Esta expresin matemtica se llama

Trmino Algebraico.

Ejemplos:

Partes de un Trmino Algebraico

3) Completa el siguiente cuadro:

Trmino Algebraico

Parte Constante

Parte Variable

3x

x

5x3

-2x2y

x3yz2

2) Representa mediante trminos algebraicos las siguientes proposiciones:

a) La edad de una persona. _______

b) El doble del nmero de personas en el mundo.

_______

c) El triple del nmero de pasajeros que suben a un autobs. _______

d) Menos el doble de la altura de un rbol. _______

Nivel I

1) R e l a c i o n a l a s s i g u i e nte s proposiciones con su respectiva constante.

a) La cantidad de meses de un ao.

b) Los colores del semforo. c) Das de la semana. d) Las vocales.

( ) 7 ( ) 5( ) 12( ) 3

Ten en cuenta

Una constante tambin s e co n s i d e ra t r m i n o algebraico.

Ejemplo:

7 ; ; 2 son trminos algebraico

Generalmente las variables tienen nmeros escritos en la parte superior derecha, stos reciben el nombre de exponentes.

Ejemplo:

4x 7

Los exponentes de las variables deben ser siempre nmeros racionales.

Ejemplo:

2x 3

5x 2

7x

3x

6x 3

Luego, la ltima expresin no es un trmino algebraico.

Un trmino algebraico puede tener ms de una variable.

Ejemplo: 7x3y4

Exponente

-12

Nmero Racional

Nmero Racional

34

Nmero Racional

34

- Nmero Racional

Nmero Irracional

Ejemplos:

Un trmino posee generalmente 2 partes:

Parte Constante. Parte Variable.

5 x7y4

Parte Parte Constante Variable

155

4) Cuntas de las siguientes proposiciones son verdaderas?

I. L o s n m e r o s s o n constantes.

II. Las variables se representan con nmeros.

III. 5 es una variable.

a) I y III d) Slo IIIb) Slo II e) Ningunac) Slo I

5) Utilizando trminos algebraicos representa las siguientes proposiciones:

a) Dos veces el nmero de postulantes a la universidad. __________

b) Cinco veces el dinero que gast. __________

c) Menos tres veces el nmero de colegios del Per.

__________

d) Menos ocho veces el rea de un cuadrado. __________

6) Encierra con un crculo las constantes y con un tringulo las variables en 2 ; 4 ; ; 7 ; y ; 1.

7) Cuntas constantes enteras existen desde el 4 hasta el 10 inclusive?

a) 5 b) 3 c) 4d) 7 e) 6

8) Segn el abecedario, cuntas variables existen desde la E hasta la K inclusive?

a) 10 b) 7 c) 5d) 6 e) 4

9) Encierra en un crculo los trminos algebraicos. Cuntos son?

2x2 3x1/2 7x 2 4x0,3 3x9

2x-2 2x-1/2 -2x3 -12x7 3x 3

a) 3 b) 4 c) 5d) 8 e) 7

10) Indica en los siguientes casos, cules son trminos semejantes? Coloca s o no.

x2; 2x2 ; _________ son trminos semejantes.

3x3; 2x3 ; _______ son trminos semejantes.

7x5; 5x7 ; _________ son trminos semejantes.

3y5x2; 2x2y5; ______ son trminos semejantes.

3xy; 7xy ; ________ son trminos semejantes.

5x2y; 2xy2; _______ son trminos semejantes.

11) Cu l d e l a s s i g u i e n t e s expresiones no es un trmino algebraico? Por qu?

a) 7x-2 d) 5 + x5

b) -zywabpq e) -x-1c) 24799x2y5

12) Completa la siguiente tabla:

Trmino Algebraico

Parte Constante

Parte Variable Exp.

5x-9y2

4x-1wz3

-25x3y8w-4

-14x-4w5z3

13) Se busca un trmino algebraico donde la parte constante sea el doble del exponente de su parte variable. De los siguientes, cul cumple con la condicin?

a) 4x3 b) 8w5 c) 10z4

d) 12y8 e) 14m7

14) Cuntos trminos algebraicos con parte variable x2w5 existen, tal que su parte constante sea un nmero par de una cifra? Da por respuesta aquel trmino donde la suma de su parte constante con los exponentes de la parte variable sea mxima.

a) 15 b) 17 c) 16d) 14 e) 18

15) R elac iona las s iguientes relaciones con su respectiva constante.

a) El nmero de das del mes de agosto.

b) El nmero de estaciones del ao.

c) La cantidad de campanadas de un reloj al medioda.

d) La cantidad de sentidos en el ser humano.

( ) 12( ) 5( ) 4( ) 31

Nivel II

16) Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) 2; 3 y 7 son constantes. ( )b) J; W y T son variables. ( )c) En el trmino algebraico:

2x3, la parte constante es 2 y la parte variable es x3.

( )d) 4x5 y 7x5 son trminos

semejantes. ( )

156

Nivel III

31) Si Claudia divide una hoja de cuaderno en dos partes, luego junta los pedazos y los corta en dos. Este procedimiento lo realiza varias veces cuntas veces realiz esta operacin si en el ltimo corte obtuvo 256 pedazos de papel?

17) S e t i e n e l o s s i g u i e n t e s conjuntos:

Al unir con una flecha un elemento del conjunto A con algn elemento del conjunto B, cuntos trminos algebraicos puedes formar?

a) 6 b) 7 c) 9d) 10 e) 12

A2.3.7.

B.x2

.x4

.x7

18) Representa con ayuda de trminos algebraicos las siguientes frases:

a) El dinero de una persona.

b) El quntuple de la temperatura ambiental.

c) Siete veces la distancia de la Tierra al Sol.

d) Menos cuatro veces el tiempo transcurrido.

19) Completa el siguiente cuadro:

Trmino Algebraico

Parte Constante

Parte Variable

-4x

-x

8x5y2z

325x2wa

20) Cules de las siguientes proposiciones son falsas?

I. 3 es un trmino algebraico. II. 3 x 2y w e s u n t r m i n o

algebraico. III. x + 3 e s u n t r m i n o

algebraico.

a) Slo I b) Slo II c) Slo IIId) I y III e) I y II

21) Utilizando trminos algebraicos representa las siguientes proposiciones:

a) Menos cuatro veces el rea de un rectngulo.

b) Menos el doble del rea de un tringulo.

c) Menos tres veces el rea de un crculo.

d) El cudruple del rea de un cuadrado.

22) Cul de las siguientes expresiones es un trmino algebraico?

a) Slo I b) II y III c) Slo IId) I y III e) Todas

23) De las siguientes expresiones algebraicas:I. 2x + 7II. 2E + 7III. 2W - 7Cul representa mejor la frase: El doble de mi edad, aumentado en 7?

a) Slo I d) I y IIIb) Slo II e) I y IIc) II y III

24) Seala, cul de las siguientes expresiones no es algebraica?I. x3 + 2x2 + 4wII. x + x2 + x3 + x4 + x5 + ...III. 3wx2 - 2

a) I y III b) Slo III c) Slo Id) Todas e) Slo II

25) Si los trminos algebraicos 8xa+2 y -3x10 tienen el mismo exponente para su variable. Calcula el valor de a.

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 15

26) Los trminos 16xy3b-1; 10xy11, presentan la misma parte literal, el valor de b es:

a) 8 b) 6 c) 4d) 7 e) 5

27) Los trminos: -36x4yb; -2xay3, tienen el mismo

exponente en sus variables x e y, respectivamente. Encuentra el valor de 2b + 3a.

a) 20 b) 22 c) 18d) 21 e) 25

28) Los trminos 14x2b-3y, 7x9y, presentan la misma parte literal, el valor de b es:

a) 4 b) 6 c) 5d) 8 e) 9

29) Dados 6xayb-5; -3x8ya+1, donde el exponente de x en el primer trmino excede en 2 unidades al exponente de x del segundo trmino y los exponentes de y en ambos trminos son iguales. Cul ser el valor de ab?

a) 80 b) 100 c) 120d) 150 e) 160

30) Dados 3xm+6yn-9; -3x9y4, donde el exponente de y del primer trmino excede en 3 unidades al exponente de y en el segundo trmino y los exponentes de x en ambos trminos son iguales. Cul ser el valor de 2m - n?

a) 80 b) 100 c) 120d) 150 e) 160

32) Dados los trminos: -3xa-1y5 ; 10x5-ay-b+7 si sus partes literales son idnticas,

determina ab.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

157

33) Los siguientes trminos: T1 = ax

5ym-1 T2 = mx

b-2y7 T3 = bx

m-3y2a+1 tienen la misma parte literal,

determina: coef(T1) + coef(T2) + coef(T3)

a) 13 b) 16 c) 18d) 21 e) 23

34) Si los siguientes trminos tienen la misma parte literal:

T1 = ax2a+1y9

T2 = bx9y2b+13

reduce: T1 + T2.

a) 2x9y6 b) -2x9y9 c) 2x6y9d) -2x6y6 e) 2x9y9

35) Cuntas de las afirmaciones no son expresiones algebraicas?I. x 5 + 5 xII. x5 + 5x

III. 5/x + x/5IV. xy + yx

a) Ninguna b) 1 c) 2d) 3 e) Todas

36) De las siguientes expresiones, cul representa mejor la frase: un nmero aumentado en su tercera parte?I. x + 1/3 III. x - 1/3II. x + x/3 IV. x - x/3

a) Slo I b) Slo II c) Ningunad) I y III e) Todas

37) Si los siguientes trminos tienen idnticas partes literales:

T1 = abxa+1y3zc+2

T2 = bcx3yb+2z4

T3 = acx2b+1ya+1z2c

calcula: coef(T1) + coef(T3) - coef(T2)

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

38) Reduce los siguientes trminos de parte literal idntica:

axa-1 + bx5 + 3xb+3

a) 5 b) 7 c) 9d) 11 e) 13

39) Determina ab en los siguientes trminos de parte literal idntica:

ax3a+1y7 ; by3b+1x10

a) 2 b) 3 c) 5d) 6 e) 12

40) En el siguiente cuadro, determina cuntos trminos son racionales enteros.

a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

3x-1 4x3 5x1/2

7x8 -1/2x-26x1/3 -2x-2 8x13

5x4

41) Reduce los siguientes trminos: axa+2 + bxb+3 - 5x4 + cxc-1 si todos los exponentes son iguales.

a) 2x4 b) 3x4 c) 4x4

d) 5x4 e) 8x4

42) Si todos los trminos se reducen a uno slo mxn-1 + 3x5 - nx2n+3, calcula mn.

a) 3 b) 6 c) 12d) 18 e) 21

43) Se desea que todos los trminos se reduzcan a uno solo.

T1 = 2mxm+2

T2 = 3nxn-1

T3 = mnx3

determina:

a) 17/4 b) 11/4 c) 9/4d) 15/4 e) 13/4

mn

nm

+

44) Si se cumple la siguiente identidad:

ax5 + bx2a+1 cxb-1

determina el valor de c.

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

45) Si se cumple la siguiente identidad:

mxm+1 + nya+1 3xb+1 + 5yn+3

determina mn - ba.

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

46) Si la suma de todos los exponentes de los siguientes trminos es 16.

T1 = ax2a-1

T2 = 2bx4b+5

T3 = 5x6

determina: coef(T1) + coef(T2) + coef(T3)

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

47) Al relacionar los siguientes trminos idnticos:I. xa+3y4 x5y5

II. xc+1y5 x3y8

III. x3yb+4 x6y4

determina a + b + c.

a) 7 b) 9 c) 11d) 13 e) 15

48) En el siguiente trmino algebraico su coeficiente es el doble de su exponente T = (c + 1)x(c-1) Determina el exponente del siguiente trmino algebraico.

E = (2c + 1)x3c+1

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

49) Si el coeficiente y el exponente del siguiente trmino son dos nmeros consecutivos:

T = (m + 1)x2m-1 Determina el valor de m.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) Ms de una es correcta

50) Si la suma del coeficiente y el exponente del siguiente trmino T = (m + 1)x(2m-5) es el menor nmero par positivo. Determina el exponente del trmino.

E = (2m - 1)x2m+1

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11

158

Trminos Semejantes

Son aquellos trminos algebraicos que tienen la misma parte literal, siendo sus coeficientes valores arbitrarios.

Operaciones con Trminos Semejantes

ADICIN

Ejemplos:

SUSTRACCIN

Se suman sus coeficientes y se conserva su parte literal.

3x2 + 5x2 = (3 + 5)x2 = 8x2

+

Se restan sus coeficientes y se conserva su parte literal.

10m3 - 4m3 = (10 - 4)m3 = 6m3

-

Resolucin:

1. Determina el valor de m si ambos trminos son semejantes:

T1 = 4x2m-1; T2 = 1/3x

m+6

Por ser trminos semejantes su parte literal debe ser idntica en ambos trminos:

4x2m-1 semejantes xm+6

De donde sus exponentes tienen que ser iguales, as tenemos:

2m - 1 = m + 6 m = 7

13

2. Determina a y b si ambos trminos son semejantes:

T1 = 5xa-1y6; T2 = -10x

7yb+2

Resolucin:

Siendo trminos semejantes ambas partes literales deben ser idnticas:

5xa-1y6 semejantes -10x7yb+2

De donde los exponentes de la variable correspondiente tiene que ser iguales, as tenemos:

exponente de x a - 1 = 7 a = 8 exponente de y b + 2 = 6 b = 4

3. Determina n en la siguiente identidad: 6xn+1 + 3x4 9x4

Como se ha producido una reduccin de trminos, stos tienen que haber sido semejantes, entonces tienen la

Resolucin:

4. Reduce los siguientes trminos semejantes: 7xm+3 + mx13 + 3x13.

Resolucin:

Como deben ser tr minos semejantes, su parte literal es idntica, as tenemos:

7xm+3 semejantes mx13

Entonces sus exponentes tienen que ser iguales:

m + 3 = 13 m = 10

Ahora reemplazando para reducir los trminos:

7x13 + 10x13 + 3x13 = 20x3

misma parte literal, es decir: 6xn+1 semejantes 3x4

De donde sus exponentes tienen que ser iguales:

n + 1 = 4 n = 3

5. En la siguiente adicin, determina el valor de m:

axa+b + bxb+c + cxa+c = mx6

Resolucin:

Se observa que hubo reduccin entonces todos son trminos semejantes, luego tenemos las siguientes igualdades:

a + b = 6 b + c = 6 a + b + c = 9 a + c = 6

reemplazando en la identidad: ax6 + bx6 + cx6 mx6

(a + b + c)x6 mx6

de donde: m = a + b + c m = 9

3x5 ; -8x5 ; x5 ; 2x5

son trminos semejantes porque tienen la misma parte literal

45

Observacin

Si en una reduccin de trminos semejantes los coeficientes no se pueden operar, se deben dejar expresados.

Ejemplo:ax3 + 4x3 = (a + 4)x3

mp3 - 10p3 = (m - 10)p3+

-

159

1) 3x2 + 5x2 + 7x2

Nivel I

* Reduce los siguientes trminos semejantes.

2) -9m5 - 11m5 - 13m5

3) 4x3 - 11x3 + 5x3

5) -5x5 + 8x5 - 2x5

4) 5m - 6a + 7m + 11a

6) 6mx + 5xm

7) 5x3p - 2px3 + 3x3p

8) 2(-3x) + 3(4(-2x))

9) 3(-4m) - 5(-3m)

10) -23xy + 32xy

11) Determina el valor de m si ambos trminos son semejantes: T1 = 7x

3m-1y5, T2 = -x8y5

12) Determina el valor de m si ambos trminos son semejantes: T1 = 8x

2m-1y4, T2 = 1/2x5ym+1

13) Determina el valor de m y n si ambos trminos son semejantes: T1 = 8x

4m+1y5, T2 = -3x9yn-2

14) Determina el valor de m y n si ambos trminos son semejantes: T1 = 5x

2m+3y3n-1, T2 = x7y8

15) Determina el valor de mn si ambos trminos son semejantes: T1 = 4x

5m-2ym+2n, T2 = x3y5

Nivel II

16) 3xm + 5x3 8xm

* Determina el valor de m en cada una de las siguientes identidades:

17) 4xm-1 + 7x5 11x5

18) 5x2m-1 + 8xm+12 mx25

19) 12x2m+1 + 7x11 19xm+6

20) 4x3m-2 - 3xm+4 x2m+1

21) 3xm+2 + mx5

* Reduce los siguientes trminos semejantes.

22) 7x2m+1 - mx7

23) 3mxm-2 + (m + 1)x3

24) 5x2m-1 + mxm+4

25) axb + bxa + 3x3

26) Reduce: 3(2m3)2 - 5(-m2)3

a) 11m3 b) m3 c) 8m3

d) -11m3 e) 17m6

27) Dados los trminos semejantes: T1 = 3x

5m-1y5, T2 = 2x14y7n-2

determina m + n.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

28) Reduce los trminos semejantes: T1 = 2x

3m+1y4, T2 = mnx10y5n-1.

a) 5x10y4 d) -4x10y4b) 4x10y4 e) x10y4

c) 3x10y4

29) Determina el valor de m en la siguiente identidad:

3mx2m+3 + mxm+7 16x3m-1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

30) Reduce los siguientes trminos semejantes:

nxm-1 + mxn+1 + mnx3

a) 14x3 b) 12x3 c) 8x3

d) -12x3 e) -8x3

Nivel III

31) Siendo: A = 2mxm+2 . y3m+n

B = 3nx3n-2 . y4m-8

trminos semejantes, calcula A - B y seale su coeficiente.

a) 28 b) 18 c) 10d) 20 e) N.A.

32) Siendo: A(x, y) = mxm+3y2m+n

B(x, y) = nx2n-1y3m+1

trminos semejantes, da su suma.

a) 6x5y7 b) 8x7y5 c) 9x7y5

d) 5x5y7 e) 10x5y7

160

33) Sabiendo que a, b y c son constantes y que los siguientes trminos:

a2(b - 2)xa+5yc+2zb+4

c2(a - 2)x10-by10-az7-c son semejantes. Calcula la suma

de los coeficientes.

a) 27 b) 63 c) -23d) -67 e) -75

34) Si: 4mx2n-1 + 3xp-1 = 15x3, halla m + n + p.

a) 9 b) 4 c) 3d) 7 e) 1

35) Si: (b3 - 7)xn + x8 = 21x3m+2, halla m . n + b.

a) 13 b) 48 c) 19d) 20 e) N.A.

36) Si: P(x, y) = 4zx3+nym

Q(x, y) = 8x10y6-2m, halla z2 + m + n2 si: P + Q = 12x10ym

a) 49 b) 50 c) 51d) 52 e) 53

37) Dados los trminos: R = (a3 - 1)xayb

T = a2b3x3by2a-10

son semejantes. Halla a + b.

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

38) Dado: P = 4mxa+3yb2-1

Q = 3abx5ya3

si 2P + Q es 26x2a+1 y2b+2, halla (a + b)m

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

39) Con los datos anteriores, halla (P - Q)m y seala el coeficiente.

a) -18 b) 18 c) 20d) -14 e) N.A.

40) Dados los trminos algebraicos: A = mxm+3y2m+n

A = mx2n-1y12

halla m + n.

a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 12

41) Halla la suma de coeficientes de los trminos semejantes:

t1 = 3b2x2a-10yb-1

t2 = -2axa-4y

a) -1 b) 0 c) 8d) 4 e) 24

42) Reduce: P(x) = 5x2 + m2xa-1 + 2axm

a) 15x2 b) 8x3 c) 9x2

d) 10x3 e) 10x2

43) Sean los trminos semejantes: t1 = 3ax

2a-1yb-3

t2 = 4bxa+3y2b-9

calcular a + b

a) 2 b) -2 c) 10d) 16 e) 14

44) Calcula a2 + b2, dados los trminos

semejantes: t1 = 3ax

2a-bya+3

t2 = a2xa+3y2b+3

a) 60 b) 45 c) 74d) 13 e) 89

45) Si los trminos: t1 = 2x

a+1xa+2yb-4

t2 = 3xa+3ya+3xy

sumados se pueden reducir a uno solo, calcula ab.

a) 12 b) 48 c) 44d) 16 e) 8

46) Sean los trminos semejantes: t1 = ax

m ; t2 = bxn ; t3 = cx

p

si t1 + t2 = abxp

t1 + t3 = acxn

t2 + t3 = bcx

calcula:

a) 1 b) 2 c) 3d) 3/2 e) 2/3

ab + ac + bcabc

47) Se realiza las siguientes sumas de trminos semejantes:

axm + bxn = abcxp

axn + cxp = 2abcxm

bxp + cxm = 3abcxn

calcula: E =

a) 3 b) 1 c) 1/3d) 3/2 e) 2/3

a + b + cabc

48) Si al multiplicar: t1 = x

m/nyn/m ; t2 = xp/qyqm/np se

obtuvo xy, entonces al sumar los trminos semejantes

t3 = x2k-3; t4 = x

k+3

se obtendr:

a) -x9 b) -2x9 c) -3x9

d) 0 e) x9

mq - nnp

np - mqmq

49) Si al efectuar:(1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ... + nxn-1)(x - 1)2 se obtiene mxn+1 - (2n - 7)xn + p,

calcula m + n + p.

a) 19 b) 13 c) 17d) 15 e) 14

50) Sean los trminos semejantes: t1 = 2

8ax5a-2y2b+3

t2 = 45b2x3a+4yb+7

calcula a - b.

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) N.A.

161

Multiplicacin Algebraica

Resolucin:

1. Multiplica los siguientes monomios: A = -5x3y7 y B = -4x3y4

Efectuando: AB = (-5x3y7)(-4x3y4)

por propiedad conmutativa:AB = (-5)(-4)(x3)(x3)(y7)(y4)

de donde:AB = 20x6y11

am . an = am+n

* 33 . 32 = 33+2 = 35

* 57 . 56 = 57+6 = 513

Saberes PreviosM U LT I P L I C A C I N D E P O T E N C I A S D E B A S E S IGUALES

(a . b)n = am . bn


* (2x)4 = 24x4 = 16x4

* (3m)5 = 35m5 = 243m5

(am)n = amn


* (34)5 = 34(5) = 320

* (x3)6 = x3(6) = x18

Ley de Signos

A) MULTIPLICACIN

(+)(+) = (+) (+5)(+6) = +30 (-)(-) = (+) (-7)(-4) = +28 (+)(-) = (-) (+4)(-3) = -12 (-)(+) = (-) (-5)(+9) = - 45

B) POTENCIACIN

(+)par = (+) (+4)2 = +16 (-)par = (+) (-3)4 = +81 (+)impar = (+) (+5)3 = +125 (-)impar = (-) (-6)3 = -216

Monomio Es aquel polinomio constituido por un slo trmino.

- 5 x3y4

coeficiente parte literal

exponentessigno

M U LT I P L I C AC I N DE MONOMIOS

Para multiplicar monomios, primero se multiplican los coeficientes y luego se efectuan sus partes literales, as tenemos: (3x3y4)(-5x6y2)

aplicando la propiedad conmutativa:(3)(-5)(x3)(x6)(y4)(y2)

-15 x3+6 y4+2

de donde: -15x9y6

2. Al multiplicar los siguientes monomios (-4x3y6); (3x5y5) se obtuvo como producto mxa-1yb+3. Determina a + b + m.

Resolucin:

Segn lo enunciado, tenemos:(-4x3y6)(3x5y5) = mxa-1yb+3

efectuando el primer miembro de la identidad:

-12x8y11 mxa-1yb+3

identificando:a - 1 = 8 a = 9b + 3 = 11 b = 8 m = -12\ a + b + m = 5

3. Multiplica (-3x4y7)2 (-2x3y4)3

Determinemos cada parntesis:(-3x4y7)2 = 9x8y14(-2x3y4)3 = -8x9y12

reemplazando: (9x8y14) (-8x9y12)

por la propiedad conmutativa:(9)(-8)(x8)(x9)(y14)(y12)

de donde obtenemos: -72x17y26

Resolucin:

4. Al multiplicar los monomios ( - 3 x a + 1 y 5 ) ; ( 4 x 5 y b - 1 ) , s e obtuvo como producto mx2a-3y2b. Determina ab + m.

Segn lo enunciado:(-3xa+1y5)(4x5yb-1) mx2a-3y2b

efectuando el primer miembro de la identidad:

-12xa+6yb+4 mx2a-3y2b

identificando:2a - 3 = a + 6 a = 92b = b + 4 b = 4 m = -12\ ab + m = 9(4) - 12 = 24

Resolucin:

162

1) (-2x4) (3x6)

Nivel I

* Mult ipl ica los s iguientes trminos:

16) Efecta: (4x5y3)(-2x4y6)(-7x8y6)

a) 56x9y15 d) -56x20y15

b) 56x17y15 e) 56x17y14

c) -56x18y12

Nivel II

2) (4x5) (6x7)

3) (8x8) (5x10)

4) (-6x12) (3x20)

5) (-8x2y4) (-5x6y3)

6) (7x6y5) (-4x8y12)

7) (-6x9y10) (-2x8y12)

8) (-10x7z2y3) (-8x8z5)

9) (15x8y20z15) (-4x6y10z4)

10) (-12x4y8z10) (-5x5y9)

11) Multiplica: (2x2y3z4)(3x3y4z5)

a) 6x6y7z9 d) 6x5y7z9

b) 6x5y12z9 e) 6x6y8z10

c) 6x5y8z9

12) Multiplica: (-2x5y3)(-3y4z3)(-5x4z2)

a) 30x9y7z6 d) -30x8y8z5

b) -30x9y7z5 e) 30x6y8z5

c) 30x8y8z6

13) Multiplica: (-4m5n3)(3m3p4)(-2n6p5)

a) 24m5n9p9 d) 12m5n9p9

b) 24m8n9p4 e) 12m8n9p9

c) 24m8n9p9

14) Efecta: (-2x3y4)(-3x5y3)(-4x2y5)(-x4y2)

a) 12x14y14 d) 12x12y12

b) 24x14y14 e) 6x10y14

c) 24x12y12

15) Efecta: (-3x4y2)(-5x7y5)(6x8y6)

a) 90x19y10 d) -90x19y13

b) 90x19y13 e) 90x20y13

c) -90x19y12

17) Efecta: (8x7y2)(6x4y3)(5)

a) 48x11y4 d) 30x11yb) 240x11y6 e) 240x10y5

c) 240x11y5

18) Efecta: (-5x4y3)(4x2y6)(2x8y5)

a) 40x6y9 d) 40x14y14

b) -40x6y10 e) 8x14y14

c) -40x14y14

19) Efecta: (-8x5z5)(-4x3y5)(2x2z4y2)

a) 64x5z10 d) 64x10y7

b) 64x10z9 e) 64x10z9y7

c) 32x10z9

20) Efecta: (-10x8z6)(6x4y3)(-2x2y7)

a) 120x12z6 d) -120x12z6

b) 120x14z6 e) -20x14z6y9

c) 120x14z6y10

21) Efecta: (-4x3y6)2 (-3x2y5)3

a) -48x8y5 d) -432x10y20

b) -64x6y10 e) -432x12y25

c) -432x12y27

22) Efecta: (-5x4z2)2 (2x5z4)4

a) 400x23z10 d) 400x28z12

b) 400x28z15 e) 400x28z20

c) 400x28z16

23) Efecta: (-8x5y3z2)2 (2x6y4)2

a) 256x10y7 d) 128x10y15

b) 256x16y20 e) 128x22y14z5

c) 256x22y14z4

24) Efecta: (3x5y2)3 (4x6y4z2)3

a) 432x22y5 d) 1728x33y18

b) 432x6z6 e) 1728x33y18z6

c) 432x30y

25) Efecta: (5x2z6y3)2 (2x4z5y2)3

a) 200x16y12 d) 200x15y12

b) 200z27y12 e) 200x16z27y12

c) 200x16

163

Nivel III

39) Halla n si:

= x4

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

40) Calcula 2m + n si:

= x5y2

a) 5 b) 7 c) 9d) 11 e) 21/2

(x3+m) (y7-n)(x3-n) (y6+n)

30) Simplificar:

a) xy b) xay c) a+b xyd) xyb e) xa+1yb

a+b (xa)2 (yb)3

xa y2b

a-2 - b-2a xb a yb xa b y

45) Calcular: -7 + [(-10) (-2) - {3 - (2 - 8)}]

a) -8 b) -9 c) -10d) -11 e) -12

29) Simplifica:

E =

a) xy b) xayb c) xyab

d) xyab e) (xy)a+b

31) Si: P = 14x3y6 y Q = 7x5y8, halla P . Q ; PQ > 0

a) 2 x3y5 d) -7 2y7x4b) 7x4y7 e) 2x3y7

c) 7 2y7x4

Los matemticos alejandrinos Hern y Diofanto continuaron con la tradicin de Egipto y Babilonia, aunque el libro La aritmtica de Diofanto es de mayor nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difciles. Esta antigua sabidura sobre resolucin de ecuaciones encontr, a su vez, acogida en el mundo islmico, en donde se la llam ciencia de reduccin y equilibrio. (La palabra rabe al-jabr que significa reduccin, es el origen de la palabra lgebra). En el siglo IX, el matemtico Al-Jwarizmi escribi uno de los primeros libros rabes de lgebra, una presentacin sistemtica de la teora fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemtico egipcio Abu Kamil enunci y demostr las leyes fundamentales e identidades del lgebra, y resolvi problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2.

(xn-4)3 . (x4n)2

(xn-2)4 . x6n

38) Al efectuar, seala el coeficiente del resultado ms los exponentes de las variables:

(-3x3y5)3 (-2xy3)

a) 20 b) -20 c) 26d) -26 e) N.A.

37) Simplifica: 4 (256x5)(6561x11)

a) 6x2 b) 3x3 c) 2x2

d) x2 e) 21x3

36) Al resolver: (4x3y)3 (-2xy3) mxayb, halla m + a2 + 3b.

a) -10 b) -28 c) 28d) 46 e) -22

35) Si: P = 4xay2b Q = 5xbya, entonces P . Q es:

a) 20xay2b

b) 20xbya

c) xayb

d) 20xa+by2(a+b) e) 20xa+bya+2b

34) Sabiendo que: m= xa; n = xb x2 = (mbna)c, halla (abc).

a) 1 b) 2 c) -1d) -2 e) 0

33) Halla 2Q/P.

a) 1/2 x2y2 b) 2x2y2 c) x2y2

d) x-2y-2 e) N.A.

32) Con los datos anteriores, halla: P2 . Q

a) 1372x11y20 d) 302y8x14

b) 1372x12y20 e) 1502x11y22

c) 1302x10y14

28) Resuelve: (121y2a) (4y6) = my4

halla m - a3.

a) 10 b) 16 c) 20d) 26 e) 30

27) Al efectuar: (7x3y2) (2xy)3 (b3 - 8)xayc, halla (a - b)c.

a) 32 b) 0 c) 1d) 105 e) N.A.

26) Al efectuar: (2mxayb)2 (2x3ayb-1) 32x5y14, halla m + a + b; m > 0

a) 4 b) 8 c) 12d) 16 e) N.A.

164

Multiplicacin Algebraica

Conocimientos Previos

1. Determina la suma de coeficientes del producto, al multiplicar:

(3x3 - 2x2)(-5x + 4x4)

Resolucin:

Aplicando la propiedad distributiva:(3x3)(-5x + 4x4) + (-2x2)(-5x + 4x4)

-15x4 + 12x7 + 10x3 - 8x6

\ Suma de coeficientes del producto:

-15 + 12 + 10 - 8 = -1

M U L T I P L I C A C I N D E P O T E N C I A S D E B A S E S IGUALES

* 33 . 32 = 33+2 = 35

* 57 . 56 = 57+6 = 513

am . an = am+n


* (2x)4 = 24 x4 = 16x4

* (3m)5 = 35 m5 = 243m5

(ab)m = am . bn


* (34)5 = 34(5) = 320

* (x3)6 = x3(6) = x18

(am)n = amn

LEY DE SIGNOS

* (+5)(+6) = +30* (-7)(-4) = +28* (+4)(-3) = -12* (-5)(+9) = -45

a) Multiplicacin

(+) (+) = (+)( - ) ( - ) = (+)(+) ( - ) = ( - )( - ) (+) = ( - )

* (+4)2 = +16* (-3)4 = +81* (+5)3 = +125* (-6)3 = -216

b) Potenciacin

(+)PAR = (+)( - )PAR = (+)(+)IMPAR = (+)( - )IMPAR = ( - )

M U L T I P L I C A C I N D E MONOMIOS

Para multiplicar monomios, primero se multiplica los coeficientes y luego se efectan sus partes literales, as tenemos:

(3x3y4)(-5x6y2)

Aplicando la propiedad conmutativa:(3)(-5)(x3)(x6)(y4)(y2)

-15 x3+6 y4+2

De donde: -15x9y6

M U L T I P L I C A C I N D E U N MONOMIO POR UN POLINOMIO

Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad distributiva y luego se procede efectuando sus coeficientes y partes literales, as tenemos:

-5x4 (3x5 - 4x7)

Aplicando la propiedad distributiva:(-5x4)(3x5) + (-5x4)(-4x7)

-15x9 + 20x11

De donde:-5x4(3x5 - 4x7) = -15x9 + 20x11

M U L T I P L I C A C I N D E POLINOMIOS

Para multiplicar polinomios se aplica la propiedad distributiva, as tenemos:

(5x4 - 3x5)(-2x6 + 8x3)

A p l i c a n d o l a p r o p i e d a d distributiva:

(5x4)(-2x6 + 8x3) + (-3x5)(-2x6 + 8x3)

-10x10 + 40x7 + 6x11 - 24x8

2. Determina el mayor coeficiente del producto, al multiplicar:

(5x3 - 2x5)(-3x2 - 4x)

Resolucin:

Aplicando la propiedad distributiva:(5x3)(-3x2 - 4x) + (-2x5)(-3x2 - 4x)

-15x5 - 20x4 + 6x7 + 8x6

\ Mayor coeficiente: 8

165

Fue tan famoso el libro Kitab al-jabr wa al-muqabalah, la obra ms importante del matemtico rabe Al'Khwarizmi, que parte de su ttulo dio nombre a toda una disciplina matemtica: el lgebra. Al-jabr quiere decir as como restitucin, que es lo que se intenta hacer cuando se resuelve una ecuacin, restituir el valor de la incgnita. Si buscas esta palabra en el diccionario, encontrars que junto a su significado matemtico aparece otro desusado, el de arte de restituir a su lugar los huesos dislocados. Por eso algebrista era tanto el matemtico dedicado al lgebra como el cirujano que se dedicaba a colocar los huesos en su sitio. Una tercera acepcin de algebrista es la de alcahuete. Algo tendr que ver.

3. Determina la cantidad de trminos del producto, al multiplicar:

(3x5 + 6x4)(2x4 - 4x3)

Resolucin:

Aplicando la propiedad distributiva:(3x5)(2x4 - 4x3) + (6x4)(2x4 - 4x3)

6x9 - 12x8 + 12x8 - 24x7

Reduciendo trminos semejantes, tenemos: 6x9 - 24x7

\ # de trminos = 2

4. Determina el coeficiente del trmino de mayor exponente, al multiplicar:

(5m2 - 3m)(-2m3 + 7m4)

Resolucin:

Aplicando la propiedad distributiva:5m2(-2m3 + 7m4) + (-3m)(-2m3 + 7m4)

-10m5 + 35m6 + 6m4 - 21m5

Reduciendo trminos tenemos:35m6 - 31m5 + 6m4

\ Coef. del trmino de mayor exponente es 35.

Nivel I

1) Multiplica: -2m2n(-3mn + 4m3n2) y determina el coeficiente de

mayor valor del producto.

a) -8 b) 8 c) 6d) -6 e) -12

2) Multiplica: 14xy2(-2xy3 + 2x4y3) y calcula la suma de coeficientes

del producto.

a) -2 b) -14 c) 14d) 28 e) 0

3) Multiplica: -5m4(2m3 - 3m5) y determina el coeficiente del

trmino de mayor exponente.

a) -15 b) 15 c) 10d) -10 e) -5

4) Multiplica: 3x5(-2x3 + 5x4) y determina el coeficiente de

mayor valor.

a) -6 b) -3 c) -5d) 8 e) 15

5) Multiplica: -4y4(-7y3 + 3x3) y determina el coeficiente del

trmino que contiene a x.

a) 28 b) -28 c) -12d) 12 e) 16

6) Multiplica: -3x4(-x3 + y3 + z3) y deter mina la suma de

coeficientes del producto.

a) -9 b) -6 c) 0d) -3 e) 3

7) Multiplica: (3x + 4)(2x - 5) y determina el valor que no

contiene a x en el producto.

a) 10 b) -7x c) 6x2

d) -10 e) -20

8) Multiplica: (6x - 5)(-3x - 4) y determina el coeficiente del

trmino de exponente par.

a) -18x2 b) 18x2 c) -9xd) 9x e) 20

9) Multiplica: (x2 - 2x + 3)(-x + 3) y deter mina la suma de


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10) Multiplica: (-3x + 5)(-2x - 4) y determina el coeficiente del

trmino que no contiene a x en el producto.

a) 6 b) -6 c) 2d) -2 e) -20

11) Multiplica: (-5x + 3)(2x - 6) y determina el coeficiente del

trmino de menor exponente en el producto.

a) -10 b) -18 c) 36d) 24 e) 28

166

Nivel II

16) Multiplica: (3x2 - 2)(6x + 7) e identifica que trmino no se

encuentra en su producto.

a) 18x3 b) 21x2 c) 12xd) -12x e) -14

12) Multiplica: (3m3 - 6m)(-2m4 - 4m2) y determina la cantidad de

trminos del producto.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

13) Multiplica: (5m2 - 7m)(-2m4 + 3m2) y determina la suma de


a) -9 b) -10 c) -11d) -12 e) -13

14) Multiplica: (3m2 - 5m + 1)(-m + 4) y determina el coeficiente del

trmino de exponente uno al obtener su producto.

a) -20 b) -21 c) -22d) -23 e) -24

15) Multiplica: (2m - m2 + 3)(2 - m2) y determina la cantidad de

trminos de su producto.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

17) Multiplica: (5x2 + x)(3x3 - 1) e identifica un trmino del

producto.

a) -15x5 b) 3x4 c) 5x2

d) x e) 5x5

18) Multiplica: (7x + 3x2)(-2x5 - x3) y determina el coeficiente de

menor valor.

a) -14 b) -7 c) -6d) -16 e) -3

19) Multiplica: (8x3 - 5x)(-3x + 2) y determina la suma de coeficientes

de los trminos positivos.

a) -3 b) 3 c) 31d) 24 e) 28

20) Multiplica: (5x4 - 3x)(6x - 4x3) y determina la suma de coeficientes

de los trminos negativos.

a) 4 b) -4 c) 12d) 42 e) 32

21) Multiplica: (-3x3 + 5x)(4x - 3x4) y determina la suma de

coeficientes de los trminos de exponente par.

a) 8 b) -8 c) 2d) -2 e) -27

22) Multiplica: (-7x + 2x3)(-3x4 - x2) y determina la suma de coeficientes

de los trminos de exponente impar en el producto.

a) 18 b) 19 c) 20d) 21 e) 22

23) Multiplica: (9x - 2x2)(-5x + 6x3) y seala el coeficiente de mayor

valor.

a) 54 b) 64 c) 10d) 17 e) 8

24) Multiplica: (3mn - 2n)(-5m - 3mn) y determina el coeficiente de

mayor valor en el producto.

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

25) Multiplica: (2xy - 3x - 2y)(xy - x + y) e indica la cantidad de trminos

del producto.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

26) Multiplica: (3x2 - 5x)(-2x3 + 2) y determina la suma de


a) -12 b) 20 c) -20d) 12 e) 0

27) Multiplica: (2x + 1)(x + 2) - 2(x + 1)(x + 1)

a) 5x b) 4x c) 3xd) 2x e) x

28) Multiplica: (3x + 1)(x + 3) - (3x + 2)(x + 2)

a) 2x + 1 b) 2x - 1 c) 2xd) 3x + 2 e) 3x - 2

29) Efecta: (3x + 1)(x + 4) - (3x + 2)(x + 2)

a) 5x b) 4x c) 3xd) 2x e) x

30) Efecta: 2(x + 1)(x + 5) - (2x + 5)(x + 2)

a) x b) 2x c) 3xd) 4x e) 5x

167

Nivel III

31) Al multiplicar: 4x2(3x2 - x + 5) se obtuvo

12xa - bxc + 20x2. Calcula a + b + c.

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 15

32) Al multiplicar (x2 + 5)(x2 + 3) se obtuvo xm + nx2 + p. Calcula m + n + p.

a) 25 b) 26 c) 27d) 31 e) 32

33) Luego de multiplicar: (2x2 + 3)(2x2 + 1) se obtuvo

ax4 + bx2 + c. Calcula a + b + c.

a) 10 b) 11 c) 12d) 14 e) 15

34) Si (ax+1)(x+b)= 3x2 + mx + 2, calcula el valor de:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

a + m + b4

35) Al multiplicar: (m5 + 2)[m10 + 4 - 2m5] se

obtuvo ma + b. Calcula: a + b + 2

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

36) Si al multiplicar (x + 2)(x + 5) se obtuvo 1, calcula:

E = x2 + 7x + 5

a) -2 b) -4 c) 2d) 6 e) 3

37) Multiplica: (x3 + y2)(x6 + y4 - x3y2) - y6

a) y6 b) 2y6 c) x6

d) y9 e) x9

38) Multiplica: (5x + 2)(x + 3) - (5x + 1)(x + 6)

a) -2x b) -6x c) -8xd) -12x e) -14x

39) Efecta: 5(x + 1)(x + 3) - (5x + 3)(x + 5)

a) -6x b) -8x c) -xd) -2x e) 0

40) Efecta:

(x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + (x + 1)(x - 1)

a) x4 b) x2 c) x2 + 1d) x4 + 1 e) x4 + 2x2

42) Luego de multiplicar: (2x2 - 3)(9 + 6x2 + 4x4) indica

el nmero de trminos del producto.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

41) Efecta: (2x + 5)(2x + 5) - (2x - 5)(2x - 5)

a) 10x b) 15x c) 20xd) 8x e) 40x

43) Efecta:

a) 2 b) 2a c) 4d) 4a e) a2

+1a

a +( ( 1aa +( ( 1aa -( (1a a-( (

44) Efecta:

(3x + 1)(4x + 2) - (2x - 1)(6x + 8)

a) 6 b) 2 c) 10d) 12 e) 4

45) Indica el nmero de trminos que se obtiene al multiplicar:

(xy - x + 2)(xy - y + 1)

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

46) Efecta:

(x + 1)(x + 2)(x + 3) - (x - 1)(x + 3)(x + 4)

a) 4x + 2 d) 3x + 8b) 6x + 18 e) 4x + 6c) 6x + 2

47) Efecta: A = (2x + 1)(x + 3) B = (x - 5)(x + 2) y calcula A - 2B.

a) 8x - 4 d) 13x + 23b) -2x + 7 e) -x - 9c) 2x - 5

48) Efecta:

a) 2 b) 4x c) 2yd) y/x e) 4

( ( (xy +xy + yx yx( -( ( (xy -xy - yx yx(

49) Efecta:

a) 1 b) 2 c) 0d) b/a e) 2b/a

1a

b+( (1b a-( (- 1a b-( (1b a+( (

50) Al efectuar (mx + 3)(x + 2n) se obtuvo 5x2 + ax + 12. Calcula el valor de a + 2.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 7

168

Productos Notables I

1. Efecta: (x + 5)2

Resolucin:

Aplicando la identidad:(x + 5)2 = x2 + 2x(5) + (5)2

(x + 5)2 = x2 + 10x + 25

Son aquellos productos que se obtiene en forma directa sin la necesidad de aplicar la propiedad distributiva.

BINOMIO AL CUADRADO

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

A) (a + b)2 = (a + b)(a + b)

Por multiplicacin distributiva: (a + b)2 = a(a + b) + b(a + b)

Eliminando parntesis: (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2

Reduciendo trminos semejantes: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

B) (a - b)2 = (a - b)(a - b)

Por multiplicacin distributiva: (a - b)2 = a(a - b) - b(a - b)

Eliminando parntesis: (a - b)2 = a2 - ab - ab + b2

Reduciendo trminos semejantes: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Demostracin:

MULTIPLICACIN DE BINOMIOS SUMA POR DIFERENCIA

(a + b)(a - b) = a2 - b2

(a + b)(a - b) = (a + b)(a - b)

Demostracin:

Por multiplicacin distributiva: (a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b)

Eliminando parntesis: (a + b)(a - b) = a2 - ab + ab - b2

Reduciendo trminos semejantes: (a + b)(a - b) = a2 - b2

2. Reduce: E = (x + 3)2 - x(x + 6)

Resolucin:

A p l i c a n d o l a i d e n t i d a d y multiplicacin de expresiones, tenemos:

E = x2 + 2(3)x + (3)2 - x2 - 6x

Reduciendo trminos semejantes\ E = 9

3. Efecta: M = (x - 5)2 - x(x - 5) + 5x

Resolucin:

Aplicando la identidad y multiplicando las expresiones, tenemos:M = x2 - 2(x)(5) + (5)2 - x2 + 5x + 5xM = x2 - 10x + 25 - x2 + 5x + 5xReduciendo trminos semejantes

\ M = 25

Federico Villarreal, insigne hombre peruano, naci en Tcume, Lambayeque el 31 de agosto de 1850. Sus padres fueron Ruperto Villarreal y Manuela Villarreal. E l p r i m e r t r a b a j o d e investigacin realizado por Villarreal, a la edad de 23 aos, segn propias declaraciones, fue su mtodo de elevar un polinomio a una potencia como el descubrimiento capital del sabio y uno de los que le ha dado mayor prestigio como matemtico. Otros trabajos de investigacin que consagran a Villarreal como el ms grande matemtico de su poca son sus estudios sobre los efectos de refraccin, sobre el disco de los astros, su clasificacin de las curvas de tercer orden, sus estudios sobre los volmenes de poliedros regulares, su mtodo de integracin por traspasos y sus trabajos acerca de la teora de la flexin de las vigas y la resistencia de las columnas. Todos ellos representan sus ms importantes contribuciones al lgebra, la geometra, el clculo infinitesimal y la resistencia de materiales. En el campo de la geografa matemtica se han hecho clsicos sus trabajos acerca de la determinacin de meridianos y de coordenadas y altitudes, as como en la astronoma, sus esfuerzos por difundir en el Per las hiptesis de Wronski.

169

Nivel II

16) Efecta: (x + 4)2 - (x - 3)2 - 7

a) 10x b) 11x c) 12xd) 13x e) 14x

Nivel I

1) Efecta las multiplicaciones indicadas:

* (a + b)(a + b)* (x + y)(x + y)* (x + 1)(x + 1)* (a - b)(a - b)* (x - y)(x - y)* (x - 2)(x - 2)

10) Reduce: (x + 1)2 - (x - 1)2 + 3x

a) 7x b) 5x c) 3xd) x e) -x

2) Efecta:

* (x + a)2

* (m + 1)2

* (2x + 1)2

* (y - a)2

* (n - 1)2

* (3x - 1)2

3) Efecta las multiplicaciones indicadas:

* (a + b)(a - b)* (x + y)(x - y)* (x + 1)(x - 1)* (a + 2)(a - 2)* (m - 3)(m + 3)* (b - 5)(b + 5)

4) Efecta:

* (2x + 1)(2x - 1)* (3m - 2)(3m + 2)* (2x + 5)(2x - 5)* (x2 + 2)(x2 - 2)* (m3 - 1)(m3 + 1)* (p5 + 2)(p5 - 2)

5) Efecta: (x + 2)2 - 4(x + 1)

a) 2x b) 2x2 c) 0d) -2x e) x2

6) Efecta: (2x + 1)2 - 4(x2 + x + 1)

a) -5 b) -4 c) -3d) -2 e) -1

7) Efecta: 4x(x - 1) - (2x - 1)2

a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5

8) Efecta: (x + 1)(x - 1) - (x + 3)(x - 3)

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

9) Efecta: (2x + 3)(2x - 3) - (2x + 5)(2x - 5)

a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 32

11) Efecta: (x + 4)2 - 8(x + 1) - x2

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

12) Efecta: (x - 5)2 + 10(x - 3) - x2

a) -5 b) -4 c) -3d) -2 e) -1

13) Efecta: (3x + 1)2 - 9x(x + 1) + 3x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

14) Efecta: (x + 5)2 - (x + 3)2 - 4x

a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 32

15) Efecta: (x - 3)2 - (x - 2)2 + 2x

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

17) Efecta: (x + 5)2 - (x - 2)2 - 14x

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24

18) Efecta: (x + 6)2 - (x - 4)2 - 20(x + 1)

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

170

19) Efecta: (x + 3)2 - (x - 2)2 - 5(x + 1)

a) x b) 2x c) 3xd) 4x e) 5x

20) Efecta: (2x + 3)(2x - 3) - 4(x + 1)(x - 1)

a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5

21) Efecta: (2x + 1)(2x - 1) - 4(x + 2)(x - 2)

a) 11 b) 13 c) 15d) 17 e) 19

22) Efecta: (2x - 1)(2x + 1) - 4(x + 3)(x - 3)

a) 15 b) 20 c) 25d) 30 e) 35

23) Efecta: (x + 4)(x - 4) - (x + 5)(x - 5)

a) 1 b) 4 c) 9d) 16 e) 25

24) Efecta: (2x + 3)(2x - 3) - (x + 3)(x - 3)

a) x2 b) 2x2 c) 3x2

d) 4x2 e) 5x2

25) Efecta: (4x + 1)(4x - 1) - 16(x + 1)(x - 1)

a) 15 b) 14 c) 13d) 12 e) 11

26) Si a + b = 3 y ab = 2, calcula a2 + b2.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

27) Si a - b = 7 y ab = 3, calcula a2 + b2.

a) 33 b) 44 c) 55d) 66 e) 77

28) Si a2 + b2 = 13 y a + b = 5, calcula ab.

a) 7 b) 6 c) 5d) 4 e) 3

29) Si a2 + b2 = 10 y a - b = 4, calcula ab.

a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5

30) Si a2 + b2 = 15 y a - b = 3, calcula ab.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

Nivel III

31) Si a + b = 5 y ab = 8, calcula M = a2 + b2

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

32) Si a - b = 5 y ab = 12, calcula: Q = a2 + b2

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

33) Si a - b = 6 y ab = 14,

calcula: R =

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

a2 + b2

16

34) Si a + b = 7 y a2 + b2 = 17, calcula: N = ab

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

35) Si a2 + b2 = 22 y a - b = 2, calcula: P = ab

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

36) Si a - b = 2 y a = 2/b, calcula a2 + b2.

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 12

37) Si m - n = 3 y mn = 2m - 2n, calcula m2 + n2.

a) 15 b) 18 c) 21d) 31 e) 35

38) Efecta:

4 (x+1)(x-1)(x2+1)(x4+1)+1

a) x b) x2 c) 2xd) 2x2 e) 4x

39) Efecta:

8 (b-1)(b2+1)(b4+1)(b+1)+1

a) b b) b2 c) b2-1d) b+1 e) b-1

40) Efecta:

4 (x+y)(x-y)(x4+y4)(x2+y2)+y8

a) x2 b) y2 c) y4

d) xy e) x2 + y2

41) Si x - y = 5 y x2 - y2 = 40, calcula el valor de x + y.

a) 6 b) 2 c) 8d) 4 e) 4 2

42) Efecta:

(m + n)(n - m)(m2 + n2) + m4

a) n b) m c) n + md) n2 e) m2

171

43) Si x + y = 3n y x2 - y2 = 12n, calcula x - y.

a) n b) 4n c) 8nd) 4 e) 2

44) Si m + 3n = 2a y m2 - 9n2 = 8a2, calcula 2m.

a) a b) 2a c) 3ad) 4a2 e) 6a2

45) Si m = n + 1, reduce:

4 (m+n)(m2+n2)(m4+n4)+n8

a) m b) 2m c) 2m2

d) n2 e) m2

46) Calcula:

4 1 + 8(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)

a) 81 b) 27 c) 9d) 33 e) 243

47) Efecta:

1 + 15(42 + 1)(44 + 1)

a) 16 b) 64 c) 256d) 128 e) 1024

48) Si a + b = 7 y ab = 1, calcula a - b.

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 6

LA CALCULADORA POLINMICA

El objetivo de esta calculadora es proporcionar a los alumnos una herramienta que les permita comprobar por s mismos los clculos con polinomios que previamente han efectuado a mano. sta puede ser especialmente til cuando se aborda el aprendizaje de la factorizacin de polinomios, ya que aunque los alumnos aprenden pronto la tcnica (mtodo de Ruffini, clculo de races enteras, etc.), no acaban de creerse que esa factorizacin que han hallado sea realmente igual al polinomio de partida; de hecho es muy habitual que el alumno no escriba el signo de igualdad entre el polinomio y su factorizacin. La manera de evitar esta duda sera que el alumno comprobase siempre la factorizacin obtenida, efectuando las operaciones hasta obtener el polinomio propuesto, pero la mayora se desalienta ante e

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3° Algebra