3 Bölüm - TRİGONOMETRİK NİVELMAN

Trigonometrik Yükseklik Ölçümü

65

3. BÖLÜM

TRİGONOMETRİK YÜKSEKLİK ÖLÇÜMÜ Yükseklikler genellikle geometrik nivelmanla belirlenir. Minare kule gibi yanına gidilemeyen ya da arazinin çok engebeli olduğu durumlarda ve geometrik nivelman inceliği istenmeyen işlerde, noktaların yükseklikleri trigonometrik nivelmanla belirlenir. Trigonometrik nivelman, daha çok nirengi noktaları ile takimetrik alımda ve total station benzeri elektronik aletlerle yapılan üç boyutlu kutupsal alımda nokta yüksekliklerinin belirlenmesinde kullanılır. Trigonometrik yükseklik belirlemesi için yüksekliği bilinen bir noktaya teodolit ya da total station kurularak, düşey açı okunur, alet yüksekliği ve işaret yüksekliği ölçülür. Ayrıca iki nokta arasındaki uzaklığın da bilinmesi veya ölçülmesi gerekir.

3.1. Düşey Açı

Şekil 3.1 Düşey açı

İki çeşit düşey açı vardır. Bunlar zenit (başucu) açısı ve eğim açısıdır. Teodolitlerde düşey açı ölçme düzenleri genellikle zenit açısı ölçülecek şekilde yapılmıştır. Düşey açı bölüm dairesi, daire merkezi yatay eksenle çakışacak şekilde ve düşey durumda dürbüne bağlanmıştır. Dürbün aşağı yukarı hareket ettirildiği zaman düşey açı bölüm dairesi de dürbünle birlikte hareket eder.

P

Z

Zenit (Başucu)

Yatay

Z : Zenit (başucu) açısı α : Eğim açısı Z+α = 100g


66

3.1.1. Gösterge (Düşey Kolimasyon) Hatası Düşey açı bir gösterge çizgisiyle okunuyorsa, optik eksen tam yatay durumda iken gösterge çizgisinin de tam 100 gradı göstermesi gerekir. Optik eksen yatay durumda iken düşey açı düzeci ayarlandığında gösterge çizgilerini birleştiren doğru ile bölüm dairesinin 100 ve 300 grad çizgileri çakışmıyorsa açı 100 gradtan biraz farklı olacaktır. Bu fazla ya da az okunan miktara gösterge hatası veya düşey kolimasyon hatası denir. Gösterge çizgilerinin yataylanması düşey açı düzeci yardımıyla veya kompensatörlerle otomatik olarak sağlanmaktadır. Gösterge hatası, ya optik eksen ile bölüm dairesinin 100g-300g çizgilerini birleştiren doğru, ya da düzeç ekseni ile gösterge ekseni birbirlerine paralel değilse oluşur. Şekilde birinci hata δ1, ikinci hata ise δ2 ile gösterilmiştir. Açı ölçümünde bu iki hatanın toplamı bir tek hata olarak görünür.

Şekil 3.2 Düşey kolimasyon hatası

α1+ α2 = 400g +2δ δ=( α1+ α2 - 400g) / 2

Eğer alet hatalı değilse dürbünün iki durumunda ölçülen zenit açılarının toplamı 400g olur. 400 gradtan fazla olan miktar, gösterge hatasının iki katıdır. Bunun yarısı α1 den çıkarılarak hatasız zenit açısı bulunur. Gösterge hatası her alet kurulan noktada ölçülen bütün açılar için yaklaşık olarak eşittir. Bir aletle iki dürbün durumunda yapılan ölçümlerle hatasız zenit açısı elde edilir. Hata büyük olursa hesapta zorluk yaratacağı ve bir dürbün durumunda yapılan ölçümler hatalı olacağından alet ayarlanarak bu hata giderilir. Alette hatanın giderilmesi şöyle yapılır: δ hata miktarı birinci dürbün durumunda okunan açıdan çıkarılarak hatasız zenit açısı Z bulunur.

δα −= 1Z

Sonra alet birinci dürbün durumunda P noktasına yöneltilir ve mikrometre vidası ile okunması gereken Z açı değeri ayarlanır. Düşey açı bölüm dairesinin gösterge

δδ2 δ1

OO

0

200

300

100

Zenit (başucu)

100100

200200

300

300

00

Zenit Zenit

PP

Z

α1

δ

α2

δ Z

α1= Z+δZ =α1-δ

α2=400g - Z+δZ =400g-(α2-δ)

Birinci dürbün durumu İkinci dürbün durumu


67

çizgileri, düşey açı düzeçleme vidası yardımıyla çakıştırılır ve kayan düzeç kabarcığı düzeç ayar vidası yardımıyla ortalanarak aletin hatası giderilmiş olur. Hata giderildikten sonra kontrol için işlem yinelenir. Örnek: α1=97g.6586 α2=302g.3458

6564.970022.06586.97

0022.02

0044.02

4000044.4002

400

1

21

ggg

gg

Z =−=−=

==−

=−+

=

δα

ααδ

3.1.2. Düşey Açı Ölçümü ve Hesabı

Düşey açı ölçümü genellikle refraksiyonun (ışığın kırılmasının) az olduğu öğle saatlerinde yapılmalıdır. Düşey açılar genellikle 2 silsile olarak ölçülürler. Bir silsile düşey açı ölçümü şöyle yapılır: Alet nokta üzerine kurulup düzeçlendikten sonra bir P noktasına yöneltilir ve yatay gözlem çizgisinin ortaya yakın bir yeri dürbünün düşey az hareket vidası yardımıyla noktaya tatbik edilir. Düşey açı düzeci yataylanır ve düşey açı okunur. Eğer alet otomatik ise yani gösterge çizgisinin yataylanması bir kompensatör yardımıyla otomatik olarak yapılıyorsa düzecin ayarlanmasına gerek yoktur. Dürbün ikinci duruma getirilir ve yatay gözlem çizgisi tekrar noktaya tatbik edilip, düzeç ayarlandıktan sonra düşey açı okunur. İkinci silsileye başlarken yatay açı ölçümündeki gibi başlangıç doğrultusunun kaydırılması söz konusu değildir. DN BN Silsile

No Dürbün Durumu

Okunan Düşey Açı

δ Z 400g-Z

Ortalama Z

vδ Vδ2

A B 1 I 95g.7718 -30cc 95g.7688 95g.7689 -3 9 II 304.2342 -30cc 304.2312 400.0060 400.0000 2 I 95.7730 -40cc 95.7690 +7 49 II 304.2350 -40cc 304.2310 400.0080 400.0000 C 1 I 107.3641 -35cc 107.3606 107.3601 +2 4 II 292.6429 -35cc 292.6394 400.0070 400.0000 2 I 107.3623 -27cc 107.3596 -6 36 II 292.6431 -27cc 292.6404 400.0054 δort=-33 400.0000

Bir istasyonda s tane noktaya bakılarak n silsile düşey açı ölçülmüşse, ölçü sayısı n·s olur.


68

[ ]

hatası ortalama açının ölçülen silsile n

hatası ortalama açının ölçülen silsile Bir

nm

M

1sn]v[

m

δδδsn

δv

zz

2δ

z

iortii

iδ

±=

−⋅±=

−=−⋅

=

hatası ortalama açının bir ölçülen silsile2 .04 2

5.72

hatası ortalama açının bir ölçülen silsile Bir.72

cczz

cc2δ

z

4n

mM

5122

981sn]v[

m

±=±=±=

±=−⋅

±=−⋅

±=

Refraksiyon katsayısı, havanın sıcaklık derecesine, yoğunluğuna, rutubetine ve

basıncına göre değişir. En büyük değişmeler sabah ve akşam saatlerinde, en küçük

değişmeler öğle saatlerinde olmaktadır. Bu nedenle trigonometrik yükseklik

ölçümünde düşey açı ölçümleri öğle saatlerinde yapılmalıdır. Bundan başka, yere ve

su yüzeylerine yakın geçen ışınlar daha fazla kırıldıklarından, açı ölçümünde ışınların

mümkün mertebe yere ve su yüzeyine yakın olmamasına dikkat edilmelidir. k değeri,

Türkiye’nin çeşitli bölgeleri için Harita genel Komutanlığınca 1/200 000 ölçekli 27

pafta için hesaplanmış olan 27 değerin ortalaması alınarak 0.13 bulunmuştur. (C.

Songu, Ölçme Bilgisi, ikinci Cilt, 1975).

3.2. Kısa Mesafede (S<250 m) Trigonometrik Yükseklik Ölçümü

D

t

Yatay i ∆h S

Şekil 3.3 Trigonometrik nivelman

Şekil 3.3 den, HB = HA + i + h – t (3.1) h = S cotZ Yatay uzunluğa göre h = D cosZ Eğik uzunluğa göre

yazılabilir. h’ın değeri yukarıdaki (3.1) eşitliğinde yerine konursa, HB = HA + i + S cotZ – t (3.2) HB = HA + i + D cosZ – t

Z h

A

B


69

eşitlikleri elde edilir. İki nokta arasındaki yükseklik farkının trigonometrik olarak hesaplanabilmesi için, bu noktalardan birine teodolit kurularak, diğer noktadaki işarete bakılır ve düşey açı ile birlikte yatay ya da eğik uzunluk ölçülür. Ayrıca durulan noktada alet yüksekliği (yatay eksene kadar), bakılan noktada da işaret yüksekliği ölçülür. Yerin küreselliğinin ve refraksiyonun (ışığın kırılmasının) etkisi 250 metreye kadar uzunluklarda 1 cm nin altında kaldığı için bu iki faktörün etkisi, 250 metreye kadar olan uzunluklarda dikkate alınmaz. Trigonometrik yükseklik hesabında 250 metreye kadar olan uzunluklar, kısa mesafe olarak adlandırılır.

3.2.1. Kule Yüksekliği Ölçümü

Kule Yüksekliği belirlemesi, alet kurulan nokta ile kule arasındaki S uzunluğunun doğrudan ölçülüp ölçülmemesine bağlı olarak iki şekilde ele alınır.

3.2.1.1. S Uzunluğu Ölçülüyor

Şekil 3.4 S uzunluğunun ölçülmesi durumunda kule yüksekliği hesabı

h kule yüksekliği, şekilden de görüldüğü üzere h = HT - HT’ bağıntısı ile hesaplanır. Öncelikle verilenlere göre HT ve HT’ nün hesaplanması gerekir.

HT = HA + S cotZ1 HT’ = HA + S cotZ2

h = HT – HT’ = S (cotZ1 – cotZ2)

Örnek: Z1 = 95g.3674 S = 75.14 m Z2 = 102g.1826 h = ? h = S (cotZ1 – cotZ2) = 75.14 * (cot95.3674 – coot102.1826) = 8.0546 m h = 8.05 m

Eğer kulenin tabanı olan T’ noktasının yüksekliği önceden biliniyorsa ya da geometrik nivelmanla belirlenmişse, trigonometrik olarak yalnızca kulenin tepesinin yüksekliğinin (HT) hesaplanması yeterlidir. Yine h=HT-HT’ bağıntısı kullanılarak h hesaplanır. Bu durumda Z2 nin ölçülmesine ihtiyaç yoktur; fakat i alet yüksekliğinin ölçülmesi gerekir.

T Z1

Z2 h

S A

T’i

Bilinen: HA Ölçülen: Z1, Z2, S İstenen: h = ?


70

Örnek : Z = 93g.7853 S = 86.55 m

HA = 125.82 m i = 1.50 m

HT’ = 127.39 m h = ?

HT = HA + i + S cotZ = 125.82 + 1.50 + 86.55 * cot93.7853 = 125.82 + 1.50 + 8.48 =

135.80 m

h = HT – HT’ = 135.80 – 127.39 = 8.41 m

3.2.1.2. S Uzunluğu Ölçülemiyor

a) Yatayda Oluşturulan iki Üçgen Yardımıyla S Kenarının Hesabı Bilinenler : HA, HT’ yükseklikleri İstenen: h = ? Ölçülenler : Z düşey açısı α, β, γ, δ yatay açıları a ve b kenarları T

T

T’

A S

Şekil 3.5 Yatayda oluşturulan iki üçgen yardımıyla kule yüksekliği hesabı

δ)sin(γsinδbSATC

β)sin(αsinαaSABT

+⋅=→

+⋅=→

Buradan ortalama S bulunur ve bu değerle de HT

yüksekliği hesaplanır. HT = HA + i + S ∗ cotZ h = HT – HT’

Örnek : a = 28.15 m α = 75g.1428 b = 23.90 m β = 67.3920 Z = 95g.1686 γ = 71.2675 i = 1.50 m δ = 80.4750 HA = 101.00 m HT’=101.95 m

h = ?

Z αa

b

S

A

B

C

β

γδ


71

m )sin(

sin bS

m33.162 β)sin(α

sinαaS

142.33δγ

δ=

+⋅=

=+

⋅= Sort = 33.152 m

HT = HA + 1.50 + S * cotZ = 101.00 + 1.50 + 33.152 * cot95g.1686 =

= 101.00 + 1.50 + 2.52 = 105.02 m h = HT –HT’ = 105.02 -101.95 = 3.07 m

b) Düşey Düzlemde Oluşturulan İki Üçgen Yardımıyla S Kenarının Hesabı

Bu yöntemde A, C ve B noktaları, aynı düşey düzlem içinde olacak şekilde seçilir.

Bilinenler: HA, HB, HT’

Ölçülenler :

ZA, ZB düşey açıları

d uzaklığı

ia, ib alet yükseklikleri

İstenen: h = ? Şekil 3.6 Düşey düzlemde iki üçgen oluşturulması

HT = HA + ia + (d + e) cotZA HT = HB + ib + e cotZB

HA +ia + + (d+e) cotZA = HB + ib + e cotZB e cotZA - e cotZB = HB + ib - HA - ia - d cotZA

BA

AabAB

cotZcotZcotZdiiHH

e−

⋅−−+−=

T noktasının yüksekliğinin incelikli olarak hesaplanabilmesi için şu noktalara dikkat edilmelidir:

1. B noktası, ZB açısı yaklaşık 50g olacak şekilde seçilmelidir. 2. d uzunluğu, kule yüksekliğinin yaklaşık iki katı olmalıdır. Bunun için de ZA, 80g

civarında olur. 3. A noktasındaki zenit açısı ZA, ZB ye göre daha hassas ölçülmelidir. 4. d uzunluğu hassas bir şekilde ölçülmelidir. 5. Kulenin yüksekliği, A noktasındaki ölçümlere göre hesaplanmalıdır. B

noktasındaki hesap kontrol için yapılmalıdır. Hesap : HT = HA + ia + (d+e) * cotZA Kontrol: HT = HB + ib + e * cotZB 6. A ve B noktalarının en uygun konumu, kulenin ayrı ayrı tarafında seçilmeleridir.

ZB

A d

ZA

T’ e

h

T

ia ibB


72

Örnek: ZA= 82g.1694 ia =1.55 m ZB= 53g.4961 ib =1.42 m HA = 100.00 m d = 42.76 m HB = 102.15 m h = ? HT’ = 105.24 m

m 13.47105.24118.71HHhm 118.709cot53.496116.901.42102.15HKontrol

m118.712 cot82.169416.90)(42.761.55100.00HHesap

m16.903 920.60814156210.2796382

cot53.4961cot82.1694cot82.169442.761.551.42100.00102.15

cotZcotZcotZdiiHH

e

cotZeiHcotZe)(diHcotZeiHH

cotZe)(diHH

TT

T

T

BA

AabAB

BbBAaA

BbBT

AaAT

=−=−==⋅++=→

=⋅+++=→

=−−

=

−⋅−−+−

=−

⋅−−+−=

⋅++=⋅+++⋅++=

⋅+++=

′

e

3.2.2. Trigonometrik Nivelman

Şekil 3.7 Trigonometrik nivelman

Trigonometrik nivelmanla iki nokta arasındaki yükseklik farkının bulunmasında, geometrik nivelmandaki geri - ileri bağıntısından yararlanılır.

BAAaBbAB

BbBAaAAB

BBAAABAB

cotZscotZsHHcotZscotZsHH

)h()h(ilerigeriHH∆H

ll

ll

ll

−+⋅−⋅+=⋅+−⋅−=−

−−−=−=−=

Yukarıdaki bağıntı∗, şu şekilde de elde edilebilir: Alet kurulan P noktasına göre, A ve B noktalarının yüksekliklerini veren bağıntılar yazılır ve sonra bu bağıntılardan HB -HA oluşturulur.

∗ Bu bağıntı çıkartılırken ZA ve ZB nin değerleri ne olursa olsun, ZA ve ZB nin 100g dan küçük, yani hA ve hB nin pozitif olduğu şekil 3.7 esas alınır. ZA ve ZB nin tüm değerleri için yukarıdaki eşitlik geçerlidir.

hA hB

ℓB

ℓA

sa sb

ZA ZB

A

Bgeri

ileri

P

Bilinen : HA

Ölçülenler: ZA, ZB, sa, sb, ℓA, ℓBİstenen : HB = ?


73

BAAaBbAB

BAAaBbAB

AAaPA

BBbPB

ZcotsZcotsHHZcotsZcotsHH

ZcotsiHHZcotsiHH

ll

ll

l

l

−+⋅−⋅+=−+⋅−⋅=−

−⋅++=−⋅++=

Örnek :

m66.979HA661.979339.2000.100046.320.1782.8817.1300.1000H

46.320.13943.95cot17.1211871.106cot72.14100.1000HZcotsZcotsHH

)Zcots()Zcots(HHH∆

A

A

BABbAaBA

AbBAaAABAB

m

==−=+−−−=+−−+=

+−−+=−−−=−=

ll

ll

3.2.3. İki Nokta Arasındaki Uzunluğu Ölçmeden Yükseklik Farkının Bulunması

Şekil 3.8 Uzunluk ölçülmeden yükseklik farkının hesaplanması

l

l

ll

=−⋅⋅=−⋅

=⋅−⋅=⇒+=⋅

)ZcotZ(cotsZcotsZcots

mZcotsZcotsmmZcots

21

21

2

11

tiZcotsHHh∆)t(iZcotsHHh∆

ZcotZcots

2ABAB

1ABAB

21

−+⋅=−=+−+⋅=−=

−=

l

l

hA

hB

ℓB

ℓA

141.72 m 121.17 m

ZA ZB

A

BP

Bilinen : HB=1000.00 m Ölçülenler : ZA=106g.1871

ZB=95g.3943 ℓA=1.20 m ℓB=3.46 m

İstenen : HA = ?

Z1 Z2

A

B

s

m

ℓ

t

∆hABi

Ölçülenler : Z1, Z2, i, t, l İstenen : ∆hAB=?


74

Örnek:

mHHmHH

mZZ

s

AB

AB

57.10490.19122.97cot89.10550.157.10490.100.27120.96cot89.10550.1

89.1050188869.0

00.29122.97cot7120.96cot

00.2cotcot 21

=−⋅++==−−⋅++=

==−

=−

=l

3.2.4. Kısa Uzunluklarda Trigonometrik Yükseklik Ölçümünde İncelik

Ölçülen büyüklükler, s uzunluğu, Z düşey açısı, i alet yüksekliği ve t işaret yüksekliği ile bunların ortalama hataları da ms, mz, mi, mt olmak üzere kısa uzunluklarda trigonometrik yükseklik ölçümündeki inceliği bulmak için,

∆hAB=HB -HA=s cotZ+i-t

formülüne hata yayılma kanunu uygulanırsa;

222

2

4

2222

2

sincot

sincot

tiz

sh mmmZ

smZm

dtdidzZ

sdsZdh

++⋅+⋅=

−+−⋅=

ρ∆

elde edilir.

Örnek :

mmmmmZZ

mmmmsmZmmm

mmmmmmmmmm

mmmZ

smZmm

hh

hgg

h

hg

t

hi

hs

tiz

shcc

z

3

3

4.4

7.?6099.13445544.50555.09990

9.1009796.1444586.53936.1952

2478.1944834.5644.515

sincot15

2

2

2

222

2

4

2222

±==

=+++=⇒==

±==

=+++=⇒=±=

±=±=

=+++=±=

++⋅+⋅=±=

∆∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆ρ

Z1 Z2

A

B

s

m

ℓ

t

∆hABi

Ölçülenler :Z1=96g.7120 Z2 =97g.9122 İ= 1.50 m t=1.90 m ℓ= 2.00 m

Bilinen : HA =101.50 m İstenen : HB=?


75

3.3. Uzun Mesafede (S > 250 m) Trigonometrik Nivelman

Noktalar arasındaki uzaklık 250 metreden fazla ise, yerin küreselliğinin ve ışığın kırılmasının (refraksiyonun) etkisi hesaba katılır.

Şekil 3.9 Uzun mesafede trigonometrik nivelman

edilir.

h

konulursa, yerineeeşitliğind (1) değerBu

,olduğundan açı küçük

üçgeninde AOC

(1) üçgeninde

k

eldeR2

sR2ss

R2s

2γtan

2γ

Rsγtanγ

γRsγtan

2γtansh

sh

2γtanAEC

2

kk

=⋅=

==⇒==

=

⋅=⇒=

Işın yayı, bir daire yayı olarak alınabilir ve yarıçapı R‘ ile gösterilirse, ışığın kırılmasının etkisi de, yerin küreselliğinin etkisine benzetilerek

R2ks

kR2

sR2

sh222

r⋅

==′

=

R = 6373394 m (Dünyanın yarıçapı), R’= R/k (Işın yayının yarıçapı), k = Kırılma (refraksiyon) katsayısı, hk = Yerin küreselliğinin etkisi, hr =Refraksiyonun (ışığın kırılmasının) etkisi, ∆H = A ve B noktaları arasındaki yükseklik farkı,

Z = 100g – α h = s * tan α = s * cot Z

O

O’

RR’

A

B

F

E

C

γ

2δ

s

δ h hr

∆hhk

2γ


76

yazılabilir. Şekilden görüldüğü gibi, küreselliğin etkisi daima (+),ışığın kırılmasının etkisi ise eksi daima (-) dir. Refraksiyon (kırılma) katsayısı verilmezse ya da bilinmiyorsa, ülkemizde k=0.13 ortalama değeri kullanılır.

2Rsk)(1sH

2Rks

2Rs sH

hhh∆H

2

22rk

⋅−+⋅=

⋅−+⋅=

−+=

Zcot∆

Zcot∆

Alet ve işaret yükseklikleri de dikkate alınırsa,

tis2R

k)(1s∆H 2 −+⋅−

+⋅= Zcot

olarak elde edilir. Alet kurulan noktanın yüksekliği biliniyorsa, bakılan noktanın yüksekliği aşağıdaki eşitlik ile bulunur.

tisR2

)k1(ZcotsHH∆HH 2AAB −+⋅

−+⋅+=+=

Yerin küreselliğinin ve ışığın kırılmasının etkisi k=0.13, R=6373394 m alınarak, belirli uzunluklar için hesaplanmış ve aşağıdaki çizelgede verilmiştir.

si 50 m 100 m 250 m 500 m 1 km hk 0.20 mm 0.78 mm 4.90 mm 9.61 mm 78,45 mm hr -0,03 mm -0.10 mm -0.64 mm -2.54 mm 10.20 mm Hk+hr 0.17 mm 0.68 mm 4.26 mm 7.07 mm 68.25 mm

Örnek 1:

HA = 2000.00 m HB = ?

m 45.220310.350.1414.0634.20400.2000H

10.350.1)36.2462(63733942

)13.01(7215.94cot36.246200.2000H

tisR2

)k1(ZcotsHH

B

2B

2AB

=−+++=

−+⋅⋅−

+⋅+=

−+⋅−

+⋅+=

94g.7215

1.50

3.10 m

s=2462.36mA B


77

Örnek 2:

m755.305m755.105Hm755.105HH

85.150.1)14.34594.762(R2

13.014715.103cot14.3457524.92cot94.762

)ss(R2k1ZcotsZcotsHH

sR2k1ZcotsiHH

sR2k1ZcotsiHH

AAB

22gg

212A

2BAABBAB

12AAACA

22BBBCB

H B =+=→=−

−+−−

+⋅−⋅=

−+−⋅−

+⋅−⋅=−

−⋅−

+⋅++=

−⋅−

+⋅++=

ll

l

l

Işığın Kırılma (Refraksiyon) Katsayısının (k) Belirlenmesi

Şekil 3.10 Işığın kırılma katsayısı k nın belirlenmesi

ZA

ZB

s'

α

β1

β2

δ2

δ1

C

O

B

A

R R'

R'

s

γ

i CA

B ℓ2=1.85 m

ℓ1=1.50 m

103g.4715 92g.7524

sA=345.14 m sB=762.94 m

HA=200.00 m HB = ?R=6373 394 m


78

γδδγδδ

δβδβ

γββ

+=+++

=+−−+−−

+−=+−=

=++⇒

200ZZ (2)

konulursa, e yerlerinde (1) yukarıdadeğer

(1) 200 üçgeninden

21BA

2

1

g2

200Z200Z200ikiBu

Z200Z200

AOB

2B1Ag

2B

1A

1

)()(

elde edilir. AB ışın yayı bir daire yayı olarak alınırsa, δ1= δ2 olur. İnceliğe bir etkisi olmadığından s’=s alınabilir. Bu durumda,

2γkk

R2s

kR2

s'R2

sδδ 21 =⋅=⋅

=⋅

==

olur. Bu değerler (2) de yerlerine konulursa,

γ200ZZk1)k1(γγkγ200ZZ

γ200γkZZg

BAgBA

gBA

−+=−⇒−⋅=⋅−=−+

+=⋅++

ρRsγ ⋅= değeri yerine raydan cinsinden karşılığı yazılırsa,

ρρ

gBA

gBA 200ZZ

sR1k

Rs

200ZZk1 −+⋅−=→

⋅

−+=−

3.4. Karşılıklı Gözlemlerle İki Nokta Arasındaki Yükseklik Farkı Günümüzde hesaplama araçlarının gelişmiş olması nedeniyle ZA ve ZB açıları; yaklaşık olarak değil kesin olarak hesaplanmalıdır.

Şekil 3.11 Karşılıklı gözlemlerle iki nokta arasındaki yükseklik farkının belirlenmesi

A

B

C

γ/2 β1

ZA

ZB

D

α

β2

δ2

δ1

O

R

s

γ

Deniz yüzeyi

HB

h

HA

A

B Z’A

s

tA

iA

∆ZB

tB

iB

Z’B ∆ZA

ZA

ZB

DAB

DBA

L


79

Z’ : Ölçülen zenit açısı Z : İşaret tepesine indirgenmiş zenit açısı

∆ZA ve ∆ZB nin yaklaşık hesabı:

BBB

AA

ZZ'Z

Z'Z

∆ρs

itZ∆

Z∆ρs

itZ∆

BBB

AAA

A

+=⋅−

=

+=⋅−

=

ZA ve ZB nin Kesin hesabı:

DAB ve DBA eğik uzunlukları ölçülmemiş ve s yatay uzunluğu verilmişse öncelikle bu eğik uzunluklar,

; '' sinsin BABA

ABAB Z

sDZsD ==

eşitlikleri ile hesaplanır. Sonra tanjant teoremine göre yazılan aşağıdaki eşitlikten ∆ZA hesaplanır.

2Z200Z2

2Z200

2ZZ200Z

2ZZ200Z

DaDa

Ag

A

Ag

AAg

A

AAg

A

AB

AB'

'

'

'

tan

tan

)(tan

)(tan

+−

−

=−−−

−−+

=−+

∆∆∆

∆∆

2Z200

DaDa

2Z200Z2 A

g

AB

ABAg

A''

tantan −⋅

+−

=+−∆

⎟⎟⎠

⎞−⋅⎜⎜

⎝

⎛+−

=+−

2Z200

DaDaatn

2Z200Z2 A

g

AB

ABAg

A''

tan∆

⎟⎟⎠

⎞−⋅⎜⎜

⎝

⎛+−

=−

−2

Z200DaDaatn

2Z200

2Z2 A

g

AB

ABAg

A''

tan∆

2Z200

2Z200

DaDaatnZ A

gA

g

AB

ABA

''

tan −+⎟⎟

⎠

⎞−⋅⎜⎜

⎝

⎛+−

=∆

Benzer şekilde

2Z200

2Z200

DaDaatnZ B

gB

g

BA

BAB

''

tan −+⎟⎟

⎠

⎞−⋅⎜⎜

⎝

⎛+−

=∆

yazılır. Bir üçgende bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğundan, şekle göre

BBBA

AAAB

ZZZZZZ

∆

∆

+=

+='

'


80

yazılarak ZAB ve ZBA hesaplanır.

Tanjant teoremine göre OAB üçgeninden,

2ββtan

2ββtan

)HR()HR()HR()HR(

21

21

AB

AB+

−

=++++−+ ( 1 )

yazılabilir.

2γcot)

2γ

2πtan(

2ββtan

2γ

2π

2γ200

2ββ

21

g21

=−=+

−=−

=+

2δZδZtan

2ββtan

δZδZδZ200δZ2002β1β)δZ(200β

)δZ(200β

1A2B21

1A2B2B1A

2Bg

2

1Ag

1

−−+=

−−−+=++−−−=−

+−=

+−=

yazılabilir.

2ββ

tanve2ββ

tan 2121 −+ değerleri, yukarıda (1) no lu eşitlikte yerlerine konulursa,

2γcot

2δZδZtan

HAHBR2HAHB

1A2B −−+

=++

−

olur. Buradan ∆hAB = HB - HA çekilirse,

2δZδZtan)

R2HH1(

2γtanR2HHH∆

2γcot

2δZδZtan

)R2

HH1(R2HHH∆

1A2BBAABAB

1A2BBA

ABAB

−−+⋅

++⋅⋅=−=

−−+

⋅+

+⋅=−=

γ küçük açı olduğundan

sγR2s

R2s

2γtan =⋅⇒==

2tan2R

yazılabilir. Öte yandan AB ışın yayı bir daire yayı olarak kabul edilirse δ1= δ2 olur.

Ayrıca, mBA H

2HH

=+

denilir ve A ile B noktalarındaki işaret yükseklikleri de dikkate alınırsa,


81

BAABm

ABAB tt2

ZZtan)R

H1(sHHH∆ −+−

⋅+⋅=−=

şeklini alır. Noktalar arasındaki s uzaklığı ya da ortalama yükseklik Hm küçük ise parantez içindeki terim ihmal edilebilir. Bu durumda,

BAAB

ABAB tt2

ZZtansHHH∆ −+−

⋅=−= ( 2 )

olur. Formüldeki ZA ve ZB açıları işaret tepesine indirgenmiş zenit açılarıdır. A noktasının yüksekliği biliniyorsa, B noktasının yüksekliği;

BAABm

AABAB tt2

ZZtan)R

H1(sHH∆HH −+−

⋅+⋅+=+= ( 3 )

şeklinde yazılabilir.

ABH∆ yükseklik farkı şu formülle de hesaplanabilir: işaret yükseklikleri dikkate

alınmadan A ve B noktaları arasındaki yükseklik farklar ∆HAB ve ∆hBA ,

BBA

AABZcotsH∆ZcotsH∆

⋅=⋅=

biçiminde yazılabilir. Bu iki değerin ortalaması alınmak suretiyle,

2ZcotZcots

2ZcotsZcots

2H∆H∆

2)H∆(H∆H∆ BABABAABBAAB

AB−

⋅=⋅−⋅

=−

=−+

=

elde edilir. İşaret yükseklikleri de dikkate alınırsa,

BABA

ABAB tt2

ZcotZcotsHHH∆ −+−

⋅=−= ( 4 )

Yatay uzunluk yerine eğik uzunluk kullanılırsa (4 ) numaralı eşitlik yerine,

BABA

ABAB tt2

ZcosZcosDHHH∆ −+−

⋅=−= (5)

olur. (4) numaralı eşitlikten elde edilen sonuçla, (2) numaralı eşitlikten elde edilen sonuçlar aynıdır. İki nokta arasındaki yükseklik farkı hesaplanırken, önce (2) veya (4) numaralı eşitliklerden birine göre aranan nokta yüksekliği hesaplanır ve daha sonra, (3) numaralı eşitlikten noktanın kesin yüksekliği elde edilir.


82

3.5.1. Zenit Açılarının Zemin Noktasına İndirgenmesi

Şekil 3.12 Zenit açılarının zemin noktasına indirgenmesi

Z’A, Z’B : Ölçülen zenit açıları, ZA, ZB : Zemin noktasına indirgenmiş zenit açıları, D’, D’’ : Ölçülen eğik uzunluklar, D : Zemin noktaları arasındaki eğik uzunluk, S : Zemin noktaları arasındaki yatay uzunluk, iA, iB : Alet yükseklikleri, tA, tB : İşaret yükseklikleri olmak üzere;

a = tA-iB, b = tB-iA kısaltmaları ile ve uzun mesafede DDD ≅′′≅′ kabulüyle,

ıAsinZ

sD =→⋅= ıAZsinDs

BBB

AAA

BB

AA

Z∆ZZZ∆ZZ

ZsinDaZ∆Sin

ZsinDbZ∆Sin

+′=+′=

′⋅=′⋅=

′⋅=′⋅=

B2

A2

Zsin sa

Zsin sb

yazılır. 1ZsinsinZ arasında 2 ≅≅−= gg 11090Z alınabilir. BZ ve ∆Z∆ A nin küçük

açılar olduğu da dikkate alınırsa;

ρsaρ

DaZ∆

ρsbρ

DbZ∆

B

A

⋅=⋅=

⋅=⋅=

yazılabilir.

A

B

s

D

D

D

D’

tA

iA

a

b tB

iB

Z’B

Z’A ZA

Z’AZB Z’B

D”

∆ZA

∆ZB

ZA


83

ÖRNEKLER: 1- A ve B noktaları arasında karşılıklı gözlem yapılmıştır. Aşağıdaki verilere göre; a) k kırılma (refraksiyon) katsayısını hesaplayınız.

b) HA=2500.00 m verildiğine göre, B noktasının yüksekliğini hesaplayınız.

0483.06620.6338.4745

40.100.5S

itZ

0402.06620.6338.4745

50.150.4S

itZ

gBBB

gAAA

=⋅−

=⋅−

=∆

=⋅−

=⋅−

=∆

ρ

ρ

5856.960483.05373.96Z5373.96Z

4518.1030402.04116.103Z4116.103Zg

BB

gAA

=+=∆+=

=+=∆+=

a) 6620.630374.0

38.474563733941

6620.632005856.964518.103

SR1

200ZZSR1k

gBA ⋅−=

−+⋅−=

−+⋅−=

ρ

21.0789.01k =−=

b) BAAB

AB tt2

ZZtanSHH −+

−∗+=

00.550.42

4518.1035856.96tan38.44745HH AB −+−

∗+=

m 347.224350.01525.25600.2500HB =−−=

BAABm

AB tt2

ZZtan)

RH

1(SHH −+−

∗+⋅+=

m 674.23712

347.224300.25002

HHH BA

m =+

=+

=

=−+−

∗+⋅+= 00.550.42

4518.1035856.96tan)6373394

674.23711(38.474500.2500HB

m 25.224350.0248.25600.2500HB =−−=

∆ZB

ZA

103g.4116

5.00 m

1.40 1.50

4.50 m 96g.5373

S= 4745.38 m

A

B

ZB

∆ZA


84

2- A ve B noktaları arasında karşılıklı gözlem yapılıyor. HA=2000.00 m olduğuna göre; B noktasının yüksekliğini ve k kırılma (refraksiyon) katsayısını bulunuz (R=6373394 m alınacaktır).

0158.06620.6334.4785

35.054.1S

tiZ

0121.06620.6334.478505546.1

Sti

Z

gBBB

gAAA

=⋅−

=⋅−

=∆

=⋅−

=⋅−

=∆

ρ

ρ

8691.930158.08849.93Z5373.96Z

1715.1060121.01836.106Z1836.106Zg

BB

gAA

=−=∆−=

=−=∆−=

a) 6620.630406.0

34.478563733941

6620.632008691.931715.106

SR1

200ZZSR1k

gBA ⋅−=

−+⋅−=

−+⋅−=

ρ

15.0849.01k =−=

b) BAAB

AB tt2

ZZtanSHH −+

−∗+=

35.055.02

1715.1068691.93tan34.4785HH AB −+−

∗+=

m 38.153620.0817.46300.2000HB =+−=

BAABm

AB tt2

ZZtan)

RH

1(SHH −+−

∗+⋅+=

m 19.17682

38.153600.20002

HHH BA

m =+

=+

=

35.055.02

1715.1068691.93tan)6373394

19.17681(34.478500.2000HB −+−

∗+⋅+=

m 25.153620.0946.46300.2000HB =+−=

∆ZA

106g.1836 93g.8849

S=4785.34 m

∆ZB ZB

ZA 1.46

1.54 m0.35

0.55

A

B


85

3- A ve B noktaları arasında karşılıklı gözlem yapılıyor. HB=3000.00 m olduğuna göre; B noktasının yüksekliğini ve k kırılma katsayısını bulunuz (R=6373394 m alınacaktır). 108g.3685 91g.7007 1.60 0.45 A 1.50 m 0.65 S = 6666.66 m B a) İşaret Tepesine İndirgenmiş Açılarla Çözüm

00810662063666666

650501S

tiZ

01100662063666666

450601S

tiZ

gBBB

gAAA

...

..

...

..

=∗−

=⋅−

=

=∗−

=⋅−

=

ρ∆

ρ∆

69269100810700791ZZZ3575108011003685108ZZZ

gBBB

gAAA

......

'

'

=−=−=

=−=−=

∆

∆

4506502

6926913575108666666tt2

ZZSHHH ABBA

BABA ....tan.tan −+−

∗=−+−

⋅=−=∆

m788877450650588877HH BA .... =−+=−

m 7883877788877003000788877HH BA .... =+=+=

m8934382

000300078838772

HHH BAm ...

=+

=+

=

2000628784506502

69269135751086373394

8934381666666HH

tt2

ZZR

H1SHH

BA

ABBAm

BA

......tan).(.

tan)(

+=−+−

∗+∗=−

=−+−

⋅+⋅=−

m3878.26 878.2623000.000878.262HH m BA =+=+=→=− 262878HH BA .

m263878HA .=

∆ZA

108g.3685 91g.7007

S=6666.66 m

∆ZB ZB

ZA 1.60

1.50 m0.65

0.45

A

B


86

66206305010

66666663733941

6620632006926913575108

SR1200ZZ

SR1k

gBA

..

....

⋅−=−+

⋅−=−+

⋅−=ρ

24802476507523501k ... ≅=−= b) Zemin Noktasına İndirgenmiş Açılarla Çözüm

108g.3685 1.60 1.50 m 0.65 S = 6666.66 m B

00910662063666666

950662063666666

650601Sb

StiZ gBA

A ...

...

..=⋅=⋅

−=⋅=⋅

−= ρρ∆

01000662063666666

051662063666666

450501Sa

StiZ gAB

B ...

...

..=⋅=⋅

−=⋅=⋅

−= ρρ∆

69089100990700791ZZZ

3596108008903685108ZZZ

0099062400015483850700791666666

051ZSin

398000140051903685108ZSin

gBBB

gAAA

g2B

2A

......

...sin.

.

..sin

=−=−′=

=−=−′=

=→=⋅=′⋅=

=→=⋅=′⋅=

∆

∆

∆∆

∆∆

BB2

gAA

2

Z Zsin Sa

.00890Z 6666.66

0.95 Zsin Sb

m 7968772

69089135961086666662

ZZSHHH BA

BABA ...tan.tan =−

∗=−

⋅=−=∆

m 7963877796877003000796877HH BA .... =+=+=

m9034382

000300079638772

HHH BAm ...

=+

=+

=

26908913596108

63733949034381666666

2ZZ

RH

1SHH BAmBA

..tan).(.tan)( −∗+∗=

−⋅+⋅=−

m 3878.27878.2703000.000878.270HH m BA =+=+=→=− 270878HH BA .

66206305040

66666663733941

6620632006908913596108

SR1200ZZ

SR1k

gBA

..

....

⋅−=−+

⋅−=−+

⋅−=ρ

243024310756901k ... ≅=−=

91g.7007

∆ZB ZA A ZB

b=1.60-0.65=0.95

a=1.50-0.45=1.05

∆ZA

0.45


87

Elektronik Takeometrelerle Yapılan Karşılıklı Gözlemlerle Trigonometrik Yükseklik Ölçümü

Aralarındaki yükseklik farkı belirlenecek iki noktada da, aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi üzerine reflektör yerleştirilmiş birer elektronik takeometre (total station) olmalıdır. Bu iki noktada eş zamanlı karşılıklı gözlemlerle düşey açı ve eğik uzunluklar ölçülürse, iki nokta arasındaki yükseklik farkı hesaplanabilir. Elektronik takeometrenin yatay ekseni ile üzerindeki reflektör arasındaki a mesafesinin her alet için, bir kez incelikli olarak ölçülmesi yeterlidir. Daha sonra ölçüm anında yalnızca elektronik takeometrelerin yatay ekseninin zemindeki noktadan olan mesafesinin ölçülmesi yeterli olur. Düşey açı ölçümünde, yatay gözlem çizgisinin hedef levhasındaki > < işaretlerinin ortasına tatbik edilmesi yerinde olur.

Tanjant Teoremine Göre Çözüm:

Yukarıdaki şekil ve notasyonlara göre tanjant teoreminden,

2Z200Z∆2tan

2Z200tan

2)Z∆Z200(Z∆tan

2)Z∆Z200(Z∆tan

DaDa

'AB

gA

'AB

g

A'AB

gA

A'AB

gA

AB

AB

+−

−

=−−−

−−+

=−+

2Z200tan

DaDa

2Z200Z∆2tan

'AB

g

AB

AB'AB

gA −

⋅+−

=+−

⎟⎟⎠

⎞−⋅⎜⎜

⎝

⎛+−

=+−

2Z200tan

DaDaatn

2Z200Z∆2 '

ABg

AB

AB'AB

gA

⎟⎟⎠

⎞−⋅⎜⎜

⎝

⎛+−

=−

−2

Z200tanDaDaatn

2Z200

2Z∆2 '

ABg

AB

AB'AB

gA

∆ZB

ZAB

Z’AB

tB

iBiA

tA Z’BA

SA

B

ZBA

∆ZA

L

DAB DBAa

a a


88

2Z200

2Z200tan

DaDaatnZ∆

'AB

g'AB

g

AB

ABA

−+⎟

⎟⎠

⎞−⋅⎜⎜

⎝

⎛+−

=

Benzer şekilde

2Z200

2Z200tan

DaDaatnZ∆

'BA

g'BA

g

BA

BAB

−+⎟

⎟⎠

⎞−⋅⎜⎜

⎝

⎛+−

=

yazılır.

B'BABA

A'ABAB

Z∆ZZ

Z∆ZZ

+=

+=

2LLL

sinZsinZDBAL

sinZsinZDL

BAAB

BA

'BA

BA

AB

'AB

ABAB+

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⋅=→=

⋅=→=

BA

BA'BA

BA

AB

AB'AB

AB

ZsinD

ZsinL

ZsinD

ZsinL

BABAABAB tt)ZcosZ(cos2LH∆ −+−⋅=

Kosinüs Teoremine Göre Çözüm Bu çözüm yolunda düşey açının 100 grad civarında olması durumunda, a kenarının çok kısa olması nedeniyle ölçülerin formüllerde yerine konmasıyla anlamsız sonuçlara ulaşılabilmektedir. Bu nedenle düşey açının 100g civarında olduğu durumlarda tanjant formüllerine göre çözüm yapılması daha doğru olacaktır.

BABAABABAB tt)ZcotZ(cotS21HHH∆ −+−⋅=−= Yatay uzunluğa göre

BABAABABAB tt)ZcosZ(cosL21HHH∆ −+−⋅=−= Eğik uzunluğa göre

2LLL

ZcosDa2DaL

ZcosDa2DaLBAAB

'BABA

2BA

2BA

'ABAB

2AB

2AB +

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⋅⋅⋅−+=

⋅⋅⋅−+=

Sinüs teoremine göre,

'AB

AB'AB

AB

AB ZsinL

DLZsin

DZsin

⋅=→= ABsinZ

)ZsinL

Darcsin(Z

)ZsinL

Darcsin(Z

'BA

BABA

'AB

ABAB

⋅=

⋅=

BABAABAB tt)ZcosZ(cos2LH∆ −+−=


89

Örnek: A ve B noktaları arasında karşılıklı gözlem yapılıyor. Aşağıdaki verilere göre B noktasının yüksekliğini bulunuz.

?......

'

'

====

====

ABBBA

AAB

H m t m D m0.22 a m t m D

∆81147557571895Z801450579388103Z

gBA

gAB

a) Tanjant teoremine göre çözüm:

2Z200

2Z200tan

DaDaatnZ∆

'AB

g'AB

g

AB

ABA

−+⎟

⎟⎠

⎞−⋅⎜⎜

⎝

⎛+−

=

2432602

93881032002

93881032004505722045057220atnZ g

gg

A ...tan....

=−

+⎟⎟⎠

⎞−⋅⎜

⎝⎛

+−

=∆

2431602

5718952002

5718952004755722047557220atnZ g

gg

B ...tan....

=−

+⎟⎟⎠

⎞−⋅⎜

⎝⎛

+−

=∆

8149695243160571895ZZZ182411042432609388103ZZZ

gBBABA

gAABAB

......

'

'

=+=+=

=+=+=

∆

∆

m4625746074647

m46057814969557189547557

2

55L

sinZsinZDBAL

m57.464 41sin104.1828sin103.93857.450

sinZsinZDL

BA

'BA

BA

AB

'AB

ABAB

...

..sin.sin.

=+

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

( ) 811801814969518241104246257ttZZ

2LH BABAABAB ...cos.cos.)cos(cos −+−⋅=−+−⋅=∆

m 7833HAB .−=∆

b) Kosinüs teoremine göre çözüm:

m LLL

m 0.22L

m L0.22

BAAB

2

AB

2

462572

46057464572

46057L57189547557220247557ZDa2Da

46457938810345057220245057ZDa2DaL

BA

2BABA

2BA

2BA

2ABAB

2AB

2AB

....

.cos...cos

..cos...cos

'

'

=+

=+

=

=

∗∗∗−+=⋅⋅⋅−+=

=

∗∗∗−+=⋅⋅⋅−+=

7823955718954625747557Z

LDZ

149110493881034625745057Z

LDZ

gBA

BABA

gAB

ABAB

.).sin..arcsin()sinarcsin(

.).sin..arcsin()sinarcsin(

'

'

===⋅=

=⋅=⋅=

=−+−⋅=−+−= 8118017823951491104246257ttZZ

2LH BABAABAB ..).cos.(cos.)cos(cos∆

m 7833HAB .−=∆

Documents

3 Bölüm - TRİGONOMETRİK NİVELMAN