1 実数 a; bはV 22a + 52b = 412a¡2 ¢ 5b = 5

を満たす．このとき，

22a + 52b = (2a + 5b)2 ¡ ア ¢ 2a ¢ 5b; 2a¡2 ¢ 5b =1

イ2a ¢ 5b

に注意すると，

2a + 5b = ウ ; 2a ¢ 5b = エオ

である．解と係数の関係より，a; bの値はV a = カ

b = キと V a = log2 ク

b = log5 ケ

である．

（埼玉工業大学 2014）

2 4OABにおいて，辺OAを 2 : 1に内分する点をM，辺OBを 2 : 3に内分する点をNとし，線

分ANと線分BMの交点を Pとする．¡!OA =

¡!a，¡!OB =

¡!b ，¡!AP = x

¡!AN，

¡!BP = y

¡!BM（x; y

は実数）とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)¡!OPを x;

¡!a ;¡!b を用いて表すと，

¡!OP = (1¡ コ x)

¡!a +

サ

シx¡!b である．

(2)¡!OPを y;

¡!a ;¡!b を用いて表すと，

¡!OP =

ス

セy¡!a + (1¡ ソ y)

¡!b である．

(3) x; yの値はそれぞれ x =タ

チツ; y =

テ

トナである．

(4) 4OPNの面積は4OABの面積のニヌ

ネノ倍である．

（埼玉工業大学 2014）

3 曲線 ` : y = logx (1 5 x 5 2)上の点 (t; log t)における `の接線の方程式は

y =ハ

t x+ log t¡ ヒ

であり，この接線と直線 x = 1，x = 2および `で囲まれた図形の面積 Sは，

S =フ

2t + log t¡ ヘ log 2

である．t =ホ

マのとき，Sは最小値 1 + log

ミ

ムをとる．

（埼玉工業大学 2014）

4 次の問いに答えよ．

(1) 整式P(x) = x3 ¡ 7x2 + 14x¡ 8は x¡ 4で割り切れる．P(x) = x3 ¡ 7x2 + 14x¡ 8 = 0

の解は小さい順に メ ， モ ， ヤ である．

(2) 0 5 x 5 ¼のとき，y = ¡8 sinx cos 2x¡ 12 sin2 x+ 8sinxは，x = ¼ユ

のとき，最

大値 y = ヨ をとり，x = ¼ラ

のとき，最小値 y = リル をとる．

(3) 1枚の硬貨を 5回投げたとき，表が 1回だけ出る確率はレ

ロワである．

（埼玉工業大学 2014）

5 数列 fangと数列 fbngが以下の条件を満たすとする．

a1 = 3; b1 = 2; an+1 = 4an + bn; bn+1 = an + 4bn (n = 1; 2; 3; Ý)

このとき，次の問題に答えよ．

(1) cn = an ¡ bn (n = 1; 2; 3; Ý)で定められる数列 fcngの一般項を求めよ．

(2) 数列 fangの一般項を求めよ．

（獨協大学 2014）

6 次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．

(1) 2次関数 y = x2¡ 6x+7のグラフは y = x2+2x+2のグラフを，x軸方向に 1 ，y軸

方向に 2 だけ平行移動したものである．

(2) 次の式の分母を有理化せよ．

‘

p3

2¡p3= 3 ’

5p6 +p2p

6 +p2= 4

(3) 2点A(¡1; 2)，B(5; 2)を結ぶ線分ABを 2 : 1に内分する点 C( 5 ; 6 )を通り，

線分ABに垂直な直線の方程式は 7 と表される．

(4) 数列 fangが 2; 3; 7; 14; 24; Ýのように与えられている．その階差数列を fbngとする．こ

のとき，b1 = 8 ，b2 = 9 であり，数列 fbngの一般項は bn = 10 と表される．

よって，数列 fangの一般項は an = 11 となる．

(5) x+ y = 20，x > 0，y > 0であるとき，log 1

10

x+ log 1

10

yの最小値は 12 である．

(6) 各辺の長さが AB = 1，BC = 2，CA = kである4ABCの面積は，k = 13 のとき最大

値 14 をとる．

(7) 2つのベクトル¡!x = (a; b)，

¡!y = (1; c)について，

¡!x ?

¡!y，j

¡!x ¡

¡!y j = 2，abc = ¡1

を満たす実数 a; b; cの組合せは 15 通り存在する．また，このうち a+ b+ cの最小値は

16 となる．

(8) 2人の男性A，Bと 2人の女性 a，bがいる．この 4人は無作為に異性を 1人ずつ選ぶ．このと

き，男性が選んだ女性がその男性を選べば，その男女をペアとする．たとえば，男性Aが女性 a

を選び，女性 aも男性Aを選べば，その男女はペアとなる．このとき，ペアが全くできない確

率は 17 ，ペアがちょうど 1組だけできる確率は 18 ，ペアが 2組できる確率は 19

である．

（獨協大学 2014）

7 1個のさいころを 2回投げ，最初に出た目を a，2回目に出た目を bとする．2次方程式 x2 ¡

ax+ b = 0について，次の問いに答えよ．

(1) 実数解は存在すれば正であることを示せ．

(2) 実数解の個数が 1となる確率を求めよ．

(3) 実数解の個数が 2となる確率を求めよ．

（千葉大学 2016）

8 さいころを 5回振るとき，初めの 4回においては 6の目が偶数回出て，しかも最後の 2回におい

ては 6の目がちょうど 1回出る確率を求めよ．ただし，6の目が一度も出ない場合も 6の目が出

る回数を偶数回とみなす．

（千葉大学 2015）

9 pは奇数である素数とし，N = (p+ 1)(p+ 3)(p+ 5)とおく．

(1) Nは 48の倍数であることを示せ．

(2) Nが 144の倍数になるような pの値を，小さい順に 5つ求めよ．

（千葉大学 2014）

10 ¡p2 5 x 5

p2の範囲で，点 Pは放物線 y = ¡x2 + 2上を動き，点Qは放物線 y = x2 ¡ 2上

を動く．ただし，Pと Qは異なる点とする．

(1) 直線 PQが原点を通るとき，線分 PQの長さの最大値と最小値を求めよ．

(2) 線分 PQの長さの最大値を求めよ．

（千葉大学 2016）

11 aを実数とする．xに関する方程式

x2 ¡ 6x¡ x¡ 6 + x = a

の実数解の個数を求めよ．

（千葉大学 2015）

12 k; m; nを自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1) 2kを 7で割った余りが 4であるとする．このとき，kを 3で割った余りは 2であることを示せ．

(2) 4m+5nが 3で割り切れるとする．このとき，2mnを 7で割った余りは 4ではないことを示せ．

（千葉大学 2015）

13 次の各問に答えよ．

(1)3¡ i3 + i =

ア ¡ イ i

ウ（ただし，i2 = ¡1）である．

(2) xの 2次方程式x2¡2(k¡4)x+2k = 0が重解をもつような定数 kの値は小さい順に エ ，

オ である．

(3) 2次関数 y = 13x2 ¡ 6x+ 35のグラフは，放物線 y = 1

3x2を x軸方向に カ ，y軸方

向に キ だけ平行移動した放物線である．

(4) 10個の値 1; 3; 8; 5; 8; ク ; 3; 7; 7; 1からなるデータの平均値は 5，最頻値は ケ ，

中央値は コ である．

(5) x > 0において，#x¡ 12; #2¡ 9

x ;は x = サ

シのとき，最小値 スセ をとる．

(6) 5個の数字 0; 1; 2; 3; 4から異なる 3個の数字を使ってできる 3桁の整数は ソタ 個あり，

そのうち偶数のものは チツ 個ある．

(7) 0 5 µ < 2¼とする．cos 3µ = 12をみたす µのうち，最大のものは

テト

ナ¼である．

(8)

Z 1

¡2(x3 ¡ 3x+ 2)dx =

ニヌ

ネである．

（千葉工業大学 2016）

14 次の各問に答えよ．

(1) x <p3

1¡p3をみたす最大の整数 xは アイ である．

(2) 等式 x+ 5x2 + x¡ 2

=ax¡ 1 +

bx+ 2 が xについての恒等式であるとき，a = ウ ，

b = エオ である．

(3) 点 (¡4; a)と直線 3x+ 4y¡ 1 = 0との距離が 1であるとき，a = カ またはキ

クである．

(4) #x¡ 23;9の展開式において，x8の係数は ケコ であり，x7の係数は サシ である．

(5)¡!a = (3; t+ 1; 1)と

¡!b = #2; ¡3; 3

2t;が垂直であるとき，t = ス である．

(6) (51

3 ¡ 5¡1

3 )(52

3 + 1+ 5¡2

3 ) =セソ

タである．

(7) log10 2 = pとおくと，log10 5 = チ ¡ pであり，log4 500 =ツ ¡ p

テ pである．

(8)

Z 2

¡1(¡x2 + 3 x )dx =

ト

ナである．

（千葉工業大学 2014）