94

94 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp

장 선형변환3 : [Linear Transformation]

변환으로서의 행렬3.1 :

선형연산 의 기하3.2 : [linear operator]

핵 과 치역3.3 : [kernel] [range]

95

95 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp

변환으로서의 행렬3.1 :

행렬변환 : ! 가 5 × - 행렬이면 벡터공간 c- 에서 벡터공간 c

5 으로 대응되는 함수 [map] _!가 다음처럼 정의된다.

_! 8c- → c5

여기서 c- 안에 놓이는 모든 벡터 $ 에대하여 벡터 $ 에 대응하는 상 _!1$3 는 다음처

럼 정의된다 .

_!1$3 )!$

여기서 ( _! c- 위에서 정의된 는 행렬연산자 라고 부른다 [matrix operator] )

주목 : (1) $ 0 % ∈ c- → _!1$ ' %3 )_!1$3 ' _!1%3

(2) p 1스칼라30 $ ∈c- → _!1p$3 )p_!1$3

증명 :

정의 성질 : (1) $ 0 % ∈ c- → _!1$ ' %3 )_!1$3 ' _!1%3 ,

(2) p 1스칼라30 $ ∈c- → _!1p$3 )p_!1$3 를 만족시키는 함수 _ 8 c- → c5

를 우리는 선형변환 이라고 부른다 그리고 (linear transformation) . c- 에서 c- 자 [

기 자신 으로 대응되는 선형변환 ] _ 8 c- → c- 를 선형연산자 라 [linear operator]고 부른다 .

주목 함수 : _ 8 c- → c5

이 선형변환 ↔ ∀� 0 q ∈c- 0 *# 0 *. 1스칼라3 0 _1*#� ' *.q3 )*#_1�3 ' *._1q3

예제 행렬변환 : _! 8 c- → c5 (_!1$3 )!$ 는 선형변환이다) .

96

96 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp

예제 : _ 8 cC → cC 0 여기서 _ 1r$#0 $. 0 $C d3) r$#. 0 $.

. 0 $C. d 로 정의된다 .

이 때 , _ 가 선형변환인 지 아닌 지를 결정하시오 , .

풀이 : * 1스칼라30 � ) r�#0 �. 0 �C d 에 대하여

_1*�3 )_1r*�#0 *�. 0 *�C d3 ) r*.�#.0 *.�..0 *.�C. d )*. r�#.0 �. .0 �C. d

)*. _1�33 ≠ *_1�3

q)rq#0 q.0 qC d0 _1� ' q3 ) _1r�# ' q#0 �. ' q. 0 �C ' qC d3

) r1�# ' q#3. 0 1�. ' q.3.0 1�C ' qC3. d

_1�3 ' _1q3 ) r�#.0 �..0 �C. d ' rq#. 0 q..0 qC. d

) r�#. ' q# .0 �.. ' q. .0 �C. ' qC. d

그러므로 _1� ' q3 ≠_1�3 ' _1q3

따라서 _ 는 선형변환이 아니다 .

정리 : _ 8 c- → c5 이 선형변환이면

(1) _1;3 );(2) _ 1" �3 ) " _1�3(3) _ 1� " q3 )_1�3 " _1q3

이다.

증명 :

97

97 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp

주목 모든 선형변환 : _ 8c- → c5 은 행렬변환 이다 [matrix transformation] .

풀이 : $ )

=

>

?@

A

B$#$.⋮$-

)$#

=

>

?@

A

B#;⋮;

' $.

=

>

?@

A

B;#⋮;

' ⋯ ' $-

=

>

?@

A

B;;⋮#

)$#U# ' $.U. ' ⋯ ' $-U-

여기서( , U# )=

>

?@

A

B#;⋮;

0 U. )

=

>

?@

A

B;#⋮;

0 ⋯ 0 U-)

=

>

?@

A

B;;⋮#

은 c- 의 표준단위벡터들 임 )

_ 가 선형변환이므로

_1$3 ) $#_1U# 3 ' $._1U.3 ' ⋯ ' $-_1U-3 ) P_1U#3 _1U.3 ⋯ _1U-3 Q

=

>

?@

A

B$#$.⋮$-

) !$

여기서, ! 는 다음처럼 정의된 5 × - 행렬

!) P_1U# 3 _1U.3 ⋯ _1U-3 Q

이다.

그리고 위의 5 × - 행렬을 다음처럼 표현한다 .

!) P_1U# 3 _1U.3 ⋯ _1U-3 Q ) P_Q

우리는 !를 선형변환 _ 를 나타내는 표준행렬 이라 부르고 [standard matrix] , _ 는 행렬 !에 의해서 표현된 선형변환이라고 부른다.

98

98 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp

정리 : _ 8 c- → c5 은 선형변환이고 각 벡터는 열벡터로 표현되고 , ,

U# )=

>

?@

A

B#;⋮;

0 U. )

=

>

?@

A

B;#⋮;

0 ⋯ 0 U- )

=

>

?@

A

B;;⋮#

은 c- 의 표준단위벡터들이고 , $ 가 c- 안에 있

는 임의의 벡터이면

_1$3 )!$

로 표현된다 여기서 . !)P_1U#3 _1U.3 ⋯ _1U-3Q ) P_Q 이다 .

예제 : _ 8 c. → c. 여기서 , _1$3 ).$ 이다 . _ 가 선형연산자임을 보이고 그의 표준행렬 , 을 구하시오 .

풀이 : (1) _ 1*�3 ) .*� )*1.�3 )*_1�3 (2) _ 1� ' q3 ).1� ' q3 ).� ' .q)_1�3 ' _ 1q3

그러므로 _ 는 선형연산자이다 .

한편, P_Q ) P_1U# 3 _1U.3 Q ) P.U# .U.Q )=>? @

AB. ;

; .

점검 : _1$3 ) P_Q$ )=>? @AB. ;

; .

=

>? @AB$#$.)=

>? @

AB.$#

.$.).=

>? @AB$#$.).$

문제 : _ 8 cC → c. 여기서 _1r$# 0 $. 0 $C d3 ) r$# ' $. 0 $# " $C d 이다 . _ 가 선형변환임을 보이고 , _ 의 표준행렬을 구하시오 .

99

99 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp

Concept Problem : What can you say about the standard matrix for

the identity operator on c-? What can you say about the standard matrix for a zero

transformation from c- to c5 ?

Solution : They are identity matrix and zero matrix each.

1. 원점에관한 회전[rotation about the orign]

$%"평면에 놓인 원점에관하여 시계반대방향으로 i 만큼 회전이동 한 표준행렬을 ci 라고 표시

하자 .

ci ) P_1U#3 _1U.3Q )=>? @

ABcosi " sini

sini cosi1표준행렬3

설명 :

예제 벡터 : $ ) r#0 #d 를 원점에관하여 시계반대방향으로 KC

S 만큼 회전이동 한 표준행렬을

cKCS 를 구하시오 .

풀이 : cKC

S $ )

=

>

?@

A

BcosKC

S" sinKC

S

sinKC

ScosKC

S

=>? @AB##)

=

>

?@

A

BK.

#"K.

TKC

K.

TKCK.

#

=>? @AB##)

=

>

?@

A

BK.# "TKC

K.

# 'TKC

100

100 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp

2. $%"평면에 놓이면서 양의 $"축과 시계반대방향으로 각이 i 인 원점을 통과하는 직선에관한 대칭이동의 표준행렬을 �i 라 표시하자 .

�i ) P_1U#3 _1U.3 Q )

=

>

?@

A

Bcos.i cos1K.S" .i3

sin.i " sin1K.S" .i3

)=>? @

ABcos.i sin.i

sin.i " cos.i

따라서 위의 대칭이동에 의한 열벡터 , $ )=

>? @AB$#$.

의 상 은 [image]

�i$ )=>? @

ABcos.i sin.i

sin.i " cos.i

=

>? @AB$#$.

이다 .

예제 벡터 : $ ) r#0 " #d 를 $%"평면에 놓이면서 양의 $"축과 시계반대방향으로 각이 KFS 인

원점을 통과하는 직선에관한 대칭이동의 표준행렬 �KF

S 를 구하시오 .

풀이 : �KF

S $)

=

>

?@

A

BK.

#K.

TKC

K.

TKC " K.

#

=>? @

AB#

" #)

=

>

?@

A

BK.# " TKC

K.

# 'TKC

3. $%"평면에서 $"축에관한 대칭이동의 표준행렬

P_Q ) P_ 1U#3 _ 1U.3 Q )=>? @

AB# ;

; " #1∵ _1r$#0 $. d3 ) r$#0 " $. d3

4. $%"평면에서 %"축에관한 대칭이동의 표준행렬

P_Q ) P_ 1U#3 _ 1U.3 Q )=>? @

AB" # ;

; # 1∵ _1r$#0 $. d3 ) r" $#0 $. d3

5. $%"평면에서 직선 %)$에관한 대칭이동의 표준행렬

P_Q ) P_ 1U#3 _ 1U.3 Q )=>? @

AB; #

# ; 1∵ _1r$#0 $. d3 ) r$.0 $# d3

101

101 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp

6. $%"평면에 놓이면서 양의 $"축과 시계반대방향으로 각이 i 인 원점을 통과하는 직선으로 정 사영 한 표준행렬을 [orthogonal projection] zi 라고 표시하자 .

그러면 zi$ " $ )K.

#1�i$ " $3 → zi$)K.

#1�i ' b3$ → zi ) K.

#1�i ' b3 이다 .

따라서 , zi )

=

>

?@

A

BK.# ' cos.iK.

sin.i

K.

sin.iK.

# " cos.i)=

>? @

ABcos.i sinicosi

sinicosi sin.i이다.

그러므로 zi 에 의한 벡터 $ ) r$#0 $. d 의 상은

zi$ )=

>? @

ABcos.i sinicosi

sinicosi sin.i

=

>? @AB$#$.

이다 .

예제 벡터 : $ ) r#0 #d 를 $%"평면에 놓이면서 양의 $"축과 시계반대방향으로 각이 K#.S 인

원점을 통과하는 직선으로 정사영 한 표준행렬 [orthogonal projection] zK#.

S 를 구하시오 .

풀이 : zK#.S)

=

>

?@

A

BK.# ' cosKF

S

K.

sinKF

S

K.

sinKF

S

K.

# " cosKF

S)

=

>

?@

A

BKI. 'TKC

KI

#

KI

#KI

. "TKC

7. $%"평면에 놓인 $"축으로의 정사영한 표준행렬은

P_Q ) P_1U#3 _ 1U.3 Q )=>? @AB# ;

; ;1∵ _ 1r$0 %d3 ) r$0 ;d3

8. $%"평면에 놓인 %"축으로의 정사영한 표준행렬은

P_Q ) P_1U#3 _ 1U.3 Q )=>? @AB; ;

; #1∵ _ 1r$0 %d3 ) r;0 %d3

102

102 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp

문제 다음 선형변환의 표준행렬을 구하고 이를 이용하여 벡터 : , $ 의 상 을 구하시오 [image]

(1) _1r$0 %d3 ) r" $ ' %0 %d 0 $ ) r" #0 Cd

(2) _ 1r$0 %0 +d3 ) r.$ " % ' +0 % ' +0 ;d 0 $ ) r.0 #0 " Id

103

103 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp

선형연산 의 기하3.2 : [linear operator]

(1) ci )=>? @

ABcosi " sini

sini cosi[Rotation about the origin through an angle i]

(2) �i )=>? @

ABcos.i sin.i

sin.i " cos.i [Reflection about the line through the origin

making an angle i with the positive $"axis]

(3) zi )=

>? @

ABcos.i sinicosi

sinicosi sin.i[Orthogonal projection onto the line through

the origin making an angle i with the positive $"axis]

정의 : ∀$∈c-0 n_ 1$3 n )n$n 즉 크기 보존 인 선형연산자( , ) [linear operator]

_ 8 c- → c- 를 직교연산자 라고 부른다 [orthogonal operator] .

정의 : �0 q ∈ c- 에 대하여 �∙q)�_q 1# × # 행렬3 를 벡터 � 와 q 의 내적 [dot 이라고 부른다 product, inner product, scalar product] .

내적의 성질

KV& 0

KV( 0KV* 는 벡터이고 , p 는 스칼라일 때 다음이 성립한다 , .

1. KV&∙KV& ) nKV&n. ≥;

2. KV& ∙KV( ) KV( ∙KV& 3. KV& ∙1KV( ' KV* 3)KV&∙KV( ' KV&∙KV*

4. KV; ∙KV& );

5. 1pKV& 3∙KV( )p1KV& ∙KV( 3)KV&∙1pKV( 3

여기서 벡터 표시 KV& )& 굵은 문자 이다 ( ) .

104

104 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp

정리 : _ 8 c- → c- 는 선형연산자 이다 다음 두 명제는 동치이다 . .

(1) ∀$∈ c- 0 n _ 1$3n ) n$n

(2) ∀$0 % ∈ c- 0 _ 1$3 ∙_ 1%3 ) $∙%

증명 기억하라: [ ] $∙%)KIn$ ' %n

. " n $ " % n.

주목 영벡터가 아닌 두 벡터 : $ 와 % 의 사이각을 i 라 하면

cosi)Kn$n n%n$∙%

↔ i )cos"#1Kn$nn%n$∙% 3

주목 행렬 : ! 를 직교연산자 _ 8 c-→ c

- 의 표준행렬이라고 하면

∀$∈c-0 n!$ n ) n _1$3n ) n $n

정의 : !"#)!_ 를 만족시키는 정사각형행렬 ! 를 직교행렬 이라고 [orthogonal matrix]부른다 .

주목 : ! 가 직교행렬 ↔ !!_)b )!_!

105

105 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp

예제 : !)

=

>

?@

A

BKD

CKD

.KD

F

" KD

FKD

CKD

.

KD

.KD

F" KD

C

는 직교행렬이다 왜냐하면 . ,

!!_)

=

>

?@

A

BKD

CKD

.KD

F

" KD

FKD

CKD

.

KD

.KD

F" KD

C

=

>

?@

A

BKD

C" KD

FKD

.

KD

.KD

CKD

F

KD

FKD

." KD

C

)=

>? @

AB#;;

;#;;;#

)b

그러므로,

!"#)!_)

=

>

?@

A

BKD

C" KD

FKD

.

KD

.KD

CKD

F

KD

FKD

." KD

C

이다.

정리 직교행렬의 전치행렬은 직교행렬이다: (1) .직교행렬의 역행렬은 직교행렬이다 (2) .직교행렬들의 곱은 직교행렬이다 (3) .

(4) ! 가 직교행렬이면 det1!3 )# 또는 det1!3 ) " # 이다 .

증명 :

106

106 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp

정리 : ! 는 - × - 정사각형행렬이다 다음 명제들은 동치 이다 . [equivalent] .

(1) !_!)b 즉 ( , ! 는 직교행렬이다 )

(2) ∀$∈ c- 0 n !$n ) n $n

(3) ∀$0 % ∈ c- 0 ! $∙! % )$ ∙%(4) ! 의 열벡터들은 크기가 # 이고 서로 직교한다 , (orthonormal).(5) ! 의 행벡터들은 크기가 # 이고 서로 직교한다 , (orthonormal).

증명 :

정리 선형연산자 : _ 8 c- → c- 이 직교연산자 ↔ _ 의 표준행렬 P_Q 가 직교행렬이다 .

증명 :

107

107 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp

예제 : ci )=>? @

ABcosi " sini

sini cosi와 �i )

=>? @

ABcos.i sin.i

sin.i " cos.i는 직교행렬이다 .

정리 : _ 8 c. → c. 가 직교연산자 이면 _ 의 표준행렬 P_Q 는

P_Q )ci )=>? @

ABcosi " sini

sini cosi이거나 P_Q )�

K.

i )=>? @

ABcosi sini

sini " cosi이다 .

증명 : P_Q )=>? @AB& (

* ,→

108

108 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp

예제 :

(1) !)

=

>

?@

A

BKTK.

#"KTK.

#

KTK.

#KTK.

#에 대응하는 직교연산자는 c

KIS 를 표준행렬로 가진다 .

(2) !)

=

>

?@

A

BKTK.

#KTK.

#

KTK.

#"KTK.

#에 대응하는 직교연산자는 �

KGS 를 표준행렬로 가진다 .

109

109 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp

주목Remark[ ] : A rotation of cC is an orthogonal operator with a line of fixed points, called the axis of rotation.[cC 의 회전은

고정점들로 이루어진 직선을 회전축으로 가지는 직교연산자이다 .]

예제 :(a) Show that the matrix

!)=

>?

@

AB;;#

#;;;#;

represents a rotation about a line through the origin of cC.

(b) Find the axix and angle of rotation.

풀이 :(a) det1!3 )# → ! 의 대응하는 선형연산자는 cC 공간에서 원점을 통과하는 직선을 회전축으로 가지는 회전이다 .

(b) 1b " !3$ ) ; → $ )=

>?@

AB$#$.$C

) N

=

>?@

AB###→ 회전축은 원점과 점 1#0 #0 #3을 통과하는 직

선이다 그리고 원점을 통과하면서 이 직선의 수직한 평면의 방정식은 .

$# ' $. ' $C ); 이다 그러므로 . O)=

>?@

AB#" #;

와 !O)=

>?@

AB;#

" #는 이 평면위에 놓인다 .

따라서 회전각을 , i 라 놓으면

cosi)KnOnn!OnO∙!O

) " K.

#→ i )KC

.S)#.;� 1시계반대방향으로3

110

110 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp

문제 :(a) Show that the matrix

!)=

>? @

AB;#;

;;##;;

represents a rotation about a line through the origin of cC.

(b) Find the axix and angle of rotation.

111

111 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp

핵 과 치역3.3 [kernel] [ range]

정의 : _ 8 c- → c5 은 선형변환이다 .

ker1_3 )�$∈c- n _1$3 ); 1영벡터3�

를 _ 의 핵 이라고 부른다 [kernel]

예제 : cC 위에서 정의된 선형연산자의 핵을 구하시오 .

영연산자 (1) _; 1$3 ); 풀이 : ker1_;3 )cC

항등연산자 (2) _b 1$3 )b$ ) $ 풀이 : ker1_;3 )�;�

(3) $%"평면위로 _ 의 정사영 풀이 : _1r$0 %0 +d3 ) r$0 %0 ;d 이므로 ker1_3 )+"축 )�r;0 ;0 +d�

회전각이 (4) i 이면서 원점을 통과하는 직선을 회전축으로 하는 선형연산자 _

풀이 : ker1_3 )�;�

정리 : _ 8 c- → c5 가 선형변환이면 _ 의 핵 ker1_3 는 벡터공간 c- 의 부분공간이다 .

증명 :

112

112 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp

정리 : ! 가 5× - 행렬이고 _! 가 ! 에 대응하는 선형변환 즉 ( , _!1$3 )!$ 이면 ) ker1_!3 는

선형제차연립방정식 !$ ); 의 해공간이다 .

증명 :

예제 : !)=

>? @

AB#;;

;#;;;;

에 대응하는 선형변환 _! 의 핵을 구하시오 .

풀이: ker1_!3)�$∈cC n !$) ;�↔ $);0 %);0 +)N ∴ $ ) N

=

>?@

AB;;#

그러므로 ker1_!3 )+"축

정의: ! 가 5× - 행렬이다 이 때 선형제차연립방정식 . !$ ) ; 의 해공간 즉 ( , ker1_!3 을 행렬 ) ! 의 공간이라고 부르고 null- , null1!3 로 표시한다 .

문제 : !)=

>

?@

A

B# C " . ; . ;. F " E " . I " C; ; E #; ; #E. F ; G I #G

의 공간을 구하시오 null- .

풀이 :

=

>

?@

A

B# C " . ; . ; ;. F " E " . I " C ;; ; E #; ; #E ;. F ; G I #G ;

→ 가우스소거법 계속 ( )

113

113 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp

정리 : _ 8 c- → c5 가 선형변환이면 c- 의 부분공간은 _ 에 의해서 c5 의 부분공간으로 대응된다 .

증명 :

정의 : _ 8 c-→ c

5 가 선형변환이다 이 때 집합 . ,

�_1$3 ∈c5 n $∈c-�

을 _ 의 치역 이라고 부르고 이 집합을 [range] , a&-1_3 로 표현한다 .

예제 : cC 위에서 정의된 선형연산자의 치역을 구하시오 .

영연산자 (1) _; 1$3 ); 풀이 : a&-1_;3 )�;�

항등연산자 (2) _b 1$3 )b$ ) $ 풀이 : ker1_b3 )cC

(3) $%"평면위로 _ 의 정사영 풀이 : _1r$0 %0 +d3 ) r$0 %0 ;d 이므로 a&-1_3 )�r$0 %0 ;d n $0 % ∈c�)$%"평면

회전각이 (4) i 이면서 원점을 통과하는 직선을 회전축으로 하는 선형연산자 _

풀이 : a&-1_3 ) cC

정리 : _ 8 c- → c5 가 선형변환이면 a&-1_3 는 벡터공간 c5 의 부분공간이다 .

증명 :

114

114 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp

정리 : ! 가 5× - 행렬이면 a&-1_!3 는 col 1!3 즉( , ! 의 열공간 이다 ) .

증명 :

문제 : !)=

>?

@

AB# " G " D " I

. " C " # EC . E #I

0 ( )=

>?

@

ABG" #;

" .G이다 이 때 . ( 가 ! 의 열공간에 속하는 지

결정하고 만일 속한다면 , ( 를 ! 의 열벡터들의 선형결합으로 표현하시오 .

풀이 : !$ ) ( → 첨가행렬P확장행렬Q

115

115 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp

정의 : _ 8 c- → c5 가 선형변환이고 a&-1_3 )c5 P전체공간Q 이면 우리는 _ 를 위로 의 선형변환이라고 부른다 [onto] .

정의 : _ 8 c- → c5 가 선형변환이고 , _1$3 )_1%3 → $)% 를 만족시킨다면 우리는 _ 를 일 대 일 선형변환이라고 부른다 - - [one-to-one] .

정리 : _ 8 c-→ c

5 가 선형변환이다 이 때 다음 두 명제는 동치이다 . .

(1) _ 는 일 대 일 이다 - - [one-to-one](2) ker1_3 ) �;�

증명 :

정리 : ! 가 5× - 행렬이다 이 때 다음 두 명제는 동치이다 . .

(1) _! 는 일 대 일 이다 - - [one-to-one]

선형제차연립방정식 (2) !$ ); 이 자명해만 가진다

정리 : ! 가 5× - 행렬이다 이 때 다음 두 명제는 동치이다 . .

선형변환 (1) _! 8 c- → c5 이 위로의 함수이다

(2) ∀( ∈ c5 에 대하여 !$)( 는 해를 가진다

증명 :

116

116 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp

정리 : _ 8 c- → c- 가 선형연산자이다 이 때 다음 두 명제는 동치이다 . .

(1) _ 가 일 대 일 함수이다 - -(2) _ 가 위로의 함수이다

증명 :

정리 역행렬의 동치명제[ ] : ! 는 - × - 정사각형행렬이라고 하자 이 때 다음 명제는 동치이다 . .

(1) ! 는 가역행렬이다 역행렬을 가진다 .( .)(2) ! 의 기약행 사다리꼴 기약 가우스 행렬 은 단위행렬 ( ) b- 이다 .

(3) ! 는 기본행렬의 곱으로 표현될 수 있다 .

연립선형방정식 (4) !^); 은 자명해 영 해 즉 ( , ^)

=

>

?@

A

B;;⋮;

1- × # 행렬3 만 가진다) .

모든 (5) - × # 행렬 ( 에 대하여 !^)( 는 항상 해를 가진다 .모든 (6) - × # 행렬 ( 에 대하여 !^)( 는 오직 하나의 해를 가진다 .

(7) ! 의 열벡터들은 #차독립이다.(8) ! 의 행벡터들은 #차독립이다.(9) det1!3 ≠;.(10) �); 은 ! 의 고유값이 아니다 .(11) _! 는 일 대 일 선형연산자다 - - .

(12) _! 는 위로의 선형연산자다 .

증명 :