3 Prediktor Korektor (1)

09/03/2015

1

Penyelesaian PDB

Metode Multi Step & Predictor - Corrector

Pendahuluan Metode P-C multi-step:

predictor : Menaksir yr+1 dari yr , yr-1, yr-2,...

corrector : Memperbaiki nilai yr+1 dari predictor

Metode P-C yang banyak ditulis dalam literatur danakan bahas di sini adalah:

1. Metode Adams-Bashforth-Moulton.2. Metode Milne-Simpson3. Metode Hamming

Predictor - Corrector2

09/03/2015

2

Pendahuluan (Cont.) Metode Heun adalah salah satu metode predictor

corrector (P-C)satu-langkah (one-step).

Metode satu-langkah (one-step): untuk menaksir nilai y(xr+1) dibutuhkan satu buah taksiran nilai sebelumnya, y(xr).

Terdapat metode P-C yang banyak-langkah (multi-step).

Metode banyak-langkah (multi-step): perkiraan nilaiy(xr+1) membutuhkan beberapa taksiran nilai sebelumnya, y(xr), y(xr-1), y(xr-2), ... .


Metode multi step


Diberikan persamaan diferensial non linear orde satu sebagai berikut :

......... (1)Persamaan (1) diintegralkan dari didapat :

00dengan,' yxyxyxfy 1 nn xx

dxxyxfxyxy

dxxyxfxyxy

dxxyxfdxyxy

n

n

n

n

n

n

n

n

x

xnn

x

xnn

x

x

x

x

1

1

11

,

,

,'

1

1

09/03/2015

3

Metode multi step (Cont.)


Misal

Untuk mendapatkan nilai A digunakan interpolasi polinomial untuk pendekatan dari yang mungkin sulit diintegralkan.

Interpolasi polinomial dalam Lagrange adalah kombinasi linier berbentuk :

dimana

dxxyxfAn

n

x

x

1

,

xP xyxf ,

k

jjj xlyxL

0

mj

m

jmkmj xx

xxxl

0

Metode multi step (Cont.)


Interpolasi dinyatakan dengan :

Sehingga :

1 1

1

111

1

1 ,,

,

n

n

n

n

n

n

x

x

x

x nn

nnn

nn

nnn

t

t

dxxx

xxyxfxxxxyxfdxxP

dxxyxfA

xP

nn

nnn

nn

nnn xx

xxyxfxxxxyxfxP

111

1

1 ,,

09/03/2015

4

Metode Adams-Bashforth dua-step


Ruas kanan diintegral kemudian disederhanakan didapat :

nnnnnnn

nn

nnnnnnn

nn

x

xn

nn

nnx

xn

nn

nn

x

x nn

nnn

nn

nnn

x

x

xxxxxxxyxf

xxxxxxxyxf

xxxxxyxfxxx

xxyxf

dxxx

xxyxfxxxxyxfdxxP

n

n

n

n

n

n

n

n

122

11

11

1122

11

2

1

111

2

1

111

1

1

21,

21,

21,

21,

,,

11

11



Hasil integral disederhanakan didapat :

111111

111

11

1111

11

11111

,221,2

21

2,21

2,21

2,21

2,211

nnnnnnnnnn

nnnnn

nnnnn

nnnnnnnnn

nn

nnnnnnnnn

nnx

x

yxfxxxyxfxxx

hxxxhh

yxf

hxxxhh

yxf

xxxxxxxxxyxf

xxxxxxxxxyxfdxxP

n

n

09/03/2015

5



Karena : Maka :

Sehingga

Jadi persamaan yang berbentuk :

Disebut persamaan Adams-Bashfort dua-step dengan truccation error

hxxxx nnnn 11

11,21,

23

nnnn yxfhyxfhA

111 ,21,

23

nnnnnn yxfhyxfhxyxy

111 ,21,

23

nnnnnn yxfhyxfhxyxy

3hO

Metode Adams-Bashforth tiga-step


Perhatikan bentuk multi step

Dengan

Polinomial dikembangkan sampai 3 suku didapat :

dxxyxfxyxyn

n

x

xnn

1

,1

dxxyxfAn

n

x

x

1

,

122

122

211

2111

21

21

,

,,

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

xxxxxxxxyxf

xxxxxxxxyxf

xxxxxxxxyxfxP

xP

09/03/2015

6



Karena : Maka :

nnx

xnn

nnx

x

yxhfdxxxxxh

yxfdxxPn

n

n

n

,1223

2, 11

2121

hxxxxxx nnnnnn 1121

1122 112 ,34, 11

nn

x

xnn

nnx

x

yxhfdxxxxxh

yxfdxxPn

n

n

n

22122 223 ,125

2, 11

nn

x

xnn

nnx

x

yxhfdxxxxxh

yxfdxxPn

n

n

n



Pendekatan dari A adalah :

Jadi :

Merupakan rumus Adams Bashforth tiga-step dengan truncation error

dxxPdxxPdxxPdxxPAn

n

n

n

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

1111

321

22111 ,125,

34,

1223

nnnnnnnn yxhfyxhfyxhfxyxy

2211 ,125,

34,

1223

nnnnnn yxhfyxhfyxhfA

4hO

09/03/2015

7

Metode Adams-Bashforth empat-step


Untuk metode Adams Bashforth empat-step :

truncation error

,...4,3,],9,37

,59,55[24

3322

111

nyxfyxf

yxfyxfhyy

nnnn

nnnnnn

5hO

Algoritma Multi step


Untuk metode Adams-Bashforth dua-step

Untuk dapat menggunakan rumus Adam-Boshfort dibutuhkan nilai

Nilai merupakan nilai awal Untuk mencari nilai menggunakan metode

Euler Runge Kutta Lainnya

...4,3,2,1,,21,

23

111 nyxfhyxfhxyxy nnnnnn

10 , xyxy 0xy

1xy

09/03/2015

8

Contoh


Diberikan PD :

Nilai : Dengan didapat

Iterasi berikutnya untuk mendapat dicari nilaidengan menggunakan Euler

21y awalsyarat dengan ,1' 2 xyy 1untuk ,2 00 xxy

2.0h 4000.22.1 y

111 ,21,

23

nnnnnn yxfhyxfhxyxy

22.02111.14000.22.0

234000.24.1 2 y

7920.24.1,4000.22.1 yy 4.1y

Algoritma Metode Multi - Step


Untuk Adams-Bashfort tiga step

Dibutuhkan : Nilai

Nilai merupakan nilai awal Nilai dicari dengan menggunakan metode :

Euler Runga Kutta Lainnya

22111 ,125,

34,

1223

nnnnnnnn yxhfyxhfyxhfxyxy

210 ,, xyxyxy 0xy 21 , xyxy

09/03/2015

9

Metode Predictor-Corrector


Persamaan Adams-Boshfort dua step digunakan sebagai predictor dan dinyatakan dengan :

Untuk corretor digunakan persamaan Adam-Moulton sebagai berikut :

Dua persaman diatas dikenal sebagai Metode Predictor-Corrector Adams-Boshfort-Moulton

c 111 ,21,

23

nnnnnn yxfhyxhfyP

c nnnnnn yxfPxhfyy ,,21

111

Metode Predictor-Corrector


Persamaan Adams-Boshfort tiga step sebagai predictor dan persamaan Adams-Moulton sebagai corrector silahkan dicari sendiri.

Persamaan Predictor Corrector Adams-Boshfort-Moulton untuk empat step adalah :

Predictor :

Corrector :

CatatanUntuk mendapat persamaan P-C Adams-Boshfort-Moulton diatas P(x) disekati dengan persamaan beda Newton maju atau mundur

3311111 ,9,37,59,5524 nnnnnnnnnn yxfyxfyxfyxf

hyP

2211111 ,,5,19,924 nnnnnnnnnn yxfyxfyxfPxf

hyy

09/03/2015

10

Galat Pemotongan Adams-Boshfort-Moulton


Galat pemotongan untuk Predictor AdamsBoshfort adalah :

dengan adalah nilai prediksi

Galat pemotongan untuk Corrector AdamsMoulton adalah :

dengan adalah hasil iterasi pertama Corrector

Hasil eksak dari

*....720251 550

11 yhyxyE nnAB

**....72019 551

11 yhyxyE nnAM

01ny 1ny

11ny

1nxy 1nx

Galat Pemotongan Adams-Boshfort-Moulton


Persamaan (*) dikurangi (**) didapat :

Galat Pemotongan :

550 11 720251 yhyxy nn

551 11 72019 yhyxy nn

550 11 1 720270 yhyy nn

0 11 155 270720

nn yyyh

09/03/2015

11

Algoritma Adams-Boshfort-Moulton


1. Diberikan PD non Linier :dengan

2. Hitung empat nilai awalnilai syarat awal

dengan Runge Kutta orde empat 3. Tentukan sebagai berikut :

00awal nilai,,' yxyxyxfy hxx nn 1

0y

321 ,, yyy...,4,3,,,, 321 nffff nnnn

333

2221

1112

0003

,,,,

yxfffyxfffyxfffyxfff

n

n

n

n

Algoritma Adams-Boshfort-Moulton


4. Tentukan solusi numerik dari predictor Adams-Boshfort orde empat :

5. Masukan hasil no. 4 ke corrector Adams-Moulton

6. Corrector diiterasi ke k sampai menghasilkan galat :

dengan bilangan yang sangat

kecil yang ditentukan, misal

3322110 1 ,9,37,59,5524 nnnnnnnnnn yxfyxfyxfyxf

hyy

22110 111 ,,5,19,924 nnnnnnnnnn yxfyxfyxfyxfhyy

...,2,1,1

111

k

y

yyk

n

kn

kn

8105

09/03/2015

12

Contoh


1 Diberikan PD :

2 Nilai :Dengan dan dengan Runge Kutta didapat

, , 3. Predictor

Corrector

21y awalsyarat dengan ,1' 2 xyy 1untuk ,2 00 xxy

2.0h 3972.22.1 y 7798.24.1 y 1349.36.1 y

293972.2377798.2591349.35524

2.01349.304 y

3972.27798.251349.319,924

2.01349.3 0 114 nn yxfy

Metode Milne-Simpson


Predictor

Corrector

Galat Predictor :

Corrector :

dengan adalah nilai prediksi adalah hasil iterasi pertama Corrector

,...4,3,,2,,23

4112231 nyxfyxfyxf

hyP nnnnnnnn

,...3,2,,,4,3 111111

nyxfyxfyxfhyy nnnnnnnn

550 11 9028 yhyxyE nnMS

551 11 901 yhyxyE nnMS

01ny 1ny

11ny

09/03/2015

13

Metode Hamming


Predictor

Corrector

,...4,3

,2,,23

4112231

n

yxfyxfyxfhyP nnnnnnnn

,...3,2

,,2,8

38

98 1111

21

n

yxfyxfyxfhyyy nnnnnnnnn

Documents

3 Prediktor Korektor (1)