Rachunek błędówPodstawowe pojęcia, definicje i wzory.

2

WstępProces pomiarowy mający na celu poznanie obiektu badań prowadzi często do określenia wartości rzeczywistej badanej wielkości. Jednak wynik pomiarów może różnić się od wartości rzeczywistej wielkości mierzonej. Zatem ważnączęścią tego procesu jest analiza popełnionych w trakcie pomiaru niedokładności. W tym celu wprowadza się pojęcie błędu pomiaru(nazywanego w przeszłości uchybem) oraz jego niepewności. Spotykamy się też z innymi pojęciami takimi jak: dokładność, klasa czy tolerancja

3

Podstawowe definicjeBłąd pomiaru - niezgodność wyniku pomiaru z wartością rzeczywistą wielkości mierzonej

Błąd bezwzględny - jest to różnica między wynikiem pomiaru x i wartościąrzeczywistą xR wielkości mierzonej i wyraża się w tych samych jednostkach, co wielkośćmierzonaBłąd względny - jest ilorazem błędu bezwzględnego i wartości rzeczywistej (wyrażany głównie w procentach, dzięki temu jest przydatny przy porównywaniu jakości pomiarów różnych wielkości

Rxxx −=∆

%100Rxx

x∆=δ

4

Wartość poprawnaW metrologii wartość rzeczywista jest pojęciem teoretycznym, jej przybliżeniem jest wartość poprawna, czyli taka która określona jest wystarczająco dokładnie. Dlatego wprowadza się błąd poprawny

pxxxxxppxxx

P

PP

PP

+=−=∆−=−=−=∆ p – poprawka

Służy do poprawienia wyniku pomiaru

xx

xx

xx

xx

xP

P

P

R

P

R

∆∆∆∆ ≈≈≈=δW praktyce :

5

Niepewność pomiaruGraniczny błąd pomiaru (niepewnośćpomiaru) jest to błąd bez znaku i określa przedział taki, że:

xx

xx

xx

x

gR

gRg

g

P

g

R

g

g

xxx

xxxxx

∆∆∆ ≈≈=

∆±=

∆+≤≤∆−

δNiepewność zwykle jest szacowana, czyli określana z pewnym przybliżeniem co wynika z naszej niewiedzy na temat dokładnych wartości xR, xP, czy też zjawisk.

6

Zapis wyników pomiarówOstateczny zapis wyników pomiarów musi mieć

odpowiednią formę. W tym celu dokonuje się zaokrągleńw następujący sposób: błędy (∆ i δ) zaokrąglamy zawsze w górę, do jednej cyfry znaczącej liczbę przybliżoną (x) zaokrąglamy do tylu miejsc po przecinku, ile występuje w błędzie.

Przykłady:

x=2,494 i ∆x=±0,043 zapisujemy 2,49±0,05

x=237,465 i ∆x=±0,127 zapisujemy 237,5±0,2

x=123375 i ∆x=±678 zapisujemy 123400±700 lub (123,4 ±0,7) 103

7

Podział błędów ze względu ma ich charakter

błędy systematycznebłędy przypadkowe błędy grube (nadmierne, omyłki)

8

Podział błędów ze względu na ich charakter

Błąd systematyczny - jest to błąd, który przy wielokrotnym pomiarze danej wielkości w nie zmienionych praktycznie warunkach, pozostaje stały co do wartości i co do znaku, albo zmienia się według znanej zależności. Istotną cechą błędu systematycznego jest to, iż można w wielu wypadkach usunąć go z wyniku pomiaru wyznaczając poprawkęBłąd przypadkowy - jest to błąd zmieniający się w sposób przypadkowy zarówno co do wartości, jak i co do znaku przy wielokrotnym powtarzaniu pomiaru danej wielkości w praktycznie niezmiennych warunkach.Błąd nadmierny - Zwany też błędem grubym lub omyłką. Jest to rażąca odmienność wyniku pomiarowego od pozostałych. Jeśli jest to faktycznie omyłka, wtedy pomiar taki odrzucamy w przeciwnym razie wynik taki należy poddać wnikliwej analizie

9

Zmienne losoweWynik pomiaru i błąd przypadkowy można traktować jak zmienne losowe. W dalszych rozważaniach zakładamy, że wynik pomiaru niejest obciążony błędem systematycznym.

Zmienna losowa X - jest to wielkość mierzalna, której wartości (x) zależą od przypadku. W wyniku pomiaru zmienna losowa (X) przyjmuje tylko jedną wartość (x) spośród wszystkich możliwych.

f(x) - funkcja gęstości prawdopodobieństwa (gęstośćprawdopodobieństwa)F(x) - dystrybuanta zmiennej losowej

dxxdFxf )()( =

( )∫∞−

=<<−∞==x

dxxfxXPXPxF )()()(

10

Zmienne losowe c.d.( )

( )

( )

( )∫

∫

∫

∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

−=−=

=

=<<

==∞<<−∞=∞

dxxfXEXXEXE

dxxxfXE

dxxfxXxP

dxxfXPF

x

x

222

21

)]([)]([

)(

)(

1)()(

1

2

σ

P(x1<X<x2) - prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartości pomiędzy x1 a x2.E(X) - wartość oczekiwana, jest miarą skupienia rozkładuσ2 - wariancja, jest miarą rozproszenia rozkładu. Wielkość σ jest odchyleniem standardowym (odchyleniem średnim kwadratowym)

11

Rozkład normalnyPrzy dużej liczbie pomiarów przyjmuje się że pomiary jako zmienne losowe mają rozkład normalny (rozkład Gaussa).

R

xxXEx

xXE

eexfR

=

==−

−−

−

)(2

12

1)( 2

2

2

2

2)(.

2))((.

σσ

πσπσ

σ2

σ1 < σ2

x

f(x)

xR

xR-σ xR+σ

Wartości prawdopodobieństwa dla szczególnych przedziałów:

P(xR-σ<x<xR+σ)=0,68

P(xR-2σ<x<xR+2σ)=0,95

P(xR-3σ<x<xR+3σ)=0,9973

12

Rozkład normalny c.d.

σ3)( ±⇒∆± XExx gRtakiej postaci wyniku oczekiwaliśmy, szukaliśmygraniczna niepewność wyniku pomiaru („reguła trzech sigm”).Jest to przedział ufności określony na wybranym poziomie ufności (istotności).

σ3=∆ xg

13

Praktyczna ocena błędów przypadkowych

R

n

ii xx

nxXE ≈== ∑

=1

1)( oszacowanie wartości rzeczywistej. Tak liczona wartość jest też zmienną losową

xgR sxXExx 33)( ±⇒±⇒∆± σ

)1(

)(

1

)(

)()(

1

2

21

2

2

22

−

−=⇒

−

−=

=⇒=

=⇒=

∑∑==

nn

xxs

n

xxs

nn

xxExXE

n

ii

x

n

ii

xx

RR

σσσσ

Ponowne oszacowanie wartości rzeczywistej i jej odchylenia standardowego

dla n >30 ostateczny wynik to

14

Praktyczna ocena błędów przypadkowych c.d.

dla n <30 korzysta się z rozkładu t-Studenta

xgR stxxx α±⇒∆±

Z tablic, dla określonej liczby stopni swobody k=n-1 i dla wybranego poziomu ufności α odczytuje się współczynnik tα.

15

Błędy w pomiarach pośrednichPomiar bezpośredni - pomiar, którego wynik odczytuje się bezpośrednio ze wskazań przyrządu pomiarowego Pomiar pośredni - pomiar, którego wynik oblicza się, podstawiając do równania pomiaru wyniki pomiarów pośrednich

),....,,( 21 nxxxfy =

• x1, x2, ... ,xn wielkości mierzone bezpośrednio

• y wielkość mierzona pośrednio, przy czym:

Ponadto:

∆sx1, ∆sx2, ... , ∆sxn błędy systematyczne

∆gx1, ∆gx2, ... , ∆gxn błędy graniczne

16

Błędy w pomiarach pośrednich c.dWypadkowy błąd systematyczny, jakim obciążona

będzie wielkość y, oblicza się metodami:Przyrostów

),....,,(),....,,( 212211 nnsnssss xxxfxxxxxxfyyyy −∆+∆+∆+=−∆+=∆

Różniczki zupełnej

nsn

sss xxyx

xyx

xyy ∆+⋅⋅⋅+∆+∆≈∆

∂∂

∂∂

∂∂

22

11

Błąd względny dla obu metod liczy się:

yys

ys∆

=δ

17

Błędy w pomiarach pośrednich c.dBłąd bezwzględny maksymalny (graniczny), z jakim mierzona jest

wielkość y, oblicza się metodą różniczki zupełnej :

ngn

ggg xxyx

xyx

xyy ∆+⋅⋅⋅+∆+∆=∆

∂∂

∂∂

∂∂

22

11

||||

yyg

yg

∆=δwtedy błąd względny:

Jeśli zależność na y jest postaci:na

naa xxAxy ⋅⋅= ....2121

wtedy błąd ten można liczyć metodą różniczki logarytmicznej

||...||||2211 xngnxgxgyg aaa δδδδ +++=